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1

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La réussite des opérations sur les décimaux en passant par la réussite

sur les fractions

Incroyable mais vrai!par

Colette Picard (Ph.D)Orthopédagogue

Professeure/chercheure UQAT

AQETA 2012

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Contenu de la conférence

Présentation et Introduction

Connaissances antérieures et préalables

Lien entre les fractions et les décimaux

Fraction: Addition/soustraction/multiplication

Décimaux: Addition/soustraction/multiplication/ division

Conclusion

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Présentation et introduction

• Toutes ces années consacrées à l’étude des fractions

MISE EN GARDE: Trop souvent on s’attaque à des problématiques qui vont au-delà des savoirs essentiels du programme du MELS, car les élèves nous y conduisent. L’important c’est d’être vigilant sur ce qu’on évalue….

• Cette conférence tient compte de centaines d’entretiens avec des élèves et leur enseignant

• Elle s’imbrique dans la programme du MELS et favorise la mise en action du document sur la progression des apprentissages

• Elle est soutenue par une revue de littérature scientifique

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Préalables

• Identifier l’entier

• Reconnaître que l’entier est divisible à l’infini

• Reconnaître l’importance de l’égalité des parties

• Représenter des fractions

• Passer des fractions familières aux fractions décimales

• Comparer des fractions décimales

• Passer de la forme a/b aux nombres à virgule

• Comprendre le système de numération

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SUGGESTION:

Additionner les fractions Ennemi no 1 : Négliger la période manipulation

Varier le matériel et référer à un contexte stimulant

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SUGGESTION:

Additionner les fractions Ennemi no 2 : Difficulté avec les représentations

½ + 1/4 =

Faire verbaliser l’enfant

Intuitivement l’enfant veut additionner le ¼ de la demie Il obtient 10/16 ou encore 8/16, car deux cases sont superposées.

Il peut aussi procéder ainsi:Il trouve la demie. Il trouve le quart, mais il se laisse déranger par la superposition et sa réponse est encore erronée.

Qu’est-ce que l’enfant doit faire?

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SUGGESTION:

Additionner: Difficulté avec les représentations (suite)

½ + 1/4 = 12 /16

Les représentations sont source de confusion

Utiliser différents rectangles pour identifier clairement les sections concernées

Représenter l’entier:

Représenter ½:

Représenter 1/4:

Regrouper

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SUGGESTION:

Additionner: Difficulté avec la réponse

Comment exprimer le résultat obtenu

Préciser les attentes.

Simplifier la réponse:Plusieurs procédures sont possibles en fonction de la fraction:

4/8, 5/15, 7/21

12/15

8/16

La diversité des procédures augmente le risque d’erreurs.

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SUGGESTION:

Additionner: Cas particuliers

Discuter

5/10 + 5/10 peut-il valoir 10/20 ?

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SUGGESTION:

Le choix des représentations

Utiliser des représentations circulaires

½ + 1/4 = 3/4

½ - 1/4 = 1/4

Voici l’entier:

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SUGGESTION: Profitez des compensations que le cerveau fait pour notre plus grand bonheur!

Le choix des représentations

On a représenté une partie d’une tarte.

On a représenté une partie d’une tablette de chocolat.

On a représenté une partie d’une boîte de Smarties

Dans chaque cas, donnez-moi sa valeur?

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SUGGESTION:

Soustraire : Difficulté avec la représentation

Comme pour l’addition l’enfant ne saisit pas ce qu’il doit faire

Analyser les représentations des élèves

½ - ¼ =

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SUGGESTION:

Encore ici, certaines représentations sont source de confusion.

