Degee_Structure Sous Action Sismique

Cours Grasmech – Eléments d'analyse des structures sous action sismique

Cours Grasmech

Éléments d'analyse des structures sous action sismique

Hervé DEGEE

ULg – 2 juin 2009

Excitation par déplacement d'appui

K = -3EI/h³

( )gu t

u = déplacement de l'oscillateur par rapport au support (Permet d'estimer les efforts internes après résolution)

= −⎧→ = + ⎨ = −⎩

Ktot g

F K uu u u et

Newton: ( )

( ) ( )

=→ + = − −

→ + + = − =

M u FM u u K u C u

M u C u K u M u t P t

Donnée fondamentale pour l'analyse sismique: évolution de l'accélération du sol au cours du temps (accélérogramme)

Accélération maximale du sol ag (PGA)

De 0 à

0,1g jusque 0,4g à

0,6g au niveau du bedrock

Attention aux effets de sites

Ordre de grandeur des efforts: F = M . ag

Accélérogrammes

Directement utilisables :

Pas forcément simples à

enregistrer

Constituent des cas particuliers

Spectres de réponse

-0.4-0.3-0.2-0.1

00.10.20.30.4

0 10 20 30 40 50 60

Spectre de réponse élastique – principe d'établissement

Spectres de déplacement, vitesse et accélération

( )gu t

-0.4-0.3-0.2-0.1

00.10.20.30.4

0 10 20 30 40 50 60

ξ cst

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

Période [s]

Spectre de déplacement (Sd): déplacement maximum en fonction de la période et de l'amortissement

( )gu t

-0.4-0.3-0.2-0.1

00.10.20.30.4

0 10 20 30 40 50 60

ξ cst

Spectre de vitesse (Sv): vitesse maximale en fonction de la période et de l'amortissement

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

Période [s]

( )gu t

-0.4-0.3-0.2-0.1

00.10.20.30.4

0 10 20 30 40 50 60

ξ cst

Spectre d'accélération (Sa): accélération maximale en fonction de la période et de l'amortissement

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

Période [s]

élér

Spectres de pseudo-accélération

Objectif: Estimer les efforts internes maximaux dans la structure

2maxmax

⇒ = = =K

K spectral spectral

F K u K u M u

2ω spectralu = Pseudo- accélération

spectrale (SpA)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

Période [s]

élér

Accélération

Pseudo -

accélération

max⇒ = pAF M S

Comportement aux limites

→ ∞⎧ ⎫→ →⎨ ⎬→⎩ ⎭

d pa g

KS et S u

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

Période [s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

Période [s]

Comportement aux limites

→ ∞⎧ ⎫→ →⎨ ⎬→⎩ ⎭

pa g d

KS u et S

: 0→⎧ ⎫

→ →⎨ ⎬→ ∞⎩ ⎭d g pa

KS u et S

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

Période [s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

Période [s]

Spectres de calcul pour l'analyse élastique

Spectres normatifs (Exemple: spectres Eurocode 8)

1 accélérogramme 1 spectre

Pour le dimensionnement, spectre de référence moyen pour une zone donnée

Spectre Type 1 (séismes lointains) –

M > 5.5 Spectre Type 2 (séismes proches) –

M < 5.5

Caractérisation: Paramètres: ag

, type de sol, γI

• Spa

(T=0) = γI

• Palier = zone résonante (Spa

= 2.5 x γI

• Première phase décroissant en 1/T ( SV ~= constante)

• Deuxième phase décroissante en 1/T²

( Sd constant)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

Période [s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

Période [s]

Utilisation pratique pour la vérification sismique d'un système à

1 degré

de liberté:

• Choix d'un type de spectre (1 ou 2) et des paramètres caractéristiques

• Vérification de résistance

Vérification des états-limites

de service (en général sur base d'un niveau de séisme plus faible)

