DYNAMIQUE DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES

BNIAICHE EL Amine

ITSMAERB

Département : « Gestion & Maîtrise de l’Eau »

2013

DYNAMIQUE DES FLUIDES (ECOULEMENT DANS LES CONDUITES EN CHARGE)

I -Notions générales sur l’écoulement II - Equation de continuité III- Equation d’Euler IV- Théorème de Bernoulli en écoulement parfait V- Théorème de Bernoulli en écoulement réel VI- Théorème de Bernoulli avec transfert d’énergie VII- Puissances des écoulements VIII- Régimes des écoulements: Nombre de Reynolds VIIII- Pertes de charge 1- Mise en évidence 2- Les Pertes de Charge Linéaires ou Réparties 3-- Les Pertes de Charge Locales ou Singulières

X- Applications de l’équation générale de l’écoulement XI- Théorème d’Euler

I- NOTIONS GÉNÉRALES SUR L’ÉCOULEMENT :

Le mouvement de d’une particule de fluide est caractérisée soit par: Ses coordonnées x,y,z,t tout le long de la trajectoire (méthode de LAGRANGE) Sa vitesse en un point donné de l’espace (méthode d’EULER)

1- Ligne de courant: Courbe tangente au vecteur vitesse (vx, vy, vz) en tout point. La distance parcourue par la particule s’exprime

par dx=vx dt, dy=vy dt,dz=vz dt

2- Tube de courant (filet de courant): ensemble des lignes de courant défini par un contour fermé à l’intérieur de l’écoulement

Trajectoire

Particule liquide

Ligne de courant

3- Ecoulement permanent (stationnaire): la vitesse, la pression et le débit en un point quelconque du fluide sont indépendants du temps.

5- Ecoulement unidimensionnel: Suppose que dans un tube de courant toutes les grandeurs liées à la particule (v, p, , T) ont à un instant donné, la même valeur en tout point d’une section droite (pas de variation transversale)

6- Fluide parfait: Suppose que les lignes de courant ne se croisent pas et que la viscosité est nulle. Par ailleurs la vitesse est constante dans une section droite

7- Fluide réel: Suppose que les lignes de courant se croisent et que la viscosité n’est pas nulle. Par ailleurs la vitesse n’est pas constante dans une section droite

4- Écoulement variable : Si au moins un des paramètres d’écoulement varie dans le temps on dit que l’écoulement est variable ou non permanent..

8- Écoulement uniforme ou non uniforme : Un écoulement est dit uniforme si

ses caractéristiques à tout instant demeurent constantes en différents points de la

direction de l’écoulement. Si non l’écoulement est dit non uniforme.

fluide réel fluide parfait

Principes de conservation de la Physique

Principe de la conservation de la masse

l’EQUATION DE CONTINUITE

Principe de la conservation de la quantité de mouvement

EQUATION D’EULER

THEOREME DE BERNOULLI

II- EQUATION DE CONTINUITÉ:

« Conservation de la masse au cours de son déplacement dans un tube de courant »

Considérons un tube de courant permanent unidimensionnel et 2 sections droites quelconques dS1 et dS2 située aux abscisses respectives x1 et x2. Si aucune apparition ni aucune disparition de matière n’existe entre dS1 et dS2 on peut écrire:

Cstedt

dm

dt

dm

dt

dm 21

massiquedébit 222111 mdqvdSvdS

21:ibleincompress fluide de casEn

miquedébit volu2211 vdqvdSvdS

dtvdSdxdSdm

dtvdSdxdSdm

2222222

1111111

Pour un fluide incompressible, l’équation de continuité montre que le produit de la section par la vitesse est

constant tout le long d’un tube de courant

dt

dm

dt

dV

dt

dm

pardt

dm

divisonsdS1

dS2

2211 SvSvqv

: conséquent

S

1v:section une dans moyenne Vitesse

q :oùd'

droitesection une dans constante pasest n' vitesse0:réel fluide de casEn

m

222

111v

Par

vdS

dSvdSvSS

222

111vq :oùd'

droitesection une dans constante vitesse0:parfait fluide de casEn

SSdSvdSv

2211 SvSvq mmv

Généralisation à un écoulement permanent tridimensionnel

Examinons l’écoulement à travers un parallélépèdique de volume dV (dx, dy, dz) dans les directions Ox, ,Oy et Oz et plaçons dans le cas général où la masse volumique peut varier.

Masse en déplacement pendant dt selon l’axe Ox:

:'

dm avec x

dxdtdzx

vdmdmoùd

dydzdtvdxx

mdmdm

xxdxx

xx

xdxx

dVdtx

vdmdma x

dxxx

)(m :matière la den ccumulatio x

Masse en déplacement pendant dt selon l’axe Oy:

dVdty

vdmdma

y

dyyy

)(m :matière la den ccumulatio y

Masse en déplacement pendant dt selon l’axe Oz:

dVdtz

vdmdma z

dzzz

)(m :matière la den ccumulatio z

zyx mmma m :dV volumele dans matière la de n totaleccumulatio

La variation de la masse doit entraîner une variation de la masse volumique:

dtdVt

m

D’où: tz

v

y

v

x

v zyx

Equation de continuité pour un écoulement conservatif

Cas particuliers:

Ecoulement permanent : ne dépend du temps

0

z

v

y

v

x

v zyx

Fluide incompressible : =cste

00

vdivou

z

v

y

v

x

v zyx

Fluide incompressible et écoulement unidimensionnel : =cste

CstedSet

dxdSx

ven

x

v

x

x

x v:donnen intégratiol'

0 :dVpar t multiplian

0

EXEMPLE DE CALCUL 1

Soit une conduite dont l’aire

de la section 1 est 0,100 m² et

la vitesse du liquide y est de

1,20 m/s; l’aire de la section 2

est de 0,050 m².

Calculer la vitesse du courant

en 2 et le débit.

1 2

SOLUTION DE L’EXEMPLE 1

Appliquons l’équation de la continuité entre les sections 1 et 2 :

smA

AVVAVAV /4,2

05,0

1,02,1

2

1122211

Le débit est donné par : smVAQ /120,005,04,2 3

1 2

Q v1 v2

EXEMPLE DE CALCUL 2

Cas d’une bifurcation de courant où

la section 1 a un diamètre de 400

mm, la section 2 a un diamètre de

200 mm et le diamètre de la section

3 est de 160 mm. Si la vitesse à la

section 1 est de 1,60 m/s et celle à la

section 2 est de 3,9 m/s, calculer les

débits Q1, Q2 et Q3 ainsi que la

vitesse à la section 3.

