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IntroductionForces exercées sur une particule de uide

Fluides parfaitsEcoulements

Exercice

Dynamique des uides

Mécanique des uides

Saint Louis PC*1

année scolaire 2018-2019

Mécanique des uides Dynamique des uides



Exercice

ProblématiquePlan

Comment s'écoulent les liquides dans les tuyaux ?




Exercice

ProblématiquePlan

1) établir l'équation de Navier-Stokes




Exercice

ProblématiquePlan

2) se demander si la viscosité est à prendre en compte




Exercice

ProblématiquePlan

3) étudier les écoulements parfaits




Exercice

Forces volumiquesPressionViscositéÉquation de Navier Stokes

Force volumique ou massique de pesanteur

un petit élément de volume d3τ a un poids d3~P = µ.~gd3τ ,




Exercice


Force volumique ou massique de pesanteuron peut donc associer au poids :

une force volumique :−→f v = µ~g

une force massique :−→f m = ~g




Exercice


Force volumique ou massique de Coriolis :

si l'étude se fait dans un référentiel R non galiléen, il faut considérer aussi la force

de Coriolis à laquelle est soumis d3τ . Celle-ci est d3~fiC= −2.µ.d3τ.~Ω ∧ ~v , où

~ΩR/Rgest le vecteur rotation de R par rapport aux référentiels galiléens et ~v la

vitesse locale du uide (dans R).




Exercice


Force volumique ou massique de Coriolis :On peut donner pour la force de Coriolis :

une force volumique :−→f v = −2µ ~ΩR/Rg

∧ ~vune force massique :

−→f m = −2 ~ΩR/Rg

∧ ~v




Exercice


Forces surfaciquesun volume V de uide délimité par une surface fermée Σ ressentdes forces de surface de la part de son environnement. Sur

l'élément innitésimal d2Σ s'exerce−−→d2F qui a une composante

normale, liée à la pression P , et une composante tangentielle, laforce de viscosité.




Exercice


Force volumique ou massique de pressionla résultante des forces de surface exercées sur un volume V de uide délimité parune surface fermée Σ est

∫∫©−P.

−−→d2Σ =

Σ

−P d2Σ =

y

V

−−→grad(−P) d3τ




Exercice


Force volumique ou massique de pressionon associe aux forces de surfaces pour un uideparfait (sans viscosité) :

une force volumique :−→f v = −

−−→grad(P)

une force massique :−→f m = −

−−→grad(P)

µ




Exercice


Ecoulements barotropesSi l'on réussit à trouver une relation µ = f (P), on parlerad'écoulement barotrope. Dans ce cas, on pourra écrire :

−−→grad(P)

µ=−−→grad (ϕ(P))




Exercice


Constatations expérimentales de la viscositési l'on jette de l'eau sur une table, celle-ci glisse puis s'arrête. Ainsi,il existe des forces tangentielles (dites forces de viscosité ou decisaillement) exercées par les couches de uides les unes sur lesautres. De même, si l'on réitère l'expérience avec de l'huile, oumieux encore avec du miel, la distance parcourue par le uide sur latable est plus courte : ces forces de viscosité dépendent de la naturedu uide.Plus généralement, toutes les expériences montrent que :

• la vitesse d'écoulement d'un uide est une fonction continue dutemps mais aussi de l'espace,• la vitesse relative du uide au contact d'un solide est toujoursnulle,

ce qui n'était pas vrai dans le cas du uide parfait.Il nous faut donc prendre en compte la viscosité du uide pours'approcher du comportement réel d'un uide.




Exercice


Forces exercées entre veines de uide dans le cas d'unécoulement unidimensionnel

un écoulement unidimensionnel.




Exercice


Expression des forces de viscosité pour unécoulement unidimensionnel (dénition)on peut écrire que la force de viscosité exercée par laveine lente (pour y < y0) sur la surface S de cote y0qui la sépare de la veine rapide (pour y > y0) est

Fx = −η S ∂vx∂y

où η est par dénition, le coecient de viscositédynamique du uide.




