1

Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé direct ( )v,u;O

Propriétés : Soit M un point d'affixe Rb,a,ibaz ∈+=

( )2

zzzRea

+== ( )i2

zzzImb

−== ( ) ( )22zImzRez +=

( ) ( ) 0zImzRe0z ==⇔= 0z0z =⇔= 2zzz =× ,

2z

z

z

1 = , ∗∈Cz

( ) zz0zImRz =⇔=⇔∈ ( ) zz0zReiRz −=⇔=⇔∈ AB zzAB −=

AB zzABAff −=

→

2

zzzB*AI BA

I

+=⇔= ( ) =+ vbuaAff ( )+uaAff ( )vbAff

[ ]( )π2OM,u)zarg( = , ∗∈Cz azouaza²z:Ra −==⇔=∈ +

aizouaiza²z:Ra −==⇔=∈ −

( ) [ ]π2zz

zzargCD,AB

AB

CD

−−

≡

Propriétés : Pour tous nombres complexes z et z' et tout entier n on a :

( )( ) ( ) ( ) ( )0'z,

'z

z

'z

z0z,

z

1

z

10z,

z

1

z

1

zz'z.z'zz'zz'zz

nn

nn

≠=

≠=

≠=

==+=+

( ) ( ) 'zz'zz0z,z

1

z

10z,

z

1

z

1

²zzzzz'zz'zz

nn

nn

+≤+≠=≠=

==×=

Forme cartésien – Forme trigonométriques

θθ sinrb,cosra ==

ibaz

cartésienForme

+= ( ) 0r,sinicosrz

riquestrigonométForme

>+= θθ

r

bsin,

r

acos,²b²azr ==+== θθ

Pour tous nombres complexes z et z' non nuls d'écriture trigonométriques :

[ ] ( )θθθ sinicosr,rz +== et [ ] ( )'sini'cos'r','r'z θθθ +==

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] Zn,n,rz',

'r

r

'z

z,

r

1

z

1','rr'zz

0k,,krkz0k,,krkz,rz,rz

nn ∈=

−=

−=+=

<+−=>=+=−−=

θθθθθθ

θπθθπθ

Forme exponentielle

Pour tout réel θ , on note θie le nombre complexe θθ sinicos + .

ieie1e1e 2i

2i

i0i −==−==− ππ

π

)(iiiii)k2(ii eeeeee1e θπθθθθπθθ +−+ =−===

( ) Zn,eeee

ee

e

1ee.e inni)'(i

'i

ii

i

)'(i'ii ∈==== +−+ θθθθ

θ

θθ

θ

θθθθ

Fiche de cours 4ème Maths

Nombres complexesNombres complexesNombres complexesNombres complexes

MMMMaths au lycee aths au lycee aths au lycee aths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR

Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/

2

Formule de Moivre

Pour tout réel φ et tout entier n , on a : ( ) φφφφ nsinincossinicosn +=+

Formule d’Euler

2

eecos

ii φφ

φ−+= et

i2

eesin

ii φφ

φ−−=

Racines nièmes

Soit a un nombre complexe non nul et *Nn ∈ tel que [ ]θ,ra = .

L’équation azn = admet dans C, n solutions distinctes définis par

+

= n

k2i

n

1

k erz

πθ

, { }1n,...,1,0k −∈

Conséquences :

Les points images des racines nièmes de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle

trigonométrique.

Théorème

Soit a un nombre complexe non nul d’argument φ . L’équation z² = a admet dans C deux solutions opposées :

z1 =

+2

sini2

cosaφφ

et z2 = -

+2

sini2

cosaφφ

Ces solutions sont appelées racines carrées du nombre complexe a .

Théorème

L’équation az² + bz + c = 0 ( a , b et complexes et a non nul) admet deux solutions dans C :

a2

bz1

σ+−= et a2

bz2

σ−−= où ac4²b∆ −= et σ est une racine carrée de ∆

a

czz

a

bzz)zz)(zz(acbz²az 212121 =−=+−−=++

A retenir : Soit Rb,a,iba²z ∈+= , avec iyxz += alors on a

=+=+

=−

bxy2

²b²a²y²x

a²y²x

Théorème

Soit n10 a,...,a,a des nombres complexes tels que 0an ≠ , 2n ≥ .

Soit 011n

1nn

n aza...zaza)z(P ++++= −− .

Si 0z est un zéro de P, alors )z(g)zz()z(P 0−= , où g(z) est se la forme 02n

2n1n

n b...zbza +++ −−

− , avec

2n10 b,...,b,b − complexes.