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DYNAMIQUE DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES
BNIAICHE EL Amine
ITSMAERB
Département : « Gestion & Maîtrise de l’Eau »
2013
DYNAMIQUE DES FLUIDES (ECOULEMENT DANS LES CONDUITES EN CHARGE)
I -Notions générales sur l’écoulement II - Equation de continuité III- Equation d’Euler IV- Théorème de Bernoulli en écoulement parfait V- Théorème de Bernoulli en écoulement réel VI- Théorème de Bernoulli avec transfert d’énergie VII- Puissances des écoulements VIII- Régimes des écoulements: Nombre de Reynolds VIIII- Pertes de charge 1- Mise en évidence 2- Les Pertes de Charge Linéaires ou Réparties 3-- Les Pertes de Charge Locales ou Singulières
X- Applications de l’équation générale de l’écoulement XI- Théorème d’Euler
I- NOTIONS GÉNÉRALES SUR L’ÉCOULEMENT :
Le mouvement de d’une particule de fluide est caractérisée soit par: Ses coordonnées x,y,z,t tout le long de la trajectoire (méthode de LAGRANGE) Sa vitesse en un point donné de l’espace (méthode d’EULER)
1- Ligne de courant: Courbe tangente au vecteur vitesse (vx, vy, vz) en tout point. La distance parcourue par la particule s’exprime
par dx=vx dt, dy=vy dt,dz=vz dt
2- Tube de courant (filet de courant): ensemble des lignes de courant défini par un contour fermé à l’intérieur de l’écoulement
Trajectoire
Particule liquide
Ligne de courant
3- Ecoulement permanent (stationnaire): la vitesse, la pression et le débit en un point quelconque du fluide sont indépendants du temps.
5- Ecoulement unidimensionnel: Suppose que dans un tube de courant toutes les grandeurs liées à la particule (v, p, , T) ont à un instant donné, la même valeur en tout point d’une section droite (pas de variation transversale)
6- Fluide parfait: Suppose que les lignes de courant ne se croisent pas et que la viscosité est nulle. Par ailleurs la vitesse est constante dans une section droite
7- Fluide réel: Suppose que les lignes de courant se croisent et que la viscosité n’est pas nulle. Par ailleurs la vitesse n’est pas constante dans une section droite
4- Écoulement variable : Si au moins un des paramètres d’écoulement varie dans le temps on dit que l’écoulement est variable ou non permanent..
8- Écoulement uniforme ou non uniforme : Un écoulement est dit uniforme si
ses caractéristiques à tout instant demeurent constantes en différents points de la
direction de l’écoulement. Si non l’écoulement est dit non uniforme.
fluide réel fluide parfait
Principes de conservation de la Physique
Principe de la conservation de la masse
l’EQUATION DE CONTINUITE
Principe de la conservation de la quantité de mouvement
EQUATION D’EULER
THEOREME DE BERNOULLI
II- EQUATION DE CONTINUITÉ:
« Conservation de la masse au cours de son déplacement dans un tube de courant »
Considérons un tube de courant permanent unidimensionnel et 2 sections droites quelconques dS1 et dS2 située aux abscisses respectives x1 et x2. Si aucune apparition ni aucune disparition de matière n’existe entre dS1 et dS2 on peut écrire:
Cstedt
dm
dt
dm
dt
dm 21
massiquedébit 222111 mdqvdSvdS
21:ibleincompress fluide de casEn
miquedébit volu2211 vdqvdSvdS
dtvdSdxdSdm
dtvdSdxdSdm
2222222
1111111
Pour un fluide incompressible, l’équation de continuité montre que le produit de la section par la vitesse est
constant tout le long d’un tube de courant
dt
dm
dt
dV
dt
dm
pardt
dm
divisonsdS1
dS2
2211 SvSvqv
: conséquent
S
1v:section une dans moyenne Vitesse
q :oùd'
droitesection une dans constante pasest n' vitesse0:réel fluide de casEn
m
222
111v
Par
vdS
dSvdSvSS
222
111vq :oùd'
droitesection une dans constante vitesse0:parfait fluide de casEn
SSdSvdSv
2211 SvSvq mmv
Généralisation à un écoulement permanent tridimensionnel
Examinons l’écoulement à travers un parallélépèdique de volume dV (dx, dy, dz) dans les directions Ox, ,Oy et Oz et plaçons dans le cas général où la masse volumique peut varier.
Masse en déplacement pendant dt selon l’axe Ox:
:'
dm avec x
dxdtdzx
vdmdmoùd
dydzdtvdxx
mdmdm
xxdxx
xx
xdxx
dVdtx
vdmdma x
dxxx
)(m :matière la den ccumulatio x
Masse en déplacement pendant dt selon l’axe Oy:
dVdty
vdmdma
y
dyyy
)(m :matière la den ccumulatio y
Masse en déplacement pendant dt selon l’axe Oz:
dVdtz
vdmdma z
dzzz
)(m :matière la den ccumulatio z
zyx mmma m :dV volumele dans matière la de n totaleccumulatio
La variation de la masse doit entraîner une variation de la masse volumique:
dtdVt
m
D’où: tz
v
y
v
x
v zyx
Equation de continuité pour un écoulement conservatif
Cas particuliers:
Ecoulement permanent : ne dépend du temps
0
z
v
y
v
x
v zyx
Fluide incompressible : =cste
00
vdivou
z
v
y
v
x
v zyx
Fluide incompressible et écoulement unidimensionnel : =cste
CstedSet
dxdSx
ven
x
v
x
x
x v:donnen intégratiol'
0 :dVpar t multiplian
0
EXEMPLE DE CALCUL 1
Soit une conduite dont l’aire
de la section 1 est 0,100 m² et
la vitesse du liquide y est de
1,20 m/s; l’aire de la section 2
est de 0,050 m².
Calculer la vitesse du courant
en 2 et le débit.
1 2
SOLUTION DE L’EXEMPLE 1
Appliquons l’équation de la continuité entre les sections 1 et 2 :
smA
AVVAVAV /4,2
05,0
1,02,1
2
1122211
Le débit est donné par : smVAQ /120,005,04,2 3
1 2
Q v1 v2
EXEMPLE DE CALCUL 2
Cas d’une bifurcation de courant où
la section 1 a un diamètre de 400
mm, la section 2 a un diamètre de
200 mm et le diamètre de la section
3 est de 160 mm. Si la vitesse à la
section 1 est de 1,60 m/s et celle à la
section 2 est de 3,9 m/s, calculer les
débits Q1, Q2 et Q3 ainsi que la
vitesse à la section 3.