( )max, , , ,ξ ξ→ → → =M K C T Spa F M Spa T

( ) ( )2

,, , , ,

ξ ξπ

→ → =T Spa T

M K C T Sd T

Dynamique des oscillateurs multiples

Vibrations libres –

modes et périodes/fréquences propres

[ ]{ } [ ]{ } { } [ ] [ ]( ){ } { }20 0ω+ = ⇒ − =pM u K u K M u

Problème aux valeurs propres –

pour un système à

N degrés de liberté, N pulsations propres et N vecteurs propres associés

22,961 0,27449,091 0,12872,890 0,086

ω⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= → =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Résolution dans la base des modes propres

Principe: Utiliser les amplitudes des modes comme inconnues

{ } { } [ ]{ },1

( ) ( ) ( )η η=

= =∑N

i p ii

u t t u U tForme des modes propres

Amplitude des modes propres (variable au cours du temps)

[ ]{ }[ ]{ }

*2 1,η ω ξ η ω η→ + + = − = − =i i

i i i i i i g g

u M r Lu u pour i Nu M u M

Facteur de participation modale

Possibilité

de résoudre le problème en considérant chacun des modes séparément.

Sélection des modes / masse modale collaborante

[ ]{ }2

* *2 ii

i i i i i i g g

u M rL u uM M

η ω ξ η ω η+ + = − = −

1.42 0.51− 0.09

Pour une direction donnée, plus on "monte" dans les modes, moins le mode contribue à

la réponse globale

La sélection des modes à conserver se fait sur base

de la masse modale2

*= → =∑i

i i tot

Lm m MM

81%14.5%4.5%

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

Critère Eurocode 8:

0.90.05≥

≥∑ i tot

m Mm M

Utilisation des spectres de réponse pour les oscillateurs multiples

Principe

Système à

Valeur extrême obtenue par spectre

22ωξ ω+ + = − gu u u u

Système à

Valeur extrême pour chaque mode obtenue par spectre mis à

l'échelle par

On peut ensuite en dériver la valeur extrême de n'importe quelle grandeur (effort, déplacement) pour un mode donné)

*2η ω ξ η ω η+ + = − i

i i i i i i g

*i iL M

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Combinaison des réponses selon les différents modes

L'approche spectrale fournit uniquement une valeur extrême pour chaque mode.

MAIS il est peu probable que ces valeurs extrêmes se produisent simultanément (+ signe éventuellement différent) !!

0 10 20 30 40 50 60 70-0.015

-0.005

Extr. Mode 1

Extr. Mode 2

Combinaison des réponses selon les différents modes

• Une simple addition est en général trop sécuritaire

• Les effets sont combinés selon une moyenne quadratique (SRSS ou CQC)

Exemple:

M1extr

= 14.64

dexact

= 14.78 mm

M2extr

= 3.05

= 14.95 mm (≠1.1%)

dsomme

= 17.69 mm (≠

• Approche utilisable pour n'importe quel effet (déplacement ou effort)

2SRSS iX X= ∑ CQC ij i j

i jX X Xα= ∑∑

α1 csteξ =

i jω ω

α1 csteξ =

i jω ω

Analyse statique par force latérale

Principe

• Valable pour des structures régulières (un mode prépondérant)

Approximation reposant sur une équivalence de la résultante des efforts horizontaux en base (Base shear) = réaction aux forces d'inertie

Hypothèse: la structure se déforme uniquement selon son premier mode

,max 1 1 1*1

( ) ( )

1λ λ

H pa pa

LR S T m S TM

avec m M

Analyse statique par force latérale

Principe

Analyser la structure sous l'effet d'une distribution de forces horizontales telles que leur résultante vaut

,max 1( )λ=H tot paR M S T

• Evite

le calcul explicite des modes propres

mais nécessite une estimation correcte de la période de vibration principale T1

Formules approchées pour structure courantes

• Nécessite l'estimation du coefficient λ

Eurocode 8: λ = 1.0 (sécuritaire = toute la masse de la structure sur le premier mode), sauf pour les bâtiments élevés (> 2 niveaux) et de période relativement courte ( λ = 0.85)

Apport du travail plastique des matériaux

Bilan énergétique :

