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C H A P I T R E 3
E S P A C E S E U C L I D I E N S
I. Définitions.
DEFINITION 32 : ESPACE EUCLIDIEN
Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’une forme bilinéaire
symétrique définie positive. On la note ( ) ( | ) ⟨ ⟩ et on l’appelle produit scalaire.
PROPOSITION 32 : INEGALITE DE CAUCHY-SCHARWZ
Soit ( ) un espace euclidien
1) , ( | ) ( ) ( )
2) On a égalité ssi x et y colinéaires.
Exemple :
1) avec ( | ) où ( ) ( )
2) Sur ( ) ( ) ( )
On note (espace euclidien), ‖ ‖ √ ( ) on l’appelle la norme de x.
Rmq : i) est vraie si ( ) esp.quadra. réel positif.
PREUVE:
i. ( ) ( | ) ( ) ( )
comme , ( )
donc ( ) c’est-à-dire ( | ) ( ) ( )
(( | ) ( ) ( )) donc ( | ) ( ) ( )
si ( )
( | ) ( )
implique ( ) constante et donc( | ) et l’inégalité voulue est évidente.
ii. Réciproquement, si ( | ) ( ) ( )
Si ( ) x et y
Si ( ) ( ) donc ; ( )
( )
PROPOSITION 33 : INEGALITE MINKWOSKI
Soit ( ) un espace euclidien alors
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
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PREUVE:
On montre ( ) (√ ( ) √ ( ))
PROPOSITION 34 :
Si q positive alors ( )
PREUVE:
On sait déjà que ( ) ( ).
Prenons ( ) alors ( )
On utilise l’inégalité de Cauchy-Schwarz
( ) ( ) ( ) ici
donc ( ) donc ( )
II. Orthogonalité, bases orthonormales.
E espace euclidien
( | ) est non dégénérée.
Rappel :
1) (Rem : sont orthogonaux)
2) ( )
3)
4) ( )
( )
DEFINITION 33 : BASE ORTHONORMALE
On appelle une base ( ) de E orthonormale si elle est orthogonale et ( )
PROPOSITION 35 :
Toute espace euclidien a une base orthonormale
1) Procédé d’orthonormalisation de Gramm-Schmidt
( ) base de E.
On fabrique une nouvelle base par récurrence de la façon suivante :
‖ ‖
‖ ‖
∑ où
( | )
‖ ‖
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
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2) Projections et symétrie orthogonales.
DEFINITION 34 : LA PROJECTION ORTHOGONALE
F ss-ev de E. La projection orthogonale par rapport à F, c’est la projection sur F parallèlement
à . .
( )⏟
( )⏟
( )
( )
c’est-à-dire l’application :
( )
DEFINITION 35 : LA SYMETRIE ORTHOGONALE
La symétrie orthogonale par rapport à F c’est l’application
( ) ( )
PROPOSITION 36 :
( ) base orthogonale de F alors
∑( | )
‖ ‖
et
∑( | )
‖ ‖
PREUVE:
1) Si , ∑ alors ∑
(∑ | )
‖ ‖ ∑
( | )
‖ ‖
∑
Si alors ( ) ∑( | )
‖ ‖
2) Même méthode en posant alors ( ) et alors ( ) .
Rmq :
Dans une base orthogonale
( | ) ∑
(∑ | ∑
) ∑
THEOREME 37 :
( ) base de E
Il existe une base orthogonale ( ) de E et
( ) ( ).
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
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PREUVE:
∑⟨
⟩
‖ ‖
‖ ‖
( )
⟨
⟩
‖ ‖
( ) ( )
donc
On aura
( ) ( )
n général
( )
( )
( ) est orthogonale et
( ) ( )
( ) (
‖ ‖
‖ ‖
).
DEFINITION 36 : MINEURS PRINCIPAUX
A=( )
, mineur principal de A est défini par (( ) )
PROPOSITION 37 : GRAMM-SCHMIDT
E : espace euclidien, A matrice de ( | ) dans une base ( ). Alors il existe une base
( ) tel que :
1) ( ) orthogonale
2) ( ) ( )
La matrice associée à q est diagonale (
) autrement dit
‖ ‖
.
