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Module 040 OUTILS ANALYTIQUES
Analyse drsquoineacutegaliteacute Lrsquoindice de Gini
Analyse drsquoineacutegaliteacute Lrsquoindice de Gini par Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lrsquoassistance aux politiques FAO Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie pour le compte de Organisation des Nations-Unies pour lrsquoalimentation et lrsquoagriculture
Agrave propos drsquoEASYPol EASYPol est un reacutefeacuterentiel interactif multilingue en ligne qui propose des ressources teacuteleacutechargeables visant agrave renforcer les capaciteacutes en matiegravere deacutelaboration de politiques alimentaire agricole et deacuteveloppement rural Ladresse de sa page drsquoaccueil est wwwfaoorgtceasypol Les ressources dEASYPol sont creacuteeacutees et mises agrave jour par le Service de soutien aux politiques agricoles de la FAO
Les termes employeacutes et la preacutesentation du contenu de ce document drsquoinformation ne repreacutesentent en aucune maniegravere lrsquoopinion de lrsquoOrganisation des Nations-Unies pour lrsquoalimentation et lrsquoagriculture quant au statut juridique dun pays drsquoun territoire drsquoune ville ou drsquoune reacutegion quelconque ou de ses autoriteacutes ou quant agrave la deacutelimitation de ses frontiegraveres ou limites
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Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini
Sommaire
1 Reacutesumeacute 1
2 Introduction1
3 Contexte conceptuel 2 31 Lrsquoindice de Gini 2 32 Lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (Gv) 6
4 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini9 41 Lrsquoindice de Gini 9 42 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute 11
5 Exemple numeacuterique du mode de calcul de lrsquoindice de Gini12 51 Indice de Gini standard deacuteriveacute de la courbe de Lorenz 12 52 Indice de Gini standard avec formule de covariance 13 53 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute 13
6 Proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini14
7 Intersection de Lorenz et indice de Gini 16
8 Synthegravese des proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee18
9 Remarques agrave lrsquointention des lecteurs 18 91 Liens EASYPol 18
10 Annexe I ndash Autres meacutethodes de calcul de lrsquoindice de Gini20 Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible 20 101 Indice de Gini avec formule de covariance 21 102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini 22
11 Ouvrages de reacutefeacuterence et autres ressources 24
Meacutetadonneacutees du module25
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 1
1 REacuteSUMEacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
2 INTRODUCTION
Objectifs
Ce module preacutesente lrsquoutilisation des indices de Gini standard et geacuteneacuteraliseacute compare les distributions de revenus et en explique les avantages et les inconveacutenients respectifs Public
Ce module srsquoadresse aux analystes des politiques actuels ou futurs deacutesireux drsquoajouter lrsquoanalyse des distributions de revenus agrave leurs capaciteacutes drsquoanalyse des impacts des politiques de deacuteveloppement sur lrsquoineacutegaliteacute De ce fait il constituera un document de reacutefeacuterence utile pour les eacuteconomistes et les praticiens travaillant dans des administrations publiques des ONG des organisations professionnelles ou des cabinets de conseil Les professeurs pourront lrsquoutiliser agrave lrsquoappui de leurs cours consacreacutes agrave lrsquoanalyse coucirctbeacuteneacutefice (ACB) et agrave lrsquoeacuteconomie du deacuteveloppement Enfin il permettra agrave toute personne qui le souhaite drsquoameacuteliorer ses compeacutetences en matiegravere drsquoACB et de compleacuteter sa formation Connaissances preacutealables requises
Les utilisateurs devront posseacuteder des notions eacuteleacutementaires de matheacutematiques et de statistiques et avoir maicirctriseacute les concepts
de distribution des revenus et drsquoineacutegaliteacute des revenus
de courbes de Lorenz
drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Des liens vers les modules EASYPol pertinents des ouvrages consacreacutes agrave ces sujets et des documents de reacutefeacuterence figurent dans les notes de bas de page et agrave la section 9 du preacutesent module1
1 Les liens hypertexte vers des documents EASYPol apparaissent en bleu
a) parcours de formation en gras souligneacute b) autres modules EASYPOL ou mateacuteriels EASYPOL compleacutementaires en italique gras souligneacute c) liens vers le glossaire en gras et d) liens externes en italique
Module EASYPol 040 Outils analytiques
2
3 CONTEXTE CONCEPTUEL
Lrsquoindice de Gini est un indicateur associeacute agrave lrsquoapproche descriptive de la mesure de lrsquoineacutegaliteacute Lambert (1993) a reacutesumeacute la base analytique permettant drsquoeacutetablir le rapport entre lrsquoindice de Gini et les fonctions de bien-ecirctre social et donc de le faire entrer dans le champ de lrsquoanalyse du bien-ecirctre Dans les pages suivantes nous nrsquoaborderons que lrsquoapproche descriptive Lrsquoapproche bien-ecirctre sera traiteacutee dans des outils plus avanceacutes Lrsquoindice de Gini est un indicateur drsquoineacutegaliteacute2 complexe et syntheacutetique comme de nombreux autres de mecircme nature De ce fait il fournit des informations condenseacutees sur la distribution des revenus mais pas sur ses caracteacuteristiques telles que localisation et forme Pour cet indice nous appliquons la logique des axiomes drsquoineacutegaliteacute3 dans la mesure ougrave ceux-ci constituent des critegraveres eacuteligibles drsquoeacutevaluation des performances des indicateurs
31 Lrsquoindice de Gini
Lrsquoindice de Gini a eacuteteacute eacutelaboreacute par Gini en 1912 et entretient un lien strict avec la repreacutesentation de lrsquoineacutegaliteacute des revenus agrave lrsquoaide de la courbe de Lorenz En particulier il mesure le ratio entre lrsquoaire situeacutee entre la courbe de Lorenz et la droite
deacutequidistribution (et donc lrsquoaire de concentration) et lrsquoaire de concentration maximale La figure 1 repreacutesente ces aires elle trace trois courbes de Lorenz agrave partir de trois distributions de revenus hypotheacutetiques A B et C La courbe baseacutee sur la distribution des revenus A est la courbe standard que donne lrsquoanalyse des distributions de revenus reacuteelles Celle de la distribution B repreacutesente le cas extrecircme ougrave tous les revenus sont eacutegaux Dans ce cas elle prend aussi le nom de droite drsquoeacutequidistribution Enfin la courbe de la distribution C illustre un autre cas extrecircme celui ougrave tous les revenus sont nuls sauf le dernier Dans la figure 1 OP est la droite drsquoeacutequidistribution et ORP lrsquoaire deacutefinie par la courbe de Lorenz de la distribution des revenus standard et la courbe drsquoeacutequidistribution baptiseacutee aire de concentration OPQ est lrsquoaire de concentration maximale cest-agrave-dire la zone entre la courbe de Lorenz de la distribution de revenus C et la droite drsquoeacutequidistribution La droite drsquoeacutequidistribution OP et lrsquoaire OPQ repreacutesentent les valeurs extrecircmes de lrsquoaire de concentration dans une courbe de Lorenz Soit cette aire est nulle (comme dans le cas de la droite drsquoeacutequidistribution de la distribution B) soit elle est maximale (cas de la distribution C) Pour une distribution des revenus standard lrsquoaire de concentration se situe quelque part entre zeacutero et lrsquoaire de concentration maximale comme dans la figure 1
2 Voir le module EASYPol 080 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute indicateurs simples dineacutegaliteacute 3 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 3
Lrsquoindice de Gini mesure le ratio entre lrsquoaire de concentration et lrsquoaire de concentration maximale Par conseacutequent dans la figure 1 [1]
OPQORPG ==
aire de concentration maximale
i d i aire de concentration
Comme lrsquoaire de concentration maximale correspond agrave une distribution ougrave un seul individu deacutetient la totaliteacute des revenus lrsquoindice de Gini G mesure en geacuteneacuteral la distance entre lrsquoaire deacutefinie par une quelconque distribution de revenus standard et lrsquoaire de concentration maximale Il faut maintenant comprendre comment srsquoapplique la formule de la figure 1 dans la pratique Commenccedilons par le deacutenominateur de G Nous avons deacutejagrave expliqueacute4 que les coordonneacutees maximales de la courbe de Lorenz se situent au point (11) Par conseacutequent lrsquoaire OPQ doit ecirctre un triangle posseacutedant une longueur de base de 1 et une hauteur de 1 Son aire est donc eacutegale agrave frac12 Le deacutenominateur de G est donc frac12 Figure 1 Courbe de Lorenz et indice de Gini
00
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
00 200 400 600 800 1000
Proportion cumuleacutee de la population ()
Pro
port
ion c
um
uleacute
e d
es
revenus
()
Dis_A Dis_B Dis_C
O
P
Q
ORP = Aire deconcentration
R
OPQ = Aire deconcentration
maximale
ORPOPQ
GINI =Aire de concentration
=Aire de concentration maximale
Mais qursquoen est-il du numeacuterateur Au lieu de calculer directement lrsquoaire de concentration nous pouvons exploiter le fait que cette aire repreacutesente la diffeacuterence entre lrsquoaire de concentration maximale et lrsquoaire sous la courbe de Lorenz (cette derniegravere eacutetant
4 Voir le module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute des revenus la courbe de Lorenz
Module EASYPol 040 Outils analytiques
4
donneacutee par ORPQ) Le mode de calcul le plus facile de lrsquoaire sous la courbe de Lorenz est deacutecrit ci-apregraves
5Commenccedilons par rappeler la deacutefinition des coordonneacutees de la courbe de Lorenz Si nyyy lelele 21
proportion cumuleacutee de la population
proportion cumuleacutee des revenus
21
21 21
rarr =
rarr+++
= + + + + + +
=
n i p
Yyyy
y y y y yy
q
i
i
n i
i ougrave q =p =0 et q =p0 0 n n=1 Lrsquoaire sous la courbe de Lorenz ORPQ est la somme des aires drsquoune seacuterie de polygones Regardons la figure 2 ougrave une courbe de Lorenz simplifieacutee a eacuteteacute creacuteeacutee pour une population de quatre individus Le premier polygone est un triangle (p q po 1 1) et les trois autres sont des trapegravezes isocegraveles pivoteacutes On peut donc calculer chaque aire seacutepareacutement et ajouter les reacutesultats obtenus pour obtenir la valeur de lrsquoaire globale Symbolisons lrsquoaire du iegraveme polygone par Zi et lrsquoaire totale obtenue de cette maniegravere par Z Lrsquoaire du triangle est donneacutee par
2
hauteur
1
base
11
qpZ = tandis que lrsquoaire de chaque trapegraveze est donneacutee par
( ) ( )2
hauteur
1
base longue + base courte
186minusminus minus+
= iiiii
ppqZ
q
Comme q =p =0 la somme de toutes ces aires donne 0 0
( )([ ]sumsum minusminus=
minus+==i
iiii
n
ii ppqqZZ 11
1 21 )
pour n=4
5 Voir le module EASYPOL 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute des revenus la courbe de Lorenz
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 5
Figure 2 Mode de calcul de lrsquoaire de concentration
TRIANGLE 1 TRAPEgraveZE 2 TRAPEgraveZE 4
TRAPEgraveZE 3
00
02
04
06
08
10
0 025 05 075 1
q1
q2
q3
q4
q0=p0 p1 p2 p3 p4
Aire de concentration (12)-Z
Cependant Z nrsquoest pas lrsquoaire de concentration mais lrsquoaire sous la courbe de Lorenz Pour calculer lrsquoaire de concentration (numeacuterateur de lrsquoindice de Gini) il suffit maintenant de soustraire Z de lrsquoaire de concentration maximale (frac12 ) comme suit
( )([ ]sum minusminus minus+minus=minus=i
iiii ppqqZ 1121
21
21ionconcentrat de Aire )
Selon [1] lrsquoindice de Gini G est donc eacutegal agrave
( )( )[ ]( )([ ]sum
summinusminus
minusminus
minus+minus=minus+minus
=i
iiiii
iiii
ppqqppqq
G 11
11
1
21
21
21
)
[2] que lrsquoon peut eacutegalement eacutecrire
ZG 21minus= [3] La formule ci-dessus indique seulement que lrsquoindice de Gini est eacutegal agrave 1 moins deux fois lrsquoaire sous la courbe de Lorenz
Module EASYPol 040 Outils analytiques
6
Cette interpreacutetation geacuteomeacutetrique baseacutee sur la courbe de Lorenz ne constitue que lrsquoun des modes de calcul possibles de lrsquoindice de Gini Une autre approche qui va srsquoaveacuterer particuliegraverement utile ci-apregraves consiste agrave exprimer directement lrsquoindice de Gini en termes de covariance entre les niveaux de revenus et la distribution cumuleacutee des revenus En particulier
( )( )y
yFyCovG 2=[4] ougrave Cov repreacutesente la covariance entre des niveaux de revenus y et la distribution cumuleacutee des mecircmes revenus F(y) et ougrave y est le revenu moyen Il est utile de rappeler ici que la covariance est la valeur attendue E des produits des eacutecarts sur la moyenne de chaque variable Soit dans ce cas preacutecis
[ ] [ ] [ ])()()( yFyFyyEyFyCov minussdotminus= [5]
32 Lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (Gv)
Pour eacutevaluer lrsquoimpact des politiques sur lrsquoineacutegaliteacute nous disposons drsquoune mesure suffisamment souple pour incarner les preacutefeacuterences de diffeacuterents deacutecisionnaires concernant par exemple le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Apregraves tout deux deacutecisionnaires adoptant des attitudes diffeacuterentes vis-agrave-vis de lrsquoineacutegaliteacute eacutevalueront diffeacuteremment les effets drsquoune mecircme politique Lrsquoindice de Gini eacutelaboreacute dans la section preacuteceacutedente (appeleacute ci-apregraves indice de Gini standard) ne permet pas de prendre en compte ces diffeacuterences drsquoattitude ou en drsquoautres termes le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute La geacuteneacuteralisation de lrsquoindice de Gini de Yitzhaki (1983) le rend deacutependant drsquoun degreacute speacutecifieacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute La formule correspondante est la suivante
G v( )= minus vy
Cov y 1minus F(y)( )vminus1⎡ ⎣ ⎢
⎤⎦⎥ [6]
ougrave tous les termes ont le mecircme sens que dans [4] et ougrave v exprime le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Lrsquoaffectation de diffeacuterentes valeurs agrave v risque de modifier la valeur de lrsquoindice de Gini du fait drsquoune pondeacuteration diffeacuterente des revenus agrave diffeacuterentes parties de leur distribution Agrave noter que lorsque v=2 lrsquoexpression [6] revient agrave lrsquoindice de Gini standard (expression [4]) Pour comprendre la signification de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute rappelons la deacutefinition eacutetendue suivante du terme de covariance dans [6]
( )[ ] [ ] ( ) ( )[ ])(1)(1)(1 yFyFyyEyFyCov minusminusminussdotminus=minus[7]
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 7
Les seconds crochets agrave la droite de lrsquoexpression [7] doivent ecirctre interpreacuteteacutes comme la pondeacuteration agrave affecter agrave chaque niveau de revenu crsquoest-agrave-dire agrave chaque eacutecart sur la moyenne du niveau de revenus (premiers crochets) Pour les bas revenus (infeacuterieurs au revenu moyen) le terme des premiers crochets est neacutegatif et le second positif Pour les revenus eacuteleveacutes (supeacuterieurs agrave la moyenne) la situation est inverseacutee Les eacutecarts sur la moyenne sont positifs tandis que le terme des seconds crochets est neacutegatif Agrave noter la proprieacuteteacute de la fonction de distribution cumuleacutee (FDC) sa moyenne est eacutegale agrave sa meacutediane (frac12) De ce fait la valeur des seconds crochets sera positive jusqursquoagrave la meacutediane de la FDC Cela signifie que la meacutediane de la distribution des revenus aura une pondeacuteration nulle puisque le revenu meacutedian est le niveau de revenu ougrave F(y) = frac12 Il nous faut maintenant comprendre ce qui arrive aux revenus situeacutes avant et apregraves la meacutediane quand la valeur de v augmente La figure 3 se penche sur ce problegraveme La droite rouge repreacutesente la diffeacuterence de [1-F(y)] sur la moyenne dans le cas standard de v=2 Elle coupe lrsquoaxe des x au niveau meacutedian de cette distribution de revenus hypotheacutetique Si nous prenons le cas ougrave v=3 (courbe noire eacutepaisse) on voit relativement facilement qursquoune fraction des personnes riches (agrave droite de lrsquointersection avec v=2 dans la zone sud-est du graphique) possegravede (en termes absolus) une pondeacuteration infeacuterieure que lorsque v=2 Cela concerne tous les revenus pour lesquels la courbe noire eacutepaisse se situe au-dessus de la droite rouge dans le graphique Dans le mecircme temps une fraction des personnes pauvres (agrave gauche de lrsquointersection avec v=2 dans la zone nord-ouest du graphique) preacutesente une pondeacuteration supeacuterieure que lorsque v=2 Cela concerne tous les revenus pour lesquels la courbe noire eacutepaisse se situe agrave nouveau au-dessus de la droite rouge dans le graphique Lorsque lrsquoon augmente v la fraction de personnes riches dont lrsquoeacutecart de revenus sur la moyenne reccediloit une pondeacuteration infeacuterieure agrave celle de v=2 augmente Dans le mecircme temps la fraction de personnes pauvres dont lrsquoeacutecart de revenus sur la moyenne reccediloit une pondeacuteration supeacuterieure agrave celle de v=2 diminue La figure 3 rend compte des cas ougrave v=2 v=4 v=8 et v=16 Par conseacutequent quand v augmente le nombre de bas revenus posseacutedant une pondeacuteration importante diminue et le nombre de personnes posseacutedant une pondeacuteration nulle augmente Dans le calcul de Gini augmenter v signifie donc se focaliser plutocirct sur lrsquoineacutegaliteacute dans une fraction progressivement infeacuterieure de la distribution des revenus6
6 Crsquoest la raison pour laquelle on considegravere souvent v comme un laquo paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute raquo
Module EASYPol 040 Outils analytiques
8
Figure 3 Pondeacuteration dans lrsquoindice de Gini
-06
-04
-02
00
02
04
06
08
10
Niveaux de revenus
(1-F
(y))
eacute
cart
s su
r la
moyenne
v=2 v=3 v=4 v=8 v=16
Quand v augmente un ensemble progressivement plus important drsquoindividus riches compte moins que quand v=2 Quand v=16 mecircme certaines personnes agrave bas revenus comptent pour zeacutero car une pauvreteacute plus extrecircme devient progressivement le point de focalisation
Quand v augmente un ensemble progressivement moindre drsquoindividus pauvres compte davantage que quand v=2 Plus v est eacuteleveacute plus le poids des individus diminue rapidement Quand v=16 peu de personnes agrave bas revenus comptent beaucoup
De ce fait lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute donne davantage de souplesse agrave leacutevaluation des programmes et des politiques de deacuteveloppement que lrsquoindice de Gini standard parce qursquoil permet drsquoincarner diffeacuterents degreacutes drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Pour mieux comprendre ce point utilisons lrsquoexemple du tableau 1 Tableau 1 Exemple de facteurs de pondeacuteration implicites dans lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Individus Revenus F(y) 1-F(y) [1-F(y)]v-
1 v=2
[1-F(y)]v-1
v=4
Revenus eacutecarts sur la
moyenne
[1-F(y)]v-1 v=2 eacutecarts
sur la moyenne
[1-F(y)]v-1 v=4 eacutecarts
sur la moyenne
Facteur de pondeacuteration
implicite quand v=2
Facteur de pondeacuteration
implicite quand v=4
1 1 000 020 080 080 051 -2 000 040 045 20 80
2 2 000 040 060 060 022 -1 000 020 015 15 343 3 000 060 040 040 006 0 000 000 10 10
4 4 000 080 020 020 001 1 000 -020 -006 05 01
5 5 000 100 000 000 000 2 000 -040 -006 00 00
Moyenne 3 000 060 040 040 006 Le tableau 1 rend compte de la distribution hypotheacutetique des revenus de cinq individus Pour chaque niveau de revenu la troisiegraveme et la quatriegraveme colonnes fournissent le reacutesultat du calcul de F(y) et de (1-F(y)) respectivement La cinquiegraveme et la sixiegraveme donnent le reacutesultat de la quatriegraveme colonne pour v=2 et v=4
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 9
Agrave noter que v=2 correspond agrave lrsquoindice de Gini standard et que v=4 inclut davantage de personnes agrave bas revenus dans la pondeacuteration La septiegraveme colonne indique lrsquoeacutecart de chaque revenu par rapport au revenu moyen Il est neacutegatif pour les bas revenus et positif pour les revenus eacuteleveacutes Nous devons simplement nous rappeler qursquoil fait partie du terme de covariance de [7] Les huitiegraveme et neuviegraveme colonnes calculent les eacutecarts sur la moyenne de lrsquoautre partie du terme de covariance de la formule [7] Que nous apprend la comparaison de ces colonnes Nous voyons facilement que la laquo pondeacuteration raquo affecteacutee aux revenus les plus bas est supeacuterieure avec v=4 qursquoavec v=2 Dans le mecircme temps la pondeacuteration de lindividu le plus riche descend rapidement agrave zeacutero quand v=4 Une meacutethode de calcul du facteur de pondeacuteration implicite de lrsquoindice de Gini consiste agrave deacutefinir le ratio entre la valeur de la fonction (1-F(y))v-1 agrave nimporte quel niveau de revenu et la valeur de cette mecircme fonction au niveau de revenu meacutedian Pour v=2 et v=4 ce calcul apparaicirct dans les deux derniegraveres colonnes du tableau 1 Quand v=2 le revenu le plus bas contribue deux fois plus au calcul de lrsquoindice de Gini que le revenu meacutedian Quand v=4 il y contribue huit fois plus Vous remarquerez eacutegalement que la contribution des revenus les plus eacuteleveacutes est infeacuterieure quand v=4
4 PROCEacuteDURE DEacuteTAILLEacuteE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
41 Lrsquoindice de Gini
La proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini est syntheacutetiseacutee dans la figure 4 baseacutee sur la formule [2] ci-dessus Il faut commencer par trier la distribution des revenus par niveaux de revenus (eacutetape 1) Agrave lrsquoeacutetape 2 nous calculons la distribution de revenus cumuleacutee Agrave lrsquoeacutetape 3 nous obtenons la proportion cumuleacutee des revenus (qi) en divisant chaque revenu cumuleacute par le total des revenus Lrsquoeacutetape 4 fournit la proportion cumuleacutee de la population (pi) Pour ce faire nous classons les individus par ordre croissant et nous attribuons le rang 1 agrave la personne au revenu le plus bas et le rang laquo n raquo agrave celle au revenu le plus eacuteleveacute puis nous divisons par n Agrave lrsquoeacutetape 5 nous calculons lrsquoaire des polygones Z1Z2 Z3Zn Le premier est un triangle les autres sont des trapegravezes (appliquez la formule figurant dans le texte) Agrave lrsquoeacutetape 6 nous additionnons toutes les aires pour obtenir lrsquoaire sous la courbe de Lorenz (Z) puis nous calculons lrsquoindice de Gini G=1-2Z La figure 4 fournit le deacuteroulement de cette proceacutedure
Module EASYPol 040 Outils analytiques
10
Figure 4 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la distribution de revenus cumuleacutee
3Calculer la proportion cumuleacutee des revenus en divisant chaque revenu
cumuleacute par le total des revenus
4
Affecter le rang 1 au revenu le plus bas et le rang n au revenu le plus eacuteleveacute
puis calculer la proportion cumuleacutee de la population en divisant chaque rang
par n
5
Calculer laire des polygones en appliquant les formules fournies dans le
texte pour laire du triangle et des trapegravezes
6 Additionner toutes les aires pour obtenir Z puis calculer G = 1-2Z
Mais le texte fournit une autre formule de calcul direct de lrsquoindice de Gini (voir la formule [4]) baseacutee sur le terme de covariance Il est donc utile den fournir la proceacutedure de calcul deacutetailleacutee (voir la figure 5) Figure 5 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini agrave lrsquoaide de la formule de covariance
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la distribution de revenus par niveaux
de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer la covariance Cov(yF(y)) et le niveau de revenu moyen
4 Calculer Gini en appliquant la formule [4] fournie dans le texte
Lrsquoeacutetape 1 nous demande comme dhabitude de trier la distribution de revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 nous demande de calculer la FDC F(y)7
7 Voir le module EASYPOL 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de la pauvreteacute
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 11
Lrsquoeacutetape 3 nous demande simplement de prendre la covariance entre la distribution des niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee et le niveau de revenus moyen utiliseacutee dans le deacutenominateur de la formule[4] Enfin lrsquoeacutetape 4 applique directement la formule [4] fournie dans le texte
42 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
La figure 6 fournit les eacutetapes du calcul de la version geacuteneacuteraliseacutee de lrsquoindice de Gini Figure 6 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer 1-F(y) pour chaque revenu
4 Choisir la valeur du paramegravetre daversion pour lineacutegaliteacute v
5 Calculer [1-F(y)]v -1
6Calculer la covariance
Cov[y (1-F(y))v -1] et la moyenne de la distribution de revenus
7 Calculer Gini en appliquant la formule de covariance [6] fournie dans le texte
Les eacutetapes sont tregraves semblables agrave celles du calcul de lrsquoindice de Gini standard agrave lrsquoaide de la formule de covariance Les eacutetapes 1 et 2 sont mecircme identiques Par souci de commoditeacute du fait du mode drsquoexpression de la formule lrsquoeacutetape 3 nous demande de calculer pour chaque niveau de revenus la valeur de un moins la valeur de la fonction de distribution cumuleacutee agrave ce point Lrsquoeacutetape 4 est lrsquoeacuteleacutement le plus caracteacuteristique de cette proceacutedure car elle nous demande de choisir la valeur du paramegravetre de lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v Il suffit de nous souvenir que plus les valeurs de v sont eacuteleveacutees plus lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute est forte Lrsquoeacutetape 5 nous demande de calculer un eacuteleacutement du terme de covariance agrave savoir la valeur de (1-F(y))v-1 Agrave lrsquoeacutetape 6 nous devons calculer la covariance complegravete et le revenu moyen ce qui nous permettra drsquoappliquer la formule [6] fournie dans le texte pour obtenir lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (eacutetape 7)
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12
5 EXEMPLE NUMEacuteRIQUE DU MODE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
51 Indice de Gini standard deacuteriveacute de la courbe de Lorenz
Le calcul de lrsquoindice de Gini deacuteriveacute de la courbe de Lorenz figure dans le tableau 2 ougrave nous supposons lrsquoexistence drsquoune distribution de revenus agrave cinq individus (et cinq revenus) Lrsquoeacutetape 1 neacutecessite simplement de trier cette distribution par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 en revanche nous demande de calculer la distribution cumuleacutee des revenus Le reacutesultat de ce calcul est 15 000 uniteacutes de revenu soit le revenu total de lrsquoeacuteconomie Tableau 2 Exemple numeacuterique du calcul de lrsquoindice de Gini (deacuteriveacute de la courbe de Lorenz)
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 6
Calculer le revenu cumuleacute
Calculer la proportion
cumuleacutee des revenus (qi)
Affecter un rang aux revenus
Calculer la proportion
cumuleacutee de la population (pi)
Calculer laire des polygones
(Z)
Calculer lindice de
Gini
IndividuDistribution des revenus
Revenu cumuleacuteProportion
cumuleacutee des revenus
RangsProportion
cumuleacutee de la population
Aire des polygones
Indice de Gini
1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100
0100
EacuteTAPE 1
Trier la distribution de revenus
EacuteTAPE 4
Valeur de Z laire sous la courbe de Lorenz
G = 1 - 2Z
Aire du premier triangle
Aire de chaque trapegraveze
Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2
0007=[0067 x 02]2
Lrsquoeacutetape 3 transforme la distribution de revenus cumuleacutee en proportion cumuleacutee des revenus Le reacutesultat est 1 Rappelons-nous simplement que ces valeurs sont les qi introduits dans la section 31 ci-dessus Conformeacutement au tri de la distribution des revenus de lrsquoeacutetape 1 un rang croissant (de 1 agrave n) est affecteacute agrave chaque revenu (eacutetape 4) Ces rangs sont ensuite transformeacutes en proportion cumuleacutee de la population Ce calcul donne les p traiteacutes dans la section 31i ci-dessus Lorsque nous disposons de q et de p pour tous les niveaux de revenus nous pouvons calculer lrsquoaire des polygones sous la courbe de Lorenz Il suffit de nous rappeler que le premier est un triangle et que les autres sont des trapegravezes Pour ce faire lrsquoeacutetape 5 applique les formules preacutesenteacutees dans la section 31 La somme de ces aires donne Z crsquoest-agrave-dire lrsquoaire totale sous la courbe de Lorenz
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 13
Enfin lrsquoeacutetape 6 est lrsquoapplication meacutecanique de la formule [6] fournie dans le texte Elle donne un indice de Gini de 0267
52 Indice de Gini standard avec formule de covariance
Le tableau 3 fournit un exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule [4] de covariance preacutesenteacutee dans le texte Les eacutetapes sont ici moins nombreuses Leacutetape 1 change pas et consiste agrave trier la distribution des revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 demande de calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Lrsquoeacutetape 3 neacutecessite de calculer les deux paramegravetres essentiels agrave appliquer agrave la formule de covariance la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee (dont la valeur est de 400 dans lrsquoexemple) et le niveau de revenus moyen soit 3 000 uniteacutes de revenu Tableau 3 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule de covariance
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 4
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer la covariance Cov
(y F(y))
Calculer le niveau
moyen de revenu
Calculer Gini agrave laide la
formule [4]
Individu
A - Distribution des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacuteeCovariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267
EacuteTAPE 1
Trier la distribution des revenus
EacuteTAPE 3
Lrsquoapplication de la formule [4] fournie dans le texte donne une valeur drsquoindice de Gini eacutegale agrave 0267 (bien eacutevidemment identique agrave celle du tableau 2 )
53 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Nous nous sommes servis de la formule de covariance pour expliquer qursquoil est possible de rendre lrsquoindice de Gini standard sensible agrave un degreacute donneacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Le tableau 4 fournit un exemple de traitement de cette geacuteneacuteralisation agrave lrsquoaide de la mecircme distribution de revenus que dans les tableaux 2 et 3
Module EASYPol 040 Outils analytiques
14
Tableau 4 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 4 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 7
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer 1 - F(y)
Choisir vCalculer
[1 - F(y)](v-1)
Calculer la covariance
Cov (y F(y))
Calculer le niveau de revenu
moyen
Calculer Gini agrave laide de la formule [4]
Individu
A - Distribution
des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacutee1 - F(y) v [1 - F(y)](v-1) Covariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246
EacuteTAPE 1 EacuteTAPE 6
Trier la distribution des revenus
Les eacutetapes 1 et 2 sont identiques agrave celles du tableau 3 En revanche lrsquoeacutetape 3 requiert de calculer les valeurs de un moins la fonction de distribution cumuleacutee Lrsquoeacutetape 4 introduit le paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v auquel nous avons choisi drsquoattribuer la valeur 4 Par conseacutequent chaque montant calculeacute agrave lrsquoeacutetape 3 passe agrave la puissance (v-1) crsquoest-agrave-dire 3 (eacutetape 5) Lrsquoeacutetape 6 calcule les deux paramegravetres essentiels le terme de covariance (-246 dans lrsquoexemple) et le revenu moyen (3 000) Lrsquoeacutetape 7 applique la formule [6] fournie dans le texte et donne un indice de Gini de 0246 Cette valeur est diffeacuterente de celle obtenue avec lrsquoindice de Gini standard car des pondeacuterations diffeacuterentes ont eacuteteacute attribueacutees aux mecircmes revenus
6 PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LrsquoINDICE DE GINI
Cette section deacutecrit les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini en termes des axiomes qursquoil respecte 8
Comme la plupart de ces proprieacuteteacutes sont communes aux indices de Gini standard et geacuteneacuteraliseacute nous les traiterons ensemble tout en signalant leurs diffeacuterences majeures Les principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini sont les suivantes la limite infeacuterieure de G est zeacutero quelle que soit la valeur de v Quand tous les
revenus sont eacutegaux la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee est nulle et lrsquoindice de Gini est donc zeacutero Concernant lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini standard notez que quand tous les revenus sont eacutegaux la courbe de Lorenz est eacutegale agrave la droite drsquoeacutequidistribution Par conseacutequent la somme des aires des polygones (Z) est eacutegale agrave frac12 crsquoest-agrave-dire la somme du triangle sous la courbe de Lorenz De ce fait lrsquoindice de Gini (1ndash 2Z) est eacutegal agrave zeacutero
8 Voir le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes
(disponible en anglais) pour en savoir plus sur les axiomes dans la mesure de lrsquoineacutegaliteacute de mesure
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 15
nn 1minus la limite supeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard G est Dans les tregraves grandes
populations la limite de cette valeur est 1 Quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier celui-ci est aussi eacutegal au revenu total y=Y Autrement dit il ne faut calculer qursquoune seule aire celle du dernier trapegraveze Cependant dans les tregraves grandes populations cette aire tend agrave ecirctre plus petite Dans la limite (crsquoest-agrave-dire dans un cadre continu) la valeur de lrsquoaire Z tend vers zeacutero et donc lrsquoindice de Gini tend vers
1 Dans la geacuteneacuteralisation la limite supeacuterieure de G(v) est n
nv
12 minus Souvenez-vous
que dans lrsquoindice de Gini standard v=2 lrsquoindice de Gini est invariant agrave lrsquoeacutechelle La multiplication de tous les revenus par
un facteur α ne modifie pas la valeur de lrsquoindice de Gini G Intuitivement quand tous les revenus sont redimensionneacutes par un facteur commun la distribution cumuleacutee des revenus ne change pas car une fraction donneacutee de la population continue agrave deacutetenir la mecircme fraction du revenu total Les aires sous la courbe de Lorenz demeurent donc identiques Dans le cas de la formule de covariance lrsquoapplication drsquoun facteur commun agrave tous les revenus augmente la covariance et le revenu moyen dans la mecircme mesure Lrsquoindice de Gini ne change pas Cela vaut eacutegalement pour G(v)
en revanche lrsquoindice de Gini G nrsquoest pas invariant agrave la translation Si lrsquoon
ajoutesoustrait la mecircme somme agrave tous les revenus il augmente (ou diminue) en conseacutequence Cela vaut eacutegalement pour G(v)
lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts quelle que soit la valeur de v
Si le revenu est redistribueacute drsquoindividus relativement riches agrave des individus relativement pauvres G et G(v) diminuent Lrsquoinverse est vrai si le revenu est redistribueacute de personnes relativement pauvres agrave des personnes relativement riches Dans le cas de lrsquoindice de Gini standard nous remarquons que la taille du changement deacutecoulant de la variation de lrsquoun quelconque des revenus deacutepend du rang des individus participant agrave la redistribution et de la taille de lrsquoeacutechantillon Elle ne deacutepend pas du niveau des revenus individuels redistribueacutes mais du total des revenus Plus preacuteciseacutement lrsquoindice de Gini reacuteagit davantage agrave une redistribution entre individus preacutesentant une grande diffeacuterence de rang De fait agrave quantiteacute de redistribution eacutegale lrsquoeffet est beaucoup plus faible si les deux individus sont de rang proche
Le tableau 5 illustre le principe de fonctionnement des principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini Dans la colonne de gauche figurent trois simulations de distributions de revenus La premiegravere est une distribution laquo type raquo classeacutee par niveaux de revenus Les individus de la seconde ont tous le mecircme revenu Les individus de la troisiegraveme ont tous un revenu nul sauf le dernier
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16
Pour la distribution de revenus type A lrsquoindice de Gini est de 0267 Pour les revenus eacutequidistribueacutes B il est nul et pour la distribution la plus concentreacutee C il est de 08
( 80541
==minusn
n )
Pour une augmentation de tous les revenus de 20 pour-cent la cinquiegraveme colonne montre que lrsquoindice de Gini demeurerait inchangeacute agrave 0267 (proprieacuteteacute drsquoinvariance agrave lrsquoeacutechelle) Ce ne serait pas le cas pour une augmentation de tous les revenus du mecircme montant absolu (par exemple 2 000 uniteacutes de revenu dans le texte) Dans ce cas le tableau 5 montre que lrsquoindice de Gini serait plus bas (0160) Cet indice nrsquoest pas invariant agrave la translation Lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts Si nous redistribuons par exemple 500 uniteacutes de revenu des plus riches au plus pauvres il sera infeacuterieur (0213) dans le texte Agrave noter que les mecircmes transferts entre individus de rang proche (derniegravere colonne du tableau 5) donnent toujours lieu agrave un indice de Gini plus bas (0253) mais supeacuterieur au cas preacuteceacutedent (0213) Cela montre que lrsquoindice est plus sensible aux transferts entre individus de rangs eacuteloigneacutes
Tableau 5 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
IndividuA - Distribution des
revenus type
B - Distribution des revenus avec
revenus eacutegaux
C - Distribution des revenus avec un
seul revenu
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 20 pour-cent de tous les revenus
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 2 000 USD de tous
les revenus
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 500 USD du plus riche au plus pauvre
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 200
USD par deux individus de rang
proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000
Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000
GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253
INCHANGEacute DIMINUEacute DIMINUEacute DIMINUEacute
entre individus de rang proche
Lindice de Gini reacuteagit moins aux transferts
7 INTERSECTION DE LORENZ ET INDICE DE GINI
Nous avons vu qursquoil est possible de deacuteriver lrsquoindice de Gini drsquoune courbe de Lorenz En dautres termes indice de Gini et courbe de Lorenz sont en coheacuterence Il faut neacuteanmoins rappeler que lrsquoordre fourni par les courbes de Lorenz et en particulier par la dominance
de Lorenz est partiel car quand ces courbes ne coupent rien nous sommes agrave mecircme de dire quelle distribution des revenus preacutesente le plus drsquoineacutegaliteacute Agrave lrsquoinverse lrsquoindice de Gini fournit un ordre complet puisqursquoil reacuteduit lrsquointeacutegraliteacute de la distribution des revenus agrave un seul nombre La diffeacuterence eacuteleacutementaire entre ces deux approches devient apparente en cas drsquointersection des courbes de Lorenz Prenons par exemple les deux distributions de
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 17
revenus du tableau 6 Les revenus sont distribueacutes diffeacuteremment mais lrsquoindice de Gini est le mecircme (0200) Tableau 6 Deux distributions de revenus posseacutedant le mecircme indice de Gini
IndividusDistribution des
revenus XDistribution des
revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500
Revenu total20 000 20 000
Gini 0200 0200 Ces deux distributions sont figureacutees par les courbes de Lorenz de la figure 7 Comme elles se coupent on ne peut pas srsquoen servir pour les classer en termes drsquoineacutegaliteacute des revenus Mais la maniegravere dont elles se coupent donne des aires de mecircme valeur avant et apregraves lrsquointersection Du coup lrsquoindice de Gini est identique en deacutepit de diffeacuterences de revenus importantes Figure 7 Intersection de courbes de Lorenz
00
02
04
06
08
10
00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y
Distributions de revenus diffeacuterentesIntersection de LorenzMecircme indice de Gini
Aire de concentrationavant intersection
Aire de concentrationapregraves intersection
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18
8 SYNTHEgraveSE DES PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LINDICE DE GINI ET DE SA VERSION GEacuteNEacuteRALISEacuteE
Le tableau 7 syntheacutetise les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee Ces proprieacuteteacutes reflegravetent la structure des axiomes9
Il est inteacuteressant de noter tout drsquoabord que la limite infeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard et de sa version geacuteneacuteraliseacutee est zeacutero alors que sa limite supeacuterieure est diffeacuterencieacutee Cette derniegravere est tregraves proche de 1 (pour les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini standard et tend vers 2v (toujours dans les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute Les deux versions de lrsquoindice de Gini respectent le principe des transferts mais il faut rappeler que lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts de revenus entre individus situeacutes agrave des positions (rang) eacuteloigneacutees dans la distribution des revenus Les deux versions sont invariantes agrave lrsquoeacutechelle et non invariantes agrave la translation et respectent le principe de population Cette structure fait de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee deux indicateurs drsquoineacutegaliteacute relative La grande utiliteacute de leurs caracteacuteristiques dans la pratique explique le fort inteacuterecirct qursquoils suscitent Tableau 7 Indice de Gini et ses proprieacuteteacutes utiles
LIMITE
INFLIMITE SUP
Principe des transferts
Invariance agrave leacutechelle
Invariance agrave la translation
Principe de population
Indice dineacutegaliteacute relative (IIR)
Inteacuterecirct
Gini 0 (n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
Gv 0 (2v )(n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
9 REMARQUES Agrave LrsquoINTENTION DES LECTEURS
91 Liens EASYPol
Les lecteurs pourront se tourner vers certains modules EASYPol pour renforcer leurs acquis de base et approfondir leurs connaissances sur lrsquoineacutegaliteacute et sa mesure Le preacutesent module fait partie drsquoun ensemble de documents expliquant les modaliteacutes de comparaison en termes drsquoineacutegaliteacute des distributions de revenus geacuteneacutereacutees par diffeacuterentes options des politiques Il appartient au parcours de formation Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des politiques
9 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses
axiomes de mesure (disponible en anglais)
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 19
Les modules EASYPol suivants preacutecegravedent logiquement le document preacutesent et pourront renforcer les connaissances des utilisateurs
Module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute courbe de Lorenz
Module EASYPol 001 Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz
EASYPol Module 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de pauvreteacute
Module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure (disponible en anglais)
Les points traiteacutes dans ce module sont approfondis dans les documents suivants
Module EASYPol 002 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz geacuteneacuteraliseacute
Module EASYPol 041 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social bien-ecirctre social fonctions de bien-ecirctre social et aversion pour lineacutegaliteacute (disponible en anglais)
Le module EASYPol 042 Impacts sur lineacutegaliteacute et la pauvreteacute de certaines
politiques agricoles cas du Paraguay est une eacutetude de cas de la mesure agrave lrsquoaide de lrsquoindice de Gini des impacts drsquoune politique agricole sur lrsquoineacutegaliteacute dans le contexte drsquoun exercice de simulation bacircti agrave partir de donneacutees reacuteelles
Module EASYPol 040 Outils analytiques
20
10 ANNEXE I ndash AUTRES MEacuteTHODES DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible
La deacuterivation de lrsquoindice de Gini par les courbes de Lorenz preacutesente une correspondance directe avec une autre meacutethode plutocirct lourde de calcul de cet indicateur
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+= minusminus
Yy
nY
yY
yYy
nnG nnn 121 32211 [A1]
Vous remarquerez la speacutecificiteacute des termes figurant entre les derniegraveres parenthegraveses ougrave chaque part de revenu de la plus eacuteleveacutee agrave la plus faible est multiplieacutee par le rang des individus dans la distribution des revenus du plus bas au plus eacuteleveacute de maniegravere agrave ce que la part la plus importante ait le rang 1 et la plus petite le rang n Cette correspondance apparaicirct encore mieux dans un exemple ougrave n=3 En rappelant la deacutefinition des q et des p on obtient
133 1
032
031
0
0300 0
3321
3
221
2
11
1
00
0
===+++
=
=++
=
=+
=
=====
pY
yyyq
pY
yyq
pY
yq
np
Yy
q
Substituer ces valeurs dans lrsquoeacutequation [2] dans le texte donne
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++minus=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++minus=
Yy
Yy
Yy
Yyy
Yyyy
Yy
Yyy
YyG 123213211211
1 35
33
311
31
31
311
[A2] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 1 Maintenant reacuteeacutecrivons lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++minus+=Yy
Yy
Yy
G 1232 32
32
311
[A3] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 2 Maintenant reacuteeacutecrivons [A2] et [A3] de maniegravere plus commode en manipulant les crochets
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus=
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
G 12121231 2
32
311
34
32
311
[A4]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +minusminus+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyyyG 121212123
2 232
3112
32
32
3112
32
311
[A5] comme lrsquoexpression entre parenthegraveses dans les deux eacutequations est eacutegale agrave 1 pour n=3 il est tregraves facile de veacuterifier que les deux expressions donnent le mecircme reacutesultat (G =G1 2) La formule [A1] souvent utiliseacutee dans les applications opeacuterationnelles est donc entiegraverement baseacutee sur la deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini
101 Indice de Gini avec formule de covariance
Dans le texte nous avons montreacute que lrsquoindice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moyen et la covariance entre les niveaux y et la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Analytiquement
( ))(2 yFyCovy
G = [A6]
Cette formule eacutequivaut aussi agrave la formule [A1] Voyons pourquoi
( )[ ] ( )[ )(1 yFyCovyFyCov ]minusminus=Sachant que comme la valeur attendue de F(y) est frac12 et la valeur attendue de [1-F(y)] frac12 eacutegalement nous pouvons reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A6]
sous la forme ( )[ ])(12 yFyCov
yG minusminus=
Lrsquoeacutequivalence entre les formules [A6] et [A1] apparaicirct agrave nouveau pour un cas simplifieacute n=3 Tout drsquoabord il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( )()()( yFEyEyyFEyFyCov minus )= ougrave E correspond agrave la valeur attendue (la moyenne) drsquoune variable donneacutee Ensuite il convient de deacutefinir chaque composante de la covariance
( ) ( ) ( )32
333
32
31
)( 3
3
31
32
33
)(123
=++
==++
= yFEYyEyyy
yyFE
nous pouvons obtenir Par conseacutequent en tenant compte du fait que 321 yyyY ++=
( ) [ ]13123123 9
192
92
92
91
92
93)( yyyyyyyyyFyCov minus=minusminusminus++=
Module EASYPol 040 Outils analytiques
22
nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minussdot
sdot=
Yy
Yy
yyY
G 1313 3
29132
Maintenant sachant que pour n=3
1321 =++
Yyyy
on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
Yy
Yy
Yy 13111223321321
32
32
32
32
32
32
32
31
ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance
102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors
034
311
36
32
31132
32
311 =minus+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus+=yy
Yy
Yy
YyG
LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera
nn
Yy
YYG 1
32
32
31100
32
311 minus
==minus+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=
comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3
G deviendrait ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
+α
α+
αα
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyG 323323 32
32
31132
32
311
GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
+minus+=
000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
112
individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
Module EASYPol 040 Outils analytiques
24
11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES
Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
24 617-628
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 25
Meacutetadonneacutees du module
1 Module EASYPol 040
2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
Franccedilais
Espagnol
Autre
3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine
Anglais The Gini Index
Franccedilais
Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module
10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
Module EASYPol 040 Outils analytiques
26
11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
Analyse drsquoineacutegaliteacute Lrsquoindice de Gini par Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lrsquoassistance aux politiques FAO Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie pour le compte de Organisation des Nations-Unies pour lrsquoalimentation et lrsquoagriculture
Agrave propos drsquoEASYPol EASYPol est un reacutefeacuterentiel interactif multilingue en ligne qui propose des ressources teacuteleacutechargeables visant agrave renforcer les capaciteacutes en matiegravere deacutelaboration de politiques alimentaire agricole et deacuteveloppement rural Ladresse de sa page drsquoaccueil est wwwfaoorgtceasypol Les ressources dEASYPol sont creacuteeacutees et mises agrave jour par le Service de soutien aux politiques agricoles de la FAO
Les termes employeacutes et la preacutesentation du contenu de ce document drsquoinformation ne repreacutesentent en aucune maniegravere lrsquoopinion de lrsquoOrganisation des Nations-Unies pour lrsquoalimentation et lrsquoagriculture quant au statut juridique dun pays drsquoun territoire drsquoune ville ou drsquoune reacutegion quelconque ou de ses autoriteacutes ou quant agrave la deacutelimitation de ses frontiegraveres ou limites
copy FAO deacutecembre 2006 Tous droits reacuteserveacutes La reproduction et la diffusion des documents accessibles sur le site Web de la FAO aux fins de formation ou autres fins non commerciales sont autoriseacutees sans permission eacutecrite preacutealable des deacutetenteurs des droits drsquoauteur agrave condition que la source en soit clairement mentionneacutee La reproduction de leur contenu aux fins de revente ou autres fins commerciales est interdite sans lrsquoautorisation eacutecrite des deacutetenteurs des droits drsquoauteur Il convient drsquoadresser ces demandes drsquoautorisation agrave copyrightfaoorg
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini
Sommaire
1 Reacutesumeacute 1
2 Introduction1
3 Contexte conceptuel 2 31 Lrsquoindice de Gini 2 32 Lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (Gv) 6
4 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini9 41 Lrsquoindice de Gini 9 42 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute 11
5 Exemple numeacuterique du mode de calcul de lrsquoindice de Gini12 51 Indice de Gini standard deacuteriveacute de la courbe de Lorenz 12 52 Indice de Gini standard avec formule de covariance 13 53 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute 13
6 Proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini14
7 Intersection de Lorenz et indice de Gini 16
8 Synthegravese des proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee18
9 Remarques agrave lrsquointention des lecteurs 18 91 Liens EASYPol 18
10 Annexe I ndash Autres meacutethodes de calcul de lrsquoindice de Gini20 Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible 20 101 Indice de Gini avec formule de covariance 21 102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini 22
11 Ouvrages de reacutefeacuterence et autres ressources 24
Meacutetadonneacutees du module25
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 1
1 REacuteSUMEacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
2 INTRODUCTION
Objectifs
Ce module preacutesente lrsquoutilisation des indices de Gini standard et geacuteneacuteraliseacute compare les distributions de revenus et en explique les avantages et les inconveacutenients respectifs Public
Ce module srsquoadresse aux analystes des politiques actuels ou futurs deacutesireux drsquoajouter lrsquoanalyse des distributions de revenus agrave leurs capaciteacutes drsquoanalyse des impacts des politiques de deacuteveloppement sur lrsquoineacutegaliteacute De ce fait il constituera un document de reacutefeacuterence utile pour les eacuteconomistes et les praticiens travaillant dans des administrations publiques des ONG des organisations professionnelles ou des cabinets de conseil Les professeurs pourront lrsquoutiliser agrave lrsquoappui de leurs cours consacreacutes agrave lrsquoanalyse coucirctbeacuteneacutefice (ACB) et agrave lrsquoeacuteconomie du deacuteveloppement Enfin il permettra agrave toute personne qui le souhaite drsquoameacuteliorer ses compeacutetences en matiegravere drsquoACB et de compleacuteter sa formation Connaissances preacutealables requises
Les utilisateurs devront posseacuteder des notions eacuteleacutementaires de matheacutematiques et de statistiques et avoir maicirctriseacute les concepts
de distribution des revenus et drsquoineacutegaliteacute des revenus
de courbes de Lorenz
drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Des liens vers les modules EASYPol pertinents des ouvrages consacreacutes agrave ces sujets et des documents de reacutefeacuterence figurent dans les notes de bas de page et agrave la section 9 du preacutesent module1
1 Les liens hypertexte vers des documents EASYPol apparaissent en bleu
a) parcours de formation en gras souligneacute b) autres modules EASYPOL ou mateacuteriels EASYPOL compleacutementaires en italique gras souligneacute c) liens vers le glossaire en gras et d) liens externes en italique
Module EASYPol 040 Outils analytiques
2
3 CONTEXTE CONCEPTUEL
Lrsquoindice de Gini est un indicateur associeacute agrave lrsquoapproche descriptive de la mesure de lrsquoineacutegaliteacute Lambert (1993) a reacutesumeacute la base analytique permettant drsquoeacutetablir le rapport entre lrsquoindice de Gini et les fonctions de bien-ecirctre social et donc de le faire entrer dans le champ de lrsquoanalyse du bien-ecirctre Dans les pages suivantes nous nrsquoaborderons que lrsquoapproche descriptive Lrsquoapproche bien-ecirctre sera traiteacutee dans des outils plus avanceacutes Lrsquoindice de Gini est un indicateur drsquoineacutegaliteacute2 complexe et syntheacutetique comme de nombreux autres de mecircme nature De ce fait il fournit des informations condenseacutees sur la distribution des revenus mais pas sur ses caracteacuteristiques telles que localisation et forme Pour cet indice nous appliquons la logique des axiomes drsquoineacutegaliteacute3 dans la mesure ougrave ceux-ci constituent des critegraveres eacuteligibles drsquoeacutevaluation des performances des indicateurs
31 Lrsquoindice de Gini
Lrsquoindice de Gini a eacuteteacute eacutelaboreacute par Gini en 1912 et entretient un lien strict avec la repreacutesentation de lrsquoineacutegaliteacute des revenus agrave lrsquoaide de la courbe de Lorenz En particulier il mesure le ratio entre lrsquoaire situeacutee entre la courbe de Lorenz et la droite
deacutequidistribution (et donc lrsquoaire de concentration) et lrsquoaire de concentration maximale La figure 1 repreacutesente ces aires elle trace trois courbes de Lorenz agrave partir de trois distributions de revenus hypotheacutetiques A B et C La courbe baseacutee sur la distribution des revenus A est la courbe standard que donne lrsquoanalyse des distributions de revenus reacuteelles Celle de la distribution B repreacutesente le cas extrecircme ougrave tous les revenus sont eacutegaux Dans ce cas elle prend aussi le nom de droite drsquoeacutequidistribution Enfin la courbe de la distribution C illustre un autre cas extrecircme celui ougrave tous les revenus sont nuls sauf le dernier Dans la figure 1 OP est la droite drsquoeacutequidistribution et ORP lrsquoaire deacutefinie par la courbe de Lorenz de la distribution des revenus standard et la courbe drsquoeacutequidistribution baptiseacutee aire de concentration OPQ est lrsquoaire de concentration maximale cest-agrave-dire la zone entre la courbe de Lorenz de la distribution de revenus C et la droite drsquoeacutequidistribution La droite drsquoeacutequidistribution OP et lrsquoaire OPQ repreacutesentent les valeurs extrecircmes de lrsquoaire de concentration dans une courbe de Lorenz Soit cette aire est nulle (comme dans le cas de la droite drsquoeacutequidistribution de la distribution B) soit elle est maximale (cas de la distribution C) Pour une distribution des revenus standard lrsquoaire de concentration se situe quelque part entre zeacutero et lrsquoaire de concentration maximale comme dans la figure 1
2 Voir le module EASYPol 080 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute indicateurs simples dineacutegaliteacute 3 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 3
Lrsquoindice de Gini mesure le ratio entre lrsquoaire de concentration et lrsquoaire de concentration maximale Par conseacutequent dans la figure 1 [1]
OPQORPG ==
aire de concentration maximale
i d i aire de concentration
Comme lrsquoaire de concentration maximale correspond agrave une distribution ougrave un seul individu deacutetient la totaliteacute des revenus lrsquoindice de Gini G mesure en geacuteneacuteral la distance entre lrsquoaire deacutefinie par une quelconque distribution de revenus standard et lrsquoaire de concentration maximale Il faut maintenant comprendre comment srsquoapplique la formule de la figure 1 dans la pratique Commenccedilons par le deacutenominateur de G Nous avons deacutejagrave expliqueacute4 que les coordonneacutees maximales de la courbe de Lorenz se situent au point (11) Par conseacutequent lrsquoaire OPQ doit ecirctre un triangle posseacutedant une longueur de base de 1 et une hauteur de 1 Son aire est donc eacutegale agrave frac12 Le deacutenominateur de G est donc frac12 Figure 1 Courbe de Lorenz et indice de Gini
00
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
00 200 400 600 800 1000
Proportion cumuleacutee de la population ()
Pro
port
ion c
um
uleacute
e d
es
revenus
()
Dis_A Dis_B Dis_C
O
P
Q
ORP = Aire deconcentration
R
OPQ = Aire deconcentration
maximale
ORPOPQ
GINI =Aire de concentration
=Aire de concentration maximale
Mais qursquoen est-il du numeacuterateur Au lieu de calculer directement lrsquoaire de concentration nous pouvons exploiter le fait que cette aire repreacutesente la diffeacuterence entre lrsquoaire de concentration maximale et lrsquoaire sous la courbe de Lorenz (cette derniegravere eacutetant
4 Voir le module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute des revenus la courbe de Lorenz
Module EASYPol 040 Outils analytiques
4
donneacutee par ORPQ) Le mode de calcul le plus facile de lrsquoaire sous la courbe de Lorenz est deacutecrit ci-apregraves
5Commenccedilons par rappeler la deacutefinition des coordonneacutees de la courbe de Lorenz Si nyyy lelele 21
proportion cumuleacutee de la population
proportion cumuleacutee des revenus
21
21 21
rarr =
rarr+++
= + + + + + +
=
n i p
Yyyy
y y y y yy
q
i
i
n i
i ougrave q =p =0 et q =p0 0 n n=1 Lrsquoaire sous la courbe de Lorenz ORPQ est la somme des aires drsquoune seacuterie de polygones Regardons la figure 2 ougrave une courbe de Lorenz simplifieacutee a eacuteteacute creacuteeacutee pour une population de quatre individus Le premier polygone est un triangle (p q po 1 1) et les trois autres sont des trapegravezes isocegraveles pivoteacutes On peut donc calculer chaque aire seacutepareacutement et ajouter les reacutesultats obtenus pour obtenir la valeur de lrsquoaire globale Symbolisons lrsquoaire du iegraveme polygone par Zi et lrsquoaire totale obtenue de cette maniegravere par Z Lrsquoaire du triangle est donneacutee par
2
hauteur
1
base
11
qpZ = tandis que lrsquoaire de chaque trapegraveze est donneacutee par
( ) ( )2
hauteur
1
base longue + base courte
186minusminus minus+
= iiiii
ppqZ
q
Comme q =p =0 la somme de toutes ces aires donne 0 0
( )([ ]sumsum minusminus=
minus+==i
iiii
n
ii ppqqZZ 11
1 21 )
pour n=4