[ ]2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )gM u t u t dt C u t dt F u u t dt M u t u t dt′′′′ ′ ′ ′ ′+ + = −∫ ∫ ∫ ∫ECinétique + EVisqueux + EDéformation = Etotale injectée

ECinétique + EVisqueux + EDéf_élastique + EDéf_plastique = Etotale injectée

Cas 1: Mmax

Eél_1cycle

= 2 x (MEl

x θmax

Cas 2: Mmax

Etot_1cycle

= 4 x (MEP

x θmax

Même quantité

d'énergie accumulée dans la structure avec des éléments 2 fois moins résistants, pour autant qu'ils puissent supporter des déformations plastiques significatives

Différents choix de conception

Même quantité

d'énergie accumulée dans la structure avec des éléments 2 fois moins résistants, pour autant qu'ils puissent supporter des déformations plastiques significatives

Différents choix de conception

Avantages de l'exploitation du comportement plastique

Moins de sensibilité

aux incertitudes sur l'action

Permet de justifier la tenue de bâtiments dimensionnés élastiquement

Méthodes d'analyse en réponse inélastique

Contexte généralObjectif global des méthodes inélastiques: reproduire le comportement sismique

d'une structure de manière réaliste,

Soit en phase de dimensionnement (comme étape d'un processus itératif);

Soit en fin d'un processus de dimensionnement pour évaluer les capacités effectives de la structure;

Soit pour évaluer (ou ré-évaluer) les capacités sismiques d'une structure existante.

Nécessité de prendre en compte:

Le comportement non linéaire matériel (plastifications, fissurations…)

Le comportement non linéaire géométrique (grands déplacements effets de second ordre, réorientation d'efforts, instabilités…)

Contexte généralAnalyses élastiques linéaires:

Comportement non linéaire géométrique: Prise en compte limitée (non linéarités modérées) via un coefficient correctif dépendant de la flexibilité

latérale de la

structure (+ possibilité/nécessité

d'adapter le calcul de la raideur à

la situation)

totF M Spa(T)

T 2 M KK ??

Raideur fissurée / non-fissurée (initiale ou sécante)

• Raideur réduite par la compression

Comportement non linéaire matériel: Prise en compte de manière forfaitaire via le coefficient de comportement

θy θmax = μ

Fmax = FEL / q

La structure peut résister aux efforts imposés par le séisme:

- Calculés de manière élastique

- Divisés par q

Pour autant qu'elle soit capable de développer une ductilité

égale à

q (égalité

de déplacement)

+ 1) / 2 (égalité

d'énergie)q = Coefficient de comportement

Concept étendu à

des structures plus complexes

Valeurs de q minimales par catégories de structures et selon le choix de conception (DCL, DCM ou DCH)

Concept valable pour des structures de période "pas trop courte"

Traduit en pratique par un "spectre de dimensionnement"

Contexte généralAnalyse linéaire adaptée:

OK pour le (pré-) dimensionnement: Vérification de résistance sous spectre réduit + respect de règles pour garantir une ductilité

suffisante [Limites

d'utilisation imposées par les codes]

La vérification du design final devrait idéalement être effectuée à

l'aide d'une analyse où

les effets non linéaires sont modélisés et non supposés;

Les analyses non linéaires sont également à

recommander pour l'évaluation de structures existantes, afin d'identifier le(s) mécanisme(s) de ruine et de prendre en compte d'éventuelles grandes déformations.

Les analyses non linéaires sont aussi indispensables pour la calibration d'approches simplifiées (Calibration des facteurs q et mise au point des règles technologiques visant la ductilité).

