Post on 19-Jun-2022
Cours 2: La relativite restreinte 1
Cours 2. La relativite restreinte :
introduction
— Resume du dernier cours sur l’experience de Michelson et
Morley.
— Les postulats de la relativite restreinte.
— Invariance des longueurs perpendiculaires au mouvement
relatif.
— Argument pour la transformation de Lorentz.
— Les evenements dans l’espace-temps et l’ntervalle
d’espace-temps entre eux.
— Exercices pour la maison.
— Exercices immediats.
— Anciens TD.
— Les phenomenes relativistes. (pour la prochaine fois)
Cours 2: La relativite restreinte 2
— Addition des vitesses.
Cours 2: La relativite restreinte 3
Resume du cours 1. Michelson et Morley
Les grandes lignes :
— L’interferometre de Michelson (§2.5 dans les notes de cours
de Jacques Langnois).
— L’experience de de Michelson et Morley (§2.6 et 2.7 dans les
notes de cours de Jacques Langnois).
— Cette experience a mise en evidence l’interference de la
lumiere provenant de deux sources synchrones.
— Motivation : essayer de mesurer la vitesse de la terre par
rapport a l’ether. Voir le youtube.com video de e-penser
pour la perspective historique.
Cours 2: La relativite restreinte 4
Cours 2 : La relativite restreinte
— La relativite restreinte constitue un extension de la relativite
de Galilee a l’ensemble des lois de la physique.
— Elle peut se fonder sur deux principes.
Cours 2: La relativite restreinte 5
Les postulats de la relativite restreinte
1. Les lois fondamentales de la physique gardent la meme
forme dans tous les reperes inertiels – elles sont covariantes
Si une lois est verifiee dans un repere inertiel elle est vraie
dans tous les reperes se deplacant a vitesse constante par
rapport a celui-ci. Par exemple, l’equation d’onde pour un
champ electrique ~E dans le vide :
∂2 ~E
∂t2− c2∇2 ~E = 0, (1)
On verra (un autre jour) qu’elle est valable dans tous
referentiels inertiels.
2. Le second postulat admet que la vitesse de la lumiere [dans le
vide] est independante du mouvement de la source ou de
l’observateur. La vitesse de la lumiere dans le vide est une
Cours 2: La relativite restreinte 6
constante fondamentale qui joue un role meme dans des
phenomenes qui n’impliquent pas d’interaction
electromagnetique.
3. L’espace est isotrope.
— En 1905 seul les lois de la mecanique classique et de
l’electromagnetisme etaient connues. Depuis, d’autres lois et
d’autres interactions ont ete decouvertes et elles sont toutes
en accord avec la relativite restreinte. La covariance des lois
fondamentales de la nature est maintenant bien etablie. Une
implication : aucune experience ne peut mettre en evidence
d’un repere au repos absolu et la notion de l’ether devient
inutile.
— L’experience de Michelson et Morley a montre que la vitesse
de la lumiere est independante du mouvement de
l’observateur. D’autres experiences ont utilise differentes
sources (soleil, etoiles, . . . ) et ont obtenue les memes
Cours 2: La relativite restreinte 7
resultats. La mesure de la vitesse de la lumiere dans le vide
donne toujours le meme resultat. Une implication : La
transformation de Galilee doit donc etre remise en question.
— Einstein a utilise l’hypothese que l’espace est isotrope
partout, une hypothese qui implique que l’espace est
uniforme (homogene) aussi.
Cours 2: La relativite restreinte 8
Postulats sont incompatible avec la
transformation de Galilee
— Considerons deux observateurs utilisant des reperes dont les
axes sont paralleles. Les origines O et O′ coincident a
l’instant t = t′ = 0. A ce moment une source ponctuelle
coincidant avec O et O′ produit une onde.
Cours 2: La relativite restreinte 9
O x
y
O’ x’
y’
B A
Figure 1 – Source ponctuelle d’onde a l’origine O, stationaire dans
R. Le cercle est la surface d’onde emit a t = 0 quand O et O′ etaient
coıcidentes.
Cours 2: La relativite restreinte 10
— Nous allons d’abord considerer le cas d’une onde mecanique
a la surface de l’eau par exemple puis le cas d’une onde
electromagnetique.
— Dans le cas d’une onde mecanique circulaire les points A et
B sont a egale distance de l’origine O car la vitesse de l’onde
c est la meme dans les deux sens. N.B. Les points A et B
appartiennent a une meme surface d’onde.
— Les points A et B ne sont pas a la meme distance de O′ car
la vitesse du point A par rapport a O′ est c− v tandis que
celle du point B est c+ v. Le point O′ n’est donc pas au
centre du cercle correspondant a la surface d’onde.
— Supposons maintenant que la source produit une onde
electromagnetique comme la lumiere. Meme pour O′ la
vitesse due point A est egale a celle du point B car la vitesse
de la lumiere est la meme pour tous les observateurs. Elle est
la meme dans toutes les directions.
Cours 2: La relativite restreinte 11
— Pour l’observateur O l’equation de la surface d’onde s’ecrit :
c2t2 − x2 − y2 − z2 = 0
C’est donc une sphere de rayon ct. Pour l’observateur O′ la
surface d’onde est egalement une sphere car la vitesse de
propagation est la meme dans toutes les directions.
L’equation de la surface d’onde s’ecrit :
c2t′2 − x′2 − y′2 − z′2 = 0
— Cette relation est incompatible avec la transformation de
Galilee (avec t = t′). Il faut donc chercher une
transformation plus generale qui se ramenera a celle de
Galilee lorsque la vitesse relative des observateurs est petite
par rapport a la vitesse de la lumiere dans le vide.
Cours 2: La relativite restreinte 12
Invariance des longueurs perpendiculaires
au mouvement relatif
Cours 2: La relativite restreinte 13
— Considerons deux tiges verticales A et B pouvant glisser sur
une surface horizontale.
— Nous allons trouver que le principe de relativite exige que les
longueurs perpendiculaires au mouvement reste invariantes.
Cours 2: La relativite restreinte 14
A B
Plaser
A B
P’laser
(b)
(a)
v
Figure 2 – (a) Les deux tiges sont immbiles. Le point eclaire est P .
(b) A s’approche B. Le point eclaire est P ′.
Cours 2: La relativite restreinte 15
— Lorsqu’elles sont au repos une source fixee sur A emet un
faisceau de lumiere qui atteint un point P sur B, Fig. 2(a).
— Lorsque la tige A se deplace vers B a la vitesse v le point
eclaire P ′, Fig. 2(b), est-il plus haut ou plus bas que P ?
— S’il est plus haut l’observateur au repos par rapport a B en
deduira que le mouvement a pour effet de dilater les longeurs
perpendicularies au mouvement. L’observateur au repos par
rapport a A en deduira que la tige B qui s’approche de lui a
la vitesse v se contracte et que le mouvement a pour effet de
contracter les longueurs perpendiculaires.