5 Voir le module EASYPOL 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute des revenus la courbe de Lorenz
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 5
Figure 2 Mode de calcul de lrsquoaire de concentration
TRIANGLE 1 TRAPEgraveZE 2 TRAPEgraveZE 4
TRAPEgraveZE 3
00
02
04
06
08
10
0 025 05 075 1
q1
q2
q3
q4
q0=p0 p1 p2 p3 p4
Aire de concentration (12)-Z
Cependant Z nrsquoest pas lrsquoaire de concentration mais lrsquoaire sous la courbe de Lorenz Pour calculer lrsquoaire de concentration (numeacuterateur de lrsquoindice de Gini) il suffit maintenant de soustraire Z de lrsquoaire de concentration maximale (frac12 ) comme suit
( )([ ]sum minusminus minus+minus=minus=i
iiii ppqqZ 1121
21
21ionconcentrat de Aire )
Selon [1] lrsquoindice de Gini G est donc eacutegal agrave
( )( )[ ]( )([ ]sum
summinusminus
minusminus
minus+minus=minus+minus
=i
iiiii
iiii
ppqqppqq
G 11
11
1
21
21
21
)
[2] que lrsquoon peut eacutegalement eacutecrire
ZG 21minus= [3] La formule ci-dessus indique seulement que lrsquoindice de Gini est eacutegal agrave 1 moins deux fois lrsquoaire sous la courbe de Lorenz
Module EASYPol 040 Outils analytiques
6
Cette interpreacutetation geacuteomeacutetrique baseacutee sur la courbe de Lorenz ne constitue que lrsquoun des modes de calcul possibles de lrsquoindice de Gini Une autre approche qui va srsquoaveacuterer particuliegraverement utile ci-apregraves consiste agrave exprimer directement lrsquoindice de Gini en termes de covariance entre les niveaux de revenus et la distribution cumuleacutee des revenus En particulier
( )( )y
yFyCovG 2=[4] ougrave Cov repreacutesente la covariance entre des niveaux de revenus y et la distribution cumuleacutee des mecircmes revenus F(y) et ougrave y est le revenu moyen Il est utile de rappeler ici que la covariance est la valeur attendue E des produits des eacutecarts sur la moyenne de chaque variable Soit dans ce cas preacutecis
[ ] [ ] [ ])()()( yFyFyyEyFyCov minussdotminus= [5]
32 Lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (Gv)
Pour eacutevaluer lrsquoimpact des politiques sur lrsquoineacutegaliteacute nous disposons drsquoune mesure suffisamment souple pour incarner les preacutefeacuterences de diffeacuterents deacutecisionnaires concernant par exemple le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Apregraves tout deux deacutecisionnaires adoptant des attitudes diffeacuterentes vis-agrave-vis de lrsquoineacutegaliteacute eacutevalueront diffeacuteremment les effets drsquoune mecircme politique Lrsquoindice de Gini eacutelaboreacute dans la section preacuteceacutedente (appeleacute ci-apregraves indice de Gini standard) ne permet pas de prendre en compte ces diffeacuterences drsquoattitude ou en drsquoautres termes le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute La geacuteneacuteralisation de lrsquoindice de Gini de Yitzhaki (1983) le rend deacutependant drsquoun degreacute speacutecifieacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute La formule correspondante est la suivante
G v( )= minus vy
Cov y 1minus F(y)( )vminus1⎡ ⎣ ⎢
⎤⎦⎥ [6]
ougrave tous les termes ont le mecircme sens que dans [4] et ougrave v exprime le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Lrsquoaffectation de diffeacuterentes valeurs agrave v risque de modifier la valeur de lrsquoindice de Gini du fait drsquoune pondeacuteration diffeacuterente des revenus agrave diffeacuterentes parties de leur distribution Agrave noter que lorsque v=2 lrsquoexpression [6] revient agrave lrsquoindice de Gini standard (expression [4]) Pour comprendre la signification de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute rappelons la deacutefinition eacutetendue suivante du terme de covariance dans [6]
( )[ ] [ ] ( ) ( )[ ])(1)(1)(1 yFyFyyEyFyCov minusminusminussdotminus=minus[7]
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 7
Les seconds crochets agrave la droite de lrsquoexpression [7] doivent ecirctre interpreacuteteacutes comme la pondeacuteration agrave affecter agrave chaque niveau de revenu crsquoest-agrave-dire agrave chaque eacutecart sur la moyenne du niveau de revenus (premiers crochets) Pour les bas revenus (infeacuterieurs au revenu moyen) le terme des premiers crochets est neacutegatif et le second positif Pour les revenus eacuteleveacutes (supeacuterieurs agrave la moyenne) la situation est inverseacutee Les eacutecarts sur la moyenne sont positifs tandis que le terme des seconds crochets est neacutegatif Agrave noter la proprieacuteteacute de la fonction de distribution cumuleacutee (FDC) sa moyenne est eacutegale agrave sa meacutediane (frac12) De ce fait la valeur des seconds crochets sera positive jusqursquoagrave la meacutediane de la FDC Cela signifie que la meacutediane de la distribution des revenus aura une pondeacuteration nulle puisque le revenu meacutedian est le niveau de revenu ougrave F(y) = frac12 Il nous faut maintenant comprendre ce qui arrive aux revenus situeacutes avant et apregraves la meacutediane quand la valeur de v augmente La figure 3 se penche sur ce problegraveme La droite rouge repreacutesente la diffeacuterence de [1-F(y)] sur la moyenne dans le cas standard de v=2 Elle coupe lrsquoaxe des x au niveau meacutedian de cette distribution de revenus hypotheacutetique Si nous prenons le cas ougrave v=3 (courbe noire eacutepaisse) on voit relativement facilement qursquoune fraction des personnes riches (agrave droite de lrsquointersection avec v=2 dans la zone sud-est du graphique) possegravede (en termes absolus) une pondeacuteration infeacuterieure que lorsque v=2 Cela concerne tous les revenus pour lesquels la courbe noire eacutepaisse se situe au-dessus de la droite rouge dans le graphique Dans le mecircme temps une fraction des personnes pauvres (agrave gauche de lrsquointersection avec v=2 dans la zone nord-ouest du graphique) preacutesente une pondeacuteration supeacuterieure que lorsque v=2 Cela concerne tous les revenus pour lesquels la courbe noire eacutepaisse se situe agrave nouveau au-dessus de la droite rouge dans le graphique Lorsque lrsquoon augmente v la fraction de personnes riches dont lrsquoeacutecart de revenus sur la moyenne reccediloit une pondeacuteration infeacuterieure agrave celle de v=2 augmente Dans le mecircme temps la fraction de personnes pauvres dont lrsquoeacutecart de revenus sur la moyenne reccediloit une pondeacuteration supeacuterieure agrave celle de v=2 diminue La figure 3 rend compte des cas ougrave v=2 v=4 v=8 et v=16 Par conseacutequent quand v augmente le nombre de bas revenus posseacutedant une pondeacuteration importante diminue et le nombre de personnes posseacutedant une pondeacuteration nulle augmente Dans le calcul de Gini augmenter v signifie donc se focaliser plutocirct sur lrsquoineacutegaliteacute dans une fraction progressivement infeacuterieure de la distribution des revenus6
6 Crsquoest la raison pour laquelle on considegravere souvent v comme un laquo paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute raquo
Module EASYPol 040 Outils analytiques
8
Figure 3 Pondeacuteration dans lrsquoindice de Gini
-06
-04
-02
00
02
04
06
08
10
Niveaux de revenus
(1-F
(y))
eacute
cart
s su
r la
moyenne
v=2 v=3 v=4 v=8 v=16
Quand v augmente un ensemble progressivement plus important drsquoindividus riches compte moins que quand v=2 Quand v=16 mecircme certaines personnes agrave bas revenus comptent pour zeacutero car une pauvreteacute plus extrecircme devient progressivement le point de focalisation
Quand v augmente un ensemble progressivement moindre drsquoindividus pauvres compte davantage que quand v=2 Plus v est eacuteleveacute plus le poids des individus diminue rapidement Quand v=16 peu de personnes agrave bas revenus comptent beaucoup
De ce fait lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute donne davantage de souplesse agrave leacutevaluation des programmes et des politiques de deacuteveloppement que lrsquoindice de Gini standard parce qursquoil permet drsquoincarner diffeacuterents degreacutes drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Pour mieux comprendre ce point utilisons lrsquoexemple du tableau 1 Tableau 1 Exemple de facteurs de pondeacuteration implicites dans lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Individus Revenus F(y) 1-F(y) [1-F(y)]v-
1 v=2
[1-F(y)]v-1
v=4
Revenus eacutecarts sur la
moyenne
[1-F(y)]v-1 v=2 eacutecarts
sur la moyenne
[1-F(y)]v-1 v=4 eacutecarts
sur la moyenne
Facteur de pondeacuteration
implicite quand v=2
Facteur de pondeacuteration
implicite quand v=4
1 1 000 020 080 080 051 -2 000 040 045 20 80
2 2 000 040 060 060 022 -1 000 020 015 15 343 3 000 060 040 040 006 0 000 000 10 10
4 4 000 080 020 020 001 1 000 -020 -006 05 01
5 5 000 100 000 000 000 2 000 -040 -006 00 00
Moyenne 3 000 060 040 040 006 Le tableau 1 rend compte de la distribution hypotheacutetique des revenus de cinq individus Pour chaque niveau de revenu la troisiegraveme et la quatriegraveme colonnes fournissent le reacutesultat du calcul de F(y) et de (1-F(y)) respectivement La cinquiegraveme et la sixiegraveme donnent le reacutesultat de la quatriegraveme colonne pour v=2 et v=4
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 9
Agrave noter que v=2 correspond agrave lrsquoindice de Gini standard et que v=4 inclut davantage de personnes agrave bas revenus dans la pondeacuteration La septiegraveme colonne indique lrsquoeacutecart de chaque revenu par rapport au revenu moyen Il est neacutegatif pour les bas revenus et positif pour les revenus eacuteleveacutes Nous devons simplement nous rappeler qursquoil fait partie du terme de covariance de [7] Les huitiegraveme et neuviegraveme colonnes calculent les eacutecarts sur la moyenne de lrsquoautre partie du terme de covariance de la formule [7] Que nous apprend la comparaison de ces colonnes Nous voyons facilement que la laquo pondeacuteration raquo affecteacutee aux revenus les plus bas est supeacuterieure avec v=4 qursquoavec v=2 Dans le mecircme temps la pondeacuteration de lindividu le plus riche descend rapidement agrave zeacutero quand v=4 Une meacutethode de calcul du facteur de pondeacuteration implicite de lrsquoindice de Gini consiste agrave deacutefinir le ratio entre la valeur de la fonction (1-F(y))v-1 agrave nimporte quel niveau de revenu et la valeur de cette mecircme fonction au niveau de revenu meacutedian Pour v=2 et v=4 ce calcul apparaicirct dans les deux derniegraveres colonnes du tableau 1 Quand v=2 le revenu le plus bas contribue deux fois plus au calcul de lrsquoindice de Gini que le revenu meacutedian Quand v=4 il y contribue huit fois plus Vous remarquerez eacutegalement que la contribution des revenus les plus eacuteleveacutes est infeacuterieure quand v=4
4 PROCEacuteDURE DEacuteTAILLEacuteE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
41 Lrsquoindice de Gini
La proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini est syntheacutetiseacutee dans la figure 4 baseacutee sur la formule [2] ci-dessus Il faut commencer par trier la distribution des revenus par niveaux de revenus (eacutetape 1) Agrave lrsquoeacutetape 2 nous calculons la distribution de revenus cumuleacutee Agrave lrsquoeacutetape 3 nous obtenons la proportion cumuleacutee des revenus (qi) en divisant chaque revenu cumuleacute par le total des revenus Lrsquoeacutetape 4 fournit la proportion cumuleacutee de la population (pi) Pour ce faire nous classons les individus par ordre croissant et nous attribuons le rang 1 agrave la personne au revenu le plus bas et le rang laquo n raquo agrave celle au revenu le plus eacuteleveacute puis nous divisons par n Agrave lrsquoeacutetape 5 nous calculons lrsquoaire des polygones Z1Z2 Z3Zn Le premier est un triangle les autres sont des trapegravezes (appliquez la formule figurant dans le texte) Agrave lrsquoeacutetape 6 nous additionnons toutes les aires pour obtenir lrsquoaire sous la courbe de Lorenz (Z) puis nous calculons lrsquoindice de Gini G=1-2Z La figure 4 fournit le deacuteroulement de cette proceacutedure
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Figure 4 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la distribution de revenus cumuleacutee
3Calculer la proportion cumuleacutee des revenus en divisant chaque revenu
cumuleacute par le total des revenus
4
Affecter le rang 1 au revenu le plus bas et le rang n au revenu le plus eacuteleveacute
puis calculer la proportion cumuleacutee de la population en divisant chaque rang
par n
5
Calculer laire des polygones en appliquant les formules fournies dans le
texte pour laire du triangle et des trapegravezes
6 Additionner toutes les aires pour obtenir Z puis calculer G = 1-2Z
Mais le texte fournit une autre formule de calcul direct de lrsquoindice de Gini (voir la formule [4]) baseacutee sur le terme de covariance Il est donc utile den fournir la proceacutedure de calcul deacutetailleacutee (voir la figure 5) Figure 5 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini agrave lrsquoaide de la formule de covariance
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la distribution de revenus par niveaux
de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer la covariance Cov(yF(y)) et le niveau de revenu moyen
4 Calculer Gini en appliquant la formule [4] fournie dans le texte
Lrsquoeacutetape 1 nous demande comme dhabitude de trier la distribution de revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 nous demande de calculer la FDC F(y)7
7 Voir le module EASYPOL 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de la pauvreteacute
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 11
Lrsquoeacutetape 3 nous demande simplement de prendre la covariance entre la distribution des niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee et le niveau de revenus moyen utiliseacutee dans le deacutenominateur de la formule[4] Enfin lrsquoeacutetape 4 applique directement la formule [4] fournie dans le texte
42 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
La figure 6 fournit les eacutetapes du calcul de la version geacuteneacuteraliseacutee de lrsquoindice de Gini Figure 6 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer 1-F(y) pour chaque revenu
4 Choisir la valeur du paramegravetre daversion pour lineacutegaliteacute v
5 Calculer [1-F(y)]v -1
6Calculer la covariance
Cov[y (1-F(y))v -1] et la moyenne de la distribution de revenus
7 Calculer Gini en appliquant la formule de covariance [6] fournie dans le texte
Les eacutetapes sont tregraves semblables agrave celles du calcul de lrsquoindice de Gini standard agrave lrsquoaide de la formule de covariance Les eacutetapes 1 et 2 sont mecircme identiques Par souci de commoditeacute du fait du mode drsquoexpression de la formule lrsquoeacutetape 3 nous demande de calculer pour chaque niveau de revenus la valeur de un moins la valeur de la fonction de distribution cumuleacutee agrave ce point Lrsquoeacutetape 4 est lrsquoeacuteleacutement le plus caracteacuteristique de cette proceacutedure car elle nous demande de choisir la valeur du paramegravetre de lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v Il suffit de nous souvenir que plus les valeurs de v sont eacuteleveacutees plus lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute est forte Lrsquoeacutetape 5 nous demande de calculer un eacuteleacutement du terme de covariance agrave savoir la valeur de (1-F(y))v-1 Agrave lrsquoeacutetape 6 nous devons calculer la covariance complegravete et le revenu moyen ce qui nous permettra drsquoappliquer la formule [6] fournie dans le texte pour obtenir lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (eacutetape 7)
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5 EXEMPLE NUMEacuteRIQUE DU MODE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
51 Indice de Gini standard deacuteriveacute de la courbe de Lorenz
Le calcul de lrsquoindice de Gini deacuteriveacute de la courbe de Lorenz figure dans le tableau 2 ougrave nous supposons lrsquoexistence drsquoune distribution de revenus agrave cinq individus (et cinq revenus) Lrsquoeacutetape 1 neacutecessite simplement de trier cette distribution par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 en revanche nous demande de calculer la distribution cumuleacutee des revenus Le reacutesultat de ce calcul est 15 000 uniteacutes de revenu soit le revenu total de lrsquoeacuteconomie Tableau 2 Exemple numeacuterique du calcul de lrsquoindice de Gini (deacuteriveacute de la courbe de Lorenz)
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 6
Calculer le revenu cumuleacute
Calculer la proportion
cumuleacutee des revenus (qi)
Affecter un rang aux revenus
Calculer la proportion
cumuleacutee de la population (pi)
Calculer laire des polygones
(Z)
Calculer lindice de
Gini
IndividuDistribution des revenus
Revenu cumuleacuteProportion
cumuleacutee des revenus
RangsProportion
cumuleacutee de la population
Aire des polygones
Indice de Gini
1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100
0100
EacuteTAPE 1
Trier la distribution de revenus
EacuteTAPE 4
Valeur de Z laire sous la courbe de Lorenz
G = 1 - 2Z
Aire du premier triangle
Aire de chaque trapegraveze
Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2
0007=[0067 x 02]2
Lrsquoeacutetape 3 transforme la distribution de revenus cumuleacutee en proportion cumuleacutee des revenus Le reacutesultat est 1 Rappelons-nous simplement que ces valeurs sont les qi introduits dans la section 31 ci-dessus Conformeacutement au tri de la distribution des revenus de lrsquoeacutetape 1 un rang croissant (de 1 agrave n) est affecteacute agrave chaque revenu (eacutetape 4) Ces rangs sont ensuite transformeacutes en proportion cumuleacutee de la population Ce calcul donne les p traiteacutes dans la section 31i ci-dessus Lorsque nous disposons de q et de p pour tous les niveaux de revenus nous pouvons calculer lrsquoaire des polygones sous la courbe de Lorenz Il suffit de nous rappeler que le premier est un triangle et que les autres sont des trapegravezes Pour ce faire lrsquoeacutetape 5 applique les formules preacutesenteacutees dans la section 31 La somme de ces aires donne Z crsquoest-agrave-dire lrsquoaire totale sous la courbe de Lorenz
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 13
Enfin lrsquoeacutetape 6 est lrsquoapplication meacutecanique de la formule [6] fournie dans le texte Elle donne un indice de Gini de 0267
52 Indice de Gini standard avec formule de covariance
Le tableau 3 fournit un exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule [4] de covariance preacutesenteacutee dans le texte Les eacutetapes sont ici moins nombreuses Leacutetape 1 change pas et consiste agrave trier la distribution des revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 demande de calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Lrsquoeacutetape 3 neacutecessite de calculer les deux paramegravetres essentiels agrave appliquer agrave la formule de covariance la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee (dont la valeur est de 400 dans lrsquoexemple) et le niveau de revenus moyen soit 3 000 uniteacutes de revenu Tableau 3 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule de covariance
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 4
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer la covariance Cov
(y F(y))
Calculer le niveau
moyen de revenu
Calculer Gini agrave laide la
formule [4]
Individu
A - Distribution des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacuteeCovariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267
EacuteTAPE 1
Trier la distribution des revenus
EacuteTAPE 3
Lrsquoapplication de la formule [4] fournie dans le texte donne une valeur drsquoindice de Gini eacutegale agrave 0267 (bien eacutevidemment identique agrave celle du tableau 2 )
53 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Nous nous sommes servis de la formule de covariance pour expliquer qursquoil est possible de rendre lrsquoindice de Gini standard sensible agrave un degreacute donneacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Le tableau 4 fournit un exemple de traitement de cette geacuteneacuteralisation agrave lrsquoaide de la mecircme distribution de revenus que dans les tableaux 2 et 3
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Tableau 4 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 4 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 7
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer 1 - F(y)
Choisir vCalculer
[1 - F(y)](v-1)
Calculer la covariance
Cov (y F(y))
Calculer le niveau de revenu
moyen
Calculer Gini agrave laide de la formule [4]
Individu
A - Distribution
des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacutee1 - F(y) v [1 - F(y)](v-1) Covariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246
EacuteTAPE 1 EacuteTAPE 6
Trier la distribution des revenus
Les eacutetapes 1 et 2 sont identiques agrave celles du tableau 3 En revanche lrsquoeacutetape 3 requiert de calculer les valeurs de un moins la fonction de distribution cumuleacutee Lrsquoeacutetape 4 introduit le paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v auquel nous avons choisi drsquoattribuer la valeur 4 Par conseacutequent chaque montant calculeacute agrave lrsquoeacutetape 3 passe agrave la puissance (v-1) crsquoest-agrave-dire 3 (eacutetape 5) Lrsquoeacutetape 6 calcule les deux paramegravetres essentiels le terme de covariance (-246 dans lrsquoexemple) et le revenu moyen (3 000) Lrsquoeacutetape 7 applique la formule [6] fournie dans le texte et donne un indice de Gini de 0246 Cette valeur est diffeacuterente de celle obtenue avec lrsquoindice de Gini standard car des pondeacuterations diffeacuterentes ont eacuteteacute attribueacutees aux mecircmes revenus
6 PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LrsquoINDICE DE GINI
Cette section deacutecrit les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini en termes des axiomes qursquoil respecte 8
Comme la plupart de ces proprieacuteteacutes sont communes aux indices de Gini standard et geacuteneacuteraliseacute nous les traiterons ensemble tout en signalant leurs diffeacuterences majeures Les principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini sont les suivantes la limite infeacuterieure de G est zeacutero quelle que soit la valeur de v Quand tous les
revenus sont eacutegaux la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee est nulle et lrsquoindice de Gini est donc zeacutero Concernant lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini standard notez que quand tous les revenus sont eacutegaux la courbe de Lorenz est eacutegale agrave la droite drsquoeacutequidistribution Par conseacutequent la somme des aires des polygones (Z) est eacutegale agrave frac12 crsquoest-agrave-dire la somme du triangle sous la courbe de Lorenz De ce fait lrsquoindice de Gini (1ndash 2Z) est eacutegal agrave zeacutero
8 Voir le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes
(disponible en anglais) pour en savoir plus sur les axiomes dans la mesure de lrsquoineacutegaliteacute de mesure
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 15
nn 1minus la limite supeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard G est Dans les tregraves grandes
populations la limite de cette valeur est 1 Quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier celui-ci est aussi eacutegal au revenu total y=Y Autrement dit il ne faut calculer qursquoune seule aire celle du dernier trapegraveze Cependant dans les tregraves grandes populations cette aire tend agrave ecirctre plus petite Dans la limite (crsquoest-agrave-dire dans un cadre continu) la valeur de lrsquoaire Z tend vers zeacutero et donc lrsquoindice de Gini tend vers
1 Dans la geacuteneacuteralisation la limite supeacuterieure de G(v) est n
nv
12 minus Souvenez-vous
que dans lrsquoindice de Gini standard v=2 lrsquoindice de Gini est invariant agrave lrsquoeacutechelle La multiplication de tous les revenus par
un facteur α ne modifie pas la valeur de lrsquoindice de Gini G Intuitivement quand tous les revenus sont redimensionneacutes par un facteur commun la distribution cumuleacutee des revenus ne change pas car une fraction donneacutee de la population continue agrave deacutetenir la mecircme fraction du revenu total Les aires sous la courbe de Lorenz demeurent donc identiques Dans le cas de la formule de covariance lrsquoapplication drsquoun facteur commun agrave tous les revenus augmente la covariance et le revenu moyen dans la mecircme mesure Lrsquoindice de Gini ne change pas Cela vaut eacutegalement pour G(v)
en revanche lrsquoindice de Gini G nrsquoest pas invariant agrave la translation Si lrsquoon
ajoutesoustrait la mecircme somme agrave tous les revenus il augmente (ou diminue) en conseacutequence Cela vaut eacutegalement pour G(v)
lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts quelle que soit la valeur de v
Si le revenu est redistribueacute drsquoindividus relativement riches agrave des individus relativement pauvres G et G(v) diminuent Lrsquoinverse est vrai si le revenu est redistribueacute de personnes relativement pauvres agrave des personnes relativement riches Dans le cas de lrsquoindice de Gini standard nous remarquons que la taille du changement deacutecoulant de la variation de lrsquoun quelconque des revenus deacutepend du rang des individus participant agrave la redistribution et de la taille de lrsquoeacutechantillon Elle ne deacutepend pas du niveau des revenus individuels redistribueacutes mais du total des revenus Plus preacuteciseacutement lrsquoindice de Gini reacuteagit davantage agrave une redistribution entre individus preacutesentant une grande diffeacuterence de rang De fait agrave quantiteacute de redistribution eacutegale lrsquoeffet est beaucoup plus faible si les deux individus sont de rang proche
Le tableau 5 illustre le principe de fonctionnement des principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini Dans la colonne de gauche figurent trois simulations de distributions de revenus La premiegravere est une distribution laquo type raquo classeacutee par niveaux de revenus Les individus de la seconde ont tous le mecircme revenu Les individus de la troisiegraveme ont tous un revenu nul sauf le dernier
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Pour la distribution de revenus type A lrsquoindice de Gini est de 0267 Pour les revenus eacutequidistribueacutes B il est nul et pour la distribution la plus concentreacutee C il est de 08
( 80541
==minusn
n )
Pour une augmentation de tous les revenus de 20 pour-cent la cinquiegraveme colonne montre que lrsquoindice de Gini demeurerait inchangeacute agrave 0267 (proprieacuteteacute drsquoinvariance agrave lrsquoeacutechelle) Ce ne serait pas le cas pour une augmentation de tous les revenus du mecircme montant absolu (par exemple 2 000 uniteacutes de revenu dans le texte) Dans ce cas le tableau 5 montre que lrsquoindice de Gini serait plus bas (0160) Cet indice nrsquoest pas invariant agrave la translation Lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts Si nous redistribuons par exemple 500 uniteacutes de revenu des plus riches au plus pauvres il sera infeacuterieur (0213) dans le texte Agrave noter que les mecircmes transferts entre individus de rang proche (derniegravere colonne du tableau 5) donnent toujours lieu agrave un indice de Gini plus bas (0253) mais supeacuterieur au cas preacuteceacutedent (0213) Cela montre que lrsquoindice est plus sensible aux transferts entre individus de rangs eacuteloigneacutes
Tableau 5 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
IndividuA - Distribution des
revenus type
B - Distribution des revenus avec
revenus eacutegaux
C - Distribution des revenus avec un
seul revenu
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 20 pour-cent de tous les revenus
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 2 000 USD de tous
les revenus
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 500 USD du plus riche au plus pauvre
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 200
USD par deux individus de rang
proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000
Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000
GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253
INCHANGEacute DIMINUEacute DIMINUEacute DIMINUEacute
entre individus de rang proche
Lindice de Gini reacuteagit moins aux transferts
7 INTERSECTION DE LORENZ ET INDICE DE GINI
Nous avons vu qursquoil est possible de deacuteriver lrsquoindice de Gini drsquoune courbe de Lorenz En dautres termes indice de Gini et courbe de Lorenz sont en coheacuterence Il faut neacuteanmoins rappeler que lrsquoordre fourni par les courbes de Lorenz et en particulier par la dominance
de Lorenz est partiel car quand ces courbes ne coupent rien nous sommes agrave mecircme de dire quelle distribution des revenus preacutesente le plus drsquoineacutegaliteacute Agrave lrsquoinverse lrsquoindice de Gini fournit un ordre complet puisqursquoil reacuteduit lrsquointeacutegraliteacute de la distribution des revenus agrave un seul nombre La diffeacuterence eacuteleacutementaire entre ces deux approches devient apparente en cas drsquointersection des courbes de Lorenz Prenons par exemple les deux distributions de
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 17
revenus du tableau 6 Les revenus sont distribueacutes diffeacuteremment mais lrsquoindice de Gini est le mecircme (0200) Tableau 6 Deux distributions de revenus posseacutedant le mecircme indice de Gini
IndividusDistribution des
revenus XDistribution des
revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500
Revenu total20 000 20 000
Gini 0200 0200 Ces deux distributions sont figureacutees par les courbes de Lorenz de la figure 7 Comme elles se coupent on ne peut pas srsquoen servir pour les classer en termes drsquoineacutegaliteacute des revenus Mais la maniegravere dont elles se coupent donne des aires de mecircme valeur avant et apregraves lrsquointersection Du coup lrsquoindice de Gini est identique en deacutepit de diffeacuterences de revenus importantes Figure 7 Intersection de courbes de Lorenz
00
02
04
06
08
10
00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y
Distributions de revenus diffeacuterentesIntersection de LorenzMecircme indice de Gini
Aire de concentrationavant intersection
Aire de concentrationapregraves intersection
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8 SYNTHEgraveSE DES PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LINDICE DE GINI ET DE SA VERSION GEacuteNEacuteRALISEacuteE
Le tableau 7 syntheacutetise les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee Ces proprieacuteteacutes reflegravetent la structure des axiomes9
Il est inteacuteressant de noter tout drsquoabord que la limite infeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard et de sa version geacuteneacuteraliseacutee est zeacutero alors que sa limite supeacuterieure est diffeacuterencieacutee Cette derniegravere est tregraves proche de 1 (pour les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini standard et tend vers 2v (toujours dans les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute Les deux versions de lrsquoindice de Gini respectent le principe des transferts mais il faut rappeler que lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts de revenus entre individus situeacutes agrave des positions (rang) eacuteloigneacutees dans la distribution des revenus Les deux versions sont invariantes agrave lrsquoeacutechelle et non invariantes agrave la translation et respectent le principe de population Cette structure fait de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee deux indicateurs drsquoineacutegaliteacute relative La grande utiliteacute de leurs caracteacuteristiques dans la pratique explique le fort inteacuterecirct qursquoils suscitent Tableau 7 Indice de Gini et ses proprieacuteteacutes utiles
LIMITE
INFLIMITE SUP
Principe des transferts
Invariance agrave leacutechelle
Invariance agrave la translation
Principe de population
Indice dineacutegaliteacute relative (IIR)
Inteacuterecirct
Gini 0 (n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
Gv 0 (2v )(n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
9 REMARQUES Agrave LrsquoINTENTION DES LECTEURS
91 Liens EASYPol
Les lecteurs pourront se tourner vers certains modules EASYPol pour renforcer leurs acquis de base et approfondir leurs connaissances sur lrsquoineacutegaliteacute et sa mesure Le preacutesent module fait partie drsquoun ensemble de documents expliquant les modaliteacutes de comparaison en termes drsquoineacutegaliteacute des distributions de revenus geacuteneacutereacutees par diffeacuterentes options des politiques Il appartient au parcours de formation Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des politiques
9 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses
axiomes de mesure (disponible en anglais)
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 19
Les modules EASYPol suivants preacutecegravedent logiquement le document preacutesent et pourront renforcer les connaissances des utilisateurs
Module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute courbe de Lorenz
Module EASYPol 001 Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz
EASYPol Module 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de pauvreteacute
Module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure (disponible en anglais)
Les points traiteacutes dans ce module sont approfondis dans les documents suivants
Module EASYPol 002 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz geacuteneacuteraliseacute
Module EASYPol 041 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social bien-ecirctre social fonctions de bien-ecirctre social et aversion pour lineacutegaliteacute (disponible en anglais)
Le module EASYPol 042 Impacts sur lineacutegaliteacute et la pauvreteacute de certaines
politiques agricoles cas du Paraguay est une eacutetude de cas de la mesure agrave lrsquoaide de lrsquoindice de Gini des impacts drsquoune politique agricole sur lrsquoineacutegaliteacute dans le contexte drsquoun exercice de simulation bacircti agrave partir de donneacutees reacuteelles
Module EASYPol 040 Outils analytiques
20
10 ANNEXE I ndash AUTRES MEacuteTHODES DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible
La deacuterivation de lrsquoindice de Gini par les courbes de Lorenz preacutesente une correspondance directe avec une autre meacutethode plutocirct lourde de calcul de cet indicateur
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+= minusminus
Yy
nY
yY
yYy
nnG nnn 121 32211 [A1]
Vous remarquerez la speacutecificiteacute des termes figurant entre les derniegraveres parenthegraveses ougrave chaque part de revenu de la plus eacuteleveacutee agrave la plus faible est multiplieacutee par le rang des individus dans la distribution des revenus du plus bas au plus eacuteleveacute de maniegravere agrave ce que la part la plus importante ait le rang 1 et la plus petite le rang n Cette correspondance apparaicirct encore mieux dans un exemple ougrave n=3 En rappelant la deacutefinition des q et des p on obtient
133 1
032
031
0
0300 0
3321
3
221
2
11
1
00
0
===+++
=
=++
=
=+
=
=====
pY
yyyq
pY
yyq
pY
yq
np
Yy
q
Substituer ces valeurs dans lrsquoeacutequation [2] dans le texte donne
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++minus=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++minus=
Yy
Yy
Yy
Yyy
Yyyy
Yy
Yyy
YyG 123213211211
1 35
33
311
31
31
311
[A2] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 1 Maintenant reacuteeacutecrivons lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++minus+=Yy
Yy
Yy
G 1232 32
32
311
[A3] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 2 Maintenant reacuteeacutecrivons [A2] et [A3] de maniegravere plus commode en manipulant les crochets
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus=
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
G 12121231 2
32
311
34
32
311
[A4]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +minusminus+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyyyG 121212123
2 232
3112
32
32
3112
32
311
[A5] comme lrsquoexpression entre parenthegraveses dans les deux eacutequations est eacutegale agrave 1 pour n=3 il est tregraves facile de veacuterifier que les deux expressions donnent le mecircme reacutesultat (G =G1 2) La formule [A1] souvent utiliseacutee dans les applications opeacuterationnelles est donc entiegraverement baseacutee sur la deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini
101 Indice de Gini avec formule de covariance
Dans le texte nous avons montreacute que lrsquoindice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moyen et la covariance entre les niveaux y et la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Analytiquement
( ))(2 yFyCovy
G = [A6]
Cette formule eacutequivaut aussi agrave la formule [A1] Voyons pourquoi
( )[ ] ( )[ )(1 yFyCovyFyCov ]minusminus=Sachant que comme la valeur attendue de F(y) est frac12 et la valeur attendue de [1-F(y)] frac12 eacutegalement nous pouvons reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A6]
sous la forme ( )[ ])(12 yFyCov
yG minusminus=
Lrsquoeacutequivalence entre les formules [A6] et [A1] apparaicirct agrave nouveau pour un cas simplifieacute n=3 Tout drsquoabord il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( )()()( yFEyEyyFEyFyCov minus )= ougrave E correspond agrave la valeur attendue (la moyenne) drsquoune variable donneacutee Ensuite il convient de deacutefinir chaque composante de la covariance
( ) ( ) ( )32
333
32
31
)( 3
3
31
32
33
)(123
=++
==++
= yFEYyEyyy
yyFE
nous pouvons obtenir Par conseacutequent en tenant compte du fait que 321 yyyY ++=
( ) [ ]13123123 9
192
92
92
91
92
93)( yyyyyyyyyFyCov minus=minusminusminus++=
Module EASYPol 040 Outils analytiques
22
nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minussdot
sdot=
Yy
Yy
yyY
G 1313 3
29132
Maintenant sachant que pour n=3
1321 =++
Yyyy
on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
Yy
Yy
Yy 13111223321321
32
32
32
32
32
32
32
31
ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance
102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors
034
311
36
32
31132
32
311 =minus+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus+=yy
Yy
Yy
YyG
LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera
nn
Yy
YYG 1
32
32
31100
32
311 minus
==minus+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=
comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3
G deviendrait ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
+α
α+
αα
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyG 323323 32
32
31132
32
311
GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
+minus+=
000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
112
individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
Module EASYPol 040 Outils analytiques
24
11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES
Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
24 617-628
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 25
Meacutetadonneacutees du module
1 Module EASYPol 040
2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
Franccedilais
Espagnol
Autre
3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine
Anglais The Gini Index
Franccedilais
Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module
10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
Module EASYPol 040 Outils analytiques
26
11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini
Sommaire
1 Reacutesumeacute 1
2 Introduction1
3 Contexte conceptuel 2 31 Lrsquoindice de Gini 2 32 Lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (Gv) 6
4 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini9 41 Lrsquoindice de Gini 9 42 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute 11
5 Exemple numeacuterique du mode de calcul de lrsquoindice de Gini12 51 Indice de Gini standard deacuteriveacute de la courbe de Lorenz 12 52 Indice de Gini standard avec formule de covariance 13 53 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute 13
6 Proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini14
7 Intersection de Lorenz et indice de Gini 16
8 Synthegravese des proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee18
9 Remarques agrave lrsquointention des lecteurs 18 91 Liens EASYPol 18
10 Annexe I ndash Autres meacutethodes de calcul de lrsquoindice de Gini20 Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible 20 101 Indice de Gini avec formule de covariance 21 102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini 22
11 Ouvrages de reacutefeacuterence et autres ressources 24
Meacutetadonneacutees du module25
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 1
1 REacuteSUMEacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
2 INTRODUCTION
Objectifs
Ce module preacutesente lrsquoutilisation des indices de Gini standard et geacuteneacuteraliseacute compare les distributions de revenus et en explique les avantages et les inconveacutenients respectifs Public
Ce module srsquoadresse aux analystes des politiques actuels ou futurs deacutesireux drsquoajouter lrsquoanalyse des distributions de revenus agrave leurs capaciteacutes drsquoanalyse des impacts des politiques de deacuteveloppement sur lrsquoineacutegaliteacute De ce fait il constituera un document de reacutefeacuterence utile pour les eacuteconomistes et les praticiens travaillant dans des administrations publiques des ONG des organisations professionnelles ou des cabinets de conseil Les professeurs pourront lrsquoutiliser agrave lrsquoappui de leurs cours consacreacutes agrave lrsquoanalyse coucirctbeacuteneacutefice (ACB) et agrave lrsquoeacuteconomie du deacuteveloppement Enfin il permettra agrave toute personne qui le souhaite drsquoameacuteliorer ses compeacutetences en matiegravere drsquoACB et de compleacuteter sa formation Connaissances preacutealables requises
Les utilisateurs devront posseacuteder des notions eacuteleacutementaires de matheacutematiques et de statistiques et avoir maicirctriseacute les concepts
de distribution des revenus et drsquoineacutegaliteacute des revenus
de courbes de Lorenz
drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Des liens vers les modules EASYPol pertinents des ouvrages consacreacutes agrave ces sujets et des documents de reacutefeacuterence figurent dans les notes de bas de page et agrave la section 9 du preacutesent module1
1 Les liens hypertexte vers des documents EASYPol apparaissent en bleu
a) parcours de formation en gras souligneacute b) autres modules EASYPOL ou mateacuteriels EASYPOL compleacutementaires en italique gras souligneacute c) liens vers le glossaire en gras et d) liens externes en italique
Module EASYPol 040 Outils analytiques
2
3 CONTEXTE CONCEPTUEL
Lrsquoindice de Gini est un indicateur associeacute agrave lrsquoapproche descriptive de la mesure de lrsquoineacutegaliteacute Lambert (1993) a reacutesumeacute la base analytique permettant drsquoeacutetablir le rapport entre lrsquoindice de Gini et les fonctions de bien-ecirctre social et donc de le faire entrer dans le champ de lrsquoanalyse du bien-ecirctre Dans les pages suivantes nous nrsquoaborderons que lrsquoapproche descriptive Lrsquoapproche bien-ecirctre sera traiteacutee dans des outils plus avanceacutes Lrsquoindice de Gini est un indicateur drsquoineacutegaliteacute2 complexe et syntheacutetique comme de nombreux autres de mecircme nature De ce fait il fournit des informations condenseacutees sur la distribution des revenus mais pas sur ses caracteacuteristiques telles que localisation et forme Pour cet indice nous appliquons la logique des axiomes drsquoineacutegaliteacute3 dans la mesure ougrave ceux-ci constituent des critegraveres eacuteligibles drsquoeacutevaluation des performances des indicateurs
31 Lrsquoindice de Gini
Lrsquoindice de Gini a eacuteteacute eacutelaboreacute par Gini en 1912 et entretient un lien strict avec la repreacutesentation de lrsquoineacutegaliteacute des revenus agrave lrsquoaide de la courbe de Lorenz En particulier il mesure le ratio entre lrsquoaire situeacutee entre la courbe de Lorenz et la droite
deacutequidistribution (et donc lrsquoaire de concentration) et lrsquoaire de concentration maximale La figure 1 repreacutesente ces aires elle trace trois courbes de Lorenz agrave partir de trois distributions de revenus hypotheacutetiques A B et C La courbe baseacutee sur la distribution des revenus A est la courbe standard que donne lrsquoanalyse des distributions de revenus reacuteelles Celle de la distribution B repreacutesente le cas extrecircme ougrave tous les revenus sont eacutegaux Dans ce cas elle prend aussi le nom de droite drsquoeacutequidistribution Enfin la courbe de la distribution C illustre un autre cas extrecircme celui ougrave tous les revenus sont nuls sauf le dernier Dans la figure 1 OP est la droite drsquoeacutequidistribution et ORP lrsquoaire deacutefinie par la courbe de Lorenz de la distribution des revenus standard et la courbe drsquoeacutequidistribution baptiseacutee aire de concentration OPQ est lrsquoaire de concentration maximale cest-agrave-dire la zone entre la courbe de Lorenz de la distribution de revenus C et la droite drsquoeacutequidistribution La droite drsquoeacutequidistribution OP et lrsquoaire OPQ repreacutesentent les valeurs extrecircmes de lrsquoaire de concentration dans une courbe de Lorenz Soit cette aire est nulle (comme dans le cas de la droite drsquoeacutequidistribution de la distribution B) soit elle est maximale (cas de la distribution C) Pour une distribution des revenus standard lrsquoaire de concentration se situe quelque part entre zeacutero et lrsquoaire de concentration maximale comme dans la figure 1
2 Voir le module EASYPol 080 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute indicateurs simples dineacutegaliteacute 3 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 3
Lrsquoindice de Gini mesure le ratio entre lrsquoaire de concentration et lrsquoaire de concentration maximale Par conseacutequent dans la figure 1 [1]
OPQORPG ==
aire de concentration maximale
i d i aire de concentration
Comme lrsquoaire de concentration maximale correspond agrave une distribution ougrave un seul individu deacutetient la totaliteacute des revenus lrsquoindice de Gini G mesure en geacuteneacuteral la distance entre lrsquoaire deacutefinie par une quelconque distribution de revenus standard et lrsquoaire de concentration maximale Il faut maintenant comprendre comment srsquoapplique la formule de la figure 1 dans la pratique Commenccedilons par le deacutenominateur de G Nous avons deacutejagrave expliqueacute4 que les coordonneacutees maximales de la courbe de Lorenz se situent au point (11) Par conseacutequent lrsquoaire OPQ doit ecirctre un triangle posseacutedant une longueur de base de 1 et une hauteur de 1 Son aire est donc eacutegale agrave frac12 Le deacutenominateur de G est donc frac12 Figure 1 Courbe de Lorenz et indice de Gini
00
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
00 200 400 600 800 1000
Proportion cumuleacutee de la population ()
Pro
port
ion c
um
uleacute
e d
es
revenus
()
Dis_A Dis_B Dis_C
O
P
Q
ORP = Aire deconcentration
R
OPQ = Aire deconcentration
maximale
ORPOPQ
GINI =Aire de concentration
=Aire de concentration maximale
Mais qursquoen est-il du numeacuterateur Au lieu de calculer directement lrsquoaire de concentration nous pouvons exploiter le fait que cette aire repreacutesente la diffeacuterence entre lrsquoaire de concentration maximale et lrsquoaire sous la courbe de Lorenz (cette derniegravere eacutetant
4 Voir le module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute des revenus la courbe de Lorenz
Module EASYPol 040 Outils analytiques
4
donneacutee par ORPQ) Le mode de calcul le plus facile de lrsquoaire sous la courbe de Lorenz est deacutecrit ci-apregraves
5Commenccedilons par rappeler la deacutefinition des coordonneacutees de la courbe de Lorenz Si nyyy lelele 21
proportion cumuleacutee de la population
proportion cumuleacutee des revenus
21
21 21
rarr =
rarr+++
= + + + + + +
=
n i p
Yyyy
y y y y yy
q
i
i
n i
i ougrave q =p =0 et q =p0 0 n n=1 Lrsquoaire sous la courbe de Lorenz ORPQ est la somme des aires drsquoune seacuterie de polygones Regardons la figure 2 ougrave une courbe de Lorenz simplifieacutee a eacuteteacute creacuteeacutee pour une population de quatre individus Le premier polygone est un triangle (p q po 1 1) et les trois autres sont des trapegravezes isocegraveles pivoteacutes On peut donc calculer chaque aire seacutepareacutement et ajouter les reacutesultats obtenus pour obtenir la valeur de lrsquoaire globale Symbolisons lrsquoaire du iegraveme polygone par Zi et lrsquoaire totale obtenue de cette maniegravere par Z Lrsquoaire du triangle est donneacutee par
2
hauteur
1
base
11
qpZ = tandis que lrsquoaire de chaque trapegraveze est donneacutee par
( ) ( )2
hauteur
1
base longue + base courte
186minusminus minus+
= iiiii
ppqZ
q
Comme q =p =0 la somme de toutes ces aires donne 0 0
( )([ ]sumsum minusminus=
minus+==i
iiii
n
ii ppqqZZ 11
1 21 )
pour n=4
5 Voir le module EASYPOL 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute des revenus la courbe de Lorenz
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 5
Figure 2 Mode de calcul de lrsquoaire de concentration
TRIANGLE 1 TRAPEgraveZE 2 TRAPEgraveZE 4
TRAPEgraveZE 3
00
02
04
06
08
10
0 025 05 075 1
q1
q2
q3
q4
q0=p0 p1 p2 p3 p4
Aire de concentration (12)-Z
Cependant Z nrsquoest pas lrsquoaire de concentration mais lrsquoaire sous la courbe de Lorenz Pour calculer lrsquoaire de concentration (numeacuterateur de lrsquoindice de Gini) il suffit maintenant de soustraire Z de lrsquoaire de concentration maximale (frac12 ) comme suit
( )([ ]sum minusminus minus+minus=minus=i
iiii ppqqZ 1121
21
21ionconcentrat de Aire )
Selon [1] lrsquoindice de Gini G est donc eacutegal agrave
( )( )[ ]( )([ ]sum
summinusminus
minusminus
minus+minus=minus+minus
=i
iiiii
iiii
ppqqppqq
G 11
11
1
21
21
21
)
[2] que lrsquoon peut eacutegalement eacutecrire
ZG 21minus= [3] La formule ci-dessus indique seulement que lrsquoindice de Gini est eacutegal agrave 1 moins deux fois lrsquoaire sous la courbe de Lorenz
Module EASYPol 040 Outils analytiques
6
Cette interpreacutetation geacuteomeacutetrique baseacutee sur la courbe de Lorenz ne constitue que lrsquoun des modes de calcul possibles de lrsquoindice de Gini Une autre approche qui va srsquoaveacuterer particuliegraverement utile ci-apregraves consiste agrave exprimer directement lrsquoindice de Gini en termes de covariance entre les niveaux de revenus et la distribution cumuleacutee des revenus En particulier
( )( )y
yFyCovG 2=[4] ougrave Cov repreacutesente la covariance entre des niveaux de revenus y et la distribution cumuleacutee des mecircmes revenus F(y) et ougrave y est le revenu moyen Il est utile de rappeler ici que la covariance est la valeur attendue E des produits des eacutecarts sur la moyenne de chaque variable Soit dans ce cas preacutecis
[ ] [ ] [ ])()()( yFyFyyEyFyCov minussdotminus= [5]
32 Lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (Gv)
Pour eacutevaluer lrsquoimpact des politiques sur lrsquoineacutegaliteacute nous disposons drsquoune mesure suffisamment souple pour incarner les preacutefeacuterences de diffeacuterents deacutecisionnaires concernant par exemple le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Apregraves tout deux deacutecisionnaires adoptant des attitudes diffeacuterentes vis-agrave-vis de lrsquoineacutegaliteacute eacutevalueront diffeacuteremment les effets drsquoune mecircme politique Lrsquoindice de Gini eacutelaboreacute dans la section preacuteceacutedente (appeleacute ci-apregraves indice de Gini standard) ne permet pas de prendre en compte ces diffeacuterences drsquoattitude ou en drsquoautres termes le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute La geacuteneacuteralisation de lrsquoindice de Gini de Yitzhaki (1983) le rend deacutependant drsquoun degreacute speacutecifieacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute La formule correspondante est la suivante
G v( )= minus vy
Cov y 1minus F(y)( )vminus1⎡ ⎣ ⎢
⎤⎦⎥ [6]
ougrave tous les termes ont le mecircme sens que dans [4] et ougrave v exprime le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Lrsquoaffectation de diffeacuterentes valeurs agrave v risque de modifier la valeur de lrsquoindice de Gini du fait drsquoune pondeacuteration diffeacuterente des revenus agrave diffeacuterentes parties de leur distribution Agrave noter que lorsque v=2 lrsquoexpression [6] revient agrave lrsquoindice de Gini standard (expression [4]) Pour comprendre la signification de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute rappelons la deacutefinition eacutetendue suivante du terme de covariance dans [6]
( )[ ] [ ] ( ) ( )[ ])(1)(1)(1 yFyFyyEyFyCov minusminusminussdotminus=minus[7]
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 7
Les seconds crochets agrave la droite de lrsquoexpression [7] doivent ecirctre interpreacuteteacutes comme la pondeacuteration agrave affecter agrave chaque niveau de revenu crsquoest-agrave-dire agrave chaque eacutecart sur la moyenne du niveau de revenus (premiers crochets) Pour les bas revenus (infeacuterieurs au revenu moyen) le terme des premiers crochets est neacutegatif et le second positif Pour les revenus eacuteleveacutes (supeacuterieurs agrave la moyenne) la situation est inverseacutee Les eacutecarts sur la moyenne sont positifs tandis que le terme des seconds crochets est neacutegatif Agrave noter la proprieacuteteacute de la fonction de distribution cumuleacutee (FDC) sa moyenne est eacutegale agrave sa meacutediane (frac12) De ce fait la valeur des seconds crochets sera positive jusqursquoagrave la meacutediane de la FDC Cela signifie que la meacutediane de la distribution des revenus aura une pondeacuteration nulle puisque le revenu meacutedian est le niveau de revenu ougrave F(y) = frac12 Il nous faut maintenant comprendre ce qui arrive aux revenus situeacutes avant et apregraves la meacutediane quand la valeur de v augmente La figure 3 se penche sur ce problegraveme La droite rouge repreacutesente la diffeacuterence de [1-F(y)] sur la moyenne dans le cas standard de v=2 Elle coupe lrsquoaxe des x au niveau meacutedian de cette distribution de revenus hypotheacutetique Si nous prenons le cas ougrave v=3 (courbe noire eacutepaisse) on voit relativement facilement qursquoune fraction des personnes riches (agrave droite de lrsquointersection avec v=2 dans la zone sud-est du graphique) possegravede (en termes absolus) une pondeacuteration infeacuterieure que lorsque v=2 Cela concerne tous les revenus pour lesquels la courbe noire eacutepaisse se situe au-dessus de la droite rouge dans le graphique Dans le mecircme temps une fraction des personnes pauvres (agrave gauche de lrsquointersection avec v=2 dans la zone nord-ouest du graphique) preacutesente une pondeacuteration supeacuterieure que lorsque v=2 Cela concerne tous les revenus pour lesquels la courbe noire eacutepaisse se situe agrave nouveau au-dessus de la droite rouge dans le graphique Lorsque lrsquoon augmente v la fraction de personnes riches dont lrsquoeacutecart de revenus sur la moyenne reccediloit une pondeacuteration infeacuterieure agrave celle de v=2 augmente Dans le mecircme temps la fraction de personnes pauvres dont lrsquoeacutecart de revenus sur la moyenne reccediloit une pondeacuteration supeacuterieure agrave celle de v=2 diminue La figure 3 rend compte des cas ougrave v=2 v=4 v=8 et v=16 Par conseacutequent quand v augmente le nombre de bas revenus posseacutedant une pondeacuteration importante diminue et le nombre de personnes posseacutedant une pondeacuteration nulle augmente Dans le calcul de Gini augmenter v signifie donc se focaliser plutocirct sur lrsquoineacutegaliteacute dans une fraction progressivement infeacuterieure de la distribution des revenus6
6 Crsquoest la raison pour laquelle on considegravere souvent v comme un laquo paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute raquo
Module EASYPol 040 Outils analytiques
8
Figure 3 Pondeacuteration dans lrsquoindice de Gini
-06
-04
-02
00
02
04
06
08
10
Niveaux de revenus
(1-F
(y))
eacute
cart
s su
r la
moyenne
v=2 v=3 v=4 v=8 v=16
Quand v augmente un ensemble progressivement plus important drsquoindividus riches compte moins que quand v=2 Quand v=16 mecircme certaines personnes agrave bas revenus comptent pour zeacutero car une pauvreteacute plus extrecircme devient progressivement le point de focalisation
Quand v augmente un ensemble progressivement moindre drsquoindividus pauvres compte davantage que quand v=2 Plus v est eacuteleveacute plus le poids des individus diminue rapidement Quand v=16 peu de personnes agrave bas revenus comptent beaucoup
De ce fait lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute donne davantage de souplesse agrave leacutevaluation des programmes et des politiques de deacuteveloppement que lrsquoindice de Gini standard parce qursquoil permet drsquoincarner diffeacuterents degreacutes drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Pour mieux comprendre ce point utilisons lrsquoexemple du tableau 1 Tableau 1 Exemple de facteurs de pondeacuteration implicites dans lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Individus Revenus F(y) 1-F(y) [1-F(y)]v-
1 v=2
[1-F(y)]v-1
v=4
Revenus eacutecarts sur la
moyenne
[1-F(y)]v-1 v=2 eacutecarts
sur la moyenne
[1-F(y)]v-1 v=4 eacutecarts
sur la moyenne
Facteur de pondeacuteration
implicite quand v=2
Facteur de pondeacuteration
implicite quand v=4
1 1 000 020 080 080 051 -2 000 040 045 20 80
2 2 000 040 060 060 022 -1 000 020 015 15 343 3 000 060 040 040 006 0 000 000 10 10
4 4 000 080 020 020 001 1 000 -020 -006 05 01
5 5 000 100 000 000 000 2 000 -040 -006 00 00
Moyenne 3 000 060 040 040 006 Le tableau 1 rend compte de la distribution hypotheacutetique des revenus de cinq individus Pour chaque niveau de revenu la troisiegraveme et la quatriegraveme colonnes fournissent le reacutesultat du calcul de F(y) et de (1-F(y)) respectivement La cinquiegraveme et la sixiegraveme donnent le reacutesultat de la quatriegraveme colonne pour v=2 et v=4
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 9
Agrave noter que v=2 correspond agrave lrsquoindice de Gini standard et que v=4 inclut davantage de personnes agrave bas revenus dans la pondeacuteration La septiegraveme colonne indique lrsquoeacutecart de chaque revenu par rapport au revenu moyen Il est neacutegatif pour les bas revenus et positif pour les revenus eacuteleveacutes Nous devons simplement nous rappeler qursquoil fait partie du terme de covariance de [7] Les huitiegraveme et neuviegraveme colonnes calculent les eacutecarts sur la moyenne de lrsquoautre partie du terme de covariance de la formule [7] Que nous apprend la comparaison de ces colonnes Nous voyons facilement que la laquo pondeacuteration raquo affecteacutee aux revenus les plus bas est supeacuterieure avec v=4 qursquoavec v=2 Dans le mecircme temps la pondeacuteration de lindividu le plus riche descend rapidement agrave zeacutero quand v=4 Une meacutethode de calcul du facteur de pondeacuteration implicite de lrsquoindice de Gini consiste agrave deacutefinir le ratio entre la valeur de la fonction (1-F(y))v-1 agrave nimporte quel niveau de revenu et la valeur de cette mecircme fonction au niveau de revenu meacutedian Pour v=2 et v=4 ce calcul apparaicirct dans les deux derniegraveres colonnes du tableau 1 Quand v=2 le revenu le plus bas contribue deux fois plus au calcul de lrsquoindice de Gini que le revenu meacutedian Quand v=4 il y contribue huit fois plus Vous remarquerez eacutegalement que la contribution des revenus les plus eacuteleveacutes est infeacuterieure quand v=4
4 PROCEacuteDURE DEacuteTAILLEacuteE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
41 Lrsquoindice de Gini
La proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini est syntheacutetiseacutee dans la figure 4 baseacutee sur la formule [2] ci-dessus Il faut commencer par trier la distribution des revenus par niveaux de revenus (eacutetape 1) Agrave lrsquoeacutetape 2 nous calculons la distribution de revenus cumuleacutee Agrave lrsquoeacutetape 3 nous obtenons la proportion cumuleacutee des revenus (qi) en divisant chaque revenu cumuleacute par le total des revenus Lrsquoeacutetape 4 fournit la proportion cumuleacutee de la population (pi) Pour ce faire nous classons les individus par ordre croissant et nous attribuons le rang 1 agrave la personne au revenu le plus bas et le rang laquo n raquo agrave celle au revenu le plus eacuteleveacute puis nous divisons par n Agrave lrsquoeacutetape 5 nous calculons lrsquoaire des polygones Z1Z2 Z3Zn Le premier est un triangle les autres sont des trapegravezes (appliquez la formule figurant dans le texte) Agrave lrsquoeacutetape 6 nous additionnons toutes les aires pour obtenir lrsquoaire sous la courbe de Lorenz (Z) puis nous calculons lrsquoindice de Gini G=1-2Z La figure 4 fournit le deacuteroulement de cette proceacutedure
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10
Figure 4 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la distribution de revenus cumuleacutee
3Calculer la proportion cumuleacutee des revenus en divisant chaque revenu
cumuleacute par le total des revenus
4
Affecter le rang 1 au revenu le plus bas et le rang n au revenu le plus eacuteleveacute
puis calculer la proportion cumuleacutee de la population en divisant chaque rang
par n
5
Calculer laire des polygones en appliquant les formules fournies dans le
texte pour laire du triangle et des trapegravezes
6 Additionner toutes les aires pour obtenir Z puis calculer G = 1-2Z
Mais le texte fournit une autre formule de calcul direct de lrsquoindice de Gini (voir la formule [4]) baseacutee sur le terme de covariance Il est donc utile den fournir la proceacutedure de calcul deacutetailleacutee (voir la figure 5) Figure 5 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini agrave lrsquoaide de la formule de covariance
