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Analyse et Correction des Systemes Numeriques
Florent Nageotte
Fomation d’Ingenieurs en Partenariat 2A
Annee Universitaire 2007/2008
Florent Nageotte () 1 / 209
Introduction
Automatique
phenomenes-physiques-electroniques-mecaniques
signaux d’entree signaux de sortiesysteme
-chimiques-etc.
Automatique
I Modelisation, representation, analyse et correction des systemesI Donner comportement desire au systeme
Florent Nageotte () 2 / 209
Introduction
Automatique
ExempleDouche
I Sans controle de la temperatureI Controle manuelI Controle automatique
Objectifs
I Stabilisation de la temperature → stabiliteI temperature demandee → erreur nulleI en peu de temps → rapidite du systemeI sans passer par 50˚ → Depassement raisonnable
Mais aussi : comportement dynamique (marge de phase, amortissement,depassement), rejet de perturbations, suivi de trajectoires, etc.
Commande du processus en fonction
I de la difference entre ce qui est demande et mesureI des caracteristiques du systeme (modele)
Florent Nageotte () 3 / 209
Introduction Systemes asservis
Systemes asservis
ym(t)
v(t)
H(s)
G(s)
w(t)
u(t)C(s)
ε(t)+
- +
+
+
+
r(t)
δy(t)
y(t)++
DenominationsI signaux : r ?, u ?, y ?, ym ?, ε ?, w ?, δy ?, v ?I blocs : C ?, G ?, H ?I chaınes : directe ?, de retour ?, boucle ouverte ?, boucle fermee ?
Florent Nageotte () 4 / 209
Introduction Systemes asservis
Systemes asservis
ym(t)
v(t)
H(s)
G(s)
w(t)
u(t)C(s)
ε(t)+
- +
+
+
+
r(t)
δy(t)
y(t)++
DenominationsI signaux : r : consigne, u : commande, y : sortie, ym : signal de mesure ou sortie
mesuree, ε : signal d’ecart ou d’erreur, w : perturbation d’entree ou de charge, δyperturbation de sortie, v : perturbation de mesure,
I blocs : C : correcteur, G : processus, H : capteurI chaınes : directe : CG, de retour : H, boucle ouverte : CGH, boucle fermee :
CG(s)1+CGH(s)
Florent Nageotte () 4 / 209
Introduction Correction numerique
Systemes a commande numerique
Te v(t)
+
+H(s)
G(s)y(t)
w(t)Te
CNA
CAN
partie numerique partie analogique
u(kTe)C(z)
ym(kte)
-
+r(kTe) ε(kTe)+u(t)
+
Pourquoi ?
I Capteurs numeriques (ex : cameras)I Developpement des ordinateurs : possibilites d’algorithmes complexes
Florent Nageotte () 5 / 209
Introduction Correction numerique
Systemes a commande numerique
avantages
I Cout faibleI Moindre sensibilite aux bruitsI Implementation et
modifications simplesI Supervision, commande a
distance
inconvenientsI limites en bande passanteI gestion de deux types de
signaux : analogiques etnumeriques
Florent Nageotte () 6 / 209
Introduction Correction numerique
Rappels d’automatique continue
I Systeme lineaire G(s) continu (analogique) invariant dans le temps (LTI)
Notion Signification
BIBO Stabilite Entree bornee −→ sortie bornee
Les poles de la fon-cion de transfert sonta partie reelle stricte-ment negative
Gain statique Gain du systeme pour une excita-tion de frequence nulle
lims→0 G(s) oulimω→0 |G(jω)|
Ordre d’un systemelineaire
Ordre de l’equation differentielle quidonne la relation entre entree et sor-tie du systeme
Classe d’un systeme Nombre d’integrateurs dans la fonc-tion de transfert
Nombre de poles enzero
Pole(s) dominant(s) Pole(s) le(s) plus lent(s) du systemepole(s) le(s) plusproche(s) de l’axeimaginaire
CausaliteLa sortie du systeme reagit apresl’application d’un signal a l’entree
Systeme propre Systeme a bande passante finie, i.e.realisable physiquement
nombre de poles ≥nombre de zeros
Florent Nageotte () 7 / 209
Introduction Correction numerique
I Systeme continu en boucle fermee
Notion SignificationFonction de transfertde la BF
F (s) = G(s)1+G(s)H(s)
Erreur
Difference entre signal de consigneet signal mesure. Attention : parfoisdifference entre signal de referenceet signal de sortie
Erreur d’ordre nErreur en regime permanent enreponse a un signal d’entree de laforme tnΓ(t)
Erreur statique Erreur d’ordre zerolims→0 ε(s) quandr(t) = Γ(t)
Florent Nageotte () 8 / 209
Introduction Correction numerique
I Correction des systemes
Notion Signification
Compensation poles/ zeros
Placement d’un zero du correcteursur un pole du procede
Faisable unique-ment pour des polesstables
Annulation de l’erreurd’ordre n
CG de classe ≥ n + 1Annulation de l’erreurstatique CG de classe ≥ 1
Gain statique unitaireerreur statique nulle + retour unitaireou prefiltre de gain 1+G(0)H(0)
G(0)
lims→0 ε(s) quandr(t) = Γ(t)
Rejet de perturbationde sortie d’ordre n
C(s)G(s) de classe n + 1Rejet de perturbationd’entree d’ordre n
C(s) de classe n + 1
Florent Nageotte () 9 / 209
Introduction Correction numerique
I Correcteurs classiques
Paugmentation de la bande passantemais diminution des marges de sta-bilite
C(s) = Kp
PI
Annulation de l’erreur statique, re-jet de perturbations, reglage dela bande passante mais diminutiondes marges de stabilite
C(s) = Kp + KiTi s
= K (s+z)s
PD reelreglage de la bande passante et desmarges de stabilite, pas de reglagede la precision
C(s) = Kp + Kd τd s1+aτd s = K (s+z)
s+p(a � 1 et z � p)
PID reelreglage de la bande passante, desmarges de stabilite, et reglage de laprecision
C(s) = Kp + KiTi s
+ Kd τd s1+aτd s =
K (s+z1)(s+z2)s(s+p)
(a � 1, z1 ≤ z2 �p)
Florent Nageotte () 10 / 209
Introduction Correction numerique
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnes
Analyse en boucle fermee
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 11 / 209
Introduction Correction numerique
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnes
Analyse en boucle fermee
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 11 / 209
Introduction Correction numerique
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnes
Analyse en boucle fermee
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 11 / 209
Introduction Correction numerique
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnes
Analyse en boucle fermee
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 11 / 209
Introduction Correction numerique
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnes
Analyse en boucle fermee
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 11 / 209
Introduction Correction numerique
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnes
Analyse en boucle fermee
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 11 / 209
Introduction Correction numerique
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnes
Analyse en boucle fermee
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 11 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - NumeriqueConversion analogique - numeriqueReconstruction des signaux echantillonnes
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnes
Analyse en boucle fermee
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 12 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Conversion analogique - numerique
t
f (t)
t
f (t)
Te
∆q
quantificationde pas ∆q
echantillonnage de periode Te
t
f (t)
t
f (t)
I EchantillonnageI Quantification
Florent Nageotte () 13 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Conversion analogique - numerique
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - NumeriqueConversion analogique - numeriqueReconstruction des signaux echantillonnes
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnes
Analyse en boucle fermee
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 14 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Conversion analogique - numerique
Echantillonnage ideal
Prelevement d’une valeur du signal continu a periode fixe Te.Schema :
Te
Representation mathematique : multiplication par un peigne de Dirac
fe(t) = f (t)δTe (t)
δTe (t) =∞X
k=−∞
δ(t − kTe)
tTe
δTe(t)
Florent Nageotte () 15 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Conversion analogique - numerique
Transformee de Laplace d’un signal echantillonne
Rappel : Transformee de Laplace Unilaterale (signal continu)
L(f (t)) = F (s) =
Z +∞
0f (t)e−stdt
Formulation 1 : TL d’un signal echantillonne causal Fe(s) =∞X
k=0
f (kTe)e−kTes
Formulation 2 : TL d’un signal echantillonne Fe(s) =1Te
+∞Xk=−∞
F (s − j2πkTe
)
Florent Nageotte () 16 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Conversion analogique - numerique
formulation 1
Fe(s) = L(fe(t)) =
Z +∞
0fe(t)e−stdt =
Z +∞
0(
∞Xk=−∞
f (kTe)δ(t − kTe))e−stdt
Causalite du signal f → on ramene la somme discrete de 0 a ∞, puis en inversantsomme et integrale, on obtient :
Fe(s) =+∞Xk=0
(
Z +∞
0f (kTe)δ(t − kTe)e−stdt) =
∞Xk=0
f (kTe)
Z +∞
0δ(t − kTe)e−stdt
Ou on reconnaıt la transformee de Laplace de l’impulsion de dirac decalee dans letemps :
Fe(s) =∞X
k=0
f (kTe)L(δ(t − kTe))
Or la transformee de Laplace de l’impulsion de Dirac vaut
L(δ(t − kTe)) =
e−kTes si k ≥ 00 sinon
D’ou finalement :
Fe(s) =∞X
k=0
f (kTe)e−kTes
Florent Nageotte () 17 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Conversion analogique - numerique
formulation 2Decomposition du peigne en serie de Fourier :
δTe (t) =∞X
k=−∞
ck ej 2πktTe ck =
1Te
Z +− Te2
− Te2
δTe (t)e−j 2πkt
Te dt
Des proprietes de l’impulsion de Dirac on deduit simplement que
ck =1Te
=⇒ δTe (t) =∞X
k=−∞
1Te
ej 2πktTe
La transformee de Laplace de fe s’exprime donc :
Fe(s) =
Z +∞
0(
+∞Xk=−∞
1Te
ej 2πktTe )f (t)e−stdt
=1Te
+∞Xk=−∞
(
Z ∞
0f (t)e−(s−j 2πk
Te)tdt)
ou on reconnaıt la transformee de Laplace du signal continu decalee :
Fe(s) =1Te
+∞Xk=−∞
F (s − j2πkTe
)
Florent Nageotte () 18 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Conversion analogique - numerique
Spectre d’un signal echantillonne
Transformee de Fourier d’un signal continu : decomposition sur une based’exponentielles complexes
F (jω) =
Z +∞
−∞f (t)e−jωtdt
Transformee de Laplace bilaterale avec s = jωTransformee de Fourier d’un signal echantillonne (formulation 2)
Fe(jω) =1Te
+∞Xk=−∞
F (j(ω − 2πkTe
))
Spectre (densite spectrale d’amplitude) du signal echantillonne :I somme du spectre du signal continu periodise (periode ωe = 2π
Te).
I module multiplie par 1Te
I plusieurs ”bandes” de largeur ωe.I bande autour de ω = 0 : bande de base.I Bandes complementaires
Florent Nageotte () 19 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Conversion analogique - numerique
Cas ωm < ωe2 : Module
ATe
A
-1-2 1 2
−ωm ωm
−2ωe −ωe ωe
ω
−ωe2
ωe2
2ωe
|F (jω)|
|Fe(jω)|
ω
bande de base
bandes complementaires
Spectres disjoints
Florent Nageotte () 20 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Conversion analogique - numerique
Cas ωm < ωe2 : phase
ϕ(F )
ϕ(Fe)
ωm
−ωm
ωe 2ωe−ωe−2ωe
ω
ω
Florent Nageotte () 21 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Conversion analogique - numerique
Cas ωm > ωe2
A
ATe
ωm ω
ω2ωeωe−ωe
ωe2
−ωm
−ωe2
−2ωe
Spectres superposes localement : repliement spectral (”aliasing”)Florent Nageotte () 22 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Conversion analogique - numerique
Echantillonnage reel
Acquisition du signal continu surune fenetre de largeur finie
fereel(kTe) =1Tr
Z kTe
kTe−Tr
f (t)dt
TeTr
valeur de l’echantillon
f (t)
Effet sur un signal harmonique
f (t) = A sin (ωt)
feid(kTe) = A sin (ωkTe)
fereel(kTe) =1Tr
Z kTe
kTe−Tr
A sin (ωt)dt
= Asinc(ωTr
2) sin (ωkTe − ω
Tr
2)
Florent Nageotte () 23 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Conversion analogique - numerique
Echantillonnage reel (suite)
EffetsI amplitude multipliee par˛
sinc(ωTr2 )
˛I dephasage de ϕ = −ω Tr
2 ⇐⇒retard de Tr
2
conclusionI Pour diminuer la distorsion :
diminuer Tr
I Echantillonnage considere ideal siTr < Te
10
Florent Nageotte () 24 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - NumeriqueConversion analogique - numeriqueReconstruction des signaux echantillonnes
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnes
Analyse en boucle fermee
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 25 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes
Principe de la reconstruction (conversion NA)
CNA
Te
f (t) fe(t) fr(t)
Objectif : fr (t) = f (t)∀t
Florent Nageotte () 26 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes
Principe de la reconstruction (conversion NA)
CNA
Te
f (t) fe(t) fr(t)
Objectif : fr (t) = f (t)∀tImpossible dans le cas general : exemple
Te
f (kte) = g(kTe) = Ag(t) = A + sin(2π t
Te)
f (t) = A
Il faut une condition supplementaire sur le signal
Florent Nageotte () 26 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes
Reconstruction idealeI cas ωm < ωe
2 Filtrage passe-bas ideal
H(jω) =
0 si |ω| > ωe
2Te si |ω| ≤ ωe
2
ATe
-1-2 1 2
Apasse-basfiltrage
Te
ω
ω
2ωeωe−ωe−2ωe
−ωe2
ωe2
|Fe(ω)|
|Fr(ω)|
Florent Nageotte () 27 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes
Theoreme de Shannon - Nyquist
I cas ωm > ωe2
Reconstruction ideale impossible : on ne peut pas extraire le spectre du signalcontinu par filtrage passe-bas
TheoremeSoit un signal continu f (t) dont le spectre est contenu dans l’intervalle de frequence[−fm, +fm], echantillonne a la frequence fe (periode Te). Pour pouvoir reconstruire lesignal f sans perte a partir des echantillons f (kTe), il faut que fe > 2fm, ou encore quefm < fe
2 . Ces conditions seront appelees conditions de Shannon et on appellerafrequence de Nyquist fN = fe
2 la frequence maximale du signal continu pour laquelle iln’y a pas de repliement spectral.