1

3

2

SOLUTION DE L’EXEMPLE 2

Les débits sont donnés par l’équation de la continuité :

smAVQ /201,04

4,06,1 3

2

111

smAVQ /122,04

2,09,3 3

2

222

smQQQ /079,0122,0201,0 3

213

La vitesse à la section 3 est :

smA

QV /93,3

16,0

079,042

3

3

3

1

3

2

Q2

Q1

Q3

III- EQUATION D’EULER

Soient une particule de fluide de volume dV=dx*dy*dz située en un point de coordonnées x, y et z, dans un champ de gravitation terrestre :

g

gdzdzz

pdy

y

pdx

x

p

;0;0

dt

dv

x

p

dt

dv

dx

zyxpzydxxp

dt

dvdxzyxpzydxxp

dt

dvdxdydzdydzzyxpdydzzydxxp

x

x

x

x

),,(),,(

),,(),,(

),,(),,(

Selon l’axe Ox

Appliquons la relation fondamentale de la dynamique à la particule dV:

Gext amF

dt

dv

y

p

dt

dv

dy

zyxpzdyyxp

dt

dvdyzyxpzdyyxp

dt

dvdxdydzdxdzzyxpdxdzzdyyxp

y

y

y

y

),,(),,(

),,(),,(

),,(),,(

Selon l’axe Oy

dt

dv

z

pg

dt

dv

dz

zyxpdzzyxpdzg

dt

dvdzzyxpdzzyxpdzg

dt

dvdxdydzdxdyzyxpdxdydzzyxpdxdydzg

z

z

z

z

),,(),,(

),,(),,(

),,(),,(

Selon l’axe Oz

La différentielle totale de p est :

dzz

pdy

y

pdx

x

pdp

gdzdvvdvvdvvdp

dt

dzdvgdz

dt

dydv

dt

dxdvdpou

dzdt

dvgdy

dt

dvdx

dt

dvdp

zzyyxx

zyx

zyx

:

zzyyxx

z

y

x

z

y

x

dvvdvvdvvdvv

dv

dv

dv

dv

v

v

v

v

gdzvdvdpalors : 0 gdzvdvdp Ou:

Equation d’EULER

valeursleursparz

p

y

p

x

p ;; remplaçons

IV- THÉORÈME DE BERNOULLI EN ECOULEMENT PARFAIT

Intégrons l’équation d’EULER entre 2 points de la veine liquide:

02

:

0

2

1

2

1

2

1

2

2

1

z

z

v

v

p

p zgvpsoit

gdzvdvdp

2

2

221

2

1122

gzvpgzvp

Théorème de Bernoulli pour un fluide parfait, incompressible

L’équation de Bernoulli exprime que , tout le long d’un filet liquide en mouvement permanent , l’énergie totale par unité de poids du liquide reste constante .

ρ = Cte : masse volumique du fluide incompressible - l'indice i = 1 correspond aux paramètres à l'entrée - l'indice i = 2 correspond aux paramètres à la sortie - dvi : volume de fluide déplacé entre les instants t et t + dt de masse dmi, - Si :section de la veine fluide, - dli : hauteur du volume cylindrique de fluide admis ou expulsé (dvi = Si dli), - Vi : vitesse des particules fluides, - Gi : centres de gravité des volumes dvi d'altitude zi, - pi : pression

2 ème méthode de démonstration du Théorème de Bernoulli pour un fluide parfait

Expressions des différentes formes d'énergie mécanique

Expression du principe de conservation de l'énergie

D'après l'équation de continuité:

On obtient alors :

Bilan d’énergie:

Bilan des pressions:

)(22

2

2

221

2

11 Pagz

vpgz

vp

Pression statique: pgzp

2

2v

Pression dynamique:

)(22

2

2

221

2

11 mzg

v

g

pz

g

v

g

p

Bilan des hauteurs:

Cstezg

v

g

pH

2

2

Hauteur manométrique: g

p

zg

P

Hauteur piézométrique:

Hauteur dynamique: g

v

2

2

1

Charge totale: H

Représentation graphique de l’équation de BERNOULLI

- Applications du théorème de Bernoulli:

- Tube de Pitot:

- Tube Venturi:

)(2

1 22

ABBA vvPP

ghPP BA

BBAAV SvSvQ

22

2 11

2

1

AB

VSS

Qgh ghSS

SSQ

BA

BAV 2

22

22

On dispose 2 tubes de prises de pression dans la canalisation de l’écoulement. Une prise de pression donne accès à la pression statique (point N) et une prise de pression qui permet l’obtention de la pression d’arrêt (point M). Déterminons la vitesse d’écoulement.

ghv

ghpp

vpp

NM

NNM 22

1 2

On dispose 2 tubes de prises de pression statique dans la canalisation de l’écoulement. Déterminons la débit d’écoulement.

2

2

221

2

11

22z

g

V

g

Pz

g

V

g

P

1 2

cteg

V

g

P

g

V

g

P

22

2

22

2

11

Si A V P

- Variation de pression dans un tronçon à section variable:

H1 H2 et H1 >H2

2

2

221

2

11

22z

g

V

g

Pz

g

V

g

P

V- THÉORÈME DE BERNOULLI EN ECOULEMENT REEL

Contrairement au fluide parfait non visqueux , la charge H pour un fluide réel visqueux ne se conserve plus entre 2 points:

Ceci est du à la nature visqueuse du fluide qui dissipe une partie de l’énergie: cette perte d’énergie est appelée ‘’Perte de charge ‘’. La représentation graphique en cas de fluide réel est donc montré par le schéma suivant :

Viscosité

mise en évidence

• AA’> BB’> CC’>DD’

• l’équation de Bernoulli stipule que :

Comme z (plan horizontal) et v(même débit

et section de la conduite) sont les mêmes

sur les différents points (A, B, C etc.), les

pressions doivent être également

identiques sur ces points; or à cause des

chutes des hauteurs d’eau dans les

piézomètres les pressions chutent aussi et

donc l’équation de Bernoulli est

transgressée.