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la distribution de revenus par niveaux
de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer la covariance Cov(yF(y)) et le niveau de revenu moyen
4 Calculer Gini en appliquant la formule [4] fournie dans le texte
Lrsquoeacutetape 1 nous demande comme dhabitude de trier la distribution de revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 nous demande de calculer la FDC F(y)7
7 Voir le module EASYPOL 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de la pauvreteacute
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 11
Lrsquoeacutetape 3 nous demande simplement de prendre la covariance entre la distribution des niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee et le niveau de revenus moyen utiliseacutee dans le deacutenominateur de la formule[4] Enfin lrsquoeacutetape 4 applique directement la formule [4] fournie dans le texte
42 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
La figure 6 fournit les eacutetapes du calcul de la version geacuteneacuteraliseacutee de lrsquoindice de Gini Figure 6 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer 1-F(y) pour chaque revenu
4 Choisir la valeur du paramegravetre daversion pour lineacutegaliteacute v
5 Calculer [1-F(y)]v -1
6Calculer la covariance
Cov[y (1-F(y))v -1] et la moyenne de la distribution de revenus
7 Calculer Gini en appliquant la formule de covariance [6] fournie dans le texte
Les eacutetapes sont tregraves semblables agrave celles du calcul de lrsquoindice de Gini standard agrave lrsquoaide de la formule de covariance Les eacutetapes 1 et 2 sont mecircme identiques Par souci de commoditeacute du fait du mode drsquoexpression de la formule lrsquoeacutetape 3 nous demande de calculer pour chaque niveau de revenus la valeur de un moins la valeur de la fonction de distribution cumuleacutee agrave ce point Lrsquoeacutetape 4 est lrsquoeacuteleacutement le plus caracteacuteristique de cette proceacutedure car elle nous demande de choisir la valeur du paramegravetre de lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v Il suffit de nous souvenir que plus les valeurs de v sont eacuteleveacutees plus lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute est forte Lrsquoeacutetape 5 nous demande de calculer un eacuteleacutement du terme de covariance agrave savoir la valeur de (1-F(y))v-1 Agrave lrsquoeacutetape 6 nous devons calculer la covariance complegravete et le revenu moyen ce qui nous permettra drsquoappliquer la formule [6] fournie dans le texte pour obtenir lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (eacutetape 7)
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5 EXEMPLE NUMEacuteRIQUE DU MODE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
51 Indice de Gini standard deacuteriveacute de la courbe de Lorenz
Le calcul de lrsquoindice de Gini deacuteriveacute de la courbe de Lorenz figure dans le tableau 2 ougrave nous supposons lrsquoexistence drsquoune distribution de revenus agrave cinq individus (et cinq revenus) Lrsquoeacutetape 1 neacutecessite simplement de trier cette distribution par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 en revanche nous demande de calculer la distribution cumuleacutee des revenus Le reacutesultat de ce calcul est 15 000 uniteacutes de revenu soit le revenu total de lrsquoeacuteconomie Tableau 2 Exemple numeacuterique du calcul de lrsquoindice de Gini (deacuteriveacute de la courbe de Lorenz)
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 6
Calculer le revenu cumuleacute
Calculer la proportion
cumuleacutee des revenus (qi)
Affecter un rang aux revenus
Calculer la proportion
cumuleacutee de la population (pi)
Calculer laire des polygones
(Z)
Calculer lindice de
Gini
IndividuDistribution des revenus
Revenu cumuleacuteProportion
cumuleacutee des revenus
RangsProportion
cumuleacutee de la population
Aire des polygones
Indice de Gini
1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100
0100
EacuteTAPE 1
Trier la distribution de revenus
EacuteTAPE 4
Valeur de Z laire sous la courbe de Lorenz
G = 1 - 2Z
Aire du premier triangle
Aire de chaque trapegraveze
Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2
0007=[0067 x 02]2
Lrsquoeacutetape 3 transforme la distribution de revenus cumuleacutee en proportion cumuleacutee des revenus Le reacutesultat est 1 Rappelons-nous simplement que ces valeurs sont les qi introduits dans la section 31 ci-dessus Conformeacutement au tri de la distribution des revenus de lrsquoeacutetape 1 un rang croissant (de 1 agrave n) est affecteacute agrave chaque revenu (eacutetape 4) Ces rangs sont ensuite transformeacutes en proportion cumuleacutee de la population Ce calcul donne les p traiteacutes dans la section 31i ci-dessus Lorsque nous disposons de q et de p pour tous les niveaux de revenus nous pouvons calculer lrsquoaire des polygones sous la courbe de Lorenz Il suffit de nous rappeler que le premier est un triangle et que les autres sont des trapegravezes Pour ce faire lrsquoeacutetape 5 applique les formules preacutesenteacutees dans la section 31 La somme de ces aires donne Z crsquoest-agrave-dire lrsquoaire totale sous la courbe de Lorenz
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 13
Enfin lrsquoeacutetape 6 est lrsquoapplication meacutecanique de la formule [6] fournie dans le texte Elle donne un indice de Gini de 0267
52 Indice de Gini standard avec formule de covariance
Le tableau 3 fournit un exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule [4] de covariance preacutesenteacutee dans le texte Les eacutetapes sont ici moins nombreuses Leacutetape 1 change pas et consiste agrave trier la distribution des revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 demande de calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Lrsquoeacutetape 3 neacutecessite de calculer les deux paramegravetres essentiels agrave appliquer agrave la formule de covariance la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee (dont la valeur est de 400 dans lrsquoexemple) et le niveau de revenus moyen soit 3 000 uniteacutes de revenu Tableau 3 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule de covariance
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 4
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer la covariance Cov
(y F(y))
Calculer le niveau
moyen de revenu
Calculer Gini agrave laide la
formule [4]
Individu
A - Distribution des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacuteeCovariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267
EacuteTAPE 1
Trier la distribution des revenus
EacuteTAPE 3
Lrsquoapplication de la formule [4] fournie dans le texte donne une valeur drsquoindice de Gini eacutegale agrave 0267 (bien eacutevidemment identique agrave celle du tableau 2 )
53 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Nous nous sommes servis de la formule de covariance pour expliquer qursquoil est possible de rendre lrsquoindice de Gini standard sensible agrave un degreacute donneacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Le tableau 4 fournit un exemple de traitement de cette geacuteneacuteralisation agrave lrsquoaide de la mecircme distribution de revenus que dans les tableaux 2 et 3
Module EASYPol 040 Outils analytiques
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Tableau 4 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 4 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 7
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer 1 - F(y)
Choisir vCalculer
[1 - F(y)](v-1)
Calculer la covariance
Cov (y F(y))
Calculer le niveau de revenu
moyen
Calculer Gini agrave laide de la formule [4]
Individu
A - Distribution
des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacutee1 - F(y) v [1 - F(y)](v-1) Covariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246
EacuteTAPE 1 EacuteTAPE 6
Trier la distribution des revenus
Les eacutetapes 1 et 2 sont identiques agrave celles du tableau 3 En revanche lrsquoeacutetape 3 requiert de calculer les valeurs de un moins la fonction de distribution cumuleacutee Lrsquoeacutetape 4 introduit le paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v auquel nous avons choisi drsquoattribuer la valeur 4 Par conseacutequent chaque montant calculeacute agrave lrsquoeacutetape 3 passe agrave la puissance (v-1) crsquoest-agrave-dire 3 (eacutetape 5) Lrsquoeacutetape 6 calcule les deux paramegravetres essentiels le terme de covariance (-246 dans lrsquoexemple) et le revenu moyen (3 000) Lrsquoeacutetape 7 applique la formule [6] fournie dans le texte et donne un indice de Gini de 0246 Cette valeur est diffeacuterente de celle obtenue avec lrsquoindice de Gini standard car des pondeacuterations diffeacuterentes ont eacuteteacute attribueacutees aux mecircmes revenus
6 PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LrsquoINDICE DE GINI
Cette section deacutecrit les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini en termes des axiomes qursquoil respecte 8
Comme la plupart de ces proprieacuteteacutes sont communes aux indices de Gini standard et geacuteneacuteraliseacute nous les traiterons ensemble tout en signalant leurs diffeacuterences majeures Les principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini sont les suivantes la limite infeacuterieure de G est zeacutero quelle que soit la valeur de v Quand tous les
revenus sont eacutegaux la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee est nulle et lrsquoindice de Gini est donc zeacutero Concernant lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini standard notez que quand tous les revenus sont eacutegaux la courbe de Lorenz est eacutegale agrave la droite drsquoeacutequidistribution Par conseacutequent la somme des aires des polygones (Z) est eacutegale agrave frac12 crsquoest-agrave-dire la somme du triangle sous la courbe de Lorenz De ce fait lrsquoindice de Gini (1ndash 2Z) est eacutegal agrave zeacutero
8 Voir le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes
(disponible en anglais) pour en savoir plus sur les axiomes dans la mesure de lrsquoineacutegaliteacute de mesure
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 15
nn 1minus la limite supeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard G est Dans les tregraves grandes
populations la limite de cette valeur est 1 Quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier celui-ci est aussi eacutegal au revenu total y=Y Autrement dit il ne faut calculer qursquoune seule aire celle du dernier trapegraveze Cependant dans les tregraves grandes populations cette aire tend agrave ecirctre plus petite Dans la limite (crsquoest-agrave-dire dans un cadre continu) la valeur de lrsquoaire Z tend vers zeacutero et donc lrsquoindice de Gini tend vers
1 Dans la geacuteneacuteralisation la limite supeacuterieure de G(v) est n
nv
12 minus Souvenez-vous
que dans lrsquoindice de Gini standard v=2 lrsquoindice de Gini est invariant agrave lrsquoeacutechelle La multiplication de tous les revenus par
un facteur α ne modifie pas la valeur de lrsquoindice de Gini G Intuitivement quand tous les revenus sont redimensionneacutes par un facteur commun la distribution cumuleacutee des revenus ne change pas car une fraction donneacutee de la population continue agrave deacutetenir la mecircme fraction du revenu total Les aires sous la courbe de Lorenz demeurent donc identiques Dans le cas de la formule de covariance lrsquoapplication drsquoun facteur commun agrave tous les revenus augmente la covariance et le revenu moyen dans la mecircme mesure Lrsquoindice de Gini ne change pas Cela vaut eacutegalement pour G(v)
en revanche lrsquoindice de Gini G nrsquoest pas invariant agrave la translation Si lrsquoon
ajoutesoustrait la mecircme somme agrave tous les revenus il augmente (ou diminue) en conseacutequence Cela vaut eacutegalement pour G(v)
lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts quelle que soit la valeur de v
Si le revenu est redistribueacute drsquoindividus relativement riches agrave des individus relativement pauvres G et G(v) diminuent Lrsquoinverse est vrai si le revenu est redistribueacute de personnes relativement pauvres agrave des personnes relativement riches Dans le cas de lrsquoindice de Gini standard nous remarquons que la taille du changement deacutecoulant de la variation de lrsquoun quelconque des revenus deacutepend du rang des individus participant agrave la redistribution et de la taille de lrsquoeacutechantillon Elle ne deacutepend pas du niveau des revenus individuels redistribueacutes mais du total des revenus Plus preacuteciseacutement lrsquoindice de Gini reacuteagit davantage agrave une redistribution entre individus preacutesentant une grande diffeacuterence de rang De fait agrave quantiteacute de redistribution eacutegale lrsquoeffet est beaucoup plus faible si les deux individus sont de rang proche
Le tableau 5 illustre le principe de fonctionnement des principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini Dans la colonne de gauche figurent trois simulations de distributions de revenus La premiegravere est une distribution laquo type raquo classeacutee par niveaux de revenus Les individus de la seconde ont tous le mecircme revenu Les individus de la troisiegraveme ont tous un revenu nul sauf le dernier
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16
Pour la distribution de revenus type A lrsquoindice de Gini est de 0267 Pour les revenus eacutequidistribueacutes B il est nul et pour la distribution la plus concentreacutee C il est de 08
( 80541
==minusn
n )
Pour une augmentation de tous les revenus de 20 pour-cent la cinquiegraveme colonne montre que lrsquoindice de Gini demeurerait inchangeacute agrave 0267 (proprieacuteteacute drsquoinvariance agrave lrsquoeacutechelle) Ce ne serait pas le cas pour une augmentation de tous les revenus du mecircme montant absolu (par exemple 2 000 uniteacutes de revenu dans le texte) Dans ce cas le tableau 5 montre que lrsquoindice de Gini serait plus bas (0160) Cet indice nrsquoest pas invariant agrave la translation Lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts Si nous redistribuons par exemple 500 uniteacutes de revenu des plus riches au plus pauvres il sera infeacuterieur (0213) dans le texte Agrave noter que les mecircmes transferts entre individus de rang proche (derniegravere colonne du tableau 5) donnent toujours lieu agrave un indice de Gini plus bas (0253) mais supeacuterieur au cas preacuteceacutedent (0213) Cela montre que lrsquoindice est plus sensible aux transferts entre individus de rangs eacuteloigneacutes
Tableau 5 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
IndividuA - Distribution des
revenus type
B - Distribution des revenus avec
revenus eacutegaux
C - Distribution des revenus avec un
seul revenu
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 20 pour-cent de tous les revenus
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 2 000 USD de tous
les revenus
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 500 USD du plus riche au plus pauvre
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 200
USD par deux individus de rang
proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000
Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000
GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253
INCHANGEacute DIMINUEacute DIMINUEacute DIMINUEacute
entre individus de rang proche
Lindice de Gini reacuteagit moins aux transferts
7 INTERSECTION DE LORENZ ET INDICE DE GINI
Nous avons vu qursquoil est possible de deacuteriver lrsquoindice de Gini drsquoune courbe de Lorenz En dautres termes indice de Gini et courbe de Lorenz sont en coheacuterence Il faut neacuteanmoins rappeler que lrsquoordre fourni par les courbes de Lorenz et en particulier par la dominance
de Lorenz est partiel car quand ces courbes ne coupent rien nous sommes agrave mecircme de dire quelle distribution des revenus preacutesente le plus drsquoineacutegaliteacute Agrave lrsquoinverse lrsquoindice de Gini fournit un ordre complet puisqursquoil reacuteduit lrsquointeacutegraliteacute de la distribution des revenus agrave un seul nombre La diffeacuterence eacuteleacutementaire entre ces deux approches devient apparente en cas drsquointersection des courbes de Lorenz Prenons par exemple les deux distributions de
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 17
revenus du tableau 6 Les revenus sont distribueacutes diffeacuteremment mais lrsquoindice de Gini est le mecircme (0200) Tableau 6 Deux distributions de revenus posseacutedant le mecircme indice de Gini
IndividusDistribution des
revenus XDistribution des
revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500
Revenu total20 000 20 000
Gini 0200 0200 Ces deux distributions sont figureacutees par les courbes de Lorenz de la figure 7 Comme elles se coupent on ne peut pas srsquoen servir pour les classer en termes drsquoineacutegaliteacute des revenus Mais la maniegravere dont elles se coupent donne des aires de mecircme valeur avant et apregraves lrsquointersection Du coup lrsquoindice de Gini est identique en deacutepit de diffeacuterences de revenus importantes Figure 7 Intersection de courbes de Lorenz
00
02
04
06
08
10
00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y
Distributions de revenus diffeacuterentesIntersection de LorenzMecircme indice de Gini
Aire de concentrationavant intersection
Aire de concentrationapregraves intersection
Module EASYPol 040 Outils analytiques
18
8 SYNTHEgraveSE DES PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LINDICE DE GINI ET DE SA VERSION GEacuteNEacuteRALISEacuteE
Le tableau 7 syntheacutetise les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee Ces proprieacuteteacutes reflegravetent la structure des axiomes9
Il est inteacuteressant de noter tout drsquoabord que la limite infeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard et de sa version geacuteneacuteraliseacutee est zeacutero alors que sa limite supeacuterieure est diffeacuterencieacutee Cette derniegravere est tregraves proche de 1 (pour les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini standard et tend vers 2v (toujours dans les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute Les deux versions de lrsquoindice de Gini respectent le principe des transferts mais il faut rappeler que lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts de revenus entre individus situeacutes agrave des positions (rang) eacuteloigneacutees dans la distribution des revenus Les deux versions sont invariantes agrave lrsquoeacutechelle et non invariantes agrave la translation et respectent le principe de population Cette structure fait de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee deux indicateurs drsquoineacutegaliteacute relative La grande utiliteacute de leurs caracteacuteristiques dans la pratique explique le fort inteacuterecirct qursquoils suscitent Tableau 7 Indice de Gini et ses proprieacuteteacutes utiles
LIMITE
INFLIMITE SUP
Principe des transferts
Invariance agrave leacutechelle
Invariance agrave la translation
Principe de population
Indice dineacutegaliteacute relative (IIR)
Inteacuterecirct
Gini 0 (n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
Gv 0 (2v )(n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
9 REMARQUES Agrave LrsquoINTENTION DES LECTEURS
91 Liens EASYPol
Les lecteurs pourront se tourner vers certains modules EASYPol pour renforcer leurs acquis de base et approfondir leurs connaissances sur lrsquoineacutegaliteacute et sa mesure Le preacutesent module fait partie drsquoun ensemble de documents expliquant les modaliteacutes de comparaison en termes drsquoineacutegaliteacute des distributions de revenus geacuteneacutereacutees par diffeacuterentes options des politiques Il appartient au parcours de formation Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des politiques
9 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses
axiomes de mesure (disponible en anglais)
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 19
Les modules EASYPol suivants preacutecegravedent logiquement le document preacutesent et pourront renforcer les connaissances des utilisateurs
Module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute courbe de Lorenz
Module EASYPol 001 Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz
EASYPol Module 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de pauvreteacute
Module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure (disponible en anglais)
Les points traiteacutes dans ce module sont approfondis dans les documents suivants
Module EASYPol 002 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz geacuteneacuteraliseacute
Module EASYPol 041 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social bien-ecirctre social fonctions de bien-ecirctre social et aversion pour lineacutegaliteacute (disponible en anglais)
Le module EASYPol 042 Impacts sur lineacutegaliteacute et la pauvreteacute de certaines
politiques agricoles cas du Paraguay est une eacutetude de cas de la mesure agrave lrsquoaide de lrsquoindice de Gini des impacts drsquoune politique agricole sur lrsquoineacutegaliteacute dans le contexte drsquoun exercice de simulation bacircti agrave partir de donneacutees reacuteelles
Module EASYPol 040 Outils analytiques
20
10 ANNEXE I ndash AUTRES MEacuteTHODES DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible
La deacuterivation de lrsquoindice de Gini par les courbes de Lorenz preacutesente une correspondance directe avec une autre meacutethode plutocirct lourde de calcul de cet indicateur
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+= minusminus
Yy
nY
yY
yYy
nnG nnn 121 32211 [A1]
Vous remarquerez la speacutecificiteacute des termes figurant entre les derniegraveres parenthegraveses ougrave chaque part de revenu de la plus eacuteleveacutee agrave la plus faible est multiplieacutee par le rang des individus dans la distribution des revenus du plus bas au plus eacuteleveacute de maniegravere agrave ce que la part la plus importante ait le rang 1 et la plus petite le rang n Cette correspondance apparaicirct encore mieux dans un exemple ougrave n=3 En rappelant la deacutefinition des q et des p on obtient
133 1
032
031
0
0300 0
3321
3
221
2
11
1
00
0
===+++
=
=++
=
=+
=
=====
pY
yyyq
pY
yyq
pY
yq
np
Yy
q
Substituer ces valeurs dans lrsquoeacutequation [2] dans le texte donne
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++minus=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++minus=
Yy
Yy
Yy
Yyy
Yyyy
Yy
Yyy
YyG 123213211211
1 35
33
311
31
31
311
[A2] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 1 Maintenant reacuteeacutecrivons lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++minus+=Yy
Yy
Yy
G 1232 32
32
311
[A3] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 2 Maintenant reacuteeacutecrivons [A2] et [A3] de maniegravere plus commode en manipulant les crochets
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus=
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
G 12121231 2
32
311
34
32
311
[A4]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +minusminus+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyyyG 121212123
2 232
3112
32
32
3112
32
311
[A5] comme lrsquoexpression entre parenthegraveses dans les deux eacutequations est eacutegale agrave 1 pour n=3 il est tregraves facile de veacuterifier que les deux expressions donnent le mecircme reacutesultat (G =G1 2) La formule [A1] souvent utiliseacutee dans les applications opeacuterationnelles est donc entiegraverement baseacutee sur la deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini
101 Indice de Gini avec formule de covariance
Dans le texte nous avons montreacute que lrsquoindice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moyen et la covariance entre les niveaux y et la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Analytiquement
( ))(2 yFyCovy
G = [A6]
Cette formule eacutequivaut aussi agrave la formule [A1] Voyons pourquoi
( )[ ] ( )[ )(1 yFyCovyFyCov ]minusminus=Sachant que comme la valeur attendue de F(y) est frac12 et la valeur attendue de [1-F(y)] frac12 eacutegalement nous pouvons reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A6]
sous la forme ( )[ ])(12 yFyCov
yG minusminus=
Lrsquoeacutequivalence entre les formules [A6] et [A1] apparaicirct agrave nouveau pour un cas simplifieacute n=3 Tout drsquoabord il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( )()()( yFEyEyyFEyFyCov minus )= ougrave E correspond agrave la valeur attendue (la moyenne) drsquoune variable donneacutee Ensuite il convient de deacutefinir chaque composante de la covariance
( ) ( ) ( )32
333
32
31
)( 3
3
31
32
33
)(123
=++
==++
= yFEYyEyyy
yyFE
nous pouvons obtenir Par conseacutequent en tenant compte du fait que 321 yyyY ++=
( ) [ ]13123123 9
192
92
92
91
92
93)( yyyyyyyyyFyCov minus=minusminusminus++=
Module EASYPol 040 Outils analytiques
22
nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minussdot
sdot=
Yy
Yy
yyY
G 1313 3
29132
Maintenant sachant que pour n=3
1321 =++
Yyyy
on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
Yy
Yy
Yy 13111223321321
32
32
32
32
32
32
32
31
ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance
102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors
034
311
36
32
31132
32
311 =minus+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus+=yy
Yy
Yy
YyG
LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera
nn
Yy
YYG 1
32
32
31100
32
311 minus
==minus+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=
comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3
G deviendrait ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
+α
α+
αα
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyG 323323 32
32
31132
32
311
GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
+minus+=
000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
112
individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
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24
11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES
Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
24 617-628
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 25
Meacutetadonneacutees du module
1 Module EASYPol 040
2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
Franccedilais
Espagnol
Autre
3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine
Anglais The Gini Index
Franccedilais
Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module
10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
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26
11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 1
1 REacuteSUMEacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
2 INTRODUCTION
Objectifs
Ce module preacutesente lrsquoutilisation des indices de Gini standard et geacuteneacuteraliseacute compare les distributions de revenus et en explique les avantages et les inconveacutenients respectifs Public
Ce module srsquoadresse aux analystes des politiques actuels ou futurs deacutesireux drsquoajouter lrsquoanalyse des distributions de revenus agrave leurs capaciteacutes drsquoanalyse des impacts des politiques de deacuteveloppement sur lrsquoineacutegaliteacute De ce fait il constituera un document de reacutefeacuterence utile pour les eacuteconomistes et les praticiens travaillant dans des administrations publiques des ONG des organisations professionnelles ou des cabinets de conseil Les professeurs pourront lrsquoutiliser agrave lrsquoappui de leurs cours consacreacutes agrave lrsquoanalyse coucirctbeacuteneacutefice (ACB) et agrave lrsquoeacuteconomie du deacuteveloppement Enfin il permettra agrave toute personne qui le souhaite drsquoameacuteliorer ses compeacutetences en matiegravere drsquoACB et de compleacuteter sa formation Connaissances preacutealables requises
Les utilisateurs devront posseacuteder des notions eacuteleacutementaires de matheacutematiques et de statistiques et avoir maicirctriseacute les concepts
de distribution des revenus et drsquoineacutegaliteacute des revenus
de courbes de Lorenz
drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Des liens vers les modules EASYPol pertinents des ouvrages consacreacutes agrave ces sujets et des documents de reacutefeacuterence figurent dans les notes de bas de page et agrave la section 9 du preacutesent module1
1 Les liens hypertexte vers des documents EASYPol apparaissent en bleu
a) parcours de formation en gras souligneacute b) autres modules EASYPOL ou mateacuteriels EASYPOL compleacutementaires en italique gras souligneacute c) liens vers le glossaire en gras et d) liens externes en italique
Module EASYPol 040 Outils analytiques
2
3 CONTEXTE CONCEPTUEL
Lrsquoindice de Gini est un indicateur associeacute agrave lrsquoapproche descriptive de la mesure de lrsquoineacutegaliteacute Lambert (1993) a reacutesumeacute la base analytique permettant drsquoeacutetablir le rapport entre lrsquoindice de Gini et les fonctions de bien-ecirctre social et donc de le faire entrer dans le champ de lrsquoanalyse du bien-ecirctre Dans les pages suivantes nous nrsquoaborderons que lrsquoapproche descriptive Lrsquoapproche bien-ecirctre sera traiteacutee dans des outils plus avanceacutes Lrsquoindice de Gini est un indicateur drsquoineacutegaliteacute2 complexe et syntheacutetique comme de nombreux autres de mecircme nature De ce fait il fournit des informations condenseacutees sur la distribution des revenus mais pas sur ses caracteacuteristiques telles que localisation et forme Pour cet indice nous appliquons la logique des axiomes drsquoineacutegaliteacute3 dans la mesure ougrave ceux-ci constituent des critegraveres eacuteligibles drsquoeacutevaluation des performances des indicateurs
31 Lrsquoindice de Gini
Lrsquoindice de Gini a eacuteteacute eacutelaboreacute par Gini en 1912 et entretient un lien strict avec la repreacutesentation de lrsquoineacutegaliteacute des revenus agrave lrsquoaide de la courbe de Lorenz En particulier il mesure le ratio entre lrsquoaire situeacutee entre la courbe de Lorenz et la droite
deacutequidistribution (et donc lrsquoaire de concentration) et lrsquoaire de concentration maximale La figure 1 repreacutesente ces aires elle trace trois courbes de Lorenz agrave partir de trois distributions de revenus hypotheacutetiques A B et C La courbe baseacutee sur la distribution des revenus A est la courbe standard que donne lrsquoanalyse des distributions de revenus reacuteelles Celle de la distribution B repreacutesente le cas extrecircme ougrave tous les revenus sont eacutegaux Dans ce cas elle prend aussi le nom de droite drsquoeacutequidistribution Enfin la courbe de la distribution C illustre un autre cas extrecircme celui ougrave tous les revenus sont nuls sauf le dernier Dans la figure 1 OP est la droite drsquoeacutequidistribution et ORP lrsquoaire deacutefinie par la courbe de Lorenz de la distribution des revenus standard et la courbe drsquoeacutequidistribution baptiseacutee aire de concentration OPQ est lrsquoaire de concentration maximale cest-agrave-dire la zone entre la courbe de Lorenz de la distribution de revenus C et la droite drsquoeacutequidistribution La droite drsquoeacutequidistribution OP et lrsquoaire OPQ repreacutesentent les valeurs extrecircmes de lrsquoaire de concentration dans une courbe de Lorenz Soit cette aire est nulle (comme dans le cas de la droite drsquoeacutequidistribution de la distribution B) soit elle est maximale (cas de la distribution C) Pour une distribution des revenus standard lrsquoaire de concentration se situe quelque part entre zeacutero et lrsquoaire de concentration maximale comme dans la figure 1
2 Voir le module EASYPol 080 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute indicateurs simples dineacutegaliteacute 3 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 3
Lrsquoindice de Gini mesure le ratio entre lrsquoaire de concentration et lrsquoaire de concentration maximale Par conseacutequent dans la figure 1 [1]
OPQORPG ==
aire de concentration maximale
i d i aire de concentration
Comme lrsquoaire de concentration maximale correspond agrave une distribution ougrave un seul individu deacutetient la totaliteacute des revenus lrsquoindice de Gini G mesure en geacuteneacuteral la distance entre lrsquoaire deacutefinie par une quelconque distribution de revenus standard et lrsquoaire de concentration maximale Il faut maintenant comprendre comment srsquoapplique la formule de la figure 1 dans la pratique Commenccedilons par le deacutenominateur de G Nous avons deacutejagrave expliqueacute4 que les coordonneacutees maximales de la courbe de Lorenz se situent au point (11) Par conseacutequent lrsquoaire OPQ doit ecirctre un triangle posseacutedant une longueur de base de 1 et une hauteur de 1 Son aire est donc eacutegale agrave frac12 Le deacutenominateur de G est donc frac12 Figure 1 Courbe de Lorenz et indice de Gini
00
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
00 200 400 600 800 1000
Proportion cumuleacutee de la population ()
Pro
port
ion c
um
uleacute
e d
es
revenus
()
Dis_A Dis_B Dis_C
O
P
Q
ORP = Aire deconcentration
R
OPQ = Aire deconcentration
maximale
ORPOPQ
GINI =Aire de concentration
=Aire de concentration maximale
Mais qursquoen est-il du numeacuterateur Au lieu de calculer directement lrsquoaire de concentration nous pouvons exploiter le fait que cette aire repreacutesente la diffeacuterence entre lrsquoaire de concentration maximale et lrsquoaire sous la courbe de Lorenz (cette derniegravere eacutetant
4 Voir le module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute des revenus la courbe de Lorenz
Module EASYPol 040 Outils analytiques
4
donneacutee par ORPQ) Le mode de calcul le plus facile de lrsquoaire sous la courbe de Lorenz est deacutecrit ci-apregraves
5Commenccedilons par rappeler la deacutefinition des coordonneacutees de la courbe de Lorenz Si nyyy lelele 21
proportion cumuleacutee de la population
proportion cumuleacutee des revenus
21
21 21
rarr =
rarr+++
= + + + + + +
=
n i p
Yyyy
y y y y yy
q
i
i
n i
i ougrave q =p =0 et q =p0 0 n n=1 Lrsquoaire sous la courbe de Lorenz ORPQ est la somme des aires drsquoune seacuterie de polygones Regardons la figure 2 ougrave une courbe de Lorenz simplifieacutee a eacuteteacute creacuteeacutee pour une population de quatre individus Le premier polygone est un triangle (p q po 1 1) et les trois autres sont des trapegravezes isocegraveles pivoteacutes On peut donc calculer chaque aire seacutepareacutement et ajouter les reacutesultats obtenus pour obtenir la valeur de lrsquoaire globale Symbolisons lrsquoaire du iegraveme polygone par Zi et lrsquoaire totale obtenue de cette maniegravere par Z Lrsquoaire du triangle est donneacutee par
2
hauteur
1
base
11
qpZ = tandis que lrsquoaire de chaque trapegraveze est donneacutee par
( ) ( )2
hauteur
1
base longue + base courte
186minusminus minus+
= iiiii
ppqZ
q
Comme q =p =0 la somme de toutes ces aires donne 0 0
( )([ ]sumsum minusminus=
minus+==i
iiii
n
ii ppqqZZ 11
1 21 )
pour n=4
5 Voir le module EASYPOL 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute des revenus la courbe de Lorenz
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 5
Figure 2 Mode de calcul de lrsquoaire de concentration
TRIANGLE 1 TRAPEgraveZE 2 TRAPEgraveZE 4
TRAPEgraveZE 3
00
02
04
06
08
10
0 025 05 075 1
q1
q2
q3
q4
q0=p0 p1 p2 p3 p4
Aire de concentration (12)-Z
Cependant Z nrsquoest pas lrsquoaire de concentration mais lrsquoaire sous la courbe de Lorenz Pour calculer lrsquoaire de concentration (numeacuterateur de lrsquoindice de Gini) il suffit maintenant de soustraire Z de lrsquoaire de concentration maximale (frac12 ) comme suit
( )([ ]sum minusminus minus+minus=minus=i
iiii ppqqZ 1121
21
21ionconcentrat de Aire )
Selon [1] lrsquoindice de Gini G est donc eacutegal agrave
( )( )[ ]( )([ ]sum
summinusminus
minusminus
minus+minus=minus+minus
=i
iiiii
iiii
ppqqppqq
G 11
11
1
21
21
21
)
[2] que lrsquoon peut eacutegalement eacutecrire
ZG 21minus= [3] La formule ci-dessus indique seulement que lrsquoindice de Gini est eacutegal agrave 1 moins deux fois lrsquoaire sous la courbe de Lorenz
Module EASYPol 040 Outils analytiques
6
Cette interpreacutetation geacuteomeacutetrique baseacutee sur la courbe de Lorenz ne constitue que lrsquoun des modes de calcul possibles de lrsquoindice de Gini Une autre approche qui va srsquoaveacuterer particuliegraverement utile ci-apregraves consiste agrave exprimer directement lrsquoindice de Gini en termes de covariance entre les niveaux de revenus et la distribution cumuleacutee des revenus En particulier
( )( )y
yFyCovG 2=[4] ougrave Cov repreacutesente la covariance entre des niveaux de revenus y et la distribution cumuleacutee des mecircmes revenus F(y) et ougrave y est le revenu moyen Il est utile de rappeler ici que la covariance est la valeur attendue E des produits des eacutecarts sur la moyenne de chaque variable Soit dans ce cas preacutecis
[ ] [ ] [ ])()()( yFyFyyEyFyCov minussdotminus= [5]
32 Lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (Gv)
Pour eacutevaluer lrsquoimpact des politiques sur lrsquoineacutegaliteacute nous disposons drsquoune mesure suffisamment souple pour incarner les preacutefeacuterences de diffeacuterents deacutecisionnaires concernant par exemple le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Apregraves tout deux deacutecisionnaires adoptant des attitudes diffeacuterentes vis-agrave-vis de lrsquoineacutegaliteacute eacutevalueront diffeacuteremment les effets drsquoune mecircme politique Lrsquoindice de Gini eacutelaboreacute dans la section preacuteceacutedente (appeleacute ci-apregraves indice de Gini standard) ne permet pas de prendre en compte ces diffeacuterences drsquoattitude ou en drsquoautres termes le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute La geacuteneacuteralisation de lrsquoindice de Gini de Yitzhaki (1983) le rend deacutependant drsquoun degreacute speacutecifieacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute La formule correspondante est la suivante
G v( )= minus vy
Cov y 1minus F(y)( )vminus1⎡ ⎣ ⎢
⎤⎦⎥ [6]
ougrave tous les termes ont le mecircme sens que dans [4] et ougrave v exprime le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Lrsquoaffectation de diffeacuterentes valeurs agrave v risque de modifier la valeur de lrsquoindice de Gini du fait drsquoune pondeacuteration diffeacuterente des revenus agrave diffeacuterentes parties de leur distribution Agrave noter que lorsque v=2 lrsquoexpression [6] revient agrave lrsquoindice de Gini standard (expression [4]) Pour comprendre la signification de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute rappelons la deacutefinition eacutetendue suivante du terme de covariance dans [6]
( )[ ] [ ] ( ) ( )[ ])(1)(1)(1 yFyFyyEyFyCov minusminusminussdotminus=minus[7]
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 7
Les seconds crochets agrave la droite de lrsquoexpression [7] doivent ecirctre interpreacuteteacutes comme la pondeacuteration agrave affecter agrave chaque niveau de revenu crsquoest-agrave-dire agrave chaque eacutecart sur la moyenne du niveau de revenus (premiers crochets) Pour les bas revenus (infeacuterieurs au revenu moyen) le terme des premiers crochets est neacutegatif et le second positif Pour les revenus eacuteleveacutes (supeacuterieurs agrave la moyenne) la situation est inverseacutee Les eacutecarts sur la moyenne sont positifs tandis que le terme des seconds crochets est neacutegatif Agrave noter la proprieacuteteacute de la fonction de distribution cumuleacutee (FDC) sa moyenne est eacutegale agrave sa meacutediane (frac12) De ce fait la valeur des seconds crochets sera positive jusqursquoagrave la meacutediane de la FDC Cela signifie que la meacutediane de la distribution des revenus aura une pondeacuteration nulle puisque le revenu meacutedian est le niveau de revenu ougrave F(y) = frac12 Il nous faut maintenant comprendre ce qui arrive aux revenus situeacutes avant et apregraves la meacutediane quand la valeur de v augmente La figure 3 se penche sur ce problegraveme La droite rouge repreacutesente la diffeacuterence de [1-F(y)] sur la moyenne dans le cas standard de v=2 Elle coupe lrsquoaxe des x au niveau meacutedian de cette distribution de revenus hypotheacutetique Si nous prenons le cas ougrave v=3 (courbe noire eacutepaisse) on voit relativement facilement qursquoune fraction des personnes riches (agrave droite de lrsquointersection avec v=2 dans la zone sud-est du graphique) possegravede (en termes absolus) une pondeacuteration infeacuterieure que lorsque v=2 Cela concerne tous les revenus pour lesquels la courbe noire eacutepaisse se situe au-dessus de la droite rouge dans le graphique Dans le mecircme temps une fraction des personnes pauvres (agrave gauche de lrsquointersection avec v=2 dans la zone nord-ouest du graphique) preacutesente une pondeacuteration supeacuterieure que lorsque v=2 Cela concerne tous les revenus pour lesquels la courbe noire eacutepaisse se situe agrave nouveau au-dessus de la droite rouge dans le graphique Lorsque lrsquoon augmente v la fraction de personnes riches dont lrsquoeacutecart de revenus sur la moyenne reccediloit une pondeacuteration infeacuterieure agrave celle de v=2 augmente Dans le mecircme temps la fraction de personnes pauvres dont lrsquoeacutecart de revenus sur la moyenne reccediloit une pondeacuteration supeacuterieure agrave celle de v=2 diminue La figure 3 rend compte des cas ougrave v=2 v=4 v=8 et v=16 Par conseacutequent quand v augmente le nombre de bas revenus posseacutedant une pondeacuteration importante diminue et le nombre de personnes posseacutedant une pondeacuteration nulle augmente Dans le calcul de Gini augmenter v signifie donc se focaliser plutocirct sur lrsquoineacutegaliteacute dans une fraction progressivement infeacuterieure de la distribution des revenus6
6 Crsquoest la raison pour laquelle on considegravere souvent v comme un laquo paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute raquo
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8
Figure 3 Pondeacuteration dans lrsquoindice de Gini
-06
-04
-02
00
02
04
06
08
10
Niveaux de revenus
(1-F
(y))
eacute
cart
s su
r la
moyenne
v=2 v=3 v=4 v=8 v=16
Quand v augmente un ensemble progressivement plus important drsquoindividus riches compte moins que quand v=2 Quand v=16 mecircme certaines personnes agrave bas revenus comptent pour zeacutero car une pauvreteacute plus extrecircme devient progressivement le point de focalisation
Quand v augmente un ensemble progressivement moindre drsquoindividus pauvres compte davantage que quand v=2 Plus v est eacuteleveacute plus le poids des individus diminue rapidement Quand v=16 peu de personnes agrave bas revenus comptent beaucoup
De ce fait lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute donne davantage de souplesse agrave leacutevaluation des programmes et des politiques de deacuteveloppement que lrsquoindice de Gini standard parce qursquoil permet drsquoincarner diffeacuterents degreacutes drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Pour mieux comprendre ce point utilisons lrsquoexemple du tableau 1 Tableau 1 Exemple de facteurs de pondeacuteration implicites dans lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Individus Revenus F(y) 1-F(y) [1-F(y)]v-
1 v=2
[1-F(y)]v-1
v=4
Revenus eacutecarts sur la
moyenne
[1-F(y)]v-1 v=2 eacutecarts
sur la moyenne
[1-F(y)]v-1 v=4 eacutecarts
sur la moyenne
Facteur de pondeacuteration
implicite quand v=2
Facteur de pondeacuteration
implicite quand v=4
1 1 000 020 080 080 051 -2 000 040 045 20 80
2 2 000 040 060 060 022 -1 000 020 015 15 343 3 000 060 040 040 006 0 000 000 10 10
4 4 000 080 020 020 001 1 000 -020 -006 05 01
5 5 000 100 000 000 000 2 000 -040 -006 00 00
Moyenne 3 000 060 040 040 006 Le tableau 1 rend compte de la distribution hypotheacutetique des revenus de cinq individus Pour chaque niveau de revenu la troisiegraveme et la quatriegraveme colonnes fournissent le reacutesultat du calcul de F(y) et de (1-F(y)) respectivement La cinquiegraveme et la sixiegraveme donnent le reacutesultat de la quatriegraveme colonne pour v=2 et v=4
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 9
Agrave noter que v=2 correspond agrave lrsquoindice de Gini standard et que v=4 inclut davantage de personnes agrave bas revenus dans la pondeacuteration La septiegraveme colonne indique lrsquoeacutecart de chaque revenu par rapport au revenu moyen Il est neacutegatif pour les bas revenus et positif pour les revenus eacuteleveacutes Nous devons simplement nous rappeler qursquoil fait partie du terme de covariance de [7] Les huitiegraveme et neuviegraveme colonnes calculent les eacutecarts sur la moyenne de lrsquoautre partie du terme de covariance de la formule [7] Que nous apprend la comparaison de ces colonnes Nous voyons facilement que la laquo pondeacuteration raquo affecteacutee aux revenus les plus bas est supeacuterieure avec v=4 qursquoavec v=2 Dans le mecircme temps la pondeacuteration de lindividu le plus riche descend rapidement agrave zeacutero quand v=4 Une meacutethode de calcul du facteur de pondeacuteration implicite de lrsquoindice de Gini consiste agrave deacutefinir le ratio entre la valeur de la fonction (1-F(y))v-1 agrave nimporte quel niveau de revenu et la valeur de cette mecircme fonction au niveau de revenu meacutedian Pour v=2 et v=4 ce calcul apparaicirct dans les deux derniegraveres colonnes du tableau 1 Quand v=2 le revenu le plus bas contribue deux fois plus au calcul de lrsquoindice de Gini que le revenu meacutedian Quand v=4 il y contribue huit fois plus Vous remarquerez eacutegalement que la contribution des revenus les plus eacuteleveacutes est infeacuterieure quand v=4
4 PROCEacuteDURE DEacuteTAILLEacuteE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
41 Lrsquoindice de Gini
La proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini est syntheacutetiseacutee dans la figure 4 baseacutee sur la formule [2] ci-dessus Il faut commencer par trier la distribution des revenus par niveaux de revenus (eacutetape 1) Agrave lrsquoeacutetape 2 nous calculons la distribution de revenus cumuleacutee Agrave lrsquoeacutetape 3 nous obtenons la proportion cumuleacutee des revenus (qi) en divisant chaque revenu cumuleacute par le total des revenus Lrsquoeacutetape 4 fournit la proportion cumuleacutee de la population (pi) Pour ce faire nous classons les individus par ordre croissant et nous attribuons le rang 1 agrave la personne au revenu le plus bas et le rang laquo n raquo agrave celle au revenu le plus eacuteleveacute puis nous divisons par n Agrave lrsquoeacutetape 5 nous calculons lrsquoaire des polygones Z1Z2 Z3Zn Le premier est un triangle les autres sont des trapegravezes (appliquez la formule figurant dans le texte) Agrave lrsquoeacutetape 6 nous additionnons toutes les aires pour obtenir lrsquoaire sous la courbe de Lorenz (Z) puis nous calculons lrsquoindice de Gini G=1-2Z La figure 4 fournit le deacuteroulement de cette proceacutedure
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Figure 4 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la distribution de revenus cumuleacutee
3Calculer la proportion cumuleacutee des revenus en divisant chaque revenu
cumuleacute par le total des revenus
4
Affecter le rang 1 au revenu le plus bas et le rang n au revenu le plus eacuteleveacute
puis calculer la proportion cumuleacutee de la population en divisant chaque rang
par n
5
Calculer laire des polygones en appliquant les formules fournies dans le
texte pour laire du triangle et des trapegravezes
6 Additionner toutes les aires pour obtenir Z puis calculer G = 1-2Z
Mais le texte fournit une autre formule de calcul direct de lrsquoindice de Gini (voir la formule [4]) baseacutee sur le terme de covariance Il est donc utile den fournir la proceacutedure de calcul deacutetailleacutee (voir la figure 5) Figure 5 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini agrave lrsquoaide de la formule de covariance
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la distribution de revenus par niveaux
de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer la covariance Cov(yF(y)) et le niveau de revenu moyen
4 Calculer Gini en appliquant la formule [4] fournie dans le texte
Lrsquoeacutetape 1 nous demande comme dhabitude de trier la distribution de revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 nous demande de calculer la FDC F(y)7
7 Voir le module EASYPOL 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de la pauvreteacute
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 11
Lrsquoeacutetape 3 nous demande simplement de prendre la covariance entre la distribution des niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee et le niveau de revenus moyen utiliseacutee dans le deacutenominateur de la formule[4] Enfin lrsquoeacutetape 4 applique directement la formule [4] fournie dans le texte
42 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
La figure 6 fournit les eacutetapes du calcul de la version geacuteneacuteraliseacutee de lrsquoindice de Gini Figure 6 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer 1-F(y) pour chaque revenu
4 Choisir la valeur du paramegravetre daversion pour lineacutegaliteacute v
5 Calculer [1-F(y)]v -1
6Calculer la covariance
Cov[y (1-F(y))v -1] et la moyenne de la distribution de revenus
7 Calculer Gini en appliquant la formule de covariance [6] fournie dans le texte
Les eacutetapes sont tregraves semblables agrave celles du calcul de lrsquoindice de Gini standard agrave lrsquoaide de la formule de covariance Les eacutetapes 1 et 2 sont mecircme identiques Par souci de commoditeacute du fait du mode drsquoexpression de la formule lrsquoeacutetape 3 nous demande de calculer pour chaque niveau de revenus la valeur de un moins la valeur de la fonction de distribution cumuleacutee agrave ce point Lrsquoeacutetape 4 est lrsquoeacuteleacutement le plus caracteacuteristique de cette proceacutedure car elle nous demande de choisir la valeur du paramegravetre de lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v Il suffit de nous souvenir que plus les valeurs de v sont eacuteleveacutees plus lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute est forte Lrsquoeacutetape 5 nous demande de calculer un eacuteleacutement du terme de covariance agrave savoir la valeur de (1-F(y))v-1 Agrave lrsquoeacutetape 6 nous devons calculer la covariance complegravete et le revenu moyen ce qui nous permettra drsquoappliquer la formule [6] fournie dans le texte pour obtenir lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (eacutetape 7)
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5 EXEMPLE NUMEacuteRIQUE DU MODE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
51 Indice de Gini standard deacuteriveacute de la courbe de Lorenz
Le calcul de lrsquoindice de Gini deacuteriveacute de la courbe de Lorenz figure dans le tableau 2 ougrave nous supposons lrsquoexistence drsquoune distribution de revenus agrave cinq individus (et cinq revenus) Lrsquoeacutetape 1 neacutecessite simplement de trier cette distribution par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 en revanche nous demande de calculer la distribution cumuleacutee des revenus Le reacutesultat de ce calcul est 15 000 uniteacutes de revenu soit le revenu total de lrsquoeacuteconomie Tableau 2 Exemple numeacuterique du calcul de lrsquoindice de Gini (deacuteriveacute de la courbe de Lorenz)
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 6
Calculer le revenu cumuleacute
Calculer la proportion
cumuleacutee des revenus (qi)
Affecter un rang aux revenus
Calculer la proportion
cumuleacutee de la population (pi)
Calculer laire des polygones
(Z)
Calculer lindice de
Gini
IndividuDistribution des revenus
Revenu cumuleacuteProportion
cumuleacutee des revenus
RangsProportion
cumuleacutee de la population
Aire des polygones
Indice de Gini
1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100
0100
EacuteTAPE 1
Trier la distribution de revenus
EacuteTAPE 4
Valeur de Z laire sous la courbe de Lorenz
G = 1 - 2Z
Aire du premier triangle
Aire de chaque trapegraveze
Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2
0007=[0067 x 02]2
Lrsquoeacutetape 3 transforme la distribution de revenus cumuleacutee en proportion cumuleacutee des revenus Le reacutesultat est 1 Rappelons-nous simplement que ces valeurs sont les qi introduits dans la section 31 ci-dessus Conformeacutement au tri de la distribution des revenus de lrsquoeacutetape 1 un rang croissant (de 1 agrave n) est affecteacute agrave chaque revenu (eacutetape 4) Ces rangs sont ensuite transformeacutes en proportion cumuleacutee de la population Ce calcul donne les p traiteacutes dans la section 31i ci-dessus Lorsque nous disposons de q et de p pour tous les niveaux de revenus nous pouvons calculer lrsquoaire des polygones sous la courbe de Lorenz Il suffit de nous rappeler que le premier est un triangle et que les autres sont des trapegravezes Pour ce faire lrsquoeacutetape 5 applique les formules preacutesenteacutees dans la section 31 La somme de ces aires donne Z crsquoest-agrave-dire lrsquoaire totale sous la courbe de Lorenz
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 13
Enfin lrsquoeacutetape 6 est lrsquoapplication meacutecanique de la formule [6] fournie dans le texte Elle donne un indice de Gini de 0267
52 Indice de Gini standard avec formule de covariance
Le tableau 3 fournit un exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule [4] de covariance preacutesenteacutee dans le texte Les eacutetapes sont ici moins nombreuses Leacutetape 1 change pas et consiste agrave trier la distribution des revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 demande de calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Lrsquoeacutetape 3 neacutecessite de calculer les deux paramegravetres essentiels agrave appliquer agrave la formule de covariance la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee (dont la valeur est de 400 dans lrsquoexemple) et le niveau de revenus moyen soit 3 000 uniteacutes de revenu Tableau 3 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule de covariance
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 4
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer la covariance Cov
(y F(y))
Calculer le niveau
moyen de revenu
Calculer Gini agrave laide la
formule [4]
Individu
A - Distribution des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacuteeCovariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267
EacuteTAPE 1
Trier la distribution des revenus
EacuteTAPE 3
Lrsquoapplication de la formule [4] fournie dans le texte donne une valeur drsquoindice de Gini eacutegale agrave 0267 (bien eacutevidemment identique agrave celle du tableau 2 )
53 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Nous nous sommes servis de la formule de covariance pour expliquer qursquoil est possible de rendre lrsquoindice de Gini standard sensible agrave un degreacute donneacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Le tableau 4 fournit un exemple de traitement de cette geacuteneacuteralisation agrave lrsquoaide de la mecircme distribution de revenus que dans les tableaux 2 et 3
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14
Tableau 4 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 4 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 7
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer 1 - F(y)
Choisir vCalculer
[1 - F(y)](v-1)
Calculer la covariance
Cov (y F(y))
Calculer le niveau de revenu
moyen
Calculer Gini agrave laide de la formule [4]
Individu
A - Distribution
des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacutee1 - F(y) v [1 - F(y)](v-1) Covariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246
EacuteTAPE 1 EacuteTAPE 6
Trier la distribution des revenus
Les eacutetapes 1 et 2 sont identiques agrave celles du tableau 3 En revanche lrsquoeacutetape 3 requiert de calculer les valeurs de un moins la fonction de distribution cumuleacutee Lrsquoeacutetape 4 introduit le paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v auquel nous avons choisi drsquoattribuer la valeur 4 Par conseacutequent chaque montant calculeacute agrave lrsquoeacutetape 3 passe agrave la puissance (v-1) crsquoest-agrave-dire 3 (eacutetape 5) Lrsquoeacutetape 6 calcule les deux paramegravetres essentiels le terme de covariance (-246 dans lrsquoexemple) et le revenu moyen (3 000) Lrsquoeacutetape 7 applique la formule [6] fournie dans le texte et donne un indice de Gini de 0246 Cette valeur est diffeacuterente de celle obtenue avec lrsquoindice de Gini standard car des pondeacuterations diffeacuterentes ont eacuteteacute attribueacutees aux mecircmes revenus
6 PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LrsquoINDICE DE GINI
Cette section deacutecrit les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini en termes des axiomes qursquoil respecte 8
Comme la plupart de ces proprieacuteteacutes sont communes aux indices de Gini standard et geacuteneacuteraliseacute nous les traiterons ensemble tout en signalant leurs diffeacuterences majeures Les principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini sont les suivantes la limite infeacuterieure de G est zeacutero quelle que soit la valeur de v Quand tous les
revenus sont eacutegaux la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee est nulle et lrsquoindice de Gini est donc zeacutero Concernant lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini standard notez que quand tous les revenus sont eacutegaux la courbe de Lorenz est eacutegale agrave la droite drsquoeacutequidistribution Par conseacutequent la somme des aires des polygones (Z) est eacutegale agrave frac12 crsquoest-agrave-dire la somme du triangle sous la courbe de Lorenz De ce fait lrsquoindice de Gini (1ndash 2Z) est eacutegal agrave zeacutero
8 Voir le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes
(disponible en anglais) pour en savoir plus sur les axiomes dans la mesure de lrsquoineacutegaliteacute de mesure
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 15
nn 1minus la limite supeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard G est Dans les tregraves grandes
populations la limite de cette valeur est 1 Quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier celui-ci est aussi eacutegal au revenu total y=Y Autrement dit il ne faut calculer qursquoune seule aire celle du dernier trapegraveze Cependant dans les tregraves grandes populations cette aire tend agrave ecirctre plus petite Dans la limite (crsquoest-agrave-dire dans un cadre continu) la valeur de lrsquoaire Z tend vers zeacutero et donc lrsquoindice de Gini tend vers
1 Dans la geacuteneacuteralisation la limite supeacuterieure de G(v) est n
nv
12 minus Souvenez-vous
que dans lrsquoindice de Gini standard v=2 lrsquoindice de Gini est invariant agrave lrsquoeacutechelle La multiplication de tous les revenus par
un facteur α ne modifie pas la valeur de lrsquoindice de Gini G Intuitivement quand tous les revenus sont redimensionneacutes par un facteur commun la distribution cumuleacutee des revenus ne change pas car une fraction donneacutee de la population continue agrave deacutetenir la mecircme fraction du revenu total Les aires sous la courbe de Lorenz demeurent donc identiques Dans le cas de la formule de covariance lrsquoapplication drsquoun facteur commun agrave tous les revenus augmente la covariance et le revenu moyen dans la mecircme mesure Lrsquoindice de Gini ne change pas Cela vaut eacutegalement pour G(v)
en revanche lrsquoindice de Gini G nrsquoest pas invariant agrave la translation Si lrsquoon
ajoutesoustrait la mecircme somme agrave tous les revenus il augmente (ou diminue) en conseacutequence Cela vaut eacutegalement pour G(v)
lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts quelle que soit la valeur de v
Si le revenu est redistribueacute drsquoindividus relativement riches agrave des individus relativement pauvres G et G(v) diminuent Lrsquoinverse est vrai si le revenu est redistribueacute de personnes relativement pauvres agrave des personnes relativement riches Dans le cas de lrsquoindice de Gini standard nous remarquons que la taille du changement deacutecoulant de la variation de lrsquoun quelconque des revenus deacutepend du rang des individus participant agrave la redistribution et de la taille de lrsquoeacutechantillon Elle ne deacutepend pas du niveau des revenus individuels redistribueacutes mais du total des revenus Plus preacuteciseacutement lrsquoindice de Gini reacuteagit davantage agrave une redistribution entre individus preacutesentant une grande diffeacuterence de rang De fait agrave quantiteacute de redistribution eacutegale lrsquoeffet est beaucoup plus faible si les deux individus sont de rang proche
Le tableau 5 illustre le principe de fonctionnement des principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini Dans la colonne de gauche figurent trois simulations de distributions de revenus La premiegravere est une distribution laquo type raquo classeacutee par niveaux de revenus Les individus de la seconde ont tous le mecircme revenu Les individus de la troisiegraveme ont tous un revenu nul sauf le dernier
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16
Pour la distribution de revenus type A lrsquoindice de Gini est de 0267 Pour les revenus eacutequidistribueacutes B il est nul et pour la distribution la plus concentreacutee C il est de 08
( 80541
==minusn
n )
Pour une augmentation de tous les revenus de 20 pour-cent la cinquiegraveme colonne montre que lrsquoindice de Gini demeurerait inchangeacute agrave 0267 (proprieacuteteacute drsquoinvariance agrave lrsquoeacutechelle) Ce ne serait pas le cas pour une augmentation de tous les revenus du mecircme montant absolu (par exemple 2 000 uniteacutes de revenu dans le texte) Dans ce cas le tableau 5 montre que lrsquoindice de Gini serait plus bas (0160) Cet indice nrsquoest pas invariant agrave la translation Lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts Si nous redistribuons par exemple 500 uniteacutes de revenu des plus riches au plus pauvres il sera infeacuterieur (0213) dans le texte Agrave noter que les mecircmes transferts entre individus de rang proche (derniegravere colonne du tableau 5) donnent toujours lieu agrave un indice de Gini plus bas (0253) mais supeacuterieur au cas preacuteceacutedent (0213) Cela montre que lrsquoindice est plus sensible aux transferts entre individus de rangs eacuteloigneacutes
