Baccalauréat en génie électrique et en génie...

Faculté des sciences et de génie

Département de génie électrique et de

génie informatique

Jean-Yves Chouinard

Baccalauréat en génie électrique et en génie informatique

Systèmes de communications GEL-3006

Représentation et analyse des signaux

Notes de cours, édition automne 2014

GEL-3006 Systèmes de communications Jean-Yves Chouinard, Département de génie électrique et de génie informatique

Représentation et analyse des signaux

• Fonctions : fonctions réelles, complexes, paires et

impaires, fonctions mathématiques fréquentes

• Classification des signaux et des systèmes

• Séries et transformées de Fourier

• Énergie et puissance

• Dualité temps-fréquence et théorème de Parseval

• Corrélation et densité spectrale de puissance

• Transformée de Hilbert et pré-enveloppe

• Représentation complexe en bande de base

Fonctions réelles et complexes

Une fonction du temps ( ) est réelle si elle est définie

sur l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire si .

0Par exemple, la fonction ( ) sin( ), où est

réel, est elle-même une fonction réelle.

g t A t A

Une fonction du temps ( ) est complexe si elle prend

des valeurs complexes, i.e. si .

Exemple (fonction exponentielle complexe)

r elleé

imaginaire

Représentation cartésienne, avec parties réelle et

Soit une expone

Partie

inaire :

ntielle complexe : ( )

( ) ( ) ( )

:l ( ) ( )e

g t Ae

g t g t jg t

g t g t Ae A e

( ) ( )

r elle i

imaginaire 0

Partie imaginaire

Représentation pola

cos( )

: ( ) ( ) sin( )

( ) ( )ire avec un module et une phase

le ( )

j t j t

g t g t g

g t g t Ae A e A t

g t g t e

2 2 2 2

imaginaire 00

r elle 0

maginaire

cos ( ) sin ( )

( ) sin( )Phase : ( ) arctan arctan

( ) cos( )

L'exponentielle complexe ( ) peut donc s'exprime par :

A t A t

g t A tg t t

g t A t

le imaginaire 0 0

( )( )

( ) ( ) cos( ) sin( )

ou encore : ( ) ( )j tj g t

t jg t A t jA t

g t Ag t e e

Fonctions paires et impaires

Une fonction ( ) est une fonction paire si, pour toutes

les valeurs de : ( ) ( ) .

Une fonction ( ) est une fonction impaire si,

pour tout : ( ) ( ) .

t g t g t

paire impaire

Une fonction ( ) peut être représentée par la somme

d'une fonction paire et d'une fonction impaire :

( ) ( ) ( )

g t g t g t

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Exemple (fonctions paires et impaires)

: ( )Exemp cle de os(fonction paire 2 H2 ), avec zc cg t A f t f

Exemple de fonction impair : ( ) sine 2 H(2 ), avec zc cg t A f t f

Fonctions mathématiques utiles

1 pour 0,

sgn 0 pour 0,

1 pour 0.

Fonction signe :

0 pour 0,

1pour 0,

1 pour 0.

Fonction échelon :

1 11 pour - ,

1 1pour ,

10 pour .

Fonction rectangulaire:

1 pour -1 1,

0 pour 1.

Fonction triangulaire :

tg t e u tFonction exponentielle :

tg t e

Fonction exponentielle double :

g t tt

Fonction sinc (sinus cardinal) :

Fonction de Dirac : à

Dérivée de la fonction échelon :

Extraction :

Échelonnage :

0, pour 0,( )

( ) ( ) (0

( ) ( ) ( )

1( ) ( ) ( )

t g t dt g

t t g t dt g t

tt g t d

Convolution :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

g t t g t d g t

Signaux discrets et signaux continus

Signal continu ( ) : fonction (réelle ou complexe)

continue dans temps ( ).

Signal discret : fonction (e.g. réelle, complexe)

définie à des instants discrets seulement ( ).

Si la fonction est a

ussi discrète alors la fonction

est numérique.