Cstezg

p

g

v

2

2

S

Forces de viscosité

Soit une couche de fluide entre 2 plaques : une fixe et l’autre mobile (vitesse v)

• énoncé de la loi de Newton : la contrainte tangentielle visqueuse est proportionnelle au gradient de vitesse :

• la viscosité est une propriété qui traduit la résistance d’un fluide à l’écoulement • elle se manifeste lors de l’écoulement d’un fluide dans une canalisation ou lors d’un mouvement d’un solide par rapport à un fluide

(Pa.s)dynamique viscosité:dz

dv

dS

dF

REPRESENTATION GRAPHIQUE DU THEOREME DE BERNOULLI EN ECOULEMENT REEL

P 1 / g

P 2 / g

z 1

z 2

V 1 2 /2g

Tube de courant

Ligne piézométrique

Ligne de charge

1 2

PHR (z = 0)

V22/2g

h

Plan de charge

la relation de Bernoulli entre 1 point et un autre doit être ajustée de la manière suivante:

hzg

V

g

Pz

g

V

g

P 2

2

221

2

11

22 h: pertes d’énergie ou de charge

De l’eau circule d’un réservoir à travers une conduite ϕ 250 mm. On suppose que les pertes de charge sont comme suit: • De 2 à 3 :

• De 3 à 4 :

• De 4 à 5 : 1. Déterminer le débit de la conduite et les pressions aux points 3 et 4. 2. Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge. N.B: La perte de charge entre 1 et 2 est supposée négligeable.

mh 45,13

2

mh 65,14

3

mh 90,15

4

EXEMPLE DE CALCUL

8 m

.2 .3 .4 .5

.1

SOLUTION

smQ

smHZZgV

HZZg

VH

g

VZZ

g

V

g

P

g

P

g

P atm

/377,04

25,014,367,7:par calculéest débit Le

/67,79,165,145,1881,922

22 :donc

)dimensions grandes de (Réservoir 02

et pressions) des (Origine0

32

5

1515

5151

2

551

2

551

2

151

515

2

551

2

11

2

22

:conduite la de extrémitél'et réservoir du libre

surface la entre Bernoulli de théorèmeleappliquer faut il V, déterminerPour

4

:oninstallatil' deDébit -1

hZg

V

g

PZ

g

V

g

P

DVAVQ

8 m

.2

.3

.4

.5

.1

mg

P

Hg

P

g

PH

g

P

g

PVVZZ

HZg

V

g

PZ

g

V

g

P

90,165,155,3

et

22

:donne 4et 3 points les entre appliqué Bernoulli de théorèmele analogue,façon De

4

4

334

4343

4343

434

2

443

2

33

8 m

.2

.3

.4

.5

.1

mHg

VZZ

g

P

HZg

V

g

PZHZ

g

V

g

PZ

g

V

g

P

55,345,181,92

67,78

2

222

:donne 3et 1 points les entre appliqué Bernoulli de théorèmeLe

:4et 3 pointsaux pressions des Calcul-2

2

31

2

331

3

313

2

331313

2

331

2

11

SOLUTION

mg

VZZ

g

P

Zg

V

g

PZHZ

g

V

g

PZ

g

V

g

P

581,92

67,78

2

222

:2et 1 points les entre Bernoulli de théorèmele Appliquons

2.point au pression la déterminerfaut il ,Zg

Pet H de tracéleeffectuer Pour

:charge de ligne laet quepiézomètri ligne la de Tracé3

22

221

2

2

2

221

2

12

2

221

2

11

8 m

.2

.3

.4

.5

.1

Point Charge (m)

Charge piézométrique (m)

1

2

3

4

5

Point Charge (m)

Charge piézométrique (m)

1

2

3

4

5

88002

1

2

11 Zg

V

g

P

8801

1 Zg

P

808211 HH

55,645,18322 HH

9,465,155,6433 HH

390,19,4544 HH 00055 Zg

P

90,1090,144 Zg

P

55,3055,333 Zg

P

50522 Zg

P

.2 .3 .4 .5

.1

7 m

8 m

6 m

5 m

4 m

3 m

2 m

1 m

0 m

Il est assez fréquent, dans les réalisations industrielles, qu'un

appareil hydromécanique, placé dans une veine fluide, permette

une transformation d'énergie mécanique en énergie hydraulique

(une pompe par exemple) ou inversement (une turbine).

Machine hydraulique

H1 H2

H

VI- THÉORÈME DE BERNOULLI AVEC TRANSFERT D’ENERGIE

Si de l’énergie Ht est fournie par l’écoulement à un dispositif

mécanique, l’équation de Bernoulli devient :

hzg

V

g

PHz

g

V

g

Pt 2

2

221

2

11

22

H2 < H1

Machines réceptrices (turbine, Noria

T H2 H1

1

2

Turbines hydrauliques

h

h

H1

H2

H1

H2 Em

Em

H2 H1

Exemple

Q et H

et couple

Si de l’énergie Hp est fournie à l’écoulement par le moyen d’une

pompe, l’équation de Bernoulli devient :

hzg

V

g

PHz

g

V

g

Pp 2

2

221

2

11

22

H2 H1

Machines élévatrices (pompes volumétriques, turbopompes

P

H2 HI

1

2

Si un écoulement d’un fluide se fait à un débit Q (m3/s),

avec un poids spécifique g (N/m3) et une énergie totale

H (m) Puissance de l’écoulement (W)

Si une machine fournit de l’énergie au fluide Hp

Puissance hydraulique de la machine (W)

Si une machine consomme de l’énergie du fluide Ht

Puissance hydraulique de la machine (W)

gQHP

pgQHP

tgQHP

VII- PUISSANCES DES ECOULEMENTS

Bilan d’énergie d’un groupe de pompage

mo

t tr

p

1tr

EXEMPLE DE CALCUL

Circuit de pompage débitant

0,024 m3/s d’eau. La conduite

a un diamètre de 160 mm et

débouche à l’ air libre, à 6 m

au-dessus du plan d’eau. Dans

le cas d’un liquide parfait,

calculer la hauteur de charge

et la puissance hydraulique

fournies par la pompe.

P

2

1

SOLUTION

Par conséquent : :

Enfin, KwWP 43,1142907,6024,081,91000

mH p 07,6681,92

19,1 2

La puissance utile de la pompe s’exprime par la relation : pgQHP

Pour calculer Hp , appliquons le théorème de Bernoulli entre 1 et 2 en tenant compte de l’apport de charge de la pompe :

2

2

221

2

11

22z

g

V

g

PHz

g

V

g

Pp

Les points 1 et 2 sont soumis à la pression atmosphérique, d’où :

Le point 1 est situé sur une surface libre (réservoir de grandes dimensions)

D’où :

021 g

P

g

P

02

2

1 g

V

12

2

2

2zz

g

VH p

Calculons la vitesse V2 :

smA

QV /19,1

16,0

024,042

2

22

EXEMPLE DE CALCUL

La pompe indiquée dans la figure

refoule un débit de 65 l/s d’eau dans un

réservoir à la côte de 163,50 m. Les

pertes de charge dans la conduite

d’aspiration 200 de la pompe et la

conduite de refoulement 150 sont

respectivement 3 et 6 fois leurs

énergies cinétiques respectives.