Tableau 5 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
IndividuA - Distribution des
revenus type
B - Distribution des revenus avec
revenus eacutegaux
C - Distribution des revenus avec un
seul revenu
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 20 pour-cent de tous les revenus
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 2 000 USD de tous
les revenus
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 500 USD du plus riche au plus pauvre
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 200
USD par deux individus de rang
proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000
Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000
GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253
INCHANGEacute DIMINUEacute DIMINUEacute DIMINUEacute
entre individus de rang proche
Lindice de Gini reacuteagit moins aux transferts
7 INTERSECTION DE LORENZ ET INDICE DE GINI
Nous avons vu qursquoil est possible de deacuteriver lrsquoindice de Gini drsquoune courbe de Lorenz En dautres termes indice de Gini et courbe de Lorenz sont en coheacuterence Il faut neacuteanmoins rappeler que lrsquoordre fourni par les courbes de Lorenz et en particulier par la dominance
de Lorenz est partiel car quand ces courbes ne coupent rien nous sommes agrave mecircme de dire quelle distribution des revenus preacutesente le plus drsquoineacutegaliteacute Agrave lrsquoinverse lrsquoindice de Gini fournit un ordre complet puisqursquoil reacuteduit lrsquointeacutegraliteacute de la distribution des revenus agrave un seul nombre La diffeacuterence eacuteleacutementaire entre ces deux approches devient apparente en cas drsquointersection des courbes de Lorenz Prenons par exemple les deux distributions de
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 17
revenus du tableau 6 Les revenus sont distribueacutes diffeacuteremment mais lrsquoindice de Gini est le mecircme (0200) Tableau 6 Deux distributions de revenus posseacutedant le mecircme indice de Gini
IndividusDistribution des
revenus XDistribution des
revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500
Revenu total20 000 20 000
Gini 0200 0200 Ces deux distributions sont figureacutees par les courbes de Lorenz de la figure 7 Comme elles se coupent on ne peut pas srsquoen servir pour les classer en termes drsquoineacutegaliteacute des revenus Mais la maniegravere dont elles se coupent donne des aires de mecircme valeur avant et apregraves lrsquointersection Du coup lrsquoindice de Gini est identique en deacutepit de diffeacuterences de revenus importantes Figure 7 Intersection de courbes de Lorenz
00
02
04
06
08
10
00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y
Distributions de revenus diffeacuterentesIntersection de LorenzMecircme indice de Gini
Aire de concentrationavant intersection
Aire de concentrationapregraves intersection
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8 SYNTHEgraveSE DES PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LINDICE DE GINI ET DE SA VERSION GEacuteNEacuteRALISEacuteE
Le tableau 7 syntheacutetise les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee Ces proprieacuteteacutes reflegravetent la structure des axiomes9
Il est inteacuteressant de noter tout drsquoabord que la limite infeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard et de sa version geacuteneacuteraliseacutee est zeacutero alors que sa limite supeacuterieure est diffeacuterencieacutee Cette derniegravere est tregraves proche de 1 (pour les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini standard et tend vers 2v (toujours dans les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute Les deux versions de lrsquoindice de Gini respectent le principe des transferts mais il faut rappeler que lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts de revenus entre individus situeacutes agrave des positions (rang) eacuteloigneacutees dans la distribution des revenus Les deux versions sont invariantes agrave lrsquoeacutechelle et non invariantes agrave la translation et respectent le principe de population Cette structure fait de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee deux indicateurs drsquoineacutegaliteacute relative La grande utiliteacute de leurs caracteacuteristiques dans la pratique explique le fort inteacuterecirct qursquoils suscitent Tableau 7 Indice de Gini et ses proprieacuteteacutes utiles
LIMITE
INFLIMITE SUP
Principe des transferts
Invariance agrave leacutechelle
Invariance agrave la translation
Principe de population
Indice dineacutegaliteacute relative (IIR)
Inteacuterecirct
Gini 0 (n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
Gv 0 (2v )(n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
9 REMARQUES Agrave LrsquoINTENTION DES LECTEURS
91 Liens EASYPol
Les lecteurs pourront se tourner vers certains modules EASYPol pour renforcer leurs acquis de base et approfondir leurs connaissances sur lrsquoineacutegaliteacute et sa mesure Le preacutesent module fait partie drsquoun ensemble de documents expliquant les modaliteacutes de comparaison en termes drsquoineacutegaliteacute des distributions de revenus geacuteneacutereacutees par diffeacuterentes options des politiques Il appartient au parcours de formation Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des politiques
9 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses
axiomes de mesure (disponible en anglais)
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 19
Les modules EASYPol suivants preacutecegravedent logiquement le document preacutesent et pourront renforcer les connaissances des utilisateurs
Module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute courbe de Lorenz
Module EASYPol 001 Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz
EASYPol Module 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de pauvreteacute
Module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure (disponible en anglais)
Les points traiteacutes dans ce module sont approfondis dans les documents suivants
Module EASYPol 002 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz geacuteneacuteraliseacute
Module EASYPol 041 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social bien-ecirctre social fonctions de bien-ecirctre social et aversion pour lineacutegaliteacute (disponible en anglais)
Le module EASYPol 042 Impacts sur lineacutegaliteacute et la pauvreteacute de certaines
politiques agricoles cas du Paraguay est une eacutetude de cas de la mesure agrave lrsquoaide de lrsquoindice de Gini des impacts drsquoune politique agricole sur lrsquoineacutegaliteacute dans le contexte drsquoun exercice de simulation bacircti agrave partir de donneacutees reacuteelles
Module EASYPol 040 Outils analytiques
20
10 ANNEXE I ndash AUTRES MEacuteTHODES DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible
La deacuterivation de lrsquoindice de Gini par les courbes de Lorenz preacutesente une correspondance directe avec une autre meacutethode plutocirct lourde de calcul de cet indicateur
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+= minusminus
Yy
nY
yY
yYy
nnG nnn 121 32211 [A1]
Vous remarquerez la speacutecificiteacute des termes figurant entre les derniegraveres parenthegraveses ougrave chaque part de revenu de la plus eacuteleveacutee agrave la plus faible est multiplieacutee par le rang des individus dans la distribution des revenus du plus bas au plus eacuteleveacute de maniegravere agrave ce que la part la plus importante ait le rang 1 et la plus petite le rang n Cette correspondance apparaicirct encore mieux dans un exemple ougrave n=3 En rappelant la deacutefinition des q et des p on obtient
133 1
032
031
0
0300 0
3321
3
221
2
11
1
00
0
===+++
=
=++
=
=+
=
=====
pY
yyyq
pY
yyq
pY
yq
np
Yy
q
Substituer ces valeurs dans lrsquoeacutequation [2] dans le texte donne
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++minus=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++minus=
Yy
Yy
Yy
Yyy
Yyyy
Yy
Yyy
YyG 123213211211
1 35
33
311
31
31
311
[A2] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 1 Maintenant reacuteeacutecrivons lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++minus+=Yy
Yy
Yy
G 1232 32
32
311
[A3] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 2 Maintenant reacuteeacutecrivons [A2] et [A3] de maniegravere plus commode en manipulant les crochets
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus=
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
G 12121231 2
32
311
34
32
311
[A4]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +minusminus+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyyyG 121212123
2 232
3112
32
32
3112
32
311
[A5] comme lrsquoexpression entre parenthegraveses dans les deux eacutequations est eacutegale agrave 1 pour n=3 il est tregraves facile de veacuterifier que les deux expressions donnent le mecircme reacutesultat (G =G1 2) La formule [A1] souvent utiliseacutee dans les applications opeacuterationnelles est donc entiegraverement baseacutee sur la deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini
101 Indice de Gini avec formule de covariance
Dans le texte nous avons montreacute que lrsquoindice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moyen et la covariance entre les niveaux y et la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Analytiquement
( ))(2 yFyCovy
G = [A6]
Cette formule eacutequivaut aussi agrave la formule [A1] Voyons pourquoi
( )[ ] ( )[ )(1 yFyCovyFyCov ]minusminus=Sachant que comme la valeur attendue de F(y) est frac12 et la valeur attendue de [1-F(y)] frac12 eacutegalement nous pouvons reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A6]
sous la forme ( )[ ])(12 yFyCov
yG minusminus=
Lrsquoeacutequivalence entre les formules [A6] et [A1] apparaicirct agrave nouveau pour un cas simplifieacute n=3 Tout drsquoabord il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( )()()( yFEyEyyFEyFyCov minus )= ougrave E correspond agrave la valeur attendue (la moyenne) drsquoune variable donneacutee Ensuite il convient de deacutefinir chaque composante de la covariance
( ) ( ) ( )32
333
32
31
)( 3
3
31
32
33
)(123
=++
==++
= yFEYyEyyy
yyFE
nous pouvons obtenir Par conseacutequent en tenant compte du fait que 321 yyyY ++=
( ) [ ]13123123 9
192
92
92
91
92
93)( yyyyyyyyyFyCov minus=minusminusminus++=
Module EASYPol 040 Outils analytiques
22
nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minussdot
sdot=
Yy
Yy
yyY
G 1313 3
29132
Maintenant sachant que pour n=3
1321 =++
Yyyy
on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
Yy
Yy
Yy 13111223321321
32
32
32
32
32
32
32
31
ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance
102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors
034
311
36
32
31132
32
311 =minus+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus+=yy
Yy
Yy
YyG
LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera
nn
Yy
YYG 1
32
32
31100
32
311 minus
==minus+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=
comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3
G deviendrait ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
+α
α+
αα
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyG 323323 32
32
31132
32
311
GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
+minus+=
000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
112
individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
Module EASYPol 040 Outils analytiques
24
11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES
Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
24 617-628
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 25
Meacutetadonneacutees du module
1 Module EASYPol 040
2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
Franccedilais
Espagnol
Autre
3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine
Anglais The Gini Index
Franccedilais
Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module
10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
Module EASYPol 040 Outils analytiques
26
11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
Module EASYPol 040 Outils analytiques
2
3 CONTEXTE CONCEPTUEL
Lrsquoindice de Gini est un indicateur associeacute agrave lrsquoapproche descriptive de la mesure de lrsquoineacutegaliteacute Lambert (1993) a reacutesumeacute la base analytique permettant drsquoeacutetablir le rapport entre lrsquoindice de Gini et les fonctions de bien-ecirctre social et donc de le faire entrer dans le champ de lrsquoanalyse du bien-ecirctre Dans les pages suivantes nous nrsquoaborderons que lrsquoapproche descriptive Lrsquoapproche bien-ecirctre sera traiteacutee dans des outils plus avanceacutes Lrsquoindice de Gini est un indicateur drsquoineacutegaliteacute2 complexe et syntheacutetique comme de nombreux autres de mecircme nature De ce fait il fournit des informations condenseacutees sur la distribution des revenus mais pas sur ses caracteacuteristiques telles que localisation et forme Pour cet indice nous appliquons la logique des axiomes drsquoineacutegaliteacute3 dans la mesure ougrave ceux-ci constituent des critegraveres eacuteligibles drsquoeacutevaluation des performances des indicateurs
31 Lrsquoindice de Gini
Lrsquoindice de Gini a eacuteteacute eacutelaboreacute par Gini en 1912 et entretient un lien strict avec la repreacutesentation de lrsquoineacutegaliteacute des revenus agrave lrsquoaide de la courbe de Lorenz En particulier il mesure le ratio entre lrsquoaire situeacutee entre la courbe de Lorenz et la droite
deacutequidistribution (et donc lrsquoaire de concentration) et lrsquoaire de concentration maximale La figure 1 repreacutesente ces aires elle trace trois courbes de Lorenz agrave partir de trois distributions de revenus hypotheacutetiques A B et C La courbe baseacutee sur la distribution des revenus A est la courbe standard que donne lrsquoanalyse des distributions de revenus reacuteelles Celle de la distribution B repreacutesente le cas extrecircme ougrave tous les revenus sont eacutegaux Dans ce cas elle prend aussi le nom de droite drsquoeacutequidistribution Enfin la courbe de la distribution C illustre un autre cas extrecircme celui ougrave tous les revenus sont nuls sauf le dernier Dans la figure 1 OP est la droite drsquoeacutequidistribution et ORP lrsquoaire deacutefinie par la courbe de Lorenz de la distribution des revenus standard et la courbe drsquoeacutequidistribution baptiseacutee aire de concentration OPQ est lrsquoaire de concentration maximale cest-agrave-dire la zone entre la courbe de Lorenz de la distribution de revenus C et la droite drsquoeacutequidistribution La droite drsquoeacutequidistribution OP et lrsquoaire OPQ repreacutesentent les valeurs extrecircmes de lrsquoaire de concentration dans une courbe de Lorenz Soit cette aire est nulle (comme dans le cas de la droite drsquoeacutequidistribution de la distribution B) soit elle est maximale (cas de la distribution C) Pour une distribution des revenus standard lrsquoaire de concentration se situe quelque part entre zeacutero et lrsquoaire de concentration maximale comme dans la figure 1
2 Voir le module EASYPol 080 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute indicateurs simples dineacutegaliteacute 3 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 3
Lrsquoindice de Gini mesure le ratio entre lrsquoaire de concentration et lrsquoaire de concentration maximale Par conseacutequent dans la figure 1 [1]
OPQORPG ==
aire de concentration maximale
i d i aire de concentration
Comme lrsquoaire de concentration maximale correspond agrave une distribution ougrave un seul individu deacutetient la totaliteacute des revenus lrsquoindice de Gini G mesure en geacuteneacuteral la distance entre lrsquoaire deacutefinie par une quelconque distribution de revenus standard et lrsquoaire de concentration maximale Il faut maintenant comprendre comment srsquoapplique la formule de la figure 1 dans la pratique Commenccedilons par le deacutenominateur de G Nous avons deacutejagrave expliqueacute4 que les coordonneacutees maximales de la courbe de Lorenz se situent au point (11) Par conseacutequent lrsquoaire OPQ doit ecirctre un triangle posseacutedant une longueur de base de 1 et une hauteur de 1 Son aire est donc eacutegale agrave frac12 Le deacutenominateur de G est donc frac12 Figure 1 Courbe de Lorenz et indice de Gini
00
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
00 200 400 600 800 1000
Proportion cumuleacutee de la population ()
Pro
port
ion c
um
uleacute
e d
es
revenus
()
Dis_A Dis_B Dis_C
O
P
Q
ORP = Aire deconcentration
R
OPQ = Aire deconcentration
maximale
ORPOPQ
GINI =Aire de concentration
=Aire de concentration maximale
Mais qursquoen est-il du numeacuterateur Au lieu de calculer directement lrsquoaire de concentration nous pouvons exploiter le fait que cette aire repreacutesente la diffeacuterence entre lrsquoaire de concentration maximale et lrsquoaire sous la courbe de Lorenz (cette derniegravere eacutetant
4 Voir le module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute des revenus la courbe de Lorenz
Module EASYPol 040 Outils analytiques
4
donneacutee par ORPQ) Le mode de calcul le plus facile de lrsquoaire sous la courbe de Lorenz est deacutecrit ci-apregraves
5Commenccedilons par rappeler la deacutefinition des coordonneacutees de la courbe de Lorenz Si nyyy lelele 21
proportion cumuleacutee de la population
proportion cumuleacutee des revenus
21
21 21
rarr =
rarr+++
= + + + + + +
=
n i p
Yyyy
y y y y yy
q
i
i
n i
i ougrave q =p =0 et q =p0 0 n n=1 Lrsquoaire sous la courbe de Lorenz ORPQ est la somme des aires drsquoune seacuterie de polygones Regardons la figure 2 ougrave une courbe de Lorenz simplifieacutee a eacuteteacute creacuteeacutee pour une population de quatre individus Le premier polygone est un triangle (p q po 1 1) et les trois autres sont des trapegravezes isocegraveles pivoteacutes On peut donc calculer chaque aire seacutepareacutement et ajouter les reacutesultats obtenus pour obtenir la valeur de lrsquoaire globale Symbolisons lrsquoaire du iegraveme polygone par Zi et lrsquoaire totale obtenue de cette maniegravere par Z Lrsquoaire du triangle est donneacutee par
2
hauteur
1
base
11
qpZ = tandis que lrsquoaire de chaque trapegraveze est donneacutee par
( ) ( )2
hauteur
1
base longue + base courte
186minusminus minus+
= iiiii
ppqZ
q
Comme q =p =0 la somme de toutes ces aires donne 0 0
( )([ ]sumsum minusminus=
minus+==i
iiii
n
ii ppqqZZ 11
1 21 )
pour n=4
5 Voir le module EASYPOL 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute des revenus la courbe de Lorenz
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 5
Figure 2 Mode de calcul de lrsquoaire de concentration
TRIANGLE 1 TRAPEgraveZE 2 TRAPEgraveZE 4
TRAPEgraveZE 3
00
02
04
06
08
10
0 025 05 075 1
q1
q2
q3
q4
q0=p0 p1 p2 p3 p4
Aire de concentration (12)-Z
Cependant Z nrsquoest pas lrsquoaire de concentration mais lrsquoaire sous la courbe de Lorenz Pour calculer lrsquoaire de concentration (numeacuterateur de lrsquoindice de Gini) il suffit maintenant de soustraire Z de lrsquoaire de concentration maximale (frac12 ) comme suit
( )([ ]sum minusminus minus+minus=minus=i
iiii ppqqZ 1121
21
21ionconcentrat de Aire )
Selon [1] lrsquoindice de Gini G est donc eacutegal agrave
( )( )[ ]( )([ ]sum
summinusminus
minusminus
minus+minus=minus+minus
=i
iiiii
iiii
ppqqppqq
G 11
11
1
21
21
21
)
[2] que lrsquoon peut eacutegalement eacutecrire
ZG 21minus= [3] La formule ci-dessus indique seulement que lrsquoindice de Gini est eacutegal agrave 1 moins deux fois lrsquoaire sous la courbe de Lorenz
Module EASYPol 040 Outils analytiques
6
Cette interpreacutetation geacuteomeacutetrique baseacutee sur la courbe de Lorenz ne constitue que lrsquoun des modes de calcul possibles de lrsquoindice de Gini Une autre approche qui va srsquoaveacuterer particuliegraverement utile ci-apregraves consiste agrave exprimer directement lrsquoindice de Gini en termes de covariance entre les niveaux de revenus et la distribution cumuleacutee des revenus En particulier
( )( )y
yFyCovG 2=[4] ougrave Cov repreacutesente la covariance entre des niveaux de revenus y et la distribution cumuleacutee des mecircmes revenus F(y) et ougrave y est le revenu moyen Il est utile de rappeler ici que la covariance est la valeur attendue E des produits des eacutecarts sur la moyenne de chaque variable Soit dans ce cas preacutecis
[ ] [ ] [ ])()()( yFyFyyEyFyCov minussdotminus= [5]
32 Lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (Gv)
Pour eacutevaluer lrsquoimpact des politiques sur lrsquoineacutegaliteacute nous disposons drsquoune mesure suffisamment souple pour incarner les preacutefeacuterences de diffeacuterents deacutecisionnaires concernant par exemple le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Apregraves tout deux deacutecisionnaires adoptant des attitudes diffeacuterentes vis-agrave-vis de lrsquoineacutegaliteacute eacutevalueront diffeacuteremment les effets drsquoune mecircme politique Lrsquoindice de Gini eacutelaboreacute dans la section preacuteceacutedente (appeleacute ci-apregraves indice de Gini standard) ne permet pas de prendre en compte ces diffeacuterences drsquoattitude ou en drsquoautres termes le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute La geacuteneacuteralisation de lrsquoindice de Gini de Yitzhaki (1983) le rend deacutependant drsquoun degreacute speacutecifieacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute La formule correspondante est la suivante
G v( )= minus vy
Cov y 1minus F(y)( )vminus1⎡ ⎣ ⎢
⎤⎦⎥ [6]
ougrave tous les termes ont le mecircme sens que dans [4] et ougrave v exprime le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Lrsquoaffectation de diffeacuterentes valeurs agrave v risque de modifier la valeur de lrsquoindice de Gini du fait drsquoune pondeacuteration diffeacuterente des revenus agrave diffeacuterentes parties de leur distribution Agrave noter que lorsque v=2 lrsquoexpression [6] revient agrave lrsquoindice de Gini standard (expression [4]) Pour comprendre la signification de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute rappelons la deacutefinition eacutetendue suivante du terme de covariance dans [6]
( )[ ] [ ] ( ) ( )[ ])(1)(1)(1 yFyFyyEyFyCov minusminusminussdotminus=minus[7]
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 7
Les seconds crochets agrave la droite de lrsquoexpression [7] doivent ecirctre interpreacuteteacutes comme la pondeacuteration agrave affecter agrave chaque niveau de revenu crsquoest-agrave-dire agrave chaque eacutecart sur la moyenne du niveau de revenus (premiers crochets) Pour les bas revenus (infeacuterieurs au revenu moyen) le terme des premiers crochets est neacutegatif et le second positif Pour les revenus eacuteleveacutes (supeacuterieurs agrave la moyenne) la situation est inverseacutee Les eacutecarts sur la moyenne sont positifs tandis que le terme des seconds crochets est neacutegatif Agrave noter la proprieacuteteacute de la fonction de distribution cumuleacutee (FDC) sa moyenne est eacutegale agrave sa meacutediane (frac12) De ce fait la valeur des seconds crochets sera positive jusqursquoagrave la meacutediane de la FDC Cela signifie que la meacutediane de la distribution des revenus aura une pondeacuteration nulle puisque le revenu meacutedian est le niveau de revenu ougrave F(y) = frac12 Il nous faut maintenant comprendre ce qui arrive aux revenus situeacutes avant et apregraves la meacutediane quand la valeur de v augmente La figure 3 se penche sur ce problegraveme La droite rouge repreacutesente la diffeacuterence de [1-F(y)] sur la moyenne dans le cas standard de v=2 Elle coupe lrsquoaxe des x au niveau meacutedian de cette distribution de revenus hypotheacutetique Si nous prenons le cas ougrave v=3 (courbe noire eacutepaisse) on voit relativement facilement qursquoune fraction des personnes riches (agrave droite de lrsquointersection avec v=2 dans la zone sud-est du graphique) possegravede (en termes absolus) une pondeacuteration infeacuterieure que lorsque v=2 Cela concerne tous les revenus pour lesquels la courbe noire eacutepaisse se situe au-dessus de la droite rouge dans le graphique Dans le mecircme temps une fraction des personnes pauvres (agrave gauche de lrsquointersection avec v=2 dans la zone nord-ouest du graphique) preacutesente une pondeacuteration supeacuterieure que lorsque v=2 Cela concerne tous les revenus pour lesquels la courbe noire eacutepaisse se situe agrave nouveau au-dessus de la droite rouge dans le graphique Lorsque lrsquoon augmente v la fraction de personnes riches dont lrsquoeacutecart de revenus sur la moyenne reccediloit une pondeacuteration infeacuterieure agrave celle de v=2 augmente Dans le mecircme temps la fraction de personnes pauvres dont lrsquoeacutecart de revenus sur la moyenne reccediloit une pondeacuteration supeacuterieure agrave celle de v=2 diminue La figure 3 rend compte des cas ougrave v=2 v=4 v=8 et v=16 Par conseacutequent quand v augmente le nombre de bas revenus posseacutedant une pondeacuteration importante diminue et le nombre de personnes posseacutedant une pondeacuteration nulle augmente Dans le calcul de Gini augmenter v signifie donc se focaliser plutocirct sur lrsquoineacutegaliteacute dans une fraction progressivement infeacuterieure de la distribution des revenus6
6 Crsquoest la raison pour laquelle on considegravere souvent v comme un laquo paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute raquo
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8
Figure 3 Pondeacuteration dans lrsquoindice de Gini
-06
-04
-02
00
02
04
06
08
10
Niveaux de revenus
(1-F
(y))
eacute
cart
s su
r la
moyenne
v=2 v=3 v=4 v=8 v=16
Quand v augmente un ensemble progressivement plus important drsquoindividus riches compte moins que quand v=2 Quand v=16 mecircme certaines personnes agrave bas revenus comptent pour zeacutero car une pauvreteacute plus extrecircme devient progressivement le point de focalisation
Quand v augmente un ensemble progressivement moindre drsquoindividus pauvres compte davantage que quand v=2 Plus v est eacuteleveacute plus le poids des individus diminue rapidement Quand v=16 peu de personnes agrave bas revenus comptent beaucoup
De ce fait lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute donne davantage de souplesse agrave leacutevaluation des programmes et des politiques de deacuteveloppement que lrsquoindice de Gini standard parce qursquoil permet drsquoincarner diffeacuterents degreacutes drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Pour mieux comprendre ce point utilisons lrsquoexemple du tableau 1 Tableau 1 Exemple de facteurs de pondeacuteration implicites dans lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Individus Revenus F(y) 1-F(y) [1-F(y)]v-
1 v=2
[1-F(y)]v-1
v=4
Revenus eacutecarts sur la
moyenne
[1-F(y)]v-1 v=2 eacutecarts
sur la moyenne
[1-F(y)]v-1 v=4 eacutecarts
sur la moyenne
Facteur de pondeacuteration
implicite quand v=2
Facteur de pondeacuteration
implicite quand v=4
1 1 000 020 080 080 051 -2 000 040 045 20 80
2 2 000 040 060 060 022 -1 000 020 015 15 343 3 000 060 040 040 006 0 000 000 10 10
4 4 000 080 020 020 001 1 000 -020 -006 05 01
5 5 000 100 000 000 000 2 000 -040 -006 00 00
Moyenne 3 000 060 040 040 006 Le tableau 1 rend compte de la distribution hypotheacutetique des revenus de cinq individus Pour chaque niveau de revenu la troisiegraveme et la quatriegraveme colonnes fournissent le reacutesultat du calcul de F(y) et de (1-F(y)) respectivement La cinquiegraveme et la sixiegraveme donnent le reacutesultat de la quatriegraveme colonne pour v=2 et v=4
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 9
Agrave noter que v=2 correspond agrave lrsquoindice de Gini standard et que v=4 inclut davantage de personnes agrave bas revenus dans la pondeacuteration La septiegraveme colonne indique lrsquoeacutecart de chaque revenu par rapport au revenu moyen Il est neacutegatif pour les bas revenus et positif pour les revenus eacuteleveacutes Nous devons simplement nous rappeler qursquoil fait partie du terme de covariance de [7] Les huitiegraveme et neuviegraveme colonnes calculent les eacutecarts sur la moyenne de lrsquoautre partie du terme de covariance de la formule [7] Que nous apprend la comparaison de ces colonnes Nous voyons facilement que la laquo pondeacuteration raquo affecteacutee aux revenus les plus bas est supeacuterieure avec v=4 qursquoavec v=2 Dans le mecircme temps la pondeacuteration de lindividu le plus riche descend rapidement agrave zeacutero quand v=4 Une meacutethode de calcul du facteur de pondeacuteration implicite de lrsquoindice de Gini consiste agrave deacutefinir le ratio entre la valeur de la fonction (1-F(y))v-1 agrave nimporte quel niveau de revenu et la valeur de cette mecircme fonction au niveau de revenu meacutedian Pour v=2 et v=4 ce calcul apparaicirct dans les deux derniegraveres colonnes du tableau 1 Quand v=2 le revenu le plus bas contribue deux fois plus au calcul de lrsquoindice de Gini que le revenu meacutedian Quand v=4 il y contribue huit fois plus Vous remarquerez eacutegalement que la contribution des revenus les plus eacuteleveacutes est infeacuterieure quand v=4
4 PROCEacuteDURE DEacuteTAILLEacuteE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
41 Lrsquoindice de Gini
La proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini est syntheacutetiseacutee dans la figure 4 baseacutee sur la formule [2] ci-dessus Il faut commencer par trier la distribution des revenus par niveaux de revenus (eacutetape 1) Agrave lrsquoeacutetape 2 nous calculons la distribution de revenus cumuleacutee Agrave lrsquoeacutetape 3 nous obtenons la proportion cumuleacutee des revenus (qi) en divisant chaque revenu cumuleacute par le total des revenus Lrsquoeacutetape 4 fournit la proportion cumuleacutee de la population (pi) Pour ce faire nous classons les individus par ordre croissant et nous attribuons le rang 1 agrave la personne au revenu le plus bas et le rang laquo n raquo agrave celle au revenu le plus eacuteleveacute puis nous divisons par n Agrave lrsquoeacutetape 5 nous calculons lrsquoaire des polygones Z1Z2 Z3Zn Le premier est un triangle les autres sont des trapegravezes (appliquez la formule figurant dans le texte) Agrave lrsquoeacutetape 6 nous additionnons toutes les aires pour obtenir lrsquoaire sous la courbe de Lorenz (Z) puis nous calculons lrsquoindice de Gini G=1-2Z La figure 4 fournit le deacuteroulement de cette proceacutedure
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Figure 4 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la distribution de revenus cumuleacutee
3Calculer la proportion cumuleacutee des revenus en divisant chaque revenu
cumuleacute par le total des revenus
4
Affecter le rang 1 au revenu le plus bas et le rang n au revenu le plus eacuteleveacute
puis calculer la proportion cumuleacutee de la population en divisant chaque rang
par n
5
Calculer laire des polygones en appliquant les formules fournies dans le
texte pour laire du triangle et des trapegravezes
6 Additionner toutes les aires pour obtenir Z puis calculer G = 1-2Z
Mais le texte fournit une autre formule de calcul direct de lrsquoindice de Gini (voir la formule [4]) baseacutee sur le terme de covariance Il est donc utile den fournir la proceacutedure de calcul deacutetailleacutee (voir la figure 5) Figure 5 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini agrave lrsquoaide de la formule de covariance
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la distribution de revenus par niveaux
de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer la covariance Cov(yF(y)) et le niveau de revenu moyen
4 Calculer Gini en appliquant la formule [4] fournie dans le texte
Lrsquoeacutetape 1 nous demande comme dhabitude de trier la distribution de revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 nous demande de calculer la FDC F(y)7
7 Voir le module EASYPOL 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de la pauvreteacute
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 11
Lrsquoeacutetape 3 nous demande simplement de prendre la covariance entre la distribution des niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee et le niveau de revenus moyen utiliseacutee dans le deacutenominateur de la formule[4] Enfin lrsquoeacutetape 4 applique directement la formule [4] fournie dans le texte
42 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
La figure 6 fournit les eacutetapes du calcul de la version geacuteneacuteraliseacutee de lrsquoindice de Gini Figure 6 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer 1-F(y) pour chaque revenu
4 Choisir la valeur du paramegravetre daversion pour lineacutegaliteacute v
5 Calculer [1-F(y)]v -1
6Calculer la covariance
Cov[y (1-F(y))v -1] et la moyenne de la distribution de revenus
7 Calculer Gini en appliquant la formule de covariance [6] fournie dans le texte
Les eacutetapes sont tregraves semblables agrave celles du calcul de lrsquoindice de Gini standard agrave lrsquoaide de la formule de covariance Les eacutetapes 1 et 2 sont mecircme identiques Par souci de commoditeacute du fait du mode drsquoexpression de la formule lrsquoeacutetape 3 nous demande de calculer pour chaque niveau de revenus la valeur de un moins la valeur de la fonction de distribution cumuleacutee agrave ce point Lrsquoeacutetape 4 est lrsquoeacuteleacutement le plus caracteacuteristique de cette proceacutedure car elle nous demande de choisir la valeur du paramegravetre de lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v Il suffit de nous souvenir que plus les valeurs de v sont eacuteleveacutees plus lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute est forte Lrsquoeacutetape 5 nous demande de calculer un eacuteleacutement du terme de covariance agrave savoir la valeur de (1-F(y))v-1 Agrave lrsquoeacutetape 6 nous devons calculer la covariance complegravete et le revenu moyen ce qui nous permettra drsquoappliquer la formule [6] fournie dans le texte pour obtenir lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (eacutetape 7)
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5 EXEMPLE NUMEacuteRIQUE DU MODE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
51 Indice de Gini standard deacuteriveacute de la courbe de Lorenz
Le calcul de lrsquoindice de Gini deacuteriveacute de la courbe de Lorenz figure dans le tableau 2 ougrave nous supposons lrsquoexistence drsquoune distribution de revenus agrave cinq individus (et cinq revenus) Lrsquoeacutetape 1 neacutecessite simplement de trier cette distribution par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 en revanche nous demande de calculer la distribution cumuleacutee des revenus Le reacutesultat de ce calcul est 15 000 uniteacutes de revenu soit le revenu total de lrsquoeacuteconomie Tableau 2 Exemple numeacuterique du calcul de lrsquoindice de Gini (deacuteriveacute de la courbe de Lorenz)
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 6
Calculer le revenu cumuleacute
Calculer la proportion
cumuleacutee des revenus (qi)
Affecter un rang aux revenus
Calculer la proportion
cumuleacutee de la population (pi)
Calculer laire des polygones
(Z)
Calculer lindice de
Gini
IndividuDistribution des revenus
Revenu cumuleacuteProportion
cumuleacutee des revenus
RangsProportion
cumuleacutee de la population
Aire des polygones
Indice de Gini
1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100
0100
EacuteTAPE 1
Trier la distribution de revenus
EacuteTAPE 4
Valeur de Z laire sous la courbe de Lorenz
G = 1 - 2Z
Aire du premier triangle
Aire de chaque trapegraveze
Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2
0007=[0067 x 02]2
Lrsquoeacutetape 3 transforme la distribution de revenus cumuleacutee en proportion cumuleacutee des revenus Le reacutesultat est 1 Rappelons-nous simplement que ces valeurs sont les qi introduits dans la section 31 ci-dessus Conformeacutement au tri de la distribution des revenus de lrsquoeacutetape 1 un rang croissant (de 1 agrave n) est affecteacute agrave chaque revenu (eacutetape 4) Ces rangs sont ensuite transformeacutes en proportion cumuleacutee de la population Ce calcul donne les p traiteacutes dans la section 31i ci-dessus Lorsque nous disposons de q et de p pour tous les niveaux de revenus nous pouvons calculer lrsquoaire des polygones sous la courbe de Lorenz Il suffit de nous rappeler que le premier est un triangle et que les autres sont des trapegravezes Pour ce faire lrsquoeacutetape 5 applique les formules preacutesenteacutees dans la section 31 La somme de ces aires donne Z crsquoest-agrave-dire lrsquoaire totale sous la courbe de Lorenz
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 13
Enfin lrsquoeacutetape 6 est lrsquoapplication meacutecanique de la formule [6] fournie dans le texte Elle donne un indice de Gini de 0267
52 Indice de Gini standard avec formule de covariance
Le tableau 3 fournit un exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule [4] de covariance preacutesenteacutee dans le texte Les eacutetapes sont ici moins nombreuses Leacutetape 1 change pas et consiste agrave trier la distribution des revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 demande de calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Lrsquoeacutetape 3 neacutecessite de calculer les deux paramegravetres essentiels agrave appliquer agrave la formule de covariance la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee (dont la valeur est de 400 dans lrsquoexemple) et le niveau de revenus moyen soit 3 000 uniteacutes de revenu Tableau 3 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule de covariance
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 4
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer la covariance Cov
(y F(y))
Calculer le niveau
moyen de revenu
Calculer Gini agrave laide la
formule [4]
Individu
A - Distribution des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacuteeCovariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267
EacuteTAPE 1
Trier la distribution des revenus
EacuteTAPE 3
Lrsquoapplication de la formule [4] fournie dans le texte donne une valeur drsquoindice de Gini eacutegale agrave 0267 (bien eacutevidemment identique agrave celle du tableau 2 )
53 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Nous nous sommes servis de la formule de covariance pour expliquer qursquoil est possible de rendre lrsquoindice de Gini standard sensible agrave un degreacute donneacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Le tableau 4 fournit un exemple de traitement de cette geacuteneacuteralisation agrave lrsquoaide de la mecircme distribution de revenus que dans les tableaux 2 et 3
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14
Tableau 4 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 4 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 7
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer 1 - F(y)
Choisir vCalculer
[1 - F(y)](v-1)
Calculer la covariance
Cov (y F(y))
Calculer le niveau de revenu
moyen
Calculer Gini agrave laide de la formule [4]
Individu
A - Distribution
des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacutee1 - F(y) v [1 - F(y)](v-1) Covariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246
EacuteTAPE 1 EacuteTAPE 6
Trier la distribution des revenus
Les eacutetapes 1 et 2 sont identiques agrave celles du tableau 3 En revanche lrsquoeacutetape 3 requiert de calculer les valeurs de un moins la fonction de distribution cumuleacutee Lrsquoeacutetape 4 introduit le paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v auquel nous avons choisi drsquoattribuer la valeur 4 Par conseacutequent chaque montant calculeacute agrave lrsquoeacutetape 3 passe agrave la puissance (v-1) crsquoest-agrave-dire 3 (eacutetape 5) Lrsquoeacutetape 6 calcule les deux paramegravetres essentiels le terme de covariance (-246 dans lrsquoexemple) et le revenu moyen (3 000) Lrsquoeacutetape 7 applique la formule [6] fournie dans le texte et donne un indice de Gini de 0246 Cette valeur est diffeacuterente de celle obtenue avec lrsquoindice de Gini standard car des pondeacuterations diffeacuterentes ont eacuteteacute attribueacutees aux mecircmes revenus
6 PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LrsquoINDICE DE GINI
Cette section deacutecrit les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini en termes des axiomes qursquoil respecte 8
Comme la plupart de ces proprieacuteteacutes sont communes aux indices de Gini standard et geacuteneacuteraliseacute nous les traiterons ensemble tout en signalant leurs diffeacuterences majeures Les principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini sont les suivantes la limite infeacuterieure de G est zeacutero quelle que soit la valeur de v Quand tous les
revenus sont eacutegaux la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee est nulle et lrsquoindice de Gini est donc zeacutero Concernant lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini standard notez que quand tous les revenus sont eacutegaux la courbe de Lorenz est eacutegale agrave la droite drsquoeacutequidistribution Par conseacutequent la somme des aires des polygones (Z) est eacutegale agrave frac12 crsquoest-agrave-dire la somme du triangle sous la courbe de Lorenz De ce fait lrsquoindice de Gini (1ndash 2Z) est eacutegal agrave zeacutero
8 Voir le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes
(disponible en anglais) pour en savoir plus sur les axiomes dans la mesure de lrsquoineacutegaliteacute de mesure
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 15
nn 1minus la limite supeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard G est Dans les tregraves grandes
populations la limite de cette valeur est 1 Quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier celui-ci est aussi eacutegal au revenu total y=Y Autrement dit il ne faut calculer qursquoune seule aire celle du dernier trapegraveze Cependant dans les tregraves grandes populations cette aire tend agrave ecirctre plus petite Dans la limite (crsquoest-agrave-dire dans un cadre continu) la valeur de lrsquoaire Z tend vers zeacutero et donc lrsquoindice de Gini tend vers
1 Dans la geacuteneacuteralisation la limite supeacuterieure de G(v) est n
nv
12 minus Souvenez-vous
que dans lrsquoindice de Gini standard v=2 lrsquoindice de Gini est invariant agrave lrsquoeacutechelle La multiplication de tous les revenus par
un facteur α ne modifie pas la valeur de lrsquoindice de Gini G Intuitivement quand tous les revenus sont redimensionneacutes par un facteur commun la distribution cumuleacutee des revenus ne change pas car une fraction donneacutee de la population continue agrave deacutetenir la mecircme fraction du revenu total Les aires sous la courbe de Lorenz demeurent donc identiques Dans le cas de la formule de covariance lrsquoapplication drsquoun facteur commun agrave tous les revenus augmente la covariance et le revenu moyen dans la mecircme mesure Lrsquoindice de Gini ne change pas Cela vaut eacutegalement pour G(v)
en revanche lrsquoindice de Gini G nrsquoest pas invariant agrave la translation Si lrsquoon
ajoutesoustrait la mecircme somme agrave tous les revenus il augmente (ou diminue) en conseacutequence Cela vaut eacutegalement pour G(v)
lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts quelle que soit la valeur de v
Si le revenu est redistribueacute drsquoindividus relativement riches agrave des individus relativement pauvres G et G(v) diminuent Lrsquoinverse est vrai si le revenu est redistribueacute de personnes relativement pauvres agrave des personnes relativement riches Dans le cas de lrsquoindice de Gini standard nous remarquons que la taille du changement deacutecoulant de la variation de lrsquoun quelconque des revenus deacutepend du rang des individus participant agrave la redistribution et de la taille de lrsquoeacutechantillon Elle ne deacutepend pas du niveau des revenus individuels redistribueacutes mais du total des revenus Plus preacuteciseacutement lrsquoindice de Gini reacuteagit davantage agrave une redistribution entre individus preacutesentant une grande diffeacuterence de rang De fait agrave quantiteacute de redistribution eacutegale lrsquoeffet est beaucoup plus faible si les deux individus sont de rang proche
Le tableau 5 illustre le principe de fonctionnement des principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini Dans la colonne de gauche figurent trois simulations de distributions de revenus La premiegravere est une distribution laquo type raquo classeacutee par niveaux de revenus Les individus de la seconde ont tous le mecircme revenu Les individus de la troisiegraveme ont tous un revenu nul sauf le dernier
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16
Pour la distribution de revenus type A lrsquoindice de Gini est de 0267 Pour les revenus eacutequidistribueacutes B il est nul et pour la distribution la plus concentreacutee C il est de 08
( 80541
==minusn
n )
Pour une augmentation de tous les revenus de 20 pour-cent la cinquiegraveme colonne montre que lrsquoindice de Gini demeurerait inchangeacute agrave 0267 (proprieacuteteacute drsquoinvariance agrave lrsquoeacutechelle) Ce ne serait pas le cas pour une augmentation de tous les revenus du mecircme montant absolu (par exemple 2 000 uniteacutes de revenu dans le texte) Dans ce cas le tableau 5 montre que lrsquoindice de Gini serait plus bas (0160) Cet indice nrsquoest pas invariant agrave la translation Lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts Si nous redistribuons par exemple 500 uniteacutes de revenu des plus riches au plus pauvres il sera infeacuterieur (0213) dans le texte Agrave noter que les mecircmes transferts entre individus de rang proche (derniegravere colonne du tableau 5) donnent toujours lieu agrave un indice de Gini plus bas (0253) mais supeacuterieur au cas preacuteceacutedent (0213) Cela montre que lrsquoindice est plus sensible aux transferts entre individus de rangs eacuteloigneacutes
Tableau 5 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
IndividuA - Distribution des
revenus type
B - Distribution des revenus avec
revenus eacutegaux
C - Distribution des revenus avec un
seul revenu
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 20 pour-cent de tous les revenus
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 2 000 USD de tous
les revenus
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 500 USD du plus riche au plus pauvre
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 200
USD par deux individus de rang
proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000
Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000
GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253
INCHANGEacute DIMINUEacute DIMINUEacute DIMINUEacute
entre individus de rang proche
Lindice de Gini reacuteagit moins aux transferts
7 INTERSECTION DE LORENZ ET INDICE DE GINI
Nous avons vu qursquoil est possible de deacuteriver lrsquoindice de Gini drsquoune courbe de Lorenz En dautres termes indice de Gini et courbe de Lorenz sont en coheacuterence Il faut neacuteanmoins rappeler que lrsquoordre fourni par les courbes de Lorenz et en particulier par la dominance
de Lorenz est partiel car quand ces courbes ne coupent rien nous sommes agrave mecircme de dire quelle distribution des revenus preacutesente le plus drsquoineacutegaliteacute Agrave lrsquoinverse lrsquoindice de Gini fournit un ordre complet puisqursquoil reacuteduit lrsquointeacutegraliteacute de la distribution des revenus agrave un seul nombre La diffeacuterence eacuteleacutementaire entre ces deux approches devient apparente en cas drsquointersection des courbes de Lorenz Prenons par exemple les deux distributions de
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 17
revenus du tableau 6 Les revenus sont distribueacutes diffeacuteremment mais lrsquoindice de Gini est le mecircme (0200) Tableau 6 Deux distributions de revenus posseacutedant le mecircme indice de Gini
IndividusDistribution des
revenus XDistribution des
revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500
Revenu total20 000 20 000
Gini 0200 0200 Ces deux distributions sont figureacutees par les courbes de Lorenz de la figure 7 Comme elles se coupent on ne peut pas srsquoen servir pour les classer en termes drsquoineacutegaliteacute des revenus Mais la maniegravere dont elles se coupent donne des aires de mecircme valeur avant et apregraves lrsquointersection Du coup lrsquoindice de Gini est identique en deacutepit de diffeacuterences de revenus importantes Figure 7 Intersection de courbes de Lorenz
00
02
04
06
08
10
00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y
Distributions de revenus diffeacuterentesIntersection de LorenzMecircme indice de Gini
Aire de concentrationavant intersection
Aire de concentrationapregraves intersection
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8 SYNTHEgraveSE DES PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LINDICE DE GINI ET DE SA VERSION GEacuteNEacuteRALISEacuteE
Le tableau 7 syntheacutetise les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee Ces proprieacuteteacutes reflegravetent la structure des axiomes9
Il est inteacuteressant de noter tout drsquoabord que la limite infeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard et de sa version geacuteneacuteraliseacutee est zeacutero alors que sa limite supeacuterieure est diffeacuterencieacutee Cette derniegravere est tregraves proche de 1 (pour les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini standard et tend vers 2v (toujours dans les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute Les deux versions de lrsquoindice de Gini respectent le principe des transferts mais il faut rappeler que lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts de revenus entre individus situeacutes agrave des positions (rang) eacuteloigneacutees dans la distribution des revenus Les deux versions sont invariantes agrave lrsquoeacutechelle et non invariantes agrave la translation et respectent le principe de population Cette structure fait de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee deux indicateurs drsquoineacutegaliteacute relative La grande utiliteacute de leurs caracteacuteristiques dans la pratique explique le fort inteacuterecirct qursquoils suscitent Tableau 7 Indice de Gini et ses proprieacuteteacutes utiles
LIMITE
INFLIMITE SUP
Principe des transferts
Invariance agrave leacutechelle
Invariance agrave la translation
Principe de population
Indice dineacutegaliteacute relative (IIR)
Inteacuterecirct
Gini 0 (n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
Gv 0 (2v )(n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
9 REMARQUES Agrave LrsquoINTENTION DES LECTEURS
91 Liens EASYPol
Les lecteurs pourront se tourner vers certains modules EASYPol pour renforcer leurs acquis de base et approfondir leurs connaissances sur lrsquoineacutegaliteacute et sa mesure Le preacutesent module fait partie drsquoun ensemble de documents expliquant les modaliteacutes de comparaison en termes drsquoineacutegaliteacute des distributions de revenus geacuteneacutereacutees par diffeacuterentes options des politiques Il appartient au parcours de formation Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des politiques
9 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses
axiomes de mesure (disponible en anglais)
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 19
Les modules EASYPol suivants preacutecegravedent logiquement le document preacutesent et pourront renforcer les connaissances des utilisateurs
Module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute courbe de Lorenz
Module EASYPol 001 Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz
EASYPol Module 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de pauvreteacute
Module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure (disponible en anglais)
Les points traiteacutes dans ce module sont approfondis dans les documents suivants
Module EASYPol 002 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz geacuteneacuteraliseacute
Module EASYPol 041 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social bien-ecirctre social fonctions de bien-ecirctre social et aversion pour lineacutegaliteacute (disponible en anglais)
Le module EASYPol 042 Impacts sur lineacutegaliteacute et la pauvreteacute de certaines
politiques agricoles cas du Paraguay est une eacutetude de cas de la mesure agrave lrsquoaide de lrsquoindice de Gini des impacts drsquoune politique agricole sur lrsquoineacutegaliteacute dans le contexte drsquoun exercice de simulation bacircti agrave partir de donneacutees reacuteelles
Module EASYPol 040 Outils analytiques
20
10 ANNEXE I ndash AUTRES MEacuteTHODES DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible
La deacuterivation de lrsquoindice de Gini par les courbes de Lorenz preacutesente une correspondance directe avec une autre meacutethode plutocirct lourde de calcul de cet indicateur
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+= minusminus
Yy
nY
yY
yYy
nnG nnn 121 32211 [A1]
Vous remarquerez la speacutecificiteacute des termes figurant entre les derniegraveres parenthegraveses ougrave chaque part de revenu de la plus eacuteleveacutee agrave la plus faible est multiplieacutee par le rang des individus dans la distribution des revenus du plus bas au plus eacuteleveacute de maniegravere agrave ce que la part la plus importante ait le rang 1 et la plus petite le rang n Cette correspondance apparaicirct encore mieux dans un exemple ougrave n=3 En rappelant la deacutefinition des q et des p on obtient
133 1
032
031
0
0300 0
3321
3
221
2
11
1
00
0
===+++
=
=++
=
=+
=
=====
pY
yyyq
pY
yyq
pY
yq
np
Yy
q
Substituer ces valeurs dans lrsquoeacutequation [2] dans le texte donne
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++minus=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++minus=
Yy
Yy
Yy
Yyy
Yyyy
Yy
Yyy
YyG 123213211211
1 35
33
311
31
31
311
[A2] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 1 Maintenant reacuteeacutecrivons lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++minus+=Yy
Yy
Yy
G 1232 32
32
311
[A3] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 2 Maintenant reacuteeacutecrivons [A2] et [A3] de maniegravere plus commode en manipulant les crochets
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus=
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
G 12121231 2
32
311
34
32
311
[A4]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +minusminus+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyyyG 121212123
2 232
3112
32
32
3112
32
311
[A5] comme lrsquoexpression entre parenthegraveses dans les deux eacutequations est eacutegale agrave 1 pour n=3 il est tregraves facile de veacuterifier que les deux expressions donnent le mecircme reacutesultat (G =G1 2) La formule [A1] souvent utiliseacutee dans les applications opeacuterationnelles est donc entiegraverement baseacutee sur la deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini
101 Indice de Gini avec formule de covariance
Dans le texte nous avons montreacute que lrsquoindice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moyen et la covariance entre les niveaux y et la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Analytiquement
( ))(2 yFyCovy
G = [A6]
Cette formule eacutequivaut aussi agrave la formule [A1] Voyons pourquoi
( )[ ] ( )[ )(1 yFyCovyFyCov ]minusminus=Sachant que comme la valeur attendue de F(y) est frac12 et la valeur attendue de [1-F(y)] frac12 eacutegalement nous pouvons reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A6]
sous la forme ( )[ ])(12 yFyCov
yG minusminus=
Lrsquoeacutequivalence entre les formules [A6] et [A1] apparaicirct agrave nouveau pour un cas simplifieacute n=3 Tout drsquoabord il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( )()()( yFEyEyyFEyFyCov minus )= ougrave E correspond agrave la valeur attendue (la moyenne) drsquoune variable donneacutee Ensuite il convient de deacutefinir chaque composante de la covariance
( ) ( ) ( )32
333
32
31
)( 3
3
31
32
33
)(123
=++
==++
= yFEYyEyyy
yyFE
nous pouvons obtenir Par conseacutequent en tenant compte du fait que 321 yyyY ++=
( ) [ ]13123123 9
192
92
92
91
92
93)( yyyyyyyyyFyCov minus=minusminusminus++=
Module EASYPol 040 Outils analytiques
22
nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minussdot
sdot=
Yy
Yy
yyY
G 1313 3
29132
Maintenant sachant que pour n=3
1321 =++
Yyyy
on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
Yy
Yy
Yy 13111223321321
32
32
32
32
32
32
32
31
ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance
102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors
034
311
36
32
31132
32
311 =minus+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus+=yy
Yy
Yy
YyG
LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera
nn
Yy
YYG 1
32
32
31100
32
311 minus
==minus+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=
comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3
G deviendrait ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
+α
α+
αα
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyG 323323 32
32
31132
32
311
GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
+minus+=
000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
112
individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
Module EASYPol 040 Outils analytiques
24
11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES
Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
24 617-628
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 25
Meacutetadonneacutees du module
1 Module EASYPol 040
2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
Franccedilais
Espagnol
Autre
3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine
Anglais The Gini Index
Franccedilais
Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module
10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
Module EASYPol 040 Outils analytiques
26
11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 3
Lrsquoindice de Gini mesure le ratio entre lrsquoaire de concentration et lrsquoaire de concentration maximale Par conseacutequent dans la figure 1 [1]
OPQORPG ==
aire de concentration maximale
i d i aire de concentration
Comme lrsquoaire de concentration maximale correspond agrave une distribution ougrave un seul individu deacutetient la totaliteacute des revenus lrsquoindice de Gini G mesure en geacuteneacuteral la distance entre lrsquoaire deacutefinie par une quelconque distribution de revenus standard et lrsquoaire de concentration maximale Il faut maintenant comprendre comment srsquoapplique la formule de la figure 1 dans la pratique Commenccedilons par le deacutenominateur de G Nous avons deacutejagrave expliqueacute4 que les coordonneacutees maximales de la courbe de Lorenz se situent au point (11) Par conseacutequent lrsquoaire OPQ doit ecirctre un triangle posseacutedant une longueur de base de 1 et une hauteur de 1 Son aire est donc eacutegale agrave frac12 Le deacutenominateur de G est donc frac12 Figure 1 Courbe de Lorenz et indice de Gini
00
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
00 200 400 600 800 1000
Proportion cumuleacutee de la population ()
Pro
port
ion c
um
uleacute
e d
es
revenus
()
Dis_A Dis_B Dis_C
O
P
Q
ORP = Aire deconcentration
R
OPQ = Aire deconcentration
maximale
ORPOPQ
GINI =Aire de concentration
=Aire de concentration maximale
Mais qursquoen est-il du numeacuterateur Au lieu de calculer directement lrsquoaire de concentration nous pouvons exploiter le fait que cette aire repreacutesente la diffeacuterence entre lrsquoaire de concentration maximale et lrsquoaire sous la courbe de Lorenz (cette derniegravere eacutetant
4 Voir le module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute des revenus la courbe de Lorenz
Module EASYPol 040 Outils analytiques
4
donneacutee par ORPQ) Le mode de calcul le plus facile de lrsquoaire sous la courbe de Lorenz est deacutecrit ci-apregraves
5Commenccedilons par rappeler la deacutefinition des coordonneacutees de la courbe de Lorenz Si nyyy lelele 21
proportion cumuleacutee de la population
proportion cumuleacutee des revenus
21
21 21
rarr =
rarr+++
= + + + + + +
=
n i p
Yyyy
y y y y yy
q
i
i
n i
i ougrave q =p =0 et q =p0 0 n n=1 Lrsquoaire sous la courbe de Lorenz ORPQ est la somme des aires drsquoune seacuterie de polygones Regardons la figure 2 ougrave une courbe de Lorenz simplifieacutee a eacuteteacute creacuteeacutee pour une population de quatre individus Le premier polygone est un triangle (p q po 1 1) et les trois autres sont des trapegravezes isocegraveles pivoteacutes On peut donc calculer chaque aire seacutepareacutement et ajouter les reacutesultats obtenus pour obtenir la valeur de lrsquoaire globale Symbolisons lrsquoaire du iegraveme polygone par Zi et lrsquoaire totale obtenue de cette maniegravere par Z Lrsquoaire du triangle est donneacutee par
2
hauteur
1
base
11
qpZ = tandis que lrsquoaire de chaque trapegraveze est donneacutee par
( ) ( )2
hauteur
1
base longue + base courte
186minusminus minus+
= iiiii
ppqZ
q
Comme q =p =0 la somme de toutes ces aires donne 0 0
( )([ ]sumsum minusminus=
minus+==i
iiii
n
ii ppqqZZ 11
1 21 )
pour n=4
5 Voir le module EASYPOL 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute des revenus la courbe de Lorenz
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 5
Figure 2 Mode de calcul de lrsquoaire de concentration
TRIANGLE 1 TRAPEgraveZE 2 TRAPEgraveZE 4
TRAPEgraveZE 3
00
02
04
06
08
10
0 025 05 075 1
q1
q2
q3
q4
q0=p0 p1 p2 p3 p4
Aire de concentration (12)-Z
Cependant Z nrsquoest pas lrsquoaire de concentration mais lrsquoaire sous la courbe de Lorenz Pour calculer lrsquoaire de concentration (numeacuterateur de lrsquoindice de Gini) il suffit maintenant de soustraire Z de lrsquoaire de concentration maximale (frac12 ) comme suit