1
3
2
SOLUTION DE L’EXEMPLE 2
Les débits sont donnés par l’équation de la continuité :
smAVQ /201,04
4,06,1 3
2
111
smAVQ /122,04
2,09,3 3
2
222
smQQQ /079,0122,0201,0 3
213
La vitesse à la section 3 est :
smA
QV /93,3
16,0
079,042
3
3
3
1
3
2
Q2
Q1
Q3
III- EQUATION D’EULER
Soient une particule de fluide de volume dV=dx*dy*dz située en un point de coordonnées x, y et z, dans un champ de gravitation terrestre :
g
gdzdzz
pdy
y
pdx
x
p
;0;0
dt
dv
x
p
dt
dv
dx
zyxpzydxxp
dt
dvdxzyxpzydxxp
dt
dvdxdydzdydzzyxpdydzzydxxp
x
x
x
x
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(
Selon l’axe Ox
Appliquons la relation fondamentale de la dynamique à la particule dV:
Gext amF
dt
dv
y
p
dt
dv
dy
zyxpzdyyxp
dt
dvdyzyxpzdyyxp
dt
dvdxdydzdxdzzyxpdxdzzdyyxp
y
y
y
y
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(
Selon l’axe Oy
dt
dv
z
pg
dt
dv
dz
zyxpdzzyxpdzg
dt
dvdzzyxpdzzyxpdzg
dt
dvdxdydzdxdyzyxpdxdydzzyxpdxdydzg
z
z
z
z
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(
Selon l’axe Oz
La différentielle totale de p est :
dzz
pdy
y
pdx
x
pdp
gdzdvvdvvdvvdp
dt
dzdvgdz
dt
dydv
dt
dxdvdpou
dzdt
dvgdy
dt
dvdx
dt
dvdp
zzyyxx
zyx
zyx
:
zzyyxx
z
y
x
z
y
x
dvvdvvdvvdvv
dv
dv
dv
dv
v
v
v
v
gdzvdvdpalors : 0 gdzvdvdp Ou:
Equation d’EULER
valeursleursparz
p
y
p
x
p ;; remplaçons
IV- THÉORÈME DE BERNOULLI EN ECOULEMENT PARFAIT
Intégrons l’équation d’EULER entre 2 points de la veine liquide:
02
:
0
2
1
2
1
2
1
2
2
1
z
z
v
v
p
p zgvpsoit
gdzvdvdp
2
2
221
2
1122
gzvpgzvp
Théorème de Bernoulli pour un fluide parfait, incompressible
L’équation de Bernoulli exprime que , tout le long d’un filet liquide en mouvement permanent , l’énergie totale par unité de poids du liquide reste constante .
ρ = Cte : masse volumique du fluide incompressible - l'indice i = 1 correspond aux paramètres à l'entrée - l'indice i = 2 correspond aux paramètres à la sortie - dvi : volume de fluide déplacé entre les instants t et t + dt de masse dmi, - Si :section de la veine fluide, - dli : hauteur du volume cylindrique de fluide admis ou expulsé (dvi = Si dli), - Vi : vitesse des particules fluides, - Gi : centres de gravité des volumes dvi d'altitude zi, - pi : pression
2 ème méthode de démonstration du Théorème de Bernoulli pour un fluide parfait
Expressions des différentes formes d'énergie mécanique
Expression du principe de conservation de l'énergie
D'après l'équation de continuité:
On obtient alors :
Bilan d’énergie:
Bilan des pressions:
)(22
2
2
221
2
11 Pagz
vpgz
vp
Pression statique: pgzp
2
2v
Pression dynamique:
)(22
2
2
221
2
11 mzg
v
g
pz
g
v
g
p
Bilan des hauteurs:
Cstezg
v
g
pH
2
2
Hauteur manométrique: g
p
zg
P
Hauteur piézométrique:
Hauteur dynamique: g
v
2
2
1
Charge totale: H
Représentation graphique de l’équation de BERNOULLI
- Applications du théorème de Bernoulli:
- Tube de Pitot:
- Tube Venturi:
)(2
1 22
ABBA vvPP
ghPP BA
BBAAV SvSvQ
22
2 11
2
1
AB
VSS
Qgh ghSS
SSQ
BA
BAV 2
22
22
On dispose 2 tubes de prises de pression dans la canalisation de l’écoulement. Une prise de pression donne accès à la pression statique (point N) et une prise de pression qui permet l’obtention de la pression d’arrêt (point M). Déterminons la vitesse d’écoulement.
ghv
ghpp
vpp
NM
NNM 22
1 2
On dispose 2 tubes de prises de pression statique dans la canalisation de l’écoulement. Déterminons la débit d’écoulement.
2
2
221
2
11
22z
g
V
g
Pz
g
V
g
P
1 2
cteg
V
g
P
g
V
g
P
22
2
22
2
11
Si A V P
- Variation de pression dans un tronçon à section variable:
H1 H2 et H1 >H2
2
2
221
2
11
22z
g
V
g
Pz
g
V
g
P
V- THÉORÈME DE BERNOULLI EN ECOULEMENT REEL
Contrairement au fluide parfait non visqueux , la charge H pour un fluide réel visqueux ne se conserve plus entre 2 points:
Ceci est du à la nature visqueuse du fluide qui dissipe une partie de l’énergie: cette perte d’énergie est appelée ‘’Perte de charge ‘’. La représentation graphique en cas de fluide réel est donc montré par le schéma suivant :
Viscosité
mise en évidence
• AA’> BB’> CC’>DD’
• l’équation de Bernoulli stipule que :
Comme z (plan horizontal) et v(même débit
et section de la conduite) sont les mêmes
sur les différents points (A, B, C etc.), les
pressions doivent être également
identiques sur ces points; or à cause des
chutes des hauteurs d’eau dans les
piézomètres les pressions chutent aussi et
donc l’équation de Bernoulli est
transgressée.