Florent Nageotte () 28 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes
Expression temporelle de la reconstruction ideale
Fr (jω) = H(jω)Fe(jω)
fr (t) = F−1(Fr (jω)) = F−1(H(jω)) ∗ F−1(Fe(jω)) = h(t) ∗ fe(t)
h(t) = F−1(H(jω)) =1
2π
Z +∞
−∞H(jω)ejωtdω
=1
2π
Z + ωe2
−ωe2
Teejωtdω =Te
πtsin(
πtTe
) = sinc(πtTe
)
fr (t) = h(t) ∗ fe(t) =
Z +∞
−∞fe(x)h(t − x)dx =
Z +∞
−∞
+∞Xk=−∞
f (kTe)δ(x − kTe)h(t − x)dx
=+∞X
k=−∞
Z +∞
−∞f (kTe)δ(x − kTe)h(t − kTe)dx
fr (t) =+∞X
k=−∞
f (kTe)sinc(π(t − kTe)
Te)
Florent Nageotte () 29 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes
Exemple de reconstruction ideale : f (t) = sin(2πt), Te = 0.2sech. 1 a 2 ech. 1 a 10
ech. 1 a 20 ech. 1 a 100
Florent Nageotte () 30 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes
Reconstruction avec repliement spectral : f (t) = sin(2πt), Te = 0.6sech. 1 a 2 ech. 1 a 10
ech. 1 a 20 ech. 1 a 100
Florent Nageotte () 31 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes
Filtrage anti-repliement
I Choisir Te pour que le theoreme de Shannon soit verifie pour les frequences utilesdu signal
I Filtrer les signaux analogiques avant echantillonnage de sorte a eliminer les bruitsayant des frequences au-dela de la frequence de Nyquist
Florent Nageotte () 32 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes
Reconstruction approchee
H(jω) filtre a phase nulle non causal : il faut connaıtre tous les echantillons pourreconstruire le signal → Pas utilisable en temps-reelEn pratique les convertisseurs numerique - analogique font un blocage de la valeurechantillonnee pendant une periode d’echantillonnage : Bloqueur d’ordre zero : BOZ
f (t)
fBOZ (t)
Florent Nageotte () 33 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes
Effet du BOZ
Reponse impulsionnelle du BOZ :
B0(t) = Υ(t)−Υ(t − Te)
B0(s) =1− e−Tes
sSpectre du signal reconstruit par BOZ
Fr (jω) = B0(jω)Fe(jω) =1− e−Te jω
jω1Te
+∞Xk=−∞
F (j(ω − kωe))
Dans les conditions de Shannon, dans la bande de base (pour ω ∈ [−ωe2 , ωe
2 ])
Fr (jω) = e−jω Te2 sinc(ω
Te
2)F (jω)
I module deforme par˛sinc(ω Te
2 )˛
(0.63 en limite de bande)
I retarde de Te2
Florent Nageotte () 34 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes
Spectre du signal reconstruit par BOZ
|F (jω)|
ωωe
|Fr(jω)|
ωe2
∣∣sinc(ωTe2 )
∣∣
Florent Nageotte () 35 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes
Effet du BOZ (suite)
ConclusionI L’effet du bloqueur d’ordre zero est genant lorsque le spectre du signal initial a une
composante spectrale importante en limite de la bande de base.I L’effet est diminue lorsque Te devient petit.I Le spectre du signal reconstruit a des composantes non-nulles en dehors de la
bande de base =⇒ Filtrage eventuel des bandes complementaires apresreconstruction
Florent Nageotte () 36 / 209
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes
Conclusion
Conversion Analogique - Numerique
I periodisation du spectre du signal analogiqueI repliement spectral si fm > fe
2
I echantillonnage ideal si Tr � Te
I Filtrage anti-repliement necessaire avant l’echantillonnage
Conversion Numerique - Analogique
I Reconstruction ideale possible si fm < fe2
I Reconstruction approchee par BOZ
Florent Nageotte () 37 / 209
Representation des systemes numeriques
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriquesTransformees en zTransmittance des systemes echantillonnes
Analyse des systemes echantillonnes
Analyse en boucle fermee
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 38 / 209
Representation des systemes numeriques
Introduction
Representation des systemes analogiques lineaires :Fonction de transfert : transformee de Laplace de la reponse impulsionnelle dusysteme
u(t) y(t)g[.]
Y (s) = L(y(t)) = L(g(t))L(u(t)) = G(s)U(s)
y(t) = g(t) ∗ u(t)
Passage en echantillonne : La transformee de Laplace ne permet plus de lineariser lesrelations entree - sortie. Necessite d’une autre transformation : la transformee en z
Florent Nageotte () 39 / 209
Representation des systemes numeriques
Systeme numerique lineaire
Les systemes numeriques lineaires sont definis par une equation recurrente entresortie y et entree u pour tout echantillon k
nXi=0
aiy(k − i) =mX
j=0
bju(k − j)
Exemple :2y [k ] + y [k − 1]− y [k − 2] = u[k ]− u[k − 1]
Equation recurrente d’ordre 2. Trouver l’expression de la sortie y si l’entree est unechelon unitaire :
u(k) =
0 si k < 01 si k ≥ 0
avec les CI suivantes : y [−2] = 1, y [−1] = 1
Florent Nageotte () 40 / 209
Representation des systemes numeriques Transformees en z
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriquesTransformees en zTransmittance des systemes echantillonnes
Analyse des systemes echantillonnes
Analyse en boucle fermee
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 41 / 209
Representation des systemes numeriques Transformees en z
Transformee en z (monolaterale) d’un signal echantillonne
DefinitionLa transformee en z (monolaterale) d’un signal fe(t) echantillonne a periode Te est latransformee de Laplace (monolaterale) du signal, dans laquelle on a effectue lechangement de variable z = eTes.
Transformee de Laplace de fe(t) (formulation 1)
Fe(s) =∞X
k=0
f (kTe)e−kTes
F (z) = Z{fe(t)} =k=+∞X
k=0
f (kTe)z−k
NotationsTransformee en z de fe(t) ou de f (kTe) ou de f (k) : Z{f (k)} = F (z) = Z{F (s)}
Florent Nageotte () 42 / 209
Representation des systemes numeriques Transformees en z
Transformee en z (monolaterale) d’un signal echantillonne
Remarques
I La TZ est une fonction de la variable complexe z. Elle n’existe que la ou la serieentiere
Pk=+∞k=0 f (kTe)z−k est convergente. La plupart du temps la zone de
convergence est l’exterieur d’un disque de rayon R0. Rigoureusement, la TZ doitetre accompagnee de son rayon de convergence
I On peut calculer la transformee en z d’un signal continu echantillonne a periodeTe. La TZ depend de Te.
I La TZ d’un signal non causal n’a pas de sensI La TZ ne contient des informations sur le signal qu’aux instants d’echantillonnage
exerciceCalculez et comparez les TZ de f et g.
I f (t) = AI g(t) = A + sin(2πft) avec f = 10 Hz
si la periode d’echantillonnage est choisie a Te = 0.1s tout d’abord, puis aTe = 0.025s.
Florent Nageotte () 43 / 209
Representation des systemes numeriques Transformees en z
Proprietes de la transformee en z
Proprietes
LineariteZ{αf (k) + βg(k)} = αF (z) + βG(z)
RetardI Pour des signaux causaux ,
Z{f (k − n)} = z−nF (z) ∀n ∈ N
De plusZ{e−nTesF (s)} = z−nF (z)
I Pour des signaux non causaux (CI non nulles)
Z{f (k − n)} = z−nF (z) +n−1Xi=0
f (i − n)z−i ∀n ∈ N
Avance
Z{f (k + n)} = znF (z)−n−1Xi=0
f (i)zn−i∀n ∈ N
Valable pour signaux causaux et non causaux.Florent Nageotte () 44 / 209
Representation des systemes numeriques Transformees en z
Proprietes de la transformee en z
Proprietes (suite)
Multiplication par une rampe / derivation
Z{kf (k)} = −zdF (z)
dz
Multiplication par une exponentielle
Z{e−ak f (k)} = F (zea)
Theoreme de la valeur finale
limk→∞
f (kTe) = limz→1
(1− z−1)F (z)
Attention ! ! Valable uniquement quand f (kTe) converge a l’infini, i.e.quand 1 est dans la region de convergence de la TZContre-exemple : f (k) = 2k , F (z) = z
z−2
Theoreme de la valeur initiale
limt→0
f (t) = limk→0
f (kTe) = limz→+∞
F (z)
Florent Nageotte () 45 / 209
Representation des systemes numeriques Transformees en z
Proprietes de la transformee en z
Proprietes (fin)
Convolution
(f ∗ g)(k) =+∞X
n=−∞
f (k − n)g(n) =+∞X
n=−∞
f (n)g(k − n)
Si f et g sont causales ((f ∗ g)(k) =kX
n=0
f (n)g(k − n)) alors :
Z{(f ∗ g)} = F (z)G(z)
remarque : le theoreme du retard montre que les retards multiples d’une perioded’echantillonnage sont linearises par la TZ.
Florent Nageotte () 46 / 209
Representation des systemes numeriques Transformees en z
Transformee en z inverse
4 methodes de calcul
1. Formule d’inversion
2. Utilisation de tables
3. Decomposition en elements simples de F (z)z
4. Division polynomiale selon les puissances de z−1
Formule d’inversionI
f (k) = Z−1{F (z)} =1
2πj
ZΓ
F (z)zk−1dz
Γ est un contour ferme du plan complexe contenant toutes les singularites deF (z).
I calcul par la methode des residusI Jamais utilisee en pratique
Florent Nageotte () 47 / 209
Representation des systemes numeriques Transformees en z
Transformee en z inverse
Tables de transformeesI Repertorie les TZ (et TL) de la plupart des signaux rencontresI Les TZ sont des fractions rationnelles en z : F (z) = Num(z)
Den(z)avec
deg(Den) ≥ deg(Num)
I difficiles a utiliser pour les fonctions temporelles complexes
Decomposition en elements simples
I Decomposition de F (z)z (fraction rationnelle) en elements simples (poles
complexes) : F (z)z =
Pni=0
A(z−ai )
pi (en general pi = 1 ou pi = 2)
I Donc F (z) =Pn
i=0Az
(z−ai )pi
I Utilisation des TZ inverses de Az(z−ai )
pi et de la linearite
I Souvent la meilleure methode
Florent Nageotte () 48 / 209
Representation des systemes numeriques Transformees en z
Transformee en z inverse
Division polynomiale
I Mettre F (z) sous forme de fraction rationnelle en z−1 : F (z) = N(z−1)
D(z−1)=
Pmi=0 bi z
−iPnj=0 aj z−j
I Calculer le resultat de la division polynomiale selon les termes croissants de z−1
I On obtient F (z) sous forme de polynome de degre infini en general :F (z) = c0 + c1z−1 + ... + ck z−k + ...
I On reconnaıt la transformee en z de la sequence : f (0) = c0, f (1) = c1, ...
I Ne permet pas de determiner directement le nieme termeI Facile a programmer de facon systematiqueI Calcul a la main : a reserver au calcul des premiers termes pour verification
Florent Nageotte () 49 / 209
Representation des systemes numeriques Transformees en z
Exemple de calcul des TZ inverses
Calculez la transformee inverse de 2zz2−2z+3 a l’aide :
I de la decomposition en elements simplesI des tables de transformeesI de la division polynomiale
Florent Nageotte () 50 / 209
Representation des systemes numeriques Transformees en z
Resolution des equations aux differences
nXi=0
aiy(k − i) =mX
j=0
bju(k − j)
Y (z) = Z{y(k)} et U(z) = Z{u(k)}Sachant que Z{y(k − i)} = z−iY (z) +
Pi−1l=0 z−ly [l − i], la transformee en z de
chaque terme de l’equation donne :
nXi=0
aiz−iY (z) +n−1Xl=0
clz−l =mX
j=0
bjz−jU(z) +m−1Xp=0
dmz−m
On obtient Y (z) sous forme de fraction rationnelle
Y (z) =
Pmj=0 bjz−jPni=0 aiz−i
U(z) +PPn
i=0 aiz−i
ou P est un polynome en z de degre ≤ max(n, m). Finalement, y(k) est obtenu partransformee en z inverse.remarque : equivalent si l’eq. est donnee avec des avances au lieu de retards
Florent Nageotte () 51 / 209
Representation des systemes numeriques Transformees en z
Exercice :2y [k ] + y [k − 1]− y [k − 2] = u[k ]− u[k − 1]
avecu(k) = Υ[k ]
et y [−2] = 1 et y [−1] = 1.Determinez l’expression temporelle de y(k). Comparez avec le resultat obtenu parresolution manuelle de l’equation aux recurrences.