Exercice


Interprétationla force de viscosité tend à accélérer les veines lentes et à ralentirles veines rapides. On parle aussi de force de cisaillement. Ellestendent à homogénéiser la vitesse.NB : les forces de viscosité sont donc nulles pour un uide aurepos. La viscosité ne joue donc aucun rôle dans l'état d'équilibred'un uide, contrairement à la pression.




Exercice


Fluide newtonienon se restreindra aux uides newtoniens, pour lesquels la viscositéne dépend pas du champ des vitesses (seulement de la nature duuide et de sa température).




Exercice


Viscosités dynamique et cinématique (dénition)la viscosité dite dynamique se note η. Elle est positiveet s'exprime dans le système international en poiseuille

1 Pl = 1 Pa · s

La viscosité cinématique est le rapport de la viscositédynamique sur la masse volumique :

ν =η

µs'exprime en m

2 · s−1

ν a la dimension d'un coecient de diusion.




Exercice


Exemples de valeurs de viscosités

uide air eau glycérine graisse

η en Pl 18× 10−6 1, 0× 10−3 0, 870 103

ν en m2 · s−1 15× 10−6 1, 0× 10−6 635× 10−6 1

Table Quelques viscosités dynamiques η et cinématiques ν à 20C etP = 1atm




Exercice


La viscosité dépend de la température

température 10C 20C 30C 40C 50C 60C 70C

huile de ricin 2420 986 451 231 125 74 43

huile d'olive 138 84 52 36 24, 5 17 12, 4

Table Quelques viscosités dynamiques η (en mPl) en fonction de latempérature




Exercice


Forces de cisaillement dans le cas d'un écoulementunidimensionnel

le système est un parallélépipède rectangle d'épaisseur dy suivantOy et de surface S pour les plans de cote y0 et y0 + dy .




Exercice


Équivalent volumique des forces de viscosité pour un uide newtonienglobalement, la force de cisaillement est :

~Fcis = η.S.

[∂vx (y0 + dy)

∂y−∂vx (y0)

∂y

].~ux = η.S

∂2vx

∂y2dy~ux = η.S.dy∆vx~ux

Pour un écoulement unidimensionnel, ~v = vx ~ux , la force de cisaillement exercée surun volume élémentaire d3τ = S dy est

~Fcis = η S dy ∆vx ~ux

On généralise




Exercice


Équivalent volumique des forces de viscositépour un uide newtonienL'équivalent volumique des forces de viscosité pour unuide newtonien en écoulement incompressible est :

~Fcis = ~fcis d3τ avec : ~fcis = η∆~v




Exercice


Equation de Navier Stokes dans le cas d'un référentiel galiléenen écrivant le théorème de la résultante cinétique appliqué à un petit élément devolume d3τ , on trouve :

µD~v

Dt= Σ~fv

Dans le cas de l'étude dans un référentiel galiléen, seuls le poids et les forces de

contact (pression et viscosité) interviennent a priori. On peut donc transformer la

précédente expression en




Exercice


Equation de Navier Stokes dans le cas d'unréférentiel galiléen

µD~v

Dt= µ~g −

−−→grad(P) + η∆~v

NB :

D~vDt =

=

∂−→v∂t +

(−→v · −−→grad)−→v

∂−→v∂t +

−−→grad

(v2

2

)+−→rot(−→v ) ∧ −→v




Exercice


Equation de Navier Stokes dans le cas d'un référentiel nongaliléensi l'étude se fait dans un référentiel R non galiléen, avec ~ΩR/Rg

levecteur rotation de R par rapport aux référentiels galiléens, il fautajouter dans le second membre de l'équation d'Euler la force deCoriolis. Soit :

µ.D~v

Dt= µ.~g −

−−→grad(P) + η.∆~v − 2.µ.~ΩR/Rg

∧ ~v




Exercice


Interprétation des diérents termes dans l'équation de NavierStokeson reconnaît

• ∂−→v∂t : le terme d'inertie dit instationnaire dû à la variationtemporelle du champ des vitesses ;

•(−→v .−−→grad

).−→v : le terme d'inertie de convection dû au transport

de quantité de mouvement par l'écoulement (terme qui confèreà l'équation de Navier - Stokes un caractère non linéaire) ;

• −−−→grad(P)

µ : le terme dû au champ de pression ;• ~g : le terme dû au champ de pesanteur,• ν.∆~v : le terme dû à la viscosité, rendant compte de la diusionde la quantité de mouvement.




