Du monde réel au monde virtuel :

voyage aller et retour

S. Labbé (UJF - LJK)

Simulation du monde réel : du monde réel au virtuel réel et retour

Monde physique

Mondevirtuel

Monde numérique

Infini au fini

Étude mathématique des modèles

Validation mathématique

Optimisation etcalcul hautes performances

Étude de systèmes discretsConstruction d’algorithmes

Comparaison avec le monde physique

Améliorationdes modèlessymboliques

Prototype C-armLaboratoire TIMC

Simulation d’advection avec 2563 particules par méthode particulaire (projet PARMES, LJK)

Un modèle analogique de spins (projet HM-MAG, LJK)

Un modèle pour l’effet Leidenfrost (projet MIGAL, LJK)

Modélisation, simulation, comparaisons

Les points clefsModèles analogiques

Compréhension des erreurs

Méthodes numériques

Com

paraisons avec l’expérience

Quelqu

es do

maines

d’app

licati

ons e

t outi

ls

Limites

Algorithmique

Physique élémentaire

Dérivation

Expériences

Magnétisme de base

Langages interprétés

et bien d’autres...

Mouvement de points

Quelques exemples de travaux en laboratoire

Deux exemples de domaines

La dynamique de la banquiseLa mécanique des fluides

Point commun : les équations au dérivées partielles

Dynamique de la banquise

ObjectifsComprendre la fonte des glaces de mer

Prévoir les variations climatiquesPrévenir les dangers

Processus de recherche

Travaux de Matthias Rabatel, thèse au LJK

Choc de plaques entre ellesRupture des plaquesBeaucoup de donnéesLiens avec les grandes échelles

Les plaques rigidesLes plaques élastiquesLes plaques fragiles

Mécanique des chocs et des frottements, EDOÉlasticité linéaire, EDPRupture, méthodes variationnelles

Observations en bassinObservations en mer

Identification du problème

Découpage du problème

Développement des outils

Comparaisons au réel

Travaux de Matthias Rabatel, thèse au LJK

Dynamique des fluides

ObjectifsComprendre l’effet Leidenfrost

Simuler cet effetOptimiser cet effet

Processus de rechercheModélisation de l’évaporationÉchelles de modélisation

Construction du modèle mathématiqueAnalyse des équationsChoix d’une méthode numériqueSimulations

Mécanique des fluides : EDPMéthode numérique : Level Set

Expériences de physique : données de temps de vieComparaison qualitative : forme des gouttes

Identification du problème

Découpage du problème

Développement des outils

Comparaisons au réel

Travaux de Denis Roland, thèse au LJK

Trois exemples

Cartographie Mirages BoussolesNiveau collège et lycée

Niveau Lycée

Niveau collège

Théorème de Pythagore

Construction géométrique

Volumes

Taux de variationFonctions trigonométriquesMinimum et maximum

SommesLimites

Programmation

Boussoles

Positionnement du problème

Plan d’expérience

Outils mathématiques

Comment modéliser le mouvement des boussoles ?

Compréhension des expériences et construction du modèle.Mise en place du modèle.Test du modèle.

Fonctions trigonométriques.Géométrie.Minimum et maximum d’une fonction.

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Les aimants : expérience analogique et numérique

Simulation Expérience

Observations

1- champ magnétique

2- interactions avec une boussole

Expérience de la limaille de fer pour caractériser le champ.Analogie avec le champ magnétique terrestre.

Jeux avec une boussole : trouver les équilibres stables et instables.Compte-rendu des observations.

Construction du modèle

Analogie des montagnes russes

Construction d’un graphique de l’énergie de la boussole à partir de l’analogie.

Lien avec le cosinus

Périodicité, symétries en font un bon candidat.Lien éventuel avec le produit scalaire.

E(a)=cos(a),

où a est l’angle entre la boussole et le champ appliqué b.

b

direction de la boussole

angle a

Un cran plus loin : deux boussoles

Le champ magnétique généré en y par une boussole de direction m placée en y :

Un cran plus loin : deux boussoles

On peut alors calculer l’énergie du système à deux boussoles espacées d’une unité de longueur

Le minimum est atteint pour des

boussoles opposées

Énergie en fonction de l’angle des deux boussoles par rapport à l’axe des abscisses.

Les mirages

Positionnement du problème

Plan d’expérience

Outils mathématiques

Comment expliquer le phénomène des mirages ?

Construction du modèle numérique.Calcul sur ordinateur.Expérience de physique.

Trigonométrie, géométrie.Sommes, limites.Taux de variation, dérivée.

Les principes

Trajectoire d’un rayon lumineux

Plaques d’indice de réfraction croissant

Le modèle

Lois de la réfraction de Descartes

Milieu d’indice n2

Milieu d’indice n1

a1

a2

n1 sin(a1) = n2 sin(a2)

Hypothèse

Si a1 est proche de 90o, on considère une réflexion.

Construction de la suite

N couches : la couche i a un indice de réfraction de n0 + (i-1) m

Chaque couche a une épaisseur égale à h

Expérience

Gros sel

Eau

Laser

Cartographie

Positionnement du problème

Plan d’expérience

Outils mathématiques

Comment, avec un rapporteur, un compas et un bâton de un mètre peut-on cartographier un lieu ?

Depuis la salle de classe, mise en place d’un plan de la cours.Construction du plan en utilisant le compas, le rapporteur et le bâton de un mètre : comment faire ?Comparaison avec des mesures directes, évaluation des erreurs commises.

Théorème de PytaghoreThéorème de Thalès.

Les principes

Angle a

Bâton de un mètre

L=1/(2 sin(a/2))

Estimation de l’erreur par encadrement

- a priori quelle erreur va-t-on commettre ?- a posteriori, a-t-on été efficace ?

Appliquer le même principe pour les hauteurs.