( )([ ]sum minusminus minus+minus=minus=i
iiii ppqqZ 1121
21
21ionconcentrat de Aire )
Selon [1] lrsquoindice de Gini G est donc eacutegal agrave
( )( )[ ]( )([ ]sum
summinusminus
minusminus
minus+minus=minus+minus
=i
iiiii
iiii
ppqqppqq
G 11
11
1
21
21
21
)
[2] que lrsquoon peut eacutegalement eacutecrire
ZG 21minus= [3] La formule ci-dessus indique seulement que lrsquoindice de Gini est eacutegal agrave 1 moins deux fois lrsquoaire sous la courbe de Lorenz
Module EASYPol 040 Outils analytiques
6
Cette interpreacutetation geacuteomeacutetrique baseacutee sur la courbe de Lorenz ne constitue que lrsquoun des modes de calcul possibles de lrsquoindice de Gini Une autre approche qui va srsquoaveacuterer particuliegraverement utile ci-apregraves consiste agrave exprimer directement lrsquoindice de Gini en termes de covariance entre les niveaux de revenus et la distribution cumuleacutee des revenus En particulier
( )( )y
yFyCovG 2=[4] ougrave Cov repreacutesente la covariance entre des niveaux de revenus y et la distribution cumuleacutee des mecircmes revenus F(y) et ougrave y est le revenu moyen Il est utile de rappeler ici que la covariance est la valeur attendue E des produits des eacutecarts sur la moyenne de chaque variable Soit dans ce cas preacutecis
[ ] [ ] [ ])()()( yFyFyyEyFyCov minussdotminus= [5]
32 Lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (Gv)
Pour eacutevaluer lrsquoimpact des politiques sur lrsquoineacutegaliteacute nous disposons drsquoune mesure suffisamment souple pour incarner les preacutefeacuterences de diffeacuterents deacutecisionnaires concernant par exemple le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Apregraves tout deux deacutecisionnaires adoptant des attitudes diffeacuterentes vis-agrave-vis de lrsquoineacutegaliteacute eacutevalueront diffeacuteremment les effets drsquoune mecircme politique Lrsquoindice de Gini eacutelaboreacute dans la section preacuteceacutedente (appeleacute ci-apregraves indice de Gini standard) ne permet pas de prendre en compte ces diffeacuterences drsquoattitude ou en drsquoautres termes le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute La geacuteneacuteralisation de lrsquoindice de Gini de Yitzhaki (1983) le rend deacutependant drsquoun degreacute speacutecifieacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute La formule correspondante est la suivante
G v( )= minus vy
Cov y 1minus F(y)( )vminus1⎡ ⎣ ⎢
⎤⎦⎥ [6]
ougrave tous les termes ont le mecircme sens que dans [4] et ougrave v exprime le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Lrsquoaffectation de diffeacuterentes valeurs agrave v risque de modifier la valeur de lrsquoindice de Gini du fait drsquoune pondeacuteration diffeacuterente des revenus agrave diffeacuterentes parties de leur distribution Agrave noter que lorsque v=2 lrsquoexpression [6] revient agrave lrsquoindice de Gini standard (expression [4]) Pour comprendre la signification de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute rappelons la deacutefinition eacutetendue suivante du terme de covariance dans [6]
( )[ ] [ ] ( ) ( )[ ])(1)(1)(1 yFyFyyEyFyCov minusminusminussdotminus=minus[7]
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 7
Les seconds crochets agrave la droite de lrsquoexpression [7] doivent ecirctre interpreacuteteacutes comme la pondeacuteration agrave affecter agrave chaque niveau de revenu crsquoest-agrave-dire agrave chaque eacutecart sur la moyenne du niveau de revenus (premiers crochets) Pour les bas revenus (infeacuterieurs au revenu moyen) le terme des premiers crochets est neacutegatif et le second positif Pour les revenus eacuteleveacutes (supeacuterieurs agrave la moyenne) la situation est inverseacutee Les eacutecarts sur la moyenne sont positifs tandis que le terme des seconds crochets est neacutegatif Agrave noter la proprieacuteteacute de la fonction de distribution cumuleacutee (FDC) sa moyenne est eacutegale agrave sa meacutediane (frac12) De ce fait la valeur des seconds crochets sera positive jusqursquoagrave la meacutediane de la FDC Cela signifie que la meacutediane de la distribution des revenus aura une pondeacuteration nulle puisque le revenu meacutedian est le niveau de revenu ougrave F(y) = frac12 Il nous faut maintenant comprendre ce qui arrive aux revenus situeacutes avant et apregraves la meacutediane quand la valeur de v augmente La figure 3 se penche sur ce problegraveme La droite rouge repreacutesente la diffeacuterence de [1-F(y)] sur la moyenne dans le cas standard de v=2 Elle coupe lrsquoaxe des x au niveau meacutedian de cette distribution de revenus hypotheacutetique Si nous prenons le cas ougrave v=3 (courbe noire eacutepaisse) on voit relativement facilement qursquoune fraction des personnes riches (agrave droite de lrsquointersection avec v=2 dans la zone sud-est du graphique) possegravede (en termes absolus) une pondeacuteration infeacuterieure que lorsque v=2 Cela concerne tous les revenus pour lesquels la courbe noire eacutepaisse se situe au-dessus de la droite rouge dans le graphique Dans le mecircme temps une fraction des personnes pauvres (agrave gauche de lrsquointersection avec v=2 dans la zone nord-ouest du graphique) preacutesente une pondeacuteration supeacuterieure que lorsque v=2 Cela concerne tous les revenus pour lesquels la courbe noire eacutepaisse se situe agrave nouveau au-dessus de la droite rouge dans le graphique Lorsque lrsquoon augmente v la fraction de personnes riches dont lrsquoeacutecart de revenus sur la moyenne reccediloit une pondeacuteration infeacuterieure agrave celle de v=2 augmente Dans le mecircme temps la fraction de personnes pauvres dont lrsquoeacutecart de revenus sur la moyenne reccediloit une pondeacuteration supeacuterieure agrave celle de v=2 diminue La figure 3 rend compte des cas ougrave v=2 v=4 v=8 et v=16 Par conseacutequent quand v augmente le nombre de bas revenus posseacutedant une pondeacuteration importante diminue et le nombre de personnes posseacutedant une pondeacuteration nulle augmente Dans le calcul de Gini augmenter v signifie donc se focaliser plutocirct sur lrsquoineacutegaliteacute dans une fraction progressivement infeacuterieure de la distribution des revenus6
6 Crsquoest la raison pour laquelle on considegravere souvent v comme un laquo paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute raquo
Module EASYPol 040 Outils analytiques
8
Figure 3 Pondeacuteration dans lrsquoindice de Gini
-06
-04
-02
00
02
04
06
08
10
Niveaux de revenus
(1-F
(y))
eacute
cart
s su
r la
moyenne
v=2 v=3 v=4 v=8 v=16
Quand v augmente un ensemble progressivement plus important drsquoindividus riches compte moins que quand v=2 Quand v=16 mecircme certaines personnes agrave bas revenus comptent pour zeacutero car une pauvreteacute plus extrecircme devient progressivement le point de focalisation
Quand v augmente un ensemble progressivement moindre drsquoindividus pauvres compte davantage que quand v=2 Plus v est eacuteleveacute plus le poids des individus diminue rapidement Quand v=16 peu de personnes agrave bas revenus comptent beaucoup
De ce fait lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute donne davantage de souplesse agrave leacutevaluation des programmes et des politiques de deacuteveloppement que lrsquoindice de Gini standard parce qursquoil permet drsquoincarner diffeacuterents degreacutes drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Pour mieux comprendre ce point utilisons lrsquoexemple du tableau 1 Tableau 1 Exemple de facteurs de pondeacuteration implicites dans lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Individus Revenus F(y) 1-F(y) [1-F(y)]v-
1 v=2
[1-F(y)]v-1
v=4
Revenus eacutecarts sur la
moyenne
[1-F(y)]v-1 v=2 eacutecarts
sur la moyenne
[1-F(y)]v-1 v=4 eacutecarts
sur la moyenne
Facteur de pondeacuteration
implicite quand v=2
Facteur de pondeacuteration
implicite quand v=4
1 1 000 020 080 080 051 -2 000 040 045 20 80
2 2 000 040 060 060 022 -1 000 020 015 15 343 3 000 060 040 040 006 0 000 000 10 10
4 4 000 080 020 020 001 1 000 -020 -006 05 01
5 5 000 100 000 000 000 2 000 -040 -006 00 00
Moyenne 3 000 060 040 040 006 Le tableau 1 rend compte de la distribution hypotheacutetique des revenus de cinq individus Pour chaque niveau de revenu la troisiegraveme et la quatriegraveme colonnes fournissent le reacutesultat du calcul de F(y) et de (1-F(y)) respectivement La cinquiegraveme et la sixiegraveme donnent le reacutesultat de la quatriegraveme colonne pour v=2 et v=4
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 9
Agrave noter que v=2 correspond agrave lrsquoindice de Gini standard et que v=4 inclut davantage de personnes agrave bas revenus dans la pondeacuteration La septiegraveme colonne indique lrsquoeacutecart de chaque revenu par rapport au revenu moyen Il est neacutegatif pour les bas revenus et positif pour les revenus eacuteleveacutes Nous devons simplement nous rappeler qursquoil fait partie du terme de covariance de [7] Les huitiegraveme et neuviegraveme colonnes calculent les eacutecarts sur la moyenne de lrsquoautre partie du terme de covariance de la formule [7] Que nous apprend la comparaison de ces colonnes Nous voyons facilement que la laquo pondeacuteration raquo affecteacutee aux revenus les plus bas est supeacuterieure avec v=4 qursquoavec v=2 Dans le mecircme temps la pondeacuteration de lindividu le plus riche descend rapidement agrave zeacutero quand v=4 Une meacutethode de calcul du facteur de pondeacuteration implicite de lrsquoindice de Gini consiste agrave deacutefinir le ratio entre la valeur de la fonction (1-F(y))v-1 agrave nimporte quel niveau de revenu et la valeur de cette mecircme fonction au niveau de revenu meacutedian Pour v=2 et v=4 ce calcul apparaicirct dans les deux derniegraveres colonnes du tableau 1 Quand v=2 le revenu le plus bas contribue deux fois plus au calcul de lrsquoindice de Gini que le revenu meacutedian Quand v=4 il y contribue huit fois plus Vous remarquerez eacutegalement que la contribution des revenus les plus eacuteleveacutes est infeacuterieure quand v=4
4 PROCEacuteDURE DEacuteTAILLEacuteE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
41 Lrsquoindice de Gini
La proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini est syntheacutetiseacutee dans la figure 4 baseacutee sur la formule [2] ci-dessus Il faut commencer par trier la distribution des revenus par niveaux de revenus (eacutetape 1) Agrave lrsquoeacutetape 2 nous calculons la distribution de revenus cumuleacutee Agrave lrsquoeacutetape 3 nous obtenons la proportion cumuleacutee des revenus (qi) en divisant chaque revenu cumuleacute par le total des revenus Lrsquoeacutetape 4 fournit la proportion cumuleacutee de la population (pi) Pour ce faire nous classons les individus par ordre croissant et nous attribuons le rang 1 agrave la personne au revenu le plus bas et le rang laquo n raquo agrave celle au revenu le plus eacuteleveacute puis nous divisons par n Agrave lrsquoeacutetape 5 nous calculons lrsquoaire des polygones Z1Z2 Z3Zn Le premier est un triangle les autres sont des trapegravezes (appliquez la formule figurant dans le texte) Agrave lrsquoeacutetape 6 nous additionnons toutes les aires pour obtenir lrsquoaire sous la courbe de Lorenz (Z) puis nous calculons lrsquoindice de Gini G=1-2Z La figure 4 fournit le deacuteroulement de cette proceacutedure
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Figure 4 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la distribution de revenus cumuleacutee
3Calculer la proportion cumuleacutee des revenus en divisant chaque revenu
cumuleacute par le total des revenus
4
Affecter le rang 1 au revenu le plus bas et le rang n au revenu le plus eacuteleveacute
puis calculer la proportion cumuleacutee de la population en divisant chaque rang
par n
5
Calculer laire des polygones en appliquant les formules fournies dans le
texte pour laire du triangle et des trapegravezes
6 Additionner toutes les aires pour obtenir Z puis calculer G = 1-2Z
Mais le texte fournit une autre formule de calcul direct de lrsquoindice de Gini (voir la formule [4]) baseacutee sur le terme de covariance Il est donc utile den fournir la proceacutedure de calcul deacutetailleacutee (voir la figure 5) Figure 5 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini agrave lrsquoaide de la formule de covariance
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la distribution de revenus par niveaux
de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer la covariance Cov(yF(y)) et le niveau de revenu moyen
4 Calculer Gini en appliquant la formule [4] fournie dans le texte
Lrsquoeacutetape 1 nous demande comme dhabitude de trier la distribution de revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 nous demande de calculer la FDC F(y)7
7 Voir le module EASYPOL 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de la pauvreteacute
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 11
Lrsquoeacutetape 3 nous demande simplement de prendre la covariance entre la distribution des niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee et le niveau de revenus moyen utiliseacutee dans le deacutenominateur de la formule[4] Enfin lrsquoeacutetape 4 applique directement la formule [4] fournie dans le texte
42 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
La figure 6 fournit les eacutetapes du calcul de la version geacuteneacuteraliseacutee de lrsquoindice de Gini Figure 6 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer 1-F(y) pour chaque revenu
4 Choisir la valeur du paramegravetre daversion pour lineacutegaliteacute v
5 Calculer [1-F(y)]v -1
6Calculer la covariance
Cov[y (1-F(y))v -1] et la moyenne de la distribution de revenus
7 Calculer Gini en appliquant la formule de covariance [6] fournie dans le texte
Les eacutetapes sont tregraves semblables agrave celles du calcul de lrsquoindice de Gini standard agrave lrsquoaide de la formule de covariance Les eacutetapes 1 et 2 sont mecircme identiques Par souci de commoditeacute du fait du mode drsquoexpression de la formule lrsquoeacutetape 3 nous demande de calculer pour chaque niveau de revenus la valeur de un moins la valeur de la fonction de distribution cumuleacutee agrave ce point Lrsquoeacutetape 4 est lrsquoeacuteleacutement le plus caracteacuteristique de cette proceacutedure car elle nous demande de choisir la valeur du paramegravetre de lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v Il suffit de nous souvenir que plus les valeurs de v sont eacuteleveacutees plus lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute est forte Lrsquoeacutetape 5 nous demande de calculer un eacuteleacutement du terme de covariance agrave savoir la valeur de (1-F(y))v-1 Agrave lrsquoeacutetape 6 nous devons calculer la covariance complegravete et le revenu moyen ce qui nous permettra drsquoappliquer la formule [6] fournie dans le texte pour obtenir lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (eacutetape 7)
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5 EXEMPLE NUMEacuteRIQUE DU MODE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
51 Indice de Gini standard deacuteriveacute de la courbe de Lorenz
Le calcul de lrsquoindice de Gini deacuteriveacute de la courbe de Lorenz figure dans le tableau 2 ougrave nous supposons lrsquoexistence drsquoune distribution de revenus agrave cinq individus (et cinq revenus) Lrsquoeacutetape 1 neacutecessite simplement de trier cette distribution par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 en revanche nous demande de calculer la distribution cumuleacutee des revenus Le reacutesultat de ce calcul est 15 000 uniteacutes de revenu soit le revenu total de lrsquoeacuteconomie Tableau 2 Exemple numeacuterique du calcul de lrsquoindice de Gini (deacuteriveacute de la courbe de Lorenz)
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 6
Calculer le revenu cumuleacute
Calculer la proportion
cumuleacutee des revenus (qi)
Affecter un rang aux revenus
Calculer la proportion
cumuleacutee de la population (pi)
Calculer laire des polygones
(Z)
Calculer lindice de
Gini
IndividuDistribution des revenus
Revenu cumuleacuteProportion
cumuleacutee des revenus
RangsProportion
cumuleacutee de la population
Aire des polygones
Indice de Gini
1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100
0100
EacuteTAPE 1
Trier la distribution de revenus
EacuteTAPE 4
Valeur de Z laire sous la courbe de Lorenz
G = 1 - 2Z
Aire du premier triangle
Aire de chaque trapegraveze
Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2
0007=[0067 x 02]2
Lrsquoeacutetape 3 transforme la distribution de revenus cumuleacutee en proportion cumuleacutee des revenus Le reacutesultat est 1 Rappelons-nous simplement que ces valeurs sont les qi introduits dans la section 31 ci-dessus Conformeacutement au tri de la distribution des revenus de lrsquoeacutetape 1 un rang croissant (de 1 agrave n) est affecteacute agrave chaque revenu (eacutetape 4) Ces rangs sont ensuite transformeacutes en proportion cumuleacutee de la population Ce calcul donne les p traiteacutes dans la section 31i ci-dessus Lorsque nous disposons de q et de p pour tous les niveaux de revenus nous pouvons calculer lrsquoaire des polygones sous la courbe de Lorenz Il suffit de nous rappeler que le premier est un triangle et que les autres sont des trapegravezes Pour ce faire lrsquoeacutetape 5 applique les formules preacutesenteacutees dans la section 31 La somme de ces aires donne Z crsquoest-agrave-dire lrsquoaire totale sous la courbe de Lorenz
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 13
Enfin lrsquoeacutetape 6 est lrsquoapplication meacutecanique de la formule [6] fournie dans le texte Elle donne un indice de Gini de 0267
52 Indice de Gini standard avec formule de covariance
Le tableau 3 fournit un exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule [4] de covariance preacutesenteacutee dans le texte Les eacutetapes sont ici moins nombreuses Leacutetape 1 change pas et consiste agrave trier la distribution des revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 demande de calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Lrsquoeacutetape 3 neacutecessite de calculer les deux paramegravetres essentiels agrave appliquer agrave la formule de covariance la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee (dont la valeur est de 400 dans lrsquoexemple) et le niveau de revenus moyen soit 3 000 uniteacutes de revenu Tableau 3 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule de covariance
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 4
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer la covariance Cov
(y F(y))
Calculer le niveau
moyen de revenu
Calculer Gini agrave laide la
formule [4]
Individu
A - Distribution des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacuteeCovariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267
EacuteTAPE 1
Trier la distribution des revenus
EacuteTAPE 3
Lrsquoapplication de la formule [4] fournie dans le texte donne une valeur drsquoindice de Gini eacutegale agrave 0267 (bien eacutevidemment identique agrave celle du tableau 2 )
53 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Nous nous sommes servis de la formule de covariance pour expliquer qursquoil est possible de rendre lrsquoindice de Gini standard sensible agrave un degreacute donneacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Le tableau 4 fournit un exemple de traitement de cette geacuteneacuteralisation agrave lrsquoaide de la mecircme distribution de revenus que dans les tableaux 2 et 3
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Tableau 4 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 4 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 7
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer 1 - F(y)
Choisir vCalculer
[1 - F(y)](v-1)
Calculer la covariance
Cov (y F(y))
Calculer le niveau de revenu
moyen
Calculer Gini agrave laide de la formule [4]
Individu
A - Distribution
des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacutee1 - F(y) v [1 - F(y)](v-1) Covariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246
EacuteTAPE 1 EacuteTAPE 6
Trier la distribution des revenus
Les eacutetapes 1 et 2 sont identiques agrave celles du tableau 3 En revanche lrsquoeacutetape 3 requiert de calculer les valeurs de un moins la fonction de distribution cumuleacutee Lrsquoeacutetape 4 introduit le paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v auquel nous avons choisi drsquoattribuer la valeur 4 Par conseacutequent chaque montant calculeacute agrave lrsquoeacutetape 3 passe agrave la puissance (v-1) crsquoest-agrave-dire 3 (eacutetape 5) Lrsquoeacutetape 6 calcule les deux paramegravetres essentiels le terme de covariance (-246 dans lrsquoexemple) et le revenu moyen (3 000) Lrsquoeacutetape 7 applique la formule [6] fournie dans le texte et donne un indice de Gini de 0246 Cette valeur est diffeacuterente de celle obtenue avec lrsquoindice de Gini standard car des pondeacuterations diffeacuterentes ont eacuteteacute attribueacutees aux mecircmes revenus
6 PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LrsquoINDICE DE GINI
Cette section deacutecrit les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini en termes des axiomes qursquoil respecte 8
Comme la plupart de ces proprieacuteteacutes sont communes aux indices de Gini standard et geacuteneacuteraliseacute nous les traiterons ensemble tout en signalant leurs diffeacuterences majeures Les principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini sont les suivantes la limite infeacuterieure de G est zeacutero quelle que soit la valeur de v Quand tous les
revenus sont eacutegaux la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee est nulle et lrsquoindice de Gini est donc zeacutero Concernant lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini standard notez que quand tous les revenus sont eacutegaux la courbe de Lorenz est eacutegale agrave la droite drsquoeacutequidistribution Par conseacutequent la somme des aires des polygones (Z) est eacutegale agrave frac12 crsquoest-agrave-dire la somme du triangle sous la courbe de Lorenz De ce fait lrsquoindice de Gini (1ndash 2Z) est eacutegal agrave zeacutero
8 Voir le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes
(disponible en anglais) pour en savoir plus sur les axiomes dans la mesure de lrsquoineacutegaliteacute de mesure
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 15
nn 1minus la limite supeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard G est Dans les tregraves grandes
populations la limite de cette valeur est 1 Quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier celui-ci est aussi eacutegal au revenu total y=Y Autrement dit il ne faut calculer qursquoune seule aire celle du dernier trapegraveze Cependant dans les tregraves grandes populations cette aire tend agrave ecirctre plus petite Dans la limite (crsquoest-agrave-dire dans un cadre continu) la valeur de lrsquoaire Z tend vers zeacutero et donc lrsquoindice de Gini tend vers
1 Dans la geacuteneacuteralisation la limite supeacuterieure de G(v) est n
nv
12 minus Souvenez-vous
que dans lrsquoindice de Gini standard v=2 lrsquoindice de Gini est invariant agrave lrsquoeacutechelle La multiplication de tous les revenus par
un facteur α ne modifie pas la valeur de lrsquoindice de Gini G Intuitivement quand tous les revenus sont redimensionneacutes par un facteur commun la distribution cumuleacutee des revenus ne change pas car une fraction donneacutee de la population continue agrave deacutetenir la mecircme fraction du revenu total Les aires sous la courbe de Lorenz demeurent donc identiques Dans le cas de la formule de covariance lrsquoapplication drsquoun facteur commun agrave tous les revenus augmente la covariance et le revenu moyen dans la mecircme mesure Lrsquoindice de Gini ne change pas Cela vaut eacutegalement pour G(v)
en revanche lrsquoindice de Gini G nrsquoest pas invariant agrave la translation Si lrsquoon
ajoutesoustrait la mecircme somme agrave tous les revenus il augmente (ou diminue) en conseacutequence Cela vaut eacutegalement pour G(v)
lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts quelle que soit la valeur de v
Si le revenu est redistribueacute drsquoindividus relativement riches agrave des individus relativement pauvres G et G(v) diminuent Lrsquoinverse est vrai si le revenu est redistribueacute de personnes relativement pauvres agrave des personnes relativement riches Dans le cas de lrsquoindice de Gini standard nous remarquons que la taille du changement deacutecoulant de la variation de lrsquoun quelconque des revenus deacutepend du rang des individus participant agrave la redistribution et de la taille de lrsquoeacutechantillon Elle ne deacutepend pas du niveau des revenus individuels redistribueacutes mais du total des revenus Plus preacuteciseacutement lrsquoindice de Gini reacuteagit davantage agrave une redistribution entre individus preacutesentant une grande diffeacuterence de rang De fait agrave quantiteacute de redistribution eacutegale lrsquoeffet est beaucoup plus faible si les deux individus sont de rang proche
Le tableau 5 illustre le principe de fonctionnement des principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini Dans la colonne de gauche figurent trois simulations de distributions de revenus La premiegravere est une distribution laquo type raquo classeacutee par niveaux de revenus Les individus de la seconde ont tous le mecircme revenu Les individus de la troisiegraveme ont tous un revenu nul sauf le dernier
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Pour la distribution de revenus type A lrsquoindice de Gini est de 0267 Pour les revenus eacutequidistribueacutes B il est nul et pour la distribution la plus concentreacutee C il est de 08
( 80541
==minusn
n )
Pour une augmentation de tous les revenus de 20 pour-cent la cinquiegraveme colonne montre que lrsquoindice de Gini demeurerait inchangeacute agrave 0267 (proprieacuteteacute drsquoinvariance agrave lrsquoeacutechelle) Ce ne serait pas le cas pour une augmentation de tous les revenus du mecircme montant absolu (par exemple 2 000 uniteacutes de revenu dans le texte) Dans ce cas le tableau 5 montre que lrsquoindice de Gini serait plus bas (0160) Cet indice nrsquoest pas invariant agrave la translation Lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts Si nous redistribuons par exemple 500 uniteacutes de revenu des plus riches au plus pauvres il sera infeacuterieur (0213) dans le texte Agrave noter que les mecircmes transferts entre individus de rang proche (derniegravere colonne du tableau 5) donnent toujours lieu agrave un indice de Gini plus bas (0253) mais supeacuterieur au cas preacuteceacutedent (0213) Cela montre que lrsquoindice est plus sensible aux transferts entre individus de rangs eacuteloigneacutes
Tableau 5 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
IndividuA - Distribution des
revenus type
B - Distribution des revenus avec
revenus eacutegaux
C - Distribution des revenus avec un
seul revenu
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 20 pour-cent de tous les revenus
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 2 000 USD de tous
les revenus
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 500 USD du plus riche au plus pauvre
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 200
USD par deux individus de rang
proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000
Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000
GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253
INCHANGEacute DIMINUEacute DIMINUEacute DIMINUEacute
entre individus de rang proche
Lindice de Gini reacuteagit moins aux transferts
7 INTERSECTION DE LORENZ ET INDICE DE GINI
Nous avons vu qursquoil est possible de deacuteriver lrsquoindice de Gini drsquoune courbe de Lorenz En dautres termes indice de Gini et courbe de Lorenz sont en coheacuterence Il faut neacuteanmoins rappeler que lrsquoordre fourni par les courbes de Lorenz et en particulier par la dominance
de Lorenz est partiel car quand ces courbes ne coupent rien nous sommes agrave mecircme de dire quelle distribution des revenus preacutesente le plus drsquoineacutegaliteacute Agrave lrsquoinverse lrsquoindice de Gini fournit un ordre complet puisqursquoil reacuteduit lrsquointeacutegraliteacute de la distribution des revenus agrave un seul nombre La diffeacuterence eacuteleacutementaire entre ces deux approches devient apparente en cas drsquointersection des courbes de Lorenz Prenons par exemple les deux distributions de
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 17
revenus du tableau 6 Les revenus sont distribueacutes diffeacuteremment mais lrsquoindice de Gini est le mecircme (0200) Tableau 6 Deux distributions de revenus posseacutedant le mecircme indice de Gini
IndividusDistribution des
revenus XDistribution des
revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500
Revenu total20 000 20 000
Gini 0200 0200 Ces deux distributions sont figureacutees par les courbes de Lorenz de la figure 7 Comme elles se coupent on ne peut pas srsquoen servir pour les classer en termes drsquoineacutegaliteacute des revenus Mais la maniegravere dont elles se coupent donne des aires de mecircme valeur avant et apregraves lrsquointersection Du coup lrsquoindice de Gini est identique en deacutepit de diffeacuterences de revenus importantes Figure 7 Intersection de courbes de Lorenz
00
02
04
06
08
10
00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y
Distributions de revenus diffeacuterentesIntersection de LorenzMecircme indice de Gini
Aire de concentrationavant intersection
Aire de concentrationapregraves intersection
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8 SYNTHEgraveSE DES PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LINDICE DE GINI ET DE SA VERSION GEacuteNEacuteRALISEacuteE
Le tableau 7 syntheacutetise les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee Ces proprieacuteteacutes reflegravetent la structure des axiomes9
Il est inteacuteressant de noter tout drsquoabord que la limite infeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard et de sa version geacuteneacuteraliseacutee est zeacutero alors que sa limite supeacuterieure est diffeacuterencieacutee Cette derniegravere est tregraves proche de 1 (pour les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini standard et tend vers 2v (toujours dans les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute Les deux versions de lrsquoindice de Gini respectent le principe des transferts mais il faut rappeler que lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts de revenus entre individus situeacutes agrave des positions (rang) eacuteloigneacutees dans la distribution des revenus Les deux versions sont invariantes agrave lrsquoeacutechelle et non invariantes agrave la translation et respectent le principe de population Cette structure fait de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee deux indicateurs drsquoineacutegaliteacute relative La grande utiliteacute de leurs caracteacuteristiques dans la pratique explique le fort inteacuterecirct qursquoils suscitent Tableau 7 Indice de Gini et ses proprieacuteteacutes utiles
LIMITE
INFLIMITE SUP
Principe des transferts
Invariance agrave leacutechelle
Invariance agrave la translation
Principe de population
Indice dineacutegaliteacute relative (IIR)
Inteacuterecirct
Gini 0 (n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
Gv 0 (2v )(n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
9 REMARQUES Agrave LrsquoINTENTION DES LECTEURS
91 Liens EASYPol
Les lecteurs pourront se tourner vers certains modules EASYPol pour renforcer leurs acquis de base et approfondir leurs connaissances sur lrsquoineacutegaliteacute et sa mesure Le preacutesent module fait partie drsquoun ensemble de documents expliquant les modaliteacutes de comparaison en termes drsquoineacutegaliteacute des distributions de revenus geacuteneacutereacutees par diffeacuterentes options des politiques Il appartient au parcours de formation Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des politiques
9 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses
axiomes de mesure (disponible en anglais)
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 19
Les modules EASYPol suivants preacutecegravedent logiquement le document preacutesent et pourront renforcer les connaissances des utilisateurs
Module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute courbe de Lorenz
Module EASYPol 001 Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz
EASYPol Module 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de pauvreteacute
Module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure (disponible en anglais)
Les points traiteacutes dans ce module sont approfondis dans les documents suivants
Module EASYPol 002 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz geacuteneacuteraliseacute
Module EASYPol 041 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social bien-ecirctre social fonctions de bien-ecirctre social et aversion pour lineacutegaliteacute (disponible en anglais)
Le module EASYPol 042 Impacts sur lineacutegaliteacute et la pauvreteacute de certaines
politiques agricoles cas du Paraguay est une eacutetude de cas de la mesure agrave lrsquoaide de lrsquoindice de Gini des impacts drsquoune politique agricole sur lrsquoineacutegaliteacute dans le contexte drsquoun exercice de simulation bacircti agrave partir de donneacutees reacuteelles
Module EASYPol 040 Outils analytiques
20
10 ANNEXE I ndash AUTRES MEacuteTHODES DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible
La deacuterivation de lrsquoindice de Gini par les courbes de Lorenz preacutesente une correspondance directe avec une autre meacutethode plutocirct lourde de calcul de cet indicateur
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+= minusminus
Yy
nY
yY
yYy
nnG nnn 121 32211 [A1]
Vous remarquerez la speacutecificiteacute des termes figurant entre les derniegraveres parenthegraveses ougrave chaque part de revenu de la plus eacuteleveacutee agrave la plus faible est multiplieacutee par le rang des individus dans la distribution des revenus du plus bas au plus eacuteleveacute de maniegravere agrave ce que la part la plus importante ait le rang 1 et la plus petite le rang n Cette correspondance apparaicirct encore mieux dans un exemple ougrave n=3 En rappelant la deacutefinition des q et des p on obtient
133 1
032
031
0
0300 0
3321
3
221
2
11
1
00
0
===+++
=
=++
=
=+
=
=====
pY
yyyq
pY
yyq
pY
yq
np
Yy
q
Substituer ces valeurs dans lrsquoeacutequation [2] dans le texte donne
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++minus=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++minus=
Yy
Yy
Yy
Yyy
Yyyy
Yy
Yyy
YyG 123213211211
1 35
33
311
31
31
311
[A2] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 1 Maintenant reacuteeacutecrivons lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++minus+=Yy
Yy
Yy
G 1232 32
32
311
[A3] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 2 Maintenant reacuteeacutecrivons [A2] et [A3] de maniegravere plus commode en manipulant les crochets
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus=
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
G 12121231 2
32
311
34
32
311
[A4]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +minusminus+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyyyG 121212123
2 232
3112
32
32
3112
32
311
[A5] comme lrsquoexpression entre parenthegraveses dans les deux eacutequations est eacutegale agrave 1 pour n=3 il est tregraves facile de veacuterifier que les deux expressions donnent le mecircme reacutesultat (G =G1 2) La formule [A1] souvent utiliseacutee dans les applications opeacuterationnelles est donc entiegraverement baseacutee sur la deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini
101 Indice de Gini avec formule de covariance
Dans le texte nous avons montreacute que lrsquoindice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moyen et la covariance entre les niveaux y et la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Analytiquement
( ))(2 yFyCovy
G = [A6]
Cette formule eacutequivaut aussi agrave la formule [A1] Voyons pourquoi
( )[ ] ( )[ )(1 yFyCovyFyCov ]minusminus=Sachant que comme la valeur attendue de F(y) est frac12 et la valeur attendue de [1-F(y)] frac12 eacutegalement nous pouvons reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A6]
sous la forme ( )[ ])(12 yFyCov
yG minusminus=
Lrsquoeacutequivalence entre les formules [A6] et [A1] apparaicirct agrave nouveau pour un cas simplifieacute n=3 Tout drsquoabord il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( )()()( yFEyEyyFEyFyCov minus )= ougrave E correspond agrave la valeur attendue (la moyenne) drsquoune variable donneacutee Ensuite il convient de deacutefinir chaque composante de la covariance
( ) ( ) ( )32
333
32
31
)( 3
3
31
32
33
)(123
=++
==++
= yFEYyEyyy
yyFE
nous pouvons obtenir Par conseacutequent en tenant compte du fait que 321 yyyY ++=
( ) [ ]13123123 9
192
92
92
91
92
93)( yyyyyyyyyFyCov minus=minusminusminus++=
Module EASYPol 040 Outils analytiques
22
nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minussdot
sdot=
Yy
Yy
yyY
G 1313 3
29132
Maintenant sachant que pour n=3
1321 =++
Yyyy
on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
Yy
Yy
Yy 13111223321321
32
32
32
32
32
32
32
31
ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance
102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors
034
311
36
32
31132
32
311 =minus+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus+=yy
Yy
Yy
YyG
LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera
nn
Yy
YYG 1
32
32
31100
32
311 minus
==minus+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=
comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3
G deviendrait ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
+α
α+
αα
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyG 323323 32
32
31132
32
311
GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
+minus+=
000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
112
individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
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24
11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES
Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
24 617-628
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 25
Meacutetadonneacutees du module
1 Module EASYPol 040
2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
Franccedilais
Espagnol
Autre
3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine
Anglais The Gini Index
Franccedilais
Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module
10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
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26
11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
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4
donneacutee par ORPQ) Le mode de calcul le plus facile de lrsquoaire sous la courbe de Lorenz est deacutecrit ci-apregraves
5Commenccedilons par rappeler la deacutefinition des coordonneacutees de la courbe de Lorenz Si nyyy lelele 21
proportion cumuleacutee de la population
proportion cumuleacutee des revenus
21
21 21
rarr =
rarr+++
= + + + + + +
=
n i p
Yyyy
y y y y yy
q
i
i
n i
i ougrave q =p =0 et q =p0 0 n n=1 Lrsquoaire sous la courbe de Lorenz ORPQ est la somme des aires drsquoune seacuterie de polygones Regardons la figure 2 ougrave une courbe de Lorenz simplifieacutee a eacuteteacute creacuteeacutee pour une population de quatre individus Le premier polygone est un triangle (p q po 1 1) et les trois autres sont des trapegravezes isocegraveles pivoteacutes On peut donc calculer chaque aire seacutepareacutement et ajouter les reacutesultats obtenus pour obtenir la valeur de lrsquoaire globale Symbolisons lrsquoaire du iegraveme polygone par Zi et lrsquoaire totale obtenue de cette maniegravere par Z Lrsquoaire du triangle est donneacutee par
2
hauteur
1
base
11
qpZ = tandis que lrsquoaire de chaque trapegraveze est donneacutee par
( ) ( )2
hauteur
1
base longue + base courte
186minusminus minus+
= iiiii
ppqZ
q
Comme q =p =0 la somme de toutes ces aires donne 0 0
( )([ ]sumsum minusminus=
minus+==i
iiii
n
ii ppqqZZ 11
1 21 )
pour n=4
5 Voir le module EASYPOL 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute des revenus la courbe de Lorenz
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 5
Figure 2 Mode de calcul de lrsquoaire de concentration
TRIANGLE 1 TRAPEgraveZE 2 TRAPEgraveZE 4
TRAPEgraveZE 3
00
02
04
06
08
10
0 025 05 075 1
q1
q2
q3
q4
q0=p0 p1 p2 p3 p4
Aire de concentration (12)-Z
Cependant Z nrsquoest pas lrsquoaire de concentration mais lrsquoaire sous la courbe de Lorenz Pour calculer lrsquoaire de concentration (numeacuterateur de lrsquoindice de Gini) il suffit maintenant de soustraire Z de lrsquoaire de concentration maximale (frac12 ) comme suit
( )([ ]sum minusminus minus+minus=minus=i
iiii ppqqZ 1121
21
21ionconcentrat de Aire )
Selon [1] lrsquoindice de Gini G est donc eacutegal agrave
( )( )[ ]( )([ ]sum
summinusminus
minusminus
minus+minus=minus+minus
=i
iiiii
iiii
ppqqppqq
G 11
11
1
21
21
21
)
[2] que lrsquoon peut eacutegalement eacutecrire
ZG 21minus= [3] La formule ci-dessus indique seulement que lrsquoindice de Gini est eacutegal agrave 1 moins deux fois lrsquoaire sous la courbe de Lorenz
Module EASYPol 040 Outils analytiques
6
Cette interpreacutetation geacuteomeacutetrique baseacutee sur la courbe de Lorenz ne constitue que lrsquoun des modes de calcul possibles de lrsquoindice de Gini Une autre approche qui va srsquoaveacuterer particuliegraverement utile ci-apregraves consiste agrave exprimer directement lrsquoindice de Gini en termes de covariance entre les niveaux de revenus et la distribution cumuleacutee des revenus En particulier
( )( )y
yFyCovG 2=[4] ougrave Cov repreacutesente la covariance entre des niveaux de revenus y et la distribution cumuleacutee des mecircmes revenus F(y) et ougrave y est le revenu moyen Il est utile de rappeler ici que la covariance est la valeur attendue E des produits des eacutecarts sur la moyenne de chaque variable Soit dans ce cas preacutecis
[ ] [ ] [ ])()()( yFyFyyEyFyCov minussdotminus= [5]
32 Lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (Gv)
Pour eacutevaluer lrsquoimpact des politiques sur lrsquoineacutegaliteacute nous disposons drsquoune mesure suffisamment souple pour incarner les preacutefeacuterences de diffeacuterents deacutecisionnaires concernant par exemple le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Apregraves tout deux deacutecisionnaires adoptant des attitudes diffeacuterentes vis-agrave-vis de lrsquoineacutegaliteacute eacutevalueront diffeacuteremment les effets drsquoune mecircme politique Lrsquoindice de Gini eacutelaboreacute dans la section preacuteceacutedente (appeleacute ci-apregraves indice de Gini standard) ne permet pas de prendre en compte ces diffeacuterences drsquoattitude ou en drsquoautres termes le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute La geacuteneacuteralisation de lrsquoindice de Gini de Yitzhaki (1983) le rend deacutependant drsquoun degreacute speacutecifieacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute La formule correspondante est la suivante
G v( )= minus vy
Cov y 1minus F(y)( )vminus1⎡ ⎣ ⎢
⎤⎦⎥ [6]
ougrave tous les termes ont le mecircme sens que dans [4] et ougrave v exprime le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Lrsquoaffectation de diffeacuterentes valeurs agrave v risque de modifier la valeur de lrsquoindice de Gini du fait drsquoune pondeacuteration diffeacuterente des revenus agrave diffeacuterentes parties de leur distribution Agrave noter que lorsque v=2 lrsquoexpression [6] revient agrave lrsquoindice de Gini standard (expression [4]) Pour comprendre la signification de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute rappelons la deacutefinition eacutetendue suivante du terme de covariance dans [6]
( )[ ] [ ] ( ) ( )[ ])(1)(1)(1 yFyFyyEyFyCov minusminusminussdotminus=minus[7]
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 7
Les seconds crochets agrave la droite de lrsquoexpression [7] doivent ecirctre interpreacuteteacutes comme la pondeacuteration agrave affecter agrave chaque niveau de revenu crsquoest-agrave-dire agrave chaque eacutecart sur la moyenne du niveau de revenus (premiers crochets) Pour les bas revenus (infeacuterieurs au revenu moyen) le terme des premiers crochets est neacutegatif et le second positif Pour les revenus eacuteleveacutes (supeacuterieurs agrave la moyenne) la situation est inverseacutee Les eacutecarts sur la moyenne sont positifs tandis que le terme des seconds crochets est neacutegatif Agrave noter la proprieacuteteacute de la fonction de distribution cumuleacutee (FDC) sa moyenne est eacutegale agrave sa meacutediane (frac12) De ce fait la valeur des seconds crochets sera positive jusqursquoagrave la meacutediane de la FDC Cela signifie que la meacutediane de la distribution des revenus aura une pondeacuteration nulle puisque le revenu meacutedian est le niveau de revenu ougrave F(y) = frac12 Il nous faut maintenant comprendre ce qui arrive aux revenus situeacutes avant et apregraves la meacutediane quand la valeur de v augmente La figure 3 se penche sur ce problegraveme La droite rouge repreacutesente la diffeacuterence de [1-F(y)] sur la moyenne dans le cas standard de v=2 Elle coupe lrsquoaxe des x au niveau meacutedian de cette distribution de revenus hypotheacutetique Si nous prenons le cas ougrave v=3 (courbe noire eacutepaisse) on voit relativement facilement qursquoune fraction des personnes riches (agrave droite de lrsquointersection avec v=2 dans la zone sud-est du graphique) possegravede (en termes absolus) une pondeacuteration infeacuterieure que lorsque v=2 Cela concerne tous les revenus pour lesquels la courbe noire eacutepaisse se situe au-dessus de la droite rouge dans le graphique Dans le mecircme temps une fraction des personnes pauvres (agrave gauche de lrsquointersection avec v=2 dans la zone nord-ouest du graphique) preacutesente une pondeacuteration supeacuterieure que lorsque v=2 Cela concerne tous les revenus pour lesquels la courbe noire eacutepaisse se situe agrave nouveau au-dessus de la droite rouge dans le graphique Lorsque lrsquoon augmente v la fraction de personnes riches dont lrsquoeacutecart de revenus sur la moyenne reccediloit une pondeacuteration infeacuterieure agrave celle de v=2 augmente Dans le mecircme temps la fraction de personnes pauvres dont lrsquoeacutecart de revenus sur la moyenne reccediloit une pondeacuteration supeacuterieure agrave celle de v=2 diminue La figure 3 rend compte des cas ougrave v=2 v=4 v=8 et v=16 Par conseacutequent quand v augmente le nombre de bas revenus posseacutedant une pondeacuteration importante diminue et le nombre de personnes posseacutedant une pondeacuteration nulle augmente Dans le calcul de Gini augmenter v signifie donc se focaliser plutocirct sur lrsquoineacutegaliteacute dans une fraction progressivement infeacuterieure de la distribution des revenus6
6 Crsquoest la raison pour laquelle on considegravere souvent v comme un laquo paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute raquo
Module EASYPol 040 Outils analytiques
8
Figure 3 Pondeacuteration dans lrsquoindice de Gini
-06
-04
-02
00
02
04
06
08
10
Niveaux de revenus
(1-F
(y))
eacute
cart
s su
r la
moyenne
v=2 v=3 v=4 v=8 v=16
Quand v augmente un ensemble progressivement plus important drsquoindividus riches compte moins que quand v=2 Quand v=16 mecircme certaines personnes agrave bas revenus comptent pour zeacutero car une pauvreteacute plus extrecircme devient progressivement le point de focalisation
Quand v augmente un ensemble progressivement moindre drsquoindividus pauvres compte davantage que quand v=2 Plus v est eacuteleveacute plus le poids des individus diminue rapidement Quand v=16 peu de personnes agrave bas revenus comptent beaucoup
De ce fait lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute donne davantage de souplesse agrave leacutevaluation des programmes et des politiques de deacuteveloppement que lrsquoindice de Gini standard parce qursquoil permet drsquoincarner diffeacuterents degreacutes drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Pour mieux comprendre ce point utilisons lrsquoexemple du tableau 1 Tableau 1 Exemple de facteurs de pondeacuteration implicites dans lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Individus Revenus F(y) 1-F(y) [1-F(y)]v-
1 v=2
[1-F(y)]v-1
v=4
Revenus eacutecarts sur la
moyenne
[1-F(y)]v-1 v=2 eacutecarts
sur la moyenne
[1-F(y)]v-1 v=4 eacutecarts
sur la moyenne
Facteur de pondeacuteration
implicite quand v=2
Facteur de pondeacuteration
implicite quand v=4
1 1 000 020 080 080 051 -2 000 040 045 20 80
2 2 000 040 060 060 022 -1 000 020 015 15 343 3 000 060 040 040 006 0 000 000 10 10
4 4 000 080 020 020 001 1 000 -020 -006 05 01
5 5 000 100 000 000 000 2 000 -040 -006 00 00
Moyenne 3 000 060 040 040 006 Le tableau 1 rend compte de la distribution hypotheacutetique des revenus de cinq individus Pour chaque niveau de revenu la troisiegraveme et la quatriegraveme colonnes fournissent le reacutesultat du calcul de F(y) et de (1-F(y)) respectivement La cinquiegraveme et la sixiegraveme donnent le reacutesultat de la quatriegraveme colonne pour v=2 et v=4
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 9
Agrave noter que v=2 correspond agrave lrsquoindice de Gini standard et que v=4 inclut davantage de personnes agrave bas revenus dans la pondeacuteration La septiegraveme colonne indique lrsquoeacutecart de chaque revenu par rapport au revenu moyen Il est neacutegatif pour les bas revenus et positif pour les revenus eacuteleveacutes Nous devons simplement nous rappeler qursquoil fait partie du terme de covariance de [7] Les huitiegraveme et neuviegraveme colonnes calculent les eacutecarts sur la moyenne de lrsquoautre partie du terme de covariance de la formule [7] Que nous apprend la comparaison de ces colonnes Nous voyons facilement que la laquo pondeacuteration raquo affecteacutee aux revenus les plus bas est supeacuterieure avec v=4 qursquoavec v=2 Dans le mecircme temps la pondeacuteration de lindividu le plus riche descend rapidement agrave zeacutero quand v=4 Une meacutethode de calcul du facteur de pondeacuteration implicite de lrsquoindice de Gini consiste agrave deacutefinir le ratio entre la valeur de la fonction (1-F(y))v-1 agrave nimporte quel niveau de revenu et la valeur de cette mecircme fonction au niveau de revenu meacutedian Pour v=2 et v=4 ce calcul apparaicirct dans les deux derniegraveres colonnes du tableau 1 Quand v=2 le revenu le plus bas contribue deux fois plus au calcul de lrsquoindice de Gini que le revenu meacutedian Quand v=4 il y contribue huit fois plus Vous remarquerez eacutegalement que la contribution des revenus les plus eacuteleveacutes est infeacuterieure quand v=4
4 PROCEacuteDURE DEacuteTAILLEacuteE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
41 Lrsquoindice de Gini
La proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini est syntheacutetiseacutee dans la figure 4 baseacutee sur la formule [2] ci-dessus Il faut commencer par trier la distribution des revenus par niveaux de revenus (eacutetape 1) Agrave lrsquoeacutetape 2 nous calculons la distribution de revenus cumuleacutee Agrave lrsquoeacutetape 3 nous obtenons la proportion cumuleacutee des revenus (qi) en divisant chaque revenu cumuleacute par le total des revenus Lrsquoeacutetape 4 fournit la proportion cumuleacutee de la population (pi) Pour ce faire nous classons les individus par ordre croissant et nous attribuons le rang 1 agrave la personne au revenu le plus bas et le rang laquo n raquo agrave celle au revenu le plus eacuteleveacute puis nous divisons par n Agrave lrsquoeacutetape 5 nous calculons lrsquoaire des polygones Z1Z2 Z3Zn Le premier est un triangle les autres sont des trapegravezes (appliquez la formule figurant dans le texte) Agrave lrsquoeacutetape 6 nous additionnons toutes les aires pour obtenir lrsquoaire sous la courbe de Lorenz (Z) puis nous calculons lrsquoindice de Gini G=1-2Z La figure 4 fournit le deacuteroulement de cette proceacutedure
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Figure 4 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la distribution de revenus cumuleacutee
3Calculer la proportion cumuleacutee des revenus en divisant chaque revenu
cumuleacute par le total des revenus
4
Affecter le rang 1 au revenu le plus bas et le rang n au revenu le plus eacuteleveacute
puis calculer la proportion cumuleacutee de la population en divisant chaque rang
par n
5
Calculer laire des polygones en appliquant les formules fournies dans le
texte pour laire du triangle et des trapegravezes
6 Additionner toutes les aires pour obtenir Z puis calculer G = 1-2Z
Mais le texte fournit une autre formule de calcul direct de lrsquoindice de Gini (voir la formule [4]) baseacutee sur le terme de covariance Il est donc utile den fournir la proceacutedure de calcul deacutetailleacutee (voir la figure 5) Figure 5 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini agrave lrsquoaide de la formule de covariance
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la distribution de revenus par niveaux
de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer la covariance Cov(yF(y)) et le niveau de revenu moyen
4 Calculer Gini en appliquant la formule [4] fournie dans le texte
Lrsquoeacutetape 1 nous demande comme dhabitude de trier la distribution de revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 nous demande de calculer la FDC F(y)7
7 Voir le module EASYPOL 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de la pauvreteacute
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 11
Lrsquoeacutetape 3 nous demande simplement de prendre la covariance entre la distribution des niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee et le niveau de revenus moyen utiliseacutee dans le deacutenominateur de la formule[4] Enfin lrsquoeacutetape 4 applique directement la formule [4] fournie dans le texte
42 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
La figure 6 fournit les eacutetapes du calcul de la version geacuteneacuteraliseacutee de lrsquoindice de Gini Figure 6 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer 1-F(y) pour chaque revenu
4 Choisir la valeur du paramegravetre daversion pour lineacutegaliteacute v
5 Calculer [1-F(y)]v -1
6Calculer la covariance
Cov[y (1-F(y))v -1] et la moyenne de la distribution de revenus
7 Calculer Gini en appliquant la formule de covariance [6] fournie dans le texte
Les eacutetapes sont tregraves semblables agrave celles du calcul de lrsquoindice de Gini standard agrave lrsquoaide de la formule de covariance Les eacutetapes 1 et 2 sont mecircme identiques Par souci de commoditeacute du fait du mode drsquoexpression de la formule lrsquoeacutetape 3 nous demande de calculer pour chaque niveau de revenus la valeur de un moins la valeur de la fonction de distribution cumuleacutee agrave ce point Lrsquoeacutetape 4 est lrsquoeacuteleacutement le plus caracteacuteristique de cette proceacutedure car elle nous demande de choisir la valeur du paramegravetre de lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v Il suffit de nous souvenir que plus les valeurs de v sont eacuteleveacutees plus lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute est forte Lrsquoeacutetape 5 nous demande de calculer un eacuteleacutement du terme de covariance agrave savoir la valeur de (1-F(y))v-1 Agrave lrsquoeacutetape 6 nous devons calculer la covariance complegravete et le revenu moyen ce qui nous permettra drsquoappliquer la formule [6] fournie dans le texte pour obtenir lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (eacutetape 7)
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5 EXEMPLE NUMEacuteRIQUE DU MODE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
51 Indice de Gini standard deacuteriveacute de la courbe de Lorenz
Le calcul de lrsquoindice de Gini deacuteriveacute de la courbe de Lorenz figure dans le tableau 2 ougrave nous supposons lrsquoexistence drsquoune distribution de revenus agrave cinq individus (et cinq revenus) Lrsquoeacutetape 1 neacutecessite simplement de trier cette distribution par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 en revanche nous demande de calculer la distribution cumuleacutee des revenus Le reacutesultat de ce calcul est 15 000 uniteacutes de revenu soit le revenu total de lrsquoeacuteconomie Tableau 2 Exemple numeacuterique du calcul de lrsquoindice de Gini (deacuteriveacute de la courbe de Lorenz)
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 6
Calculer le revenu cumuleacute
Calculer la proportion
cumuleacutee des revenus (qi)
Affecter un rang aux revenus
Calculer la proportion
cumuleacutee de la population (pi)
Calculer laire des polygones
(Z)
Calculer lindice de
Gini
IndividuDistribution des revenus
Revenu cumuleacuteProportion
cumuleacutee des revenus
RangsProportion
cumuleacutee de la population
Aire des polygones
Indice de Gini
1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100
0100
EacuteTAPE 1
Trier la distribution de revenus
EacuteTAPE 4
Valeur de Z laire sous la courbe de Lorenz
G = 1 - 2Z
Aire du premier triangle
Aire de chaque trapegraveze
Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2
0007=[0067 x 02]2
Lrsquoeacutetape 3 transforme la distribution de revenus cumuleacutee en proportion cumuleacutee des revenus Le reacutesultat est 1 Rappelons-nous simplement que ces valeurs sont les qi introduits dans la section 31 ci-dessus Conformeacutement au tri de la distribution des revenus de lrsquoeacutetape 1 un rang croissant (de 1 agrave n) est affecteacute agrave chaque revenu (eacutetape 4) Ces rangs sont ensuite transformeacutes en proportion cumuleacutee de la population Ce calcul donne les p traiteacutes dans la section 31i ci-dessus Lorsque nous disposons de q et de p pour tous les niveaux de revenus nous pouvons calculer lrsquoaire des polygones sous la courbe de Lorenz Il suffit de nous rappeler que le premier est un triangle et que les autres sont des trapegravezes Pour ce faire lrsquoeacutetape 5 applique les formules preacutesenteacutees dans la section 31 La somme de ces aires donne Z crsquoest-agrave-dire lrsquoaire totale sous la courbe de Lorenz
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 13
Enfin lrsquoeacutetape 6 est lrsquoapplication meacutecanique de la formule [6] fournie dans le texte Elle donne un indice de Gini de 0267
52 Indice de Gini standard avec formule de covariance
Le tableau 3 fournit un exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule [4] de covariance preacutesenteacutee dans le texte Les eacutetapes sont ici moins nombreuses Leacutetape 1 change pas et consiste agrave trier la distribution des revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 demande de calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Lrsquoeacutetape 3 neacutecessite de calculer les deux paramegravetres essentiels agrave appliquer agrave la formule de covariance la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee (dont la valeur est de 400 dans lrsquoexemple) et le niveau de revenus moyen soit 3 000 uniteacutes de revenu Tableau 3 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule de covariance
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 4
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer la covariance Cov
(y F(y))
Calculer le niveau
moyen de revenu
Calculer Gini agrave laide la
formule [4]
Individu
A - Distribution des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacuteeCovariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267
EacuteTAPE 1
Trier la distribution des revenus
EacuteTAPE 3
Lrsquoapplication de la formule [4] fournie dans le texte donne une valeur drsquoindice de Gini eacutegale agrave 0267 (bien eacutevidemment identique agrave celle du tableau 2 )
53 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Nous nous sommes servis de la formule de covariance pour expliquer qursquoil est possible de rendre lrsquoindice de Gini standard sensible agrave un degreacute donneacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Le tableau 4 fournit un exemple de traitement de cette geacuteneacuteralisation agrave lrsquoaide de la mecircme distribution de revenus que dans les tableaux 2 et 3
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Tableau 4 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 4 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 7
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer 1 - F(y)
Choisir vCalculer
[1 - F(y)](v-1)
Calculer la covariance
Cov (y F(y))
Calculer le niveau de revenu
moyen
Calculer Gini agrave laide de la formule [4]
Individu
A - Distribution
des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacutee1 - F(y) v [1 - F(y)](v-1) Covariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246
EacuteTAPE 1 EacuteTAPE 6
Trier la distribution des revenus
Les eacutetapes 1 et 2 sont identiques agrave celles du tableau 3 En revanche lrsquoeacutetape 3 requiert de calculer les valeurs de un moins la fonction de distribution cumuleacutee Lrsquoeacutetape 4 introduit le paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v auquel nous avons choisi drsquoattribuer la valeur 4 Par conseacutequent chaque montant calculeacute agrave lrsquoeacutetape 3 passe agrave la puissance (v-1) crsquoest-agrave-dire 3 (eacutetape 5) Lrsquoeacutetape 6 calcule les deux paramegravetres essentiels le terme de covariance (-246 dans lrsquoexemple) et le revenu moyen (3 000) Lrsquoeacutetape 7 applique la formule [6] fournie dans le texte et donne un indice de Gini de 0246 Cette valeur est diffeacuterente de celle obtenue avec lrsquoindice de Gini standard car des pondeacuterations diffeacuterentes ont eacuteteacute attribueacutees aux mecircmes revenus