Signaux discrets et signaux continus

Exemples de signaux continus :

( ) sin 2 (signal réel)

( ) (signal complexe)

Exemples de signaux discrets (signaux BASK et QPSK) :

21 cos 2 , 0

0, ail

f t A f t

g t Ae

Ei f t t T

, 1, 2 (signal BASK)

2cos 2 2 1 , 0

( ) , 1,2,3,4 (signal QPSK)4

0, ailleurs

Ef t i t T

s t iT

Signaux périodiques et apériodiques

Signal périodique ( ) : ,

Constante : période du signal.

f t f t f t T t

Exemples de fonctions périodiques :

( ) sin 2 et ( )

1avec une période .

cj f t

f t A f t g t Ae

Fonctions orthogonales

Fonctions orthogonales dans l'intervalle de temps , :

0 ou 0 t t

f t g t dt f t g t dt

Les fonctions orthogonales sont orthonormales si,

dans l'intervalle de temps , :

1 et 1 t t

f t f t dt g t g t dt

Fonctions orthogonales (exemple)

r = (3,5,5)

Signaux déterministes et signaux aléatoires

Signal déterministe : connaissance exacte de sa

valeur en tout temps

Exemple : fonction exponentielle décroissante

Signal aléatoire : incertitude quant à la valeur de

la fonction dans le temps (e.g. bruit, voix, etc.)

Série de Fourier trigonométrique

Expansion en série de Fourier trigonométrique d’une fonction

périodique fT(t), de période T =1/f0 = 2/0:

cos sin

1Coefficients :

f t a a n t b n t

a f t dtT

a f t n t dtT

b f t n t dtT

Série de Fourier exponentielle complexe

Expansion en série de Fourier exponentielle complexe d’une

fonction périodique fT(t) :

1Coefficients :

t Tjn t

f t c e

c f t e dtT

Transformées de Fourier

Séries de Fourier trigonométriques ou exponentielles

complexes :

• représentation en fréquence de fonctions temporelles

périodiques

• souvent les signaux ne sont pas périodiques

Transformée de Fourier :

• représentation de fonctions apériodiques dans le

domaine des fréquences

• basée sur la définition de série de Fourier exponentielle

complexe

Transformée de Fourier d'une fonction temporelle g(t) :

Transformée de Fourier inverse d'une fonction G :

Les transformées de Fourier directe et inverse forment une

paire de fonctions réversibles:

( ) ( ) j tG g t g t e dt

-1 1( )

j tg t G G e d

( ) et

( ) ( )

G g t G

g t G g t

En télécommunications, on s'intéresse à la représentation des

signaux et systèmes en fonction des fréquences physiques

(en Hertz plutôt qu'en radians par seconde). La transformée de

Fourier s'exprime alors par la paire de relations suivantes:

pour la transformée de Fourier directe et par:

pour la transformée de Fourier inverse.

2( ) ( ) j ftG f g t g t e dt

-1 2( ) j ftg t G f G f e df

Propriétés de la transformée de Fourier

Réversibilité:

-1 -1( ) ( )g t G f g t

Si ( ) , alors:G f g t

Dualité temps-fréquence: Si une fonction temporelle G(t) a

la même allure que le spectre G(f), mais pour la variable de

temps t, alors:

g t G f

G t g f

Linéarité: Soit y(t) une combinaison linéaire des fonctions

g(t) et h(t):

( ) ( ) ( )y t g t h t

alors:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

avec ( ) et ( ).

Y f y t g t h t

Y f g t h t

Y f G f H f

G f g t H f h t

Rééchelonnage temporel: pour constant:

fg t G

Décalage temporel: décalage de t0 dans le temps de g(t):

0( )j ft

g t t G f e

Décalage fréquentiel: décalage en fréquences de f0 de G(f):

0( )j f t

G f f g t e

Dérivation temporelle:

( ) 2d

g t j f G fdt

Intégration temporelle:

( )2 2

t Gg d G f f

Conjugués:

*Si ( ), alors ( ).g t G f g t G f

Propriétés de la transformée de Fourier Multiplication temporelle:

( ) ( ) *g t h t G f H f G H f d

Convolution temporelle:

( )* ( )g t h t g h t d G f H f

Aire sous la fonction temporelle:

0g t dt G

Aire sous la fonction fréquentielle:

0G f df g

Propriétés de symmétrie de la transformée de Fourier

fonction temporelle g(t) spectre G(f)

réelle et paire réelle et paire

réelle et impaire imaginaire et impaire

imaginaire et paire imaginaire et paire

imaginaire et impaire réelle et impaire

complexe et paire complexe et paire

complexe et impaire complexe et impaire

Transformées de Fourier usuelles

( ) ( )

1sinc 2

1, avec 0

2, avec 0

g t G f G f g t

e u t aa j f

( ) ( )

1cos 2

1sin 2

g t G f G f g t

f t f f f f

f t f f f fj

u t fj f

nt iT f

Exemple (transformée de Fourier d’une fonction exponentielle)

Soit g(t) une fonction exponentielle positive. Déterminer G(f)

, pour 0( )

0, ailleurs.

Ae tg t

-2 0 2 4 6 8 10

, pour 0( )

0, ailleurs.

( ) ( ) ( )

Sachant que , on obtient:

0 1( )

1 12 2

t j f tj ft

Ae tg t

G f g t g t e dt

G f Ae e dt A e dt

AAeG f

j f j f

2 2 2 2 2 2

( )1 2

1 2( )

1 2 1 2

1 2( )

1 4 1 4

j fAG f

j f j f

A j fG f

A fAG f j

Représentation du spectre complexe G(f) en coordonnées cartésiennes:

( )1 4

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1

( )G f

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 22 2 2 2 2 4

2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )

1 4 1 4

1 44( )

1 4 1 4

1 4( )

1 4 1 4

G f G f G f

A fAG f

A fA f AG f

A f AG f

Module du spectre complexe G(f) (représentation polaire):

( ) 1 4( ) arctan arctan

2( ) arctan arctan 2

( ) arctan 2

G f fG f

fAG f f

Phase du spectre complexe G(f) (représentation polaire):

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Représentation du spectre complexe G(f) en coordonnées polaires:

2 2 2( )

( ) arctan 2

( )G f

Valeur en c.c. et valeur efficace d’un signal

Définition (valeur en courant continu (DC) d'un signal):

La valeur en courant continu XDC d’un signal x(t) est :

1lim [mêmes unités]

DC TTX x t x t dt

Définition (valeur efficace d'un signal):

La valeur efficace XRMS d’un signal x(t) est donnée par :

1lim [unités RMS]

RMS TTX x t x t dt

Par exemple, la puissance moyenne d’un signal de tension v(t)

dans une charge résistive R est :

Puissance d’un signal

Définition (puissance instantanée d'un signal):

La puissance instantanée d’un signal de tension v(t) avec un

courant i(t) est :

Définition (puissance moyenne d'un signal):

La puissance moyenne est obtenue de sa moyenne temporelle :

P p t v t i t

[watts]p t v t i t

2 22 2 ou encore RMS

v t VP P R i t RI

Puissance d’un signal

Définition (puissance moyenne normalisée d'un signal):

La puissance moyenne normalisée P d’un signal x(t) est

donnée par son énergie divisée par sa durée:

1lim ( ) ( ) [watts]

TTP x t x t dt

ou si le signal x(t) est de durée finie:

1( ) ( )

tP x t x t dt

Remarque: Il s'agit ici d'une puissance normalisée pour une impédance de 1 ohm.

Énergie d’un signal

Définition (énergie normalisée d'un signal):

Soit x(t) une fonction représentant une tension (i.e. voltage).

Alors l'énergie normalisée E de cette fonction (ou signal) est

donnée par:

2*( ) ( ) ( ) [joules]E x t x t dt x t dt

Si x(t) est une fonction limitée dans le temps alors:

2*( ) ( ) ( )t t

t tE x t x t dt x t dt

Remarque: Il s'agit ici d'une énergie normalisée pour une impédance de 1 ohm.

