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Dépliage de réseaux de Petri temporels parannotations temporelles symboliques
Louis-Marie Traonouez
Institut de Recherche en Communications et en Cybernétique de Nantes
Journée "dépliages des modèles temporisés"Rennes - 3 décembre 2008
Plan de la présentation
1 Travaux similairesDépliage de réseaux de Petri non-temporelsDépliage de RdPTApproche des RdP par la Logique Linéaire
2 Dépliage par annotations temporellesStructureAnnotations temporellesConstruction
3 Exemple
2 / 38
Réseaux de Petri temporels (RdPT)
Exemple (Chatain et Jard, 06)
P1• P2•
P3 P4
P5
T1[0,∞[ T2[1, 2]
T3[2, 2]
T0[0, 0]
Sémantique forte : urgence des transitions sensibilisées.
Réseaux saufs.
Introduction 3 / 38
Plan de la présentation
1 Travaux similairesDépliage de réseaux de Petri non-temporelsDépliage de RdPTApproche des RdP par la Logique Linéaire
2 Dépliage par annotations temporellesStructureAnnotations temporellesConstruction
3 Exemple
Travaux similaires 4 / 38
Plan de la présentation
1 Travaux similairesDépliage de réseaux de Petri non-temporelsDépliage de RdPTApproche des RdP par la Logique Linéaire
2 Dépliage par annotations temporellesStructureAnnotations temporellesConstruction
3 Exemple
Travaux similaires Dépliage de réseaux de Petri non-temporels 5 / 38
Réseaux d’occurrence
Réseau d’occurrence (McMillan, Esparza)
O = (B, E , F ) est un réseau d’occurrence ssi
O est acyclique,
O est fini par précédence,
aucun élément n’est en conflit avec lui même.
On définit :
une relation causale : x < y s’il existe un chemin d’un noeud xvers un noeud y ,
une relation de conflit : x#y ,
une relation de concurrence : x co y dans le cas où aucune autrerelation existe entre x et y ,
les éléments minimums Min(0) selon la relation <.
Travaux similaires Dépliage de réseaux de Petri non-temporels 6 / 38
Processus de branchement
Processus de branchement (McMillan, Esparza)
Un processus de branchement d’un RdP N = (P, T , •(), ()•, M0) est unréseau d’occurrence labellisé β = (O, p) = (B, E , F , p).p est la fonction de labellisation telle que :
p(B) ⊂ P et p(E) ⊂ T ,
pour tout e ∈ E , la restriction de p à •e est une bijection entre •e et•p(e), et de même entre e• et p(e)•,
la restriction de p à Min(0) est une bijection entre Min(0) et M0,
pour tout e1, e2 ∈ E si •e1 = •e2 et p(e1) = p(e2) alors e1 = e2.
On peut définir une relation de préfixe entre 2 processus debranchements.
Travaux similaires Dépliage de réseaux de Petri non-temporels 7 / 38
Processus de branchements
Exemple
P1 P2
P3 P4
P5 P1 P2
T1e1 T2 e2
T3e4 T0 e3
Travaux similaires Dépliage de réseaux de Petri non-temporels 8 / 38
Dépliage de RdP
DépliageLe dépliage d’un RdP est défini comme étant le « plus grand »processus de branchement selon la relation de préfixe.
PréfixeIl est possible de déterminer un préfixe fini du dépliage qui contienttous les marquages accessibles.
Travaux similaires Dépliage de réseaux de Petri non-temporels 9 / 38
Processus et coupures
ProcessusUn processus (ou configuration) est un ensemble d’évènementscausalement clos et sans conflit.
Ils permettent de définir une sémantique d’ordres partiels des RdP.
CoupuresDans un processus :
Un co-ensemble est un ensemble de conditions en relation co parpaire.
Une coupure est un co-ensemble maximal selon l’inclusion.
Travaux similaires Dépliage de réseaux de Petri non-temporels 10 / 38
Processus
Exemple
P1 P2
P3 P4
P5
T1e1 T2 e2
T3e4
Travaux similaires Dépliage de réseaux de Petri non-temporels 11 / 38
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1 Travaux similairesDépliage de réseaux de Petri non-temporelsDépliage de RdPTApproche des RdP par la Logique Linéaire
2 Dépliage par annotations temporellesStructureAnnotations temporellesConstruction
3 Exemple
Travaux similaires Dépliage de RdPT 12 / 38
Processus temporels
Dans les RdPT des liens de causalité supplémentaires sont rajoutésentre les évènements (cas de conflits indirects).