Florent Nageotte () 52 / 209
Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriquesTransformees en zTransmittance des systemes echantillonnes
Analyse des systemes echantillonnes
Analyse en boucle fermee
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 53 / 209
Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes
Systeme a temps discret (entree et sortie numerique)
u(k)
u(kTe) y(kTe)g[.]
y(k)
nXi=0
aiy(k − i) =mX
j=0
bju(k − j)
Transformee en z de chaque terme en supposant conditions initiales nulles
Y (z) =
Pmj=0 bjz−jPni=0 aiz−i
U(z)
DefinitionLa transmittance discrete egalement appelee fonction de transfert a temps discret oufonction de transfert en z d’un systeme numerique lineaire est la fraction rationnelle :
G(z) =Y (z)
U(z)
en prenant les CI nulles.Florent Nageotte () 54 / 209
Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes
Systeme a temps discret (entree et sortie numerique)
Proprietes
I G(z) est la transformee en z de la reponse impulsionelle du systeme g(k). Eneffet l’impulsion unite est
u(k) = δ(k) =
1 si k = 00 sinon
et U(z) = 1.I D’apres le theoreme de la convolution discrete, par transformee en z inverse :
y(k) = (g ∗ u)(k) =+∞X
n=−∞
g(n)u(k − n)
Pour un systeme causal (g(n) = 0∀n < 0), on obtient :
y(k) =+∞Xn=0
g(n)u(k − n)
Florent Nageotte () 55 / 209
Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes
Transmittance echantillonneeSysteme a entree echantillonnee et sortie continue ou echantillonnee
u(k)
u(kTe)
u(t)
Te
Te
y(kTe)
y(t)
y(k)
G(s)
Ye(s) = (G(s)Ue(s))e =1Te
+∞Xk=−∞
Y (s − jkωe)
=1Te
+∞Xk=−∞
G(s − jkωe)Ue(s − jkωe)
Ue(s) =1Te
+∞Xk=−∞
U(s − jkωe) =⇒ Ue(s − jkωe) = Ue(s) ∀k
=⇒ Ye(s) = Ge(s)Ue(s)
Changement de variable z = eTes =⇒ Y (z) = G(z)U(z)Florent Nageotte () 56 / 209
Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes
Transmittance echantillonnee
DefinitionI La fonction de transfert en z d’un systeme a entree echantillonnee est :
G(z) =Y (z)
U(z)= Z{G(s)}
ou G(s) est la transformee de Laplace de la reponse impulsionnelle du systeme.I Valable si la sortie du systeme est continue ou echantillonnee. Attention, seule la
sortie aux instants d’echantillonnage est representee, on ne sait pas ce qu’il sepasse entre les echantillons
ExerciceCalculez la fonction de transfert echantillonee d’un BOZ.
Florent Nageotte () 57 / 209
Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes
Transmittance echantillonnee (suite)Systeme a entree analogique
Te
y(kTe)
y(t)u(t)
y(k)
G(s)
Y (s) = G(s)U(s)
Ye(s) =1Te
+∞Xk=−∞
G(s − jkωe)U(s − jkωe)
U(s) n’est pas periodique : On n’a pas
Ye(s) = Ge(s)Ue(s)
Y (z) = Z(G(s)U(s)) 6= Z(G(s))Z(U(s))
Florent Nageotte () 58 / 209
Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes
Conclusion
I On peut representer un systeme par une fonction de transfert en z si son entreeest echantillonnee.
I La fonction de transfert en z est alors la transformee en z de la reponseimpulsionnelle du systeme
Florent Nageotte () 59 / 209
Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes
Causalite des systemes
Systeme numerique G causal (entree u, sortie y )
DefinitionSi u(k) = 0 ∀k < k1 alors y(k) = 0 ∀k < k1 ⇐⇒ g(k) = Z−1{G(z)} = 0 ∀k < 0 (lesignal g(t) est causal)
u(k) = 0∀k < 0
y(k) = (g ∗ u)(k) =+∞X
n=−∞
g(k − n)u(n) =+∞Xn=0
g(k − n)u(n)
y(k) = 0∀k < 0 ⇐⇒ g(k) = 0∀k < 0 alors
y(k) = (g ∗ u)(k) =kX
n=0
g(k − n)u(n)
Florent Nageotte () 60 / 209
Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes
Causalite des systemes
I Si
G(z) =
Pmj=0 bjz−jPni=0 aiz−i
alors
y(k) =1a0
(mX
j=0
bju(k − j)−nX
i=1
aiy(k − i))
causal si a0 6= 0.I Si
G(z) =
Pmj=0 bjz jPni=0 aiz i
alors causal si n ≥ m.
ConclusionLes systemes reels sont causaux et donc
I Le terme constant du denominateur est non nul si G(z) est ecrit en puissance dez−1 (G(z) = Num(z−1)
Den(z−1))
I deg(Den) ≥ deg(Num) si G(z) est ecrit en puissances de z (G(z) = Num(z)Den(z)
).
Florent Nageotte () 61 / 209
Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes
Calcul des fonctions de transfert en z des systemes ouverts
G1(s) G2(s)y(t)u(kTe)u(t)
G(s)
G2(s)y(t)u(t) u(kTe)
G1(s)
G(s)
Te Te
Florent Nageotte () 62 / 209
Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes
Calcul des fonctions de transfert en z des systemes ouverts (suite)Cas d’un systeme analogique avec BOZ
y(t)u(kTe)u(t)B0(s) G(s)
F (s)
Y (z) = Z{G(s)B0(s)}U(z)
GB0(s) =1− e−Tes
sG(s) =
G(s)
s− G(s)e−Tes
sDonc
Z{G(s)B0(s)} = Z{G(s)
s} − Z{G(s)e−Tes
s}
D’apres le theoreme du retard,
Z{G(s)e−Tes
s} = z−1Z{G(s)
s}
Finalement : Y (z) = (1− z−1)Z{G(s)
s}U(z)
Florent Nageotte () 63 / 209
Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes
Calcul des fonctions de transfert en z des systemes boucles
+
−
ε(t) εe(t)
ym(t)
G(s)y(t)
H(s)
Ter(t)
+
−
re(t)Te
G(s)y(t)
H(s)ym(t)
Te
yme(t)
r(t) εe(t)
Florent Nageotte () 64 / 209
Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes
+
−
r(k)C(z)
u(k)ε(k)B0(s) G(s)
ym(k)
Te
H(s)
y(t)u(t)
+
+
+
++
-
r(k)ε(k)
C(z)u(k)
B0(s)u(t)
G(s)
p(t)G2(s)
y(t)
Te
ye(t)
H(s)
Te
n(k)
ym(k)
Florent Nageotte () 65 / 209
Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes
Solutions (1/2)
+
−
ε(t) εe(t)
ym(t)
G(s)y(t)
H(s)
Ter(t)
FTBF (z) =Z{G(s)}
1 + Z{GH}
+
−
re(t)Te
G(s)y(t)
H(s)ym(t)
Te
yme(t)
r(t) εe(t)
FTBF (z) =Z{G(s)}
1 + Z{GH}Florent Nageotte () 66 / 209
Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes
Solutions (2/2)+
−
r(k)C(z)
u(k)ε(k)B0(s) G(s)
ym(k)
Te
H(s)
y(t)u(t)
FTBF (z) =C(z)Z{B0(s)G(s)}
1 + C(z)Z{B0(s)G(s)H(s)}
+
+
+
++
-
r(k)ε(k)
C(z)u(k)
B0(s)u(t)
G(s)
p(t)G2(s)
y(t)
Te
ye(t)
H(s)
Te
n(k)
ym(k)
Y (z) =C(z)Z{B0(s)G(s)}
1 + C(z)Z{B0(s)G(s)H(s)}(R(z)− N(z)) + Z{G2P} −
C(z)Z{B0G}Z{G2HP}1 + C(z)Z{B0GH}
Florent Nageotte () 67 / 209
Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes
Analogie continu / numerique
Analogique Numerique
nXi=0
aid iydt i =
mXj=0
bjd judt j
nXi=0
aiy [k − i] =mX
j=0
bju[k − j]
G(s) = L(g(t)) =Y (s)
U(s)=
Pmj=0 bjsjPni=0 aisi
G(z) = Z{g(t)} =Y (z)
U(z)=
Pmj=0 bjz−jPni=0 aiz−i
Florent Nageotte () 68 / 209
Analyse des systemes echantillonnes
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnesAnalyse des fonctions de transfertReponse temporelle des systemes echantillonnesAnalyse de la stabilite des systemes echantillonnesReponse frequentielle des systemes echantillonnesCriteres algebriques de stabilite
Analyse en boucle fermee
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 69 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnesAnalyse des fonctions de transfertReponse temporelle des systemes echantillonnesAnalyse de la stabilite des systemes echantillonnesReponse frequentielle des systemes echantillonnesCriteres algebriques de stabilite
Analyse en boucle fermee
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 70 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert
Relations entre systeme continu et echantillonne
u(k)
u(kTe)
u(t)
Te
Te
y(kTe)
y(t)
y(k)
G(s)
Ge(s) =Ye(s)
Ue(s)=
1Te
+∞Xk=−∞
G(s − jkωe)
Les poles en s de Ge sont les poles de G periodises selon l’axe imaginaire (periode ωe)
Florent Nageotte () 71 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert
Re(s)
jωe
−jωe
2jωeIm(s)
−2jωe
Florent Nageotte () 72 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert
Relations entre systeme continu et echantillonne
DefinitionLes poles, resp. les zeros d’une fonction de transfert echantillonnee sont les poles,resp. les zeros, de la fraction rationnelle G(z).
Poles en zLes poles de differentes bandes issus d’un meme pole en s se recondensent en unseul pole en z.
=⇒ A chaque pole de G(s) correspond un pole de G(z)
Florent Nageotte () 73 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert
Re(s)
Im(s)
jωe
−jωe
Florent Nageotte () 74 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert
Relations entre poles en s et poles en z
ExempleG(s) = 2(s+5)
s2(s+1+j)(s+1−j)Par decomposition en elements simples puis transformee en z, on obtient :G(z) = −5zTe
(z−1)2 + 4zz−1 + (−2+0.5j)z
z−e(−1−j)Te + (−2−0.5j)zz−e(−1+j)Te = Az3+Bz2+Cz+D
(z−1)2(z−e(−1−j)Te )(z−e(−1+j)Te )
I les poles de la fonction de transfert numerique sont en eTepi ou les pi sont lespoles de la fonction de transfert analogique
I la fonction de transfert numerique a 3 zeros alors que la fonction de transfertcontinue en a un seul
Florent Nageotte () 75 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert
Relations entre poles en s et poles en z : generalisation
Systeme continu lineaire propre (n ≥ m) a poles (reels ou complexes) simples oudoubles
G(s) =Πm
j=0(s − zj)
Πli=0(s − pi)Πn
i=l+1(s − pi)2= C +
nXi=0
Ai
(s − pi)+
nXi=l+1
Bi
(s − pi)2
Transformee en z
G(z) = C +nX
i=0
Aizz − epi Te
+nX
i=l+1
BiTeepi tz(z − epi Te)2 =
NumQli=0 (z − epi Te )
Qni=l+1 (z − epi Te )2
ConclusionLes poles de G(s) pi deviennent des poles de G(z) en z = epi Te ayant la mememultiplicite.Attention : lorsque G(s) contient un retard, G(z) peut avoir des poles supplementairesen zero qui n’ont pas d’equivalent en s.Exemple : G(s) = e−2Tes
s−pidonne G(z) = 1
z(z−epi Te )avec un pole en 0 sans equivalent en
s.
Florent Nageotte () 76 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert
Correspondances
Correspondances
I les poles reels stables en s deviennent des poles reels positifs inferieurs a 1I les poles reels instables deviennent des poles reels positifs superieurs a 1I les poles complexes conjugues stables deviennent des poles complexes
conjugues de norme inferieure a 1I les poles complexes conjugues instables deviennent des poles complexes
conjugues de norme superieure a 1I les poles sur l’axe imaginaire deviennent des poles complexes sur le cercle unite
Remarque : les poles simples en z reels negatifs n’ont pas d’equivalent en s.
Florent Nageotte () 77 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert
Correspondances
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
plan en s plan en z
C1
Florent Nageotte () 78 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert
Exemple des systemes d’ordre 1 et 2
I Systeme d’ordre 1
G(s) =K
s − p=⇒ G(z) =
K ′zz − eTep
I Systeme a 2 poles reels
G(s) =K
(s − p1)(s − p2)=⇒ G(z) =
K ′zz − eTep1
+−K ′z
z − eTep2=
Az + B(z − eTep1)(z − eTep2)
I Systeme a 2 poles complexes conjugues
G(s) =K
s2 + 2ζsωn + ω2n
=K ′
(s − p)+
−K ′
(s − p∗)
p = −ζωn + jωnp
1− ζ2
G(z) =K ′z
(z − eTep)+
−K ′z(z − eTep∗)
=Az + B
(z − eTep)(z − eTep∗)
poles complexes conjugues : z1,2 = e−Teζωn e±jTeωn√
1−ζ2
Attention : On note qu’un systeme continu sans zero peut conduire a un systemenumerique avec zero. Il n’y a pas de relation directe entre zeros en continu et zerosnumeriques
Florent Nageotte () 79 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert
Abaques pour les systemes du 2nd ordre
4π9
5π9
6π9
7π9
8π9
π
ζ = 0, 1
ζ = 0
ζ = 0, 2
ζ = 0, 3
ζ = 0, 4ζ = 0, 5
ζ = 0, 6ζ = 0, 7ζ = 0, 8
ζ = 0, 9
ωnTe = π9
ωnTe = 3π9
ωnTe = 2π9
Florent Nageotte () 80 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert
Effet du BOZ sur les poles du systeme
u(k) u(t)G(s)
y(t)BOZ
Te
ExempleG(s) = 10(s+5)
(s+10)(s+100)
G(z) = (1− z−1)Z{G(s)
s} = (1− z−1)Z{2
s+
0.25s + 50
− 2.25s + 10
}
= (1− z−1)(2z
z − 1+
0.25zz − e−50Te
− 2.25zz − e−10Te
)
=Az + B
(z − e−50Te )(z − e−10Te )
AnalyseLes poles sont les memes que lorsqu’on transpose G(s) sans BOZ.