Exercice


Comparaison entre les équations d'Euler et de Navier Stokeson trouve l'équation d'Euler à partir de l'équation de Navier Stokessi on considère le uide comme parfait, c'est à dire sans viscosité.




Exercice


Caractéristiques de l'équation de Navier Stokesl'équation de Navier Stokes est une équation diérentiellevectorielle (c'est à dire qu'elle donne trois équations diérentiellesscalaires). De plus, cette équation est non linéaire (à cause du

terme en v2 apporté par(−→v .−−→grad

).−→v ).

On pourra souvent, lors de l'étude de petites perturbations(ondes...), négliger ces termes non linéaires.




Exercice

Équation d'EulerRelation de BernoulliApplications de la relation de Bernoulli

Fluide parfait (dénition)Un uide parfait est un uide sans viscosité.L'évolution des particules de uide est alorsisentropique.L'équation de Navier Stokes sans viscosité s'appellealors équation d'Euler.




Exercice


Equation d'Euler dans le cas d'un référentiel non galiléensi l'étude se fait dans un référentiel R non galiléen, avec ~ΩR/Rg

levecteur rotation de R par rapport aux référentiels galiléens, il fautajouter dans le second membre de l'équation d'Euler la force deCoriolis. Soit :

D~v

Dt= ~g −

−−→grad(P)

µ− 2 ~ΩR/Rg

∧ ~v




Exercice


Equation d'Euler dans le cas statiquesi ~v = ~0, l'équation d'Euler redonne la relation fondamentale del'hydrostatique :

~0 = ~g −−−→grad(P)

µ




Exercice


Equation d'Euler dans le cas d'un "petit" écoulement

On peut négliger la force de Coriolis devant le terme convectif(−→v .−−→grad) .−→v .




Exercice


Equation d'Euler dans le cas d'un "petit"écoulementdans le cas où la taille de l'écoulement est faible(moins d'un kilomètre), même si le référentielterrestre est non galiléen, l'équation d'Euler s'écrira :

D~v

Dt= ~g −

−−→grad(P)

µ




Exercice


Equilibre géostrophiqueDans le cas où on néglige la pesanteur (en se plaçant dans un plan horizontal), etoù l'écoulement est permanent et de grande envergure (un océan), l'équationd'Euler donne une relation d'équilibre géostrophique :

~0 = −−−→grad(P)

µ− 2.~ΩR/Rg

∧ ~v

où le gradient de pression est suivant la force d'inertie de Coriolis horizontale, donc

orthogonal à la vitesse.




Exercice


Equilibre géostrophiqueDans le cas où on néglige la pesanteur (en se plaçantdans un plan horizontal), et où l'écoulement estpermanent et de grande envergure (un océan), leslignes de courant et les courbes isobares sontconfondues.Le uide tourne dans le sens trigonométrique autourdes dépressions dans l'hémisphère nord, dans le senshoraire autour des anticyclones.




Exercice


Lignes de courant et courbes isobares de l'atmosphère dansl'hémisphère nord.

les lignes de courant et courbes isobares de l'atmosphère dansl'hémisphère nord : les deux sont confondues dans le cas del'équilibre géostrophique et le uide tourne dans le senstrigonométrique autour des dépressions dans l'hémisphère nord,dans le sens horaire autour des anticyclones.




Exercice


Relation de Bernoulli




Exercice


Relation de BernoulliOn se souviendra que dans le cas de l'écoulementparfait, stationnaire, incompressible homogène,

v2

2+

P

µ+ g z = cste le long d'une ligne de courant

Si, en plus, l'écoulement est irrotationnel,

v2

2+

P

µ+ g z = cste dans tout le uide




Exercice


Interprétation des termes présents dans la formule deBernoulliOn peut comprendre la relation de Bernoulli comme une loi deconservation énergétique. Les termes présents dans la formule sontautant de types d'énergie :

• Energie cinétique massique : v2

2.

• Energie potentielle massique de pesanteur : g .z .