— Les deux observateurs se deplacant avec une vitesse relative
constante en deduisant donc des lois de transformation
differentes ce qui est contraire au principe de relativite. Le
probleme serait le meme si le point P ′ etait plus bas que le
point P .
— La seule facon de respecter le principe de relativite est
Cours 2: La relativite restreinte 16
d’admettre l’invariance des dimensions perpendiculaires au
mouvement relatif.
Cours 2: La relativite restreinte 17
La transformation de Lorentz
Cours 2: La relativite restreinte 18
L’invariance de l’intervalle de RR
— Imaginons nous avons deux referentiels inertiels R et R′ en
mouvement relatif.
— Nous supposons que l’espace est isotrope et donc nous
pouvons toujours orienter les axes comme nous voulons.
Alors, sans perte de generalite, nous pouvons orienter les
axes des x et x′ dans la direction du mouvement relatif.
— Nous venons d’admettre l’invariance des dimensions
perpendiculaires au mouvement relatif, ce qui implique dans
ce cas que
y′ = y, z′ = z. (2)
Alors nous nous concentrons sur les coordonnees x et t.
— La transformation des abscisses et des temps entre deux
Cours 2: La relativite restreinte 19
reperes inertiels doit donc verifier la condition :
c2t2 − x2 = c2t′2 − x′2 (3)
Il faut donc une transformation plus generale que celle de
Galilee.
Cours 2: La relativite restreinte 20
La transformation de Lorentz
— Si l’espace-temps est uniforme la transformatin est lineaire.
Elle peut s’ecrire sous forme matricielle :ct′x′
=
L11 L12
L21 L22
ctx
ou les Lij sont des coefficients sans dimension.
— On peut donc ecrire :
ct′ = L11ct+ L12x
x′ = L21ct+ L22x. (4)
— Il y a quatre valeurs a trouver. Il faut trouver quatre
equations independantes. Nous tentons d’exprimer les
coefficients L11, L12, L21 en fonction de L22 et v/c.
Cours 2: La relativite restreinte 21
— (i) Considerons le mouvement rectiligne uniforme de
l’origine O′ dans R. Nous savons que O′ a une vitesse v le
long de l’axe des x. L’origine a toujours x′ = 0. Donc, si on
fixe x′ = 0 on doit avoir x/t = v. Alors
x′ = L21ct+ L22x = 0
L21 = −L22x
ct= −L22
v
cL21 = −βL22, ou β ≡ v/c. (5)
(ii) L’invariance de la vitesse de propagation d’un signal
lumineux le long de l’axe Ox > 0 (ou de l’axe O′x′) s’ecrit :
1 =x
ct=x′
ct′,
soit
1 =x′
ct′=L21ct+ L22x
L11ct+ L12x=L21ct+ L22ct
L11ct+ L12ct=L21 + L22
L11 + L12,
Cours 2: La relativite restreinte 22
soit
L11 + L12 = L21 + L22. (6)
(iii) La meme chose que (ii) sauf le signal lumineux se
propage dans l’autre sens :
−1 =x
ct=x′
ct′,
soit
−1 =x′
ct′=L21ct+ L22x
L11ct+ L12x=L21ct− L22ct
L11ct− L12ct=L21 − L22
L11 − L12,
soit
L12 − L11 = L21 − L22. (7)
Soustrayons Eq. (7) de Eq. (6) nous avons
2L11 = 2L22 =⇒ L11 = L22. (8)
Cours 2: La relativite restreinte 23
— Sommons Eq. (7) de Eq. (6) nous avons
2L12 = 2L21
L12 = L21 = −L22β. utilise Eq. (5) (9)
Cours 2: La relativite restreinte 24
La transformation de Lorentz
— Nous avons elimine trois parametres et donc nous pouvons
ecrire Eq. (10) avec un seul parametre inconnu :
ct′ = L22ct− βL22x
x′ = −βL22ct+ L22x. (10)
— Finalement nous utilisons Eq. (3)
c2t2 − x2 = c2t′2 − x′2
= (L22ct− βL22x)2 − (−βL22ct+ L22x)2
= L222
((ct− βx)2 − (−βct+ x)2
)= L2
22(1− β2)(c2t2 − x2). (11)
Cours 2: La relativite restreinte 25
— On en deduit
L222 =
1
1− β2
L22 = ± 1√1− β2
. (12)
— Nous prenons la raccine positive car sinon x et x′ sont
diriges dans les sens opposes. Alors nous definons
γ =1√
1− β2(13)
et nous avons la transformation de Lorentz (dans la
Cours 2: La relativite restreinte 26
configuration standarde) s’ecrit donc :ct′
x′
y′
z′
=
γ −β γ 0 0
−β γ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
ct
x
y
z
. (14)
— La transformation inverse s’obtient simplement en
remplacant β par −β.ct
x
y
z
=
γ β γ 0 0
β γ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
ct′
x′
y′
z′
. (15)
— Cette transformation a ete etablie par Lorentz puis Henri
Poincare entre 1895 et 1904 et par une autre methode par
Cours 2: La relativite restreinte 27
Einstein en 1905. Joseph Larmor l’avait obtenu avant 1900
mais le premier a la trouver est sans doute Woldemar Voigt
en 1882 !
Cours 2: La relativite restreinte 28
Trouver la transformation de Lorentz :
bilan
— On a suppose une relation lineaire entre coordonnees (t, x)
et (t′, x′). (En fait, il n’est pas necessaire, mais ca rend la
preuve plus vite.) Ca implique que la relation entre (t, x) et
(t′, x′) s’exprime en equation matricielle.
— On a utilise le fait que l’origine O′ se deplace a vitesse
v = βc dans R : =⇒ L21 = −βL22.
— On a utilise le fait que la vitesse de la lumiere est ±c dans
n’importe quel referentiel inertiel. On a trouve L11 = L22 et
L12 = L21.
— On a utilise l’invariance de c2t2 − x2 = c2t′2 − x′2, ce qui a
donne que L222 = ± 1
1−β2 .
— Finalement, on a choisi le raccine positive afin que la
Cours 2: La relativite restreinte 29
transformation de change pas la direction de l’axe des x.
Cours 2: La relativite restreinte 30
Intervalle d’espace-temps
— Un evenement correspond a un point dans l’espace-temps a
quatre dimensions. Il a lieu a un endroit et a un instant
donnes.
— La transformation de Lorentz est construite pour que la
quantite (ct)2 − x2 − y2 − z2 soit invariante dans un
changement de repere. Il en est de meme pour la quantite :
∆s2 ≡ s221 = c2(t2 − t1)2 − (x2 − x1)2 − (y2 − y1)2 − (z2 − z1)2.
(16)
[Sinon, ca impliquerait une origine du systeme des
coordonnees privilegiee.]
— On appelle s21 (le carre de) l’intervalle d’espace temps entre
deux evenements. Cet intervalle etant le meme pour tous les
Cours 2: La relativite restreinte 31
referentiels galileens (i.e. inertiels) ; il a une signification
absolue.