EXEMPLE IMPORTANT DE PROJECTION ET SYMETRIE ORTHOGONALE
Si F est une droite ( ) ou un hyperplan( ) Soit ( )
Soit H un hyperplan, ( )
( ) ( | )
‖ ‖ ( ) ( ) ( ) ( | )
‖ ‖ ⏟ ( )
( ) ( | )
‖ ‖ ( ) ( | )
‖ ‖ ( ( ) ( ))
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
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3) Matrices orthogonales
E espace euclidien ( ) base orthogonale ( )
(
) une autre base orthonormale
Soit O la matrice de passage de ( ) à ( ) .
( )
( )
Alors .
PROPOSITION 38 :
On a équivalence pour ( )
1) .
2)
3) est la matrice de passage d’une base orthonormale dans une autre.
DEFINITION 37 : MATRICES ORTHOGONALES
On dit que ( ) est orthogonale si elle satisfait une des conditions 1), 2) ou 3).
On note ( ) l’ensemble des matrices orthogonales.
PROPOSITION 39 :
( ) est un sous-groupe de ( )
PREUVE:
( )
1) ( ) ⏟
2) ( )
3) ( )
( )
PROPOSITION 40 : FACTORISATION
Soit ( )
Il existe une matrice triangulaire supérieure R et une matrice orthogonale Q telles que
PREUVE:
On introduit un espace euclidien de dimension n et une base orthogonale pour le produit
scalaire de E.
Soit une base de E telle que A est la matrice de passage de à . On applique Gramm-
Schmidt à la base on obtient une base orthonormale .
Soit T la matrice de passage de à , elle est triangulaire supérieure
( )
( )} ( ) ( )
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
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(
)
(
)
(
)
(
)
oit la matrice de passage de à , donc orthogonale.
III. Adjoint d’un endomorphisme.
E espace euclidien, u un endomorphisme de E.
( ) ( | ( ))
C’est une application bilinéaire.
PROPOSITION 41 :
L’application ( ) ( )
( )
( ) ( | ( ))
est un isomorphisme.
PREUVE:
B base de E.
A la matrice du produit scalaire de E dans cette base.
Soit et leurs coordonnées dans B et M la matrice de u dans B.
Alors ( ) ( | ( )) s’écrit
( )
( )
L’application ϕ s’écrit matriciellement
( ) ( )
A est inversible donc est un isomorphisme.
Rmq :
Si B est orthonormale, . Les matrices de u et de ( ) ( | ( )) sont les
mêmes.
Si ( ) on dira que u est l’endomorphisme associée à b, i.e. ( ) ( | ( ))
DEFINITION 38 : ADJOINT
Soit ( )
L’endomorphisme associé à ( ) ( | ( )) est noté est appelé adjoint de u.
( ( )| ) ( | ( ))
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
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Rmq :
( ) ( | ( )) est symétrique ssi
( ) ( | ( )) est antisymétrique ssi
DEFINITION 39 : YM TRI ,ANTI YM TRI , NORMALIT D L’ADJOINT
Soit ( )
On dit que u est symétrique si
On dit que u est antisymétrique si
On dit que u est normal si
On dit que u est orthogonal si
PREUVE:
Si , ( | ( )) ( ( )| ) ( ( )| )
( | ) ( ( )| ) ( | ( )) ( ( )| ( ))
donc ( )
Rmq :
1) Les endomorphismes symétriques ou antisymétriques sont normaux.
2) ( ) tel que
, ( | ( )) ( ( )| )
, ( ( )| ( )) ( | )
DEFINITION 40 : ADJOINT POSITIF, NEGATIF, DEFINIT POSITIF, DEFINIT NEGATIF
Soit ( ) symétrique.
On dit que u est défini positif (resp positif, déf négatif, négatif)
si ( ) ( | ( )) est défini positive (resp positive, déf négative, négative)
PROPOSITION 42 :
Soit ( ) symétrique, représentée par une matrice A dans une base orthonormale.