6 PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LrsquoINDICE DE GINI
Cette section deacutecrit les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini en termes des axiomes qursquoil respecte 8
Comme la plupart de ces proprieacuteteacutes sont communes aux indices de Gini standard et geacuteneacuteraliseacute nous les traiterons ensemble tout en signalant leurs diffeacuterences majeures Les principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini sont les suivantes la limite infeacuterieure de G est zeacutero quelle que soit la valeur de v Quand tous les
revenus sont eacutegaux la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee est nulle et lrsquoindice de Gini est donc zeacutero Concernant lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini standard notez que quand tous les revenus sont eacutegaux la courbe de Lorenz est eacutegale agrave la droite drsquoeacutequidistribution Par conseacutequent la somme des aires des polygones (Z) est eacutegale agrave frac12 crsquoest-agrave-dire la somme du triangle sous la courbe de Lorenz De ce fait lrsquoindice de Gini (1ndash 2Z) est eacutegal agrave zeacutero
8 Voir le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes
(disponible en anglais) pour en savoir plus sur les axiomes dans la mesure de lrsquoineacutegaliteacute de mesure
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 15
nn 1minus la limite supeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard G est Dans les tregraves grandes
populations la limite de cette valeur est 1 Quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier celui-ci est aussi eacutegal au revenu total y=Y Autrement dit il ne faut calculer qursquoune seule aire celle du dernier trapegraveze Cependant dans les tregraves grandes populations cette aire tend agrave ecirctre plus petite Dans la limite (crsquoest-agrave-dire dans un cadre continu) la valeur de lrsquoaire Z tend vers zeacutero et donc lrsquoindice de Gini tend vers
1 Dans la geacuteneacuteralisation la limite supeacuterieure de G(v) est n
nv
12 minus Souvenez-vous
que dans lrsquoindice de Gini standard v=2 lrsquoindice de Gini est invariant agrave lrsquoeacutechelle La multiplication de tous les revenus par
un facteur α ne modifie pas la valeur de lrsquoindice de Gini G Intuitivement quand tous les revenus sont redimensionneacutes par un facteur commun la distribution cumuleacutee des revenus ne change pas car une fraction donneacutee de la population continue agrave deacutetenir la mecircme fraction du revenu total Les aires sous la courbe de Lorenz demeurent donc identiques Dans le cas de la formule de covariance lrsquoapplication drsquoun facteur commun agrave tous les revenus augmente la covariance et le revenu moyen dans la mecircme mesure Lrsquoindice de Gini ne change pas Cela vaut eacutegalement pour G(v)
en revanche lrsquoindice de Gini G nrsquoest pas invariant agrave la translation Si lrsquoon
ajoutesoustrait la mecircme somme agrave tous les revenus il augmente (ou diminue) en conseacutequence Cela vaut eacutegalement pour G(v)
lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts quelle que soit la valeur de v
Si le revenu est redistribueacute drsquoindividus relativement riches agrave des individus relativement pauvres G et G(v) diminuent Lrsquoinverse est vrai si le revenu est redistribueacute de personnes relativement pauvres agrave des personnes relativement riches Dans le cas de lrsquoindice de Gini standard nous remarquons que la taille du changement deacutecoulant de la variation de lrsquoun quelconque des revenus deacutepend du rang des individus participant agrave la redistribution et de la taille de lrsquoeacutechantillon Elle ne deacutepend pas du niveau des revenus individuels redistribueacutes mais du total des revenus Plus preacuteciseacutement lrsquoindice de Gini reacuteagit davantage agrave une redistribution entre individus preacutesentant une grande diffeacuterence de rang De fait agrave quantiteacute de redistribution eacutegale lrsquoeffet est beaucoup plus faible si les deux individus sont de rang proche
Le tableau 5 illustre le principe de fonctionnement des principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini Dans la colonne de gauche figurent trois simulations de distributions de revenus La premiegravere est une distribution laquo type raquo classeacutee par niveaux de revenus Les individus de la seconde ont tous le mecircme revenu Les individus de la troisiegraveme ont tous un revenu nul sauf le dernier
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Pour la distribution de revenus type A lrsquoindice de Gini est de 0267 Pour les revenus eacutequidistribueacutes B il est nul et pour la distribution la plus concentreacutee C il est de 08
( 80541
==minusn
n )
Pour une augmentation de tous les revenus de 20 pour-cent la cinquiegraveme colonne montre que lrsquoindice de Gini demeurerait inchangeacute agrave 0267 (proprieacuteteacute drsquoinvariance agrave lrsquoeacutechelle) Ce ne serait pas le cas pour une augmentation de tous les revenus du mecircme montant absolu (par exemple 2 000 uniteacutes de revenu dans le texte) Dans ce cas le tableau 5 montre que lrsquoindice de Gini serait plus bas (0160) Cet indice nrsquoest pas invariant agrave la translation Lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts Si nous redistribuons par exemple 500 uniteacutes de revenu des plus riches au plus pauvres il sera infeacuterieur (0213) dans le texte Agrave noter que les mecircmes transferts entre individus de rang proche (derniegravere colonne du tableau 5) donnent toujours lieu agrave un indice de Gini plus bas (0253) mais supeacuterieur au cas preacuteceacutedent (0213) Cela montre que lrsquoindice est plus sensible aux transferts entre individus de rangs eacuteloigneacutes
Tableau 5 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
IndividuA - Distribution des
revenus type
B - Distribution des revenus avec
revenus eacutegaux
C - Distribution des revenus avec un
seul revenu
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 20 pour-cent de tous les revenus
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 2 000 USD de tous
les revenus
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 500 USD du plus riche au plus pauvre
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 200
USD par deux individus de rang
proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000
Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000
GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253
INCHANGEacute DIMINUEacute DIMINUEacute DIMINUEacute
entre individus de rang proche
Lindice de Gini reacuteagit moins aux transferts
7 INTERSECTION DE LORENZ ET INDICE DE GINI
Nous avons vu qursquoil est possible de deacuteriver lrsquoindice de Gini drsquoune courbe de Lorenz En dautres termes indice de Gini et courbe de Lorenz sont en coheacuterence Il faut neacuteanmoins rappeler que lrsquoordre fourni par les courbes de Lorenz et en particulier par la dominance
de Lorenz est partiel car quand ces courbes ne coupent rien nous sommes agrave mecircme de dire quelle distribution des revenus preacutesente le plus drsquoineacutegaliteacute Agrave lrsquoinverse lrsquoindice de Gini fournit un ordre complet puisqursquoil reacuteduit lrsquointeacutegraliteacute de la distribution des revenus agrave un seul nombre La diffeacuterence eacuteleacutementaire entre ces deux approches devient apparente en cas drsquointersection des courbes de Lorenz Prenons par exemple les deux distributions de
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 17
revenus du tableau 6 Les revenus sont distribueacutes diffeacuteremment mais lrsquoindice de Gini est le mecircme (0200) Tableau 6 Deux distributions de revenus posseacutedant le mecircme indice de Gini
IndividusDistribution des
revenus XDistribution des
revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500
Revenu total20 000 20 000
Gini 0200 0200 Ces deux distributions sont figureacutees par les courbes de Lorenz de la figure 7 Comme elles se coupent on ne peut pas srsquoen servir pour les classer en termes drsquoineacutegaliteacute des revenus Mais la maniegravere dont elles se coupent donne des aires de mecircme valeur avant et apregraves lrsquointersection Du coup lrsquoindice de Gini est identique en deacutepit de diffeacuterences de revenus importantes Figure 7 Intersection de courbes de Lorenz
00
02
04
06
08
10
00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y
Distributions de revenus diffeacuterentesIntersection de LorenzMecircme indice de Gini
Aire de concentrationavant intersection
Aire de concentrationapregraves intersection
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8 SYNTHEgraveSE DES PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LINDICE DE GINI ET DE SA VERSION GEacuteNEacuteRALISEacuteE
Le tableau 7 syntheacutetise les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee Ces proprieacuteteacutes reflegravetent la structure des axiomes9
Il est inteacuteressant de noter tout drsquoabord que la limite infeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard et de sa version geacuteneacuteraliseacutee est zeacutero alors que sa limite supeacuterieure est diffeacuterencieacutee Cette derniegravere est tregraves proche de 1 (pour les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini standard et tend vers 2v (toujours dans les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute Les deux versions de lrsquoindice de Gini respectent le principe des transferts mais il faut rappeler que lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts de revenus entre individus situeacutes agrave des positions (rang) eacuteloigneacutees dans la distribution des revenus Les deux versions sont invariantes agrave lrsquoeacutechelle et non invariantes agrave la translation et respectent le principe de population Cette structure fait de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee deux indicateurs drsquoineacutegaliteacute relative La grande utiliteacute de leurs caracteacuteristiques dans la pratique explique le fort inteacuterecirct qursquoils suscitent Tableau 7 Indice de Gini et ses proprieacuteteacutes utiles
LIMITE
INFLIMITE SUP
Principe des transferts
Invariance agrave leacutechelle
Invariance agrave la translation
Principe de population
Indice dineacutegaliteacute relative (IIR)
Inteacuterecirct
Gini 0 (n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
Gv 0 (2v )(n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
9 REMARQUES Agrave LrsquoINTENTION DES LECTEURS
91 Liens EASYPol
Les lecteurs pourront se tourner vers certains modules EASYPol pour renforcer leurs acquis de base et approfondir leurs connaissances sur lrsquoineacutegaliteacute et sa mesure Le preacutesent module fait partie drsquoun ensemble de documents expliquant les modaliteacutes de comparaison en termes drsquoineacutegaliteacute des distributions de revenus geacuteneacutereacutees par diffeacuterentes options des politiques Il appartient au parcours de formation Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des politiques
9 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses
axiomes de mesure (disponible en anglais)
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 19
Les modules EASYPol suivants preacutecegravedent logiquement le document preacutesent et pourront renforcer les connaissances des utilisateurs
Module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute courbe de Lorenz
Module EASYPol 001 Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz
EASYPol Module 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de pauvreteacute
Module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure (disponible en anglais)
Les points traiteacutes dans ce module sont approfondis dans les documents suivants
Module EASYPol 002 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz geacuteneacuteraliseacute
Module EASYPol 041 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social bien-ecirctre social fonctions de bien-ecirctre social et aversion pour lineacutegaliteacute (disponible en anglais)
Le module EASYPol 042 Impacts sur lineacutegaliteacute et la pauvreteacute de certaines
politiques agricoles cas du Paraguay est une eacutetude de cas de la mesure agrave lrsquoaide de lrsquoindice de Gini des impacts drsquoune politique agricole sur lrsquoineacutegaliteacute dans le contexte drsquoun exercice de simulation bacircti agrave partir de donneacutees reacuteelles
Module EASYPol 040 Outils analytiques
20
10 ANNEXE I ndash AUTRES MEacuteTHODES DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible
La deacuterivation de lrsquoindice de Gini par les courbes de Lorenz preacutesente une correspondance directe avec une autre meacutethode plutocirct lourde de calcul de cet indicateur
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+= minusminus
Yy
nY
yY
yYy
nnG nnn 121 32211 [A1]
Vous remarquerez la speacutecificiteacute des termes figurant entre les derniegraveres parenthegraveses ougrave chaque part de revenu de la plus eacuteleveacutee agrave la plus faible est multiplieacutee par le rang des individus dans la distribution des revenus du plus bas au plus eacuteleveacute de maniegravere agrave ce que la part la plus importante ait le rang 1 et la plus petite le rang n Cette correspondance apparaicirct encore mieux dans un exemple ougrave n=3 En rappelant la deacutefinition des q et des p on obtient
133 1
032
031
0
0300 0
3321
3
221
2
11
1
00
0
===+++
=
=++
=
=+
=
=====
pY
yyyq
pY
yyq
pY
yq
np
Yy
q
Substituer ces valeurs dans lrsquoeacutequation [2] dans le texte donne
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++minus=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++minus=
Yy
Yy
Yy
Yyy
Yyyy
Yy
Yyy
YyG 123213211211
1 35
33
311
31
31
311
[A2] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 1 Maintenant reacuteeacutecrivons lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++minus+=Yy
Yy
Yy
G 1232 32
32
311
[A3] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 2 Maintenant reacuteeacutecrivons [A2] et [A3] de maniegravere plus commode en manipulant les crochets
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus=
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
G 12121231 2
32
311
34
32
311
[A4]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +minusminus+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyyyG 121212123
2 232
3112
32
32
3112
32
311
[A5] comme lrsquoexpression entre parenthegraveses dans les deux eacutequations est eacutegale agrave 1 pour n=3 il est tregraves facile de veacuterifier que les deux expressions donnent le mecircme reacutesultat (G =G1 2) La formule [A1] souvent utiliseacutee dans les applications opeacuterationnelles est donc entiegraverement baseacutee sur la deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini
101 Indice de Gini avec formule de covariance
Dans le texte nous avons montreacute que lrsquoindice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moyen et la covariance entre les niveaux y et la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Analytiquement
( ))(2 yFyCovy
G = [A6]
Cette formule eacutequivaut aussi agrave la formule [A1] Voyons pourquoi
( )[ ] ( )[ )(1 yFyCovyFyCov ]minusminus=Sachant que comme la valeur attendue de F(y) est frac12 et la valeur attendue de [1-F(y)] frac12 eacutegalement nous pouvons reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A6]
sous la forme ( )[ ])(12 yFyCov
yG minusminus=
Lrsquoeacutequivalence entre les formules [A6] et [A1] apparaicirct agrave nouveau pour un cas simplifieacute n=3 Tout drsquoabord il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( )()()( yFEyEyyFEyFyCov minus )= ougrave E correspond agrave la valeur attendue (la moyenne) drsquoune variable donneacutee Ensuite il convient de deacutefinir chaque composante de la covariance
( ) ( ) ( )32
333
32
31
)( 3
3
31
32
33
)(123
=++
==++
= yFEYyEyyy
yyFE
nous pouvons obtenir Par conseacutequent en tenant compte du fait que 321 yyyY ++=
( ) [ ]13123123 9
192
92
92
91
92
93)( yyyyyyyyyFyCov minus=minusminusminus++=
Module EASYPol 040 Outils analytiques
22
nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minussdot
sdot=
Yy
Yy
yyY
G 1313 3
29132
Maintenant sachant que pour n=3
1321 =++
Yyyy
on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
Yy
Yy
Yy 13111223321321
32
32
32
32
32
32
32
31
ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance
102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors
034
311
36
32
31132
32
311 =minus+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus+=yy
Yy
Yy
YyG
LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera
nn
Yy
YYG 1
32
32
31100
32
311 minus
==minus+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=
comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3
G deviendrait ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
+α
α+
αα
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyG 323323 32
32
31132
32
311
GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
+minus+=
000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
112
individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
Module EASYPol 040 Outils analytiques
24
11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES
Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
24 617-628
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 25
Meacutetadonneacutees du module
1 Module EASYPol 040
2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
Franccedilais
Espagnol
Autre
3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine
Anglais The Gini Index
Franccedilais
Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module
10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
Module EASYPol 040 Outils analytiques
26
11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 5
Figure 2 Mode de calcul de lrsquoaire de concentration
TRIANGLE 1 TRAPEgraveZE 2 TRAPEgraveZE 4
TRAPEgraveZE 3
00
02
04
06
08
10
0 025 05 075 1
q1
q2
q3
q4
q0=p0 p1 p2 p3 p4
Aire de concentration (12)-Z
Cependant Z nrsquoest pas lrsquoaire de concentration mais lrsquoaire sous la courbe de Lorenz Pour calculer lrsquoaire de concentration (numeacuterateur de lrsquoindice de Gini) il suffit maintenant de soustraire Z de lrsquoaire de concentration maximale (frac12 ) comme suit
( )([ ]sum minusminus minus+minus=minus=i
iiii ppqqZ 1121
21
21ionconcentrat de Aire )
Selon [1] lrsquoindice de Gini G est donc eacutegal agrave
( )( )[ ]( )([ ]sum
summinusminus
minusminus
minus+minus=minus+minus
=i
iiiii
iiii
ppqqppqq
G 11
11
1
21
21
21
)
[2] que lrsquoon peut eacutegalement eacutecrire
ZG 21minus= [3] La formule ci-dessus indique seulement que lrsquoindice de Gini est eacutegal agrave 1 moins deux fois lrsquoaire sous la courbe de Lorenz
Module EASYPol 040 Outils analytiques
6
Cette interpreacutetation geacuteomeacutetrique baseacutee sur la courbe de Lorenz ne constitue que lrsquoun des modes de calcul possibles de lrsquoindice de Gini Une autre approche qui va srsquoaveacuterer particuliegraverement utile ci-apregraves consiste agrave exprimer directement lrsquoindice de Gini en termes de covariance entre les niveaux de revenus et la distribution cumuleacutee des revenus En particulier
( )( )y
yFyCovG 2=[4] ougrave Cov repreacutesente la covariance entre des niveaux de revenus y et la distribution cumuleacutee des mecircmes revenus F(y) et ougrave y est le revenu moyen Il est utile de rappeler ici que la covariance est la valeur attendue E des produits des eacutecarts sur la moyenne de chaque variable Soit dans ce cas preacutecis
[ ] [ ] [ ])()()( yFyFyyEyFyCov minussdotminus= [5]
32 Lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (Gv)
Pour eacutevaluer lrsquoimpact des politiques sur lrsquoineacutegaliteacute nous disposons drsquoune mesure suffisamment souple pour incarner les preacutefeacuterences de diffeacuterents deacutecisionnaires concernant par exemple le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Apregraves tout deux deacutecisionnaires adoptant des attitudes diffeacuterentes vis-agrave-vis de lrsquoineacutegaliteacute eacutevalueront diffeacuteremment les effets drsquoune mecircme politique Lrsquoindice de Gini eacutelaboreacute dans la section preacuteceacutedente (appeleacute ci-apregraves indice de Gini standard) ne permet pas de prendre en compte ces diffeacuterences drsquoattitude ou en drsquoautres termes le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute La geacuteneacuteralisation de lrsquoindice de Gini de Yitzhaki (1983) le rend deacutependant drsquoun degreacute speacutecifieacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute La formule correspondante est la suivante
G v( )= minus vy
Cov y 1minus F(y)( )vminus1⎡ ⎣ ⎢
⎤⎦⎥ [6]
ougrave tous les termes ont le mecircme sens que dans [4] et ougrave v exprime le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Lrsquoaffectation de diffeacuterentes valeurs agrave v risque de modifier la valeur de lrsquoindice de Gini du fait drsquoune pondeacuteration diffeacuterente des revenus agrave diffeacuterentes parties de leur distribution Agrave noter que lorsque v=2 lrsquoexpression [6] revient agrave lrsquoindice de Gini standard (expression [4]) Pour comprendre la signification de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute rappelons la deacutefinition eacutetendue suivante du terme de covariance dans [6]
( )[ ] [ ] ( ) ( )[ ])(1)(1)(1 yFyFyyEyFyCov minusminusminussdotminus=minus[7]
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 7
Les seconds crochets agrave la droite de lrsquoexpression [7] doivent ecirctre interpreacuteteacutes comme la pondeacuteration agrave affecter agrave chaque niveau de revenu crsquoest-agrave-dire agrave chaque eacutecart sur la moyenne du niveau de revenus (premiers crochets) Pour les bas revenus (infeacuterieurs au revenu moyen) le terme des premiers crochets est neacutegatif et le second positif Pour les revenus eacuteleveacutes (supeacuterieurs agrave la moyenne) la situation est inverseacutee Les eacutecarts sur la moyenne sont positifs tandis que le terme des seconds crochets est neacutegatif Agrave noter la proprieacuteteacute de la fonction de distribution cumuleacutee (FDC) sa moyenne est eacutegale agrave sa meacutediane (frac12) De ce fait la valeur des seconds crochets sera positive jusqursquoagrave la meacutediane de la FDC Cela signifie que la meacutediane de la distribution des revenus aura une pondeacuteration nulle puisque le revenu meacutedian est le niveau de revenu ougrave F(y) = frac12 Il nous faut maintenant comprendre ce qui arrive aux revenus situeacutes avant et apregraves la meacutediane quand la valeur de v augmente La figure 3 se penche sur ce problegraveme La droite rouge repreacutesente la diffeacuterence de [1-F(y)] sur la moyenne dans le cas standard de v=2 Elle coupe lrsquoaxe des x au niveau meacutedian de cette distribution de revenus hypotheacutetique Si nous prenons le cas ougrave v=3 (courbe noire eacutepaisse) on voit relativement facilement qursquoune fraction des personnes riches (agrave droite de lrsquointersection avec v=2 dans la zone sud-est du graphique) possegravede (en termes absolus) une pondeacuteration infeacuterieure que lorsque v=2 Cela concerne tous les revenus pour lesquels la courbe noire eacutepaisse se situe au-dessus de la droite rouge dans le graphique Dans le mecircme temps une fraction des personnes pauvres (agrave gauche de lrsquointersection avec v=2 dans la zone nord-ouest du graphique) preacutesente une pondeacuteration supeacuterieure que lorsque v=2 Cela concerne tous les revenus pour lesquels la courbe noire eacutepaisse se situe agrave nouveau au-dessus de la droite rouge dans le graphique Lorsque lrsquoon augmente v la fraction de personnes riches dont lrsquoeacutecart de revenus sur la moyenne reccediloit une pondeacuteration infeacuterieure agrave celle de v=2 augmente Dans le mecircme temps la fraction de personnes pauvres dont lrsquoeacutecart de revenus sur la moyenne reccediloit une pondeacuteration supeacuterieure agrave celle de v=2 diminue La figure 3 rend compte des cas ougrave v=2 v=4 v=8 et v=16 Par conseacutequent quand v augmente le nombre de bas revenus posseacutedant une pondeacuteration importante diminue et le nombre de personnes posseacutedant une pondeacuteration nulle augmente Dans le calcul de Gini augmenter v signifie donc se focaliser plutocirct sur lrsquoineacutegaliteacute dans une fraction progressivement infeacuterieure de la distribution des revenus6
6 Crsquoest la raison pour laquelle on considegravere souvent v comme un laquo paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute raquo
Module EASYPol 040 Outils analytiques
8
Figure 3 Pondeacuteration dans lrsquoindice de Gini
-06
-04
-02
00
02
04
06
08
10
Niveaux de revenus
(1-F
(y))
eacute
cart
s su
r la
moyenne
v=2 v=3 v=4 v=8 v=16
Quand v augmente un ensemble progressivement plus important drsquoindividus riches compte moins que quand v=2 Quand v=16 mecircme certaines personnes agrave bas revenus comptent pour zeacutero car une pauvreteacute plus extrecircme devient progressivement le point de focalisation
Quand v augmente un ensemble progressivement moindre drsquoindividus pauvres compte davantage que quand v=2 Plus v est eacuteleveacute plus le poids des individus diminue rapidement Quand v=16 peu de personnes agrave bas revenus comptent beaucoup
De ce fait lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute donne davantage de souplesse agrave leacutevaluation des programmes et des politiques de deacuteveloppement que lrsquoindice de Gini standard parce qursquoil permet drsquoincarner diffeacuterents degreacutes drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Pour mieux comprendre ce point utilisons lrsquoexemple du tableau 1 Tableau 1 Exemple de facteurs de pondeacuteration implicites dans lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Individus Revenus F(y) 1-F(y) [1-F(y)]v-
1 v=2
[1-F(y)]v-1
v=4
Revenus eacutecarts sur la
moyenne
[1-F(y)]v-1 v=2 eacutecarts
sur la moyenne
[1-F(y)]v-1 v=4 eacutecarts
sur la moyenne
Facteur de pondeacuteration
implicite quand v=2
Facteur de pondeacuteration
implicite quand v=4
1 1 000 020 080 080 051 -2 000 040 045 20 80
2 2 000 040 060 060 022 -1 000 020 015 15 343 3 000 060 040 040 006 0 000 000 10 10
4 4 000 080 020 020 001 1 000 -020 -006 05 01
5 5 000 100 000 000 000 2 000 -040 -006 00 00
Moyenne 3 000 060 040 040 006 Le tableau 1 rend compte de la distribution hypotheacutetique des revenus de cinq individus Pour chaque niveau de revenu la troisiegraveme et la quatriegraveme colonnes fournissent le reacutesultat du calcul de F(y) et de (1-F(y)) respectivement La cinquiegraveme et la sixiegraveme donnent le reacutesultat de la quatriegraveme colonne pour v=2 et v=4
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 9
Agrave noter que v=2 correspond agrave lrsquoindice de Gini standard et que v=4 inclut davantage de personnes agrave bas revenus dans la pondeacuteration La septiegraveme colonne indique lrsquoeacutecart de chaque revenu par rapport au revenu moyen Il est neacutegatif pour les bas revenus et positif pour les revenus eacuteleveacutes Nous devons simplement nous rappeler qursquoil fait partie du terme de covariance de [7] Les huitiegraveme et neuviegraveme colonnes calculent les eacutecarts sur la moyenne de lrsquoautre partie du terme de covariance de la formule [7] Que nous apprend la comparaison de ces colonnes Nous voyons facilement que la laquo pondeacuteration raquo affecteacutee aux revenus les plus bas est supeacuterieure avec v=4 qursquoavec v=2 Dans le mecircme temps la pondeacuteration de lindividu le plus riche descend rapidement agrave zeacutero quand v=4 Une meacutethode de calcul du facteur de pondeacuteration implicite de lrsquoindice de Gini consiste agrave deacutefinir le ratio entre la valeur de la fonction (1-F(y))v-1 agrave nimporte quel niveau de revenu et la valeur de cette mecircme fonction au niveau de revenu meacutedian Pour v=2 et v=4 ce calcul apparaicirct dans les deux derniegraveres colonnes du tableau 1 Quand v=2 le revenu le plus bas contribue deux fois plus au calcul de lrsquoindice de Gini que le revenu meacutedian Quand v=4 il y contribue huit fois plus Vous remarquerez eacutegalement que la contribution des revenus les plus eacuteleveacutes est infeacuterieure quand v=4
4 PROCEacuteDURE DEacuteTAILLEacuteE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
41 Lrsquoindice de Gini
La proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini est syntheacutetiseacutee dans la figure 4 baseacutee sur la formule [2] ci-dessus Il faut commencer par trier la distribution des revenus par niveaux de revenus (eacutetape 1) Agrave lrsquoeacutetape 2 nous calculons la distribution de revenus cumuleacutee Agrave lrsquoeacutetape 3 nous obtenons la proportion cumuleacutee des revenus (qi) en divisant chaque revenu cumuleacute par le total des revenus Lrsquoeacutetape 4 fournit la proportion cumuleacutee de la population (pi) Pour ce faire nous classons les individus par ordre croissant et nous attribuons le rang 1 agrave la personne au revenu le plus bas et le rang laquo n raquo agrave celle au revenu le plus eacuteleveacute puis nous divisons par n Agrave lrsquoeacutetape 5 nous calculons lrsquoaire des polygones Z1Z2 Z3Zn Le premier est un triangle les autres sont des trapegravezes (appliquez la formule figurant dans le texte) Agrave lrsquoeacutetape 6 nous additionnons toutes les aires pour obtenir lrsquoaire sous la courbe de Lorenz (Z) puis nous calculons lrsquoindice de Gini G=1-2Z La figure 4 fournit le deacuteroulement de cette proceacutedure
Module EASYPol 040 Outils analytiques
10
Figure 4 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la distribution de revenus cumuleacutee
3Calculer la proportion cumuleacutee des revenus en divisant chaque revenu
cumuleacute par le total des revenus
4
Affecter le rang 1 au revenu le plus bas et le rang n au revenu le plus eacuteleveacute
puis calculer la proportion cumuleacutee de la population en divisant chaque rang
par n
5
Calculer laire des polygones en appliquant les formules fournies dans le
texte pour laire du triangle et des trapegravezes
6 Additionner toutes les aires pour obtenir Z puis calculer G = 1-2Z
Mais le texte fournit une autre formule de calcul direct de lrsquoindice de Gini (voir la formule [4]) baseacutee sur le terme de covariance Il est donc utile den fournir la proceacutedure de calcul deacutetailleacutee (voir la figure 5) Figure 5 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini agrave lrsquoaide de la formule de covariance
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la distribution de revenus par niveaux
de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer la covariance Cov(yF(y)) et le niveau de revenu moyen
4 Calculer Gini en appliquant la formule [4] fournie dans le texte
Lrsquoeacutetape 1 nous demande comme dhabitude de trier la distribution de revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 nous demande de calculer la FDC F(y)7
7 Voir le module EASYPOL 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de la pauvreteacute
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 11
Lrsquoeacutetape 3 nous demande simplement de prendre la covariance entre la distribution des niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee et le niveau de revenus moyen utiliseacutee dans le deacutenominateur de la formule[4] Enfin lrsquoeacutetape 4 applique directement la formule [4] fournie dans le texte
42 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
La figure 6 fournit les eacutetapes du calcul de la version geacuteneacuteraliseacutee de lrsquoindice de Gini Figure 6 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer 1-F(y) pour chaque revenu
4 Choisir la valeur du paramegravetre daversion pour lineacutegaliteacute v
5 Calculer [1-F(y)]v -1
6Calculer la covariance
Cov[y (1-F(y))v -1] et la moyenne de la distribution de revenus
7 Calculer Gini en appliquant la formule de covariance [6] fournie dans le texte
Les eacutetapes sont tregraves semblables agrave celles du calcul de lrsquoindice de Gini standard agrave lrsquoaide de la formule de covariance Les eacutetapes 1 et 2 sont mecircme identiques Par souci de commoditeacute du fait du mode drsquoexpression de la formule lrsquoeacutetape 3 nous demande de calculer pour chaque niveau de revenus la valeur de un moins la valeur de la fonction de distribution cumuleacutee agrave ce point Lrsquoeacutetape 4 est lrsquoeacuteleacutement le plus caracteacuteristique de cette proceacutedure car elle nous demande de choisir la valeur du paramegravetre de lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v Il suffit de nous souvenir que plus les valeurs de v sont eacuteleveacutees plus lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute est forte Lrsquoeacutetape 5 nous demande de calculer un eacuteleacutement du terme de covariance agrave savoir la valeur de (1-F(y))v-1 Agrave lrsquoeacutetape 6 nous devons calculer la covariance complegravete et le revenu moyen ce qui nous permettra drsquoappliquer la formule [6] fournie dans le texte pour obtenir lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (eacutetape 7)
Module EASYPol 040 Outils analytiques
12
5 EXEMPLE NUMEacuteRIQUE DU MODE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
51 Indice de Gini standard deacuteriveacute de la courbe de Lorenz
Le calcul de lrsquoindice de Gini deacuteriveacute de la courbe de Lorenz figure dans le tableau 2 ougrave nous supposons lrsquoexistence drsquoune distribution de revenus agrave cinq individus (et cinq revenus) Lrsquoeacutetape 1 neacutecessite simplement de trier cette distribution par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 en revanche nous demande de calculer la distribution cumuleacutee des revenus Le reacutesultat de ce calcul est 15 000 uniteacutes de revenu soit le revenu total de lrsquoeacuteconomie Tableau 2 Exemple numeacuterique du calcul de lrsquoindice de Gini (deacuteriveacute de la courbe de Lorenz)
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 6
Calculer le revenu cumuleacute
Calculer la proportion
cumuleacutee des revenus (qi)
Affecter un rang aux revenus
Calculer la proportion
cumuleacutee de la population (pi)
Calculer laire des polygones
(Z)
Calculer lindice de
Gini
IndividuDistribution des revenus
Revenu cumuleacuteProportion
cumuleacutee des revenus
RangsProportion
cumuleacutee de la population
Aire des polygones
Indice de Gini
1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100
0100
EacuteTAPE 1
Trier la distribution de revenus
EacuteTAPE 4
Valeur de Z laire sous la courbe de Lorenz
G = 1 - 2Z
Aire du premier triangle
Aire de chaque trapegraveze
Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2
0007=[0067 x 02]2
Lrsquoeacutetape 3 transforme la distribution de revenus cumuleacutee en proportion cumuleacutee des revenus Le reacutesultat est 1 Rappelons-nous simplement que ces valeurs sont les qi introduits dans la section 31 ci-dessus Conformeacutement au tri de la distribution des revenus de lrsquoeacutetape 1 un rang croissant (de 1 agrave n) est affecteacute agrave chaque revenu (eacutetape 4) Ces rangs sont ensuite transformeacutes en proportion cumuleacutee de la population Ce calcul donne les p traiteacutes dans la section 31i ci-dessus Lorsque nous disposons de q et de p pour tous les niveaux de revenus nous pouvons calculer lrsquoaire des polygones sous la courbe de Lorenz Il suffit de nous rappeler que le premier est un triangle et que les autres sont des trapegravezes Pour ce faire lrsquoeacutetape 5 applique les formules preacutesenteacutees dans la section 31 La somme de ces aires donne Z crsquoest-agrave-dire lrsquoaire totale sous la courbe de Lorenz
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 13
Enfin lrsquoeacutetape 6 est lrsquoapplication meacutecanique de la formule [6] fournie dans le texte Elle donne un indice de Gini de 0267
52 Indice de Gini standard avec formule de covariance
Le tableau 3 fournit un exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule [4] de covariance preacutesenteacutee dans le texte Les eacutetapes sont ici moins nombreuses Leacutetape 1 change pas et consiste agrave trier la distribution des revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 demande de calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Lrsquoeacutetape 3 neacutecessite de calculer les deux paramegravetres essentiels agrave appliquer agrave la formule de covariance la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee (dont la valeur est de 400 dans lrsquoexemple) et le niveau de revenus moyen soit 3 000 uniteacutes de revenu Tableau 3 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule de covariance
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 4
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer la covariance Cov
(y F(y))
Calculer le niveau
moyen de revenu
Calculer Gini agrave laide la
formule [4]
Individu
A - Distribution des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacuteeCovariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267
EacuteTAPE 1
Trier la distribution des revenus
EacuteTAPE 3
Lrsquoapplication de la formule [4] fournie dans le texte donne une valeur drsquoindice de Gini eacutegale agrave 0267 (bien eacutevidemment identique agrave celle du tableau 2 )
53 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Nous nous sommes servis de la formule de covariance pour expliquer qursquoil est possible de rendre lrsquoindice de Gini standard sensible agrave un degreacute donneacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Le tableau 4 fournit un exemple de traitement de cette geacuteneacuteralisation agrave lrsquoaide de la mecircme distribution de revenus que dans les tableaux 2 et 3
Module EASYPol 040 Outils analytiques
14
Tableau 4 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 4 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 7
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer 1 - F(y)
Choisir vCalculer
[1 - F(y)](v-1)
Calculer la covariance
Cov (y F(y))
Calculer le niveau de revenu
moyen
Calculer Gini agrave laide de la formule [4]
Individu
A - Distribution
des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacutee1 - F(y) v [1 - F(y)](v-1) Covariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246
EacuteTAPE 1 EacuteTAPE 6
Trier la distribution des revenus
Les eacutetapes 1 et 2 sont identiques agrave celles du tableau 3 En revanche lrsquoeacutetape 3 requiert de calculer les valeurs de un moins la fonction de distribution cumuleacutee Lrsquoeacutetape 4 introduit le paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v auquel nous avons choisi drsquoattribuer la valeur 4 Par conseacutequent chaque montant calculeacute agrave lrsquoeacutetape 3 passe agrave la puissance (v-1) crsquoest-agrave-dire 3 (eacutetape 5) Lrsquoeacutetape 6 calcule les deux paramegravetres essentiels le terme de covariance (-246 dans lrsquoexemple) et le revenu moyen (3 000) Lrsquoeacutetape 7 applique la formule [6] fournie dans le texte et donne un indice de Gini de 0246 Cette valeur est diffeacuterente de celle obtenue avec lrsquoindice de Gini standard car des pondeacuterations diffeacuterentes ont eacuteteacute attribueacutees aux mecircmes revenus
6 PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LrsquoINDICE DE GINI
Cette section deacutecrit les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini en termes des axiomes qursquoil respecte 8
Comme la plupart de ces proprieacuteteacutes sont communes aux indices de Gini standard et geacuteneacuteraliseacute nous les traiterons ensemble tout en signalant leurs diffeacuterences majeures Les principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini sont les suivantes la limite infeacuterieure de G est zeacutero quelle que soit la valeur de v Quand tous les
revenus sont eacutegaux la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee est nulle et lrsquoindice de Gini est donc zeacutero Concernant lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini standard notez que quand tous les revenus sont eacutegaux la courbe de Lorenz est eacutegale agrave la droite drsquoeacutequidistribution Par conseacutequent la somme des aires des polygones (Z) est eacutegale agrave frac12 crsquoest-agrave-dire la somme du triangle sous la courbe de Lorenz De ce fait lrsquoindice de Gini (1ndash 2Z) est eacutegal agrave zeacutero
8 Voir le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes
(disponible en anglais) pour en savoir plus sur les axiomes dans la mesure de lrsquoineacutegaliteacute de mesure
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 15
nn 1minus la limite supeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard G est Dans les tregraves grandes
populations la limite de cette valeur est 1 Quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier celui-ci est aussi eacutegal au revenu total y=Y Autrement dit il ne faut calculer qursquoune seule aire celle du dernier trapegraveze Cependant dans les tregraves grandes populations cette aire tend agrave ecirctre plus petite Dans la limite (crsquoest-agrave-dire dans un cadre continu) la valeur de lrsquoaire Z tend vers zeacutero et donc lrsquoindice de Gini tend vers
1 Dans la geacuteneacuteralisation la limite supeacuterieure de G(v) est n
nv
12 minus Souvenez-vous
que dans lrsquoindice de Gini standard v=2 lrsquoindice de Gini est invariant agrave lrsquoeacutechelle La multiplication de tous les revenus par
un facteur α ne modifie pas la valeur de lrsquoindice de Gini G Intuitivement quand tous les revenus sont redimensionneacutes par un facteur commun la distribution cumuleacutee des revenus ne change pas car une fraction donneacutee de la population continue agrave deacutetenir la mecircme fraction du revenu total Les aires sous la courbe de Lorenz demeurent donc identiques Dans le cas de la formule de covariance lrsquoapplication drsquoun facteur commun agrave tous les revenus augmente la covariance et le revenu moyen dans la mecircme mesure Lrsquoindice de Gini ne change pas Cela vaut eacutegalement pour G(v)
en revanche lrsquoindice de Gini G nrsquoest pas invariant agrave la translation Si lrsquoon
ajoutesoustrait la mecircme somme agrave tous les revenus il augmente (ou diminue) en conseacutequence Cela vaut eacutegalement pour G(v)
lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts quelle que soit la valeur de v
Si le revenu est redistribueacute drsquoindividus relativement riches agrave des individus relativement pauvres G et G(v) diminuent Lrsquoinverse est vrai si le revenu est redistribueacute de personnes relativement pauvres agrave des personnes relativement riches Dans le cas de lrsquoindice de Gini standard nous remarquons que la taille du changement deacutecoulant de la variation de lrsquoun quelconque des revenus deacutepend du rang des individus participant agrave la redistribution et de la taille de lrsquoeacutechantillon Elle ne deacutepend pas du niveau des revenus individuels redistribueacutes mais du total des revenus Plus preacuteciseacutement lrsquoindice de Gini reacuteagit davantage agrave une redistribution entre individus preacutesentant une grande diffeacuterence de rang De fait agrave quantiteacute de redistribution eacutegale lrsquoeffet est beaucoup plus faible si les deux individus sont de rang proche
Le tableau 5 illustre le principe de fonctionnement des principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini Dans la colonne de gauche figurent trois simulations de distributions de revenus La premiegravere est une distribution laquo type raquo classeacutee par niveaux de revenus Les individus de la seconde ont tous le mecircme revenu Les individus de la troisiegraveme ont tous un revenu nul sauf le dernier
Module EASYPol 040 Outils analytiques
16
Pour la distribution de revenus type A lrsquoindice de Gini est de 0267 Pour les revenus eacutequidistribueacutes B il est nul et pour la distribution la plus concentreacutee C il est de 08
( 80541
==minusn
n )
Pour une augmentation de tous les revenus de 20 pour-cent la cinquiegraveme colonne montre que lrsquoindice de Gini demeurerait inchangeacute agrave 0267 (proprieacuteteacute drsquoinvariance agrave lrsquoeacutechelle) Ce ne serait pas le cas pour une augmentation de tous les revenus du mecircme montant absolu (par exemple 2 000 uniteacutes de revenu dans le texte) Dans ce cas le tableau 5 montre que lrsquoindice de Gini serait plus bas (0160) Cet indice nrsquoest pas invariant agrave la translation Lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts Si nous redistribuons par exemple 500 uniteacutes de revenu des plus riches au plus pauvres il sera infeacuterieur (0213) dans le texte Agrave noter que les mecircmes transferts entre individus de rang proche (derniegravere colonne du tableau 5) donnent toujours lieu agrave un indice de Gini plus bas (0253) mais supeacuterieur au cas preacuteceacutedent (0213) Cela montre que lrsquoindice est plus sensible aux transferts entre individus de rangs eacuteloigneacutes
Tableau 5 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
IndividuA - Distribution des
revenus type
B - Distribution des revenus avec
revenus eacutegaux
C - Distribution des revenus avec un
seul revenu
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 20 pour-cent de tous les revenus
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 2 000 USD de tous
les revenus
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 500 USD du plus riche au plus pauvre
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 200
USD par deux individus de rang
proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000
Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000
GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253
INCHANGEacute DIMINUEacute DIMINUEacute DIMINUEacute
entre individus de rang proche
Lindice de Gini reacuteagit moins aux transferts
7 INTERSECTION DE LORENZ ET INDICE DE GINI
Nous avons vu qursquoil est possible de deacuteriver lrsquoindice de Gini drsquoune courbe de Lorenz En dautres termes indice de Gini et courbe de Lorenz sont en coheacuterence Il faut neacuteanmoins rappeler que lrsquoordre fourni par les courbes de Lorenz et en particulier par la dominance
de Lorenz est partiel car quand ces courbes ne coupent rien nous sommes agrave mecircme de dire quelle distribution des revenus preacutesente le plus drsquoineacutegaliteacute Agrave lrsquoinverse lrsquoindice de Gini fournit un ordre complet puisqursquoil reacuteduit lrsquointeacutegraliteacute de la distribution des revenus agrave un seul nombre La diffeacuterence eacuteleacutementaire entre ces deux approches devient apparente en cas drsquointersection des courbes de Lorenz Prenons par exemple les deux distributions de
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 17
revenus du tableau 6 Les revenus sont distribueacutes diffeacuteremment mais lrsquoindice de Gini est le mecircme (0200) Tableau 6 Deux distributions de revenus posseacutedant le mecircme indice de Gini
IndividusDistribution des
revenus XDistribution des
revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500
Revenu total20 000 20 000
Gini 0200 0200 Ces deux distributions sont figureacutees par les courbes de Lorenz de la figure 7 Comme elles se coupent on ne peut pas srsquoen servir pour les classer en termes drsquoineacutegaliteacute des revenus Mais la maniegravere dont elles se coupent donne des aires de mecircme valeur avant et apregraves lrsquointersection Du coup lrsquoindice de Gini est identique en deacutepit de diffeacuterences de revenus importantes Figure 7 Intersection de courbes de Lorenz
00
02
04
06
08
10
00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y
Distributions de revenus diffeacuterentesIntersection de LorenzMecircme indice de Gini
Aire de concentrationavant intersection
Aire de concentrationapregraves intersection
Module EASYPol 040 Outils analytiques
18
8 SYNTHEgraveSE DES PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LINDICE DE GINI ET DE SA VERSION GEacuteNEacuteRALISEacuteE
Le tableau 7 syntheacutetise les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee Ces proprieacuteteacutes reflegravetent la structure des axiomes9
Il est inteacuteressant de noter tout drsquoabord que la limite infeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard et de sa version geacuteneacuteraliseacutee est zeacutero alors que sa limite supeacuterieure est diffeacuterencieacutee Cette derniegravere est tregraves proche de 1 (pour les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini standard et tend vers 2v (toujours dans les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute Les deux versions de lrsquoindice de Gini respectent le principe des transferts mais il faut rappeler que lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts de revenus entre individus situeacutes agrave des positions (rang) eacuteloigneacutees dans la distribution des revenus Les deux versions sont invariantes agrave lrsquoeacutechelle et non invariantes agrave la translation et respectent le principe de population Cette structure fait de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee deux indicateurs drsquoineacutegaliteacute relative La grande utiliteacute de leurs caracteacuteristiques dans la pratique explique le fort inteacuterecirct qursquoils suscitent Tableau 7 Indice de Gini et ses proprieacuteteacutes utiles
LIMITE
INFLIMITE SUP
Principe des transferts
Invariance agrave leacutechelle
Invariance agrave la translation
Principe de population
Indice dineacutegaliteacute relative (IIR)
Inteacuterecirct
Gini 0 (n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
Gv 0 (2v )(n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
9 REMARQUES Agrave LrsquoINTENTION DES LECTEURS
91 Liens EASYPol
Les lecteurs pourront se tourner vers certains modules EASYPol pour renforcer leurs acquis de base et approfondir leurs connaissances sur lrsquoineacutegaliteacute et sa mesure Le preacutesent module fait partie drsquoun ensemble de documents expliquant les modaliteacutes de comparaison en termes drsquoineacutegaliteacute des distributions de revenus geacuteneacutereacutees par diffeacuterentes options des politiques Il appartient au parcours de formation Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des politiques
9 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses
axiomes de mesure (disponible en anglais)
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 19
Les modules EASYPol suivants preacutecegravedent logiquement le document preacutesent et pourront renforcer les connaissances des utilisateurs
Module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute courbe de Lorenz
Module EASYPol 001 Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz
EASYPol Module 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de pauvreteacute
Module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure (disponible en anglais)
Les points traiteacutes dans ce module sont approfondis dans les documents suivants
Module EASYPol 002 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz geacuteneacuteraliseacute
Module EASYPol 041 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social bien-ecirctre social fonctions de bien-ecirctre social et aversion pour lineacutegaliteacute (disponible en anglais)
Le module EASYPol 042 Impacts sur lineacutegaliteacute et la pauvreteacute de certaines
politiques agricoles cas du Paraguay est une eacutetude de cas de la mesure agrave lrsquoaide de lrsquoindice de Gini des impacts drsquoune politique agricole sur lrsquoineacutegaliteacute dans le contexte drsquoun exercice de simulation bacircti agrave partir de donneacutees reacuteelles
Module EASYPol 040 Outils analytiques
20
10 ANNEXE I ndash AUTRES MEacuteTHODES DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible
La deacuterivation de lrsquoindice de Gini par les courbes de Lorenz preacutesente une correspondance directe avec une autre meacutethode plutocirct lourde de calcul de cet indicateur
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+= minusminus
Yy
nY
yY
yYy
nnG nnn 121 32211 [A1]
Vous remarquerez la speacutecificiteacute des termes figurant entre les derniegraveres parenthegraveses ougrave chaque part de revenu de la plus eacuteleveacutee agrave la plus faible est multiplieacutee par le rang des individus dans la distribution des revenus du plus bas au plus eacuteleveacute de maniegravere agrave ce que la part la plus importante ait le rang 1 et la plus petite le rang n Cette correspondance apparaicirct encore mieux dans un exemple ougrave n=3 En rappelant la deacutefinition des q et des p on obtient
133 1
032
031
0
0300 0
3321
3
221
2
11
1
00
0
===+++
=
=++
=
=+
=
=====
pY
yyyq
pY
yyq
pY
yq
np
Yy
q
Substituer ces valeurs dans lrsquoeacutequation [2] dans le texte donne
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++minus=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++minus=
Yy
Yy
Yy
Yyy
Yyyy
Yy
Yyy
YyG 123213211211
1 35
33
311
31
31
311
[A2] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 1 Maintenant reacuteeacutecrivons lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++minus+=Yy
Yy
Yy
G 1232 32
32
311
[A3] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 2 Maintenant reacuteeacutecrivons [A2] et [A3] de maniegravere plus commode en manipulant les crochets
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus=
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
G 12121231 2
32
311
34
32
311
[A4]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +minusminus+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyyyG 121212123
2 232
3112
32
32
3112
32
311
[A5] comme lrsquoexpression entre parenthegraveses dans les deux eacutequations est eacutegale agrave 1 pour n=3 il est tregraves facile de veacuterifier que les deux expressions donnent le mecircme reacutesultat (G =G1 2) La formule [A1] souvent utiliseacutee dans les applications opeacuterationnelles est donc entiegraverement baseacutee sur la deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini
101 Indice de Gini avec formule de covariance
Dans le texte nous avons montreacute que lrsquoindice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moyen et la covariance entre les niveaux y et la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Analytiquement
( ))(2 yFyCovy
G = [A6]
Cette formule eacutequivaut aussi agrave la formule [A1] Voyons pourquoi
( )[ ] ( )[ )(1 yFyCovyFyCov ]minusminus=Sachant que comme la valeur attendue de F(y) est frac12 et la valeur attendue de [1-F(y)] frac12 eacutegalement nous pouvons reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A6]
sous la forme ( )[ ])(12 yFyCov
yG minusminus=
Lrsquoeacutequivalence entre les formules [A6] et [A1] apparaicirct agrave nouveau pour un cas simplifieacute n=3 Tout drsquoabord il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( )()()( yFEyEyyFEyFyCov minus )= ougrave E correspond agrave la valeur attendue (la moyenne) drsquoune variable donneacutee Ensuite il convient de deacutefinir chaque composante de la covariance
( ) ( ) ( )32
333
32
31
)( 3
3
31
32
33
)(123
=++
==++
= yFEYyEyyy
yyFE
nous pouvons obtenir Par conseacutequent en tenant compte du fait que 321 yyyY ++=
( ) [ ]13123123 9
192
92
92
91
92
93)( yyyyyyyyyFyCov minus=minusminusminus++=
Module EASYPol 040 Outils analytiques
22
nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minussdot
sdot=
Yy
Yy
yyY
G 1313 3
29132
Maintenant sachant que pour n=3
1321 =++
Yyyy
on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
Yy
Yy
Yy 13111223321321
32
32
32
32
32
32
32
31
ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance
102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors
034
311
36
32
31132
32
311 =minus+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus+=yy
Yy
Yy
YyG
LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera
nn
Yy
YYG 1
32
32
31100
32
311 minus
==minus+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=
comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3
G deviendrait ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
+α
α+
αα
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyG 323323 32
32
31132
32
311
GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
+minus+=
000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
112
individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
Module EASYPol 040 Outils analytiques
24
11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES
Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
24 617-628
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 25
Meacutetadonneacutees du module
1 Module EASYPol 040
2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
Franccedilais
Espagnol
Autre
3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine
Anglais The Gini Index
Franccedilais
Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module
10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
Module EASYPol 040 Outils analytiques
26
11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
Module EASYPol 040 Outils analytiques
6
Cette interpreacutetation geacuteomeacutetrique baseacutee sur la courbe de Lorenz ne constitue que lrsquoun des modes de calcul possibles de lrsquoindice de Gini Une autre approche qui va srsquoaveacuterer particuliegraverement utile ci-apregraves consiste agrave exprimer directement lrsquoindice de Gini en termes de covariance entre les niveaux de revenus et la distribution cumuleacutee des revenus En particulier
( )( )y
yFyCovG 2=[4] ougrave Cov repreacutesente la covariance entre des niveaux de revenus y et la distribution cumuleacutee des mecircmes revenus F(y) et ougrave y est le revenu moyen Il est utile de rappeler ici que la covariance est la valeur attendue E des produits des eacutecarts sur la moyenne de chaque variable Soit dans ce cas preacutecis
[ ] [ ] [ ])()()( yFyFyyEyFyCov minussdotminus= [5]
32 Lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (Gv)
Pour eacutevaluer lrsquoimpact des politiques sur lrsquoineacutegaliteacute nous disposons drsquoune mesure suffisamment souple pour incarner les preacutefeacuterences de diffeacuterents deacutecisionnaires concernant par exemple le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Apregraves tout deux deacutecisionnaires adoptant des attitudes diffeacuterentes vis-agrave-vis de lrsquoineacutegaliteacute eacutevalueront diffeacuteremment les effets drsquoune mecircme politique Lrsquoindice de Gini eacutelaboreacute dans la section preacuteceacutedente (appeleacute ci-apregraves indice de Gini standard) ne permet pas de prendre en compte ces diffeacuterences drsquoattitude ou en drsquoautres termes le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute La geacuteneacuteralisation de lrsquoindice de Gini de Yitzhaki (1983) le rend deacutependant drsquoun degreacute speacutecifieacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute La formule correspondante est la suivante
G v( )= minus vy
Cov y 1minus F(y)( )vminus1⎡ ⎣ ⎢
⎤⎦⎥ [6]
ougrave tous les termes ont le mecircme sens que dans [4] et ougrave v exprime le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Lrsquoaffectation de diffeacuterentes valeurs agrave v risque de modifier la valeur de lrsquoindice de Gini du fait drsquoune pondeacuteration diffeacuterente des revenus agrave diffeacuterentes parties de leur distribution Agrave noter que lorsque v=2 lrsquoexpression [6] revient agrave lrsquoindice de Gini standard (expression [4]) Pour comprendre la signification de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute rappelons la deacutefinition eacutetendue suivante du terme de covariance dans [6]
( )[ ] [ ] ( ) ( )[ ])(1)(1)(1 yFyFyyEyFyCov minusminusminussdotminus=minus[7]
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 7
Les seconds crochets agrave la droite de lrsquoexpression [7] doivent ecirctre interpreacuteteacutes comme la pondeacuteration agrave affecter agrave chaque niveau de revenu crsquoest-agrave-dire agrave chaque eacutecart sur la moyenne du niveau de revenus (premiers crochets) Pour les bas revenus (infeacuterieurs au revenu moyen) le terme des premiers crochets est neacutegatif et le second positif Pour les revenus eacuteleveacutes (supeacuterieurs agrave la moyenne) la situation est inverseacutee Les eacutecarts sur la moyenne sont positifs tandis que le terme des seconds crochets est neacutegatif Agrave noter la proprieacuteteacute de la fonction de distribution cumuleacutee (FDC) sa moyenne est eacutegale agrave sa meacutediane (frac12) De ce fait la valeur des seconds crochets sera positive jusqursquoagrave la meacutediane de la FDC Cela signifie que la meacutediane de la distribution des revenus aura une pondeacuteration nulle puisque le revenu meacutedian est le niveau de revenu ougrave F(y) = frac12 Il nous faut maintenant comprendre ce qui arrive aux revenus situeacutes avant et apregraves la meacutediane quand la valeur de v augmente La figure 3 se penche sur ce problegraveme La droite rouge repreacutesente la diffeacuterence de [1-F(y)] sur la moyenne dans le cas standard de v=2 Elle coupe lrsquoaxe des x au niveau meacutedian de cette distribution de revenus hypotheacutetique Si nous prenons le cas ougrave v=3 (courbe noire eacutepaisse) on voit relativement facilement qursquoune fraction des personnes riches (agrave droite de lrsquointersection avec v=2 dans la zone sud-est du graphique) possegravede (en termes absolus) une pondeacuteration infeacuterieure que lorsque v=2 Cela concerne tous les revenus pour lesquels la courbe noire eacutepaisse se situe au-dessus de la droite rouge dans le graphique Dans le mecircme temps une fraction des personnes pauvres (agrave gauche de lrsquointersection avec v=2 dans la zone nord-ouest du graphique) preacutesente une pondeacuteration supeacuterieure que lorsque v=2 Cela concerne tous les revenus pour lesquels la courbe noire eacutepaisse se situe agrave nouveau au-dessus de la droite rouge dans le graphique Lorsque lrsquoon augmente v la fraction de personnes riches dont lrsquoeacutecart de revenus sur la moyenne reccediloit une pondeacuteration infeacuterieure agrave celle de v=2 augmente Dans le mecircme temps la fraction de personnes pauvres dont lrsquoeacutecart de revenus sur la moyenne reccediloit une pondeacuteration supeacuterieure agrave celle de v=2 diminue La figure 3 rend compte des cas ougrave v=2 v=4 v=8 et v=16 Par conseacutequent quand v augmente le nombre de bas revenus posseacutedant une pondeacuteration importante diminue et le nombre de personnes posseacutedant une pondeacuteration nulle augmente Dans le calcul de Gini augmenter v signifie donc se focaliser plutocirct sur lrsquoineacutegaliteacute dans une fraction progressivement infeacuterieure de la distribution des revenus6