Processus temporels (Aura et Lilius, 97)Une fonction de temporisation θ associe à chaque évènement unedate de tir dans un domaine temporel T. Elle est valide ssi :
∀e ∈ E : θ(e) ≥ TOE(•e, p(e)) + Eft(p(e))
∀e ∈ E : ∀t ∈ enabled (p(Ce)) , θ(e) ≤ TOE(Ce, t) + Lft(t))
où Ce = Cut(Earlier(e)) et Earlier(e) = {e′ ∈ E | θ(e′) < θ(e)}
Ce correspond à l’état global atteint avant e.
Travaux similaires Dépliage de RdPT 13 / 38
Processus temporels
Plutôt que de considérer l’état global (ce qui limite la concurrence) onpeut valider la fonction de temporisation ssi :
les contraintes sur les dates de tir minimums sont vérifiées,
les conflits (« choice transitions ») ont été « décidés »,
le processus est temporellement complet.
Cela permet de déterminer l’ensemble des dates de tirs valides pourun processus.
Travaux similaires Dépliage de RdPT 14 / 38
Processus étendus
Sémantique de tir locale pour les RdPT (Chatain et Jard, 06)Dans un processus étendu un évènement possède :
des conditions consommées par le tir de la transition,
des conditions lues, représentées par des arcs de lecture.
Pour que le tir soit local, l’ensemble L des conditions lues doit êtreminimal.
Le tir de la transition p(e) est possible à une date θ(e) ssi :
t ∈ enabled (L)
θ(e) ≥ TOE(•e, p(e)) + Eft(p(e))
pour toutes les transitions t consommant des jetons de L :◮ soit t est désensibilisée,◮ soit θ(e) ≤ TOE(L, t) + Lft(t))
Travaux similaires Dépliage de RdPT 15 / 38
Préfixe fini du dépliage symbolique d’un RdPT
Les processus étendus permettent de définir un dépliage symboliqued’un RdPT :
il regroupe l’ensemble des évènements possibles ;
des contraintes symboliques sur les dates de tir des évènementssont synthétisées à l’aide de la condition de tir locale.
Un préfixe fini complet du dépliage peut être calculé :
on compare pour cela l’âge des jetons utilisés par lesévènements.
Travaux similaires Dépliage de RdPT 16 / 38
Préfixe fini complet du dépliage symbolique d’un RdPT
Exemple
P1 P2
P3 P4
P5 P1 P2 P5
T1e1 T2 e2
T3e4 T0 e3 T3 e5
θ(e1) ≥ 0
1 ≤ θ(e2) ≤ 2
θ(e3) = max(θ(e1), θ(e2))
θ(e4) = θ(e1) + 2θ(e4) ≤ 2
θ(e5) = θ(e1) + 2θ(e5) ≥ θ(e1)θ(e5) ≤ max(θ(e1), θ(e2))
Travaux similaires Dépliage de RdPT 17 / 38
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1 Travaux similairesDépliage de réseaux de Petri non-temporelsDépliage de RdPTApproche des RdP par la Logique Linéaire
2 Dépliage par annotations temporellesStructureAnnotations temporellesConstruction
3 Exemple
Travaux similaires Approche des RdP par la Logique Linéaire 18 / 38
Traduction des Rdp en Logique Linéaire
Une méthode (Girault, 97) permet de traduire les RdP en formules deLogique Linéaire (LL).
Exemple
M0 : P1 ⊗ P2
T1 : P1 ⊸ P3
T2 : P2 ⊸ P4
T3 : P3 ⊸ P5
T0 : P3 ⊗ P4 ⊸ P1 ⊗ P2
L’accessibilité d’un marquage équivaut à la preuve d’un séquent deLogique Linéaire.
Travaux similaires Approche des RdP par la Logique Linéaire 19 / 38
Analyse temporelle de scénarios
ScénarioUn scénario est un multi-ensemble de transitions.
Un processus de preuves en LL permet de vérifier l’accessibilitédu scénario : le tir d’une transition est simulé par une règle dansles calcul des séquents.
