Ch 4 : Ch 4 : Quelques Quelques distributions usuellesdistributions usuelles

I. Quelques Lois continuesI. 1 La loi normale (Laplace Gauss)

La loi normale est le modèle le plus utilisé en statistique. Elle possède l’avantage d’approcher des distributions de sommes de variables indépendantes. Elle fut découverte par Karl Friedrich Gauss (1777-1855).

Définition : Définition : On dit qu’une variable aléatoire X suit une On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi normale de paramètres et , si sa densité est de loi normale de paramètres et , si sa densité est de la forme :la forme :

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2

2

2

2

)(

2

1)(

x

exf pour tout x dans IR

La loi normale de paramètres et est notée:

2),( 2N

13/12/17 2

Résultats: Résultats:

Soit X une variable aléatoire distribuée selon une Soit X une variable aléatoire distribuée selon une loiloi

normale de paramètres et : normale de paramètres et : . .

Alors on montre que: Alors on montre que:

et et

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2

)(XE 2)( XVar

),( 2NX

13/12/17 3

I. 1.1 I. 1.1 Graphe d’une loi normaleGraphe d’une loi normale :  : La courbe a une forme La courbe a une forme de cloche. Elle est symétrique par rapport à la droite de cloche. Elle est symétrique par rapport à la droite verticale passant par la moyenne. L’écart type représente verticale passant par la moyenne. L’écart type représente la distance entre l’axe de symétrie et le point d’inflexion la distance entre l’axe de symétrie et le point d’inflexion de la courbe (changement de courbure).de la courbe (changement de courbure).

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Effet de la moyenne   Effet de la moyenne   : lois normales de variances : lois normales de variances égales mais de moyennes différentes.égales mais de moyennes différentes.

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13/12/17 5

13/12/17 6Cours de Proba/Stat Svi/Sem 3

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Effet de la varianceEffet de la variance : : lois normales de même moyenne lois normales de même moyenne mais de variances différentes.mais de variances différentes.

2

1

2

I.1.2 Loi normale centrée réduiteI.1.2 Loi normale centrée réduite

2

2

2

1)(

x

exf

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La loi normale de moyenne et de variance est appelée loi normale centrée réduite. La variable aléatoire qui suit une normale centrée réduite.

012

Sa densité est alors:

13/12/17 7

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I.1.3 Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite

La fonction de répartition de la loi normale N(0,1) nous permet le calcul des probabilités par la table de la loi normale. Elle est définie par :

)()( xZPx

et représente la surface, située à gauche de x, entre la courbe de densité et l’axe des abscisses :

où ,

)1,0(NZ

13/12/17 8

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13/12/17 10Cours de Proba/Stat Svi/Sem 3

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2

2

2

1)(

x

exf

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Résultat : Si Résultat : Si ˜̃

alors alors ˜̃

),( 2NX

)1,0( NX

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X v.a suivant N(m, X v.a suivant N(m, σσ22 ) et Z v.a suivant N(0;1) ) et Z v.a suivant N(0;1)

Les intervalles suivants ou plages de normalité Les intervalles suivants ou plages de normalité se calculent grâce aux égalités ci-dessous, se calculent grâce aux égalités ci-dessous, obtenues grâce à la table de la loi N(0;1) :obtenues grâce à la table de la loi N(0;1) :

P(m-P(m-σσ <X<m+ <X<m+ σσ)= P(-1<Z<+1)= 0,68.)= P(-1<Z<+1)= 0,68.

P(m-1,6 P(m-1,6 σσ <X<m+1,6 <X<m+1,6 σσ)= P(-1,6<Z<+1,6)= 0,90.)= P(-1,6<Z<+1,6)= 0,90.

P(m-1,96 P(m-1,96 σσ <X<m+1,96 <X<m+1,96 σσ)= P(-1,96<Z<+1,96)= 0,95.)= P(-1,96<Z<+1,96)= 0,95.

P(m-3,09 P(m-3,09 σσ <X<m+3,09 <X<m+3,09 σσ)= P(-3,09<Z<+3,09)= 0,99.)= P(-3,09<Z<+3,09)= 0,99.