• Travail massique des forces de pression : ∆(Pµ

).




Exercice


Vidange d'un récipient

l'écoulement d'un uide incompressible depuis un récipient.




Exercice


Loi de TorricelliL'écoulement entre A à la surface libre du uide et B à l'orice peut être considérécomme stationnaire. On peut appliquer la formule de Bernouilli le long de la ligne

de courant entre A et B :v2A2

+ g.zA +PAµ

=v2B2

+ g.zB +PBµ

.Or PA = PB = Patm et zA − zB = h.On a vA ≈ 0, et vB = v .

Aussi, g.h = v2

2, d'où :

v =√2.g.h




Exercice


Loi de TorricelliUn récipient de hauteur h rempli d'un uide parfaitqui s'écoule par un orice très petit devant la sectiondu récipient situé dans le fond de celui-ci a pourvitesse d'écoulement v =

√2.g .h.




Exercice


Vérication de la loi de Torricelli

On peut vérier expérimentalement la formule de Torricelli quidonne la vitesse de chute libre depuis une hauteur h : vB ≈

√2.g .h




Exercice


Principe de l'eet Venturi

la vitesse du uide augmente à cause de la conservation du débit. Cette

augmentation de la vitesse se double, d'après la relation de Bernoulli appliquée le

long d'une ligne de courant A− B par une dépression dans la zone d'étranglement :




Exercice


Principe de l'eet Venturil'écoulement d'un uide dans une conduite (mais cepeut être tout tube de courant) qui se resserre voit lavitesse du uide augmenter. Cette augmentation de lavitesse se double par une dépression dans la zoned'étranglement :

SB < SA ⇒ vB > vA ⇒ PB < PA




Exercice


Principe de l'eet Venturi.

le principe de l'eet Venturi.




Exercice


L'eet venturi

La forte vitesse de l'air au voisinage des objets se caractérise parune faible pression qui tend à "aspirer" ceux-ci.




Exercice


Mesure des débits avec un tube de Venturi

le principe d'un tube Venturi. Le tube de venturi (horizontal)permet de mesurer un débit connaissant la diérence de pressionentre A et B .




Exercice


Le tube de Pitot

un tube de Pitot. Le tube de Pitot (Henri Pitot, ingénieur français,1695 1771) est utilisé en aérodynamique pour mesurer la vitessev d'un écoulement d'air uniforme et stationnaire. C'est un doubletube très n que l'on place parallèlement aux lignes de courant duuide en écoulement.




Exercice


Le tube de Pitot

l'écoulement du uide crée une diérence de pression entre les deuxentrées du tube.




Exercice


Principe de la trompe à eau

une trompe à eau, très utilisée en chimie pour créer une aspirationcar ecace et bon marché (photographie et principe).




Exercice


Principe des vaporisateurs

le principe et une photographie d'un vaporisateur.




Exercice

Nombre de ReynoldsEcoulements laminaires et turbulentsCouche limiteConditions aux limitesQuelques écoulements visqueux

Diusion et convectionL'équation de Navier Stokes si la pression suit la loi de

l'hydrostatique (−−→gradP = µ~g) est :

∂−→v∂t

+(−→v · −−→grad

)−→v = ν ∆~v

L'évolution de la vitesse peut être due à

• la diusion (à cause de la viscosité) :

∂−→v∂t≈ ν ∆~v

• la convection (si la viscosité est négligeable) :

∂−→v∂t≈ −

(−→v · −−→grad)−→v




Exercice


Nombre de Reynolds (dénition)si la dimension caractéristique du problème est L, lavitesse vaut approximativement V , la viscositécinématique ν, on peut dénir le nombre de Reynoldssans dimension :

Re =convection

diusion≈ V L

ν

Il compare les eets inertiels aux eets de viscosité.