Un scénario prouvé correspond à une ou plusieurs séquences detransitions et conserve la concurrence.
Dans le cas non temporel, un scénario correspond à unprocessus.
Une analyse temporelle en sémantique faible peut être effectuéeen annotant la preuve par les dates de production des jetons(Pradin, 99).
Travaux similaires Approche des RdP par la Logique Linéaire 20 / 38
Prise en compte de la sémantique fortePour prendre la sémantique forte des RdPT, on détermine des groupesde conflits (Delfieu, 06).
Conflit indirect
P1• P2•
P3 P4 P5
T1[2, 4] T2[3, 3] T3[1, 5]
On applique les règles de tir suivantes lors de la preuve d’un scénario :
1 les transitions non en conflits sont franchies en priorité,2 les transitions à l’intérieur d’un groupe de conflit, sont ordonnées.
Des contraintes dues au conflit sont rajoutées sur les dates deproduction.
Travaux similaires Approche des RdP par la Logique Linéaire 21 / 38
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1 Travaux similairesDépliage de réseaux de Petri non-temporelsDépliage de RdPTApproche des RdP par la Logique Linéaire
2 Dépliage par annotations temporellesStructureAnnotations temporellesConstruction
3 Exemple
Dépliage par annotations temporelles 22 / 38
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2 Dépliage par annotations temporellesStructureAnnotations temporellesConstruction
3 Exemple
Dépliage par annotations temporelles Structure 23 / 38
Réseaux d’occurrence étendus
On définit des réseaux d’occurrence étendus dans lesquelles onpeut utiliser des arcs libérateurs reliant deux évènements.
Un arc libérateur de e1 vers e2 étend la relation de causalité :e1 < e2.
On note alors : e1 ∈ ∗e2.
Exemple
e1 e2 e3
e4
Dépliage par annotations temporelles Structure 24 / 38
Conflits directs
On définit une relation plus restreinte de conflits.Deux évènements e1, e2 sont en conflit direct : e1 conf e2 ssi
•e1 ∩•e2 6= ∅
∀x ∈ •e1 ∩∗e1,¬(x#e2) et ∀x ∈ •e2 ∩
∗e2,¬(x#e1).
Exemple
e1 e2 e3
e4
e1 conf e2
e2 conf e3
e4 conf e1
¬(e4 conf e2)
Dépliage par annotations temporelles Structure 25 / 38
Conflits indirects
On définit également une relation de conflit indirect : e1 lib e2 ssi
e1 co e2,
∃e′ ∈ E t.q. e1 conf e′ et e2 conf e′.
Exemple
e1 e2 e3
e4
e1 conf e2
e2 conf e3
e4 conf e1
e1 lib e3
¬(e4 lib e2)
Dépliage par annotations temporelles Structure 26 / 38
Processus de branchement étendusDans les processus de branchements étendus on restreint l’utilisationdes arcs libérateurs de sorte que :
Pour tout e1 ∈ E , si e2 ∈ ∗e1 alors nécessairement ∃e3 ∈ E t.q.e2 lib e3 et •e3 = •e1 et p(e3) = p(e1).
pour tout e1, e2 ∈ E si •e1 = •e2 et ∗e1 = ∗e2 et p(e1) = p(e2) alorse1 = e2.
Exemple
P1 P2
t1e1 t2 e2 t3 e3
t1 e4
e1 conf e2
e2 conf e3
e4 conf e1
e1 lib e3
Dépliage par annotations temporelles Structure 27 / 38
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2 Dépliage par annotations temporellesStructureAnnotations temporellesConstruction
3 Exemple
Dépliage par annotations temporelles Annotations temporelles 28 / 38
Processus de branchement temporels
On définit un processus de branchement temporel (β, θ) avec :
β, un processus de branchement étendu,
θ : E → R+ ∪ {∞}, une fonction de temporisation qui associe à
chaque évènement une date de tir θ(e).
Symboliquement, on associe à chaque évènement une annotationtemporelle exprimant θ(e) sous la forme d’une formule logique.
Une conjonction de contraintes exprime la valeur finie de θ(e)lorsqu’elle existe.
Les autres contraintes en disjonction fixent θ(e) à l’infini pourcause de conflit.