Déterminer la puissance utile de la

pompe.

P

163,50 m

146,40 m

SOLUTION

P

163,50 m

146,40 m

1

2

La puissance utile de la pompe s’exprime par la relation : pHQgP

Pour calculer Hp, appliquons le théorème de Bernoulli entre les 2 surfaces libres des 2 réservoirs en tenant compte de l’apport de charge de la pompe :

hzg

V

g

PHz

g

V

g

Pp 2

2

221

2

11

22

Les points 1 et 2 sont soumis à la pression atmosphérique, d’où : (origine des pressions). Les points 1 et 2 sont situés sur des surfaces libres (réservoirs de grandes dimensions) :

D’où :

021 g

P

g

P

022

2

2

2

1 g

V

g

V

12 zzhH p

Ainsi :

Ar conséquent, KwWP 14965.139,21065,081,91000

mH p 9,214,1465,1638,4

Calculons la perte de charge totale entre 1 et 2 :

smA

QV

a

a /07,22,0

065,042

et smA

QV

r

r /68,315,0

065,042

D’où :

g

V

g

VHHH ra

ra2

62

3

22

2

1

mh 8,481,92

68,36

81,92

07,23

22

EXEMPLE

Un débit de 460 l/s d’eau entraîne la

turbine représentée ci-dessous. Quelle est

la puissance fournie par l’écoulement à la

turbine?

16m D= 30 cm

T Eau Eau

SOLUTION

La puissance utile fournie à la turbine s’exprime par : tgQHP

Pour déterminer Hp, appliquons le théorème de Bernoulli entre la surface libre du réservoir (1) et la sortie de la conduite (2) :

Les points 1 et 2 sont soumis à la pression atmosphérique, d’où :

Le point 1 est situé sur une surface libre (réservoir de grandes dimensions) :

D’où :

Calculons la vitesse V2 : smA

QV /51,6

3,0

46,0422

Enfin, KwWP 5,62451.6284,1346,081,91000

2

2

221

2

11

22z

g

V

g

PHz

g

V

g

Pt

021 g

P

g

P

02

2

1 g

V

g

VzzH t

2

2

221

mH t 84,1381,92

51,616

2

16m D= 30 cm

T Eau Eau

1

2

VIII- REGIMES D’ECOULEMENT

Les expériences réalisées par Reynolds en1883 lors de l'écoulement d'un

liquide dans une conduite cylindrique rectiligne dans laquelle arrive

également un filet de liquide coloré, ont montré l'existence de deux

régimes d'écoulement : régime laminaire et régime turbulent :

DANS UN REGIME LAMINAIRE, LES FORCES DE FROTTEMENT VISQUEUX DOMINENT, ET IMPOSENT CE REGIME

DANS UN REGIME TURBULENT, LES TRANSFERTS DE QUANTITE DE MOUVEMENT PAR CONVECTION DOMINENT, ET IMPOSENT CE REGIME

EXPERIENCE DE REYNOLDS

Q

D

Valve

Écoulement laminaire Écoulement turbulent

Tuyau transparent

Réservoir d’eau

Réservoir de colorant

V faible filet coloré bien défini V élevée filet coloré ondulé et instable

Agrandissement

Comment caractériser le régime d’écoulement ?

VDVDRe

)(kg/m liquidedu volumique:

(m/s) écoulementd' vitesse:V

(m)on canalisati la de diamètre :D

(Pa.s) dynamique iscosité:

)/(m ecinématiqu viscosité:

3

2

masse

v

s

La nature du régime d’écoulement se détermine par le « nombre de Reynolds » qui a pour expression :

=2000 3000

Turbulence intermittente

laminaire parfait turbulent

couche limite laminaire

cœur turbulent v

Distribution de vitesse en écoulement laminaire et en écoulement turbulent

La vanne étant fermée, la pression P au manomètre dépend de la « charge d’eau » h.

VIIII- LES PERTES DE CHARGE

Lorsque l’on ouvre la vanne, on s’aperçoit que la pression chute. Cette nouvelle pression correspond à une charge d’eau h’ inférieure à la hauteur d’eau réelle h

Perte de charge

des incidents de parcours

de l’état de surface de la conduite,

du débit de liquide dans la conduite,

de la longueur de la conduite,

De la viscosité du liquide,

1- Mise en évidence

Ainsi, dans une installation hydraulique, le débit d’un liquide provoquera :

- des chutes de pression dues aux longueurs de tuyauteries droites: « pertes de

charge linéaires (hl)»,

- des chutes de pression dues à tous les incidents de parcours: « pertes de charge

singulières (hs)»,

Pertes de charge totales: sl hhh

Contrairement à une surface lisse, une surface rugueuse implique un état

de surface dont les irrégularités ont une action directe sur les forces de

frottements .

Une surface rugueuse peut être considérée comme étant constituée par

une série de protubérances élémentaires caractérisées par une hauteur ,

notée k , et appelée ‘’ Rugosité ‘’ :

2- Les pertes de charge linéaires

a- Notion de rugosité des conduites

Afin de comparer la rugosité par rapport au diamètre de la conduite , on introduit le

rapport : relative : RugositéD

k K= Rugosité absolue

k

La perte de charge linéaire est calculée par la formule de Darcy – Weisbach ( 1857 ) :

Plusieurs formules sont proposées pour le calcul de et dépendent du régime d’écoulement :

g

V

D

Lhl

2

2

b- Expression de la perte de charge linéaire:

- L = Diamètre de la section d’écoulement ( m ) - L = Longueur de la conduite ( m ) - V = Vitesse d’écoulement ( m/s ) - = Coefficient de frottement ( sans unité )

Perte de charge en régime laminaire :

Perte de charge en régime turbulent: Parmi les formules de calcul du coefficient λ on trouve:

Formule de Colebrook – White :

Diagramme de Moody : Les travaux de Nikuradse sur les pertes de charge dans les conduites ont permis d’élaborer un graphique ( Diagramme de Moody ) permettant de déterminer le coefficient λ en fonction de Re pour les différents types d’écoulement et des rugosités relatives k/D allant de 1/30 à 1/1014 :

eR

64

eRD

k 51,2

71,3log2

1

Formule de Poiseuille

Détermination du coefficient de perte de charge en écoulement laminaifre (Poiseuille-Haggen)

laminaire) écoulementen Poiseuille de (32

2Formule

gD

LVh m

t

gD

V

L

h

m

t

2

2

g

V

VDg

V

V

g

gD

V

gD

V

L

h m

m

m

m

mmt

2

64

2

2*

3232 2

2

2

222

VDRqueSachant e :

g

V

DRL

hoùd

m

e

t

2

64'