Exercice


Exemples de nombres de Reynolds

exemple Re

gros poisson dans l'eau 108

oiseau dans l'air 106

nageur dans l'eau 105

bille dans du miel 10−2

spermatozoïde dans liquide séminal 10−3

bactérie dans l'eau 10−5

glacier 10−11

manteau terrestre 10−20

Table Quelques exemples de nombre de Reynolds




Exercice


Interprétation du nombre de ReynoldsOn peut distinguer deux grands types d'écoulements, diérenciéspar la valeur de leur nombre de Reynolds :

• si Re 1 : la diusion est prédominante (le temps de transportde la quantité de mouvement par diusion est beaucoup pluscourt que par convection) ;• si Re 1 : la convection est prédominante (le temps detransport de la quantité de mouvement par diusion estbeaucoup plus long que par convection).

Notons qu'un uide parfait correspond à Re =∞.




Exercice


Inuence du nombre de Reynolds sur l'écoulement autourd'une sphère immobile

l'écoulement autour d'une sphère immobile. On voit que celui-cidépend fortement du nombre de Reynolds associé.




Exercice


Écoulement laminaire (dénition)Ecoulements à bas nombre de Reynolds, où le termediusif prédomine :

Re < 2000




Exercice


un écoulement laminaire.

un exemple d'écoulement laminaire. Il s'agit d'un écoulementstable : les lignes de courants sont bien dessinées et évoluentlentement au cours du temps. Il peut être permanent ou nonpermanent, il peut présenter un caractère tourbillonnaire (un vortexdans un évier est un écoulement laminaire).




Exercice


Attention !Lorsque le nombre de Reynolds augmente, l'écoulement peutprésenter un caractère tourbillonnaire, il reste cependant laminaire.Il peut se développer des structures tourbillonnaires cohérentescomme une allée de tourbillons dite allée de von Karman.NB : la valeur critique de Re à partir de laquelle le caractèrelaminaire disparait dépend fortement du prol de l'obstacle.




Exercice


Écoulement turbulent (dénition)écoulement à fort nombre de Reynolds où laconvection est prédominante

Re > 2000




Exercice


Ecoulement turbulent

un exemple d'écoulement turbulent. Les écoulements turbulentsprésentent un caractère chaotique où le champ de vitesse possèdeune grande variabilité spatiale et temporelle. Les lignes de courants'entremêlent : l'écoulement est instable. Le caractèretourbillonnaire de ce type d'écoulement est très prononcé.




Exercice


Caractéristiques des écoulements turbulentsCes écoulements sont gouvernés par la convection et les termes nonlinéaires de l'accélération dominent. Ce type correspond égalementà un mélange important et à une dissipation d'énergie à diérenteséchelles (la viscosité jouant à nouveau un rôle dans les petiteséchelles).




Exercice


Transition entre écoulement laminaire et turbulent dansl'espace

Cette transition entre écoulement laminaire et turbulent peutintervenir spatialement : un écoulement peut être initialementlaminaire (et tourbillonnaire) puis devenir turbulent, s'il s'agit parexemple d'un jet accéléré, le nombre de Reynolds augmentant lelong de l'écoulement ce qui permet de comprendre ce passage d'uncaractère laminaire à turbulent. On peut voir sur une photographied'Humphrey Bogart (prise par Karsh) la transition entre unécoulement laminaire (proche de la cigarette) et un écoulementturbulent (loin de la cigarette).




Exercice


Notion de couche limitel'écoulement à grand nombre de Reynolds autour d'un obstacleprésente deux parties aux caractéristiques très diérentes.Près de l'obstacle, une couche limite apparaît où les phénomènes deviscosité dominent. Dans cette couche limite, l'écoulement prendun caractère tourbillonnaire marqué.La vorticité ainsi créée peut être entraînée par convection dans lesillage de l'obstacle. La couche limite ne possède pas la même taillecaractéristique que l'obstacle et présente donc un nombre deReynolds ReCL diérente de celui de l'écoulement principal. Onpeut ainsi observer des couches limites laminaires ou turbulentes.En dehors de cette couche limite, l'écoulement présente uncaractère plus régulier et plus laminaire.




Exercice


Epaisseur de la couche limite (exercice)Considérons le cas d'une plaque plane de très faibleépaisseur et de longueur L placée dans un écoulementuniforme parallèle à la plaque. Supposons quel'écoulement uniforme soit brusquement accéléré de 0à la vitesse constante U. Estimer le temps moyen mis par un élément deuide pour parcourir la totalité de la plaque. Estimer la distance sur laquelle la viscosité permetà la quantité de mouvement de diuser pendant cetemps. Estimer l'épaisseur de la couche limite autour d'unevoiture.