Cstezg
p
g
v
2
2
S
Forces de viscosité
Soit une couche de fluide entre 2 plaques : une fixe et l’autre mobile (vitesse v)
• énoncé de la loi de Newton : la contrainte tangentielle visqueuse est proportionnelle au gradient de vitesse :
• la viscosité est une propriété qui traduit la résistance d’un fluide à l’écoulement • elle se manifeste lors de l’écoulement d’un fluide dans une canalisation ou lors d’un mouvement d’un solide par rapport à un fluide
(Pa.s)dynamique viscosité:dz
dv
dS
dF
REPRESENTATION GRAPHIQUE DU THEOREME DE BERNOULLI EN ECOULEMENT REEL
P 1 / g
P 2 / g
z 1
z 2
V 1 2 /2g
Tube de courant
Ligne piézométrique
Ligne de charge
1 2
PHR (z = 0)
V22/2g
h
Plan de charge
la relation de Bernoulli entre 1 point et un autre doit être ajustée de la manière suivante:
hzg
V
g
Pz
g
V
g
P 2
2
221
2
11
22 h: pertes d’énergie ou de charge
De l’eau circule d’un réservoir à travers une conduite ϕ 250 mm. On suppose que les pertes de charge sont comme suit: • De 2 à 3 :
• De 3 à 4 :
• De 4 à 5 : 1. Déterminer le débit de la conduite et les pressions aux points 3 et 4. 2. Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge. N.B: La perte de charge entre 1 et 2 est supposée négligeable.
mh 45,13
2
mh 65,14
3
mh 90,15
4
EXEMPLE DE CALCUL
8 m
.2 .3 .4 .5
.1
SOLUTION
smQ
smHZZgV
HZZg
VH
g
VZZ
g
V
g
P
g
P
g
P atm
/377,04
25,014,367,7:par calculéest débit Le
/67,79,165,145,1881,922
22 :donc
)dimensions grandes de (Réservoir 02
et pressions) des (Origine0
32
5
1515
5151
2
551
2
551
2
151
515
2
551
2
11
2
22
:conduite la de extrémitél'et réservoir du libre
surface la entre Bernoulli de théorèmeleappliquer faut il V, déterminerPour
4
:oninstallatil' deDébit -1
hZg
V
g
PZ
g
V
g
P
DVAVQ
8 m
.2
.3
.4
.5
.1
mg
P
Hg
P
g
PH
g
P
g
PVVZZ
HZg
V
g
PZ
g
V
g
P
90,165,155,3
et
22
:donne 4et 3 points les entre appliqué Bernoulli de théorèmele analogue,façon De
4
4
334
4343
4343
434
2
443
2
33
8 m
.2
.3
.4
.5
.1
mHg
VZZ
g
P
HZg
V
g
PZHZ
g
V
g
PZ
g
V
g
P
55,345,181,92
67,78
2
222
:donne 3et 1 points les entre appliqué Bernoulli de théorèmeLe
:4et 3 pointsaux pressions des Calcul-2
2
31
2
331
3
313
2
331313
2
331
2
11
SOLUTION
mg
VZZ
g
P
Zg
V
g
PZHZ
g
V
g
PZ
g
V
g
P
581,92
67,78
2
222
:2et 1 points les entre Bernoulli de théorèmele Appliquons
2.point au pression la déterminerfaut il ,Zg
Pet H de tracéleeffectuer Pour
:charge de ligne laet quepiézomètri ligne la de Tracé3
22
221
2
2
2
221
2
12
2
221
2
11
8 m
.2
.3
.4
.5
.1
Point Charge (m)
Charge piézométrique (m)
1
2
3
4
5
Point Charge (m)
Charge piézométrique (m)
1
2
3
4
5
88002
1
2
11 Zg
V
g
P
8801
1 Zg
P
808211 HH
55,645,18322 HH
9,465,155,6433 HH
390,19,4544 HH 00055 Zg
P
90,1090,144 Zg
P
55,3055,333 Zg
P
50522 Zg
P
.2 .3 .4 .5
.1
7 m
8 m
6 m
5 m
4 m
3 m
2 m
1 m
0 m
Il est assez fréquent, dans les réalisations industrielles, qu'un
appareil hydromécanique, placé dans une veine fluide, permette
une transformation d'énergie mécanique en énergie hydraulique
(une pompe par exemple) ou inversement (une turbine).
Machine hydraulique
H1 H2
H
VI- THÉORÈME DE BERNOULLI AVEC TRANSFERT D’ENERGIE
Si de l’énergie Ht est fournie par l’écoulement à un dispositif
mécanique, l’équation de Bernoulli devient :
hzg
V
g
PHz
g
V
g
Pt 2
2
221
2
11
22
H2 < H1
Machines réceptrices (turbine, Noria
T H2 H1
1
2
Turbines hydrauliques
h
h
H1
H2
H1
H2 Em
Em
H2 H1
Exemple
Q et H
et couple
Si de l’énergie Hp est fournie à l’écoulement par le moyen d’une
pompe, l’équation de Bernoulli devient :
hzg
V
g
PHz
g
V
g
Pp 2
2
221
2
11
22
H2 H1
Machines élévatrices (pompes volumétriques, turbopompes
P
H2 HI
1
2
Si un écoulement d’un fluide se fait à un débit Q (m3/s),
avec un poids spécifique g (N/m3) et une énergie totale
H (m) Puissance de l’écoulement (W)
Si une machine fournit de l’énergie au fluide Hp
Puissance hydraulique de la machine (W)
Si une machine consomme de l’énergie du fluide Ht
Puissance hydraulique de la machine (W)
gQHP
pgQHP
tgQHP
VII- PUISSANCES DES ECOULEMENTS
Bilan d’énergie d’un groupe de pompage
mo
t tr
p
1tr
EXEMPLE DE CALCUL
Circuit de pompage débitant
0,024 m3/s d’eau. La conduite
a un diamètre de 160 mm et
débouche à l’ air libre, à 6 m
au-dessus du plan d’eau. Dans
le cas d’un liquide parfait,
calculer la hauteur de charge
et la puissance hydraulique
fournies par la pompe.
P
2
1
SOLUTION
Par conséquent : :
Enfin, KwWP 43,1142907,6024,081,91000
mH p 07,6681,92
19,1 2
La puissance utile de la pompe s’exprime par la relation : pgQHP
Pour calculer Hp , appliquons le théorème de Bernoulli entre 1 et 2 en tenant compte de l’apport de charge de la pompe :
2
2
221
2
11
22z
g
V
g
PHz
g
V
g
Pp
Les points 1 et 2 sont soumis à la pression atmosphérique, d’où :
Le point 1 est situé sur une surface libre (réservoir de grandes dimensions)
D’où :
021 g
P
g
P
02
2
1 g
V
12
2
2
2zz
g
VH p
Calculons la vitesse V2 :
smA
QV /19,1
16,0
024,042
2
22
EXEMPLE DE CALCUL
La pompe indiquée dans la figure
refoule un débit de 65 l/s d’eau dans un
réservoir à la côte de 163,50 m. Les
pertes de charge dans la conduite
d’aspiration 200 de la pompe et la
conduite de refoulement 150 sont
respectivement 3 et 6 fois leurs
énergies cinétiques respectives.