6 Crsquoest la raison pour laquelle on considegravere souvent v comme un laquo paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute raquo
Module EASYPol 040 Outils analytiques
8
Figure 3 Pondeacuteration dans lrsquoindice de Gini
-06
-04
-02
00
02
04
06
08
10
Niveaux de revenus
(1-F
(y))
eacute
cart
s su
r la
moyenne
v=2 v=3 v=4 v=8 v=16
Quand v augmente un ensemble progressivement plus important drsquoindividus riches compte moins que quand v=2 Quand v=16 mecircme certaines personnes agrave bas revenus comptent pour zeacutero car une pauvreteacute plus extrecircme devient progressivement le point de focalisation
Quand v augmente un ensemble progressivement moindre drsquoindividus pauvres compte davantage que quand v=2 Plus v est eacuteleveacute plus le poids des individus diminue rapidement Quand v=16 peu de personnes agrave bas revenus comptent beaucoup
De ce fait lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute donne davantage de souplesse agrave leacutevaluation des programmes et des politiques de deacuteveloppement que lrsquoindice de Gini standard parce qursquoil permet drsquoincarner diffeacuterents degreacutes drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Pour mieux comprendre ce point utilisons lrsquoexemple du tableau 1 Tableau 1 Exemple de facteurs de pondeacuteration implicites dans lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Individus Revenus F(y) 1-F(y) [1-F(y)]v-
1 v=2
[1-F(y)]v-1
v=4
Revenus eacutecarts sur la
moyenne
[1-F(y)]v-1 v=2 eacutecarts
sur la moyenne
[1-F(y)]v-1 v=4 eacutecarts
sur la moyenne
Facteur de pondeacuteration
implicite quand v=2
Facteur de pondeacuteration
implicite quand v=4
1 1 000 020 080 080 051 -2 000 040 045 20 80
2 2 000 040 060 060 022 -1 000 020 015 15 343 3 000 060 040 040 006 0 000 000 10 10
4 4 000 080 020 020 001 1 000 -020 -006 05 01
5 5 000 100 000 000 000 2 000 -040 -006 00 00
Moyenne 3 000 060 040 040 006 Le tableau 1 rend compte de la distribution hypotheacutetique des revenus de cinq individus Pour chaque niveau de revenu la troisiegraveme et la quatriegraveme colonnes fournissent le reacutesultat du calcul de F(y) et de (1-F(y)) respectivement La cinquiegraveme et la sixiegraveme donnent le reacutesultat de la quatriegraveme colonne pour v=2 et v=4
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 9
Agrave noter que v=2 correspond agrave lrsquoindice de Gini standard et que v=4 inclut davantage de personnes agrave bas revenus dans la pondeacuteration La septiegraveme colonne indique lrsquoeacutecart de chaque revenu par rapport au revenu moyen Il est neacutegatif pour les bas revenus et positif pour les revenus eacuteleveacutes Nous devons simplement nous rappeler qursquoil fait partie du terme de covariance de [7] Les huitiegraveme et neuviegraveme colonnes calculent les eacutecarts sur la moyenne de lrsquoautre partie du terme de covariance de la formule [7] Que nous apprend la comparaison de ces colonnes Nous voyons facilement que la laquo pondeacuteration raquo affecteacutee aux revenus les plus bas est supeacuterieure avec v=4 qursquoavec v=2 Dans le mecircme temps la pondeacuteration de lindividu le plus riche descend rapidement agrave zeacutero quand v=4 Une meacutethode de calcul du facteur de pondeacuteration implicite de lrsquoindice de Gini consiste agrave deacutefinir le ratio entre la valeur de la fonction (1-F(y))v-1 agrave nimporte quel niveau de revenu et la valeur de cette mecircme fonction au niveau de revenu meacutedian Pour v=2 et v=4 ce calcul apparaicirct dans les deux derniegraveres colonnes du tableau 1 Quand v=2 le revenu le plus bas contribue deux fois plus au calcul de lrsquoindice de Gini que le revenu meacutedian Quand v=4 il y contribue huit fois plus Vous remarquerez eacutegalement que la contribution des revenus les plus eacuteleveacutes est infeacuterieure quand v=4
4 PROCEacuteDURE DEacuteTAILLEacuteE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
41 Lrsquoindice de Gini
La proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini est syntheacutetiseacutee dans la figure 4 baseacutee sur la formule [2] ci-dessus Il faut commencer par trier la distribution des revenus par niveaux de revenus (eacutetape 1) Agrave lrsquoeacutetape 2 nous calculons la distribution de revenus cumuleacutee Agrave lrsquoeacutetape 3 nous obtenons la proportion cumuleacutee des revenus (qi) en divisant chaque revenu cumuleacute par le total des revenus Lrsquoeacutetape 4 fournit la proportion cumuleacutee de la population (pi) Pour ce faire nous classons les individus par ordre croissant et nous attribuons le rang 1 agrave la personne au revenu le plus bas et le rang laquo n raquo agrave celle au revenu le plus eacuteleveacute puis nous divisons par n Agrave lrsquoeacutetape 5 nous calculons lrsquoaire des polygones Z1Z2 Z3Zn Le premier est un triangle les autres sont des trapegravezes (appliquez la formule figurant dans le texte) Agrave lrsquoeacutetape 6 nous additionnons toutes les aires pour obtenir lrsquoaire sous la courbe de Lorenz (Z) puis nous calculons lrsquoindice de Gini G=1-2Z La figure 4 fournit le deacuteroulement de cette proceacutedure
Module EASYPol 040 Outils analytiques
10
Figure 4 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la distribution de revenus cumuleacutee
3Calculer la proportion cumuleacutee des revenus en divisant chaque revenu
cumuleacute par le total des revenus
4
Affecter le rang 1 au revenu le plus bas et le rang n au revenu le plus eacuteleveacute
puis calculer la proportion cumuleacutee de la population en divisant chaque rang
par n
5
Calculer laire des polygones en appliquant les formules fournies dans le
texte pour laire du triangle et des trapegravezes
6 Additionner toutes les aires pour obtenir Z puis calculer G = 1-2Z
Mais le texte fournit une autre formule de calcul direct de lrsquoindice de Gini (voir la formule [4]) baseacutee sur le terme de covariance Il est donc utile den fournir la proceacutedure de calcul deacutetailleacutee (voir la figure 5) Figure 5 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini agrave lrsquoaide de la formule de covariance
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la distribution de revenus par niveaux
de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer la covariance Cov(yF(y)) et le niveau de revenu moyen
4 Calculer Gini en appliquant la formule [4] fournie dans le texte
Lrsquoeacutetape 1 nous demande comme dhabitude de trier la distribution de revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 nous demande de calculer la FDC F(y)7
7 Voir le module EASYPOL 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de la pauvreteacute
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 11
Lrsquoeacutetape 3 nous demande simplement de prendre la covariance entre la distribution des niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee et le niveau de revenus moyen utiliseacutee dans le deacutenominateur de la formule[4] Enfin lrsquoeacutetape 4 applique directement la formule [4] fournie dans le texte
42 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
La figure 6 fournit les eacutetapes du calcul de la version geacuteneacuteraliseacutee de lrsquoindice de Gini Figure 6 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer 1-F(y) pour chaque revenu
4 Choisir la valeur du paramegravetre daversion pour lineacutegaliteacute v
5 Calculer [1-F(y)]v -1
6Calculer la covariance
Cov[y (1-F(y))v -1] et la moyenne de la distribution de revenus
7 Calculer Gini en appliquant la formule de covariance [6] fournie dans le texte
Les eacutetapes sont tregraves semblables agrave celles du calcul de lrsquoindice de Gini standard agrave lrsquoaide de la formule de covariance Les eacutetapes 1 et 2 sont mecircme identiques Par souci de commoditeacute du fait du mode drsquoexpression de la formule lrsquoeacutetape 3 nous demande de calculer pour chaque niveau de revenus la valeur de un moins la valeur de la fonction de distribution cumuleacutee agrave ce point Lrsquoeacutetape 4 est lrsquoeacuteleacutement le plus caracteacuteristique de cette proceacutedure car elle nous demande de choisir la valeur du paramegravetre de lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v Il suffit de nous souvenir que plus les valeurs de v sont eacuteleveacutees plus lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute est forte Lrsquoeacutetape 5 nous demande de calculer un eacuteleacutement du terme de covariance agrave savoir la valeur de (1-F(y))v-1 Agrave lrsquoeacutetape 6 nous devons calculer la covariance complegravete et le revenu moyen ce qui nous permettra drsquoappliquer la formule [6] fournie dans le texte pour obtenir lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (eacutetape 7)
Module EASYPol 040 Outils analytiques
12
5 EXEMPLE NUMEacuteRIQUE DU MODE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
51 Indice de Gini standard deacuteriveacute de la courbe de Lorenz
Le calcul de lrsquoindice de Gini deacuteriveacute de la courbe de Lorenz figure dans le tableau 2 ougrave nous supposons lrsquoexistence drsquoune distribution de revenus agrave cinq individus (et cinq revenus) Lrsquoeacutetape 1 neacutecessite simplement de trier cette distribution par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 en revanche nous demande de calculer la distribution cumuleacutee des revenus Le reacutesultat de ce calcul est 15 000 uniteacutes de revenu soit le revenu total de lrsquoeacuteconomie Tableau 2 Exemple numeacuterique du calcul de lrsquoindice de Gini (deacuteriveacute de la courbe de Lorenz)
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 6
Calculer le revenu cumuleacute
Calculer la proportion
cumuleacutee des revenus (qi)
Affecter un rang aux revenus
Calculer la proportion
cumuleacutee de la population (pi)
Calculer laire des polygones
(Z)
Calculer lindice de
Gini
IndividuDistribution des revenus
Revenu cumuleacuteProportion
cumuleacutee des revenus
RangsProportion
cumuleacutee de la population
Aire des polygones
Indice de Gini
1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100
0100
EacuteTAPE 1
Trier la distribution de revenus
EacuteTAPE 4
Valeur de Z laire sous la courbe de Lorenz
G = 1 - 2Z
Aire du premier triangle
Aire de chaque trapegraveze
Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2
0007=[0067 x 02]2
Lrsquoeacutetape 3 transforme la distribution de revenus cumuleacutee en proportion cumuleacutee des revenus Le reacutesultat est 1 Rappelons-nous simplement que ces valeurs sont les qi introduits dans la section 31 ci-dessus Conformeacutement au tri de la distribution des revenus de lrsquoeacutetape 1 un rang croissant (de 1 agrave n) est affecteacute agrave chaque revenu (eacutetape 4) Ces rangs sont ensuite transformeacutes en proportion cumuleacutee de la population Ce calcul donne les p traiteacutes dans la section 31i ci-dessus Lorsque nous disposons de q et de p pour tous les niveaux de revenus nous pouvons calculer lrsquoaire des polygones sous la courbe de Lorenz Il suffit de nous rappeler que le premier est un triangle et que les autres sont des trapegravezes Pour ce faire lrsquoeacutetape 5 applique les formules preacutesenteacutees dans la section 31 La somme de ces aires donne Z crsquoest-agrave-dire lrsquoaire totale sous la courbe de Lorenz
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 13
Enfin lrsquoeacutetape 6 est lrsquoapplication meacutecanique de la formule [6] fournie dans le texte Elle donne un indice de Gini de 0267
52 Indice de Gini standard avec formule de covariance
Le tableau 3 fournit un exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule [4] de covariance preacutesenteacutee dans le texte Les eacutetapes sont ici moins nombreuses Leacutetape 1 change pas et consiste agrave trier la distribution des revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 demande de calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Lrsquoeacutetape 3 neacutecessite de calculer les deux paramegravetres essentiels agrave appliquer agrave la formule de covariance la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee (dont la valeur est de 400 dans lrsquoexemple) et le niveau de revenus moyen soit 3 000 uniteacutes de revenu Tableau 3 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule de covariance
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 4
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer la covariance Cov
(y F(y))
Calculer le niveau
moyen de revenu
Calculer Gini agrave laide la
formule [4]
Individu
A - Distribution des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacuteeCovariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267
EacuteTAPE 1
Trier la distribution des revenus
EacuteTAPE 3
Lrsquoapplication de la formule [4] fournie dans le texte donne une valeur drsquoindice de Gini eacutegale agrave 0267 (bien eacutevidemment identique agrave celle du tableau 2 )
53 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Nous nous sommes servis de la formule de covariance pour expliquer qursquoil est possible de rendre lrsquoindice de Gini standard sensible agrave un degreacute donneacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Le tableau 4 fournit un exemple de traitement de cette geacuteneacuteralisation agrave lrsquoaide de la mecircme distribution de revenus que dans les tableaux 2 et 3
Module EASYPol 040 Outils analytiques
14
Tableau 4 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 4 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 7
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer 1 - F(y)
Choisir vCalculer
[1 - F(y)](v-1)
Calculer la covariance
Cov (y F(y))
Calculer le niveau de revenu
moyen
Calculer Gini agrave laide de la formule [4]
Individu
A - Distribution
des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacutee1 - F(y) v [1 - F(y)](v-1) Covariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246
EacuteTAPE 1 EacuteTAPE 6
Trier la distribution des revenus
Les eacutetapes 1 et 2 sont identiques agrave celles du tableau 3 En revanche lrsquoeacutetape 3 requiert de calculer les valeurs de un moins la fonction de distribution cumuleacutee Lrsquoeacutetape 4 introduit le paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v auquel nous avons choisi drsquoattribuer la valeur 4 Par conseacutequent chaque montant calculeacute agrave lrsquoeacutetape 3 passe agrave la puissance (v-1) crsquoest-agrave-dire 3 (eacutetape 5) Lrsquoeacutetape 6 calcule les deux paramegravetres essentiels le terme de covariance (-246 dans lrsquoexemple) et le revenu moyen (3 000) Lrsquoeacutetape 7 applique la formule [6] fournie dans le texte et donne un indice de Gini de 0246 Cette valeur est diffeacuterente de celle obtenue avec lrsquoindice de Gini standard car des pondeacuterations diffeacuterentes ont eacuteteacute attribueacutees aux mecircmes revenus
6 PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LrsquoINDICE DE GINI
Cette section deacutecrit les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini en termes des axiomes qursquoil respecte 8
Comme la plupart de ces proprieacuteteacutes sont communes aux indices de Gini standard et geacuteneacuteraliseacute nous les traiterons ensemble tout en signalant leurs diffeacuterences majeures Les principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini sont les suivantes la limite infeacuterieure de G est zeacutero quelle que soit la valeur de v Quand tous les
revenus sont eacutegaux la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee est nulle et lrsquoindice de Gini est donc zeacutero Concernant lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini standard notez que quand tous les revenus sont eacutegaux la courbe de Lorenz est eacutegale agrave la droite drsquoeacutequidistribution Par conseacutequent la somme des aires des polygones (Z) est eacutegale agrave frac12 crsquoest-agrave-dire la somme du triangle sous la courbe de Lorenz De ce fait lrsquoindice de Gini (1ndash 2Z) est eacutegal agrave zeacutero
8 Voir le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes
(disponible en anglais) pour en savoir plus sur les axiomes dans la mesure de lrsquoineacutegaliteacute de mesure
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 15
nn 1minus la limite supeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard G est Dans les tregraves grandes
populations la limite de cette valeur est 1 Quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier celui-ci est aussi eacutegal au revenu total y=Y Autrement dit il ne faut calculer qursquoune seule aire celle du dernier trapegraveze Cependant dans les tregraves grandes populations cette aire tend agrave ecirctre plus petite Dans la limite (crsquoest-agrave-dire dans un cadre continu) la valeur de lrsquoaire Z tend vers zeacutero et donc lrsquoindice de Gini tend vers
1 Dans la geacuteneacuteralisation la limite supeacuterieure de G(v) est n
nv
12 minus Souvenez-vous
que dans lrsquoindice de Gini standard v=2 lrsquoindice de Gini est invariant agrave lrsquoeacutechelle La multiplication de tous les revenus par
un facteur α ne modifie pas la valeur de lrsquoindice de Gini G Intuitivement quand tous les revenus sont redimensionneacutes par un facteur commun la distribution cumuleacutee des revenus ne change pas car une fraction donneacutee de la population continue agrave deacutetenir la mecircme fraction du revenu total Les aires sous la courbe de Lorenz demeurent donc identiques Dans le cas de la formule de covariance lrsquoapplication drsquoun facteur commun agrave tous les revenus augmente la covariance et le revenu moyen dans la mecircme mesure Lrsquoindice de Gini ne change pas Cela vaut eacutegalement pour G(v)
en revanche lrsquoindice de Gini G nrsquoest pas invariant agrave la translation Si lrsquoon
ajoutesoustrait la mecircme somme agrave tous les revenus il augmente (ou diminue) en conseacutequence Cela vaut eacutegalement pour G(v)
lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts quelle que soit la valeur de v
Si le revenu est redistribueacute drsquoindividus relativement riches agrave des individus relativement pauvres G et G(v) diminuent Lrsquoinverse est vrai si le revenu est redistribueacute de personnes relativement pauvres agrave des personnes relativement riches Dans le cas de lrsquoindice de Gini standard nous remarquons que la taille du changement deacutecoulant de la variation de lrsquoun quelconque des revenus deacutepend du rang des individus participant agrave la redistribution et de la taille de lrsquoeacutechantillon Elle ne deacutepend pas du niveau des revenus individuels redistribueacutes mais du total des revenus Plus preacuteciseacutement lrsquoindice de Gini reacuteagit davantage agrave une redistribution entre individus preacutesentant une grande diffeacuterence de rang De fait agrave quantiteacute de redistribution eacutegale lrsquoeffet est beaucoup plus faible si les deux individus sont de rang proche
Le tableau 5 illustre le principe de fonctionnement des principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini Dans la colonne de gauche figurent trois simulations de distributions de revenus La premiegravere est une distribution laquo type raquo classeacutee par niveaux de revenus Les individus de la seconde ont tous le mecircme revenu Les individus de la troisiegraveme ont tous un revenu nul sauf le dernier
Module EASYPol 040 Outils analytiques
16
Pour la distribution de revenus type A lrsquoindice de Gini est de 0267 Pour les revenus eacutequidistribueacutes B il est nul et pour la distribution la plus concentreacutee C il est de 08
( 80541
==minusn
n )
Pour une augmentation de tous les revenus de 20 pour-cent la cinquiegraveme colonne montre que lrsquoindice de Gini demeurerait inchangeacute agrave 0267 (proprieacuteteacute drsquoinvariance agrave lrsquoeacutechelle) Ce ne serait pas le cas pour une augmentation de tous les revenus du mecircme montant absolu (par exemple 2 000 uniteacutes de revenu dans le texte) Dans ce cas le tableau 5 montre que lrsquoindice de Gini serait plus bas (0160) Cet indice nrsquoest pas invariant agrave la translation Lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts Si nous redistribuons par exemple 500 uniteacutes de revenu des plus riches au plus pauvres il sera infeacuterieur (0213) dans le texte Agrave noter que les mecircmes transferts entre individus de rang proche (derniegravere colonne du tableau 5) donnent toujours lieu agrave un indice de Gini plus bas (0253) mais supeacuterieur au cas preacuteceacutedent (0213) Cela montre que lrsquoindice est plus sensible aux transferts entre individus de rangs eacuteloigneacutes
Tableau 5 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
IndividuA - Distribution des
revenus type
B - Distribution des revenus avec
revenus eacutegaux
C - Distribution des revenus avec un
seul revenu
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 20 pour-cent de tous les revenus
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 2 000 USD de tous
les revenus
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 500 USD du plus riche au plus pauvre
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 200
USD par deux individus de rang
proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000
Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000
GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253
INCHANGEacute DIMINUEacute DIMINUEacute DIMINUEacute
entre individus de rang proche
Lindice de Gini reacuteagit moins aux transferts
7 INTERSECTION DE LORENZ ET INDICE DE GINI
Nous avons vu qursquoil est possible de deacuteriver lrsquoindice de Gini drsquoune courbe de Lorenz En dautres termes indice de Gini et courbe de Lorenz sont en coheacuterence Il faut neacuteanmoins rappeler que lrsquoordre fourni par les courbes de Lorenz et en particulier par la dominance
de Lorenz est partiel car quand ces courbes ne coupent rien nous sommes agrave mecircme de dire quelle distribution des revenus preacutesente le plus drsquoineacutegaliteacute Agrave lrsquoinverse lrsquoindice de Gini fournit un ordre complet puisqursquoil reacuteduit lrsquointeacutegraliteacute de la distribution des revenus agrave un seul nombre La diffeacuterence eacuteleacutementaire entre ces deux approches devient apparente en cas drsquointersection des courbes de Lorenz Prenons par exemple les deux distributions de
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 17
revenus du tableau 6 Les revenus sont distribueacutes diffeacuteremment mais lrsquoindice de Gini est le mecircme (0200) Tableau 6 Deux distributions de revenus posseacutedant le mecircme indice de Gini
IndividusDistribution des
revenus XDistribution des
revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500
Revenu total20 000 20 000
Gini 0200 0200 Ces deux distributions sont figureacutees par les courbes de Lorenz de la figure 7 Comme elles se coupent on ne peut pas srsquoen servir pour les classer en termes drsquoineacutegaliteacute des revenus Mais la maniegravere dont elles se coupent donne des aires de mecircme valeur avant et apregraves lrsquointersection Du coup lrsquoindice de Gini est identique en deacutepit de diffeacuterences de revenus importantes Figure 7 Intersection de courbes de Lorenz
00
02
04
06
08
10
00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y
Distributions de revenus diffeacuterentesIntersection de LorenzMecircme indice de Gini
Aire de concentrationavant intersection
Aire de concentrationapregraves intersection
Module EASYPol 040 Outils analytiques
18
8 SYNTHEgraveSE DES PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LINDICE DE GINI ET DE SA VERSION GEacuteNEacuteRALISEacuteE
Le tableau 7 syntheacutetise les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee Ces proprieacuteteacutes reflegravetent la structure des axiomes9
Il est inteacuteressant de noter tout drsquoabord que la limite infeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard et de sa version geacuteneacuteraliseacutee est zeacutero alors que sa limite supeacuterieure est diffeacuterencieacutee Cette derniegravere est tregraves proche de 1 (pour les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini standard et tend vers 2v (toujours dans les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute Les deux versions de lrsquoindice de Gini respectent le principe des transferts mais il faut rappeler que lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts de revenus entre individus situeacutes agrave des positions (rang) eacuteloigneacutees dans la distribution des revenus Les deux versions sont invariantes agrave lrsquoeacutechelle et non invariantes agrave la translation et respectent le principe de population Cette structure fait de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee deux indicateurs drsquoineacutegaliteacute relative La grande utiliteacute de leurs caracteacuteristiques dans la pratique explique le fort inteacuterecirct qursquoils suscitent Tableau 7 Indice de Gini et ses proprieacuteteacutes utiles
LIMITE
INFLIMITE SUP
Principe des transferts
Invariance agrave leacutechelle
Invariance agrave la translation
Principe de population
Indice dineacutegaliteacute relative (IIR)
Inteacuterecirct
Gini 0 (n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
Gv 0 (2v )(n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
9 REMARQUES Agrave LrsquoINTENTION DES LECTEURS
91 Liens EASYPol
Les lecteurs pourront se tourner vers certains modules EASYPol pour renforcer leurs acquis de base et approfondir leurs connaissances sur lrsquoineacutegaliteacute et sa mesure Le preacutesent module fait partie drsquoun ensemble de documents expliquant les modaliteacutes de comparaison en termes drsquoineacutegaliteacute des distributions de revenus geacuteneacutereacutees par diffeacuterentes options des politiques Il appartient au parcours de formation Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des politiques
9 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses
axiomes de mesure (disponible en anglais)
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 19
Les modules EASYPol suivants preacutecegravedent logiquement le document preacutesent et pourront renforcer les connaissances des utilisateurs
Module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute courbe de Lorenz
Module EASYPol 001 Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz
EASYPol Module 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de pauvreteacute
Module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure (disponible en anglais)
Les points traiteacutes dans ce module sont approfondis dans les documents suivants
Module EASYPol 002 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz geacuteneacuteraliseacute
Module EASYPol 041 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social bien-ecirctre social fonctions de bien-ecirctre social et aversion pour lineacutegaliteacute (disponible en anglais)
Le module EASYPol 042 Impacts sur lineacutegaliteacute et la pauvreteacute de certaines
politiques agricoles cas du Paraguay est une eacutetude de cas de la mesure agrave lrsquoaide de lrsquoindice de Gini des impacts drsquoune politique agricole sur lrsquoineacutegaliteacute dans le contexte drsquoun exercice de simulation bacircti agrave partir de donneacutees reacuteelles
Module EASYPol 040 Outils analytiques
20
10 ANNEXE I ndash AUTRES MEacuteTHODES DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible
La deacuterivation de lrsquoindice de Gini par les courbes de Lorenz preacutesente une correspondance directe avec une autre meacutethode plutocirct lourde de calcul de cet indicateur
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+= minusminus
Yy
nY
yY
yYy
nnG nnn 121 32211 [A1]
Vous remarquerez la speacutecificiteacute des termes figurant entre les derniegraveres parenthegraveses ougrave chaque part de revenu de la plus eacuteleveacutee agrave la plus faible est multiplieacutee par le rang des individus dans la distribution des revenus du plus bas au plus eacuteleveacute de maniegravere agrave ce que la part la plus importante ait le rang 1 et la plus petite le rang n Cette correspondance apparaicirct encore mieux dans un exemple ougrave n=3 En rappelant la deacutefinition des q et des p on obtient
133 1
032
031
0
0300 0
3321
3
221
2
11
1
00
0
===+++
=
=++
=
=+
=
=====
pY
yyyq
pY
yyq
pY
yq
np
Yy
q
Substituer ces valeurs dans lrsquoeacutequation [2] dans le texte donne
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++minus=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++minus=
Yy
Yy
Yy
Yyy
Yyyy
Yy
Yyy
YyG 123213211211
1 35
33
311
31
31
311
[A2] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 1 Maintenant reacuteeacutecrivons lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++minus+=Yy
Yy
Yy
G 1232 32
32
311
[A3] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 2 Maintenant reacuteeacutecrivons [A2] et [A3] de maniegravere plus commode en manipulant les crochets
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus=
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
G 12121231 2
32
311
34
32
311
[A4]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +minusminus+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyyyG 121212123
2 232
3112
32
32
3112
32
311
[A5] comme lrsquoexpression entre parenthegraveses dans les deux eacutequations est eacutegale agrave 1 pour n=3 il est tregraves facile de veacuterifier que les deux expressions donnent le mecircme reacutesultat (G =G1 2) La formule [A1] souvent utiliseacutee dans les applications opeacuterationnelles est donc entiegraverement baseacutee sur la deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini
101 Indice de Gini avec formule de covariance
Dans le texte nous avons montreacute que lrsquoindice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moyen et la covariance entre les niveaux y et la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Analytiquement
( ))(2 yFyCovy
G = [A6]
Cette formule eacutequivaut aussi agrave la formule [A1] Voyons pourquoi
( )[ ] ( )[ )(1 yFyCovyFyCov ]minusminus=Sachant que comme la valeur attendue de F(y) est frac12 et la valeur attendue de [1-F(y)] frac12 eacutegalement nous pouvons reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A6]
sous la forme ( )[ ])(12 yFyCov
yG minusminus=
Lrsquoeacutequivalence entre les formules [A6] et [A1] apparaicirct agrave nouveau pour un cas simplifieacute n=3 Tout drsquoabord il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( )()()( yFEyEyyFEyFyCov minus )= ougrave E correspond agrave la valeur attendue (la moyenne) drsquoune variable donneacutee Ensuite il convient de deacutefinir chaque composante de la covariance
( ) ( ) ( )32
333
32
31
)( 3
3
31
32
33
)(123
=++
==++
= yFEYyEyyy
yyFE
nous pouvons obtenir Par conseacutequent en tenant compte du fait que 321 yyyY ++=
( ) [ ]13123123 9
192
92
92
91
92
93)( yyyyyyyyyFyCov minus=minusminusminus++=
Module EASYPol 040 Outils analytiques
22
nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minussdot
sdot=
Yy
Yy
yyY
G 1313 3
29132
Maintenant sachant que pour n=3
1321 =++
Yyyy
on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
Yy
Yy
Yy 13111223321321
32
32
32
32
32
32
32
31
ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance
102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors
034
311
36
32
31132
32
311 =minus+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus+=yy
Yy
Yy
YyG
LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera
nn
Yy
YYG 1
32
32
31100
32
311 minus
==minus+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=
comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3
G deviendrait ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
+α
α+
αα
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyG 323323 32
32
31132
32
311
GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
+minus+=
000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
112
individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
Module EASYPol 040 Outils analytiques
24
11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES
Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
24 617-628
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 25
Meacutetadonneacutees du module
1 Module EASYPol 040
2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
Franccedilais
Espagnol
Autre
3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine
Anglais The Gini Index
Franccedilais
Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module
10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
Module EASYPol 040 Outils analytiques
26
11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 7
Les seconds crochets agrave la droite de lrsquoexpression [7] doivent ecirctre interpreacuteteacutes comme la pondeacuteration agrave affecter agrave chaque niveau de revenu crsquoest-agrave-dire agrave chaque eacutecart sur la moyenne du niveau de revenus (premiers crochets) Pour les bas revenus (infeacuterieurs au revenu moyen) le terme des premiers crochets est neacutegatif et le second positif Pour les revenus eacuteleveacutes (supeacuterieurs agrave la moyenne) la situation est inverseacutee Les eacutecarts sur la moyenne sont positifs tandis que le terme des seconds crochets est neacutegatif Agrave noter la proprieacuteteacute de la fonction de distribution cumuleacutee (FDC) sa moyenne est eacutegale agrave sa meacutediane (frac12) De ce fait la valeur des seconds crochets sera positive jusqursquoagrave la meacutediane de la FDC Cela signifie que la meacutediane de la distribution des revenus aura une pondeacuteration nulle puisque le revenu meacutedian est le niveau de revenu ougrave F(y) = frac12 Il nous faut maintenant comprendre ce qui arrive aux revenus situeacutes avant et apregraves la meacutediane quand la valeur de v augmente La figure 3 se penche sur ce problegraveme La droite rouge repreacutesente la diffeacuterence de [1-F(y)] sur la moyenne dans le cas standard de v=2 Elle coupe lrsquoaxe des x au niveau meacutedian de cette distribution de revenus hypotheacutetique Si nous prenons le cas ougrave v=3 (courbe noire eacutepaisse) on voit relativement facilement qursquoune fraction des personnes riches (agrave droite de lrsquointersection avec v=2 dans la zone sud-est du graphique) possegravede (en termes absolus) une pondeacuteration infeacuterieure que lorsque v=2 Cela concerne tous les revenus pour lesquels la courbe noire eacutepaisse se situe au-dessus de la droite rouge dans le graphique Dans le mecircme temps une fraction des personnes pauvres (agrave gauche de lrsquointersection avec v=2 dans la zone nord-ouest du graphique) preacutesente une pondeacuteration supeacuterieure que lorsque v=2 Cela concerne tous les revenus pour lesquels la courbe noire eacutepaisse se situe agrave nouveau au-dessus de la droite rouge dans le graphique Lorsque lrsquoon augmente v la fraction de personnes riches dont lrsquoeacutecart de revenus sur la moyenne reccediloit une pondeacuteration infeacuterieure agrave celle de v=2 augmente Dans le mecircme temps la fraction de personnes pauvres dont lrsquoeacutecart de revenus sur la moyenne reccediloit une pondeacuteration supeacuterieure agrave celle de v=2 diminue La figure 3 rend compte des cas ougrave v=2 v=4 v=8 et v=16 Par conseacutequent quand v augmente le nombre de bas revenus posseacutedant une pondeacuteration importante diminue et le nombre de personnes posseacutedant une pondeacuteration nulle augmente Dans le calcul de Gini augmenter v signifie donc se focaliser plutocirct sur lrsquoineacutegaliteacute dans une fraction progressivement infeacuterieure de la distribution des revenus6
6 Crsquoest la raison pour laquelle on considegravere souvent v comme un laquo paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute raquo
Module EASYPol 040 Outils analytiques
8
Figure 3 Pondeacuteration dans lrsquoindice de Gini
-06
-04
-02
00
02
04
06
08
10
Niveaux de revenus
(1-F
(y))
eacute
cart
s su
r la
moyenne
v=2 v=3 v=4 v=8 v=16
Quand v augmente un ensemble progressivement plus important drsquoindividus riches compte moins que quand v=2 Quand v=16 mecircme certaines personnes agrave bas revenus comptent pour zeacutero car une pauvreteacute plus extrecircme devient progressivement le point de focalisation
Quand v augmente un ensemble progressivement moindre drsquoindividus pauvres compte davantage que quand v=2 Plus v est eacuteleveacute plus le poids des individus diminue rapidement Quand v=16 peu de personnes agrave bas revenus comptent beaucoup
De ce fait lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute donne davantage de souplesse agrave leacutevaluation des programmes et des politiques de deacuteveloppement que lrsquoindice de Gini standard parce qursquoil permet drsquoincarner diffeacuterents degreacutes drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Pour mieux comprendre ce point utilisons lrsquoexemple du tableau 1 Tableau 1 Exemple de facteurs de pondeacuteration implicites dans lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Individus Revenus F(y) 1-F(y) [1-F(y)]v-
1 v=2
[1-F(y)]v-1
v=4
Revenus eacutecarts sur la
moyenne
[1-F(y)]v-1 v=2 eacutecarts
sur la moyenne
[1-F(y)]v-1 v=4 eacutecarts
sur la moyenne
Facteur de pondeacuteration
implicite quand v=2
Facteur de pondeacuteration
implicite quand v=4
1 1 000 020 080 080 051 -2 000 040 045 20 80
2 2 000 040 060 060 022 -1 000 020 015 15 343 3 000 060 040 040 006 0 000 000 10 10
4 4 000 080 020 020 001 1 000 -020 -006 05 01
5 5 000 100 000 000 000 2 000 -040 -006 00 00
Moyenne 3 000 060 040 040 006 Le tableau 1 rend compte de la distribution hypotheacutetique des revenus de cinq individus Pour chaque niveau de revenu la troisiegraveme et la quatriegraveme colonnes fournissent le reacutesultat du calcul de F(y) et de (1-F(y)) respectivement La cinquiegraveme et la sixiegraveme donnent le reacutesultat de la quatriegraveme colonne pour v=2 et v=4
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 9
Agrave noter que v=2 correspond agrave lrsquoindice de Gini standard et que v=4 inclut davantage de personnes agrave bas revenus dans la pondeacuteration La septiegraveme colonne indique lrsquoeacutecart de chaque revenu par rapport au revenu moyen Il est neacutegatif pour les bas revenus et positif pour les revenus eacuteleveacutes Nous devons simplement nous rappeler qursquoil fait partie du terme de covariance de [7] Les huitiegraveme et neuviegraveme colonnes calculent les eacutecarts sur la moyenne de lrsquoautre partie du terme de covariance de la formule [7] Que nous apprend la comparaison de ces colonnes Nous voyons facilement que la laquo pondeacuteration raquo affecteacutee aux revenus les plus bas est supeacuterieure avec v=4 qursquoavec v=2 Dans le mecircme temps la pondeacuteration de lindividu le plus riche descend rapidement agrave zeacutero quand v=4 Une meacutethode de calcul du facteur de pondeacuteration implicite de lrsquoindice de Gini consiste agrave deacutefinir le ratio entre la valeur de la fonction (1-F(y))v-1 agrave nimporte quel niveau de revenu et la valeur de cette mecircme fonction au niveau de revenu meacutedian Pour v=2 et v=4 ce calcul apparaicirct dans les deux derniegraveres colonnes du tableau 1 Quand v=2 le revenu le plus bas contribue deux fois plus au calcul de lrsquoindice de Gini que le revenu meacutedian Quand v=4 il y contribue huit fois plus Vous remarquerez eacutegalement que la contribution des revenus les plus eacuteleveacutes est infeacuterieure quand v=4
4 PROCEacuteDURE DEacuteTAILLEacuteE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
41 Lrsquoindice de Gini
La proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini est syntheacutetiseacutee dans la figure 4 baseacutee sur la formule [2] ci-dessus Il faut commencer par trier la distribution des revenus par niveaux de revenus (eacutetape 1) Agrave lrsquoeacutetape 2 nous calculons la distribution de revenus cumuleacutee Agrave lrsquoeacutetape 3 nous obtenons la proportion cumuleacutee des revenus (qi) en divisant chaque revenu cumuleacute par le total des revenus Lrsquoeacutetape 4 fournit la proportion cumuleacutee de la population (pi) Pour ce faire nous classons les individus par ordre croissant et nous attribuons le rang 1 agrave la personne au revenu le plus bas et le rang laquo n raquo agrave celle au revenu le plus eacuteleveacute puis nous divisons par n Agrave lrsquoeacutetape 5 nous calculons lrsquoaire des polygones Z1Z2 Z3Zn Le premier est un triangle les autres sont des trapegravezes (appliquez la formule figurant dans le texte) Agrave lrsquoeacutetape 6 nous additionnons toutes les aires pour obtenir lrsquoaire sous la courbe de Lorenz (Z) puis nous calculons lrsquoindice de Gini G=1-2Z La figure 4 fournit le deacuteroulement de cette proceacutedure
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10
Figure 4 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la distribution de revenus cumuleacutee
3Calculer la proportion cumuleacutee des revenus en divisant chaque revenu
cumuleacute par le total des revenus
4
Affecter le rang 1 au revenu le plus bas et le rang n au revenu le plus eacuteleveacute
puis calculer la proportion cumuleacutee de la population en divisant chaque rang
par n
5
Calculer laire des polygones en appliquant les formules fournies dans le
texte pour laire du triangle et des trapegravezes
6 Additionner toutes les aires pour obtenir Z puis calculer G = 1-2Z
Mais le texte fournit une autre formule de calcul direct de lrsquoindice de Gini (voir la formule [4]) baseacutee sur le terme de covariance Il est donc utile den fournir la proceacutedure de calcul deacutetailleacutee (voir la figure 5) Figure 5 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini agrave lrsquoaide de la formule de covariance
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la distribution de revenus par niveaux
de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer la covariance Cov(yF(y)) et le niveau de revenu moyen
4 Calculer Gini en appliquant la formule [4] fournie dans le texte
Lrsquoeacutetape 1 nous demande comme dhabitude de trier la distribution de revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 nous demande de calculer la FDC F(y)7
7 Voir le module EASYPOL 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de la pauvreteacute
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 11
Lrsquoeacutetape 3 nous demande simplement de prendre la covariance entre la distribution des niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee et le niveau de revenus moyen utiliseacutee dans le deacutenominateur de la formule[4] Enfin lrsquoeacutetape 4 applique directement la formule [4] fournie dans le texte
42 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
La figure 6 fournit les eacutetapes du calcul de la version geacuteneacuteraliseacutee de lrsquoindice de Gini Figure 6 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer 1-F(y) pour chaque revenu
4 Choisir la valeur du paramegravetre daversion pour lineacutegaliteacute v
5 Calculer [1-F(y)]v -1
6Calculer la covariance
Cov[y (1-F(y))v -1] et la moyenne de la distribution de revenus
7 Calculer Gini en appliquant la formule de covariance [6] fournie dans le texte
Les eacutetapes sont tregraves semblables agrave celles du calcul de lrsquoindice de Gini standard agrave lrsquoaide de la formule de covariance Les eacutetapes 1 et 2 sont mecircme identiques Par souci de commoditeacute du fait du mode drsquoexpression de la formule lrsquoeacutetape 3 nous demande de calculer pour chaque niveau de revenus la valeur de un moins la valeur de la fonction de distribution cumuleacutee agrave ce point Lrsquoeacutetape 4 est lrsquoeacuteleacutement le plus caracteacuteristique de cette proceacutedure car elle nous demande de choisir la valeur du paramegravetre de lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v Il suffit de nous souvenir que plus les valeurs de v sont eacuteleveacutees plus lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute est forte Lrsquoeacutetape 5 nous demande de calculer un eacuteleacutement du terme de covariance agrave savoir la valeur de (1-F(y))v-1 Agrave lrsquoeacutetape 6 nous devons calculer la covariance complegravete et le revenu moyen ce qui nous permettra drsquoappliquer la formule [6] fournie dans le texte pour obtenir lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (eacutetape 7)
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5 EXEMPLE NUMEacuteRIQUE DU MODE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
51 Indice de Gini standard deacuteriveacute de la courbe de Lorenz
Le calcul de lrsquoindice de Gini deacuteriveacute de la courbe de Lorenz figure dans le tableau 2 ougrave nous supposons lrsquoexistence drsquoune distribution de revenus agrave cinq individus (et cinq revenus) Lrsquoeacutetape 1 neacutecessite simplement de trier cette distribution par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 en revanche nous demande de calculer la distribution cumuleacutee des revenus Le reacutesultat de ce calcul est 15 000 uniteacutes de revenu soit le revenu total de lrsquoeacuteconomie Tableau 2 Exemple numeacuterique du calcul de lrsquoindice de Gini (deacuteriveacute de la courbe de Lorenz)
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 6
Calculer le revenu cumuleacute
Calculer la proportion
cumuleacutee des revenus (qi)
Affecter un rang aux revenus
Calculer la proportion
cumuleacutee de la population (pi)
Calculer laire des polygones
(Z)
Calculer lindice de
Gini
IndividuDistribution des revenus
Revenu cumuleacuteProportion
cumuleacutee des revenus
RangsProportion
cumuleacutee de la population
Aire des polygones
Indice de Gini
1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100
0100
EacuteTAPE 1
Trier la distribution de revenus
EacuteTAPE 4
Valeur de Z laire sous la courbe de Lorenz
G = 1 - 2Z
Aire du premier triangle
Aire de chaque trapegraveze
Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2
0007=[0067 x 02]2
Lrsquoeacutetape 3 transforme la distribution de revenus cumuleacutee en proportion cumuleacutee des revenus Le reacutesultat est 1 Rappelons-nous simplement que ces valeurs sont les qi introduits dans la section 31 ci-dessus Conformeacutement au tri de la distribution des revenus de lrsquoeacutetape 1 un rang croissant (de 1 agrave n) est affecteacute agrave chaque revenu (eacutetape 4) Ces rangs sont ensuite transformeacutes en proportion cumuleacutee de la population Ce calcul donne les p traiteacutes dans la section 31i ci-dessus Lorsque nous disposons de q et de p pour tous les niveaux de revenus nous pouvons calculer lrsquoaire des polygones sous la courbe de Lorenz Il suffit de nous rappeler que le premier est un triangle et que les autres sont des trapegravezes Pour ce faire lrsquoeacutetape 5 applique les formules preacutesenteacutees dans la section 31 La somme de ces aires donne Z crsquoest-agrave-dire lrsquoaire totale sous la courbe de Lorenz
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 13
Enfin lrsquoeacutetape 6 est lrsquoapplication meacutecanique de la formule [6] fournie dans le texte Elle donne un indice de Gini de 0267
52 Indice de Gini standard avec formule de covariance
Le tableau 3 fournit un exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule [4] de covariance preacutesenteacutee dans le texte Les eacutetapes sont ici moins nombreuses Leacutetape 1 change pas et consiste agrave trier la distribution des revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 demande de calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Lrsquoeacutetape 3 neacutecessite de calculer les deux paramegravetres essentiels agrave appliquer agrave la formule de covariance la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee (dont la valeur est de 400 dans lrsquoexemple) et le niveau de revenus moyen soit 3 000 uniteacutes de revenu Tableau 3 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule de covariance
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 4
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer la covariance Cov
(y F(y))
Calculer le niveau
moyen de revenu
Calculer Gini agrave laide la
formule [4]
Individu
A - Distribution des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacuteeCovariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267
EacuteTAPE 1
Trier la distribution des revenus
EacuteTAPE 3
Lrsquoapplication de la formule [4] fournie dans le texte donne une valeur drsquoindice de Gini eacutegale agrave 0267 (bien eacutevidemment identique agrave celle du tableau 2 )
53 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Nous nous sommes servis de la formule de covariance pour expliquer qursquoil est possible de rendre lrsquoindice de Gini standard sensible agrave un degreacute donneacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Le tableau 4 fournit un exemple de traitement de cette geacuteneacuteralisation agrave lrsquoaide de la mecircme distribution de revenus que dans les tableaux 2 et 3
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Tableau 4 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 4 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 7
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer 1 - F(y)
Choisir vCalculer
[1 - F(y)](v-1)
Calculer la covariance
Cov (y F(y))
Calculer le niveau de revenu
moyen
Calculer Gini agrave laide de la formule [4]
Individu
A - Distribution
des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacutee1 - F(y) v [1 - F(y)](v-1) Covariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246
EacuteTAPE 1 EacuteTAPE 6
Trier la distribution des revenus
Les eacutetapes 1 et 2 sont identiques agrave celles du tableau 3 En revanche lrsquoeacutetape 3 requiert de calculer les valeurs de un moins la fonction de distribution cumuleacutee Lrsquoeacutetape 4 introduit le paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v auquel nous avons choisi drsquoattribuer la valeur 4 Par conseacutequent chaque montant calculeacute agrave lrsquoeacutetape 3 passe agrave la puissance (v-1) crsquoest-agrave-dire 3 (eacutetape 5) Lrsquoeacutetape 6 calcule les deux paramegravetres essentiels le terme de covariance (-246 dans lrsquoexemple) et le revenu moyen (3 000) Lrsquoeacutetape 7 applique la formule [6] fournie dans le texte et donne un indice de Gini de 0246 Cette valeur est diffeacuterente de celle obtenue avec lrsquoindice de Gini standard car des pondeacuterations diffeacuterentes ont eacuteteacute attribueacutees aux mecircmes revenus
6 PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LrsquoINDICE DE GINI
Cette section deacutecrit les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini en termes des axiomes qursquoil respecte 8
Comme la plupart de ces proprieacuteteacutes sont communes aux indices de Gini standard et geacuteneacuteraliseacute nous les traiterons ensemble tout en signalant leurs diffeacuterences majeures Les principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini sont les suivantes la limite infeacuterieure de G est zeacutero quelle que soit la valeur de v Quand tous les
revenus sont eacutegaux la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee est nulle et lrsquoindice de Gini est donc zeacutero Concernant lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini standard notez que quand tous les revenus sont eacutegaux la courbe de Lorenz est eacutegale agrave la droite drsquoeacutequidistribution Par conseacutequent la somme des aires des polygones (Z) est eacutegale agrave frac12 crsquoest-agrave-dire la somme du triangle sous la courbe de Lorenz De ce fait lrsquoindice de Gini (1ndash 2Z) est eacutegal agrave zeacutero
8 Voir le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes
(disponible en anglais) pour en savoir plus sur les axiomes dans la mesure de lrsquoineacutegaliteacute de mesure
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 15
nn 1minus la limite supeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard G est Dans les tregraves grandes
populations la limite de cette valeur est 1 Quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier celui-ci est aussi eacutegal au revenu total y=Y Autrement dit il ne faut calculer qursquoune seule aire celle du dernier trapegraveze Cependant dans les tregraves grandes populations cette aire tend agrave ecirctre plus petite Dans la limite (crsquoest-agrave-dire dans un cadre continu) la valeur de lrsquoaire Z tend vers zeacutero et donc lrsquoindice de Gini tend vers
1 Dans la geacuteneacuteralisation la limite supeacuterieure de G(v) est n
nv
12 minus Souvenez-vous
que dans lrsquoindice de Gini standard v=2 lrsquoindice de Gini est invariant agrave lrsquoeacutechelle La multiplication de tous les revenus par
un facteur α ne modifie pas la valeur de lrsquoindice de Gini G Intuitivement quand tous les revenus sont redimensionneacutes par un facteur commun la distribution cumuleacutee des revenus ne change pas car une fraction donneacutee de la population continue agrave deacutetenir la mecircme fraction du revenu total Les aires sous la courbe de Lorenz demeurent donc identiques Dans le cas de la formule de covariance lrsquoapplication drsquoun facteur commun agrave tous les revenus augmente la covariance et le revenu moyen dans la mecircme mesure Lrsquoindice de Gini ne change pas Cela vaut eacutegalement pour G(v)
en revanche lrsquoindice de Gini G nrsquoest pas invariant agrave la translation Si lrsquoon
ajoutesoustrait la mecircme somme agrave tous les revenus il augmente (ou diminue) en conseacutequence Cela vaut eacutegalement pour G(v)
lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts quelle que soit la valeur de v
Si le revenu est redistribueacute drsquoindividus relativement riches agrave des individus relativement pauvres G et G(v) diminuent Lrsquoinverse est vrai si le revenu est redistribueacute de personnes relativement pauvres agrave des personnes relativement riches Dans le cas de lrsquoindice de Gini standard nous remarquons que la taille du changement deacutecoulant de la variation de lrsquoun quelconque des revenus deacutepend du rang des individus participant agrave la redistribution et de la taille de lrsquoeacutechantillon Elle ne deacutepend pas du niveau des revenus individuels redistribueacutes mais du total des revenus Plus preacuteciseacutement lrsquoindice de Gini reacuteagit davantage agrave une redistribution entre individus preacutesentant une grande diffeacuterence de rang De fait agrave quantiteacute de redistribution eacutegale lrsquoeffet est beaucoup plus faible si les deux individus sont de rang proche
Le tableau 5 illustre le principe de fonctionnement des principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini Dans la colonne de gauche figurent trois simulations de distributions de revenus La premiegravere est une distribution laquo type raquo classeacutee par niveaux de revenus Les individus de la seconde ont tous le mecircme revenu Les individus de la troisiegraveme ont tous un revenu nul sauf le dernier
Module EASYPol 040 Outils analytiques
16
Pour la distribution de revenus type A lrsquoindice de Gini est de 0267 Pour les revenus eacutequidistribueacutes B il est nul et pour la distribution la plus concentreacutee C il est de 08
( 80541
==minusn
n )
Pour une augmentation de tous les revenus de 20 pour-cent la cinquiegraveme colonne montre que lrsquoindice de Gini demeurerait inchangeacute agrave 0267 (proprieacuteteacute drsquoinvariance agrave lrsquoeacutechelle) Ce ne serait pas le cas pour une augmentation de tous les revenus du mecircme montant absolu (par exemple 2 000 uniteacutes de revenu dans le texte) Dans ce cas le tableau 5 montre que lrsquoindice de Gini serait plus bas (0160) Cet indice nrsquoest pas invariant agrave la translation Lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts Si nous redistribuons par exemple 500 uniteacutes de revenu des plus riches au plus pauvres il sera infeacuterieur (0213) dans le texte Agrave noter que les mecircmes transferts entre individus de rang proche (derniegravere colonne du tableau 5) donnent toujours lieu agrave un indice de Gini plus bas (0253) mais supeacuterieur au cas preacuteceacutedent (0213) Cela montre que lrsquoindice est plus sensible aux transferts entre individus de rangs eacuteloigneacutes
Tableau 5 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
IndividuA - Distribution des
revenus type
B - Distribution des revenus avec
revenus eacutegaux
C - Distribution des revenus avec un
seul revenu
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 20 pour-cent de tous les revenus
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 2 000 USD de tous
les revenus
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 500 USD du plus riche au plus pauvre
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 200
USD par deux individus de rang
proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000
Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000
GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253
INCHANGEacute DIMINUEacute DIMINUEacute DIMINUEacute
entre individus de rang proche
Lindice de Gini reacuteagit moins aux transferts
7 INTERSECTION DE LORENZ ET INDICE DE GINI
Nous avons vu qursquoil est possible de deacuteriver lrsquoindice de Gini drsquoune courbe de Lorenz En dautres termes indice de Gini et courbe de Lorenz sont en coheacuterence Il faut neacuteanmoins rappeler que lrsquoordre fourni par les courbes de Lorenz et en particulier par la dominance
de Lorenz est partiel car quand ces courbes ne coupent rien nous sommes agrave mecircme de dire quelle distribution des revenus preacutesente le plus drsquoineacutegaliteacute Agrave lrsquoinverse lrsquoindice de Gini fournit un ordre complet puisqursquoil reacuteduit lrsquointeacutegraliteacute de la distribution des revenus agrave un seul nombre La diffeacuterence eacuteleacutementaire entre ces deux approches devient apparente en cas drsquointersection des courbes de Lorenz Prenons par exemple les deux distributions de
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 17
revenus du tableau 6 Les revenus sont distribueacutes diffeacuteremment mais lrsquoindice de Gini est le mecircme (0200) Tableau 6 Deux distributions de revenus posseacutedant le mecircme indice de Gini
IndividusDistribution des
revenus XDistribution des
revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500
Revenu total20 000 20 000
Gini 0200 0200 Ces deux distributions sont figureacutees par les courbes de Lorenz de la figure 7 Comme elles se coupent on ne peut pas srsquoen servir pour les classer en termes drsquoineacutegaliteacute des revenus Mais la maniegravere dont elles se coupent donne des aires de mecircme valeur avant et apregraves lrsquointersection Du coup lrsquoindice de Gini est identique en deacutepit de diffeacuterences de revenus importantes Figure 7 Intersection de courbes de Lorenz
00
02
04
06
08
10
00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y
Distributions de revenus diffeacuterentesIntersection de LorenzMecircme indice de Gini
Aire de concentrationavant intersection
Aire de concentrationapregraves intersection
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18
8 SYNTHEgraveSE DES PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LINDICE DE GINI ET DE SA VERSION GEacuteNEacuteRALISEacuteE
Le tableau 7 syntheacutetise les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee Ces proprieacuteteacutes reflegravetent la structure des axiomes9
Il est inteacuteressant de noter tout drsquoabord que la limite infeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard et de sa version geacuteneacuteraliseacutee est zeacutero alors que sa limite supeacuterieure est diffeacuterencieacutee Cette derniegravere est tregraves proche de 1 (pour les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini standard et tend vers 2v (toujours dans les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute Les deux versions de lrsquoindice de Gini respectent le principe des transferts mais il faut rappeler que lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts de revenus entre individus situeacutes agrave des positions (rang) eacuteloigneacutees dans la distribution des revenus Les deux versions sont invariantes agrave lrsquoeacutechelle et non invariantes agrave la translation et respectent le principe de population Cette structure fait de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee deux indicateurs drsquoineacutegaliteacute relative La grande utiliteacute de leurs caracteacuteristiques dans la pratique explique le fort inteacuterecirct qursquoils suscitent Tableau 7 Indice de Gini et ses proprieacuteteacutes utiles
LIMITE
INFLIMITE SUP
Principe des transferts
Invariance agrave leacutechelle
Invariance agrave la translation
Principe de population
Indice dineacutegaliteacute relative (IIR)
Inteacuterecirct
Gini 0 (n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
Gv 0 (2v )(n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
9 REMARQUES Agrave LrsquoINTENTION DES LECTEURS
91 Liens EASYPol
Les lecteurs pourront se tourner vers certains modules EASYPol pour renforcer leurs acquis de base et approfondir leurs connaissances sur lrsquoineacutegaliteacute et sa mesure Le preacutesent module fait partie drsquoun ensemble de documents expliquant les modaliteacutes de comparaison en termes drsquoineacutegaliteacute des distributions de revenus geacuteneacutereacutees par diffeacuterentes options des politiques Il appartient au parcours de formation Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des politiques