Cours 2: La relativite restreinte 32
La transformation de Lorentz dans la
limite de faible vitesse
— La transformation de Lorentz que nous venons de trouver
relie deux systeme de coordonnees cartesiens (inertiel) en
configuration standarde. Les parametres β et γ sont des
fonctions de la vitesse d’ecartement v
β =v
c, γ =
1√1− v2
c2
. (17)
— Qu’est-ce qu’on attend pour la limite β � 1 ? La
transformation de Lorentz doit s’approcher a une
transformation plus familiere.
— En passant a la limite de faible vitesse, la transformation de
Lorentz s’approche a la transformation de Galilee.
Cours 2: La relativite restreinte 33
Curieusement, pour arriver a t′ = t il faut avoir
ct′ = γct− βx,
t′ ' t, =⇒ γct� βx,
x� γct
β' c2
vt. (18)
Cours 2: La relativite restreinte 34
Le groupe de Lorentz et les
quadrivecteurs
— La transformation de Lorentz que nous venons de trouver
n’est qu’un cas particulier. Il s’agit de la transformation
entre deux systeme de coordonnees cartesiens en
configuration standarde. Il s’appelle « un boost » le long de
l’axe des x. C’est le cas le plus interessant.
— On peut immediatement trouver la transformation de
Lorentz reliant deux systemes de coordonnees cartesiens
alignes qui se separent le long des axes des y et y′. On
interchange les roles de x et y.
— On interchange les roles de x et z pour le cas de deux
systemes de coordonnees cartesiens alignes qui se separent le
long des axes des z et z′.
Cours 2: La relativite restreinte 35
— On peut faire des rotations aussi. Une rotation autour de
l’axe des z par exemple s’ecrit commect′
x′
y′
z′
=
1 0 0 0
0 cos θ sin θ 0
0 − sin θ cos θ 0
0 0 0 1
ct
x
y
z
. (19)
— Normalement on resteint les systemes de coordonnees aux
systemes propre tel que k = i× j. Donc un nombre impair
des inversions est interdit.
— Les transformations permit ont une representation avec une
matrice M (parce qu’elles sont les transformations lineaires).
— On peut faire deux transformations, l’une apres l’autre, ce
Cours 2: La relativite restreinte 36
qui s’ecrit comme le produit des matrices.ct′
x′
y′
z′
=
1 0 0 0
0 cos θ sin θ 0
0 − sin θ cos θ 0
0 0 0 1
γ β γ 0 0
β γ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
ct
x
y
z
.
(20)
— L’identite M = I corresponde au cas d’un boost avec β = 0
(ou une rotation par angle θ = 0.)
— Pour chaque transformation de Lorentz M , on a la
transformation inverse M−1, tel que
MM−1 = M−1M = I. (21)
— Le produit matriciel est associatif
M1(M2M3) = (M1M2)M3. (22)
Cours 2: La relativite restreinte 37
— On en deduit que les transformations de Lorentz forment
une structure algebrique qui s’appelle « un groupe ». Il est le
groupe de Lorentz SO(4). Le “S” indique special parce que
l’on a interdit les systeme de la main gauche (left-handed
systems were not permitted) ; le “O” indique orthogonal, il
s’agit d’une generalisation des matrices orthogonales ; le 4
parce qu’ils sont les matrices carree 4× 4.
— On appelle quadri-vecteur un ensemble de quatre
composantes qui se transforment de la meme maniere. Le cas
particulier etudie ici est le quadrivecteur position.
Cours 2: La relativite restreinte 38
Exercices pour la maison
1. Demontrer que le carre de l’intervalle d’espace-temps entre
deux evenements A et B
∆s2 ≡ (∆ct)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2 (23)
est invariant par la transformation de Lorentz.
2. Verifier par calcul explicite que la transformation (32) est la
transformation inverse a (31). Ca veut dire verifier queγ β γ 0 0
β γ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
γ −β γ 0 0
−β γ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(24)
Cours 2: La relativite restreinte 39
3. Comparer les trois transformations : (i) transformation de
Lorentz, (ii) transformation de Galilee, (iii) une rotation des
axes Cartesiens dans le plan euclidien. Que pensez-vous du
fait que le temps intervient dans la transformation de
Lorentz ?
4. Ecouter la video :
https://www.youtube.com/watch?v=KX9QSjv0Ib0 et la
suite https://www.youtube.com/watch?v=_4Af9UrWEtc
Cours 2: La relativite restreinte 40
Exercices immediats
1. Exercice 6 de l’examen de 2014 : Considerer un
referentiel, R, avec un systeme des coordonnees cartesiens et
un autre referentiel, R′, l’origine de quel qui se deplace les
long de l’axe des y avec un vitesse constante, v. A l’instant
t = 0 = t′, tous les trois axes spatiaux sont alignes. Ecrire la
transformation de Lorentz pour cette situation, qui
transforme les coordonnees des quadrivecteurs en R′ jusqu’a
les coordonnees en R.
Cours 2: La relativite restreinte 41
Exercices immediats : solution
1. Nous avons change les roles des axes des x et y de la
configuration standard. Du coupsVt
Vy
Vx
Vz
=
γ vγ 0 0
vγ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Vt′
Vy′
Vx′
Vz′
(25)
Cours 2: La relativite restreinte 42
Alors, Vt
Vx
Vy
Vz
=
γ 0 vγ 0
0 1 0 0
vγ 0 γ 0
0 0 0 1
Vt′
Vx′
Vy′
Vz′
(26)
Cours 2: La relativite restreinte 43
TD1
— Solutions sont disponible a partir de mon site web
stockage.univ-brest.fr/~scott
Cours 2: La relativite restreinte 44
Les phenomenes relativistes
Cours 2: La relativite restreinte 45
Addition des vitesses
— Un repere d’origine O′ se deplace a la vitesse v1 par rapport
a un repere d’origine O. Un autre repere d’origne O′′ se
deplace par rapport a celui d’origine O′. On cherchera a
determiner la vitesse de O′′ par rapport a O.
Cours 2: La relativite restreinte 46
O x
y
O’ x’
y’ y’’
x’’O’’
v1 v2
R R’ R’’
Figure 3 – Il y trois repere inertiels, R, R′, et R′′. Le repere R′ a la
vitesse v1 par rapport a R. Le repere R′′ a la vitesse v2 PAR RAP-
PORT a R′. Nous cherchons la vitesse v de repere R′′ par rapport a
R.
— En appliquant la transformation de Galilee on trouverait
v = v1 + v2 mais cela pourrait conduire a une vitesse
Cours 2: La relativite restreinte 47
superieure a celle de la lumiere. La transformation de
Lorentz permet d’ecrire :ctx
=
γ1 β1γ1
β1γ1 γ1
ct′x′
ou β1 = v1/c, et γ1 = 1/
√1− β2
1 .
— La transformation peut etre appliquee entre les reperes R′ et
R′′ : ct′x′
=
γ2 β2γ2
β2γ2 γ2
ct′′x′′
ou β2 = v2/c, et γ2 = 1/
√1− β2
2 .