Alors A est définie positive (resp positive, déf négative, négative) ssi u est définie positive (resp
positive, déf négative, négative)
DEFINITION 41 : AUTOMORPHISME ORTHGONAL
( ) ( | ) ( ( )| ( ))
PROPRI T D L’ADJOINT:
muni d’une base orthonormée B
( ) ( )
PREUVE:
( ) ( | ( ))
( ) ( ( )| )
( ) ( ) ( )
Soit M matrice de u A matrice de ( | )
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
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( | ( )) ( ( )| )
( ) ( ( )| )
( ) ( )
( )
CORROLAIRE:
Les endomorphismes symétriques de E sont ceux dont la matrice dans une base orthonormée est
symétrique.
PROPRIETES 45:
L’adjonction est une anti-involution c’est-à-dire elle satisfait :
1) ( )
2) est une application linéaire de ( ) ( )
3) ( ) ( )
4) ( ) ( )
PREUVE:
1) ( | ( )) ( | ) ( ( )| )
2) ( |( )( )) ( | ( )) ( | ( )) ( ( )| ) ( ( )| ) (( )( )| )
donc ( )
( |( )( )) ( | ( )) ( ( )| ) ( ( )| )
3) ( |( )( )) ( | ( ( ))) ( ( )| ( )) (( )( )| )
donc ( )
4) ( | ( )) ( ( )| )
NOYAU ET IMAGE DE L’ADJOINT:
Soit ( )
Alors ( ( ))
et ( ( ))
PREUVE:
( )
, ( ( )| )
, ( | ( ))
( ) ( | ) non dégénérée
(( ) ) ( ) ( ) ( )
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
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ADJOINT ET STABILISATION:
( ) un s.e.v. stable par u ( ( ) )
Alors stable par .
PREUVE:
Soit
On calcule ( ( )| ) pour
( ( )| ) ( | ( )) ( | ) car F stable par u.
donc ( ) .
CORROLAIRE:
Soit F ss-ev stable par u.
Si u est{
} stable par u
PROPOSITION 49:
( )
a) est symétrique positif
b) est défini positif ssi ( )
c) ( )
( ) ( )
VERSION MATRICIELLE:
( )
a) est symétrique positive
b) est définie positive ssi A est inversible
c) ( )
( ) (
)
PREUVE:
a) ( )
donc symétrique. Notons
On considère ( ) ( | ( ))
On a ( ) ( | ( ( ))) ( ( )| ( ))
La f.q. associée ‖ ( )‖ positive
Donc b positive i.e. f positive.
b) Comme b est positive, ( ) ( )
( ) ( ) (car‖ ‖ anisotrope)
( ) ( ( | ) non dégénérée)
est définie positive si
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
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donc ssi u inversible
c) Finalement, on a
en effet si ( )
et donc .
D’autre part, ( )
( ) ( )
donc
THEOREME SPECTRALE:
Tout endomorphisme symétrique de E admet une base orthonormée de vecteurs propres.
( ) de E ( )
( )
(
)
(
)
VERSION MATRICIELLE:
Pour toute matrice symétrique A de ( )
Il existe une matrice orthogonale O tel que
soit diagonale
PREUVE:
Par récurrence sur
Si il n’y a rien à démontrer
Supposons vrai pour tout espace de dim <n
Soit E un espace de dimension n.
upposons qu’il existe un vecteur propre X non nul de u et sa valeur propre.
Donc ( )( )
On pose
‖ ‖.
Soit ( ) donc F stable par u
, ( ) ( )
‖ ‖ ( )
‖ ‖
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
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On a vu que est aussi stable par u.
| symétrique
Et
Par hypothèse de récurrence, il existe une base orthonormée ( ) de vecteurs propres
pour | .La base de qu’on cherche est donc ( )
Voyons maintenant l’existence d’une vecteur propre pour u non nul.
On considère l’application
( | ( ))
On considère la sphère ‖ ‖ elle est compacte et q est continue donc q atteint
le sup sur S c.à.d. ( ) ( ) .
On considère ( ) ‖ ‖ ( ) f.q.
positive et ( ) donc ( )
( )
La f.p. de est ( ) ( |( )( )) qui est dégénérée. Donc tq
( |( )( )) .