Dépliage par annotations temporelles Annotations temporelles 29 / 38
Annotations temporelles
Pour chaque évènement e d’un processus de branchement temporel,sa date de tir θ(e) doit vérifier le système de contraintes suivant :
[
θ(e) ≥ maxb∈•e
(
θ(•b))
+ Eft(
p(e))
∧ θ(e) ≤ maxb∈•e
(
θ(•b))
+ Lft(
p(e))
∧ θ(e) ≥ maxe′∈∗e
(
θ(e′))
∧[
∀e′ ∈ E , (e′ conf e ∨ e′ lib e) ⇒(
θ(e′) = ∞)
∧
θ(e) ≤ maxb∈•e′
(
θ(•b))
+ Lft(
p(e′))
]
]
∨
[
∃e′ ∈ E , (e′ conf e ∨ e′ lib e) ∧ θ(e′) 6= ∞ ∧ θ(e) = ∞
]
Dépliage par annotations temporelles Annotations temporelles 30 / 38
Annotations temporelles
Pour chaque évènement e d’un processus de branchement temporel,sa date de tir θ(e) doit vérifier le système de contraintes suivant :
[
θ(e) ≥ maxb∈•e
(
θ(•b))
+ Eft(
p(e))
∧ θ(e) ≤ maxb∈•e
(
θ(•b))
+ Lft(
p(e))
∧ θ(e) ≥ maxe′∈∗e
(
θ(e′))
∧[
∀e′ ∈ E , (e′ conf e ∨ e′ lib e) ⇒(
θ(e′) = ∞)
∧
θ(e) ≤ maxb∈•e′
(
θ(•b))
+ Lft(
p(e′))
]
]
∨
[
∃e′ ∈ E , (e′ conf e ∨ e′ lib e) ∧ θ(e′) 6= ∞ ∧ θ(e) = ∞
]
Dépliage par annotations temporelles Annotations temporelles 30 / 38
Annotations temporelles
Pour chaque évènement e d’un processus de branchement temporel,sa date de tir θ(e) doit vérifier le système de contraintes suivant :
[
θ(e) ≥ maxb∈•e
(
θ(•b))
+ Eft(
p(e))
∧ θ(e) ≤ maxb∈•e
(
θ(•b))
+ Lft(
p(e))
∧ θ(e) ≥ maxe′∈∗e
(
θ(e′))
∧[
∀e′ ∈ E , (e′ conf e ∨ e′ lib e) ⇒(
θ(e′) = ∞)
∧
θ(e) ≤ maxb∈•e′
(
θ(•b))
+ Lft(
p(e′))
]
]
∨
[
∃e′ ∈ E , (e′ conf e ∨ e′ lib e) ∧ θ(e′) 6= ∞ ∧ θ(e) = ∞
]
Dépliage par annotations temporelles Annotations temporelles 30 / 38
Annotations temporelles
Pour chaque évènement e d’un processus de branchement temporel,sa date de tir θ(e) doit vérifier le système de contraintes suivant :
[
θ(e) ≥ maxb∈•e
(
θ(•b))
+ Eft(
p(e))
∧ θ(e) ≤ maxb∈•e
(
θ(•b))
+ Lft(
p(e))
∧ θ(e) ≥ maxe′∈∗e
(
θ(e′))
∧[
∀e′ ∈ E , (e′ conf e ∨ e′ lib e) ⇒(
θ(e′) = ∞)
∧
θ(e) ≤ maxb∈•e′
(
θ(•b))
+ Lft(
p(e′))
]
]
∨
[
∃e′ ∈ E , (e′ conf e ∨ e′ lib e) ∧ θ(e′) 6= ∞ ∧ θ(e) = ∞
]
Dépliage par annotations temporelles Annotations temporelles 30 / 38
Annotations temporelles
Pour chaque évènement e d’un processus de branchement temporel,sa date de tir θ(e) doit vérifier le système de contraintes suivant :
[
θ(e) ≥ maxb∈•e
(
θ(•b))
+ Eft(
p(e))
∧ θ(e) ≤ maxb∈•e
(
θ(•b))
+ Lft(
p(e))
∧ θ(e) ≥ maxe′∈∗e
(
θ(e′))