En combinant ces deux transformations de Lorentz on
Cours 2: La relativite restreinte 48
obtient :ctx
=
γ1 β1γ1
β1γ1 γ1
γ2 β2γ2
β2γ2 γ2
ct′′x′′
ouct
x
=
γ1γ2 + β1β2γ1γ2 β2γ1γ2 + β1γ1γ2
β1γ1γ2 + β2γ1γ2 β1β2γ1γ2 + γ1γ2
ct′′x′′
On note v la vitesse de O′′ par rapport a O. La
transformation de Lorentz entre R et R′′ sans passer par R′
s’ecrit : ctx
=
γ βγ
βγ γ
ct′′x′′
ou β = v/c et γ = 1/
√1− β2. En comparant les deux
Cours 2: La relativite restreinte 49
relations on obtient :
γ = γ1γ2(1 + β1β2)
βγ = (β1 + β2)γ1γ2 (27)
En divisant membre a membre il vient :
β =β1 + β21 + β1β2
soit :
v/c =v1/c+ v2/c
1 + v1v2/c2
c’est a dire :
v =v1 + v21 + v1v2
c2
C’est la loi d’addition des vitesses qui remplace celle de
Galilee. La difference n’est pas tres grande pour des vitesses
tres inferieures a celle de la lumiere.
Cours 2: La relativite restreinte 50
Prenons par exemple v1 = v2 = 34c. On obtient :
v =(3/4 + 3/4)c
1 +(34
)2 =3/2× 16
16 + 9c =
24
25c
La vitesse resultante ne depasse jamais c.
On peut obtenir la loi d’addition des vitesses d’une autre
facon. Considerons une particule qui se trouve a l’origine
commune de R et R′ a t = t′ = 0 et qui se deplace a la
vitesse v′ dans R′. On a donc :
x′ = v′t′
On peut ecrire :
ct = γct′ + γβx′
x = γβct′ + γx′ (28)
ou β = V/c, et V est la vitesse relative des reperes. En
Cours 2: La relativite restreinte 51
eliminant x′ il vient :
ct = (γc+ γβv′)t′
x = (γβc+ γv′)t′ (29)
On en deduit :x
ct=βc+ v′
c+ βv′
soit :x
t=
V + v′
1 + V v′
c2
La vitesse de la particule dans le repere R est donc :
v =V + v′
1 + V v′
c2
On retrouve donc la loi d’addition des vitesses.
Cours 2: La relativite restreinte 52
Cours 2. Phenomenes de la relativite
restreinte
— Resume du dernier cours sur la relativite restreinte.
— Les phenomenes relativistes.
— Addition des vitesses.
— Dilatation du temps.
— Exercices pour la maison.
Cours 2: La relativite restreinte 53
Resume du cours 1
Les grandes lignes :
— Les 3 postulats de la relativite restreinte.
— Invariance des longueurs perpendiculaires au mouvement
relatif.
— Argument pour la transformation de Lorentz.
— Les evenements dans l’espace-temps et l’ntervalle
d’espace-temps entre eux.
— Exercices pour la maison.
Resume du cours 6 54
Les postulats de la relativite restreinte
1. Les lois fondamentales de la physique gardent la meme
forme dans tous les reperes inertiels – elles sont covariantes
Si une lois est verifiee dans un repere inertiel elle est vraie
dans tous les reperes se deplacant a vitesse constante par
rapport a celui-ci. Par exemple, l’equation d’onde pour un
champ electrique ~E dans le vide :
∂2 ~E
∂t2− c2∇2 ~E = 0, (30)
On verra (un autre jour) qu’elle est valable dans tous
referentiels inertiels.
2. Le second postulat admet que la vitesse de la lumiere [dans le
vide] est independante du mouvement de la source ou de
l’observateur. La vitesse de la lumiere dans le vide est une
Resume du cours 6 55
constante fondamentale qui joue un role meme dans des
phenomenes qui n’impliquent pas d’interaction
electromagnetique.
3. L’espace est isotrope.
Resume du cours 6 56
— En considerant la propagation de la lumiere d’une source
ponctuelle, nous avons vu que les postulats sont
incompatible avec la transformation de Galilee.
— Nous avons construit un argument physique pour
l’invariance des longueurs perpendiculaires au mouvement
relatif (sinon, on obtient une violation de postulat 2).
— Nous avons utilise les 3 postulates pour deriver la
transformation de Lorentz. Apres beaucoup de maths on
obtient la transformation de Lorentz qui s’ecrit :ct′
x′
y′
z′
=
γ −β γ 0 0
−β γ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
ct
x
y
z
, (31)
Resume du cours 6 57
ou (ct, x, y, z) sont les coordonnees des evenements dans
repere inertiel R et (ct′, x′, y′, z′) sont les coordonnees des
evenements dans repere inertiel R′ dont l’orgine se deplace le
long de l’axe des x avec vitesse uniforme v = βc.
— La transformation inverse s’obtient simplement en
remplacant β par −β.ct
x
y
z
=
γ β γ 0 0
β γ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
ct′
x′
y′
z′
. (32)
— On appelle quadri-vecteur un ensemble de quatre
composantes qui se transforment de la meme maniere. Le cas
particulier etudie ici est le quadrivecteur position.
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 58
Exercices pour la maison
1. Un evenement correspond a un point dans l’espace-temps a
quatre dimensions. Il a lieu a un endroit et a un instant
donnes. Demontrer que le carre de l’intervalle
d’espace-temps entre deux evenements A et B
∆s2 ≡ (∆ct)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2 (33)
est invariant par la transformation de Lorentz.
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 59
Solution La transformation est lineaire :
∆~x′ = ~x′1 − ~x′2 = M~x1 −M~x2,
= M(~x1 − ~x2) = M∆~x. multiplication matricielle
est lineaire
(34)
Donc on a∆ct′
∆x′
∆y′
∆z′
=
γ −β γ 0 0
−β γ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
∆ct
∆x
∆y
∆z
=
γ∆ct− βγ∆x
γ∆x− βγ∆ct
∆y
∆z
,
(35)
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 60
On veut verifier que ∆s2 = ∆s′2 ou
∆s′2 = (∆ct′)2 − (∆x′)2 − (∆y′)2 − (∆z′)2 =
(γ∆ct− βγ∆x)2 − (γ∆x− βγ∆ct)2 −∆y2 −∆z2,
= γ2(1− β2)(∆ct)2 − γ2(1− β2)(∆x)2 −∆y2 −∆z2,
(36)
Mais
γ2 =
(1√
1− β2
)2
=1
1− β2, =⇒ γ2(1− β2) = 1.
(37)
Donc,
(∆ct′)2−(∆x′)2 − (∆y′)2 − (∆z′)2 =
= (∆ct)2 − (∆x)2 −∆y2 −∆z2
= ∆s2. (38)
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 61
Alors, ∆s2 est invariant par la transformation de Lorentz.
2. Verifier par calcul explicite que la transformation (32) est la
transformation inverse a (31).