On en déduit que n’est pas surjective donc n’est pas injective donc t.q.
( )( ) donc est un vecteur prop.
CORROLAIRE:
(réduction simultanée)
E de dim finie et deux fq tel que
Alors il existe une base de E.
et
représentée par D diagonale/
q représentée par I.
VERSION MATRICIELLE:
Soient L,N deux matrices symétriques, M définit positive de ( )
Il existe une matrice invariable C tel que
,
est diagonale
APPLICATION DU THEOREME SPECTRAL:
Pour un endomorphisme symétrique positif a il existe un unique endomorphisme b symétrique
positif tel que ( )
VERSION MATRICIELLE:
Soit ( ),
( ) tel que
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
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PREUVE:
Existence : Soit ( ) base orthonormale de vecteurs propres et les valeurs propres
associées.
Comme u est positif alors
On pose ( ) √
On a ( ) ( ( )) (√ ) √
.
Donc et b est symétrique positive.
Unicité : Soit b symétrique positive tel que . ( )
| est un endomorphisme symétrique positif de
.
voyons ( )
.
( ( )) ( )( ) ( )( ) ( ( )) ( ) ( )
Supposons valeur propre de b : ( )
On compose par ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Donc √ √
Donc b est uniquement déterminé par les .
THEOREME: DECOMPOSITION POLAIRE
VERSION ENDOMORPHISME :
Soit ( ). Couple ( )t.q. ( ), définie positif et
VERSION MATRICIELLE :
Soit ( ). couple ( )t.q. ( ), ( ) et
PREUVE:
Unicité : , symétrique définie positive
Donc √ h est unique.
u est unique.
Existence :
√ symétrique définie positive.
On pose ,
Voyons que u est orthogonal :
( )
GROUPE ORTHOGONAL EUCLIDIEN.
Rappel : symétries orthogonales ( )
F s.e.v. où
, ( | ) ( | ) hyperplan.
( ) ( | )
Si ‖ ‖
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
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( ) b.o.n. de ( | ) est un vecteurunitaire matrice de
(
) (
)
THEOREME:
Alors u est la composée de r réflexions où ( )
PREUVE:
Par récurrence sur r.
Si est un produit de 0 réflexions.
Supposons vrai que ( ) tq ( )
Soit ( ) tel que ( )
, tel que ( )
On pose ( ) on regarde
o ( ( )) et ( ) ( | )
‖ ‖
‖ ( ) ‖ ‖ ( )‖ ( ( )| ) ‖ ‖
‖ ( ) ‖ ‖ ‖ ( ( )| )
( ) ( ( ) | )
‖ ‖ ( ( )| )
( ) ( ( ) | )
‖ ‖ ( ( )| )
( ) ( ( )| ) ‖ ‖
‖ ‖ ( ( )| ) ( ) ( )
o fixe tout vecteur fixé par u.
Soit ( )
( | ) ( ( ) | )
( | ) ( ( )| ) ( | )
( | ) ( ( )| ( )) ( | )
( ) ( | )
‖ ‖
( ) fixe tout vecteur de ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Donc ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ( ))
( ( ))
donc ( ( ))
( ))
On applique l’hypothèse de récurrence :
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
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réflexions
DEFINITION 42 : RETOURNEMENT
On appelle retournement une symétrie orthogonale par rapport à un F de dim
// à un plan.
PROPRIETE:
. Le groupe ( ) est engendré par les retournements.
Cas
Classification suivant les invariants.
( )
( ) est un s.e.v. de E.
( ), fixe ( ) donc fixe ( )
LEMME:
Si , ( ) : ( ) ( ) ( )
PREUVE:
M matrice de u dans une base orthonormale.
( ) ( ) ( ( )
( ( )) ( )
THEOREME:
( )
a) On a équivalence entre
i. ( )
ii. est une droite
iii. est une symétrie orthogonale par rapport à une droite i.e. ϕ est une réflexion.
b) est une rotation ( ( )) ssi ou
PREUVE:
i ii
( )
si
Mais
ii iii
( ) ( )
Donc u est une réflexion.