Déterminer la puissance utile de la
pompe.
P
163,50 m
146,40 m
SOLUTION
P
163,50 m
146,40 m
1
2
La puissance utile de la pompe s’exprime par la relation : pHQgP
Pour calculer Hp, appliquons le théorème de Bernoulli entre les 2 surfaces libres des 2 réservoirs en tenant compte de l’apport de charge de la pompe :
hzg
V
g
PHz
g
V
g
Pp 2
2
221
2
11
22
Les points 1 et 2 sont soumis à la pression atmosphérique, d’où : (origine des pressions). Les points 1 et 2 sont situés sur des surfaces libres (réservoirs de grandes dimensions) :
D’où :
021 g
P
g
P
022
2
2
2
1 g
V
g
V
12 zzhH p
Ainsi :
Ar conséquent, KwWP 14965.139,21065,081,91000
mH p 9,214,1465,1638,4
Calculons la perte de charge totale entre 1 et 2 :
smA
QV
a
a /07,22,0
065,042
et smA
QV
r
r /68,315,0
065,042
D’où :
g
V
g
VHHH ra
ra2
62
3
22
2
1
mh 8,481,92
68,36
81,92
07,23
22
EXEMPLE
Un débit de 460 l/s d’eau entraîne la
turbine représentée ci-dessous. Quelle est
la puissance fournie par l’écoulement à la
turbine?
16m D= 30 cm
T Eau Eau
SOLUTION
La puissance utile fournie à la turbine s’exprime par : tgQHP
Pour déterminer Hp, appliquons le théorème de Bernoulli entre la surface libre du réservoir (1) et la sortie de la conduite (2) :
Les points 1 et 2 sont soumis à la pression atmosphérique, d’où :
Le point 1 est situé sur une surface libre (réservoir de grandes dimensions) :
D’où :
Calculons la vitesse V2 : smA
QV /51,6
3,0
46,0422
Enfin, KwWP 5,62451.6284,1346,081,91000
2
2
221
2
11
22z
g
V
g
PHz
g
V
g
Pt
021 g
P
g
P
02
2
1 g
V
g
VzzH t
2
2
221
mH t 84,1381,92
51,616
2
16m D= 30 cm
T Eau Eau
1
2
VIII- REGIMES D’ECOULEMENT
Les expériences réalisées par Reynolds en1883 lors de l'écoulement d'un
liquide dans une conduite cylindrique rectiligne dans laquelle arrive
également un filet de liquide coloré, ont montré l'existence de deux
régimes d'écoulement : régime laminaire et régime turbulent :
DANS UN REGIME LAMINAIRE, LES FORCES DE FROTTEMENT VISQUEUX DOMINENT, ET IMPOSENT CE REGIME
DANS UN REGIME TURBULENT, LES TRANSFERTS DE QUANTITE DE MOUVEMENT PAR CONVECTION DOMINENT, ET IMPOSENT CE REGIME
EXPERIENCE DE REYNOLDS
Q
D
Valve
Écoulement laminaire Écoulement turbulent
Tuyau transparent
Réservoir d’eau
Réservoir de colorant
V faible filet coloré bien défini V élevée filet coloré ondulé et instable
Agrandissement
Comment caractériser le régime d’écoulement ?
VDVDRe
)(kg/m liquidedu volumique:
(m/s) écoulementd' vitesse:V
(m)on canalisati la de diamètre :D
(Pa.s) dynamique iscosité:
)/(m ecinématiqu viscosité:
3
2
masse
v
s
La nature du régime d’écoulement se détermine par le « nombre de Reynolds » qui a pour expression :
=2000 3000
Turbulence intermittente
laminaire parfait turbulent
couche limite laminaire
cœur turbulent v
Distribution de vitesse en écoulement laminaire et en écoulement turbulent
La vanne étant fermée, la pression P au manomètre dépend de la « charge d’eau » h.
VIIII- LES PERTES DE CHARGE
Lorsque l’on ouvre la vanne, on s’aperçoit que la pression chute. Cette nouvelle pression correspond à une charge d’eau h’ inférieure à la hauteur d’eau réelle h
Perte de charge
des incidents de parcours
de l’état de surface de la conduite,
du débit de liquide dans la conduite,
de la longueur de la conduite,
De la viscosité du liquide,
1- Mise en évidence
Ainsi, dans une installation hydraulique, le débit d’un liquide provoquera :
- des chutes de pression dues aux longueurs de tuyauteries droites: « pertes de
charge linéaires (hl)»,
- des chutes de pression dues à tous les incidents de parcours: « pertes de charge
singulières (hs)»,
Pertes de charge totales: sl hhh
Contrairement à une surface lisse, une surface rugueuse implique un état
de surface dont les irrégularités ont une action directe sur les forces de
frottements .