Exercice


Epaisseur de la couche limite (exercice) Le temps moyen mis par un élément de uide pour parcourir la totalité de laplaque est τ = L

U.

Pendant ce temps, la viscosité permet à la quantité de mouvement de diusersur une distance δ telle que

1

τ=

ν

δ2⇒ δ =

√ν τ =

√ν L

U=

L√Re

Pour une voiture : L = 4 m, U = 20 m/s, le nombre de Reynolds vaut

Re = 5× 107 et la couche limite a une taille δ = L√Re

= 0, 5 mm. Ainsi, les forces

de viscosité sont prépondérantes dans une ne couche autour de la voiture et sont

négligeables dans le reste de l'écoulement compte tenu de la valeur du nombre de

Reynolds. On peut alors modéliser l'écoulement par un écoulement parfait.




Exercice


Décollement de la couche limiteon peut observer un décollement de la couche limite lorsque celle-ciatteint une taille de l'ordre de celle de l'obstacle.Les deux zones couche limite - sillage / écoulement horscouche limite sont alors bien délimitées et présentent destrajectoires très diérentes.Pour certains prols (ou inclinaison) d'obstacle, on peut observerun décollement de la couche limite. On observe un décollement dela couche limite avec l'inclinaison de l'obstacle dans laquelle sedéveloppe un écoulement qui devient rapidement instable.Le point de décollement de la couche limite peut évoluer avec lenombre de Reynolds, la couche limite décollant plus rapidement del'obstacle lorsqu'elle est laminaire par exemple.




Exercice


Décollement de la couche limite

Ecoulement d'air autour d'une balle de base-ball avecRe=3400(LM. Pallis et R.D. Mchta).




Exercice


Limite d'un écoulement uide

Le uide est limité par l'interface y = 0 : la normale est y etl'écoulement tangentiel se fait selon x .




Exercice


Condition aux limites cinématique pour un uide

Le uide ne sort ni ne rentre dans l'interface.




Exercice


Condition aux limites cinématique pour un uidela vitesse normale d'un uide (visqueux ou parfait) àune interface est nulle :

(vy )y=0+ = 0




Exercice


Condition aux limites cinématique pour un uide visqueux

la viscosité impose l'adhérence du uide à l'interface.




Exercice


Condition aux limites cinématique pour un uidevisqueuxla vitesse tangentielle d'un uide visqueux à uneinterface est continue :

(vx)y=0+ = (vx)y=0−




Exercice


Condition aux limites dynamique pour un uide visqueuxLa force qu'exerce le uide au dessous de l'interface (y < 0) sur le uide au dessusde l'interface (y > 0) est

~F1→2 = −η1 S

(∂vx

∂y

)y=0−

~ux

De même, la force qu'exerce le uide au dessus de l'interface (y > 0) sur le uideau dessous de l'interface (y < 0) est

~F2→1 = +η2 S

(∂vx

∂y

)y=0+

~ux

Comme ~F2→1 = −~F1→2,

η1

(∂vx

∂y

)y=0−

= η2

(∂vx

∂y

)y=0+




Exercice


Condition aux limites dynamique pour un uidevisqueuxla force tangentielle est continue à une interface :

ηy=0−

(∂vx∂y

)y=0−

= ηy=0+

(∂vx∂y

)y=0+




Exercice


Récapitulatif pour les conditions aux limites

y > 0→ uide visqueux uide parfaity < 0 ↓ (viscosité η) (viscosité nulle)

solide xe (~v)y=0+ = ~0 (vy )y=0+ = 0

η(∂vx∂y

)y=0+

= τ

uide (vy )y=0+ = 0 (vy )y=0+ = 0

non visqueux η(∂vx∂y

)y=0+

= 0

uide visqueux (~v)y=0+ = (~v)y=0− (vy )y=0+ = 0

(viscosité η′) η(∂vx∂y

)y=0+

= η′(∂vx∂y

)y=0−

Table Quelques cas de conditions aux limites




Exercice


Ecoulement unidimensionnel d'un uide visqueux entre unsolide et un uide parfait

un uide visqueux au contact d'un solide (sur la surface xOz) etd'un uide non visqueux (à l'interface y = ys).