Représenter l’entier:

Représenter ½:

Représenter 1/4:

Regrouper½ - 1/4 = 4 /16

Utiliser différents rectangles pour identifier clairement les sections concernées

Soustraire: Difficulté avec les représentations (suite)

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SUGGESTION:

L’enfant passe d’une entier à un autre sans s’en formaliser

1 ½ - ½

Utiliser les nombres fractionnaires

Soustraire: Difficulté avec l’entier de référence

1 ½ - ¼

1 ½ - ¾

½ - ¼

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Ennemi no 3 : La diversité des procédures

Qu’il s’agisse d’ordonner, d’additionner ou de soustraire , les compétences requises vont dépendre du choix des fractions.

Les fractions choisies ont le même dénominateur 1/3 + 1/3 =

Les fractions ont des dénominateurs multiplesentre eux; 1/3 + 1/6 =

Les fractions ont des dénominateurs qui ne sont pas multiples entre eux. 2/3 + 2/4 =

On a inséré des entiers dans l’addition; ½ + 1 + 2/10 =

On soustrait une fraction d’un entier; 5 - 3/4

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Multiplier: Donner du sens à l’opération

SUGGESTION: Visualiser l’opération de multiplication.

• Nous en voulons 2 fois plus! Combien en aurons-nous?

• Nous en voulons 4 fois plus!

• Nous en voulons 8 fois plus?

Voici le 1/8 d’une pizza:

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1) L’enfant est tenté de dire 6/9, car c’est ce qu’il voit.

2) La réponse est 6/3, mais cela semble inacceptable!

Écart entre l’action la représentation et la compréhension

Ennemi no 2 : Difficulté à donner le résultat

SUGGESTION: Garder l’entier de référence bien en vue.

Prenons le cas de 2/3 x 3 :

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Multiplier: difficulté avec les représentations

SUGGESTION: Progresser lentement d’une illustration à l’autre

Voici l’entier:

Prenons le cas de 2/3 x 3 :

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Multiplier: Donner du sens à l’opérationSUGGESTION: Visualiser l’opération de multiplication.

• Nous en voulons 2 fois plus!

• Nous en voulons 4 fois plus!

• Nous en voulons 8 fois plus?

Voici le 2/8 d’une pizza:

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Qu’est qu’on a dit déjà?

Le contexte de réalisation joue un rôle important dans l’engagement de l’élève dans le développement de la compréhension

La manipulation est au cœur de la réussite

Les représentations imagées sont une étape à considérer

La discussion avec les élèves nous donnent l’opportunité d’ajuster notre enseignement

Il est tentant de passer rapidement au symbolisme

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Passage aux décimaux : lien entre ½ , 5/10, 5/100

SUGGESTION:

Différentes fractions peuvent représenter une même quantité.

Ces rectangles vont nous permettre d’introduire la notion de nombres décimaux.

½ 5/10 50/100

1 2/2 100/100 10/10

1

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Passage aux décimaux : lien entre 5/10, 50/100, 0,5, 0,50

SUGGESTION: Représenter des fractions décimales dans leur

expression (a/b) et sous forme de nombres à virgule

1 ½

1 5/10

1,11

1 50/100

1,9

1,96

1,01

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Passage aux décimaux : lien entre 5/10, 50/100, 0,5, 0,50

SUGGESTION: Faire une démonstration

Qu’est-ce qui est pareil entre 4/10 et 0,4?

4/10 0,4 4 ÷ 10

4 10

- 0 0,4

4 40

- 40

0

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SUGGESTION: Utiliser le papier quadrillé

Opportunité : Lien entre les opérations sur les fractions et celles sur les décimaux

Les opérations sur les fractions vont préparer la compréhension des opérations sur les décimaux.

¼ + ¼ 1/10 + 1/10 0,10 + 0,1010/100 + 10/100

La compréhension du système de numération va prendre toute son importance lorsque nous allons aborder les décimaux.

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Ennemi no 1 : Passer trop vite au symbolisme

SUGGESTION:

On peut être tenté de travailler les opérations directement sur les modes symboliques:

c d u dix centi milli

,

0,15 + 0,10

Résister, car respecter le processus d’apprentissage des élèves c’est augmenter leurs chances de réussir.

entier décimaux

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Opportunité : Référer au quotidien

SUGGESTION:

Curieusement, lorsqu’on parle d’argent le niveau de compréhension augmente!!!!

$$

Utiliser l’argent scolaire.