Solution
γ β γ 0 0
β γ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
γ −β γ 0 0
−β γ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
=
a b 0 0
e d 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(39)
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 62
Le produit matricielle nous donne que
a = d = γ2 − β2γ2 = γ2(1− β2) = 1. (40)
b = e = −γ2β + γ2β = 0. (41)
Donc le membre droite est la matrice identite :1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(42)
Alors les deux matrices sur le membre gauche sont l’inverse
l’une a l’autre.
3. Comparer les trois transformations : (i) transformation de
Lorentz, (ii) transformation de Galilee, (iii) une rotation des
axes Cartesiens dans le plan euclidien. Que pensez-vous du
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 63
fait que le temps intervient dans la transformation de
Lorentz ?
Solution La transformation de Lorentz (en une dimension
spatial) :ct′x′
=
γ −βγ−βγ γ
ctx
,
t′x′
=
1 0
−v 1
tx
(43)
4. Ecouter le video :
https://www.youtube.com/watch?v=KX9QSjv0Ib0 et le
suite https://www.youtube.com/watch?v=_4Af9UrWEtc
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 64
Intervalle d’espace-temps
— La transformation de Lorentz est construite pour que la
quantite (ct)2 − x2 − y2 − z2 soit invariante dans un
changement de repere. Il en est de meme pour la quantite :
∆s2 ≡ s221 = c2(t2 − t1)2 − (x2 − x1)2 − (y2 − y1)2 − (z2 − z1)2.
(44)
[Sinon, ca impliquerait une origine du systeme des
coordonnees privilegiee.]
— On appelle s21 (le carre de) l’intervalle d’espace temps entre
deux evenements. Cet intervalle etant le meme pour tous les
referentiels galileens (i.e. inertiels) il a une signification
absolue.
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 65
TD1
— Solutions sont disponible a partir de mon site web
stockage.univ-brest.fr/~scott
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 66
Cours 2 : Phenomene de la relativite
restreinte
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 67
Les phenomenes relativistes
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 68
Addition des vitesses
Voir (Smith, 1997, §5.1)
— Un repere d’origine O′ se deplace a la vitesse v1 par rapport
a un repere d’origine O. Un autre repere d’origne O′′ se
deplace a la vitesse v2 par rapport a celui d’origine O′ . On
cherchera a determiner la vitesse de O′′ par rapport a O.
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 69
O x
y
O’ x’
y’ y’’
x’’O’’
v1 v2
R R’ R’’
Figure 4 – Il y trois repere inertiels, R, R′, et R′′. Le repere R′ a la
vitesse v1 par rapport a R. Le repere R′′ a la vitesse v2 PAR RAP-
PORT a R′. Nous cherchons la vitesse v de repere R′′ par rapport a
R.
— En appliquant la transformation de Galilee on trouverait
v = v1 + v2 mais cela pourrait conduire a une vitesse
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 70
superieure a celle de la lumiere. La transformation de
Lorentz permet d’ecrire :ctx
=
γ1 β1γ1
β1γ1 γ1
ct′x′
ou β1 = v1/c, et γ1 = 1/
√1− β2
1 .
— La transformation peut etre appliquee entre les reperes R′ et
R′′ : ct′x′
=
γ2 β2γ2
β2γ2 γ2
ct′′x′′
ou β2 = v2/c, et γ2 = 1/
√1− β2
2 .
En combinant ces deux transformations de Lorentz on
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 71
obtient :ctx
=
γ1 β1γ1
β1γ1 γ1
γ2 β2γ2
β2γ2 γ2
ct′′x′′
ouct
x
=
γ1γ2 + β1β2γ1γ2 β2γ1γ2 + β1γ1γ2
β1γ1γ2 + β2γ1γ2 β1β2γ1γ2 + γ1γ2
ct′′x′′
On note v la vitesse de O′′ par rapport a O. La
transformation de Lorentz entre R et R′′ sans passer par R′
s’ecrit : ctx
=
γ βγ
βγ γ
ct′′x′′
ou β = v/c et γ = 1/
√1− β2. En comparant les deux
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 72
relations on obtient :
γ = γ1γ2(1 + β1β2)
βγ = (β1 + β2)γ1γ2 (45)
En divisant membre a membre il vient :
β =β1 + β21 + β1β2
soit :
v/c =v1/c+ v2/c
1 + v1v2/c2
c’est a dire :
v =v1 + v21 + v1v2
c2(46)
C’est la loi d’addition des vitesses qui remplace celle de
Galilee.
— La difference n’est pas tres grande pour des vitesses tres
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 73
inferieures a celle de la lumiere. Prenons par exemple
v1 = v2 = 34c. On obtient :
v =(3/4 + 3/4)c
1 +(34
)2 =3/2× 16
16 + 9c =
24
25c
— La vitesse resultante ne depasse jamais c.
— On peut obtenir la loi d’addition des vitesses d’une autre
facon. Considerons une particule qui se trouve a l’origine
commune de R et R′ a t = t′ = 0 et qui se deplace a la
vitesse v′ dans R′. On a donc :
x′ = v′t′
On peut ecrire :
ct = γct′ + γβx′
x = γβct′ + γx′ (47)
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 74
ou β = V/c, et V est la vitesse relative des reperes. En
eliminant x′ il vient :
ct = (γc+ γβv′)t′
x = (γβc+ γv′)t′ (48)
On en deduit :
x
ct=βc+ v′
c+ βv′, les γ s’annulent (49)
soit :x
t=
V + v′
1 + V v′
c2
La vitesse de la particule dans le repere R est donc :
v =V + v′
1 + V v′
c2
(50)
On retrouve donc la loi d’addition des vitesses.
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 75
Dilatation des durees
— Voir (Smith, 1997, §3.2)
— Un evenement correspond a un point de l’espace-temps
(dans le cas general trois coordonnees d’espace et une de
temps). Un evenement E1 a pour coordonnees (ct1, x1) dans
R et (ct′1, x′1) dans R′. Pour un evenement E2 ces
coordonnees sont respectivement (ct2, x2) dans R et (ct′2, x′2)
dans R′. La transformation de Lorentz permet d’ecrire :
ct1 = γct′1 + βγx′1
ct2 = γct′2 + βγx′2
d’ou on deduit :
c(t2 − t1) = γc(t′2 − t′1) + βγ(x′2 − x′1)
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 76
On voit que deux evenements simultanes dans un repere ne
le sont pas dans l’autre repere, s’ils ne se produisent pas au
meme endroit (x′2 6= x′1). La relativite de la simultaneite joue
un role tres important dans l’analyse des phenomenes.
Considerons une horloge au repos dans R′. Ce repere est
alors appele repere propre de l’horloge. L’intervalle de temps
entre les memes evenements mesure dans R est plus long
car :
t2 − t1 = γ(t′2 − t′1)
( et γ > 1). L’intervalle de temps propre est toujours plus
court. Cette propriete du temps ne depend pas du type
d’horloge utilise pour le mesurer.
Considerons une experience de pensee illustrant le
fonctionnement d’une horloge a photons. Un photon se
reflechi sur deux miroirs paralleles, Fig. 5. L’unite de temps
correspond a l’intervalle entre l’aller et le retour du photon
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 77
sur un miroir, Fig. 5(a). On a :
∆t′ =2L
c
C’est l’intervalle de temps propre.
