STABILITÉ

Corrigé d’exe

Exercice 6.6.11 On connaît la fonction de transfert en boucle ouverte d’un système dont on veutconnaître le comportement en boucle fermée.

)1,01()2,01()25,01()5,01(125,01

)( 0s sssssksG

+++++=

A Dessiner le lieu des pôles du système en boucle fermée.B Calculer la valeur de k0 qui amène en limite de stabilité le système en boucle fermée.

Corrigé 6.6.11 A On exprime la fonction de transfert en boucle ouverte sous forme factoriséed’Evans :

)10()5()4()2(8

50)( 0s sssssksG

+++++

= (1pt)

Pôles : –2 ; –4 ; –5 ;–10 Zéros : –8 facteur d’Evans : 50 k0 (2pts)Portions d’axe réel appartenant au lieu des pôles : ]–∞ –10] [–8 –5] [–4 –2] (2pts)

Centre des asymptotes : 33,414

)8(210a −=

−−−−

= kc

Directions des asymptotes : πππξ ;314

)12( ±=−

+= k (3pts)

Séparation

π/3

–10

rcice pour section 6.6 1

: 8,2

81

101

51

41

21)(

s

ssssss

−≅+

−+

++

++

++

=

cccccc

cF

–2

–4 –5 –8

Ca= –4,33

Cs= –2,8

2001.04. 10

(3pts)

0=(2pts)

STABILITÉ

Corrigé d’exercice pour section 6.6 2

Corrigé 6.6.11 (suite) B La limite de stabilité correspond à l’intersection avec l’axe imaginaire.On remplace s par jω dans l’équation fondamentale qui met en évidence le facteur d’Evans.

2

5342

0

64202960137643200

8)10()5()4()2(50

ωωωωωω

ωωωωω

+−−+−−

=

+++++

=−

jjjj

jjjjk

Pour que l’égalité soit respectée, la partie imaginaire doit être nulle aussi pour la fonctionde ω.

73,6ou0)202960(0 42 ==⇒−−= ωωωωω (4pts)

On conserve la deuxième solution, la première étant triviale. On injecte la valeur depulsation dans l’égalité des parties réelles.

6,105315073,6

0

0

=⇒−=−⇒=

kkω

(1pt)

Temps total étudiant 30’

6,73j(k0=10,6)

–4

–8 –5

TOTAL 18

–2

–10

2001.04. 10

pts