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SUGGESTION : Donner du sens à l’opération en partant des naturels

Passage aux décimaux : Comment expliquer 0,1 x 0,1?

Normalement l’enfant a eu l’opportunité de représenter des multiplications du type 2 x 2 .

Le passage à 2 x 2 ½ et à 2 ½ x 2 ½ semble découler

La technique explicite démontre le résultat de cette opération.

14 41 ¼1

2

2

1/2

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Ennemi no1 : passer trop rapidement à l’abstrait

SUGGESTION: Respecter une certaine progression

et à 2 ¼ x 2 ¼ peut suivre

½

4

Le passage à 2 x 2 ¼

1/16

4½

½

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Ennemi no2 : représenter de façon adéquate

SUGGESTION: Respecter une certaine progression

L’enfant peut-il représenter:

2 x 2 6/10 et 2 8/10 x 2 6/10 et identifier la valeur de chaque zone?

16/10

48/100

4 44

12/10

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Ennemi no2 : représenter de façon adéquate

SUGGESTION: Revenir sur la valeur et le sens des fractions

Il faut s’assurer que l’enfant donne aux différentes parties de l’entier la valeur qui lui est proportionnelle

4 1

1/10 1/100

Identifier clairement ce qui vaut 1

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L’enfant est-il maintenant en mesure de comprendre pourquoi : 1 x 1 = 1 ou 0,1 x 0,1 = 0, 01 10 10 100

SUGGESTION: Prenons le temps de mettre en évidence 8/10 x 6/10

Dans l’équation 2 8/10 x 2 6/10 L’enfant ne prend pas conscience de la valeur de 0,8 x 0,6 .

2 8/10 x 2 6/10 8/10 x 6/10 1/10 x 1/10

Ennemi no 3 : identifier la valeur des zones

4

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SUGGESTION: Identifier ce qui vaut 1.

2,8 x 2,6 = 7,28

Ennemi no 4: l’entier de référence

28 x 26 = 728

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4

SUGGESTION: Des nombres naturels, aux fractions, aux décimaux…

28 x 26 2 8/10 x 2 6/10 2,8 x 2,6

Opportunité : les connaissances antérieures

0,481, 2

1,6160

120

40048

448/10012/10

16/10

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SUGGESTION: Faire le lien entre les zones et la multiplication.

Ennemi no 5: passer à l’abstrait

4160

120

400

2,8 x 2,6 28 x 26

28x 26

48 (6 x 8)

400 (20 x 20)

728

2,8x 2,6

160 (20 x 8)

120 (6 x 20)

0,48 (0,6 x 0,8)

4,00 (2 x 2)

7,28

1,6 (2 x 0,8)

1,2 (0,6 x 2)

48

1, 6

1,2 0, 48

28 X 26 = 728 = 7,28 10 10 100

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SUGGESTION: Faire le lien entre les zones et la multiplication.

Ennemi no 5: passer à l’abstrait

Cela n’est pas sans nous rappeler la décomposition suivante:

28 x 26 = (20 + 8) x (20 + 6) = (20 x 20) + (20 x 6) + (8 x 20) + (8 x6) 400 + 120 + 160 + 48

160

120

40048

28 x 26 28x 26

48 (6 x 8)

400 (20 x 20)

160 (20 x 8)

120 (6 x 20)

728

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SUGGESTION :

Diviser : Donner du sens à l’opération

Des nombres naturels aux décimaux…

Viser la compréhension et résister à l’attrait du symbolisme :

• La numération est la base de la réussite• Revoir la composition des nombres pour saisir le sens de la

division• Manipuler et débuter avec des divisions simples: 44 ÷ 4

Prenez le temps d’avoir du plaisir : la réussite ça fait du bien

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SUGGESTION :