2

:Ainsi

La perte de charge par unité de longueur, Δht / L (Darcy-Weisbach) , s’exprime généralement sous forme d’un coefficient sans dimension, dit coefficient de perte de charge défini par :

eR

64 Formule de¨Poiseuille

Régime turbulent Régime laminaire

2

eR

64

D

kD

k

Re

Rugosité relative

eRD

k 51,2

71,3log2

1

Zone de turbulence rugueuse

Diagramme de MOODY

eR

51,2log2

1

D

k

71,3log2

1

c.1- Formule de Chézy :

La formule de Chézy est inspirée de celle de Darcy-weisbach :

En introduisant la notion de ‘’ Rayon hydraulique ‘’ R égal au rapport entre la surface A et le périmètre d’écoulement P

hh RDD

D

D

P

SR 4

44

2

hh

lgR

LV

gR

LV

g

V

D

Lh

8242

222

ehydrauliqu : pentejjL

hl

c- Autres expressions de la perte de charge linéaire:

posons :

222 8

88C

gposons

Rg

Vj

gR

Vj

hh

:'oùd

)/( : 5,0 smChézydetCoefficienC

)/(2

2

mlmRC

Vj

h

c.2- Formule de Manning- Strickler (expérimentale):

)/(mStrickler Manning de :1

:1

:que trouvéa Manning C de valeur laalement expériment

0,5

6/1

stCoefficienkn

kposons

rugositédetcoefficiennRn

C

cherchantEn

h

3/42

2Vj

hRK

Nature des parois n 1/n

Béton lisse 0.0133 75,19

Canal en terre, enherbé 0.02 50

Rivière de plaine, large, végétation; peu dense

0.033 30,3

Rivière à berges étroites très végétalisées

0.1-0.066 10-15,15

Lit majeur en prairie 0.05 -0.033 20-30,30

Lit majeur en forêt < 0.1 < 10

872,4

852,1

9 110135,1

DC

Qj

j: Perte de charge linéaire par unité de longueur en m/m Q: Débit d'écoulement en m3/h ; C: Coefficient de rugosité dépendant de la nature de la conduite D: Diamètre intérieur de la conduite en mm ;

872,4

852,11

675,10DC

Qj

Q : Débit d'écoulement en m3/s D : Diamètre intérieur de la conduite en m

Nature du tuyau C

PVC 150

PE 145

Acier revêtu 130-150

Fonte revêtue 135-150

Aluminium 120

Fonte encrassée 80-120Coefficient C de Hazen Williams

Coefficient ks de Scoby

Nature du tuyau Ks

Alliage Aluminium 0,4

Plastique 0,37

Acier revêtu 0,42

9,49,1 ***716,0 DQkj s

Q : Débit d'écoulement en l/h

D : Diamètre intérieur de la conduite en mm

Q: Débit d'écoulement en m3/s

D: Diamètre intérieur de la conduite en m 9,49,1 ***75,40 DQkj s

j: Perte de charge linéaire par unité de longueur en m/m

75,175,4478,0 QDj 75,175,4452,0 QDj

Cas de canalisations en polyéthylène (PE) Cas de canalisations en polychlorure de vinyle (PVC)

j: Perte de charge linéaire par unité de longueur en m/m; D : diamètre intérieure (mm); Q: débit de la rampe (l/h)

c.3- Formule de Scoby:

c.4- Formule de Hazen-Williams:

c.5- Formule Blasius:

)/(:k 10*5087,2 9,18,0

s1,1

9,13 smScobydetCoefficien

D

Vkj s

)/( :C 818,6 37,0

HW167,1852,1

852,1

smWilliamsHazendetCoefficienDC

Vj

HW

Débit (mètre cube/ h)

Diamètre nominal (mm)

ABAQUE POUR TUYAUX EN POLYETHYLENE BASSE DENSITE

ABAQUE POUR TUYAUX EN PVC

Débit (mètre cube/h)

nm

n

m

DQkD

Qkj

•Formule générale de pertes de charge linéaires unitaires:

•Pertes de charge linéaires totales: hl =J = j * L

mg

V

D

Lhl 91,1

81,9.2

886,1.

9,0

500019,0

2

22

Exemple:

k

En utilisant les paramètres de l’exemple précédent, calculer la perte de charge en appliquant la formule de Manning, en considérant n= 0,012 pour une conduite en acier soudé.

mLjJoùd

mRK h

87,100374,0*500*:'

00374,09,0

012,0*886,1*4Vj

3/4

223/4

3/42

2

Exemple:

k

J

n

J

La présence d’une singularité (d’un obstacle) sur l’écoulement dans une conduite comme un coude, un diaphragme, un élargissement brusque, une contraction, etc. crée un ΔP local appelé perte de charge singulière. Dans la pratique industrielle, cette perte de charge est écrite sous la forme : où le coefficient de perte de charge K, qui dépend de la géométrie et du nombre de Reynolds, est donné dans des formulaires appelés « dictionnaires de pertes de charge ». Quelques singularités typiques sont reproduites ci-dessous.

g

Vkhs

2

2

3- Les pertes de charge singulières

Exemple de calculs des pertes de charges dans un élargissement ou un rétrécissement brusque

diamètrepetit plus de conduite la dans liquidedu tesse:

221

21

21

2

)(

1

2

1

2

1

2

22

1

2

2

1

2

1

2

1

2

2

21

viV

g

Vk

g

V

D

d

g

V

S

S

g

V

V

V

g

VVhs

S1 ; V1 S2 ; V2

Acc

esso

ires

Raccordement mixte

filetage male

Raccordement mixte

filetage femelle

Raccordement droit

Raccordement de réduction

T égal

T réduit

T

Filetage femelle

Relais coude

90°

Coude 90°

filetage male

Coude 90°

filetage femelle

Bouchon final

Accessoires

Généralisation de l’équation de Bernoulli :

j

j

j

i i

iii

g

Vk

gD

VLz

g

V

g

pz

g

V

g

p

2222

22

2

2

221

2

11

Représentation graphique du théorème de Bernoulli dans un circuit avec pompe en aspiration (pertes singulières négligeables)

Représentation graphique du théorème de Bernoulli dans un circuit avec pompe en considérant les pertes de charge linéaires et singulières.