Florent Nageotte () 81 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert
Effet du BOZ sur les poles du systeme : generalisation
u(k) u(t)G(s)
y(t)BOZ
Te
G(s) = K
Qmj=0 (s − zj)Qn
i=0 (s − pi)di
G(z) = (1− z−1)Z{G(s)
s} = (1− z−1)Z{C
s+
Xi
Ai
(s − pi)+
Xl
Bl
(s − pl)2 }
= (1− z−1)(Cz
z − 1+
Xi
Aiz(z − epi Te)
+X
l
B′l z(z − epl Te )2 )
=Num′Q
i(z − epi Te )Q
l(z − epl Te )2
ConclusionLes poles d’un systeme numerique compose d’un systeme continu G de poles pi etd’un bloqueur d’ordre zero ont pour valeur epi Te .
Florent Nageotte () 82 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Reponse temporelle des systemes echantillonnes
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnesAnalyse des fonctions de transfertReponse temporelle des systemes echantillonnesAnalyse de la stabilite des systemes echantillonnesReponse frequentielle des systemes echantillonnesCriteres algebriques de stabilite
Analyse en boucle fermee
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 83 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Reponse temporelle des systemes echantillonnes
Reponse temporelle des systemes echantillonnes
Methode de calcul systematique
I Determiner Y (z) = G(z)U(z)
I Decomposer Y (z)z en elements simples
I Determiner la reponse temporelle de chaque element de Y (z) (hyp. des CI nulles)I La reponse totale est la somme des reponses de chaque element (linearite)
Attention ! : cette methode prend pas en compte les conditions initiales eventuelles
Florent Nageotte () 84 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Reponse temporelle des systemes echantillonnes
Reponse temporelle des systemes echantillonnes
ExempleSysteme G(z) = 2z
(z−0.5)(z−0.1)avec pour entree u[k ] = Γ[k ]
Y (z) = 2z2
(z−1)(z−0.6)(z−0.2)= 6.25z
z−1 −7.5z
z−0.6 + 1.25zz−0.2
=⇒TZ−1 y [k ] = 6.25Γ[k ]− 7.5(0.6)kΓ[k ] + 1.25(0.2)kΓ[k ]
Attention ! : les courbes n’ont desens qu’aux instantsd’echantillonnage
2 parties dans la reponse
I Partie associee aux poles deG(z) : reponse propre(courbes noire et verte)
I Partie associee aux poles dusignal d’entree : reponseforcee (courbe bleue)
Florent Nageotte () 85 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Reponse temporelle des systemes echantillonnes
Reponse temporelle des systemes echantillonnes : generalisation
G(z) = Num(G)
Πni=0(z−pi )
di, U(z) = Num(U)
Πmj=0(z−zj )
fj
Decomposition en elements simples de Y (z)z = G(z)U(z)
z =⇒
Y (z) =nX
i=0
Gi +mX
j=0
Uj
I Gi = Ai z(z−pi )
dimodes propres du systeme =⇒TZ−1 gi [k ] = Ckdi−1pk
i
I Uj =Bj z
(z−zj )fj
modes forces
Florent Nageotte () 86 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Reponse temporelle des systemes echantillonnes
Modes propres associes aux poles en z
pole simple reelGi = z
(z−pi )=⇒ yi [k ] = pk
i Υ(k)
I Si pi > 1 le mode est divergentI Si pi < −1 le mode est oscillatoire divergentI Si −1 < pi < 0 , le mode est oscillatoire amorti (ou attenue)I Si 0 < pi < 1 , le mode est amortiI Si pi = 1 le mode est entretenuI Si pi = −1 le mode est oscillatoire entretenu
pole reel multipleGi = z
(z−pi )di
=⇒ yi [k ] = Bkdi−1pki Υ(k)
I Si pi > 1 le mode est divergentI Si pi < −1 le mode est oscillatoire divergentI Si −1 < pi < 0, le mode est oscillatoire amortiI Si 0 < pi < 1, le mode est amortiI Si pi = 1 le mode est divergentI Si pi = −1 le mode est oscillatoire divergentFlorent Nageotte () 87 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Reponse temporelle des systemes echantillonnes
Modes propres associes aux poles en z
paire de poles complexes conjugues : pi = p∗j
Gi + Gj =Az
(z − pi)+
A∗z(z − pj)
Si A = |A| ejθ et pi = |pi | ejϕ
yi [k ] = (Apki −A∗p∗k
i )Υ[k ] = |A| |pi |k (ej(θ+kϕ)+e−j(θ+kϕ))Υ[k ] = 2 |A| |pi |k cos(θ+kϕ)Υ[k ]
I Si |pi | > 1 le mode est oscillatoire divergentI Si |pi | < 1 le mode est oscillatoire amortiI Si |pi | = 1, le mode est oscillatoire entretenu
Reponse
I poles simples sur le cercle unite =⇒ modes entretenusI poles a l’interieur du cercle =⇒ modes amortisI poles a l’exterieur du cercle =⇒ modes divergentsI 2 sources d’oscillations : poles complexes conjugues et poles reels negatifsI Reponse du systeme : somme ponderee des modes propres et modes forces
Florent Nageotte () 88 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Reponse temporelle des systemes echantillonnes
Re(z)
Im(z)
C1
Florent Nageotte () 89 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Reponse temporelle des systemes echantillonnes
Rapidite des poles
I Lorsque les modes sont convergents, pour une periode d’echantillonnage Te fixee,ils convergent d’autant plus vite vers 0 que le module des poles pi est proche dezero.
Rapidite des polesEn numerique, les poles rapides sont ceux qui sont situes pres de l’origine z = 0.
Florent Nageotte () 90 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Reponse temporelle des systemes echantillonnes
Complements sur le theoreme de la valeur finale
limk→∞
y [k ] = limz→1
(1− z−1)Y (z)
valable uniquement quand y [k ] converge a l’infini.
limk→∞
y [k ] =X
i
limk→∞
yi(k)
Les modes yi de y convergent si les poles de Y (z) sont a l’interieur du cercle unitesauf un pole possible en 1 (mode entretenu).
ConclusionOn peut utiliser le theoreme de la valeur finale si les poles de Y (z) sont a l’interieur ducercle unite a l’exception possible d’un pole (un seul) en 1.
Florent Nageotte () 91 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Analyse de la stabilite des systemes echantillonnes
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnesAnalyse des fonctions de transfertReponse temporelle des systemes echantillonnesAnalyse de la stabilite des systemes echantillonnesReponse frequentielle des systemes echantillonnesCriteres algebriques de stabilite
Analyse en boucle fermee
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 92 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Analyse de la stabilite des systemes echantillonnes
Notion de stabilite
Stabilite BIBO (Bounded Input Bounded Output)Un systeme est BIBO stable si sa reponse a tout signal d’entree borne est egalementbornee :
si ∃Usup / |u[k ]| < Usup ∀k alors ∃Ysup / |y [k ]| < Ysup ∀k
Propriete 1Un systeme est BIBO stable ssi sa reponse impulsionnelle est bornee et tend vers 0quand k →∞Dem :
y(k) = (g ∗ u)(k) =+∞X
n=−∞
g(n)u(k − n) =kX
n=0
g(n)u(k − n)
Si |u| < Usup et |g[k ]| =˛P
i Cipki
˛< Gsup avec |pi | < 1 alors
y [k ] ≤∞X
n=0
|g(n)u(k − n)| ≤ Usup
∞Xn=0
˛˛X
i
Cipni
˛˛ ≤ Usup
∞Xn=0
Xi
˛Cipn
i˛
≤ Usup
Xi
∞Xn=0
˛Cipn
i˛≤ Usup
Xi
|Ci |1− pi
< ∞
Florent Nageotte () 93 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Analyse de la stabilite des systemes echantillonnes
Propriete fondamentale de stabilite
Propriete 2Un systeme echantillonne lineaire est stable ssi tous ses poles sont a l’interieur ducercle unite.
Dem : Si G(z) a un pole a l’exterieur ou sur le cercle unite, la reponse impulsionnelledu mode associe a ce pole est non-amortie. Le systeme n’est donc pas BIBO stable.
Propriete 3A un pole stable d’un systeme continu (partie reelle negative) correspond un polestable (module inferieur a 1) du systeme numerique equivalent.A un pole instable d’un systeme continu (partie reelle positive ou nulle) correspond unpole instable (module superieur ou egal a 1) du systeme numerique equivalent.
Propriete 4Un systeme continu stable donne un systeme numerique stable lorsqu’on le faitpreceder d’un bloqueur d’ordre zero
Florent Nageotte () 94 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Reponse frequentielle des systemes echantillonnes
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnesAnalyse des fonctions de transfertReponse temporelle des systemes echantillonnesAnalyse de la stabilite des systemes echantillonnesReponse frequentielle des systemes echantillonnesCriteres algebriques de stabilite
Analyse en boucle fermee
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 95 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Reponse frequentielle des systemes echantillonnes
Reponse harmonique
ProprieteLa reponse d’un systeme lineaire echantillonne stable de fonction de transfert G(z) aune excitation sinusoıdale (causale) est une sinusoıde en regime permanent, dontl’amplitude a ete multipliee par
˛G(ejωTe )
˛et dephasee de ϕ(G(ejωTe )).
Dem :
U(kTe) = U0 sin(ωkTe) =⇒ U(z) =U0z sin(ωTe)
z2 − 2z cos(ωTe) + 1=
U0z sin(ωTe)
(z − ejωTe )(z − e−jωTe )
Y (z) = G(z)U(z) se decompose en Y (z) =P
Gi(z) + Nzz−ejωTe + N∗z
z−e−jωTe avec
N = limz→ejωTe G(z) U0 sin (ωTe)
z−e−jωTe = U0G(ejωTe )2j
TZ−1 : les modes propres obtenus des Gi tendent vers 0 lorsque k →∞ (systemestable). Donc
limk→∞
y [k ] = limk→∞
(NejkωTe + N∗e−jkωTe ) = limk→∞
2 |N| cos (kωTe + ϕ(N))
= limk→∞
˛G(ejωTe )
˛U0 sin (kωTe + ϕ(G(ejωTe )))
Florent Nageotte () 96 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Reponse frequentielle des systemes echantillonnes
Diagramme de BodeLe diagramme de Bode d’un systeme numerique est la representation du module et dela phase de la reponse harmonique de ce systeme. Representation de20 log(
˛G(ejωTe )
˛) et ϕ(G(ejωTe )) quand ω varie de 0 a ∞.
Le diagramme de Bode est periodique de periode 2πTe
. Le diagramme en module estpair et le diagramme en phase impair. On le represente en general pour ω ∈ [0, π
Te]. La
limite correspond aux conditions de Shannon (pulsation de Nyquist).
rem 1 : On etend le tracer aux systemes ayant des poles en 1.rem 2 : On trouve aussi le diagramme de bode normalise obtenu en posant ν = ωTe
2πet
trace pour ν ∈ [0, 12 ].
Florent Nageotte () 97 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Reponse frequentielle des systemes echantillonnes
Florent Nageotte () 98 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Reponse frequentielle des systemes echantillonnes
Proprietes des diagrammes de Bode des systemes numeriques
Le diagramme de Bode (en module et en phase) d’un systeme G(z) est la sommealgebrique des diagrammes de Bode elementaires (en module et en phase) des gains,zeros et poles de G(z)
Effet des poles p Module Phasep ∈]0, 1[ diminution de 0o a −180o
p = 1 diminution de −90o a −180o
p ∈]− 1, 0[ augmentation de 0o a −180o
p = 0 gain en dB nul de 0o a −180o
paire de poles complexesconjugues stables
augmentation puis diminu-tion (resonance) de 0o a −360o
Florent Nageotte () 99 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Reponse frequentielle des systemes echantillonnes
Proprietes des diagrammes de Bode des systemes numeriques
Effet des zeros z Module Phasez ∈ [0, 1[ Augmentation de 0o a +180o
z ∈]− 1, 0[ Diminution de 0o a +180o
z > 1 Augmentation +180o diminution puis aug-mentation jusqu’a +180o
z < −1 Diminution 0o augmentation puis dimi-nution jusqu’a 0o
Florent Nageotte () 100 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Reponse frequentielle des systemes echantillonnes
Quelques exemples
G(z) =10
z + 0.5
Florent Nageotte () 101 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Reponse frequentielle des systemes echantillonnes
Quelques exemples
G(z) =10(z − 0.5)
z − 0.9
Florent Nageotte () 101 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Reponse frequentielle des systemes echantillonnes
Quelques exemples
G(z) =10(z − 2)
z − 0.9
Florent Nageotte () 101 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Reponse frequentielle des systemes echantillonnes
Quelques exemples
ConclusionI Attention, les regles de tracer asymptotique vues en continu ne s’appliquent pas
directement.I Difficile d’estimer une fonction de transfert a partir du diagramme de Bode
numeriqueI =⇒ Utilisation d’outils de tracage numerique (ex : commande bode de matlab)
Florent Nageotte () 101 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Reponse frequentielle des systemes echantillonnes
Effet du BOZ sur le comportement harmonique
G(s) = 1s+5 avec Te = 0.1s et BOZ.
I modification d’amplitude en limite de bande de baseI chute de phase importante en limite de bande de base (effet de retard du BOZ).