∧[
∀e′ ∈ E , (e′ conf e ∨ e′ lib e) ⇒(
θ(e′) = ∞)
∧
θ(e) ≤ maxb∈•e′
(
θ(•b))
+ Lft(
p(e′))
]
]
∨
[
∃e′ ∈ E , (e′ conf e ∨ e′ lib e) ∧ θ(e′) 6= ∞ ∧ θ(e) = ∞
]
Dépliage par annotations temporelles Annotations temporelles 30 / 38
Processus de branchement temporels
Exemple
P1 P2
P3 P4
P5 P1 P2
T1e1 T2 e2
T3e4 T0 e3
e3 conf e4
θ(e1) ≥ 0
1 ≤ θ(e2) ≤ 2
(θ(e3) = max(θ(e1), θ(e2))∧ θ(e3) ≤ θ(e1) + 2∧ θ(e4) = ∞)∨ (θ(e3) = ∞ ∧ θ(e4) 6= ∞)
(θ(e4) = θ(e1) + 2∧ θ(e4) ≤ max(θ(e1), θ(e2))∧ θ(e3) = ∞)∨ (θ(e4) = ∞ ∧ θ(e3) 6= ∞)
Dépliage par annotations temporelles Annotations temporelles 31 / 38
Plan de la présentation
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2 Dépliage par annotations temporellesStructureAnnotations temporellesConstruction
3 Exemple
Dépliage par annotations temporelles Construction 32 / 38
Construction d’un processus de branchementtemporel
1 Des évènements sont ajoutés si la valeur de leur date de tir peutêtre finie.
2 En cas de conflit indirect, les évènements libérateurs sontdupliqués et entrelacés.
3 Cependant, pendant la construction on ne connaît pas toutes lescontraintes sur un évènement car tous les conflits ne sont pasconnus.
4 Dans ce cas, l’évènement est ajouté, mais on peut rajouter par lasuite des contraintes sur sa date de tir si de nouveaux conflitssont trouvés.
Inconvénient : des évènements déclarés impossibles a posterioripeuvent être calculés.
Dépliage par annotations temporelles Construction 33 / 38
Discussion
TerminaisonDes processus de branchement finis peuvent être calculés.
On ajoute pour cela des contraintes pour que le résultat soitcorrect.
Préfixe completExiste-t-il un préfixe complet ?
La notion d’état doit être réintroduite.
Il faudrait comparer l’âge des conditions utilisées par lesévènements.
Enfin, on peut aussi envisager de ne pas utiliser d’arcs activateurs etde regrouper les évènements dupliqués avec une seule annotationtemporelle, mais plusieurs disjonctions.
Dépliage par annotations temporelles Construction 34 / 38
Plan de la présentation
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2 Dépliage par annotations temporellesStructureAnnotations temporellesConstruction
3 Exemple
Exemple 35 / 38
ExempleP1
P2 P3 P4
T1e1 T2e2θ(e1) ∈ [0, 5]
e1 conf e2(
θ(e2) = 3∧ θ(e1) = ∞
)
∨
(
θ(e2) = ∞∧ θ(e1) 6= ∞