Analyse dynamique non linéaire

Intégration temporelle complète de l'équation du mouvement

Méthode la plus précise: représentation directe de la réponse "réelle"

( ) gM u C u F u M u+ + = −

Mais nécessite tout de même un certain nombre de vérification a posteriori (notamment les éventuels modes de rupture non prévu par le modèle. Exemple: Cisaillement dans les poteaux en béton armé)

Analyse dynamique non linéaireRemarques relatives à l'analyse dynamique non linéaire

1. Modélisation du comportement non linéaire des matériaux.

Différents modèles existent (modèles "rotules", modèles "fibres")

Il est nécessaire de définir le comportement cyclique

2. Définition de l'action

Chaque calcul NL est un cas particulier (un accélérogramme

donné)

Choix de plusieurs accélérogrammes représentatifs (Proposition Eurocode 8: 3 acgs

et conserver le résultat maximum OU 7 acgs

et Conserver le résultat

moyen)

Accélérogrammes

naturels (si disponibles)

Accélérogrammes

synthétiques (pour couvrir l'ensemble du spectre de design)

-0.4-0.3-0.2-0.1

00.10.20.30.4

0 10 20 30 40 50 60

Acg naturel-10

Temps [s]

élér

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0Acg synthétique

3. Définition et calibration de l'amortissement

Pour l'analyse spectrale, on utilise un amortissement modal (en général ξ

L'amortissement modal n'a plus de sens en dynamique non linéaire

On doit définir la matrice d'amortissement complète

( ) gM u C u F u M u+ + = −

3. Définition et calibration de l'amortissement

En général, amortissement de Rayleigh:

Deux paramètres à définir, par exemple pour obtenir un niveau d'amortissement défini sur les deux premier modes

Problème: Faut-il utiliser Kini ou Ktg ?

C M Kα β= +

( ) gM u C u F u M u+ + = −

iniC M Kα β= + tgC M Kα β= +

4. Analyse des résultats

Temps de calcul généralement élevé

Grande quantité

de résultats à

dépouiller

Encore plus important en cas d'analyse dynamique pas à

pas incrémentielle !

gaDéplacement maximum

-10-8-6-4-202468

Temps [s]

élér

-10-8-6-4-202468

Temps [s]

élér

-10-8-6-4-202468

Temps [s]

ALTERNATIVE: Analyse statique non linéaire en poussée progressive

Principe: établir la courbe Fb (u) par une analyse statique équivalente sous l'effet d'actions représentatives des forces d'inertie

Déplacement maximum

Analyse statique non linéaire en poussée progressive

Méthodologie:

Créer un modèle mécanique de la structure

Appliquer le chargement vertical nominal

Définir un modèle de plasticité

monotone pour le matériau

Appliquer et incrémenter un distribution de charge horizontale jusqu'à "ruine" de la structure

Cst1Pλ

Avantages:•

Significativement plus rapide que l'analyse dynamique

Permet l'évaluation:

De la sur-résistance

globale (αu

) validation du coefficient de comportement q utilisé pour le design

De l'allure de la déformée inélastique

Des zones de concentration de déformation ("rotules plastique")

Avantages:•

globale (αu

Des efforts dans les éléments non-ductiles

comparer à

la résistance)

De la déformation des éléments ductiles

comparer à

la courbure limite)

Avantages:•

globale (αu

Des efforts dans les éléments non-ductiles

comparer à

la résistance)

De la déformation des éléments ductiles (à

comparer à

la courbure limite)

De l'effet des irrégularités géométriques (verticales + horizontales si modèle 3D)

Principales limitations:

Vue en plan

Le comportement cyclique des matériaux n'est pas explicitement pris en compte

Difficultés dans le cas de bâtiments avec torsion éventuelle (distribution irrégulière de masses)

Définition de la distribution verticale des efforts (modes supérieurs, modes inélastiques)

1P 'λ

2P 'λ

3P 'λ

4P 'λ

Mise en relation avec le niveau d'action sismique (point de fonctionnement ou point de performance):

gaDéplacement maximum

-10-8-6-4-202468

Temps [s]

élér

-10-8-6-4-202468

Temps [s]

élér

-10-8-6-4-202468

Temps [s]

élér

4PλDéplacement maximum

Evaluation

du point de performance

étape: Conversion de la courbe MDDL en une courbe 1DDL équivalente

*i i i

top* *b

PmPmmuFF et u

Γ = =

= =Γ Γ

∑ ∑∑

∑ ∑

Rem: Push-over

modal / Push-over

adaptatif

Evaluation

Approche en amortissement (ATC 40)