Diviser : Donner du sens à l’opération

Des nombres naturels aux décimaux…

Respecter une certaine progression dans le choix des équations:

Pour partager 24 unités entre 6 personnes, nous devons faire des transformations sur le nombre:

Ces activités vont favoriser le passage aux dixièmes

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Diviser: passer des naturels aux décimaux

SUGGESTION: Viser la compréhension et résister à l’attrait du symbolisme

24 ÷ 6

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SUGGESTION : Faire le lien entre la représentation et l’algorithme

Cette représentation est intéressante car elle permet de faire les liens avec la technique de division qui nous est la plus familière.

Disons-nous: Combien de 6 dans 2? aucunCombien de 6 dans 24? 4

Est-ce que nous faisons? Devrions-nous faire autrement,pour favoriser la compréhension?

Exemple: 24 divisé par 6

Diviser : Viser la compréhension et résister à l’attrait du symbolisme

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On peut aussi utiliser l’argent, qui encore ici provoque toujours des réussites chez les cas les plus désespérés

Diviser les décimaux

Si l’enfant est à l’aise avec la numération, introduire les dixièmes ne pose pas de problème.

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SUGGESTION: Viser la compréhension et résister à l’attrait du symbolisme

24,6 ÷ 6

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Diviser les décimaux

SUGGESTION: La planche à calculer permet de varier le matériel

24,6 ÷ 6

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SUGGESTION:

Diviser : passer des naturels aux décimaux

Faire des représentations distinctes de chaque étape

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Diviser : De la représentation à algorithme les décimaux Cette représentation est intéressante car elle permet de faire les liens avec la technique de division qui nous est la plus familière.

6

4,1-

-

-

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Qu’est qu’on a dit déjà?

La multiplication d’une fraction par une fraction n’est pas au programme, mais elle supporte la compréhension de 0,1 x 0,1 qui donne 0,01…

Sur les opération sur les fractions :

Les opérations d’additions et de soustractions et les multiplications de fractions par un nombre naturel inférieur à 10 doivent se faire à l’aide de matériel concret et de schémas

La division de fraction n’est pas au programme.

Les fractions sur 10 sont importantes car elles préparent l’étude des décimaux

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Qu’est qu’on a dit déjà?

La multiplication des décimaux doit-elle passer par la compréhension de la multiplication des fractions comme ½ x ½, de 1/10 x 1/10?

Sur les opération sur les décimaux :

Utiliser différents types de matériel pour faire manipuler les enfants. L’argent est une arme secrète.

La division des décimaux est facilitée par la compréhension de la division des nombres naturels. Le lien entre la représentation et l’algorithme peut faire la différence entre la réussite et l’échec.

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ConclusionLes recherches scientifiques nous aident à comprendre comment l’enfant construit ses connaissances. Mais les chercheurs à eux seuls n’ont aucune prise pour améliorer l’apprentissage. Seuls les enseignants peuvent faire la différence ….

Prenez les choses en main…Non... je voulais dire prenez vos mains…Non, Non…Mieux encore laissez les enfants prendre leurs mains.Oui, c’est cela, laissez les enfants prendre leurs mains…

SUGGESTION:

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ConclusionEn bref, manipuler, questionner, observer et même rigoler …

Documents découlant de ces recherches

Deux cahiers de l’élève

Chacun avec son guide d’accompagnement et les fiches reproductibles

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InvitationCes ouvrages sont utilisés un peu partout au Québec avec les autres volumes de la collection MATHOU :

Chacun avec son guide d’accompagnement et les fiches reproductibles

D’autres ouvrages sont à venir. Ils sont spécifiquement dédiés aux difficultés des élèves pour chacun des champs de la mathématique. C’est la numération qui sera le thème de ma prochaine conférence à l’AQETA.

Cahier de l’élèveB

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