Exercice


Ecoulement de Couette entre deux plans solides

On s'intéresse à une couche mince de uide incompressible visqueuxentre deux solides parallèles, l'un xe, l'autre en translation.




Exercice


Ecoulement de Couette entre un plan solide et l'atmosphère

On s'intéresse à une couche mince de uide incompressible visqueuxqui coule le long d'un plan incliné, dont la ligne de plus grandepente fait un angle α avec l'horizontale.




Exercice


Exemple de l'écoulement de Poiseuilleon s'intéresse à un uide visqueux, en écoulement stationnaire dansun tuyau de petit diamètre ou entre deux plaques proches.En première approximation, si le tuyau est cylindrique ou que lesplaques sont parallèles, l'écoulement du uide est partout parallèleaux parois.Le frottement aux parois implique qu'aux échelles macroscopiques,la vitesse du uide y est nulle (condition de non-glissement).Par ailleurs, la pression ne varie pas dans l'épaisseur del'écoulement.




Exercice


Ecoulement de Poiseuille

l'écoulement d'un uide visqueux dans un tuyau de petit diamètreou entre deux plaques proches.




Exercice

Modélisation de l'écoulement de Poiseuille cylindrique

Un uide visqueux de coecient de viscosité dynamique η estcompris dans un cylindre d'axe Oz , de rayon R . On se place dansles coordonnées cylindriques (r , θ, z).On suppose que le problème est à symétrie de révolution : ∂

∂θ = 0.On note PA la pression en z = zA et r = 0. De même,PB = P(r = 0, z = L).




Exercice





Exercice


On suppose l'écoulement stationnaire : ∂∂t = 0.

On suppose l'écoulement incompressible (c'est un liquide) :div~v = 0.On suppose l'écoulement unidimensionnel : ~v = vz (r , z).On néglige la pesanteur.1) Montrer que la vitesse ne dépend pas de z .




Exercice


2) En déduire que l'accélération d'une particule de uide est nulle.

3) Déterminer le champ de pression dans le uide.4) Déterminer le champ des vitesses.




Exercice


1) L'écoulement est incompressible, donc div~v = 0 = ∂vz∂z

, donc v (r) uniquement.L'accélération d'une particule de uide est

D~v

Dt=∂~v

∂t+(~v.−→O)~v =

(vz (r).

∂

∂z

)vz (r)~uz = 0

2) L'équation de Navier Stokes est donc

~0 = −−−→gradP + µ~g + η∆~v = −

−−→gradP + η∆~v

qui donne suivant ~ur

0 = −∂P(r, z)

∂r

Donc P(z) uniquement.L'équation de Navier Stokes donne suivant ~uz

0 = −∂P(z)

∂z+η∆vz = −

∂P(z)

∂z+η

(1

r

∂

∂r

(r∂vz (r)

∂r

)+∂2vz

∂z2

)= −

∂P(z)

∂z+η

r

∂

∂r

(r∂vz (r)

∂r

)

Cette relation est du type : f (z) = g(r) = cste = K , donc

∂P(z)

∂z=dP(z)

dz= K ⇒ P(z) = K z + K ′

Les conditions aux limites donnent :

K =PB − PA

zB − zA

3) Reprenons l'équation de Navier Stokes projetée :

0 = −∂P(z)

∂z+η

r

∂

∂r

(r∂vz (r)

∂r

)⇒

d

dr

(rdvz (r)

dr

)=

K

ηr

qu'on intègre une fois :

rdvz (r)

dr=

K

2 ηr2 + A⇒

dvz (r)

dr=

K

2 ηr +

A

r

or r peut être nul, aussi, A = 0. On intègre une autre fois :

vz (r) =K

4 ηr2 + B

On utilise les conditions aux limites (vz (r = R) = 0) sur les parois, an dedéterminer B

0 =K

4 ηR2 + B

Donc :

vz (r) =K

4 η

(r2 − R2

)=

PB − PA

zB − zA

r2 − R2

4 η


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