Une surface rugueuse peut être considérée comme étant constituée par
une série de protubérances élémentaires caractérisées par une hauteur ,
notée k , et appelée ‘’ Rugosité ‘’ :
2- Les pertes de charge linéaires
a- Notion de rugosité des conduites
Afin de comparer la rugosité par rapport au diamètre de la conduite , on introduit le
rapport : relative : RugositéD
k K= Rugosité absolue
k
La perte de charge linéaire est calculée par la formule de Darcy – Weisbach ( 1857 ) :
Plusieurs formules sont proposées pour le calcul de et dépendent du régime d’écoulement :
g
V
D
Lhl
2
2
b- Expression de la perte de charge linéaire:
- L = Diamètre de la section d’écoulement ( m ) - L = Longueur de la conduite ( m ) - V = Vitesse d’écoulement ( m/s ) - = Coefficient de frottement ( sans unité )
Perte de charge en régime laminaire :
Perte de charge en régime turbulent: Parmi les formules de calcul du coefficient λ on trouve:
Formule de Colebrook – White :
Diagramme de Moody : Les travaux de Nikuradse sur les pertes de charge dans les conduites ont permis d’élaborer un graphique ( Diagramme de Moody ) permettant de déterminer le coefficient λ en fonction de Re pour les différents types d’écoulement et des rugosités relatives k/D allant de 1/30 à 1/1014 :
eR
64
eRD
k 51,2
71,3log2
1
Formule de Poiseuille
Détermination du coefficient de perte de charge en écoulement laminaifre (Poiseuille-Haggen)
laminaire) écoulementen Poiseuille de (32
2Formule
gD
LVh m
t
gD
V
L
h
m
t
2
2
g
V
VDg
V
V
g
gD
V
gD
V
L
h m
m
m
m
mmt
2
64
2
2*
3232 2
2
2
222
VDRqueSachant e :
g
V
DRL
hoùd
m
e
t
2
64'
2
:Ainsi
La perte de charge par unité de longueur, Δht / L (Darcy-Weisbach) , s’exprime généralement sous forme d’un coefficient sans dimension, dit coefficient de perte de charge défini par :
eR
64 Formule de¨Poiseuille
Régime turbulent Régime laminaire
2
eR
64
D
kD
k
Re
Rugosité relative
eRD
k 51,2
71,3log2
1
Zone de turbulence rugueuse
Diagramme de MOODY
eR
51,2log2
1
D
k
71,3log2
1
c.1- Formule de Chézy :
La formule de Chézy est inspirée de celle de Darcy-weisbach :
En introduisant la notion de ‘’ Rayon hydraulique ‘’ R égal au rapport entre la surface A et le périmètre d’écoulement P
hh RDD
D
D
P
SR 4
44
2
hh
lgR
LV
gR
LV
g
V
D
Lh
8242
222
ehydrauliqu : pentejjL
hl
c- Autres expressions de la perte de charge linéaire:
posons :
222 8
88C
gposons
Rg
Vj
gR
Vj
hh
:'oùd
)/( : 5,0 smChézydetCoefficienC
)/(2
2
mlmRC
Vj
h
c.2- Formule de Manning- Strickler (expérimentale):
)/(mStrickler Manning de :1
:1
:que trouvéa Manning C de valeur laalement expériment
0,5
6/1
stCoefficienkn
kposons
rugositédetcoefficiennRn
C
cherchantEn
h
3/42
2Vj
hRK
Nature des parois n 1/n
Béton lisse 0.0133 75,19
Canal en terre, enherbé 0.02 50
Rivière de plaine, large, végétation; peu dense
0.033 30,3
Rivière à berges étroites très végétalisées
0.1-0.066 10-15,15
Lit majeur en prairie 0.05 -0.033 20-30,30
Lit majeur en forêt < 0.1 < 10
872,4
852,1
9 110135,1
DC
Qj
j: Perte de charge linéaire par unité de longueur en m/m Q: Débit d'écoulement en m3/h ; C: Coefficient de rugosité dépendant de la nature de la conduite D: Diamètre intérieur de la conduite en mm ;
872,4
852,11
675,10DC
Qj
Q : Débit d'écoulement en m3/s D : Diamètre intérieur de la conduite en m
Nature du tuyau C
PVC 150
PE 145
Acier revêtu 130-150
Fonte revêtue 135-150
Aluminium 120
Fonte encrassée 80-120Coefficient C de Hazen Williams
Coefficient ks de Scoby
Nature du tuyau Ks
Alliage Aluminium 0,4
Plastique 0,37
Acier revêtu 0,42
9,49,1 ***716,0 DQkj s
Q : Débit d'écoulement en l/h
D : Diamètre intérieur de la conduite en mm
Q: Débit d'écoulement en m3/s
D: Diamètre intérieur de la conduite en m 9,49,1 ***75,40 DQkj s
j: Perte de charge linéaire par unité de longueur en m/m
75,175,4478,0 QDj 75,175,4452,0 QDj
Cas de canalisations en polyéthylène (PE) Cas de canalisations en polychlorure de vinyle (PVC)
j: Perte de charge linéaire par unité de longueur en m/m; D : diamètre intérieure (mm); Q: débit de la rampe (l/h)
c.3- Formule de Scoby:
c.4- Formule de Hazen-Williams:
c.5- Formule Blasius:
)/(:k 10*5087,2 9,18,0
s1,1
9,13 smScobydetCoefficien
D
Vkj s
)/( :C 818,6 37,0
HW167,1852,1
852,1
smWilliamsHazendetCoefficienDC
Vj
HW
Débit (mètre cube/ h)
Diamètre nominal (mm)
ABAQUE POUR TUYAUX EN POLYETHYLENE BASSE DENSITE
ABAQUE POUR TUYAUX EN PVC
Débit (mètre cube/h)
nm
n
m
DQkD
Qkj
•Formule générale de pertes de charge linéaires unitaires:
•Pertes de charge linéaires totales: hl =J = j * L
mg
V
D
Lhl 91,1
81,9.2
886,1.
9,0
500019,0
2
22
Exemple:
k
En utilisant les paramètres de l’exemple précédent, calculer la perte de charge en appliquant la formule de Manning, en considérant n= 0,012 pour une conduite en acier soudé.
mLjJoùd
mRK h
87,100374,0*500*:'
00374,09,0
012,0*886,1*4Vj
3/4
223/4
3/42
2
Exemple:
k
J
n
J
La présence d’une singularité (d’un obstacle) sur l’écoulement dans une conduite comme un coude, un diaphragme, un élargissement brusque, une contraction, etc. crée un ΔP local appelé perte de charge singulière. Dans la pratique industrielle, cette perte de charge est écrite sous la forme : où le coefficient de perte de charge K, qui dépend de la géométrie et du nombre de Reynolds, est donné dans des formulaires appelés « dictionnaires de pertes de charge ». Quelques singularités typiques sont reproduites ci-dessous.
g
Vkhs
2
2
3- Les pertes de charge singulières
Exemple de calculs des pertes de charges dans un élargissement ou un rétrécissement brusque
diamètrepetit plus de conduite la dans liquidedu tesse:
221
21
21
2
)(
1
2
1
2
1
2
22
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
21
viV
g
Vk
g
V
D
d
g
V
S
S
g
V
V
V
g
VVhs
S1 ; V1 S2 ; V2
Acc
esso
ires
Raccordement mixte
filetage male
Raccordement mixte
filetage femelle
Raccordement droit
Raccordement de réduction
T égal
T réduit
T
Filetage femelle
Relais coude
90°
Coude 90°
filetage male
Coude 90°
filetage femelle
Bouchon final
Accessoires
Généralisation de l’équation de Bernoulli :
j
j
j
i i
iii
g
Vk
gD
VLz
g
V
g
pz
g
V
g
p
2222
22
2
2
221
2
11
Représentation graphique du théorème de Bernoulli dans un circuit avec pompe en aspiration (pertes singulières négligeables)
Représentation graphique du théorème de Bernoulli dans un circuit avec pompe en considérant les pertes de charge linéaires et singulières.