13/12/17 12Cours de Proba/Stat Svi/Sem 3

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I.2. Loi exponentielleI.2. Loi exponentielle

Une loi exponentielle modélise la durée de vie Une loi exponentielle modélise la durée de vie d'un phénomène sans mémoire, ou sans d'un phénomène sans mémoire, ou sans vieillissement, ou sans usure : la probabilité vieillissement, ou sans usure : la probabilité que le phénomène dure au moins s + t heures que le phénomène dure au moins s + t heures sachant qu'il a déjà duré t heures sera la même sachant qu'il a déjà duré t heures sera la même que la probabilité de durer s heures à partir de que la probabilité de durer s heures à partir de sa mise en fonction initiale. En d'autres termes, sa mise en fonction initiale. En d'autres termes, le fait que le phénomène ait duré pendant t le fait que le phénomène ait duré pendant t heures ne change rien à son espérance de vie à heures ne change rien à son espérance de vie à partir du temps t.partir du temps t.

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Plus formellement, soit X est une variable Plus formellement, soit X est une variable aléatoire définissant la durée de vie d'un aléatoire définissant la durée de vie d'un phénomène, d'espérance mathématique . On phénomène, d'espérance mathématique . On suppose que : suppose que :

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)()( sXPtXstXP

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L’absence de mémoire se traduit par le fait L’absence de mémoire se traduit par le fait qu’un phénomène a autant de chances de se qu’un phénomène a autant de chances de se produire sur un laps de temps donné après produire sur un laps de temps donné après l’instant l’instant tt qu’après l’instant  qu’après l’instant hh. La . La probabilité qu’il survienne aujourd’hui probabilité qu’il survienne aujourd’hui sachant qu’on l’attend depuis un siècle est sachant qu’on l’attend depuis un siècle est la même que si on l’attendait depuis un la même que si on l’attendait depuis un jour.jour.

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Définition Définition Soit une constante strictement positive.Soit une constante strictement positive.On dit qu’une variable aléatoire suit une loi On dit qu’une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre sur , lorsque sa exponentielle de paramètre sur , lorsque sa densité de probabilité associée est la fonction densité de probabilité associée est la fonction f(.) définie sur IR+  par: f(.) définie sur IR+  par:

et .et .

Donc .Donc .

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xexf )(

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IllustrationIllustration

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RemarquesRemarques• • f(0) = λ. f(0) = λ.

• f est continue et positive sur IR.• f est continue et positive sur IR.

• •

• •

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1

)( XE

2

1)(

XVar

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I.3. La loi de khi-carréI.3. La loi de khi-carré

Soit X une v.a continue. On dit que X suit la loi de Soit X une v.a continue. On dit que X suit la loi de Khi-carré à d.d.l notée si sa fonction densité Khi-carré à d.d.l notée si sa fonction densité

définie sur IR+ est :définie sur IR+ est :

où est une constante positive.où est une constante positive.

k

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2k

)()( ,02

1

0

12/

xIexxxfxk

0x

13/12/17 20

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13/12/17 22Cours de Proba/Stat Svi/Sem 3

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RésultatRésultat

étant p variables indépendantes et distribuées étant p variables indépendantes et distribuées selon la loi normales centrée et réduite.selon la loi normales centrée et réduite.

Alors Alors

pUUU ...,, 21

22

p

p

iiU

Si X est distribuée selon la loi de , Si X est distribuée selon la loi de ,

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2K

KXVarKXE 2)(et )(

13/12/17 23

I.4. La loi de StudentI.4. La loi de Student

Soit X une v.a continue. On dit que X suit la loi de Student à Soit X une v.a continue. On dit que X suit la loi de Student à ( ) degrés de liberté (d.d.l) si sa fonction densité est : ( ) degrés de liberté (d.d.l) si sa fonction densité est :

où t est une constante positive.où t est une constante positive.