)
(
θ(e1) ∈ [0, 3]∧ θ(e2) = ∞
)
∨
(
θ(e1) = ∞∧ θ(e2) 6= ∞
)
Exemple 37 / 38
ExempleP1
P2 P3 P4
P5 P6
T1e1 T2e2
T3e3 T4e4
θ(e3) ∈ [2, 10]
e3 conf e4
θ(e4) = 5 + θ(e1)θ(e4) ≤ 10∧ θ(e3) = ∞
∨
(
θ(e4) = ∞∧ θ(e3) 6= ∞
)
Exemple 37 / 38
ExempleP1
P2 P3 P4
P5 P6
T1e1 T2e2
T3e3 T4e4
θ(e3) ∈ [2, 10]
e3 conf e4
θ(e4) = 5 + θ(e1)θ(e4) ≤ 10∧ θ(e3) = ∞
∨
(
θ(e4) = ∞∧ θ(e3) 6= ∞
)
θ(e4) ∈ [5, 8]
Exemple 37 / 38
ExempleP1
P2 P3 P4
P5 P6
T1e1 T2e2
T3e3 T4e4
θ(e3) ∈ [2, 10]
e3 conf e4
θ(e3) ∈ [2, 10]∧ θ(e3) ≤ 5 + θ(e1)
∧ θ(e4) = ∞
∨
(
θ(e3) = ∞∧ θ(e4) 6= ∞
)
Exemple 37 / 38
ExempleP1
P2 P3 P4
P5 P6
T1e1 T2e2
T3e3 T4e4
θ(e3) ∈ [2, 10]
e3 conf e4
θ(e3) ∈ [2, 10]∧ θ(e3) ≤ 5 + θ(e1)
∧ θ(e4) = ∞
∨
(
θ(e3) = ∞∧ θ(e4) 6= ∞
)
(
θ(e3) ∈ [2, 10]∧ θ(e1) = ∞
)
∨ (θ(e3) ∈ [2, 8])
Exemple 37 / 38
ExempleP1
P2 P3 P4
P5 P6 P7
T1e1 T2e2
T3e3 T4e4 T5e5
e5 conf e4 et e5 lib e3
θ(e5) ≥ θ(e1) + 4θ(e5) ≤ θ(e1) + 6
∧ θ(e5) ≤ 10∧ θ(e5) ≤ θ(e1) + 5
∧ θ(e3) = ∞∧ θ(e4) = ∞
∨
(
θ(e5) = ∞∧ θ(e3) 6= ∞
)
∨
(
θ(e5) = ∞∧ θ(e4) 6= ∞
)
Exemple 37 / 38
ExempleP1
P2 P3 P4
P5 P6 P7
T1e1 T2e2
T3e3 T4e4 T5e5
e5 conf e4 et e5 lib e3
θ(e5) ≥ θ(e1) + 4θ(e5) ≤ θ(e1) + 6
∧ θ(e5) ≤ 10∧ θ(e5) ≤ θ(e1) + 5
∧ θ(e3) = ∞∧ θ(e4) = ∞
∨
(
θ(e5) = ∞∧ θ(e3) 6= ∞
)
∨
(
θ(e5) = ∞∧ θ(e4) 6= ∞
)
θ(e5) ∈ [4, 8]
Exemple 37 / 38
ExempleP1
P2 P3 P4
P5 P6 P7
P5 P7
T1e1 T2e2
T3e3 T4e4 T5e5
T3e6 T5e7
e5 conf e4 et e5 lib e3
e6 conf e3 et e7 conf e5
Exemple 37 / 38
ExempleP1
P2 P3 P4
P5 P6 P7
P5 P7
T1e1 T2e2
T3e3 T4e4 T5e5
T3e6 T5e7
e5 conf e4 et e5 lib e3
e6 conf e3 et e7 conf e5
θ(e6) ∈ [2, 10]∧ θ(e6) ≥ θ(e5)∧ θ(e3) = ∞
∨
(
θ(e6) = ∞∧ θ(e3) 6= ∞
)
Exemple 37 / 38
ExempleP1
P2 P3 P4
P5 P6 P7
P5 P7
T1e1 T2e2
T3e3 T4e4 T5e5
T3e6 T5e7
e5 conf e4 et e5 lib e3
e6 conf e3 et e7 conf e5
θ(e6) ∈ [2, 10]∧ θ(e6) ≥ θ(e5)∧ θ(e3) = ∞
∨
(
θ(e6) = ∞∧ θ(e3) 6= ∞
)
θ(e6) ∈ [4, 10]
Exemple 37 / 38
ExempleP1
P2 P3 P4
P5 P6 P7
P5 P7
T1e1 T2e2
T3e3 T4e4 T5e5
T3e6 T5e7
e5 conf e4 et e5 lib e3
e6 conf e3 et e7 conf e5
θ(e7) ≥ θ(e1) + 4θ(e7) ≤ θ(e1) + 6∧ θ(e7) ≥ θ(e3)∧ θ(e5) = ∞
∨
(
θ(e7) = ∞∧ θ(e5) 6= ∞
)
Exemple 37 / 38
ExempleP1
P2 P3 P4
P5 P6 P7
P5 P7
T1e1 T2e2
T3e3 T4e4 T5e5
T3e6 T5e7
e5 conf e4 et e5 lib e3
e6 conf e3 et e7 conf e5
θ(e7) ≥ θ(e1) + 4θ(e7) ≤ θ(e1) + 6∧ θ(e7) ≥ θ(e3)∧ θ(e5) = ∞
∨
(
θ(e7) = ∞∧ θ(e5) 6= ∞
)
θ(e7) ∈ [4, 9]
Exemple 37 / 38