Hr (CD) : perte de charge linéaire dans le tronçon CD
Hs (coude F) : perte de charge singulière au droit du coude F
Théorème de Toricelli: On considère un réservoir rempli d’eau à une hauteur H= 3 m , muni d’un petit orifice à sa base de diamètre d= 10 mm.
1) En précisant les hypothèses prises en comptes, appliquer le théorème de Bernouilli pour un écoulement parfait pour trouver la vitesse V2. 2) En déduire le débit volumique Qv en (l/s) en sortie de l’orifice.
X- APPLICATIONS DE L’EQUATION GÉNÉRALE D’ECOULEMENT
smgHVoùd
pppV
zg
V
g
pz
g
V
g
p
atm
/67,73*81,9*22:'
;0
22
2
211
2
2
221
2
11
1) Vitesse d’écoulement V2
slSVQ /6,04
)10.10(67,7
23
2
2) Débit volumique
Vidange d’un réservoir à niveau constant: On considère un réservoir cylindrique de diamètre intérieur D = 2 m rempli d’eau jusqu’à une hauteur H = 3 m. Le fond du réservoir est muni d’un orifice gueule bée de diamètre d = 10 mm et de coefficient de pertes de charge k=1, permettant de faire évacuer l’eau. Calculer:
1) la vitesse d’écoulement V2 en supposant que le diamètre d est négligeable devant D ? 2) En déduire le débit volumique en négligeant l’effet de contraction de la section de sortie ?
2
2
12
2
1
2
44V
D
dVV
dV
D
smgH
D
dk
gHVoùd
g
Vkz
g
Vz
D
d
g
Vppp
hzg
V
g
pz
g
V
g
p
atm
s
/42,5
1
2:'
222
22
42
2
22
2
21
42
221
2
2
221
2
11
1) Vitesse d’écoulement V2:
smSVQ /10.25,44
01,042,5 34
2
2
2) Débit volumique:
On considère un réservoir circulaire de diamètre D1= 6 m muni à son fond d’un orifice de vidange circulaire de diamètre D2= 0,6 m , ayant un coefficient de débit m=0,6 Initialement, ce réservoir est rempli jusqu'a une hauteur initiale H1= 6 m. Quel est le temps nécessaire pour vidanger le réservoir ?
Temps de vidange dans un réservoir à niveau variable:
H
gh
dh
mS
Sdt
QQécoulement
ghmSQ
dt
dhS
dt
dVQ
se
tsor
entrant
2
permanenet
2
2
1
2tan
1
mns
gHD
HD
gHmS
HStou
gmS
HS
gmS
S
h
dh
gmS
Sdtt h
H
H
t
t
318426,0
*2
initialdébit
initial Volume2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
12
11
2
11
02
1
0
2
11
1
2
1
On considère un siphon de diamètre= 2 cm. En négligeant les pertes de charge dans le siphon, calculer les pressions relatives aux points 2 et 3 et la vitesse au point 2 ?
m -0,5m 5,000
2
22
24
2
2
2
442
4
2
442
2
22
zzg
VV
g
p
g
p
zg
V
g
pz
g
V
g
p
m-1m 0,5-m 5,002
22
32
2
3
2
223
3
2
332
2
22
zzg
VV
g
p
g
p
zg
V
g
pz
g
V
g
p
smgV
zzg
V
g
pp
g
V
zg
V
g
pz
g
V
g
p
/13,35,02
5,022
22
2
21
2
121
2
2
2
2
221
2
11
Siphon de vidange :
Le tube de Venturi:
En négligeant les pertes de charge, calculer le débit dans la conduite :
Hzg
ppzz
g
VV
zg
V
g
pz
g
V
g
p
1212
2
1
2
2
2
2
221
2
11
2
22
HzS
S
g
VHz
g
V
S
S
g
VDonc
VSVSSachant
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2211
1222
:
:que
zHg
S
S
SarzHg
S
S
V
2
1
Q:conséquent p 2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
2
Remarque : Dans la plupart des cas , le débitmètre de Venturi est placé horizontalement ce qui fait que Z1 = Z2 et donc : ΔZ = 0 et la formule précédente se simplifie :
Hg
d
d
dHg
S
S
S
2
1
2
1
Q
4
4
1
2
2
2
2
1
2
2
Conduite à section constante (conduite simple)
On se propose d’établir l’expression du débit d’écoulement du système : Application de l’équation de Bernoulli entre les sections 1 et 2 par rapport à OO’ :
Branchements de conduites
a- Sortie à l’air libre
K
hg
VHzzVppp
hzg
V
g
pz
g
V
g
p
atm
20;
22
2
21121
2
2
221
2
11
gH
kD
L
DQou
gH
kD
LV
g
Vk
D
L
g
Vk
gD
LV
g
Vh
g
VH
2
1
:
2
1
1
21
2222
4
2
22222
b- Sortie immergée :
On se propose d’établir l’expression du débit d’écoulement du système : Application de l’équation de Bernoulli entre les sections 1 et 2 par rapport à OO’ :
Patm
Patm
K1 K2
hHzzVVppp
hzg
V
g
pz
g
V
g
p
atm
212121
2
2
221
2
11
0;
22
gH
kkD
L
DQou
gH
kkD
LV
g
Vkk
D
L
g
Vk
g
Vk
gD
LVhH
2:
21
2222
41
2
21
2
21
2
2
2
1
2
a- Branchement en Série
Equation de Bernoulli entre les sections 1 et 2 par rapport à OO’ :
Patm
Patm
Conduite à section variable (conduites multiples)
K1
K2
K3
hHzzVVppp
hzg
V
g
pz
g
V
g
p
atm
212121
2
2
221
2
11
0;
22
g
Vk
g
Vk
g
Vk
gD
VL
gD
VL
hhhhhH sssll
22222
2
23
2
12
2
11
2
2
222
1
2
111
32121
gH
S
Skkk
S
S
D
L
D
L
Voùd
S
Skkk
S
S
D
L
D
L
g
V
S
S
g
Vk
g
Vk
g
Vk
S
S
gD
VL
gD
VL
VS
Sor
21
:'
2
22222 H
V :
2
2
1321
2
2
1
2
22
1
11
1
2
2
1321
2
2
1
2
22
1
11
2
1
2
2
1
2
13
2
12
2
11
2
2
1
2
2
122
1
2
111
1
2
12
gH
S
Skkk
S
S
D
L
D
L
DQoùd 2
4
:'2
2
1321
2
2
1
2
22
1
11
2
1
Conclusion : Cas de n conduites placées en série : - Les pertes de charge s’ajoutent : h = h1 + h2 + … hn
- Les débits sont égaux : Q = Q1 = Q2 = … = Qn
2211
2
21
2
2
221
2
11
:
:
LkLkQHdonc
QQQcomme
LQkLQkHh
2211 LkLk
HQ
n
ii LK
HQ
1
