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CSI 4506: Introduction CSI 4506: Introduction à à l’intelligence artificiellel’intelligence artificielle

Représentation et logique I

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Plan des cours des deux ou Plan des cours des deux ou trois semaines suivantestrois semaines suivantes

Partie I: Logique propositionnellePartie II: Calcul avec prédicatsPartie III: Logique non-monotonique Partie IV: Preuves de résolution

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Motivation (1)Motivation (1)

Afin de résoudre les problèmes complexes rencontrés en intelligence artificielle, on a besoin de deux choses:– D’un grand montant de connaissances– De mécanismes de manipulation de ces connaissances

Exemple, pris de MYCIN: Si le patient à une infection bactériale cutanée et si des

organismes spécifiques ne sont pas apparent dans l’analyse sanguine du patient, alors il y a évidence que l’organisme responsable pour l’infection est le staphylocoques

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Motivation (2)Motivation (2)

Souvent, l’information à encoder dans la base de données d’un système de productions (exemple: Un système expert) prend ses origines dans des assertions descriptives qui sont parfois difficiles à représenter naturellement par des structures simples telles que des tableaux de données ou des ensembles de nombres

Par Exemple: MYCIN doit rapporter et manipuler des ensembles d’assertions.

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Survol (1)Survol (1)

Dans cette partie du cours, afin de surmonter le problème de la représentation des connaissances, nous utiliserons des langages logiques

Définition: Une logique est un instrument mathématique qui permet de construire et de manipuler des expressions symboliques.

Nous étudierons deux langages de logique traditionnels: La Logique propositionnelle et Le calcul à prédicats. Nous nous arrêterons brièvement sur un langage non traditionnel: La logique non-monotonique.

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Survol (2)Survol (2)

Dans chaque langage logique étudié, nous:– Définirons le langage (Syntaxe)– Montrerons la façon dont il est utilisé pour

représenter des assertions (Sémantique)– Expliquerons comment des inférences peuvent

être faites d’ensembles d’expressions de ce langage.

– Discuterons de la manière dont les assertions peuvent être déduites d’autres assertions dans ce langage.

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Partie IPartie I

La logique propositionnelle, P

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Plan du CoursPlan du Cours

Terminologie I: Syntaxe

SémantiqueLois d’équivalenceFormes normalesRègles d’inférencePreuves et théorèmes

Terminologie II: Complexité computationnelle

Preuve de théorèmes automatisés:– Réduction de buts– Preuves par

contradictions

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Terminologie ITerminologie I

Propositions: Une assertion qui peut être vraie ou fausse Formules: la négation d’une proposition, la conjonction ou

la disjonction de deux formules, l’implication d’une formule à l’autre, l’équivalence de deux formules.

Formule bien formée (Well-Formed Formula (wff): Une formule légale.

Valeur logique (Truth Value): La valeur logique (vraie ou fausse) d’une proposition ou d’une formule

Interprétation: Le don d’une valeur logique de wffs dans un monde possible. (Voir définition formelle plus tard)

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Syntaxe pour Syntaxe pour PP

Un ensemble de variables propositionnelles Les connectives: , , , , Un ensemble de wffs définies inductivement de la

manière suivante:– Les variables propositionnelles– A1 A2 … An ou chaque Ai est une wff– A1 A2 … An ou chaque Ai est une wff A ou A est une wff– A B et A B ou A et B sont des wffs

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Sémantique pour Sémantique pour PP : Tables : Tables logiqueslogiques

A B B=T B=F

A=T T F

A=F F F

A B B=T B=F

A=T T T

A=F T F

A B B=T B=F

A=T T F

A=F T T

A

A=T F

A=F T

Et Ou

Implication Non

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Lois d’équivalence (1)Lois d’équivalence (1)

Lois d’élimination:(A) AA B A B

Lois de De Morgan:(A B) A B(A B) A B

Lois de distributivité:A (B C ) (A B) (A C) A (B C ) (A B) (A C)

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Lois d’équivalence (2)Lois d’équivalence (2)

Lois de commutativité: A B B A A B B A

Lois d’associativité: (A B) C A (B C) (A B) C A (B C)

Loi contrapositive: A B B A

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Formes normalesFormes normales Il existe souvent plusieurs manières de représenter la même assertion

logique:– Exemple: P Q P Q (P Q)Il est nécessaire d’établir une convention

La forme normale conjonctive (CNF): Une base de données de formules est en CNF si elle est représentée comme une conjonction de disjonctions de littéraux.