Florent Nageotte () 102 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Reponse frequentielle des systemes echantillonnes
Gain statiqueGain du systeme a frequence nulle :
limω→0
G(ejωTe ) = limz→1
G(z)
Le gain statique est defini lorsque le systeme est stable. C’est aussi le gain en regimepermanent du systeme en reponse a une entree constante (echelon)
Entree U(z) = zz−1
limk→∞
y [k ] = limz→1
(1− z−1)Y (z) = limz→1
(1− z−1)G(z)U(z)
= limz→1
G(z)
ProprieteLe gain statique d’un systeme numerique constitue d’un BOZ et d’un systemeanalogique est identique au gain statique du systeme analogique initial
Florent Nageotte () 103 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Criteres algebriques de stabilite
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnesAnalyse des fonctions de transfertReponse temporelle des systemes echantillonnesAnalyse de la stabilite des systemes echantillonnesReponse frequentielle des systemes echantillonnesCriteres algebriques de stabilite
Analyse en boucle fermee
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 104 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Criteres algebriques de stabilite
Criteres algebriques de stabiliteQuand on ne peut pas determiner les poles du systeme ou que ceux-ci dependent d’unparametre K
I Critere de Jury (determine si les poles sont a l’interieur du cercle unite)
Critere de Jury
G(z) =N(z)
D(z)
D(z) = a0 + a1z + a2z2 + ... + anzn polynome caracteristique de G a coefficients reels8<:a0,i = ai , ∀i ∈ {0, n}
aj+1,i =
˛aj,0 aj,n−j−i
aj,n−j aj,i
˛, ∀j ∈ {0, n − 1} et i ∈ {0, n − j − 1}
D(z) a ses poles a l’interieur du cercle unite si et seulement si les inegalites suivantessont verifiees :
1. |a0| − an < 0
2. D(1) > 0
3. (−1)nD(−1) > 0
4. |aj,0| − |aj,n−j | > 0, ∀j ∈ {1, n − 2}Florent Nageotte () 105 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Criteres algebriques de stabilite
Calcul pratique du critere de Jury
Remarques :I La condition 1 impose que an > 0I La condition 4 n’est a verifier que pour les systemes d’ordre 3 et plusI Methode mnemotechnique pour la determination des aj+1,i .
a0 a1 ... an−1
an
an an−1
... a1 a0
a1,0 =˛˛ a0 an
an a0
˛˛ a1,1 =
˛˛ a0 a
n−1
an a1
˛˛ ... a
1,n−1=
˛˛ a0 a1
an an−1
˛˛
a1,n−1
a1,n−2
... a1,0
a2,0 =
˛˛ a1,0 a
1,n−1
a1,n−1
a1,0
˛˛ a2,1 =
˛˛ a1,0 a
1,n−2
a1,n−1
a1,1
˛˛ ...
a2,n−2
a2,n−3
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an−2,0
=
˛˛ a
n−3,0a
n−3,3
an−3,3
an−3,0
˛˛ a
n−2,1=
˛˛ a
n−3,0a
n−3,2
an−3,3
an−3,1
˛˛ a
n−2,2=
˛˛ a
n−3,0a
n−3,1
an−3,3
an−3,2
˛˛
La condition 4 necessite que pour chaque ligne impaire du tableau, exceptee lapremiere, le terme de la 1ere colonne du tableau soit plus grand en valeur absolueque le dernier terme non nul.
Florent Nageotte () 106 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Criteres algebriques de stabilite
Calcul pratique du critere de Jury
I condition 4 dans le cas d’un systeme d’ordre 3 :
˛a2
0 − a23
˛− |a0a2 − a1a3| > 0
⇐⇒ a23 − a2
0 > |a0a2 − a1a3|
Florent Nageotte () 107 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Criteres algebriques de stabilite
Exemple
On considere le systeme boucle suivant :
+
-
u(k)
y(k)K 1
(z−0.5)(z−0.1)(z+0.1)
En utilisant le critere de Jury, determinez la stabilite du systeme en fonction du gainK > 0 du correcteur.
Florent Nageotte () 108 / 209
Analyse des systemes echantillonnes Criteres algebriques de stabilite
Solution
D(z) = z3 − 0.5z2 − 0.01z + 0.005 + K
1. −1.005 < K < 0.995
2. K > −0.495
3. K < 1.485
4. K < 0.8127
Conclusion : stable pour K < 0.8127.
Florent Nageotte () 109 / 209
Analyse en boucle fermee
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnes
Analyse en boucle fermeeCritere de NyquistLieu d’evansPrecision des systemes numeriques asservis
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 110 / 209
Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnes
Analyse en boucle fermeeCritere de NyquistLieu d’evansPrecision des systemes numeriques asservis
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 111 / 209
Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist
Critere de Nyquist
Systeme asservi a entree numerique et contre-reaction negative
H(s)
Te
C(z)+r(k)
−BOZ G(s)
y(t)
−
r(k)+
C(z)
H(z)
BOZ G(s)
Tey(k)
Florent Nageotte () 112 / 209
Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist
Critere de Nyquist
ObjectifDeterminer la stabilite de la boucle fermee en analysant la boucle ouverte en regimeharmonique
Theoreme de CauchySoit un contour ferme Γ du plan complexe oriente dans le sens trigonometrique.L’image de Γ par la fonction complexe F (z) est un contour ferme du plan complexe quientoure l’origine dans le sens trigonometrique n fois, avec n = Z − P, ou Z et P sont lenombre de zeros et de poles de F a l’interieur du contour Γ.
Γ
Re
ImIm
Re
F (z)
Florent Nageotte () 113 / 209
Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist
Contour de Nyquist
Contour de Nyquist d’un systeme numeriqueSoit un systeme ayant pour fonction de transfert en boucle ouverte FBO(z).Le contour de Nyquist pour le systeme numerique FBO est le cercle unite z = ejωTe
parcouru dans le sens trigonometrique de ωTe = −π a ωTe = +π. Dans le cas ou FBO
a des poles pi = ejα sur le cercle unite, le contour evite ces points par desdemi-cercles dans le sens trigonometrique de rayon infiniment petit ρ :z = pi + ρej(α+θ) avec θ ∈ [−π
2 , +π2 ] .
Re
ImΓ
Florent Nageotte () 114 / 209
Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist
Lieu de Nyquist
Lieu de NyquistLe lieu de Nyquist d’un systeme numerique de fonction de transfert en boucle ouverteFBO(z) est l’image du contour de Nyquist de FBO par la fonction complexe FBO .
Re
ImIm
Re
Γ
-1
FBO(z)
Florent Nageotte () 115 / 209
Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist
Proprietes du lieu de Nyquist
Propriete 1Le lieu de Nyquist est symetrique par rapport a l’axe reel. On se contente en generalde tracer la partie pour ω ∈ [0, π] et on obtient la partie pour ω ∈ [−π, 0] par symetrie.
Propriete 2Les demi-cercles du contour de Nyquist evitant les poles sur le cercle unite parcourusdans le sens trigonometrique sont transformes pas FBO en des demi-cercles de rayoninfini parcourus dans le sens anti-trigonometrique.
Propriete 3Lorsqu’on multiplie la boucle ouverte par un gain K, le lieu de Nyquist subit unehomothetie de facteur K et de centre 0.
Florent Nageotte () 116 / 209
Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist
Image des demi-cercles d’evitement
Dem :
FBO(z) = K
Qmj=1 (z − zj)Qni=1 (z − pi)
On suppose que p1 = ejα est sur le cercle unite. Le demi-cercle evitant p1 s’ecrit :z = p1 + ρej(α+θ) avec θ ∈ [−π
2 , π2 ].
limρ→0
FBO(z) = limρ→0
K
Qmj=1 (p1 + ρej(α+θ) − zj)Qni=1 (p1 + ρej(α+θ) − pi)
= K
Qmj=1 (p1 − zj)Qn
i=2 (p1 − pi)(ρej(α+θ))
Donclimρ→0
|FBO(z)| = ∞
etϕ(FBO(z)) ∼ ϕ′ − (α + θ)
ou ϕ′ est independante de θ.
Florent Nageotte () 117 / 209
Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist
Critere de stabilite de Nyquist
Theoreme de NyquistUn systeme numerique de fonction de transfert FBO(z) en boucle ouverte est stable enboucle fermee ssi le lieu de Nyquist de FBO entoure le point −1 dans le senstrigonometrique un nombre de fois n egal au nombre de poles de FBO a l’exterieur ducontour de Nyquist.
Dem :FBF (z) =
G(z)
1 + FBO(z)
Soit P et Z le nombre total de poles et zeros de 1 + FBO . On a Z = P. L’image ducontour de Nyquist par FBO est l’image du contour par 1 + FBO translatee de −1 selonl’axe x. Donc, d’apres le theoreme de Cauchy, FBO entoure −1 n = Z+ − P+ fois ou Z+
et P+ sont le nombre de zeros et de poles de 1 + FBO a l’interieur du contour deNyquist. Si le systeme boucle est stable, alors Z+ = Z − Z− = Z − 0 = Z et finalementn = Z − P+ = P − P+ = P−. Les poles de FBO et 1 + FBO sont identiques, et donc P−est aussi le nombre de poles de FBO a l’exterieur du contour de Nyquist. CQFD.
Florent Nageotte () 118 / 209
Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist
Exemple+
−
r(k)C(z)
u(k)ε(k)B0(s) G(s)
ym(k)
Te
H(s)
y(t)u(t)
C(z) =1.3863(z + 0.5)
z − 0.2
G(s) =10
s + 6.931H(s) = 1 et Te = 0.1s
Florent Nageotte () 119 / 209
Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist
Exemple+
−
r(k)C(z)
u(k)ε(k)B0(s) G(s)
ym(k)
Te
H(s)
y(t)u(t)
C(z) =1.3863(z + 0.5)
z − 0.2
G(s) =10
s + 6.931H(s) = 1 et Te = 0.1s
FBO(z) =z + 0.5
(z − 0.5)(z − 0.2)
P− = 0
Florent Nageotte () 119 / 209
Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist
Exemple+
−
r(k)C(z)
u(k)ε(k)B0(s) G(s)
ym(k)
Te
H(s)
y(t)u(t)
FBO(z) =z + 0.5
(z − 0.5)(z − 0.2)
FBO(z = 1) = 3.75
FBO(z = −1) = −0.2778
Florent Nageotte () 119 / 209
Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist
Exemple+
−
r(k)C(z)
u(k)ε(k)B0(s) G(s)
ym(k)
Te
H(s)
y(t)u(t)
FBO(z) =z + 0.5
(z − 0.5)(z − 0.2)
Intersections avec l’axe reel
FBO(ejθ) =0.65e−jθ − 0.65 + 0.1ejθ + 0.5e−2jθ
(1.25− cos θ)(1.04− 0.4 cos θ)
Im(FBO) =−0.65sθ + 0.1sθ − 0.5s2θ
DIm(FBO) = 0 ⇐⇒ θ = kπ ou θ = arccos−0.55
Pour θ = arccos(−0.55) = 2.1532, Re(FBO) = −0.5556.Florent Nageotte () 119 / 209
Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist
ExempleQuand θ → 0+, Im(FBO) < 0
Systeme stable en BF
Florent Nageotte () 119 / 209
Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist
Critere du revers
Dans le cas d’un systeme stable en boucle ouverte, le critere de Nyquist donne :
Critere du reversLe systeme boucle est stable ssi le lieu de Nyquist de FBO trace pour ωTe > 0 laisse lepoint −1 a sa gauche.
Dans les conditions du critere du revers
Robustesse et marges de stabilite
I Marge de gain : pour un systeme boucle stable, gain conduisant a l’instabilite
GM = |FBO | quand ϕ(FBO) = −π
I Marge de phase : c’est l’oppose du dephasage qui ajoute a FBO rend le systemeen boucle ferme instable.
ϕM = 180 + ϕ(FBO) quand |FBO | = 1
Plus la marge de gain GM et la marge de phase ϕM sont importantes plus le systemeboucle est loin de l’instabilite.
Florent Nageotte () 120 / 209
Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist
Marges de stabiliteEx : FBO(z) = z+0.5
(z−0.5)(z−0.2)
ϕM 1GM
Im(z)
Re(z)
−1
Florent Nageotte () 121 / 209
Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist
Marges de stabilite sur le diagramme de Bode
Ex : FBO(z) = z+0.5(z−0.5)(z−0.2)
100
101
102
−15
−10
−5
0
5
10
15
w(rad/s)
Am
pl. (
dB)
100
101
102
−200
−150
−100
−50
0
w(rad/s)
phas
e (d
eg)
GM(dB)
ϕM
Florent Nageotte () 122 / 209
Analyse en boucle fermee Lieu d’evans
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnes
Analyse en boucle fermeeCritere de NyquistLieu d’evansPrecision des systemes numeriques asservis
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 123 / 209
Analyse en boucle fermee Lieu d’evans
Lieu d’Evans
Systeme asservi lineaire en z a entree numerique et contre-reaction negative
H(s)
Te
+
−BOZ G(s)
y(t)r(k)KC(z)
−
r(k)+
C(z)
H(z)
BOZ
Tey(k)
KG(s)
Florent Nageotte () 124 / 209
Analyse en boucle fermee Lieu d’evans
Lieu d’Evans (suite)
FBO(z) = KZ(GH) =KND
FBF (z) =KG(z)
1 + KZ(GH)=
N ′
D + KN
DefinitionLe lieu d’Evans (ou lieu des racines) represente la localisation dans le plan complexedes poles du systeme en boucle fermee FBF en fonction du gain K, c’est-a-dire laposition des zeros du polynome caracteristique du systeme : D + KN ou encore lesracines de l’equation 1 + FBO(z) = 0.
Le lieu d’Evans d’un systeme numerique en boucle ouverte dont les poles z = pi et leszeros z = zi est identique au lieu d’Evans d’un systeme continu dont la boucle ouvertea des poles en s = pi et des zeros en s = zi .
Florent Nageotte () 125 / 209
Analyse en boucle fermee Lieu d’evans
Lieu d’Evans (suite)
Le lieu d’Evans se trace a partir de la position des poles et zeros de la boucle ouverteet de regles simples
FBO(z) = KQm
i=1 (z − zi)Qnj=1 (z − pj)
1 + FBO(z) = 0 ⇐⇒Qm
i=1 (z − zi)Qnj=1 (z − pj)
= − 1K
Un point zM appartient au lieu d’Evans ssi :
1. ˛˛
Qmi=1 (zM − zi)Qnj=1 (zM − pj)
˛˛ =
1K
2.nX
i=1
arg(zM − zi)−nX
j=1
arg(zM − pj) = (2λ + 1)π avec λ ∈ N
Florent Nageotte () 126 / 209
Analyse en boucle fermee Lieu d’evans
Regles de construction
I R1 nombre de branches = n.Points de depart pour K = 0 : les poles de FBO (pj )Points d’arrivee pour K →∞ : les zeros de FBO (zi )n −m branches partent a l’infini
I R2 Lieu symetrique par rapport a l’axe reelI R3 Les points de l’axe reel appartenant au lieu des racines ont un nombre de
points particuliers (poles et zeros de la BO comptes avec leur ordre de multiplicite)a leur droite et sur l’axe reel impair.