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 78
L
(a)
(b)
L
Figure 5 – (a) L’horloge a photon est au repos par rapport a l’ob-
servateur ; (b) L’horloge a photon est en mouvement par rapport a
l’observateur
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 79
Dans le repere R le photon ne fait pas l’aller-retour entre les
memes points. Le trajet du photon est une ligne brisee
comme sur la Fig. 5(b).
La vitesse de la lumiere est c. Si l’impact du photon se fait
toujours au meme endroit sur le miroir la projection de sa
vitesse sur Ox doit etre egale a celle du repere R′. Sa
composante perpendiculaire aux miroirs est donc√c2 − v2.
Le temps necessaire pour un aller-retour est donc :
∆t =2L√c2 − v2
=2L
c
1√1− v2/c2
,
soit :
∆t = ∆t′1√
1− v2/c2= γ∆t′.
L’horloge a photon tourne plus lentement dans un repere
impropre. Mais ca doit etre le cas pour tous les horloges qui
mesurent le temps correctement. Si l’horloge a photon est
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 80
synchronisee avec une autre dans R′ ce dernier tourne
exactement comme l’horloge a photon dans R aussi. C’est
une exigence du principe de relativite. En effet, si deux
horloges synchronisees dans R′ ne l’etaient pas dans un autre
repere on pourrait faire jouer un role privilegie au repere R′.
Nous allons voir quelques applications qui montrent la
realite de la dilatation des durees lorsqu’une horloge est en
mouvement dans le repere de l’observateur.
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 81
Exercices pour la maison
1. Lire §5.1 (Smith, 1997, §5.1)
2. Lire tous le chapitre 3 (au minimum §3.2 et §3.5) de (Smith,
1997).
3. Essayer TD 6 exercice 1 (voir mon site web, 2015/16).
4. Essayer exercice 4 de (Smith, 1997) :
Alpha du Centaure est une etoile distance d’environ
quatre annees-lumiere. [En fait c’est 3 etoiles qui
apparaıt, a l’oeil nu, comme l’etoile la plus brillante
de la constellation du Centaure et la troisieme plus
brillante de tout le ciel.] Pour qu’une fusee fasse le
voyage en un jour, pour ses occupants, a quelle
vitesse faudrait-il qu’elle aille ? Les occupants de la
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 82
fusee verraient Alpha du Centaure approcher a cette
meme vitesse. En deduire a quelle distance elle leur
semberait etre au debut du voyage ?
Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 83
Cours 2. Phenomenes de la relativite
restreinte : continu
— Resume du dernier cours sur la relativite restreinte.
— Les phenomenes relativistes continu :
— Contraction des longueurs.
— Intervalle d’espace-temp.
— Exercices pour la maison.
Resume du cours 1 & 2 84
Resume du cours 1 & 2
Les grandes lignes :
— Addition des vitesses.
— Dilatation du temps.
— Notions clees : intervalle du temps propre, intervalle du
temps impropre, intervalle du genre temps, intervalle du
genre espace.
— Exercices pour la maison.
Resume du cours 1 & 2 85
Addition des vitesses
— Disons nous savons la vitesse v12 d’une particule 2 par
rapport a une particule 1 et de plus nous savons la vitesse
v23 d’une troisieme particule par rapport a la deuxieme
particule, tous dans la meme direction (pas forcement le
meme sens), disons le long de l’axe des x.
— Nous voulons savoir la vitesse v13 de la particule 3 par
rapport a la particule 1.
— Si les vitesses v12 et v23 sont proche de celle de la lumiere,
on ne peut pas utiliser la loi de Galillee
v13 ≈ v12 + v23. (51)
En fait la loi de Galillee est seulement une approximation
Resume du cours 1 & 2 86
qui est valable quand ∣∣∣v12v23c2
∣∣∣� 1. (52)
Autrement il faut utiliser la loi exacte d’Einstein :
v13 =v12 + v231 + v12v23
c2. (53)
— Attention : Les vitesses v12 et ou v23 peut etre negatives.
Resume du cours 1 & 2 87
Dilatation du temps
— Soient deux evenements A et B tel que l’intervalle entre eux
dans un referentiel inertiel R est du genre temps :
∆s2 = c2(tB − tA)2 − (xB − xA)2 − (yB − yA)2 − (zB − zA)2,
= c2(∆t)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2 > 0. (54)
— Alors dans tout referentiel on a ∆s2 > 0. Pourquoi ?
— Alors il y a un referentiel R′ tel que A et B ont les memes
coordonnees spatiales en R′ : x′A = x′B , y′A = y′B , z
′A = z′B .
(Voir l’exercice 3 de TD 2.)
∆s2 = c2(∆t′)2 (55)
Resume du cours 1 & 2 88
— Dans ce cas on dit que
∆t′ ≡ ∆τ =∆s
c, intervalle du temps propre (56)
est un intervalle du temps propre.
— Par contre, ∆t ici est une intervalle du temps impropre.
— Remarque : On peut trouver les intervalles du temps propres
dans n’importe quelle referentiel inertiel. Donc, il peut etre
∆t ou ∆t′. Il faut introduire un nouveau symbole pour avoir
notation standard pour l’intervalle du temps propre, c’est
∆τ .
— La relation entre des intervalles du temps ∆t′ et impropre
∆t est :
∆τ =∆t
γ, dilatation du temps (57)
avec γ = 1/√
1− v2/c2.
Resume du cours 1 & 2 89
— Noter bien que l’intervalle du temps propre est toujours
inferieur a l’intervalle du temps impropre. On dit souvent
que
Les horloges en mouvement retardent.
C’est outile pour aider la memoire, mais il n’est pas tout a
fait correcte de penser a ce phenomene de cette facon. Les
horloges ils fonctionnent correctement sans retardant.
Resume du cours 1 & 2 90
Exercice immediat
1. Trouvez l’equation (57) pour la dilatation du temps a partir
de la definition de l’intervalle du temps propre (56). Indice :
v2 =
(∆x
∆t
)2
+
(∆y
∆t
)2
+
(∆z
∆t
)2
(58)
Resume du cours 1 & 2 91
Exercice immediat : solution
1. Trouvez l’equation (57) pour la dilatation du temps a partir
de la definition de l’intervalle du temps propre (56). Indice :
v2 =
(∆x
∆t
)2
+
(∆y
∆t
)2
+
(∆z
∆t
)2
(59)
Solution
Resume du cours 1 & 2 92
la definition de l’intervalle du temps propre
∆τ =∆s
c=
√c2(∆t)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2
c
= ∆t
√c2
c2− (∆x)2
c2(∆t)2− (∆y)2
c2(∆t)2− (∆z)2
c2(∆t)2
= ∆t
√1− (∆x)2
c2(∆t)2− (∆y)2
c2(∆t)2− (∆z)2
c2(∆t)2
= ∆t
√1− v2
c2
=∆t
γ. (60)
Resume du cours 1 & 2 93
Exercices pour la maison
1. Lire §5.1 (Smith, 1997, §5.1)
2. Lire tous le chapitre 3 (au minimum §3.2 et §3.5) de (Smith,
1997).