On montre que: On montre que:

E(X)=0 et Var(X)=E(X)=0 et Var(X)= si si

0

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2

120

)1(

)(

t

ttf

IN

2 ,3

13/12/17 24

RésultatRésultat

Soient U et X deux v.a Soient U et X deux v.a indépendantesindépendantes telles que telles que

et et

alorsalors

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1,0NU 2pX

pt

pX

U

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Remarque: La loi de Student tend vers la loi Remarque: La loi de Student tend vers la loi normale. normale.

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I.5. La loi de FisherI.5. La loi de Fisher

Soit X une v.a continue. On dit que X suit la loi deSoit X une v.a continue. On dit que X suit la loi de Fisher à et d.d.l notée si sa fonction Fisher à et d.d.l notée si sa fonction

densité définie sur IR+ est :densité définie sur IR+ est :

où où CC est une constante positive. est une constante positive.

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21 ,nnF1n 2n

221

12

21

1

)(

)( nn

n

nxn

Cxxf

13/12/17 27

13/12/17 28Cours de Proba/Stat Svi/Sem 3

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RésultatRésultat

Soient X et Y deux v.a indépendantes telles queSoient X et Y deux v.a indépendantes telles que

etet

AlorsAlors

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2pX 2

qY

qpF

qYp

X

,

13/12/17 29

II. Quelques loi discrètes II. Quelques loi discrètes

II.1 Loi de BernoulliII.1 Loi de Bernoulli

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On appelle variable de Bernoullivariable de Bernoulli ou variable indicatrice, la variable aléatoire X telle que : 

Loi de probabilité: P(X=0)=1-p et P(X=1)=p où p est compris entre 0 et 1, et E(X) = p et Var(X) = p(1-p)

0,1 )X(et succèséchec, R/ :X

13/12/17 30

II.2 Loi BinomialeII.2 Loi Binomiale

On appelle On appelle variable Binomialevariable Binomiale une variable une variable aléatoire aléatoire XX correspondant à la somme de n correspondant à la somme de n variables de Bernoulli : variables de Bernoulli : 

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Loi de probabilité:

Elle est appelée loi Binomialeloi Binomiale, notée B(n,p) et on a,B(n,p) et on a,

k)!(nk!n!

C avec q p Ck)p(X kn

knkkn

np E(X) npq V(X)

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13/12/17 32Cours de Proba/Stat Svi/Sem 3

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Diagrammes en bâtons de trois fonctions de masse de lois binomiales. Les paramètres sont n = 20 et p = 0,1 (en bleu), p = 0,5 (en vert) et p = 0,8 (en rouge).

II.3 Loi de Poisson

Le nombre moyen d’occurrence d’un événement X dans un temps T est k

X={0,1,…} :

On note P ( )

= nombre moyen d’événement par unité de temps.

Relation avec la loi binomiale :

Si p<0.1 et n>50 : B(n,p)P(np)

!)(

kekXP

k

X

)(et )( XVXE

13/12/17Cours de Proba/Stat Svi/Sem 3

Par Dr A. MERBOUHA 33

II.4 Loi géométrique (loi de Pascal)II.4 Loi géométrique (loi de Pascal)

Une variable géométrique correspond au Une variable géométrique correspond au nombre d’épreuves de Bernoulli nécessaires nombre d’épreuves de Bernoulli nécessaires pour obtenir 1 succès:pour obtenir 1 succès:

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n...1,2...,)X(Ω

que telleINΩ : X *

Loi de probabilité: p q i)p(X 1i

p1

E(X) 2pq

V(X)

13/12/17 34

II.5 Loi HypergéométriqueII.5 Loi Hypergéométrique

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Une variable hypergéométrique correspond à l’observation de k succès

lors de n épreuves sans remise, dans une population de dimension N:

....n 0,1, )X(

que telleN :Xn

n

I

Loi de probabilité:

p étant la probabilité qu’un tirage se réalise avec succès.

C

C C k)p(X

nN

k-np)-N(1

kNp

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p E(X) n p)-p(1n 1-N

n-N V(X)

13/12/17 36