Cours nombres complexes
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1
Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé direct ( )v,u;O
Propriétés : Soit M un point d'affixe Rb,a,ibaz ∈+=
( )2
zzzRea
+== ( )i2
zzzImb
−== ( ) ( )22zImzRez +=
( ) ( ) 0zImzRe0z ==⇔= 0z0z =⇔= 2zzz =× ,
2z
z
z
1 = , ∗∈Cz
( ) zz0zImRz =⇔=⇔∈ ( ) zz0zReiRz −=⇔=⇔∈ AB zzAB −=
AB zzABAff −=
→
2
zzzB*AI BA
I
+=⇔= ( ) =+ vbuaAff ( )+uaAff ( )vbAff
[ ]( )π2OM,u)zarg( = , ∗∈Cz azouaza²z:Ra −==⇔=∈ +
aizouaiza²z:Ra −==⇔=∈ −
( ) [ ]π2zz
zzargCD,AB
AB
CD
−−
≡
Propriétés : Pour tous nombres complexes z et z' et tout entier n on a :
( )( ) ( ) ( ) ( )0'z,
'z
z
'z
z0z,
z
1
z
10z,
z
1
z
1
zz'z.z'zz'zz'zz
nn
nn
≠=
≠=
≠=
==+=+
( ) ( ) 'zz'zz0z,z
1
z
10z,
z
1
z
1
²zzzzz'zz'zz
nn
nn
+≤+≠=≠=
==×=
Forme cartésien – Forme trigonométriques
θθ sinrb,cosra ==
ibaz
cartésienForme
+= ( ) 0r,sinicosrz
riquestrigonométForme
>+= θθ
r
bsin,
r
acos,²b²azr ==+== θθ
Pour tous nombres complexes z et z' non nuls d'écriture trigonométriques :
[ ] ( )θθθ sinicosr,rz +== et [ ] ( )'sini'cos'r','r'z θθθ +==
[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] Zn,n,rz',
'r
r
'z
z,
r
1
z
1','rr'zz
0k,,krkz0k,,krkz,rz,rz
nn ∈=
−=
−=+=
<+−=>=+=−−=
θθθθθθ
θπθθπθ
Forme exponentielle
Pour tout réel θ , on note θie le nombre complexe θθ sinicos + .
ieie1e1e 2i
2i
i0i −==−==− ππ
π
)(iiiii)k2(ii eeeeee1e θπθθθθπθθ +−+ =−===
( ) Zn,eeee
ee
e
1ee.e inni)'(i
'i
ii
i
)'(i'ii ∈==== +−+ θθθθ
θ
θθ
θ
θθθθ
Fiche de cours 4ème Maths
Nombres complexesNombres complexesNombres complexesNombres complexes
MMMMaths au lycee aths au lycee aths au lycee aths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR
Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
2
Formule de Moivre
Pour tout réel φ et tout entier n , on a : ( ) φφφφ nsinincossinicosn +=+
Formule d’Euler
2
eecos
ii φφ
φ−+= et
i2
eesin
ii φφ
φ−−=
Racines nièmes
Soit a un nombre complexe non nul et *Nn ∈ tel que [ ]θ,ra = .
L’équation azn = admet dans C, n solutions distinctes définis par
+
= n
k2i
n
1
k erz
πθ
, { }1n,...,1,0k −∈
Conséquences :
Les points images des racines nièmes de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle
trigonométrique.
Théorème
Soit a un nombre complexe non nul d’argument φ . L’équation z² = a admet dans C deux solutions opposées :
z1 =
+2
sini2
cosaφφ
et z2 = -
+2
sini2
cosaφφ
Ces solutions sont appelées racines carrées du nombre complexe a .
Théorème
L’équation az² + bz + c = 0 ( a , b et complexes et a non nul) admet deux solutions dans C :
a2
bz1
σ+−= et a2
bz2
σ−−= où ac4²b∆ −= et σ est une racine carrée de ∆
a
czz
a
bzz)zz)(zz(acbz²az 212121 =−=+−−=++
A retenir : Soit Rb,a,iba²z ∈+= , avec iyxz += alors on a
=+=+
=−
bxy2
²b²a²y²x
a²y²x
Théorème
Soit n10 a,...,a,a des nombres complexes tels que 0an ≠ , 2n ≥ .
Soit 011n
1nn
n aza...zaza)z(P ++++= −− .
Si 0z est un zéro de P, alors )z(g)zz()z(P 0−= , où g(z) est se la forme 02n
2n1n
n b...zbza +++ −−
− , avec
2n10 b,...,b,b − complexes.