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
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THEOREME:
Toute rotation de E est le produit de 2 réflexions (l’une des 2 peut être choisie arbitrairement)
PREUVE:
Si
Si . Soit D une droite quelconque
( ) donc c’est une réflexion par rapport à une droite D’.
COROLAIRE:
s réflexion, ρ rotation dans E.
Et
PREUVE:
( ) ( )
( ) ( )
( )
de même on a ( )
COROLAIRE:
(SO(E) ou le groupe des rotations) est un groupe abélien.
PREUVE:
( )
{
( )
( )
Donc on a bien
Matrices orthogonales.
( )
(
)
(
)
(
)
et
Si ( ) on a {
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
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(
) et
On peut le réécrire (
)
( ) est abélien
( )
THEOREME:
| |
Alors l’application
( )
est un isomorphisme de groupes.
( )
On a {
donc M s’écrit de la forme
(
)
Etude de O(E),
( )
alors
notons plan
et droite
Comme u stabilise P stabilise D.
| automorphisme orthogonal dans un espace de dim 1
donc |
Si |
ce qui est impossible car
Donc | donc u est une réflexion par rapport à P.
Réciproquement une réflexion orthogonale est un automorphisme orthogonal dans l’espace des
invariants est un hyperplan donc de
soit et
| est un automorphisme de P donc | est une rotation ou une réflexion par rapport à
une droite Δ.
Supposons | est réflexion par rapport à Δ.
ce qui est impossible car
Donc | est une rotation.
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
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Soit w unitaire. ( ) et ( ) b.o.n de P.
Dans la base ( ) la matrice de u est
(
) pour certain
et ( )
Réciproquement soit ( )
( ) ( ) ( )
( ) donc ( )
LEMME:
( )
( ) ( ) ( )
PREUVE:
M matrice de u,
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ))
( ) ( ) ( ) (( ))
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Si ( )
Si
donc
Si ( )
est une rotation
Si . Soit D droite
et on considère les symétries orthogonales associées
et . On a
Si est une rotation ≠ . Soit D son axe et P le plan orth à D.
Notons la rélexion par rapport à P.
On considère est une rotation d’axe D.
En effet si , ( ) ( )( ) ( )
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
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De plus,
en effet
si , ( ( )) ( )
( ( )) ( ) ( )
si , ( ( )) ( ) car ( )
( ( )) ( )
THEOREME:
( ), et alors u set la comparée d’une réflexion par rapport à un plan P
et une rotation d’axe orthogonale à P. Le produit est commutatif.
THEOREME:
espace euclidien ( ). Alors il existe p,q entiers et , …,
tel que u est représenté dans une base orthonormale
par
(
)
où (
)
p,q et , …, sont unique à l’ordre près.
Angles orientés
E espace euclidien de dimtel que 2.
DEFINITION 43 : ORIENTATION
On appelle orientation de est le choix d’une base orthonormée ( ). Soit ( ) une autre base
elle est directe ou positive si l’unique élément ( ) ( ) et ( ) est dans SO(E)
Rmq :
Si ( ), , matrice de relations à deux b.o.n. directes de E. Soit P la matrice de passage
alors ( ). On a vu donc mod [2 /
On remarque que si on considère deux matrices par rapport à des bases de sens opposées on en
déduit ( ) et .
On en déduit que la matrice d’une rotation ne dépend que de l’orientation de la base.
DEFINITION 44 : ANGLE ORIENTE
( ) on lui associe un unique nombre réel [2 : l’angle orienté de pour l’association d’une
matrice dans une b.o.n directe quelconque.
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
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PROPRIETE:
Soit vecteurs unitaires. Il existe une unique rotation qui envoit u sur v.
PREUVE:
oit u’ unitaire ( ) b.o.n.
Alors
On pose alors (
) ( ) .
DEFINITION 44 : ANGLE ORIENTE
unitaire leur angle orienté ( )̂ est celui de la rotation qui envoit u sur v.
u,v vecteur quelconque ( )̂ (
‖ ‖
‖ ‖)̂
PROPRIETE:
Relation de chasles.
Soient alors ( )̂ ( )̂ ( )̂
THEOREME:
1. Toute rotation conserve les angles
2. Toute réflexion renverse les angles.