3. Essayer exercice 4 de (Smith, 1997) :
Alpha du Centaure est une etoile distance d’environ
quatre annees-lumiere. [En fait c’est 3 etoiles qui
apparaıt, a l’oeil nu, comme l’etoile la plus brillante
de la constellation du Centaure et la troisieme plus
brillante de tout le ciel.] Pour qu’une fusee fasse le
voyage en un jour, pour ses occupants, a quelle
vitesse faudrait-il qu’elle aille ? Les occupants de la
fusee verraient Alpha du Centaure approcher a cette
Resume du cours 1 & 2 94
meme vitesse. En deduire a quelle distance elle leur
semberait etre au debut du voyage ?
Solution
Supposons que nous avons un referentiel inertiel R dans
lequelle le Soleil et l’Alpha du Centaure sont immobile, avec
le Soleil a l’origine O. Et nous orientons l’axe des x vers
l’Alpha du Centaure. Dans R la distance (propre) entre nous
et l’Alpha du Centaure est 4 annee lumiere et l’intervalle du
temps impropre, ∆t, est l’intervalle du temps pour la fusee
de passer de x = 0 a x = 4 annee lumiere (du Soleil a
l’Alpha du Centaure). On a
∆t =d
v, avec v la vitesse inconue (61)
Les occupants mesurent un intervalle du temps ∆t′ = ∆τ
Resume du cours 1 & 2 95
pour le voyage ; c’est un intervalle du temps propre et donc :
∆τ =∆t
γ= ∆t
√1− v2/c2 =
d
v
√1− v2/c2. (62)
Nous voulons un intervalle du temps propre, ∆τ = 1 jour.
Nous savons d. Donc, il faut resoudre l’equation (62) pour v :
v√1− v2/c2
=d
∆τ≡ A, (63)
avec
A =distance
duree propre=
4 annee lumiere× 365, 2425 jour/annee
1 jour(64)
On a c = 1 dans les unites avec temps en jours et distance en
Resume du cours 1 & 2 96
jours-lumieres. Donc on ecrit v = β :
β√1− β2
= A,
β =A√
1 +A2= 0.9999997659,
v = βc = 0.9999997659c. (65)
Dans la fusee on voit l’Alpha du Centaure s’aproche a
presque la vitesse de lumiere. Donc, la distance (impropre)
est environ 1 jour-lumiere.
Cours 8 97
Contraction des longueurs
Voir (Smith, 1997, Chapitre 4).
— On mesure la longueur d’une tige en determinant les
abscisses de ses extremites. Si la tige est immobile ces
abscisses peuvent etre mesurees a des instants arbitraires.
On obtient ainsi la longueur propre de la tige. Dans un
repere ou la tige est en mouvement il est important que les
mesures des abscisses soient faites au meme instant. Or deux
evenements simultanes dans un repere ne sont pas en general
simultanes dans d’autres reperes. La longueur d’une tige va
donc dependre de sa vitesse dans un repere donne.
Cours 8 98
— La transformation de Lorentz nous donne :ct′x′
=
γ −βγ−βγ γ
ctx
.
Les abscisses de deux points, mesurees dans le repere R′ sont
donnees par :
x′2 = −βγct2 + γx2,
x′1 = −βγct1 + γx1.
Si la tige est au repos dans R′ sa longueur propre est :
L′ = x′2 − x′1 ≡ L0.
— Remarque : On peut trouver les tiges stationnaires dans
n’importe quelle referentiel inertiel. Donc, la longueur propre
peut etre ∆x ou ∆x′. Il faut introduire un nouveau symbole
pour avoir notation standard pour la longueur propre, c’est
Cours 8 99
L0.
— La difference d’abscisses verifie la condition :
x′2 − x′1 = γ(x2 − x1)− βγ(ct2 − ct1).
L’observateur attache au repere R determinera la longueur
de la tige en mesurant les abscisses de ses extremites au
meme instant (t2 = t1). La longueur obtenue sera :
L = x2 − x1,
d’ou la relation avec la longueur propre L0 :
L′ = γL = L0
soit
L =L0
γ.
— La longueur propre est donc toujours plus grande que la
longueur mesuree dans un repere ou la tige est en
Cours 8 100
mouvement. C’est ce que l’on appelle la contraction des
longueurs.
— La contraction des longueurs est un phenomene cinematique
et non dynamique comme l’ont cru Fitzgerald, Lorentz, et
Poincare. Aucune force n’est a l’origine de cette contraction.
C’est un effet de perpective. Il ne s’agit pas d’une illusion ;
c’est une vraie longueur.
— Revenons sur l’exemple du muon qui traverse l’atmosphere.
Dans son repere propre sa duree de vie moyenne est 2, 2µs. Il
a donc tres peu de chances de franchir des dizaines de km.
Cependant, dans son repere l’epaisseur de l’atmosphere est
divisee par γ. Elle est donc tres inferieure a celle que nous
mesurons.
Cours 8 101
Exercice immediat
1. (Examen de l’annee 2015) Chaque voiture d’un TGV a une
longueur propre l0 = 10 m. Si le TGV passe sous un tunnel
de longueur propre 50 m a une vitesse v = 0.9949874371 c,
ou c est la vitesse de la lumiere dans le vide, combien de
voitures rentrent dans le tunnel ?
Cours 8 102
Exercice immediat
Solution Dans le referentiel du tunnel, les voitures sont contractes
par un facteur de γ = 1/√
1− v2/c2, donc chacune est de longuer
l′ :
l′ =l0γ
=10 m
10= 1 m (66)
Alors 50 voitures rentrent dans le tunnel.
Cours 8 103
L’espace-temps
Chapitre 4 des notes du cours de Jacques Langlois.
Notions clees (pas exhaustive) :
— L’intervalle ∆s.
— Intervalle du genre temps, du genre espace, du genre lumiere.
— Diagramme de Minkowski.
— Quadri-vecteur.
Cours 8 104
Intervalle d’espace-temps
— Un evenement correspond a un point dans l’espace-temps a
quatre dimensions. Il a lieu a un endroit et a un instant
donnes.
— La transformation de Lorentz est construite pour que la
quantite (ct)2 − x2 − y2 − z2 soit invariante dans un
changement de repere. Il en est de meme pour la quantite :
∆s2 = c2(t2 − t1)2 − (x2 − x1)2 − (y2 − y1)2 − (z2 − z1)2.
[Sinon, ca impliquerait une origine du systeme des
coordonnees privilegiee.]
— On appelle ∆s l’intervalle d’espace-temps entre deux
evenements. Cet intervalle etant le meme pour tous les
referentiels galileens (i.e. inertiels) il a une signification
Cours 8 105
absolue.
— Pour des evenements tres proches l’intervalle devient
infinitesimal et on peut ecrire :
ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2.