I R4 Asymptotes : les n-m asymptotes des branches a l’infini font avec l’axe reeldes angles :
αλ =(2λ + 1)π
n −mavec λ ∈ [0, n −m − 1]
Les asymptotes s’intersectent sur l’axe reel au point d’abscisse :
σ =
Pnj=1 pj −
Pmi=1 zi
n −m
Florent Nageotte () 127 / 209
Analyse en boucle fermee Lieu d’evans
Regles de construction (suite)
I R5 Intersection entre branches :Condition Necessaire d(1+FBO(z))
dz = d(FBO(z))dz = 0
Comme la condition n’est pas suffisante il faut verifier que le point appartient aulieu d’Evans : (1 + FBO(z) = 0)Angle entre les demi-branches au point d’intersection : π
N ou N est le nombre debranches qui s’intersectent
I R6 Angle de depart d’une branche avec l’axe reel en un pole complexe pk demultiplicite nk :
βk =1nk
(mX
i=1
arg(pk − zi)−nX
j=1,j 6=k
arg(pk − pj)− (2λ + 1)π) avec λ ∈ [0, nk − 1]
Angle d’arrivee d’une branche avec l’axe reel en un zero complexe zk demultiplicite mk :
γk =1
mk(
nXj=1
arg(zk − pj)−mX
i=1,i 6=k
arg(zk − zi)− (2λ + 1)π) avec λ ∈ [0, mk − 1]
Florent Nageotte () 128 / 209
Analyse en boucle fermee Lieu d’evans
Regles de construction (fin)
I R7 Graduation du lieu en K : au point zM , K vaut
K = − 1N(zM )D(zM )
= −D(zM)
N(zM)
I R8 Intersection du lieu avec le cercle unite : utilisation du critere de Jury pourdeterminer les valeurs de K limite.
Determination de la stabiliteLe systeme en boucle fermee est stable pour les valeurs de K pour lesquelles tous lespoles de la boucle fermee sont a l’interieur du cercle unite.
Florent Nageotte () 129 / 209
Analyse en boucle fermee Lieu d’evans
Exemple+
−
r(k)C(z)
u(k)ε(k)B0(s) G(s)
ym(k)
Te
H(s)
y(t)u(t)
C(z) =1.3863K (z + 0.5)
z − 0.2
G(s) =10
s + 6.931H(s) = 1 et Te = 0.1s
Florent Nageotte () 130 / 209
Analyse en boucle fermee Lieu d’evans
Exemple+
−
r(k)C(z)
u(k)ε(k)B0(s) G(s)
ym(k)
Te
H(s)
y(t)u(t)
C(z) =1.3863(z + 0.5)
z − 0.2
G(s) =10
s + 6.931H(s) = 1 et Te = 0.1s
FBO(z) =K (z + 0.5)
(z − 0.5)(z − 0.2)
Florent Nageotte () 130 / 209
Analyse en boucle fermee Lieu d’evans
Exemple
FBO(z) =K (z + 0.5)
(z − 0.5)(z − 0.2)
I R1 2 branches, 1 branche a l’infiniI R3 Lieu sur l’axe reel : [−∞,−0.5] et [0.2, 0.5]
I R4 Angle de l’asymptote : π (l’axe reel vers −∞)I R5
dFBO
dz=
K (z2 − 0.7z + 0.1)− (z + 0.5)(2z − 0.7)
D2
dFBO
dz= 0 ⇐⇒ −z2 − z + 0.45 = 0 ⇐⇒ z = −1.33 ou z = 0.33
Tous deux validesI R6 Ne s’applique pas iciI R7 En z = 0.33, K = 0.0266 ; En z = −1.33, K = 3.37I R8 D(z) = K (z − 0.5) + (z − 0.5)(z − 0.2) = z2 + (K − 0.7)z + 0.5K + 0.1
Critere de Jury ⇒ K < 1.8Pour K = 1.8, FBO(z) = − 1
K ⇒ z = −0.55± 0.83j
Florent Nageotte () 130 / 209
Analyse en boucle fermee Lieu d’evans
Exemple
Florent Nageotte () 130 / 209
Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnes
Analyse en boucle fermeeCritere de NyquistLieu d’evansPrecision des systemes numeriques asservis
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 131 / 209
Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis
Erreur par rapport a l’entree de consigne
I Types d’erreursI Ecarts en regime permanentI Ecarts dynamiques (non etudies dans ce cours)
I Systemes a commande numerique (signal d’ecart ε est echantillonne)Exemple :
r(k)
ym(k)
H(s)
Te
+−
CNAC(z)ε(k)
G(s)y(t)
Florent Nageotte () 132 / 209
Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis
Ordre des erreurs
Erreur d’ordre nValeur du signal d’ecart en regime permanent entre consigne et sortie mesuree enreponse a une entree polynomiale de degre n : r(k) =
Pni=0 aik iΥ(k), R(z) = N
(z−1)(n+1)
Exemples
I Erreur de position : erreur d’ordre 0 (erreur statique) : r(k) = Υ(k), R(z) = zz−1
I Erreur de traınage : erreur d’ordre 1 : r(k) = kΥ(k), R(z) = zTe(z−1)2
Florent Nageotte () 133 / 209
Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis
Classe d’un systeme numerique
Un pole en 1 dans un systeme realise l’integration de l’entree du systeme.Dem :
G(z) =Y (z)
U(z)=
ND(z − 1)
On suppose que les poles de G sont stables (a l’exception du pole en 1)
Y (z)(z − 1) =nX
i=1
Gi(z) +mX
j=1
Uj(z)
y(k + 1)− y(k) =nX
i=1
gi(k) +mX
j=1
uj(k)
Quand k →∞, y(k + 1) → y(k) +Pm
j=1 uj(k)
Florent Nageotte () 134 / 209
Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis
Classe d’un systeme numerique
Ex simple : integrateur pur avec retard
G(z) =1
z − 1
Y (z)(1− z−1) = z−1U(z)
y(k) = y(k − 1) + u(k − 1)
y(k)
u(k)
k
Classe d’un systeme numeriqueNombre d’integrateurs (poles en 1) dans la boucle ouverte.Ces integrateurs peuvent provenir de poles en 1 de blocs numeriques (ex : lecorrecteur) ou de poles en 0 de blocs continus (ex : le procede)
Florent Nageotte () 135 / 209
Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis
Expression des erreurs d’ordre n
R(z) =N(z)
(z − 1)n+1 avec n l’ordre de la consigne
FBO(z) =A(z)
B(z)(z − 1)l avec l classe du systeme
ε(z) =R(z)
1 + FBO(z)=
N(z)B(z)(z − 1)l
(z − 1)n+1(B(z)(z − 1)l + A(z))
ε(k) converge a condition que l ≥ n. Dans ce cas,
limk→∞
ε(k) = limz→1
(1− z−1)ε(z)
= limz→1
N(1)B(1)(z − 1)l+1
(z − 1)n+1(B(1)(z − 1)l + A(1)
Florent Nageotte () 136 / 209
Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis
Bilan
I ε(k) → 0 ssi l > nI Si l = n l’erreur tend vers une valeur finieI Si l < n l’erreur est infinie (erreur non bornee)
Cas courants (on pose K = A(1)B(1)
)
Entree echelon R(z) = E0z
z−1 rampe R(z) = V0z(z−1)2 parabole R(z) = W0z(z+1)
(z−1)3
classe 0 E01+K ∞ ∞
classe 1 0 V0K ∞
classe 2 0 0 2W0K
I Lorsque l = n, l’erreur diminue quand on augmente le gain du systeme. Mais ontend aussi en general a destabiliser le systeme.
I Compromis entre precision et stabilite
Florent Nageotte () 137 / 209
Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis
Rejet des perturbations
Erreur statique par rapport a une perturbationValeur en regime permanent de l’ecart entre consigne et mesure lorsque la consigneest nulle et une entree de perturbation activee
r(k)
ym(k)
y(t)G1(s) G2(s)
P(s)
H(s)
Te
++
+−
CNAC(z)ε(k)
n ordre de la perturbation, l classe du systeme, l1 nombre d’integrateurs dans C(z) etG1(s) et l2 = l − l1 nombre d’integrateurs dans G2H.
Florent Nageotte () 138 / 209
Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis
Rejet des perturbations (suite)
P(s) =Numsn+1 et R(z) = 0
FBO(z) =A(z)
B(z)(z − 1)l
Z{G2HP}(s) =N(z)
D(z)(z − 1)l2+n+1
ε(z) =−Z{G2HP}1 + FBO(z)
=−N(z)B(z)(z − 1)l
(z − 1)n+1+l2 D(z)(B(z)(z − 1)l + A(z))
ε(k) converge a condition que l ≥ n + l2 ⇐⇒ l1 ≥ n. Dans ce cas,
limk→∞
ε(k) = limz→1
(1− z−1)ε(z)
= limz→1
−N(1)B(1)(z − 1)l+1
(z − 1)n+1+l2 D(1)(B(1)(z − 1)l + A(1))
Florent Nageotte () 139 / 209
Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis
Cas courants
I ε(k) → 0 ssi l1 > nI Si l1 = n l’erreur tend vers une valeur finieI Si l1 < n l’erreur est infinie (erreur non bornee)
On pose K = A(1)B(1)
et K2 = N(1)D(1)
Perturbation echelon P(s) = E0s rampe P(s) = V0
s2 parabole P(s) = W0s3
l1 = 0 − E0K21+K ∞ ∞
l1 = 1 0 − V0K2K ∞
l1 = 2 0 0 −W0K2K
I Lorsque l1 = n, l’erreur diminue quand on augmente le gain du systeme. Mais ontend aussi en general a destabiliser le systeme.
Florent Nageotte () 140 / 209
Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis
Importance de la chaıne de retourEn pratique on est interesse par l’erreur entre y(k) et r(k) en regime permanent.
Effet de HI Cas ideal : H(s) = 1I En pratique : amplification, H(s) est un filtre passe bas + filtrage anti-aliasingI Il faut prendre en compte le comportement de H(s) dans la consigneI Si BP(H + filtre anti-aliasing) > ωM (pulsation max des signaux utiles) =⇒ permet
de considerer H + filtre comme un simple gain=⇒ Prise en compte du gain statique de H dans un prefiltre
capteur + filtre
H(s)
G(s)
Te
partie analogique
C(z)-
+ y(t)BOZ
Te
r(k) ε(k) u(k)
ym(k)
regulateur numerique
H(0)
Florent Nageotte () 141 / 209
Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis
Importance de la chaıne de retour
PerturbationsL’effet des perturbations sur la chaıne de retour ne peut pas etre rejete de l’erreur y − r .
Effet du CANI Erreur ”nulle” a la resolution du CAN (ou du capteur numerique) pres
Exemple : CAN 12 bits sur une plage [−10V ; +10V ]
I Possibilite de cycle limite
Florent Nageotte () 142 / 209
Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis
Importance de la chaıne de retour
PerturbationsL’effet des perturbations sur la chaıne de retour ne peut pas etre rejete de l’erreur y − r .
Effet du CANI Erreur ”nulle” a la resolution du CAN (ou du capteur numerique) pres
Exemple : CAN 12 bits sur une plage [−10V ; +10V ]pas de quantification ∆q = 20
212 = 5mV . Lorsque l’ecart ε est nul, |y − r | < 5mVpour un quantifieur par troncature, |y − r | < 2.5mV pour un quantifieur pararrondi.