Hr (CD) : perte de charge linéaire dans le tronçon CD

Hs (coude F) : perte de charge singulière au droit du coude F

Théorème de Toricelli: On considère un réservoir rempli d’eau à une hauteur H= 3 m , muni d’un petit orifice à sa base de diamètre d= 10 mm.

1) En précisant les hypothèses prises en comptes, appliquer le théorème de Bernouilli pour un écoulement parfait pour trouver la vitesse V2. 2) En déduire le débit volumique Qv en (l/s) en sortie de l’orifice.

X- APPLICATIONS DE L’EQUATION GÉNÉRALE D’ECOULEMENT

smgHVoùd

pppV

zg

V

g

pz

g

V

g

p

atm

/67,73*81,9*22:'

;0

22

2

211

2

2

221

2

11

1) Vitesse d’écoulement V2

slSVQ /6,04

)10.10(67,7

23

2

2) Débit volumique

Vidange d’un réservoir à niveau constant: On considère un réservoir cylindrique de diamètre intérieur D = 2 m rempli d’eau jusqu’à une hauteur H = 3 m. Le fond du réservoir est muni d’un orifice gueule bée de diamètre d = 10 mm et de coefficient de pertes de charge k=1, permettant de faire évacuer l’eau. Calculer:

1) la vitesse d’écoulement V2 en supposant que le diamètre d est négligeable devant D ? 2) En déduire le débit volumique en négligeant l’effet de contraction de la section de sortie ?

2

2

12

2

1

2

44V

D

dVV

dV

D

smgH

D

dk

gHVoùd

g

Vkz

g

Vz

D

d

g

Vppp

hzg

V

g

pz

g

V

g

p

atm

s

/42,5

1

2:'

222

22

42

2

22

2

21

42

221

2

2

221

2

11

1) Vitesse d’écoulement V2:

smSVQ /10.25,44

01,042,5 34

2

2

2) Débit volumique:

On considère un réservoir circulaire de diamètre D1= 6 m muni à son fond d’un orifice de vidange circulaire de diamètre D2= 0,6 m , ayant un coefficient de débit m=0,6 Initialement, ce réservoir est rempli jusqu'a une hauteur initiale H1= 6 m. Quel est le temps nécessaire pour vidanger le réservoir ?

Temps de vidange dans un réservoir à niveau variable:

H

gh

dh

mS

Sdt

QQécoulement

ghmSQ

dt

dhS

dt

dVQ

se

tsor

entrant

2

permanenet

2

2

1

2tan

1

mns

gHD

HD

gHmS

HStou

gmS

HS

gmS

S

h

dh

gmS

Sdtt h

H

H

t

t

318426,0

*2

initialdébit

initial Volume2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

1

12

11

2

11

02

1

0

2

11

1

2

1

On considère un siphon de diamètre= 2 cm. En négligeant les pertes de charge dans le siphon, calculer les pressions relatives aux points 2 et 3 et la vitesse au point 2 ?

m -0,5m 5,000

2

22

24

2

2

2

442

4

2

442

2

22

zzg

VV

g

p

g

p

zg

V

g

pz

g

V

g

p

m-1m 0,5-m 5,002

22

32

2

3

2

223

3

2

332

2

22

zzg

VV

g

p

g

p

zg

V

g

pz

g

V

g

p

smgV

zzg

V

g

pp

g

V

zg

V

g

pz

g

V

g

p

/13,35,02

5,022

22

2

21

2

121

2

2

2

2

221

2

11

Siphon de vidange :

Le tube de Venturi:

En négligeant les pertes de charge, calculer le débit dans la conduite :

Hzg

ppzz

g

VV

zg

V

g

pz

g

V

g

p

1212

2

1

2

2

2

2

221

2

11

2

22

HzS

S

g

VHz

g

V

S

S

g

VDonc

VSVSSachant

2

1

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2211

1222

:

:que

zHg

S

S

SarzHg

S

S

V

2

1

Q:conséquent p 2

1

1

2

1

2

2

2

1

2

2

Remarque : Dans la plupart des cas , le débitmètre de Venturi est placé horizontalement ce qui fait que Z1 = Z2 et donc : ΔZ = 0 et la formule précédente se simplifie :

Hg

d

d

dHg

S

S

S

2

1

2

1

Q

4

4

1

2

2

2

2

1

2

2

Conduite à section constante (conduite simple)

On se propose d’établir l’expression du débit d’écoulement du système : Application de l’équation de Bernoulli entre les sections 1 et 2 par rapport à OO’ :

Branchements de conduites

a- Sortie à l’air libre

K

hg

VHzzVppp

hzg

V

g

pz

g

V

g

p

atm

20;

22

2

21121

2

2

221

2

11

gH

kD

L

DQou

gH

kD

LV

g

Vk

D

L

g

Vk

gD

LV

g

Vh

g

VH

2

1

:

2

1

1

21

2222

4

2

22222

b- Sortie immergée :

On se propose d’établir l’expression du débit d’écoulement du système : Application de l’équation de Bernoulli entre les sections 1 et 2 par rapport à OO’ :

Patm

Patm

K1 K2

hHzzVVppp

hzg

V

g

pz

g

V

g

p

atm

212121

2

2

221

2

11

0;

22

gH

kkD

L

DQou

gH

kkD

LV

g

Vkk

D

L

g

Vk

g

Vk

gD

LVhH

2:

21

2222

41

2

21

2

21

2

2

2

1

2

a- Branchement en Série

Equation de Bernoulli entre les sections 1 et 2 par rapport à OO’ :

Patm

Patm

Conduite à section variable (conduites multiples)

K1

K2

K3

hHzzVVppp

hzg

V

g

pz

g

V

g

p

atm

212121

2

2

221

2

11

0;

22

g

Vk

g

Vk

g

Vk

gD

VL

gD

VL

hhhhhH sssll

22222

2

23

2

12

2

11

2

2

222

1

2

111

32121

gH

S

Skkk

S

S

D

L

D

L

Voùd

S

Skkk

S

S

D

L

D

L

g

V

S

S

g

Vk

g

Vk

g

Vk

S

S

gD

VL

gD

VL

VS

Sor

21

:'

2

22222 H

V :

2

2

1321

2

2

1

2

22

1

11

1

2

2

1321

2

2

1

2

22

1

11

2

1

2

2

1

2

13

2

12

2

11

2

2

1

2

2

122

1

2

111

1

2

12

gH

S

Skkk

S

S

D

L

D

L

DQoùd 2

4

:'2

2

1321

2

2

1

2

22

1

11

2

1

Conclusion : Cas de n conduites placées en série : - Les pertes de charge s’ajoutent : h = h1 + h2 + … hn