Et la formule générale de calcul s’écrit :
b- Branchement en Parallèle :
Equation de Bernoulli entre les sections 1 et 2 par rapport à OO’ :
Dans le cas d’un branchement en parallèle : - Les pertes de charges sont égales : h1 = h2 = h - Les débits s’ajoutent : Q = Q1 + Q2
Patm
Patm
et d’une manière générale :
2
2222
2
222
1
1111
2
111
L
hkQLQkh
L
hkQLQkh
HL
k
L
kQdonc
Het
L
hk
L
hkQQQ
2
2
1
1
21
2
22
1
1121
:
hh comme
n
i
i
L
kHQ
1
c- Branchement Mixte ( Série et Parallèle )
Patm
Patm
4
2
4443
2
3312
2
2221
2
111 ;;; LQkhLQkhLQkhLQkh llll
421
32
4321
hH
hhhh
hh
QQQQQ
lll
ll
3322
2
33
3
22
232
4
2
441
2
1141
11:QQ:comme
LkLkh
Lk
h
Lk
hQalorsQet
LQkhLQkhalorsQComme
lll
ll
2
3322
2
2
11
LkLk
Qhl
et finalement , puisque : H = h = h1+ h2+ h4
2
3322
4411
2
4
2
42
3322
2
1
2
1
11
1
11
LkLk
LkLkQLQk
LkLk
QLQkH
et donc :
2
3322
4
2
41
2
1
11
1
LkLk
LQkLQk
HQ
d- Conduite assurant un service de route :
i: nombre de tronçons; e: écartement entre 2 sorties D: diamètre de la conduite L: longueur de conduite q: débit de sortie uniforme
routeen service de pasavait y n' ils' totalecharge de perte la deréduction de :
**3
1
2
2
tcoefficienF
FLjN
iLkQh
N
e
i+1 Qi i-1
L
NeL
iNN
NqNkeieqkhh
NNN
i
1
2
2
2
1
22
1
)(
Nombre de
sorties
Darcy-weisbach
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
22
24
26
28
30
35
40
1
0,625
0,518
0,469
0,440
0,421
0,408
0,398
0,391
0,385
0,380
0,376
0,373
0,370
0,367
0,365
0,363
0,361
0,360
0,359
0,357
0,355
0,353
0,351
0,350
0,347
0,345
Coefficients de réduction F à utiliser suivant le nombre de sorties N. Formule de pertes de charge utilisée: Darcy-Weisbach
3
1
2
N
i
F
N
e- Conduites assurant un branchement de réservoirs multiples:
872,4
)(
852,1
)/(
)/(
1675,10
3
mHW
sm
mmDC
Qj
- Formule de Hazen-Williams:
54,054,0
54,0872,4852,154,0
54,0872,4852,1
54,0
**094,0
67,10
*
Kj
DCj
DCjQ
HW
HW
CPe3
CPe2
CPe1
R3
R2
R1
O
CPeO
:retienton 10)(10- 3
321
-3 QQQsi
:nouveau de supposeon sinon
104
146,7 133,8
R1
R3
R2
O
Exemple:
Déterminons les débits dans les conduites de l’installation hydraulique ci-contre ?
Etablir un tableau de calcul des débits.
Vérifier l’équation de la continuité en adoptant une précision appropriée (±10-3)
Vérification:
-10-3≤ Q1- (Q2 + Q3)≤10-3
Q1- (Q2 + Q3) = 0,422-(0,103+0,321)
= -0,001
104
146,7
133,8
R1
R3
R2
O
CPeO
CPe CPeO
supposée
h L j j0,54 CHW D K K0,54 Qi
(m) (m) (m/m) (m) (m3/s)
R1 146,7
136,15
10,55 400 0,026 0,14 120 0,4 7,69 3,008 0,422
R2 133,8 2,35 300 0,008 0,073 120 0,3 1,89 1,412 0,103
R3 104 32,15 500 0,064 0,227 120 0,3 1,89 1,412 0,321
Q1-(Q2+Q3) -0,001
Solution:
a) Un ingénieur a identifié une bonne source d’eau située à une cote Z1=1000 m. Il peut faire écouler cette eau d’une manière gravitaire pour remplir un réservoir de stockage. Supposons que le débit de la source soit limité à une valeur Q=1 m3/s. Le diamètre de la canalisation de branchement de 1 km de longueur a été fixé à 0,6 m. Le matériau de la conduite est la fonte (rugosité relative k=0,06 m). En négligeant les pertes de charge singulières, à quelle cote Z2 placer le réservoir de stockage ?
5
2
1
2
112
2121
2
2
221
2
11
0827,02
0Vet
22
D
LQz
gD
LVzhzz
Vpp
hzg
V
g
pz
g
V
g
p
10.86,1;10Re;: 64
/4
f
D
kf
DQ
m 38,986z :';0128,0Moody de 2 oùdDiagramme
f- Particularité de l’équation de Darcy:
sm /10.14,1 26
Régime turbulent Régime laminaire
2
eR
64
D
kD
k
Re
Rugosité relative
eRD
k 51,2
71,3log2
1
Zone de turbulence rugueuse
Diagramme de MOODY
eR
51,2log2
1
D
k
71,3log2
1
0,0128
b) On traite le même problème que précédemment sauf qu’on suppose maintenant que la cote Z2=986,38 m est connue. Les autres paramètres étant inchangés, on demande de calculer le diamètre de la conduite qui devient l’inconnue du problème ?
0827,05
2
21D
LQhzz
C’est une formule qui n’est pas explicite pour calculer le diamètre, d’où on doit recourir aux calculs itératifs
10.11,1
;10.6
Re;:63
/4
DDf
D
kf
DQ
DETERMINATION DU DIAMETRE
Problème : 2 inconnues le coefficient de perte de charge linéaire λ et le diamètre D. Etapes de solution
λ = λi
λj= λi Oui
No
n
Nouvelle valeur de λ (λ = λi+1)
22
22
42
2
Dg
Q
D
L
g
V
D
Lh
Ahg
LQD
2
25 8
D
A
Dv
Q
v
VDRe
'14
Di ; Rei
i
eijD
kRf ,iDD
:'62,13*81,9*
1*1000*88
8
2
2
2
2
25
52
22
oùdAhg
LQD
gD
LQ
gD
LVh
:'1
10*14,1*
1*4146
'
oùdDD
A
Dv
Q
v
VDRe
07,65 D
DRe
3,443.117.1
D5 D(m) Re
0,03 0,1821 0,711 1570954,14
0,01 0,0607 0,571 1956986,18
0,0128 0,0777 0,600 1862712,22
0,013 0,0789 0,602 1856945,20
c) On suppose cette fois que les altitudes de la source et du réservoir du problème précédent sont imposées et que le diamètre de la conduite a été fixé a priori. Le seul inconnu du problème est maintenant le débit d’écoulement.