Mesures en décibels Définition (gain de puissance en décibels d'un circuit):

Soit un signal x(t) de puissance moyenne Pentrée appliqué à

l’entrée d’un circuit et y(t) le signal à sa sortie de puissance

Psortie. Le gain de puissance en décibels de ce circuit est

donnée par:

dB 1010log [dB]sortie

entrée

Si le circuit est résistif alors le gain peut s’exprimer par :

dB 10 10

20log 10log [dB]

sortie RMS entrée

entrée RMS sortie

sortie RMS sortie

entrée RMS entrée

Mesures en décibels Définition (rapport signal-à-bruit en décibels):

Le rapport signal-à-bruit en décibels d’un signal s(t) de

puissance moyenne Psignal et de bruit n(t) de puissance Pbruit

dB 10 10dB dB

dB 10 10 2

10log 10log

( )10log 10log [dB]

signal

SNR S N SNR S N

s tPSNR

On peut aussi le définir à partir des valeurs efficaces :

10dB20log [dB]

signal RMS

bruit RMS

Mesures en décibels Définition (puissance en décibels):

La puissance d’un signal s(t) est souvent exprimée en fonction

d’un signal de référence de puissance de 1 milliWatt (mW):

dBm 10 3

dBm 10

(en Watts)10log [dBm]

30 10log (en Watts)

signal

Il existe aussi d’autres mesures de puissance (e.g., dBrn en

téléphonie) et de tension (e.g., dBmV en télévision) en

décibels :

dBmV 10 320log [dBmV]

0 dBmV 48.75 dBm (dans une charge de 75 )

signal RMSVV

Exemple 1 (Énergie et puissance d’un signal exponentiel)

Soit x(t) une fonction exponentielle positive:

Son énergie est donnée par:

( ) ( )tx t Ae u t

2 2 22 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 12 2 2

E x t x t dt x t x t dt

E Ae u t Ae u t dt A e dt

A A AE e e e

Sur une période de temps infinie, le

signal x(t) a une énergie finie.

Exemple 1 (Énergie et puissance d’un signal exponentiel)

La puissance moyenne de x(t) est:

1 1lim ( ) ( ) lim

P x t x t dt ET T

Le signal x(t) est donc un signal d'énergie finie E et de

puissance moyenne nulle.

Exemple 2 (Énergie et puissance d’un signal sinusoidal)

Considérons un signal sinusoïdal x(t) de fréquence fc et

d'amplitude A. Son énergie est donnée par:

( ) ( ) sin 2 sin 2

1Or sin 1 cos 2

sin 2 1 cos 42

sin 4cos 4

2 2 2 4

E x t x t dt A f t A f t dt

AE A f t dt f t dt

f tA A AE dt f t dt t

Exemple 2 (Énergie et puissance d’un signal sinusoidal)

La puissance P du signal sinusoïdal x(t) est:

2 2 2 2

22 22 2 2

1 1lim ( ) ( ) lim sin 2

sin 4lim cos 4 lim

sin 4 sin 42 2

lim2 22 4

cT TT T

T T Tc

TcT TT Tc T

P x t x t dt A f t dtT T

f tA AP dt f t dt t

T Tf fA T TPT f

tend vers 0 lorsque

sin 4 et donc:22 4 2

A A ATf Pf T

Théorème de Parseval

L’énergie d’un signal x(t) peut s’exprimer en fonction de son

spectre X(f) par la relation suivante:

( ) ( ) ( ) ( )

ou encore par:

( ) ( ) [joules]

E x t x t dt X f X f df

E x t dt X f df

Exemple 3 (Énergie d’un signal exponentiel)

On peut calculer son énergie à l'aide de théorème de Parseval:

Soit ( ) ( ).tx t Ae u t

( ) ( ) avec

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

Le module de ( ) est égal à:

E X f X f df

X f x t Ae u t

X f A e u t Aj f

Exemple 3 (Énergie d’un signal exponentiel)

L’énergie E est:

( ) ( ) ( )