Superposition de la courbe de capacité

et du spectre ADRS calculé

pour un amortissement arbitraire ξ

Lecture du déplacement au point d'intersection

Évaluation de l'amortissement ξ' correspondant au déplacement

ξ', reprendre l'étape 1 avec un spectre calculé

pour l'amortissement ξ'

= ξ', le déplacement correspond au point de fonctionnement

Evaluation

Approche en amortissement (ATC 40)1.

un amortissement arbitraire ξ

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

Période [s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

Période [s]

élér

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450

Déplacement spectral [m]

élér

Sd(T) Spa(T) Spa(Sd)Spectre ADRS

Evaluation

Approche en amortissement (ATC 40)1.

pour un amortissement arbitraire ξ

*top* *b

uFFa fct um m

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟Γ Γ⎝ ⎠

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

Déplacement [m]

Evaluation

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

Déplacement [m]

2. Lecture du déplacement au point d'intersection

3. Évaluation de l'amortissement ξ' correspondant au déplacement

d* = μ

y pi y pi

a d d aa d

ξ κ ξ

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25Déplacement [m]

élér

Evaluation

4. Si ξ

ξ', reprendre l'étape 1 avec un spectre calculé

l'amortissement ξ'

5. Si ξ

= ξ', le déplacement correspond au point de fonctionnement

d* = μ

Evaluation

Approche N2 (Eurocode 8)

Masse effective

Coefficient de transformation

Force et déplacement pour le système à

1DDL équivalent

bi-linéarisation

de la courbe et calcul du déplacement élastique

Evaluation

Période effectiveDéplacement élastique

Evaluation

Déplacement du système réel

Méthodes de dimensionnement direct basé

sur les déplacements

Objectif: Dimensionner une structure en maîtrisant le niveau de dommage subi pour un niveau d'action donné

Par exemple:

EQ "de service" (Tret

= 50 ans): Pas de dommage (comportement élastique)

EQ "de calcul" (Tret

= 500 ans): Dommages réparables

EQ "extrême" (Tret

= 2500 ans): Pas d'effondrement (Life

safety)

Par comparaison, un dimensionnement en force ne garantit que la résistance (+ incertitude sur les valeurs de facteur de comportement)

Objectif: Dimensionner une structure en maîtrisant le niveau de dommage subi pour un niveau d'action donné

(1995) Extrême

Acceptable Non acceptable

Objectif: Dimensionner une structure pour en maîtrisant le niveau de dommage subi pour un niveau d'action donné

SANS PASSER PAR UNE PROCEDURE ITERATIVE

Méthodologie

Définir l'état de déplacement "cible" en liaison avec le niveau de performance recherché

(par exemple, drift inter-étage

ou niveau de

courbure)

Estimer le déplacement élastique de la structure (formules approchées pour des schémas types). En déduire la ductilité

requise.

Méthodologie

Connaissant la ductilité, en déduire l'amortissement visqueux équivalent représentatif de la dissipation hystérétique

Pilares BA

1 2 3 4 5 6Ductilidade

Blandon (1.0 sec)Piestley and Blandon (0.5 sec)Dwairi et al (1.0 sec)Dwairi et al (0.5 sec)Kwan

Vigas BA

1 2 3 4 5 6Ductilidade

Blandon (1.0 sec)Priestley Dwairi et al (1.0 sec)Dwairi et al (0.5 sec)Blandon (0.5 sec)Kwan

Méthodologie

Connaissant l'amortissement équivalent, le spectre de déplacement et le déplacement cible, en déduire la période effective de la structure

Difficultés:

Evaluation

du spectre de déplacement aux longues périodes

Effets de l'amortissement sur le spectre de déplacement

Méthodologie

Connaissant la période effective et la masse de la structure, en déduire la raideur sécante et le cisaillement en base

6: Finaliser le dimensionnement capacitif sur base de l'effort ainsi évalué

Keff = 4π2Meff / Teff2

= Δobj

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