I Possibilite de cycle limite
Florent Nageotte () 142 / 209
Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis
Effet du CAN
+ BOZ+
r(k) y(t)
−0.8z−1 CAN
I Si CAN sans quantification
Y (z) =1
1 + 0.8z−1 U(z)
y(k) = −0.8y(k − 1) + u(k)
si u(k) = 0∀k et y(0) = 0.3,
y(k) = 0.3 ∗ (−0.8)k → 0 qd k →∞
Florent Nageotte () 143 / 209
Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis
Effet du CAN (suite)I CAN avec quantification : y(k) = −0.8Q[y(k − 1)]
0.1 0.2 0.3−0.1−0.2−0.3
y = −0.8x
E
S
y(0)
y(1)
y(2)
y(3)
y(4)
Cycle limite entre −q et +q a partir du pas 3Florent Nageotte () 144 / 209
Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis
Differents effets de la quantification due au CAN
CAN
Te
0.1z−1 BOZ
10s+5
r(k)
+−
y(t)ε(k)
Florent Nageotte () 145 / 209
Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis
∆q = 0.1 et r(k) = Γ(k)Ecart nul, erreur nulle
∆q = 0.2 et r(k) = Γ(k)Ecart nul, erreur non nulle
Florent Nageotte () 146 / 209
Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis
∆q = 0.2 et r(k) = 1.1Γ(k)Ecart non nul, cycle limite
∆q = 0.5 et r(k) = 1.1Γ(k)Ecart non nul, cycle limite
Florent Nageotte () 147 / 209
Correction par transposition
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnes
Analyse en boucle fermee
Correction par transpositionMethodes de transpositionCalcul de la loi de commande et implementationPIDs numeriques
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 148 / 209
Correction par transposition
Principe de la correction numerique
capteur
v(t)
+
+H(s)
G(s)
w(t)Te
partie analogique
C(z)-
+ +u(t)
+
y(t)BOZ
Te
δy(t)
F (z)r(k) ε(k) u(k)
ym(k)
regulateur numerique
+
+
Florent Nageotte () 149 / 209
Correction par transposition
Principe de la correction numerique
capteur
v(t)
+
+H(s)
G(s)
w(t)Te
partie analogique
C(z)-
+ +u(t)
+
y(t)BOZ
Te
δy(t)
F (z)r(k) ε(k) u(k)
ym(k)
regulateur numerique
+
+
I G(s) processusI H(s) capteurI C(z) correcteurI F (z) pre-filtreI r signal de consigneI y signal de sortie (a reguler)
I ym mesure de la sortieI ε ecart ou erreur d’asservissementI u commandeI w(t) perturbation d’entreeI v(t) bruit de mesureI δy(t) perturbation de sortie
Florent Nageotte () 149 / 209
Correction par transposition
Objectifs de la synthese des correcteurs numeriques
I Stabilite : systeme en BF stableI Performance :
I suivre la consigne (precision)I comportement selon un modele (type 2eme ordre)I rejet des perturbations
I Robustesse : conserver stabilite et performances malgre :I incertitudes sur les parametresI dynamiques non modeliseesI non-linearites
Florent Nageotte () 150 / 209
Correction par transposition
Outils pour la synthese
I Stabilite :I Critere de JuryI Critere de Nyquist
I Performance :I Lieu d’Evans (placement des poles)I Calcul des erreurs en regime permanentI Simulation (verification a posteriori)
I Robustesse :I Marges de stabilite (diagramme de Bode ou Nyquist)I Simulation (verification a posteriori)
Florent Nageotte () 151 / 209
Correction par transposition Methodes de transposition
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnes
Analyse en boucle fermee
Correction par transpositionMethodes de transpositionCalcul de la loi de commande et implementationPIDs numeriques
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 152 / 209
Correction par transposition Methodes de transposition
Principe de la transposition des correcteurs continu
Principe
I Synthese d’un correcteur continu par une methode continueI Approximation du comportement du correcteur continu par un correcteur
numerique
Methodes de synthese en continu (rappel)
I Syntheses frequentielles a l’aide des diagrammes de Bode : garantir marges degain et de phase
I Synthese par placement des poles de la boucle fermee : Lieu d’EvansI Choix d’un correcteur standard (P, PI, PD, PID, PDD) et reglage des parametres.
Florent Nageotte () 153 / 209
Correction par transposition Methodes de transposition
La transposition continu - numerique
ChoixI d’une methode de transpositionI de la periode d’echantillonnage (quand cela est possible)
Cc(s)ε(t) u(t)
u(t)BOZ
u(k)
ε(t)
ε(k)Cz(z)
Te
Florent Nageotte () 154 / 209
Correction par transposition Methodes de transposition
Transposition continu-numerique
I Correcteur analogique : entree (ecart) et sortie (commande) reliees par desequations integro-differentielles
I Correcteur numerique : entree et sortie reliees par des equations aux differencesI Transposition : approcher des equations integro-differentielles par des equations
numeriques
Methodes de transposition presentees
I Echantillonnage - blocageI Transformation bilineaireI Conservation poles - zeros
Florent Nageotte () 155 / 209
Correction par transposition Methodes de transposition
Transposition par echantillonnage blocage
Cc(s)ε(t) u(t)
Cc(s)u(t)
BOZBOZε(t)
ε(k)Te
Te
u(k)
C(z)
C(z) = (1− z−1)Z{Cc(s)
s}
Florent Nageotte () 156 / 209
Correction par transposition Methodes de transposition
Effet temporel de la periode d’echantillonnage
C(s) =1
s + 5
Florent Nageotte () 157 / 209
Correction par transposition Methodes de transposition
Effet frequentiel de la periode d’echantillonnage
C(s) =10(s + 5)
s + 50
Florent Nageotte () 158 / 209
Correction par transposition Methodes de transposition
Transposition par echantillonnage blocage
Proprietes
I Si Cc(s) est stable alors C(z) est stable.I Conservation du gain statiqueI Retard introduit par le BOZI Zeros non-conserves =⇒ distorsion frequentielle importanteI =⇒ Necessite Te petit par rapport aux dynamiques de Cc
I =⇒ Mauvaise approximation de la phase
Florent Nageotte () 159 / 209
Correction par transposition Methodes de transposition
Approximation bilineaire ou homographique
Appellation anglo-saxonne : Tustin approximation
Integration analogique
x(t)1s
I(t) =∫ t
0 x(t)
Integration numerique par la methode destrapezes
I(kTe) = I((k−1)Te)+Te
2(x(kTe)+x((k−1)Te))
I(k)− I(k − 1) =Te
2(x(k) + x(k − 1))
I(z) =Te
2(1 + z−1)
(1− z−1)X (z)
��������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������
Tet
x(t)
Florent Nageotte () 160 / 209
Correction par transposition Methodes de transposition
Approximation bilineaire ou homographique
Changement de variable :
s −→ 2(z − 1)
Te(z + 1)
Proprietes
I Conserve la stabilite (du correcteur)I Conserve le gain statique
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
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C1
z = 2+Tes2−Tes
Florent Nageotte () 161 / 209
Correction par transposition Methodes de transposition
Effet temporel de la transposition bilineaire
C(s) =1
s + 5
Florent Nageotte () 162 / 209
Correction par transposition Methodes de transposition
Effet frequentiel
Reponse harmonique (z = ejωTe )Continu Approximation bilineaire
s = jω2(ejωTe − 1)
Te(ejωTe + 1)=
2jTe
tanωTe
2= jω
tan ωTe2
ωTe2
I Filtrage F (jω) =tan ωTe
2ωTe
2=⇒ Deformation importante pres de fN
I Pas de retard =⇒ Meilleur comportement frequentiel que la transposition parblocage d’ordre zero
Florent Nageotte () 163 / 209
Correction par transposition Methodes de transposition
Effet frequentiel (suite)
I Effet sur un integrateur : les frequences proches de la frequence de Nyquist sontfortement attenuees
I Effet sur un derivateur : les frequences proches de la frequence de Nyquist sontfortement amplifiees
Florent Nageotte () 164 / 209
Correction par transposition Methodes de transposition
Effet frequentiel (suite)
C(s) =10(s + 5)
s + 50
Florent Nageotte () 165 / 209
Correction par transposition Methodes de transposition
Effet frequentiel (suite)
I Effet sur un filtre selectif C(s) = 11+s2 avec Te = 0.5s
Florent Nageotte () 166 / 209
Correction par transposition Methodes de transposition
Transposition par transformation bilineaire
ConclusionI Conservation de la stabilite du correcteurI Conservation du gain statiqueI Bonne approximation pour filtres passe-bas ou passe-bandeI Attention pour les correcteurs PD et PID reels lorsque les poles sont en haute
frequenceI Decalage des frequences pour les filtres selectifs
Florent Nageotte () 167 / 209
Correction par transposition Methodes de transposition
Correction de la distorsionApproximation bilineaire avec ”prewarping”
PrincipeCorriger la distorsion pour une pulsation particuliere ω0 en utilisant le changement devariable :
s −→ω0Te
2
tan ω0Te2
2Te
(z − 1)
(z + 1)
Florent Nageotte () 168 / 209
Correction par transposition Methodes de transposition
Conservation des poles et zeros
Appellation anglo-saxonne : ”Matched” transform
Principe
I Pour chaque pole pi (ou zero zi ) calcul du pole (ou zero) numerique equivalenteTpi (eTzi )
I Calcul du gain conservant le gain statiqueI Calcul du gain conservant le gain en une pulsation definie (choisie selon
l’application)
Florent Nageotte () 169 / 209
Correction par transposition Methodes de transposition
Comportement frequentiel
C(s) =10(s + 5)
s + 50
Florent Nageotte () 170 / 209
Correction par transposition Methodes de transposition
Comportement frequentiel
C(s) =1
1 + s2
Florent Nageotte () 171 / 209
Correction par transposition Methodes de transposition
Conservation des poles et zeros
Proprietes
I Conserve la stabilite du correcteurI Conserve le gain statique (par construction)I Conserve la ”forme” de la reponse frequentielle (pas de decalage en frequence)I Tres bonne approximation en gain meme a faible periode d’echantillonnageI =⇒ Utile pour approcher finement un comportement frequentiel en gain
Florent Nageotte () 172 / 209
Correction par transposition Methodes de transposition
Transpositions : conclusion
I Comportement du correcteur numerique au mieux celui du correcteur continu(souvent moins bon)
I Comportement d’autant plus proche du systeme continu que la perioded’echantillonnage est petite par rapport aux dynamiques du correcteur(constantes de temps des poles et zeros)
I Bloqueur d’ordre zero non pris en compteI Stabilite de la BF non garantie !I Methodes conseillees :
I correcteur de type passe-bas ou passe-bande : ”tustin”I correcteur selectif : ”matched” ou ”tustin” avec prewarpingI correcteur de type passe-haut : ”matched” ou ”Euler”
Florent Nageotte () 173 / 209
Correction par transposition Methodes de transposition
Choix de la periode d’echantillonnage
Comportement frequentiel different du continu pres de la frequence de Nyquist
Choix pratique
I Suffisante pour le temps de calcul de la commandeI ∼ 10 fois plus petite que la constante de temps du systeme en BF
Exemple
I G(s) = 10s(s+10)
I Cahier des charges : depassement inferieur a 5% et temps de reponse a 2%inferieur a 1s.
I Synthese continue =⇒ C(s) = 5.2I Transposition =⇒ Cz(z) = 5.2I Reponses pour differents choix de Te
Florent Nageotte () 174 / 209
Correction par transposition Methodes de transposition
Choix de la periode d’echantillonnage
Florent Nageotte () 175 / 209
Correction par transposition Methodes de transposition
Prise en compte du bloqueur d’ordre zero dans le choix de Te
Effet du BOZI Retard d’une demi-periode d’echantillonnageI Attenuation en limite de bande de baseI Prise en compte necessaire pour les frequences proches de fN .
ExempleCorrecteur : pulsation de coupure ωc
Perte de phase a ωc : δϕ = ωcTe2
Pour limiter la perte a 10˚ (0.17 rad) (diminution de ϕM ) : Te < 0.3ωc
Florent Nageotte () 176 / 209
Correction par transposition Calcul de la loi de commande et implementation
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnes
Analyse en boucle fermee
Correction par transpositionMethodes de transpositionCalcul de la loi de commande et implementationPIDs numeriques
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 177 / 209
Correction par transposition Calcul de la loi de commande et implementation
Calcul de la loi de commande
u(t)BOZ
u(k)
ε(t)
ε(k)Cz(z)
Te
U(z) = Cz(z)ε(z)
Cz(z) =N(z)
D(z)=
n0 + n1z−1 + · · ·+ nmz−m
d0 + d1z−1 + · · ·+ dnz−n
nXi=0
diU(z)z−i =mX
j=0
njε(z)z−j
u(k) =1d0
(n0ε(k) + n1ε(k − 1) + · · ·+ nmε(k −m)− d1u(k − 1)− · · · − dnu(k − n))
Florent Nageotte () 178 / 209
Correction par transposition Calcul de la loi de commande et implementation
Problemes de synchronisation
ProblemeI Lorsque le correcteur numerique a autant de zeros que de poles, la commande au
pas k depend de la mesure au meme pasI Temps de calcul Tc non nul =⇒ Impossible de conserver la synchronisation du
CNA et du CAN
SolutionsI Desynchroniser les convertisseurs : on ecrit sur le CNA lorsque le calcul est
termineI Si Tc � Te la boucle se comporte comme prevuI Si Tc ∼ Te l’effet peut etre non negligeable mais est difficile a modeliser (retard non
multiple de la periode d’echantillonnage)I La commande calculee est envoyee au prochain top d’horloge : on ajoute un
retard d’une (ou plusieurs) periodes d’echantillonnageI Si Te � tr la boucle se comporte comme prevuI Si Te < tr l’effet du retard est non negligeable =⇒ il faut le prendre en compte des le
debut en faisant la synthese sur G(s)e−Tes
Florent Nageotte () 179 / 209
Correction par transposition Calcul de la loi de commande et implementation
Problemes de synchronisation
lecture CAN
Tc
Teecriture CNA
echantillonnage - blocage
synchrone
asynchrone
quasi-synchrone
ecriture CNA
ecriture CNA
Tc
Tc
I Remarque : le probleme ne se pose pas lorsque le correcteur a plus de poles quede zeros
Florent Nageotte () 180 / 209
Correction par transposition Calcul de la loi de commande et implementation
Problemes d’arrondis
C(s) =10(s + 4)
s(s + 40)
Transformee bilineaire avec Te = 0.01sMatlab fournit : C(z) = 8.67z2−16.66z+8.003
z2−1.667z+0.6667
Avec une precision meilleure : C(z) = 8.67z2−16.66z+8.003z2−1.6667z+0.6667
ConclusionAttention aux erreurs d’arrondis. Toujoursgarder au moins 3 decimales ennumerique.