La forme normale disjonctive (DNF): Une base de données de formules est en DNF si elle est représentée comme une disjonction de conjonctions de littéraux.

Nous travaillerons principalement sur la CNF

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ExemplesExemples

(Ils seront présentés au tableau en classe)

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Conversion d’une wff a une Conversion d’une wff a une CNF CNF

1. Élimination des symboles d’implication2. Réduction de la portée des symboles de négation: On veut que chaque symbole de

négation soit appliqué à une variable propositionnelle au plus.

3. Distribution des disjonctions4. Élimination des symboles de conjonction

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Règles d’inférence (1)Règles d’inférence (1)

Définition: Un mécanisme par lequel on peut tirer des conclusions.

Modus Ponens:1. A B2. A3. B MP: 1,2

Conjonction1. A2. B3. A B CONJ: 1,2

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Règles d’inférence (2)Règles d’inférence (2)

Règle de résolution

1. A1 …. Ai C Ai+1 … Am

2. B1 …. Bj C Bj+1 … Bn

3. A1 … Am B1 … Bn

RR: 1,2

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Preuves et théorèmesPreuves et théorèmes

Définition: Une preuve est une séquence d’assertions dans un langage approprié (e.g., P) dans laquelle chaque assertion est un axiome ou la conséquence immédiate d’une règle d’inférence et d’une assertion précédente dans la séquence.

(Voir exemple en classe)Définition: Chacune des lignes de la preuve

est un théorème du système formel.

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Terminologie (1)Terminologie (1)

Axiomes: Faits et règles Interprétation: assignation de valeurs aux littéraux. Model: Une interprétation qui donne la valeur “vrai”

à tous les axiomes Règles d’inférence justes (sound): Manipulations

qui produisent de nouveaux théorèmes à partir d’axiomes ou d’ancien théorèmes tels que les modèles des théorèmes anciens ou des axiomes sont garantis d’être des modèles des nouveaux théorèmes

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Terminologie (2)Terminologie (2)

Validité: Une wff qui est T (vraie) pour toutes les interprétations possibles est valide.

Satisfiabilité: Si la même interprétation donne a chaque wff d’un ensemble de wffs la valeur T, alors on dit que cette interprétation satisfait l’ensemble des wffs. i.e., un ensemble de wffs est satisfiable s’il a un modèle

Complétude: Une règle d’inférence est complète si, étant donné un ensemble de wffs S, la règle peut inférer toutes les expressions qui découlent logiquement de S.

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Complexité computationnelleComplexité computationnelle Déterminer la satisfiabilité d’une formule arbitraire de P

est NP-Complet. i.e., Il est peu probable que la satisfiabilité peut être déterminée

en temps polynomial dans la longueur de la formule. Étant donné que la satisfiabilité est difficile à établir et, si on

suppose que nous sommes intéressés en des théories qui sont justes et complètes, il sera difficile de déterminer si une formule arbitraire est un théorème.

En réalité, cependant, on peu souvent tirer les conclusions qui nous intéresse puisque tout ce que l’on vient de dire représente le cas extrême (pire).

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Preuve de théorème Preuve de théorème automatisé en automatisé en PP (1) (1)

Réduction de But Exemple: Prouver R,

étant donné: ( P Q ) R R1 ( S T ) Q R2 S F1 T F2 P F3

Solution: R (R1) P, Q (F3) Q (R2) S, T (F1) T (F2)

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Preuve de théorème Preuve de théorème automatisé en automatisé en PP (2) (2)

Résolution par réfutation (Preuve par Contradiction)

1. Convertir les axiomes en CNF 2. Contredire le But 3. Utiliser la règle d’inférence de résolution autant

de fois que nécessaire jusqu’a ce que vous arriviez a une tautologie ( T T ) Succès!!!

(Un exemple sera montre en classe)