- Les débits sont égaux : Q = Q1 = Q2 = … = Qn

2211

2

21

2

2

221

2

11

:

:

LkLkQHdonc

QQQcomme

LQkLQkHh

2211 LkLk

HQ

n

ii LK

HQ

1

Et la formule générale de calcul s’écrit :

b- Branchement en Parallèle :

Equation de Bernoulli entre les sections 1 et 2 par rapport à OO’ :

Dans le cas d’un branchement en parallèle : - Les pertes de charges sont égales : h1 = h2 = h - Les débits s’ajoutent : Q = Q1 + Q2

Patm

Patm

et d’une manière générale :

2

2222

2

222

1

1111

2

111

L

hkQLQkh

L

hkQLQkh

HL

k

L

kQdonc

Het

L

hk

L

hkQQQ

2

2

1

1

21

2

22

1

1121

:

hh comme

n

i

i

L

kHQ

1

c- Branchement Mixte ( Série et Parallèle )

Patm

Patm

4

2

4443

2

3312

2

2221

2

111 ;;; LQkhLQkhLQkhLQkh llll

421

32

4321

hH

hhhh

hh

QQQQQ

lll

ll

3322

2

33

3

22

232

4

2

441

2

1141

11:QQ:comme

;:QQ

LkLkh

Lk

h

Lk

hQalorsQet

LQkhLQkhalorsQComme

lll

ll

2

3322

2

2

11

LkLk

Qhl

et finalement , puisque : H = h = h1+ h2+ h4

2

3322

4411

2

4

2

42

3322

2

1

2

1

11

1

11

LkLk

LkLkQLQk

LkLk

QLQkH

et donc :

2

3322

4

2

41

2

1

11

1

LkLk

LQkLQk

HQ

d- Conduite assurant un service de route :

i: nombre de tronçons; e: écartement entre 2 sorties D: diamètre de la conduite L: longueur de conduite q: débit de sortie uniforme

routeen service de pasavait y n' ils' totalecharge de perte la deréduction de :

**3

1

2

2

tcoefficienF

FLjN

iLkQh

N

e

i+1 Qi i-1

L

NeL

iNN

NqNkeieqkhh

NNN

i

1

2

2

2

1

22

1

)(

Nombre de

sorties

Darcy-weisbach

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

22

24

26

28

30

35

40

1

0,625

0,518

0,469

0,440

0,421

0,408

0,398

0,391

0,385

0,380

0,376

0,373

0,370

0,367

0,365

0,363

0,361

0,360

0,359

0,357

0,355

0,353

0,351

0,350

0,347

0,345

Coefficients de réduction F à utiliser suivant le nombre de sorties N. Formule de pertes de charge utilisée: Darcy-Weisbach

3

1

2

N

i

F

N

e- Conduites assurant un branchement de réservoirs multiples:

872,4

)(

852,1

)/(

)/(

1675,10

3

mHW

sm

mmDC

Qj

- Formule de Hazen-Williams:

54,054,0

54,0872,4852,154,0

54,0872,4852,1

54,0

**094,0

67,10

*

Kj

DCj

DCjQ

HW

HW

CPe3

CPe2

CPe1

R3

R2

R1

O

CPeO

:retienton 10)(10- 3

321

-3 QQQsi

:nouveau de supposeon sinon

104

146,7 133,8

R1

R3

R2

O

Exemple:

Déterminons les débits dans les conduites de l’installation hydraulique ci-contre ?

Etablir un tableau de calcul des débits.

Vérifier l’équation de la continuité en adoptant une précision appropriée (±10-3)

Vérification:

-10-3≤ Q1- (Q2 + Q3)≤10-3

Q1- (Q2 + Q3) = 0,422-(0,103+0,321)

= -0,001

104

146,7

133,8

R1

R3

R2

O

CPeO

CPe CPeO

supposée

h L j j0,54 CHW D K K0,54 Qi

(m) (m) (m/m) (m) (m3/s)

R1 146,7

136,15

10,55 400 0,026 0,14 120 0,4 7,69 3,008 0,422

R2 133,8 2,35 300 0,008 0,073 120 0,3 1,89 1,412 0,103

R3 104 32,15 500 0,064 0,227 120 0,3 1,89 1,412 0,321

Q1-(Q2+Q3) -0,001

Solution:

a) Un ingénieur a identifié une bonne source d’eau située à une cote Z1=1000 m. Il peut faire écouler cette eau d’une manière gravitaire pour remplir un réservoir de stockage. Supposons que le débit de la source soit limité à une valeur Q=1 m3/s. Le diamètre de la canalisation de branchement de 1 km de longueur a été fixé à 0,6 m. Le matériau de la conduite est la fonte (rugosité relative k=0,06 m). En négligeant les pertes de charge singulières, à quelle cote Z2 placer le réservoir de stockage ?

5

2

1

2

112

2121

2

2

221

2

11

0827,02

0Vet

22

D

LQz

gD

LVzhzz

Vpp

hzg

V

g

pz

g

V

g

p

10.86,1;10Re;: 64

/4

f

D

kf

DQ

m 38,986z :';0128,0Moody de 2 oùdDiagramme

f- Particularité de l’équation de Darcy:

sm /10.14,1 26

Régime turbulent Régime laminaire

2

eR

64

D

kD

k

Re

Rugosité relative

eRD

k 51,2

71,3log2

1

Zone de turbulence rugueuse

Diagramme de MOODY

eR

51,2log2

1

D

k

71,3log2

1

0,0128

b) On traite le même problème que précédemment sauf qu’on suppose maintenant que la cote Z2=986,38 m est connue. Les autres paramètres étant inchangés, on demande de calculer le diamètre de la conduite qui devient l’inconnue du problème ?

0827,05

2

21D

LQhzz

C’est une formule qui n’est pas explicite pour calculer le diamètre, d’où on doit recourir aux calculs itératifs

10.11,1

;10.6

Re;:63

/4

DDf

D

kf

DQ

DETERMINATION DU DIAMETRE

Problème : 2 inconnues le coefficient de perte de charge linéaire λ et le diamètre D. Etapes de solution

λ = λi

λj= λi Oui

No

n

Nouvelle valeur de λ (λ = λi+1)

22

22

42

2

Dg

Q

D

L

g

V

D

Lh

Ahg

LQD

2

25 8

D

A

Dv

Q

v

VDRe

'14

Di ; Rei

i

eijD

kRf ,iDD

:'62,13*81,9*

1*1000*88

8

2

2

2

2

25

52

22

oùdAhg

LQD

gD

LQ

gD

LVh

:'1

10*14,1*

1*4146

'

oùdDD

A

Dv

Q

v

VDRe

07,65 D

DRe

3,443.117.1

D5 D(m) Re

0,03 0,1821 0,711 1570954,14

0,01 0,0607 0,571 1956986,18

0,0128 0,0777 0,600 1862712,22

0,013 0,0789 0,602 1856945,20

c) On suppose cette fois que les altitudes de la source et du réservoir du problème précédent sont imposées et que le diamètre de la conduite a été fixé a priori. Le seul inconnu du problème est maintenant le débit d’écoulement.