(Pour etre tres precise, on devrait ecrire :
(ds)2 = c2(dt)2 − (dx)2 − (dy)2 − (dz)2,
mais personne ne le fait).
— Si l’intervalle entre deux evenements est reel (ds2 > 0) on dit
qu’ils sont du genre temps. Le temps ecoule est assez long
pour que la separation spatiale puisse etre franchie par un
objet materiel. Il peut exister une relation de cause a effet
entre les deux evenements.
— La trajectoire d’un objet ponctuel dans l’espace-temps est
appelee ligne d’univers. Deux points appartenant a une ligne
Cours 8 106
d’univers d’un objet materiel definissent necessairement un
intervalle de genre temps.
— Lorsque l’intervalle est nul les evenements sont dits du genre
lumiere. Leur separation spatiale est telle qu’il faut se
deplacer a la vitesse de la lumiere pour aller d’un point a
l’autre dans l’intervalle de temps correspondant.
— Lorsque l’intervalle est imaginaire (ds2 < 0) la separation
spatiale est trop grande pour qu’un signal puisse la franchir
durant l’intervalle de temps correspondant. Il ne peut pas
exister de relation causale entre les deux evenements. Nous
verrons que l’ordre des evenements n’est pas necessairement
le meme dans deux referentiels differents. Cet intervalle est
dit du genre espace. (Nous l’avons vu dans l’Exercice 3 du
TD 5.)
— L’espace-temps utilise en relativite restreinte est appele
espace-temps de Minkowski du nom du mathematicien qui
Cours 8 107
l’a defini.
— On peut etudier les aspects essentiels de la relativite
restreinte en utilisant une seule coordonnee spatiale. On
trace des axes perpendiculaires correspondant a x et a ct. La
ligne d’univers d’une particule au repos est une droite
parallele a l’axe ct. Pour un photon la ligne d’univers est une
droite faisant un angle de 45◦ ou de 135◦ avec l’axe des x.
Pour une particule se deplacant a vitesse constante la ligne
d’univers est une droite plus proche de l’axe ct que de l’axe
des x.
Cours 8 108
O x
ct
particule au repos photon
photon
particule matérielle
Figure 6 – Lignes d’univers des particules. Les photons ont force-
ment un angle de 45◦ ou de 135◦ avec l’axe des x. Les particules
materielles ont une ligne d’univers forcement plus proche de l’axe ct
que de l’axe des x.
Cours 8 109
— Si on fait coincider l’origine avec l’instant present et la
position « ici », les valeurs positives de ct representent le
futur et les valeurs negatives representent le passe. Les
regions pour les quelles |x| < |ct| representent le lieu des
intervalles du genre temps. Les droites faisant un angle de
45◦ ou de 135◦ avec l’axe des x sont les lieux des intervalles
du genre lumiere. Les intervalles du genre espace
correspondent aux regions ailleurs pour lesquelles |x| > |ct|.[Draw light-cone with one spatial dimension.]
— Avec deux dimensions d’espace, ce figure devient le cone de
lumiere. Ce cone de lumiere divise l’espace-temps en
differentes regions.
— Pour tous les evenements situes a l’interieur du cone de
lumiere, on a ∆s2 > 0 par rapport a l’origine. La
composante temporelle domine la composante spatiale.
L’intervalle de l’origine a l’evenement est du genre temps, de
Cours 8 110
sorte qu’une particule peut aller de l’origine a l’evenement ;
la loi de causalite dit que un evenement a l’origine peut etre
la cause des evenement qui reside uniquement dans son cone
de lumiere futur.
— De meme, un evenement peut etre le resultat d’une cause
(un evenement) anterieur qui reside uniquement dans son
cone de lumiere passe.
— Les evenement avec la grandeur ∆s2 < 0, l’intervalle est du
genre espace et cela signifie que tous les evenements sont
situes a l’exterieur du cone de lumiere. Etant donne que les
evenements ne peuvent plus etre relies entre eux par la
particule, cette region est exclue de sa ligne d’univers. Cette
region est denommee l’ailleurs.
Cours 8 111
Figure 7 – Le cone de lumiere en deux dimensions.
Cours 8 112
— Il a meme plus difficile de visualiser le cone de lumiere en 3
dimensions spatiaux.
Cours 8 113
Diagramme de Minkowski pour deux
referentiel en configuration standard
— Soitent R et R′ deux referentiels en configuration standard.
— L’axe des ct′ est l’ensemble des points x′ = 0. Il s’agit de la
ligne d’univers de l’origine O′. Par definition de la
configuration standard on a :
ct =x
β(67)
Donc l’axe ct′ est une droite avec coefficient directeur 1/β.
Ca veut dire que l’angle θ de l’axe ct a l’axe ct′ est tel que
tan(θ) = β, positive dans le sens anti-trigonometrique
(68)
Cours 8 114
ct
x
x’
ct’
q
q
Figure 8 – Configuration standard avec v/c = β = tan(θ).
Cours 8 115
— L’axe des x′ est l’ensemble des points t′ = 0.
— La transformation de Lorentzct′x′
=
γ −βγ−βγ γ
ctx
nous donne :
0 = ct′ = γct− βγx,
ct = βx. (69)
Il s’agit d’une droite avec coefficient directeur β. Ca veut
dire que l’angle θ de l’axe des x a l’axe des x′ est tel que
tan(θ) = β, positive dans le sens trigonometrique (70)
— Comment tracers les axes pour ct et x sur le diagramme de
Minkowski pour R′ ? On change le signe de β. Dans la
Cours 8 116
configuration standard β > 0 donc on obtient
tan(θ) = −β (71)
Cours 8 117
ct’
x
x’
ct
q
q
Figure 9 – Configuration standard avec v/c = β = − tan(θ).
Cours 8 118
Exercice immediat
1. Tracer les lignes d’univers des compteurs A et B dans
l’experience de muons dans le referentiel R′ fixe par terre, et
le referentiel R qui ce deplace avec un muon. Indiquer les
intervalles du temps et longueurs propre est impropre que
nous avons discute dans le TD.
Cours 8 119
Exercices pour la maison
1. Lire tous le chapitre 4 (au minimum §4.1 ) de (Smith, 1997).
2. Quand est la loi de Galilee de l’addition des vitesse valable ?
3. (Examen de l’annee 2015) J’ai deux fils, Red et Kas, et
chacun a un vaisseau spatial. Un jour Red quitte a la vitesse
v = 3c/4, par rapport a moi, vers la nebuleuse du Crabe. Au
meme instant Kas le suivre a la vitesse v = c/2 par rapport
a moi. Calculer la vitesse de Red par rapport a Kas comme
fraction de c.
4. Tracer la ligne d’univers de la fusee dans l’exercice du voyage
a l’Alpha du Centaure dans le referentiel R fixe par le soleil,
et le referentiel R′ qui ce deplace avec la fusee. Indiquer les
intervalles du temps et longueurs propre est impropre.
Cours 8 120
References
Smith, J. H. (1997), Introduction a la relativite, InterEditions,
Paris, France.