Florent Nageotte () 181 / 209
Correction par transposition PIDs numeriques
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnes
Analyse en boucle fermee
Correction par transpositionMethodes de transpositionCalcul de la loi de commande et implementationPIDs numeriques
Synthese numerique des correcteurs
Florent Nageotte () 182 / 209
Correction par transposition PIDs numeriques
Correcteurs standards
Avec la transformation d’Euler (s −→ z−1zTe
) :Correcteur continu Correcteur numerique
P Kp Kp
PI ideal Kp(1 +1
Tis) Kp(1 +
1Ti
Tezz − 1
)
PD reel Kp(1 +Td s
1 + TdN s
) Kp(1 +N(z − 1)
(1 + NTeTd
)z − 1)
PID reel Kp(1 +1
Tis+
Td s1 + Td
N s) Kp(1 +
1Ti
Tezz − 1
+N(z − 1)
(1 + NTeTd
)z − 1)
Florent Nageotte () 183 / 209
Correction par transposition PIDs numeriques
Les PID numeriques
I Forme standard
u(k) = up(k) + ui(k) + ud(k)
up(k) = Kpε(k)
ui(k) = ui(k − 1) + KpTe
Tiε(k)
ud(k) =1
1 + NTeTd
(ud(k − 1) + KpN(ε(k)− ε(k − 1)))
r(k) ε(k)
ym(k)Te
BOZ+
+
+Kp
TezTi(z−1)
N(z−1)
(1+NTeTd
)z−1
u(k)
+ -
D approchee
I
P
Florent Nageotte () 184 / 209
Correction par transposition PIDs numeriques
PID sans derivation de la consigneI Forme sans derivation de la consigne : eviter de trop solliciter les actionneurs a la
suite d’un changement de consigne
u(k) = up(k) + ui(k) + ud(k)
up(k) = Kpε(k)
ui(k) = ui(k − 1) + KpTe
Tiε(k)
ud(k) =1
1 + NTeTd
(ud(k − 1)− KpN(ym(k)− ym(k − 1)))
r(k) ε(k)
ym(k)Te
BOZ+
+
+Kp
TezTi(z−1)
N(z−1)
(1+NTeTd
)z−1
u(k)
−Kp
+-
Florent Nageotte () 185 / 209
Correction par transposition PIDs numeriques
PID sans derivation de la consigne
Florent Nageotte () 186 / 209
Correction par transposition PIDs numeriques
Effet des saturations sur le terme integral
Um
UM
u(k)
commandecalculee
ua(k)
commande appliquee
I si u(k) > UM , ua(k) = UM
I si u(k) < Um, ua(k) = Um
I sinon ua(k) = u(k)
Florent Nageotte () 187 / 209
Correction par transposition PIDs numeriques
Anti-emballement
I Emballement du terme integralI Solution : bloquer l’integration lorsqu’il y a saturation
1ere solution : bloquage du terme integral
I u0(k) = up(k) + ui(k − 1) + KpTeTi
ε(k) + ud(k)
I ui(k) =
ui(k − 1) + Kp
TeTi
ε(k) si Um < u0(k) < UM
ui(k − 1) si u0(k) > UM ou u0(k) < Um
I u(k) = up(k) + ui(k) + ud(k)
Inconvenient : limitation trop importante de la commande
Florent Nageotte () 188 / 209
Correction par transposition PIDs numeriques
Anti-emballement
2eme solution : recalcul du terme integralCalcul du terme integral qui amene a la limite de saturation
I u0(k) = up(k) + ui(k − 1) + KpTeTi
ε(k) + ud(k)
I ui(k) =
8<:UM − (up(k) + ud(k)) si u0(k) > UM
ui(k − 1) + KpTeTi
ε(k) si Um < u0(k) < UM
Um − (up(k) + ud(k)) si u0(k) < Um
I u(k) = up(k) + ui(k) + ud(k) = us(k)
Avantages : commande maximale sans saturation
Florent Nageotte () 189 / 209
Correction par transposition PIDs numeriques
Filtrage de l’effet derive
ProblemesI Derivation pure : filtre passe-haut, gain infini en haute frequenceI Bruit haute frequence =⇒ sollicitation des actionneurs (echec de la regulation)
SolutionsI Ne pas utiliser de derivation pure (ajout d’un pole en haute frequence)I Utiliser une derivation filtree
Florent Nageotte () 190 / 209
Correction par transposition PIDs numeriques
Filtrage de l’effet derive
I Derivation forme d’Euler : derivation sur 2 points
d(k) =ε(k)− ε(k − 1)
Te
I Derivation sur 4 points :
d(k) =2ε(k) + ε(k − 1)− ε(k − 2)− 2ε(k − 3)
10Te
Florent Nageotte () 191 / 209
Synthese numerique des correcteurs
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnes
Analyse en boucle fermee
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteursSynthese frequentielleStabilite internePlacement de poles
Florent Nageotte () 192 / 209
Synthese numerique des correcteurs
Synthese directe en numerique
Principe
I Calculer la fonction de transfert en z G(z) du procede et du convertisseurnumerique analogique
I Synthetiser un correcteur numerique a partir de G(z)
Avantages
I Prise en compte explicite du BOZI Prise en compte explicite de la periode d’echantillonnageI Pas de distorsion due a la transpositionI Meilleure robustesse vis-a-vis de la meconnaissance du procede
InconvenientsI Methodes de synthese plus complexes et moins intuitives
Florent Nageotte () 193 / 209
Synthese numerique des correcteurs Synthese frequentielle
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnes
Analyse en boucle fermee
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteursSynthese frequentielleStabilite internePlacement de poles
Florent Nageotte () 194 / 209
Synthese numerique des correcteurs Synthese frequentielle
Synthese frequentielle
1. Calculer la transmittance echantillonnee G(z) du procede ou obtenir sondiagramme de Bode numerique
2. Exprimer le cahier des charges en termes deI Bande passanteI Gain statiqueI Marge de gain et de phaseI Rejet de perturbations
3. Choix d’une structure de correcteur (PI, PID, avance de phase, etc.) et choixpartiel du correcteur a partir du cahier des charges C(z) = Cimpose(z)Clibre(z)
4. Tracer les diagrammes de Bode de Cimpose(z)G(z)
5. Raffinement du choix du correcteur et reglage des parametres inconnus ducorrecteur a partir des diagrammes
DifficultesI Pas de trace asymptotiqueI L’ajout d’un integrateur ne dephase pas uniformement de −90˚I =⇒ Necessite des outils de tracer numerique
Florent Nageotte () 195 / 209
Synthese numerique des correcteurs Synthese frequentielle
Synthese frequentielle
Sans outil numerique
I Transformee en w :
w =2Te
z − 1z + 1
I Calcul de G(w) = G(z =1+ Tew
2
1− Tew2
)
I Quand z = ejωTe , w = jω tan ωTe2
ωTe2
I On pose w = jω′ avec ω′ =tan ωTe
2ωTe
2
I G(jω′) est une fraction rationnelle =⇒ Traceasymptotique comme en continu
I Synthese de C(w) comme en continuI calcul de C(z) par transformee en w inverse
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
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����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
plan en z plan en w
C1
Im(z)
Re(w)
Im(w)
Re(z)
Florent Nageotte () 196 / 209
Synthese numerique des correcteurs Synthese frequentielle
Exemple de synthese frequentielle
r(k)
+ -C(z) BOZ G(s)
Te
y(t)
G(s) =10
(s + 10)(s + 3)et Te = 0.1s
Cahier des charges
1. Gain statique unitaire
2. Rejet des perturbations de charge constantes
3. Marge de phase de 45˚
4. Bande passante de 5rad/s
Florent Nageotte () 197 / 209
Synthese numerique des correcteurs Synthese frequentielle
Diagramme de Bode de G(z) = (1− z−1)Z{G(s)s } = 0.0331(z+0.649)
(z−0.3679)(z−0.7048)
Premiere analyse du cahier des charges
I Ajout d’un integrateur pour (1) et (2) =⇒ C(z) = Clibrez−1
Florent Nageotte () 198 / 209
Synthese numerique des correcteurs Synthese frequentielle
Diagramme de Bode de G(z)z−1
Deuxieme analyse du cahier des charges
I Ajout d’un zero (au moins) pour amener 65˚ de phase en ωc
I Modification du gain pour avoir GdB(ωc) = 0I =⇒ C(z) = Kc (z−z0)
z−1
Florent Nageotte () 198 / 209
Synthese numerique des correcteurs Synthese frequentielle
I Calcul de z0
ϕ(ejωcTe − z0) = 65π
180⇐⇒ atan2(sin (ωcTe), cos (ωcTe)− z0) = 65
π
180⇐⇒ z0 = 0.6540
I Calcul de Kc
Kc˛ejωcTe − 0.6540
˛=
10.3
=⇒ Kc = 4.6
I
=⇒ C(z) =4.6(z − 0.6540)
z − 1
Florent Nageotte () 198 / 209
Synthese numerique des correcteurs Synthese frequentielle
Diagrammes de Bode de C(z)G(z)
Florent Nageotte () 198 / 209
Synthese numerique des correcteurs Stabilite interne
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnes
Analyse en boucle fermee
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteursSynthese frequentielleStabilite internePlacement de poles
Florent Nageotte () 199 / 209
Synthese numerique des correcteurs Stabilite interne
Stabilite interne
I Stabilite BIBO insuffisante pour garantir le fonctionnement d’un systeme
r(k)
+-
u(k) y(k)C(z) G(z)
C(z) =0.3(z − 0.7)(z − 0.5)
(z − 1)(z − 2)(z − 0.1)et G(z) =
z − 2(z − 0.5)(z − 0.7)
Y (z)
R(z)=
0.3z2 − 1.1z + 0.4
=0.3
(z − 0.55− 0.31j)(z − 0.55 + 0.31j)
Systeme BIBO stable
Florent Nageotte () 200 / 209
Synthese numerique des correcteurs Stabilite interne
Stabilite interneOn ”mesure” la commande U
U(z)
R(z)=
0.3(z − 0.7)(z − 0.5)
(z − 2)(z2 − 1.1z + 0.4)
Systeme non BIBO stable
I Commande non stable −→ sortie stable ou non stable ?I Le moindre bruit (meme d’approximation numerique) rend le systeme instable ! !
avec le couple pole/zero en 2 sans le couple
Florent Nageotte () 201 / 209
Synthese numerique des correcteurs Stabilite interne
Stabilite interne
DefinitionUn systeme est stable de maniere interne si toutes les fonctions de transfert entre lesentrees externes et tous les points du systeme ont leurs poles a l’interieur du cercleunite (a gauche de l’axe imaginaire pour les systemes continus)
Consequences
I On ne peut pas compenser des poles a l’exterieur du cercle uniteI On ne peut pas compenser des zeros a l’exterieur du cercle unite
Florent Nageotte () 202 / 209
Synthese numerique des correcteurs Placement de poles
Plan du cours
Introduction
Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique
Representation des systemes numeriques
Analyse des systemes echantillonnes
Analyse en boucle fermee
Correction par transposition
Synthese numerique des correcteursSynthese frequentielleStabilite internePlacement de poles
Florent Nageotte () 203 / 209
Synthese numerique des correcteurs Placement de poles
Placement des poles de la boucle fermee
Principe
I Calculer la transmittance echantillonnee du procedeI Exprimer le cahier des charges en termes de
I Amortissement, pulsation propreI RapiditeI PrecisionI Rejet de perturbations
I Tracer le lieu d’EvansI Choisir une structure de correcteur (PI, PID, etc.)I Reglage des parametres du correcteur sur le lieu d’Evans
Florent Nageotte () 204 / 209
Synthese numerique des correcteurs Placement de poles
Utilisation du lieu d’Evans
4π9
5π9
6π9
7π9
8π9
π
ζ = 0, 1
ζ = 0
ζ = 0, 2
ζ = 0, 3
ζ = 0, 4ζ = 0, 5
ζ = 0, 6ζ = 0, 7ζ = 0, 8
ζ = 0, 9
ωnTe = π9
ωnTe = 3π9
ωnTe = 2π9
I poles dominants pres du cercle uniteI graduation en amortissement et pulsation propre
Attention ! valable uniquement pour des systemes equivalent a des 2nd ordre enBF
I Approximation du / des pole(s) dominant(s) : repasser les poles en continu !Florent Nageotte () 205 / 209
Synthese numerique des correcteurs Placement de poles
Conseils pour la synthese a partir du lieu d’Evans
I Les poles et zeros du correcteur presque toujours a l’interieur du cercle uniteI Minimiser le nombre de branches du lieu d’Evans en compensant les zeros et
poles stables du procede.I Eviter les poles et zeros complexes conjugues (sauf pour compenser des poles ou
zeros stables), car le lieu devient compliqueI Utiliser des zeros pour ramener les branches dans le domaine de stabilite (effet
attracteur des zeros)I les poles ”repoussent” les branches.I Les abaques d’iso-amortissement et d’iso-pulsation propres sont valables pour
des systemes equivalents a un 2eme ordre (2 poles dominants) : pas d’autre pole nide zeros ayant une dynamique comparable.
I Attention ! Pour savoir si un / des pole(s) sont dominant(s) il est plus prudent decalculer les poles continus equivalents
I Eviter les poles reels negatifs dans le correcteur =⇒ commandes alterneesnefastes quand Te est petite
I Eviter de placer des zeros trop pres de 1 car ils compensent l’effet desintegrateurs
Florent Nageotte () 206 / 209
Synthese numerique des correcteurs Placement de poles
Exemple
r(k)
+ -C(z) BOZ G(s)
Te
y(t)
G(s) =10
(s + 10)(s + 3)et Te = 0.1s
Cahier des charges
1. Erreur statique nulle
2. Erreur nulle par rapport aux perturbations de sortie constantes
3. comportement de type 2eme ordre avec ζ = 0.7
4. Temps de reponse a 2% < 2s
Florent Nageotte () 207 / 209
Synthese numerique des correcteurs Placement de poles
G(z) = Z{B0(s)G(s)} = (1− z−1)Z{G(s)
s}
=0.033(z + 0.649)
(z − 0.3679)(z − 0.7408)
I Besoin d’un integrateur pour (1) et (2)I C(z) = Clibre
z−1
Traces pour BO(z) = KcG(z)z−1
Reglage du gain Kc pour obtenir ζ = 0.7Florent Nageotte () 208 / 209
Synthese numerique des correcteurs Placement de poles
I Systeme trop lentI =⇒ Compensation du pole dominant en z = 0.7408
Traces pour BO(z) = KcG(z)z−1
Reglage du gain pour obtenir ζ = 0.7 (Kc ∼ 4.03)Le temps de reponse est acceptable
C(z) =4.03(z − 0.7408)
z − 1
Florent Nageotte () 209 / 209