6,0

0827,05

2

21

LQhzz

C’est une formule qui n’est pas explicite pour calculer le débit, d’où on doit recourir aux calculs itératifs

10.86,1;6,0

10.6Re;: 6

3

/4

QfD

kf

DQ

DETERMINATION DU DEBIT

Problème : La débit Q et le coefficient de perte de charge linéaire λ sont inconnus.

Etapes de solution

5

2

0827,0D

LQh i

j Dv

QR i

ie

4

D

kfR iei ,

h; D; L; ; k

k / D

λ = λi

Qi λj

λj= λi

L

DhQQ

j

i**0827,0

* 5

Ou

i

Non

Nouvelle valeur de λ (λ = λi+1)

Reprenons les mêmes problèmes que ceux vus précédemment en utilisant cette fois la formule de Hazen-Williams . La constante CHW= 140 pour la fonte.

m

D

L

C

Qzhzz

38,9866,0

1000*

140

1*1000*67,101000

67,10

872,4

852,1

872,4

852,1

112

mC

Q

zz

LD

D

L

C

Qhzz

WH

6,0140

1

62,13

1000*675,10675,10

675,10

87,4/1852,1

87,4/1852,1

.21

872,4

852,1

21

sm

L

DzzQ

D

L

C

Qhzz

/11000*675,10

6,0*62,13

675,10

675,10

3

852,1/187,4

852,1/187,4

21

872,4

852,1

21

Il permet de comprendre pourquoi un tuyau souple par exemple se met à se tortiller lorsqu’on ouvre le robinet, ou encore d’avoir une idée des forces que subissent les canalisations lors du passage d'un fluide.

Théorème d’Euler en régime permanent )( esmext VVQF

XI- THEOREME D’EULER

dsnVVdVdt

Vd

dt

VdmF

SVm

ext

sextérieure forces des somme:

liquidedu volumiquemasse:

considéréesection la dans écoulementd' vitesse:

sextérieure surfacesaux unitaire normale:

extF

V

n

n1 n2

nl

Théorème de quantité de mouvement appliqué au volume de fluide isolé compris entre les sections d’entrée (Se) , de sortie (Ss) et latérale (SL)

esvseseext

extse

ext

VVQVVVVdsVVdsVVF

FdsVVdsVV

FdsVVdsVVdsVV

ssee

S

s

S

e

S

s

S

e

S

LLL

S

2ss

S

1ee

SS

0

nnn

se

se

Lse

a- Convergent progressif:

Déterminons la force exercée par le fluide sur la canalisation ?

oncanalisatifluideF

Forces exercées sur le système:

Poids ; forces de pression sur les sections Se et Ss; force exercée par la canalisation sur le fluide= oncanalisatifluideF

Exemple:

fluidecanalisSsprSepresm

fluidecanalisSsprSepresm

esmext

FFFVVQ

FFFPVVQ

VVQF

...

...

)(

:eaul' de poids le négligeantEn

)(

)(

iSpSpVVQF eessesmfluidecanalis )(.

iVViVViSpFiSpF sseessSspreeSepr ;;; ..

D’où:

Projetons sur un axe iO,

iSpSpVVQF eessesmcanalisfluide )(.

b- Coude:

Le poids de l’eau est négligeable La section d’entrée est identique à la section de sortie Se=Ss.

),,( jiO

x

y

se

e

F

Ffluidecanalis

Sp

Sspr

Sp

SpSepr FFF

.0

.

cos

sin. ;;

SVQVV m

v

s

v

ve

;;

0

cos

sin

Ce qui donne:

cos1

sin

2

2

SpVF

SpVF

x

y

On en déduit:

pVS

VpScanalisfluideF

2

2

1cos

)sin.

Déterminons la force exercée par le fluide sur la canalisation ?

oncanalisatifluideF

Dans le repère :

Déterminer les caractéristiques de l’action de l’eau sur le Té.

On donne :

P0 = 1092,6 kPa ; P1 = 1092,7 kPa ; P2 = 1089,4 kPa

On néglige le poids de l’eau dans l’élément de volume

30° O

x

Z

200 150

S2

S0 S1

34 l/s

28,3 l/s

b- Té oblique:

222111000

S

22

S

11

S

00 VSVSVVVV

210

VVSVdsVdsVdsVFext

O x

Z

30° F0

V0

n0

V1

n1 200 150

F1

extFdsdsdsds

L210 S

LLL

S

222

S

111

S

000 nVVnVVnVVnVV

:mouvement de quantité la de intégral termele abordd' Evaluons

extFdsVdsVdsV

0VV)('V

210 S

22

S

11

S

00

30sinV30sin

30sin0030sinV00

: Oz axel'sur Projection

222

222

QFR

RFQ

z

z

idesur le flucoudeAction du

SsurpressiondeForce

SsurpressiondeForce

SsurpressiondeForceiquidePoids du l

ext RFFFgMF )(

:sextérieure forces les Evaluons

210

210

RFFFQQQ

RFFFVVSV

210221100

210222111000

VVV

VSVSV

30cosVVV30cos

30cos30cosVVV

:Ox axel'sur Projection

221100210

210221100

QQQFFFR

RFFFQQQ

x

x

NR

N

R

oùd

z

x

171162

19,0103,2810

2

134207

579142

390,0103,2810

1,9210341098,1103,62102

3207343001930834

:'

33

33

3333

NSPF

smD

Q

308344

2,014,3106,1092

/98,12,014,3

103,283444V

2

3

000

2

3

2

0

00

NSPF

smD

Q

300194

15,014,3107,1092

/92,115,014,3

103444V

2

3

111

2

3

2

1

11

NSPF

smD

Q

207344

2,014,3104,1089

/90,02,014,3

103,2844V

2

3

222

2

3

2

2

22

6,4914579

17116 angleun ehorizontall' avecfait action d' droite La

0z deset 0 xdes Sens

483221711614579

:que telle force une à soumisest Té Le

2222

arctgR

Rarctg

NRRR

R

x

z

zx

49,6°

zR

xR

R