6,0
0827,05
2
21
LQhzz
C’est une formule qui n’est pas explicite pour calculer le débit, d’où on doit recourir aux calculs itératifs
10.86,1;6,0
10.6Re;: 6
3
/4
QfD
kf
DQ
DETERMINATION DU DEBIT
Problème : La débit Q et le coefficient de perte de charge linéaire λ sont inconnus.
Etapes de solution
5
2
0827,0D
LQh i
j Dv
QR i
ie
4
D
kfR iei ,
h; D; L; ; k
k / D
λ = λi
Qi λj
λj= λi
L
DhQQ
j
i**0827,0
* 5
Ou
i
Non
Nouvelle valeur de λ (λ = λi+1)
Reprenons les mêmes problèmes que ceux vus précédemment en utilisant cette fois la formule de Hazen-Williams . La constante CHW= 140 pour la fonte.
m
D
L
C
Qzhzz
38,9866,0
1000*
140
1*1000*67,101000
67,10
872,4
852,1
872,4
852,1
112
mC
Q
zz
LD
D
L
C
Qhzz
WH
6,0140
1
62,13
1000*675,10675,10
675,10
87,4/1852,1
87,4/1852,1
.21
872,4
852,1
21
sm
L
DzzQ
D
L
C
Qhzz
/11000*675,10
6,0*62,13
675,10
675,10
3
852,1/187,4
852,1/187,4
21
872,4
852,1
21
Il permet de comprendre pourquoi un tuyau souple par exemple se met à se tortiller lorsqu’on ouvre le robinet, ou encore d’avoir une idée des forces que subissent les canalisations lors du passage d'un fluide.
Théorème d’Euler en régime permanent )( esmext VVQF
XI- THEOREME D’EULER
dsnVVdVdt
Vd
dt
VdmF
SVm
ext
sextérieure forces des somme:
liquidedu volumiquemasse:
considéréesection la dans écoulementd' vitesse:
sextérieure surfacesaux unitaire normale:
extF
V
n
n1 n2
nl
Théorème de quantité de mouvement appliqué au volume de fluide isolé compris entre les sections d’entrée (Se) , de sortie (Ss) et latérale (SL)
esvseseext
extse
ext
VVQVVVVdsVVdsVVF
FdsVVdsVV
FdsVVdsVVdsVV
ssee
S
s
S
e
S
s
S
e
S
LLL
S
2ss
S
1ee
SS
0
nnn
se
se
Lse
a- Convergent progressif:
Déterminons la force exercée par le fluide sur la canalisation ?
oncanalisatifluideF
Forces exercées sur le système:
Poids ; forces de pression sur les sections Se et Ss; force exercée par la canalisation sur le fluide= oncanalisatifluideF
Exemple:
fluidecanalisSsprSepresm
fluidecanalisSsprSepresm
esmext
FFFVVQ
FFFPVVQ
VVQF
...
...
)(
:eaul' de poids le négligeantEn
)(
)(
iSpSpVVQF eessesmfluidecanalis )(.
iVViVViSpFiSpF sseessSspreeSepr ;;; ..
D’où:
Projetons sur un axe iO,
iSpSpVVQF eessesmcanalisfluide )(.
b- Coude:
Le poids de l’eau est négligeable La section d’entrée est identique à la section de sortie Se=Ss.
),,( jiO
x
y
se
e
F
Ffluidecanalis
Sp
Sspr
Sp
SpSepr FFF
.0
.
cos
sin. ;;
SVQVV m
v
s
v
ve
;;
0
cos
sin
Ce qui donne:
cos1
sin
2
2
SpVF
SpVF
x
y
On en déduit:
pVS
VpScanalisfluideF
2
2
1cos
)sin.
Déterminons la force exercée par le fluide sur la canalisation ?
oncanalisatifluideF
Dans le repère :
Déterminer les caractéristiques de l’action de l’eau sur le Té.
On donne :
P0 = 1092,6 kPa ; P1 = 1092,7 kPa ; P2 = 1089,4 kPa
On néglige le poids de l’eau dans l’élément de volume
30° O
x
Z
200 150
S2
S0 S1
34 l/s
28,3 l/s
b- Té oblique:
222111000
S
22
S
11
S
00 VSVSVVVV
210
VVSVdsVdsVdsVFext
O x
Z
30° F0
V0
n0
V1
n1 200 150
F1
extFdsdsdsds
L210 S
LLL
S
222
S
111
S
000 nVVnVVnVVnVV
:mouvement de quantité la de intégral termele abordd' Evaluons
extFdsVdsVdsV
0VV)('V
210 S
22
S
11
S
00
30sinV30sin
30sin0030sinV00
: Oz axel'sur Projection
222
222
QFR
RFQ
z
z
idesur le flucoudeAction du
SsurpressiondeForce
SsurpressiondeForce
SsurpressiondeForceiquidePoids du l
ext RFFFgMF )(
:sextérieure forces les Evaluons
210
210
RFFFQQQ
RFFFVVSV
210221100
210222111000
VVV
VSVSV
30cosVVV30cos
30cos30cosVVV
:Ox axel'sur Projection
221100210
210221100
QQQFFFR
RFFFQQQ
x
x
NR
N
R
oùd
z
x
171162
19,0103,2810
2
134207
579142
390,0103,2810
1,9210341098,1103,62102
3207343001930834
:'
33
33
3333
NSPF
smD
Q
308344
2,014,3106,1092
/98,12,014,3
103,283444V
2
3
000
2
3
2
0
00
NSPF
smD
Q
300194
15,014,3107,1092
/92,115,014,3
103444V
2
3
111
2
3
2
1
11
NSPF
smD
Q
207344
2,014,3104,1089
/90,02,014,3
103,2844V
2
3
222
2
3
2
2
22
6,4914579
17116 angleun ehorizontall' avecfait action d' droite La
0z deset 0 xdes Sens
483221711614579
:que telle force une à soumisest Té Le
2222
arctgR
Rarctg
NRRR
R
x
z
zx
49,6°
zR
xR
R