Post on 03-Apr-2015
CHAPITRE 8
Géométrie analytique
Objectifs:
- Lire les coordonnées d’un vecteur sur un graphique.
- Représenter un vecteur dont on connaît les coordonnées.
- Calculer les coordonnées d’un vecteur.
- Savoir calculer les coordonnées du milieu d’un segment.
- Savoir calculer la longueur d’un segment dans un repère orthonormé.
Introduction sur les repères du plan
Il existe trois types de repère (O, I, J)
I
J
O1
1
Repère quelconque
I
J
1
1
Repère orthogonal
I J
O 1
1
O
Repère orthonormé
Dans ce chapitre, nous travaillerons dans un repère orthonormé (O, I, J).
I. Coordonnées d’un vecteur1) Formule de calcul
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J),
Remarque: on note
A
B
xA xB
yA
yB
J
IO
si
deux points A et B ont pour coordonnées respectives (xA ;
yA) et
(xB ; yB), alors le vecteur AB a pour coordonnées:
( xB - xA ; yB – yA ).
AB AB ( xB - xA ; yB – yA )
Exemple : Dans un repère orthonormé (O, I, J) du
plan, on donne A(-3 ; 2) et B(6 ; 7).
Calculer les coordonnées de AB .
Cliquez sur l’icône pour voir l’animation On a AB ( 6-(-3) ; 7-
2 )donc AB ( 9 ; 5 )
2) Lecture graphique
Exemple : Dans l’exemple précédent
•le déplacement horizontal de
A vers B est de 9 unités vers
la droite :donc l’abscisse du
vecteur AB est +9
•le déplacement vertical de A vers B est de 5 unités
vers le haut : donc l’ordonnée du vecteur AB est +5
AB ( déplacement horizontal de A à B ; déplacement vertical de A
à B)
+9
+5
3) Propriété
Si deux vecteurs sont égaux,
alors leurs coordonnées sont égales.
Remarque: La réciproque est vraie.
Exemple : Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan,
on donne u (3 ; 2) et A(4 ; 7).
Calculer les coordonnées de B tel que u = AB.
On a AB( xB - 4 ; yB – 7 )
Or u ( 3 ; 2 ) et u = AB
Donc
27
34
B
B
y
x soit encore
9
7
B
B
y
xDonc B( 7 ; 9 )
On peut le vérifier graphiquement!
II. Coordonnées du milieu d’un segment
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J),
Remarque: on note
A
B
xA xB
yA
yB
J
IO
si
deux points A et B ont pour coordonnées respectives
(xA ; yA) et (xB ; yB), alors le milieu M de [AB] a pour coordonnées :
xA+ xB yA + yB 2
M xA+ xB yA+ yB
2 ; ( )
M
xA+ xB
2
yA+ yB
2 ( ) ;
2 2
Exemple: Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan,
on donne A(3 ; 5) et B(-1 ; -1) .
Calculer les coordonnées du milieu M de
[AB]. Les coordonnées du milieu
M du segment [AB] sont :
d’où M(1 ; 2)
2
2
BA
BA
yy
xx
2)1(5
2)1(3
2
1
On peut vérifier ce résultat graphiquement.
III. Distance entre deux pointsDans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J),
Remarque: on peut facilement
démontrer cette formule avec
le théorème de Pythagore dans
le triangle dessiné ci-contre.
A
B
xA xB
yA
yB
J
IO
si
deux points A et B ont pour coordonnées respectives
(xA ; yA) et (xB ; yB), alors la longueur AB se calcule avec la formule
suivante:
AB
AB = √( xB - xA)²+ ( yB – yA )²
Exemple : Dans un repère orthonormé (O, I, J) du
plan, on donne A(-3 ; 2) et B(5 ; -2).
Calculer la distance AB.
Cliquez sur l’icône pour voir l’animation