1 1or arctan

1 2arctan arctan arctan

E X f X f df X f df

AE df A df

a b z ab a

f AE A

et l'énergie est: 2

Fonction d’autocorrélation et densité spectrale de puissance

Fonction d’autocorrélation d’une fonction x(t) :

R x t x t dtT

j nf t T

x t c e c e

Pour une fonction x(t) périodique :

R x t x t dt c eT

Fonction d’autocorrélation et densité spectrale de puissance

Densité spectrale de puissance de x(t) :

x x xP f R R e d

Si x(t) est une fonction périodique :

P f R c e

P f c f nf

Transformée de Hilbert

La transformée de Hilbert d’une fonction x(t) est définie par :

xx t x t x t d

Hilbert

hx t x t

La transformée de Hilbert inverse est donnée par :

Dualité de la transformée de Hilbert :

xx t x t d

Transformée de Hilbert

Dans le domaine fréquentiel, la transformée de Hilbert se

décrit par le produit du spectre X(f) et la transformée de

Fourier de la transformée de Hilbert:

X f x t x t

X f x t x tt t

X f X f j f

sgnhX f j f X f

Applications de la transformée de Hilbert

Parmi les applications de la transformée de Hilbert, il y a:

• la génération de signaux nécessitant une sélectivité de

phase telle que la modulation d’amplitude à bande latérale

unique (BLU) (ou SSB).

• la représentation complexe en bande de base des signaux.

Propriétés de la transformée de Hilbert

Soit x(t) une fonction réelle du temps:

• La transformée de Hilbert a le même spectre d’amplitude

que le signal original:

• La transformée de Hilbert de xh(t) est égale à -x(t).

• Une fonction x(t) et sa transformée de Hilbert sont

orthogonales.

0hx x d

x t x t

hX f X f

Exemple: transformée de Hilbert

Soit cos 2 . Sa transformée de Fourier est :

La transformée de Hilbert de est :

sgn sgn2

En appliquan

h c c c c

g t A f t

AG f f f f f

AG f j f G f j f f f f f

A AG f j f f f f f f f f

t la transformée de Hilbert inverse, on obtient :

sin 2h cg t A f t

Pré-enveloppe d’un signal

Pré-enveloppe (positive) d'un signal réel :

x t x t jx t

La pré-enveloppe est donc une fonction complexe du signal

et de sa transformée de Hilbert. Son spectre est donné par :

ou encore :

0, pour 0,

0 , pour 0 et

2 , pour 0.

hX f x t x t jx t

X f X f f X f

X f X f

Pré-enveloppe d’un signal

De même, la pré-enveloppe négative est définie par :

Pré-enveloppe négative du signal réel :

Son spectre est :

2 , pour 0,

0 , pour 0 et

0, pour 0.

x t x t jx t

X f X f f X f

X f X f

Représentation complexe en bande de base

X f2W 2W

cfcf 0

X f 2W

Représentation d’un signal x(t) en bande

passante par un signal complexe en bande de

base. L’enveloppe complexe peut être

obtenue de sa pré-enveloppe positive, x+(t),

par une translation en fréquence.

pré-enveloppe positive

signal comple

Signal réel en bande passante en

fonction de la pré-enveloppe :

et en fonction de sa représentation

complexe en bande de base :

x t x t x t jx t

x t x t

décalage fréquentielxe

en bande de base

cj f te

2 2 2 2

Représentation complexe en bande de base, , du signal réel en bande passante :

c c c c

j f t j f t

j f t j f t j f t j f t

I Q I Q

x t x t

x t x t e x t jx t e

x t x t e jx t e x t e jx t e

x t x t e

cos 2 cos 22

I c Q c

e x t e

x t x t f t x t f t

cos 2 sin 2 (coordonnées cartésiennes)

ou encore

cos 2 (coordonnées polaires)

avec et arctan

I c Q c

x t x t f t x t f t

x t x t f t t

x tx t x t x t t x t

I Qx t x t x t

arctan

x tt x t

21cj f te

22cj f t

ce f t

2 cj f te

2 cf t

Ix t Qx t

x t 2 cj f tx t e

2 cj f tx t e

2 cf t

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