CPGE Lissane Eddine - Laayoune Essaidi Ali mathlaayoune@gmail.com

Classification des matrices d’ordre 2 et 3

Définitions et notationsDans tout le problème, n ∈ N∗, A ∈Mn(R) et f l’endomorphisme canoniquement associé à A.

Première partieClassification des matrices d’ordre 2

On suppose, dans cette partie que n = 2.1: Montrer que card(Sp(A)) ∈ {0, 1, 2}.

2: Montrer que si card(Sp(A)) = 2 alors ∃a, b ∈ R distincts tels que A soit semblable à la matrice(a 00 b

).

3: Montrer que si card(Sp(A)) = 1 alors ∃a ∈ R tel que πA = X − a ou πA = (X − a)2.4: On suppose que ∃a ∈ R tel que πA = X − a. Déterminer A.

5: On suppose que ∃a ∈ R tel que πA = (X − a)2. Montrer que ∃a ∈ R tel que A soit semblable à la matrice(a 10 a

).

6: Montrer que si card(Sp(A)) = 0 alors ∀e ∈ Rn non nul, B = (e, f(e)) est une base de R2. En déduire que A est semblable

à la matrice(0 −det(A)1 tr(A)

).

7: Montrer que deux matrices d’ordre 2 sont semblables si, et seulement si, elles ont même polynôme minimal.

Deuxième partieClassification des matrices d’ordre 2 et 3

On suppose, dans cette partie, que n = 3.1: Montrer que card(Sp(A)) ∈ {1, 2, 3}.

2: Montrer que si card(Sp(A)) = 3 alors ∃a, b, c ∈ R deux à deux distincts tels queA soit semblable à la matrice

a 0 00 b 00 0 c

.

3: Montrer que si card(Sp(A)) = 2 alors ∃a, b ∈ R distincts tels que πA = (X − a)(X − b) ou πA = (X − a)(X − b)2.

4: On suppose que ∃a, b ∈ R distincts tels que πA = (X−a)(X−b). MontrerA est semblable à

a 0 00 b 00 0 b

ou

b 0 00 a 00 0 a

.

5: On suppose que ∃a, b ∈ R distincts tels que πA = (X−a)(X− b)2. Montrer que A est semblable à la matrice

a 0 00 b 10 0 b

.

6: On suppose que card(Sp(A)) = 1. Montrer que ∃a, b, c ∈ R tel que πA = X − a ou πA = (X − a)2 ou πA = (X − a)3 ouπA = (X − a)(X2 + bX + c) avec b2 − 4c < 0.7: On suppose que ∃a ∈ R tel que πA = X − a. Déterminer A.

8: On suppose que ∃a ∈ R tel que πA = (X − a)2. Montrer que A est semblable à la matrice

a 0 00 a 10 0 a

.

9: On suppose que ∃a ∈ R tel que πA = (X − a)3. Montrer que A est semblable à la matrice

a 1 00 a 10 0 a

.

10: On suppose que ∃a, b, c ∈ R tel que πA = (X − a)(X2 + bX + c) avec b2 − 4c < 0. Montrer que A est semblable àa 0 00 0 −c0 1 −b

.

11: Montrer que deux matrices d’ordre 2 sont semblables si, et seulement si, elles ont même polynôme minimal et mêmepolynôme caractéristique.

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