9 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses
axiomes de mesure (disponible en anglais)
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 19
Les modules EASYPol suivants preacutecegravedent logiquement le document preacutesent et pourront renforcer les connaissances des utilisateurs
Module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute courbe de Lorenz
Module EASYPol 001 Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz
EASYPol Module 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de pauvreteacute
Module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure (disponible en anglais)
Les points traiteacutes dans ce module sont approfondis dans les documents suivants
Module EASYPol 002 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz geacuteneacuteraliseacute
Module EASYPol 041 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social bien-ecirctre social fonctions de bien-ecirctre social et aversion pour lineacutegaliteacute (disponible en anglais)
Le module EASYPol 042 Impacts sur lineacutegaliteacute et la pauvreteacute de certaines
politiques agricoles cas du Paraguay est une eacutetude de cas de la mesure agrave lrsquoaide de lrsquoindice de Gini des impacts drsquoune politique agricole sur lrsquoineacutegaliteacute dans le contexte drsquoun exercice de simulation bacircti agrave partir de donneacutees reacuteelles
Module EASYPol 040 Outils analytiques
20
10 ANNEXE I ndash AUTRES MEacuteTHODES DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible
La deacuterivation de lrsquoindice de Gini par les courbes de Lorenz preacutesente une correspondance directe avec une autre meacutethode plutocirct lourde de calcul de cet indicateur
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+= minusminus
Yy
nY
yY
yYy
nnG nnn 121 32211 [A1]
Vous remarquerez la speacutecificiteacute des termes figurant entre les derniegraveres parenthegraveses ougrave chaque part de revenu de la plus eacuteleveacutee agrave la plus faible est multiplieacutee par le rang des individus dans la distribution des revenus du plus bas au plus eacuteleveacute de maniegravere agrave ce que la part la plus importante ait le rang 1 et la plus petite le rang n Cette correspondance apparaicirct encore mieux dans un exemple ougrave n=3 En rappelant la deacutefinition des q et des p on obtient
133 1
032
031
0
0300 0
3321
3
221
2
11
1
00
0
===+++
=
=++
=
=+
=
=====
pY
yyyq
pY
yyq
pY
yq
np
Yy
q
Substituer ces valeurs dans lrsquoeacutequation [2] dans le texte donne
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++minus=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++minus=
Yy
Yy
Yy
Yyy
Yyyy
Yy
Yyy
YyG 123213211211
1 35
33
311
31
31
311
[A2] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 1 Maintenant reacuteeacutecrivons lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++minus+=Yy
Yy
Yy
G 1232 32
32
311
[A3] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 2 Maintenant reacuteeacutecrivons [A2] et [A3] de maniegravere plus commode en manipulant les crochets
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus=
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
G 12121231 2
32
311
34
32
311
[A4]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +minusminus+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyyyG 121212123
2 232
3112
32
32
3112
32
311
[A5] comme lrsquoexpression entre parenthegraveses dans les deux eacutequations est eacutegale agrave 1 pour n=3 il est tregraves facile de veacuterifier que les deux expressions donnent le mecircme reacutesultat (G =G1 2) La formule [A1] souvent utiliseacutee dans les applications opeacuterationnelles est donc entiegraverement baseacutee sur la deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini
101 Indice de Gini avec formule de covariance
Dans le texte nous avons montreacute que lrsquoindice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moyen et la covariance entre les niveaux y et la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Analytiquement
( ))(2 yFyCovy
G = [A6]
Cette formule eacutequivaut aussi agrave la formule [A1] Voyons pourquoi
( )[ ] ( )[ )(1 yFyCovyFyCov ]minusminus=Sachant que comme la valeur attendue de F(y) est frac12 et la valeur attendue de [1-F(y)] frac12 eacutegalement nous pouvons reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A6]
sous la forme ( )[ ])(12 yFyCov
yG minusminus=
Lrsquoeacutequivalence entre les formules [A6] et [A1] apparaicirct agrave nouveau pour un cas simplifieacute n=3 Tout drsquoabord il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( )()()( yFEyEyyFEyFyCov minus )= ougrave E correspond agrave la valeur attendue (la moyenne) drsquoune variable donneacutee Ensuite il convient de deacutefinir chaque composante de la covariance
( ) ( ) ( )32
333
32
31
)( 3
3
31
32
33
)(123
=++
==++
= yFEYyEyyy
yyFE
nous pouvons obtenir Par conseacutequent en tenant compte du fait que 321 yyyY ++=
( ) [ ]13123123 9
192
92
92
91
92
93)( yyyyyyyyyFyCov minus=minusminusminus++=
Module EASYPol 040 Outils analytiques
22
nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minussdot
sdot=
Yy
Yy
yyY
G 1313 3
29132
Maintenant sachant que pour n=3
1321 =++
Yyyy
on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
Yy
Yy
Yy 13111223321321
32
32
32
32
32
32
32
31
ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance
102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors
034
311
36
32
31132
32
311 =minus+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus+=yy
Yy
Yy
YyG
LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera
nn
Yy
YYG 1
32
32
31100
32
311 minus
==minus+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=
comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3
G deviendrait ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
+α
α+
αα
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyG 323323 32
32
31132
32
311
GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
+minus+=
000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
112
individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
Module EASYPol 040 Outils analytiques
24
11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES
Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
24 617-628
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 25
Meacutetadonneacutees du module
1 Module EASYPol 040
2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
Franccedilais
Espagnol
Autre
3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine
Anglais The Gini Index
Franccedilais
Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module
10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
Module EASYPol 040 Outils analytiques
26
11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
Module EASYPol 040 Outils analytiques
8
Figure 3 Pondeacuteration dans lrsquoindice de Gini
-06
-04
-02
00
02
04
06
08
10
Niveaux de revenus
(1-F
(y))
eacute
cart
s su
r la
moyenne
v=2 v=3 v=4 v=8 v=16
Quand v augmente un ensemble progressivement plus important drsquoindividus riches compte moins que quand v=2 Quand v=16 mecircme certaines personnes agrave bas revenus comptent pour zeacutero car une pauvreteacute plus extrecircme devient progressivement le point de focalisation
Quand v augmente un ensemble progressivement moindre drsquoindividus pauvres compte davantage que quand v=2 Plus v est eacuteleveacute plus le poids des individus diminue rapidement Quand v=16 peu de personnes agrave bas revenus comptent beaucoup
De ce fait lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute donne davantage de souplesse agrave leacutevaluation des programmes et des politiques de deacuteveloppement que lrsquoindice de Gini standard parce qursquoil permet drsquoincarner diffeacuterents degreacutes drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Pour mieux comprendre ce point utilisons lrsquoexemple du tableau 1 Tableau 1 Exemple de facteurs de pondeacuteration implicites dans lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Individus Revenus F(y) 1-F(y) [1-F(y)]v-
1 v=2
[1-F(y)]v-1
v=4
Revenus eacutecarts sur la
moyenne
[1-F(y)]v-1 v=2 eacutecarts
sur la moyenne
[1-F(y)]v-1 v=4 eacutecarts
sur la moyenne
Facteur de pondeacuteration
implicite quand v=2
Facteur de pondeacuteration
implicite quand v=4
1 1 000 020 080 080 051 -2 000 040 045 20 80
2 2 000 040 060 060 022 -1 000 020 015 15 343 3 000 060 040 040 006 0 000 000 10 10
4 4 000 080 020 020 001 1 000 -020 -006 05 01
5 5 000 100 000 000 000 2 000 -040 -006 00 00
Moyenne 3 000 060 040 040 006 Le tableau 1 rend compte de la distribution hypotheacutetique des revenus de cinq individus Pour chaque niveau de revenu la troisiegraveme et la quatriegraveme colonnes fournissent le reacutesultat du calcul de F(y) et de (1-F(y)) respectivement La cinquiegraveme et la sixiegraveme donnent le reacutesultat de la quatriegraveme colonne pour v=2 et v=4
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 9
Agrave noter que v=2 correspond agrave lrsquoindice de Gini standard et que v=4 inclut davantage de personnes agrave bas revenus dans la pondeacuteration La septiegraveme colonne indique lrsquoeacutecart de chaque revenu par rapport au revenu moyen Il est neacutegatif pour les bas revenus et positif pour les revenus eacuteleveacutes Nous devons simplement nous rappeler qursquoil fait partie du terme de covariance de [7] Les huitiegraveme et neuviegraveme colonnes calculent les eacutecarts sur la moyenne de lrsquoautre partie du terme de covariance de la formule [7] Que nous apprend la comparaison de ces colonnes Nous voyons facilement que la laquo pondeacuteration raquo affecteacutee aux revenus les plus bas est supeacuterieure avec v=4 qursquoavec v=2 Dans le mecircme temps la pondeacuteration de lindividu le plus riche descend rapidement agrave zeacutero quand v=4 Une meacutethode de calcul du facteur de pondeacuteration implicite de lrsquoindice de Gini consiste agrave deacutefinir le ratio entre la valeur de la fonction (1-F(y))v-1 agrave nimporte quel niveau de revenu et la valeur de cette mecircme fonction au niveau de revenu meacutedian Pour v=2 et v=4 ce calcul apparaicirct dans les deux derniegraveres colonnes du tableau 1 Quand v=2 le revenu le plus bas contribue deux fois plus au calcul de lrsquoindice de Gini que le revenu meacutedian Quand v=4 il y contribue huit fois plus Vous remarquerez eacutegalement que la contribution des revenus les plus eacuteleveacutes est infeacuterieure quand v=4
4 PROCEacuteDURE DEacuteTAILLEacuteE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
41 Lrsquoindice de Gini
La proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini est syntheacutetiseacutee dans la figure 4 baseacutee sur la formule [2] ci-dessus Il faut commencer par trier la distribution des revenus par niveaux de revenus (eacutetape 1) Agrave lrsquoeacutetape 2 nous calculons la distribution de revenus cumuleacutee Agrave lrsquoeacutetape 3 nous obtenons la proportion cumuleacutee des revenus (qi) en divisant chaque revenu cumuleacute par le total des revenus Lrsquoeacutetape 4 fournit la proportion cumuleacutee de la population (pi) Pour ce faire nous classons les individus par ordre croissant et nous attribuons le rang 1 agrave la personne au revenu le plus bas et le rang laquo n raquo agrave celle au revenu le plus eacuteleveacute puis nous divisons par n Agrave lrsquoeacutetape 5 nous calculons lrsquoaire des polygones Z1Z2 Z3Zn Le premier est un triangle les autres sont des trapegravezes (appliquez la formule figurant dans le texte) Agrave lrsquoeacutetape 6 nous additionnons toutes les aires pour obtenir lrsquoaire sous la courbe de Lorenz (Z) puis nous calculons lrsquoindice de Gini G=1-2Z La figure 4 fournit le deacuteroulement de cette proceacutedure
Module EASYPol 040 Outils analytiques
10
Figure 4 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la distribution de revenus cumuleacutee
3Calculer la proportion cumuleacutee des revenus en divisant chaque revenu
cumuleacute par le total des revenus
4
Affecter le rang 1 au revenu le plus bas et le rang n au revenu le plus eacuteleveacute
puis calculer la proportion cumuleacutee de la population en divisant chaque rang
par n
5
Calculer laire des polygones en appliquant les formules fournies dans le
texte pour laire du triangle et des trapegravezes
6 Additionner toutes les aires pour obtenir Z puis calculer G = 1-2Z
Mais le texte fournit une autre formule de calcul direct de lrsquoindice de Gini (voir la formule [4]) baseacutee sur le terme de covariance Il est donc utile den fournir la proceacutedure de calcul deacutetailleacutee (voir la figure 5) Figure 5 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini agrave lrsquoaide de la formule de covariance
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la distribution de revenus par niveaux
de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer la covariance Cov(yF(y)) et le niveau de revenu moyen
4 Calculer Gini en appliquant la formule [4] fournie dans le texte
Lrsquoeacutetape 1 nous demande comme dhabitude de trier la distribution de revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 nous demande de calculer la FDC F(y)7
7 Voir le module EASYPOL 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de la pauvreteacute
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 11
Lrsquoeacutetape 3 nous demande simplement de prendre la covariance entre la distribution des niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee et le niveau de revenus moyen utiliseacutee dans le deacutenominateur de la formule[4] Enfin lrsquoeacutetape 4 applique directement la formule [4] fournie dans le texte
42 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
La figure 6 fournit les eacutetapes du calcul de la version geacuteneacuteraliseacutee de lrsquoindice de Gini Figure 6 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer 1-F(y) pour chaque revenu
4 Choisir la valeur du paramegravetre daversion pour lineacutegaliteacute v
5 Calculer [1-F(y)]v -1
6Calculer la covariance
Cov[y (1-F(y))v -1] et la moyenne de la distribution de revenus
7 Calculer Gini en appliquant la formule de covariance [6] fournie dans le texte
Les eacutetapes sont tregraves semblables agrave celles du calcul de lrsquoindice de Gini standard agrave lrsquoaide de la formule de covariance Les eacutetapes 1 et 2 sont mecircme identiques Par souci de commoditeacute du fait du mode drsquoexpression de la formule lrsquoeacutetape 3 nous demande de calculer pour chaque niveau de revenus la valeur de un moins la valeur de la fonction de distribution cumuleacutee agrave ce point Lrsquoeacutetape 4 est lrsquoeacuteleacutement le plus caracteacuteristique de cette proceacutedure car elle nous demande de choisir la valeur du paramegravetre de lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v Il suffit de nous souvenir que plus les valeurs de v sont eacuteleveacutees plus lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute est forte Lrsquoeacutetape 5 nous demande de calculer un eacuteleacutement du terme de covariance agrave savoir la valeur de (1-F(y))v-1 Agrave lrsquoeacutetape 6 nous devons calculer la covariance complegravete et le revenu moyen ce qui nous permettra drsquoappliquer la formule [6] fournie dans le texte pour obtenir lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (eacutetape 7)
Module EASYPol 040 Outils analytiques
12
5 EXEMPLE NUMEacuteRIQUE DU MODE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
51 Indice de Gini standard deacuteriveacute de la courbe de Lorenz
Le calcul de lrsquoindice de Gini deacuteriveacute de la courbe de Lorenz figure dans le tableau 2 ougrave nous supposons lrsquoexistence drsquoune distribution de revenus agrave cinq individus (et cinq revenus) Lrsquoeacutetape 1 neacutecessite simplement de trier cette distribution par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 en revanche nous demande de calculer la distribution cumuleacutee des revenus Le reacutesultat de ce calcul est 15 000 uniteacutes de revenu soit le revenu total de lrsquoeacuteconomie Tableau 2 Exemple numeacuterique du calcul de lrsquoindice de Gini (deacuteriveacute de la courbe de Lorenz)
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 6
Calculer le revenu cumuleacute
Calculer la proportion
cumuleacutee des revenus (qi)
Affecter un rang aux revenus
Calculer la proportion
cumuleacutee de la population (pi)
Calculer laire des polygones
(Z)
Calculer lindice de
Gini
IndividuDistribution des revenus
Revenu cumuleacuteProportion
cumuleacutee des revenus
RangsProportion
cumuleacutee de la population
Aire des polygones
Indice de Gini
1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100
0100
EacuteTAPE 1
Trier la distribution de revenus
EacuteTAPE 4
Valeur de Z laire sous la courbe de Lorenz
G = 1 - 2Z
Aire du premier triangle
Aire de chaque trapegraveze
Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2
0007=[0067 x 02]2
Lrsquoeacutetape 3 transforme la distribution de revenus cumuleacutee en proportion cumuleacutee des revenus Le reacutesultat est 1 Rappelons-nous simplement que ces valeurs sont les qi introduits dans la section 31 ci-dessus Conformeacutement au tri de la distribution des revenus de lrsquoeacutetape 1 un rang croissant (de 1 agrave n) est affecteacute agrave chaque revenu (eacutetape 4) Ces rangs sont ensuite transformeacutes en proportion cumuleacutee de la population Ce calcul donne les p traiteacutes dans la section 31i ci-dessus Lorsque nous disposons de q et de p pour tous les niveaux de revenus nous pouvons calculer lrsquoaire des polygones sous la courbe de Lorenz Il suffit de nous rappeler que le premier est un triangle et que les autres sont des trapegravezes Pour ce faire lrsquoeacutetape 5 applique les formules preacutesenteacutees dans la section 31 La somme de ces aires donne Z crsquoest-agrave-dire lrsquoaire totale sous la courbe de Lorenz
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 13
Enfin lrsquoeacutetape 6 est lrsquoapplication meacutecanique de la formule [6] fournie dans le texte Elle donne un indice de Gini de 0267
52 Indice de Gini standard avec formule de covariance
Le tableau 3 fournit un exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule [4] de covariance preacutesenteacutee dans le texte Les eacutetapes sont ici moins nombreuses Leacutetape 1 change pas et consiste agrave trier la distribution des revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 demande de calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Lrsquoeacutetape 3 neacutecessite de calculer les deux paramegravetres essentiels agrave appliquer agrave la formule de covariance la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee (dont la valeur est de 400 dans lrsquoexemple) et le niveau de revenus moyen soit 3 000 uniteacutes de revenu Tableau 3 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule de covariance
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 4
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer la covariance Cov
(y F(y))
Calculer le niveau
moyen de revenu
Calculer Gini agrave laide la
formule [4]
Individu
A - Distribution des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacuteeCovariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267
EacuteTAPE 1
Trier la distribution des revenus
EacuteTAPE 3
Lrsquoapplication de la formule [4] fournie dans le texte donne une valeur drsquoindice de Gini eacutegale agrave 0267 (bien eacutevidemment identique agrave celle du tableau 2 )
53 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Nous nous sommes servis de la formule de covariance pour expliquer qursquoil est possible de rendre lrsquoindice de Gini standard sensible agrave un degreacute donneacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Le tableau 4 fournit un exemple de traitement de cette geacuteneacuteralisation agrave lrsquoaide de la mecircme distribution de revenus que dans les tableaux 2 et 3
Module EASYPol 040 Outils analytiques
14
Tableau 4 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 4 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 7
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer 1 - F(y)
Choisir vCalculer
[1 - F(y)](v-1)
Calculer la covariance
Cov (y F(y))
Calculer le niveau de revenu
moyen
Calculer Gini agrave laide de la formule [4]
Individu
A - Distribution
des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacutee1 - F(y) v [1 - F(y)](v-1) Covariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246
EacuteTAPE 1 EacuteTAPE 6
Trier la distribution des revenus
Les eacutetapes 1 et 2 sont identiques agrave celles du tableau 3 En revanche lrsquoeacutetape 3 requiert de calculer les valeurs de un moins la fonction de distribution cumuleacutee Lrsquoeacutetape 4 introduit le paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v auquel nous avons choisi drsquoattribuer la valeur 4 Par conseacutequent chaque montant calculeacute agrave lrsquoeacutetape 3 passe agrave la puissance (v-1) crsquoest-agrave-dire 3 (eacutetape 5) Lrsquoeacutetape 6 calcule les deux paramegravetres essentiels le terme de covariance (-246 dans lrsquoexemple) et le revenu moyen (3 000) Lrsquoeacutetape 7 applique la formule [6] fournie dans le texte et donne un indice de Gini de 0246 Cette valeur est diffeacuterente de celle obtenue avec lrsquoindice de Gini standard car des pondeacuterations diffeacuterentes ont eacuteteacute attribueacutees aux mecircmes revenus
6 PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LrsquoINDICE DE GINI
Cette section deacutecrit les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini en termes des axiomes qursquoil respecte 8
Comme la plupart de ces proprieacuteteacutes sont communes aux indices de Gini standard et geacuteneacuteraliseacute nous les traiterons ensemble tout en signalant leurs diffeacuterences majeures Les principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini sont les suivantes la limite infeacuterieure de G est zeacutero quelle que soit la valeur de v Quand tous les
revenus sont eacutegaux la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee est nulle et lrsquoindice de Gini est donc zeacutero Concernant lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini standard notez que quand tous les revenus sont eacutegaux la courbe de Lorenz est eacutegale agrave la droite drsquoeacutequidistribution Par conseacutequent la somme des aires des polygones (Z) est eacutegale agrave frac12 crsquoest-agrave-dire la somme du triangle sous la courbe de Lorenz De ce fait lrsquoindice de Gini (1ndash 2Z) est eacutegal agrave zeacutero
8 Voir le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes
(disponible en anglais) pour en savoir plus sur les axiomes dans la mesure de lrsquoineacutegaliteacute de mesure
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 15
nn 1minus la limite supeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard G est Dans les tregraves grandes
populations la limite de cette valeur est 1 Quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier celui-ci est aussi eacutegal au revenu total y=Y Autrement dit il ne faut calculer qursquoune seule aire celle du dernier trapegraveze Cependant dans les tregraves grandes populations cette aire tend agrave ecirctre plus petite Dans la limite (crsquoest-agrave-dire dans un cadre continu) la valeur de lrsquoaire Z tend vers zeacutero et donc lrsquoindice de Gini tend vers
1 Dans la geacuteneacuteralisation la limite supeacuterieure de G(v) est n
nv
12 minus Souvenez-vous
que dans lrsquoindice de Gini standard v=2 lrsquoindice de Gini est invariant agrave lrsquoeacutechelle La multiplication de tous les revenus par
un facteur α ne modifie pas la valeur de lrsquoindice de Gini G Intuitivement quand tous les revenus sont redimensionneacutes par un facteur commun la distribution cumuleacutee des revenus ne change pas car une fraction donneacutee de la population continue agrave deacutetenir la mecircme fraction du revenu total Les aires sous la courbe de Lorenz demeurent donc identiques Dans le cas de la formule de covariance lrsquoapplication drsquoun facteur commun agrave tous les revenus augmente la covariance et le revenu moyen dans la mecircme mesure Lrsquoindice de Gini ne change pas Cela vaut eacutegalement pour G(v)
en revanche lrsquoindice de Gini G nrsquoest pas invariant agrave la translation Si lrsquoon
ajoutesoustrait la mecircme somme agrave tous les revenus il augmente (ou diminue) en conseacutequence Cela vaut eacutegalement pour G(v)
lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts quelle que soit la valeur de v
Si le revenu est redistribueacute drsquoindividus relativement riches agrave des individus relativement pauvres G et G(v) diminuent Lrsquoinverse est vrai si le revenu est redistribueacute de personnes relativement pauvres agrave des personnes relativement riches Dans le cas de lrsquoindice de Gini standard nous remarquons que la taille du changement deacutecoulant de la variation de lrsquoun quelconque des revenus deacutepend du rang des individus participant agrave la redistribution et de la taille de lrsquoeacutechantillon Elle ne deacutepend pas du niveau des revenus individuels redistribueacutes mais du total des revenus Plus preacuteciseacutement lrsquoindice de Gini reacuteagit davantage agrave une redistribution entre individus preacutesentant une grande diffeacuterence de rang De fait agrave quantiteacute de redistribution eacutegale lrsquoeffet est beaucoup plus faible si les deux individus sont de rang proche
Le tableau 5 illustre le principe de fonctionnement des principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini Dans la colonne de gauche figurent trois simulations de distributions de revenus La premiegravere est une distribution laquo type raquo classeacutee par niveaux de revenus Les individus de la seconde ont tous le mecircme revenu Les individus de la troisiegraveme ont tous un revenu nul sauf le dernier
Module EASYPol 040 Outils analytiques
16
Pour la distribution de revenus type A lrsquoindice de Gini est de 0267 Pour les revenus eacutequidistribueacutes B il est nul et pour la distribution la plus concentreacutee C il est de 08
( 80541
==minusn
n )
Pour une augmentation de tous les revenus de 20 pour-cent la cinquiegraveme colonne montre que lrsquoindice de Gini demeurerait inchangeacute agrave 0267 (proprieacuteteacute drsquoinvariance agrave lrsquoeacutechelle) Ce ne serait pas le cas pour une augmentation de tous les revenus du mecircme montant absolu (par exemple 2 000 uniteacutes de revenu dans le texte) Dans ce cas le tableau 5 montre que lrsquoindice de Gini serait plus bas (0160) Cet indice nrsquoest pas invariant agrave la translation Lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts Si nous redistribuons par exemple 500 uniteacutes de revenu des plus riches au plus pauvres il sera infeacuterieur (0213) dans le texte Agrave noter que les mecircmes transferts entre individus de rang proche (derniegravere colonne du tableau 5) donnent toujours lieu agrave un indice de Gini plus bas (0253) mais supeacuterieur au cas preacuteceacutedent (0213) Cela montre que lrsquoindice est plus sensible aux transferts entre individus de rangs eacuteloigneacutes
Tableau 5 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
IndividuA - Distribution des
revenus type
B - Distribution des revenus avec
revenus eacutegaux
C - Distribution des revenus avec un
seul revenu
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 20 pour-cent de tous les revenus
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 2 000 USD de tous
les revenus
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 500 USD du plus riche au plus pauvre
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 200
USD par deux individus de rang
proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000
Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000
GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253
INCHANGEacute DIMINUEacute DIMINUEacute DIMINUEacute
entre individus de rang proche
Lindice de Gini reacuteagit moins aux transferts
7 INTERSECTION DE LORENZ ET INDICE DE GINI
Nous avons vu qursquoil est possible de deacuteriver lrsquoindice de Gini drsquoune courbe de Lorenz En dautres termes indice de Gini et courbe de Lorenz sont en coheacuterence Il faut neacuteanmoins rappeler que lrsquoordre fourni par les courbes de Lorenz et en particulier par la dominance
de Lorenz est partiel car quand ces courbes ne coupent rien nous sommes agrave mecircme de dire quelle distribution des revenus preacutesente le plus drsquoineacutegaliteacute Agrave lrsquoinverse lrsquoindice de Gini fournit un ordre complet puisqursquoil reacuteduit lrsquointeacutegraliteacute de la distribution des revenus agrave un seul nombre La diffeacuterence eacuteleacutementaire entre ces deux approches devient apparente en cas drsquointersection des courbes de Lorenz Prenons par exemple les deux distributions de
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 17
revenus du tableau 6 Les revenus sont distribueacutes diffeacuteremment mais lrsquoindice de Gini est le mecircme (0200) Tableau 6 Deux distributions de revenus posseacutedant le mecircme indice de Gini
IndividusDistribution des
revenus XDistribution des
revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500
Revenu total20 000 20 000
Gini 0200 0200 Ces deux distributions sont figureacutees par les courbes de Lorenz de la figure 7 Comme elles se coupent on ne peut pas srsquoen servir pour les classer en termes drsquoineacutegaliteacute des revenus Mais la maniegravere dont elles se coupent donne des aires de mecircme valeur avant et apregraves lrsquointersection Du coup lrsquoindice de Gini est identique en deacutepit de diffeacuterences de revenus importantes Figure 7 Intersection de courbes de Lorenz
00
02
04
06
08
10
00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y
Distributions de revenus diffeacuterentesIntersection de LorenzMecircme indice de Gini
Aire de concentrationavant intersection
Aire de concentrationapregraves intersection
Module EASYPol 040 Outils analytiques
18
8 SYNTHEgraveSE DES PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LINDICE DE GINI ET DE SA VERSION GEacuteNEacuteRALISEacuteE
Le tableau 7 syntheacutetise les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee Ces proprieacuteteacutes reflegravetent la structure des axiomes9
Il est inteacuteressant de noter tout drsquoabord que la limite infeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard et de sa version geacuteneacuteraliseacutee est zeacutero alors que sa limite supeacuterieure est diffeacuterencieacutee Cette derniegravere est tregraves proche de 1 (pour les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini standard et tend vers 2v (toujours dans les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute Les deux versions de lrsquoindice de Gini respectent le principe des transferts mais il faut rappeler que lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts de revenus entre individus situeacutes agrave des positions (rang) eacuteloigneacutees dans la distribution des revenus Les deux versions sont invariantes agrave lrsquoeacutechelle et non invariantes agrave la translation et respectent le principe de population Cette structure fait de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee deux indicateurs drsquoineacutegaliteacute relative La grande utiliteacute de leurs caracteacuteristiques dans la pratique explique le fort inteacuterecirct qursquoils suscitent Tableau 7 Indice de Gini et ses proprieacuteteacutes utiles
LIMITE
INFLIMITE SUP
Principe des transferts
Invariance agrave leacutechelle
Invariance agrave la translation
Principe de population
Indice dineacutegaliteacute relative (IIR)
Inteacuterecirct
Gini 0 (n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
Gv 0 (2v )(n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
9 REMARQUES Agrave LrsquoINTENTION DES LECTEURS
91 Liens EASYPol
Les lecteurs pourront se tourner vers certains modules EASYPol pour renforcer leurs acquis de base et approfondir leurs connaissances sur lrsquoineacutegaliteacute et sa mesure Le preacutesent module fait partie drsquoun ensemble de documents expliquant les modaliteacutes de comparaison en termes drsquoineacutegaliteacute des distributions de revenus geacuteneacutereacutees par diffeacuterentes options des politiques Il appartient au parcours de formation Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des politiques
9 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses
axiomes de mesure (disponible en anglais)
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 19
Les modules EASYPol suivants preacutecegravedent logiquement le document preacutesent et pourront renforcer les connaissances des utilisateurs
Module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute courbe de Lorenz
Module EASYPol 001 Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz
EASYPol Module 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de pauvreteacute
Module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure (disponible en anglais)
Les points traiteacutes dans ce module sont approfondis dans les documents suivants
Module EASYPol 002 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz geacuteneacuteraliseacute
Module EASYPol 041 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social bien-ecirctre social fonctions de bien-ecirctre social et aversion pour lineacutegaliteacute (disponible en anglais)
Le module EASYPol 042 Impacts sur lineacutegaliteacute et la pauvreteacute de certaines
politiques agricoles cas du Paraguay est une eacutetude de cas de la mesure agrave lrsquoaide de lrsquoindice de Gini des impacts drsquoune politique agricole sur lrsquoineacutegaliteacute dans le contexte drsquoun exercice de simulation bacircti agrave partir de donneacutees reacuteelles
Module EASYPol 040 Outils analytiques
20
10 ANNEXE I ndash AUTRES MEacuteTHODES DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible
La deacuterivation de lrsquoindice de Gini par les courbes de Lorenz preacutesente une correspondance directe avec une autre meacutethode plutocirct lourde de calcul de cet indicateur
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+= minusminus
Yy
nY
yY
yYy
nnG nnn 121 32211 [A1]
Vous remarquerez la speacutecificiteacute des termes figurant entre les derniegraveres parenthegraveses ougrave chaque part de revenu de la plus eacuteleveacutee agrave la plus faible est multiplieacutee par le rang des individus dans la distribution des revenus du plus bas au plus eacuteleveacute de maniegravere agrave ce que la part la plus importante ait le rang 1 et la plus petite le rang n Cette correspondance apparaicirct encore mieux dans un exemple ougrave n=3 En rappelant la deacutefinition des q et des p on obtient
133 1
032
031
0
0300 0
3321
3
221
2
11
1
00
0
===+++
=
=++
=
=+
=
=====
pY
yyyq
pY
yyq
pY
yq
np
Yy
q
Substituer ces valeurs dans lrsquoeacutequation [2] dans le texte donne
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++minus=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++minus=
Yy
Yy
Yy
Yyy
Yyyy
Yy
Yyy
YyG 123213211211
1 35
33
311
31
31
311
[A2] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 1 Maintenant reacuteeacutecrivons lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++minus+=Yy
Yy
Yy
G 1232 32
32
311
[A3] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 2 Maintenant reacuteeacutecrivons [A2] et [A3] de maniegravere plus commode en manipulant les crochets
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus=
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
G 12121231 2
32
311
34
32
311
[A4]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +minusminus+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyyyG 121212123
2 232
3112
32
32
3112
32
311
[A5] comme lrsquoexpression entre parenthegraveses dans les deux eacutequations est eacutegale agrave 1 pour n=3 il est tregraves facile de veacuterifier que les deux expressions donnent le mecircme reacutesultat (G =G1 2) La formule [A1] souvent utiliseacutee dans les applications opeacuterationnelles est donc entiegraverement baseacutee sur la deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini
101 Indice de Gini avec formule de covariance
Dans le texte nous avons montreacute que lrsquoindice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moyen et la covariance entre les niveaux y et la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Analytiquement
( ))(2 yFyCovy
G = [A6]
Cette formule eacutequivaut aussi agrave la formule [A1] Voyons pourquoi
( )[ ] ( )[ )(1 yFyCovyFyCov ]minusminus=Sachant que comme la valeur attendue de F(y) est frac12 et la valeur attendue de [1-F(y)] frac12 eacutegalement nous pouvons reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A6]
sous la forme ( )[ ])(12 yFyCov
yG minusminus=
Lrsquoeacutequivalence entre les formules [A6] et [A1] apparaicirct agrave nouveau pour un cas simplifieacute n=3 Tout drsquoabord il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( )()()( yFEyEyyFEyFyCov minus )= ougrave E correspond agrave la valeur attendue (la moyenne) drsquoune variable donneacutee Ensuite il convient de deacutefinir chaque composante de la covariance
( ) ( ) ( )32
333
32
31
)( 3
3
31
32
33
)(123
=++
==++
= yFEYyEyyy
yyFE
nous pouvons obtenir Par conseacutequent en tenant compte du fait que 321 yyyY ++=
( ) [ ]13123123 9
192
92
92
91
92
93)( yyyyyyyyyFyCov minus=minusminusminus++=
Module EASYPol 040 Outils analytiques
22
nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minussdot
sdot=
Yy
Yy
yyY
G 1313 3
29132
Maintenant sachant que pour n=3
1321 =++
Yyyy
on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
Yy
Yy
Yy 13111223321321
32
32
32
32
32
32
32
31
ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance
102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors
034
311
36
32
31132
32
311 =minus+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus+=yy
Yy
Yy
YyG
LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera
nn
Yy
YYG 1
32
32
31100
32
311 minus
==minus+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=
comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3
G deviendrait ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
+α
α+
αα
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyG 323323 32
32
31132
32
311
GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
+minus+=
000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
112
individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
Module EASYPol 040 Outils analytiques
24
11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES
Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
24 617-628
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 25
Meacutetadonneacutees du module
1 Module EASYPol 040
2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
Franccedilais
Espagnol
Autre
3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine
Anglais The Gini Index
Franccedilais
Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module
10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
Module EASYPol 040 Outils analytiques
26
11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 9
Agrave noter que v=2 correspond agrave lrsquoindice de Gini standard et que v=4 inclut davantage de personnes agrave bas revenus dans la pondeacuteration La septiegraveme colonne indique lrsquoeacutecart de chaque revenu par rapport au revenu moyen Il est neacutegatif pour les bas revenus et positif pour les revenus eacuteleveacutes Nous devons simplement nous rappeler qursquoil fait partie du terme de covariance de [7] Les huitiegraveme et neuviegraveme colonnes calculent les eacutecarts sur la moyenne de lrsquoautre partie du terme de covariance de la formule [7] Que nous apprend la comparaison de ces colonnes Nous voyons facilement que la laquo pondeacuteration raquo affecteacutee aux revenus les plus bas est supeacuterieure avec v=4 qursquoavec v=2 Dans le mecircme temps la pondeacuteration de lindividu le plus riche descend rapidement agrave zeacutero quand v=4 Une meacutethode de calcul du facteur de pondeacuteration implicite de lrsquoindice de Gini consiste agrave deacutefinir le ratio entre la valeur de la fonction (1-F(y))v-1 agrave nimporte quel niveau de revenu et la valeur de cette mecircme fonction au niveau de revenu meacutedian Pour v=2 et v=4 ce calcul apparaicirct dans les deux derniegraveres colonnes du tableau 1 Quand v=2 le revenu le plus bas contribue deux fois plus au calcul de lrsquoindice de Gini que le revenu meacutedian Quand v=4 il y contribue huit fois plus Vous remarquerez eacutegalement que la contribution des revenus les plus eacuteleveacutes est infeacuterieure quand v=4
4 PROCEacuteDURE DEacuteTAILLEacuteE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
41 Lrsquoindice de Gini
La proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini est syntheacutetiseacutee dans la figure 4 baseacutee sur la formule [2] ci-dessus Il faut commencer par trier la distribution des revenus par niveaux de revenus (eacutetape 1) Agrave lrsquoeacutetape 2 nous calculons la distribution de revenus cumuleacutee Agrave lrsquoeacutetape 3 nous obtenons la proportion cumuleacutee des revenus (qi) en divisant chaque revenu cumuleacute par le total des revenus Lrsquoeacutetape 4 fournit la proportion cumuleacutee de la population (pi) Pour ce faire nous classons les individus par ordre croissant et nous attribuons le rang 1 agrave la personne au revenu le plus bas et le rang laquo n raquo agrave celle au revenu le plus eacuteleveacute puis nous divisons par n Agrave lrsquoeacutetape 5 nous calculons lrsquoaire des polygones Z1Z2 Z3Zn Le premier est un triangle les autres sont des trapegravezes (appliquez la formule figurant dans le texte) Agrave lrsquoeacutetape 6 nous additionnons toutes les aires pour obtenir lrsquoaire sous la courbe de Lorenz (Z) puis nous calculons lrsquoindice de Gini G=1-2Z La figure 4 fournit le deacuteroulement de cette proceacutedure
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Figure 4 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la distribution de revenus cumuleacutee
3Calculer la proportion cumuleacutee des revenus en divisant chaque revenu
cumuleacute par le total des revenus
4
Affecter le rang 1 au revenu le plus bas et le rang n au revenu le plus eacuteleveacute
puis calculer la proportion cumuleacutee de la population en divisant chaque rang
par n
5
Calculer laire des polygones en appliquant les formules fournies dans le
texte pour laire du triangle et des trapegravezes
6 Additionner toutes les aires pour obtenir Z puis calculer G = 1-2Z
Mais le texte fournit une autre formule de calcul direct de lrsquoindice de Gini (voir la formule [4]) baseacutee sur le terme de covariance Il est donc utile den fournir la proceacutedure de calcul deacutetailleacutee (voir la figure 5) Figure 5 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini agrave lrsquoaide de la formule de covariance
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la distribution de revenus par niveaux
de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer la covariance Cov(yF(y)) et le niveau de revenu moyen
4 Calculer Gini en appliquant la formule [4] fournie dans le texte
Lrsquoeacutetape 1 nous demande comme dhabitude de trier la distribution de revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 nous demande de calculer la FDC F(y)7
7 Voir le module EASYPOL 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de la pauvreteacute
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 11
Lrsquoeacutetape 3 nous demande simplement de prendre la covariance entre la distribution des niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee et le niveau de revenus moyen utiliseacutee dans le deacutenominateur de la formule[4] Enfin lrsquoeacutetape 4 applique directement la formule [4] fournie dans le texte
42 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
La figure 6 fournit les eacutetapes du calcul de la version geacuteneacuteraliseacutee de lrsquoindice de Gini Figure 6 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer 1-F(y) pour chaque revenu
4 Choisir la valeur du paramegravetre daversion pour lineacutegaliteacute v
5 Calculer [1-F(y)]v -1
6Calculer la covariance
Cov[y (1-F(y))v -1] et la moyenne de la distribution de revenus
7 Calculer Gini en appliquant la formule de covariance [6] fournie dans le texte
Les eacutetapes sont tregraves semblables agrave celles du calcul de lrsquoindice de Gini standard agrave lrsquoaide de la formule de covariance Les eacutetapes 1 et 2 sont mecircme identiques Par souci de commoditeacute du fait du mode drsquoexpression de la formule lrsquoeacutetape 3 nous demande de calculer pour chaque niveau de revenus la valeur de un moins la valeur de la fonction de distribution cumuleacutee agrave ce point Lrsquoeacutetape 4 est lrsquoeacuteleacutement le plus caracteacuteristique de cette proceacutedure car elle nous demande de choisir la valeur du paramegravetre de lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v Il suffit de nous souvenir que plus les valeurs de v sont eacuteleveacutees plus lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute est forte Lrsquoeacutetape 5 nous demande de calculer un eacuteleacutement du terme de covariance agrave savoir la valeur de (1-F(y))v-1 Agrave lrsquoeacutetape 6 nous devons calculer la covariance complegravete et le revenu moyen ce qui nous permettra drsquoappliquer la formule [6] fournie dans le texte pour obtenir lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (eacutetape 7)
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5 EXEMPLE NUMEacuteRIQUE DU MODE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
51 Indice de Gini standard deacuteriveacute de la courbe de Lorenz
Le calcul de lrsquoindice de Gini deacuteriveacute de la courbe de Lorenz figure dans le tableau 2 ougrave nous supposons lrsquoexistence drsquoune distribution de revenus agrave cinq individus (et cinq revenus) Lrsquoeacutetape 1 neacutecessite simplement de trier cette distribution par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 en revanche nous demande de calculer la distribution cumuleacutee des revenus Le reacutesultat de ce calcul est 15 000 uniteacutes de revenu soit le revenu total de lrsquoeacuteconomie Tableau 2 Exemple numeacuterique du calcul de lrsquoindice de Gini (deacuteriveacute de la courbe de Lorenz)
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 6
Calculer le revenu cumuleacute
Calculer la proportion
cumuleacutee des revenus (qi)
Affecter un rang aux revenus
Calculer la proportion
cumuleacutee de la population (pi)
Calculer laire des polygones
(Z)
Calculer lindice de
Gini
IndividuDistribution des revenus
Revenu cumuleacuteProportion
cumuleacutee des revenus
RangsProportion
cumuleacutee de la population
Aire des polygones
Indice de Gini
1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100
0100
EacuteTAPE 1
Trier la distribution de revenus
EacuteTAPE 4
Valeur de Z laire sous la courbe de Lorenz
G = 1 - 2Z
Aire du premier triangle
Aire de chaque trapegraveze
Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2
0007=[0067 x 02]2
Lrsquoeacutetape 3 transforme la distribution de revenus cumuleacutee en proportion cumuleacutee des revenus Le reacutesultat est 1 Rappelons-nous simplement que ces valeurs sont les qi introduits dans la section 31 ci-dessus Conformeacutement au tri de la distribution des revenus de lrsquoeacutetape 1 un rang croissant (de 1 agrave n) est affecteacute agrave chaque revenu (eacutetape 4) Ces rangs sont ensuite transformeacutes en proportion cumuleacutee de la population Ce calcul donne les p traiteacutes dans la section 31i ci-dessus Lorsque nous disposons de q et de p pour tous les niveaux de revenus nous pouvons calculer lrsquoaire des polygones sous la courbe de Lorenz Il suffit de nous rappeler que le premier est un triangle et que les autres sont des trapegravezes Pour ce faire lrsquoeacutetape 5 applique les formules preacutesenteacutees dans la section 31 La somme de ces aires donne Z crsquoest-agrave-dire lrsquoaire totale sous la courbe de Lorenz
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 13
Enfin lrsquoeacutetape 6 est lrsquoapplication meacutecanique de la formule [6] fournie dans le texte Elle donne un indice de Gini de 0267
52 Indice de Gini standard avec formule de covariance
Le tableau 3 fournit un exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule [4] de covariance preacutesenteacutee dans le texte Les eacutetapes sont ici moins nombreuses Leacutetape 1 change pas et consiste agrave trier la distribution des revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 demande de calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Lrsquoeacutetape 3 neacutecessite de calculer les deux paramegravetres essentiels agrave appliquer agrave la formule de covariance la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee (dont la valeur est de 400 dans lrsquoexemple) et le niveau de revenus moyen soit 3 000 uniteacutes de revenu Tableau 3 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule de covariance
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 4
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer la covariance Cov
(y F(y))
Calculer le niveau
moyen de revenu
Calculer Gini agrave laide la
formule [4]
Individu
A - Distribution des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacuteeCovariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267
EacuteTAPE 1
Trier la distribution des revenus
EacuteTAPE 3
Lrsquoapplication de la formule [4] fournie dans le texte donne une valeur drsquoindice de Gini eacutegale agrave 0267 (bien eacutevidemment identique agrave celle du tableau 2 )
53 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Nous nous sommes servis de la formule de covariance pour expliquer qursquoil est possible de rendre lrsquoindice de Gini standard sensible agrave un degreacute donneacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Le tableau 4 fournit un exemple de traitement de cette geacuteneacuteralisation agrave lrsquoaide de la mecircme distribution de revenus que dans les tableaux 2 et 3
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Tableau 4 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 4 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 7
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer 1 - F(y)
Choisir vCalculer
[1 - F(y)](v-1)
Calculer la covariance
Cov (y F(y))
Calculer le niveau de revenu
moyen
Calculer Gini agrave laide de la formule [4]
Individu
A - Distribution
des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacutee1 - F(y) v [1 - F(y)](v-1) Covariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246
EacuteTAPE 1 EacuteTAPE 6
Trier la distribution des revenus
Les eacutetapes 1 et 2 sont identiques agrave celles du tableau 3 En revanche lrsquoeacutetape 3 requiert de calculer les valeurs de un moins la fonction de distribution cumuleacutee Lrsquoeacutetape 4 introduit le paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v auquel nous avons choisi drsquoattribuer la valeur 4 Par conseacutequent chaque montant calculeacute agrave lrsquoeacutetape 3 passe agrave la puissance (v-1) crsquoest-agrave-dire 3 (eacutetape 5) Lrsquoeacutetape 6 calcule les deux paramegravetres essentiels le terme de covariance (-246 dans lrsquoexemple) et le revenu moyen (3 000) Lrsquoeacutetape 7 applique la formule [6] fournie dans le texte et donne un indice de Gini de 0246 Cette valeur est diffeacuterente de celle obtenue avec lrsquoindice de Gini standard car des pondeacuterations diffeacuterentes ont eacuteteacute attribueacutees aux mecircmes revenus
6 PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LrsquoINDICE DE GINI
Cette section deacutecrit les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini en termes des axiomes qursquoil respecte 8
Comme la plupart de ces proprieacuteteacutes sont communes aux indices de Gini standard et geacuteneacuteraliseacute nous les traiterons ensemble tout en signalant leurs diffeacuterences majeures Les principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini sont les suivantes la limite infeacuterieure de G est zeacutero quelle que soit la valeur de v Quand tous les
revenus sont eacutegaux la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee est nulle et lrsquoindice de Gini est donc zeacutero Concernant lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini standard notez que quand tous les revenus sont eacutegaux la courbe de Lorenz est eacutegale agrave la droite drsquoeacutequidistribution Par conseacutequent la somme des aires des polygones (Z) est eacutegale agrave frac12 crsquoest-agrave-dire la somme du triangle sous la courbe de Lorenz De ce fait lrsquoindice de Gini (1ndash 2Z) est eacutegal agrave zeacutero
8 Voir le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes
(disponible en anglais) pour en savoir plus sur les axiomes dans la mesure de lrsquoineacutegaliteacute de mesure
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 15
nn 1minus la limite supeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard G est Dans les tregraves grandes
populations la limite de cette valeur est 1 Quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier celui-ci est aussi eacutegal au revenu total y=Y Autrement dit il ne faut calculer qursquoune seule aire celle du dernier trapegraveze Cependant dans les tregraves grandes populations cette aire tend agrave ecirctre plus petite Dans la limite (crsquoest-agrave-dire dans un cadre continu) la valeur de lrsquoaire Z tend vers zeacutero et donc lrsquoindice de Gini tend vers
1 Dans la geacuteneacuteralisation la limite supeacuterieure de G(v) est n
nv
12 minus Souvenez-vous
que dans lrsquoindice de Gini standard v=2 lrsquoindice de Gini est invariant agrave lrsquoeacutechelle La multiplication de tous les revenus par
un facteur α ne modifie pas la valeur de lrsquoindice de Gini G Intuitivement quand tous les revenus sont redimensionneacutes par un facteur commun la distribution cumuleacutee des revenus ne change pas car une fraction donneacutee de la population continue agrave deacutetenir la mecircme fraction du revenu total Les aires sous la courbe de Lorenz demeurent donc identiques Dans le cas de la formule de covariance lrsquoapplication drsquoun facteur commun agrave tous les revenus augmente la covariance et le revenu moyen dans la mecircme mesure Lrsquoindice de Gini ne change pas Cela vaut eacutegalement pour G(v)
en revanche lrsquoindice de Gini G nrsquoest pas invariant agrave la translation Si lrsquoon
ajoutesoustrait la mecircme somme agrave tous les revenus il augmente (ou diminue) en conseacutequence Cela vaut eacutegalement pour G(v)
lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts quelle que soit la valeur de v
Si le revenu est redistribueacute drsquoindividus relativement riches agrave des individus relativement pauvres G et G(v) diminuent Lrsquoinverse est vrai si le revenu est redistribueacute de personnes relativement pauvres agrave des personnes relativement riches Dans le cas de lrsquoindice de Gini standard nous remarquons que la taille du changement deacutecoulant de la variation de lrsquoun quelconque des revenus deacutepend du rang des individus participant agrave la redistribution et de la taille de lrsquoeacutechantillon Elle ne deacutepend pas du niveau des revenus individuels redistribueacutes mais du total des revenus Plus preacuteciseacutement lrsquoindice de Gini reacuteagit davantage agrave une redistribution entre individus preacutesentant une grande diffeacuterence de rang De fait agrave quantiteacute de redistribution eacutegale lrsquoeffet est beaucoup plus faible si les deux individus sont de rang proche
Le tableau 5 illustre le principe de fonctionnement des principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini Dans la colonne de gauche figurent trois simulations de distributions de revenus La premiegravere est une distribution laquo type raquo classeacutee par niveaux de revenus Les individus de la seconde ont tous le mecircme revenu Les individus de la troisiegraveme ont tous un revenu nul sauf le dernier
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Pour la distribution de revenus type A lrsquoindice de Gini est de 0267 Pour les revenus eacutequidistribueacutes B il est nul et pour la distribution la plus concentreacutee C il est de 08
( 80541
==minusn
n )
Pour une augmentation de tous les revenus de 20 pour-cent la cinquiegraveme colonne montre que lrsquoindice de Gini demeurerait inchangeacute agrave 0267 (proprieacuteteacute drsquoinvariance agrave lrsquoeacutechelle) Ce ne serait pas le cas pour une augmentation de tous les revenus du mecircme montant absolu (par exemple 2 000 uniteacutes de revenu dans le texte) Dans ce cas le tableau 5 montre que lrsquoindice de Gini serait plus bas (0160) Cet indice nrsquoest pas invariant agrave la translation Lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts Si nous redistribuons par exemple 500 uniteacutes de revenu des plus riches au plus pauvres il sera infeacuterieur (0213) dans le texte Agrave noter que les mecircmes transferts entre individus de rang proche (derniegravere colonne du tableau 5) donnent toujours lieu agrave un indice de Gini plus bas (0253) mais supeacuterieur au cas preacuteceacutedent (0213) Cela montre que lrsquoindice est plus sensible aux transferts entre individus de rangs eacuteloigneacutes
Tableau 5 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
IndividuA - Distribution des
revenus type
B - Distribution des revenus avec
revenus eacutegaux
C - Distribution des revenus avec un
seul revenu
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 20 pour-cent de tous les revenus
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 2 000 USD de tous
les revenus
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 500 USD du plus riche au plus pauvre
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 200
USD par deux individus de rang
proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000
Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000
GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253
INCHANGEacute DIMINUEacute DIMINUEacute DIMINUEacute
entre individus de rang proche
Lindice de Gini reacuteagit moins aux transferts
7 INTERSECTION DE LORENZ ET INDICE DE GINI
Nous avons vu qursquoil est possible de deacuteriver lrsquoindice de Gini drsquoune courbe de Lorenz En dautres termes indice de Gini et courbe de Lorenz sont en coheacuterence Il faut neacuteanmoins rappeler que lrsquoordre fourni par les courbes de Lorenz et en particulier par la dominance
de Lorenz est partiel car quand ces courbes ne coupent rien nous sommes agrave mecircme de dire quelle distribution des revenus preacutesente le plus drsquoineacutegaliteacute Agrave lrsquoinverse lrsquoindice de Gini fournit un ordre complet puisqursquoil reacuteduit lrsquointeacutegraliteacute de la distribution des revenus agrave un seul nombre La diffeacuterence eacuteleacutementaire entre ces deux approches devient apparente en cas drsquointersection des courbes de Lorenz Prenons par exemple les deux distributions de
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 17
revenus du tableau 6 Les revenus sont distribueacutes diffeacuteremment mais lrsquoindice de Gini est le mecircme (0200) Tableau 6 Deux distributions de revenus posseacutedant le mecircme indice de Gini
IndividusDistribution des
revenus XDistribution des
revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500
Revenu total20 000 20 000
Gini 0200 0200 Ces deux distributions sont figureacutees par les courbes de Lorenz de la figure 7 Comme elles se coupent on ne peut pas srsquoen servir pour les classer en termes drsquoineacutegaliteacute des revenus Mais la maniegravere dont elles se coupent donne des aires de mecircme valeur avant et apregraves lrsquointersection Du coup lrsquoindice de Gini est identique en deacutepit de diffeacuterences de revenus importantes Figure 7 Intersection de courbes de Lorenz
00
02
04
06
08
10
00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y
Distributions de revenus diffeacuterentesIntersection de LorenzMecircme indice de Gini
Aire de concentrationavant intersection
Aire de concentrationapregraves intersection
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8 SYNTHEgraveSE DES PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LINDICE DE GINI ET DE SA VERSION GEacuteNEacuteRALISEacuteE
Le tableau 7 syntheacutetise les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee Ces proprieacuteteacutes reflegravetent la structure des axiomes9
Il est inteacuteressant de noter tout drsquoabord que la limite infeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard et de sa version geacuteneacuteraliseacutee est zeacutero alors que sa limite supeacuterieure est diffeacuterencieacutee Cette derniegravere est tregraves proche de 1 (pour les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini standard et tend vers 2v (toujours dans les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute Les deux versions de lrsquoindice de Gini respectent le principe des transferts mais il faut rappeler que lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts de revenus entre individus situeacutes agrave des positions (rang) eacuteloigneacutees dans la distribution des revenus Les deux versions sont invariantes agrave lrsquoeacutechelle et non invariantes agrave la translation et respectent le principe de population Cette structure fait de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee deux indicateurs drsquoineacutegaliteacute relative La grande utiliteacute de leurs caracteacuteristiques dans la pratique explique le fort inteacuterecirct qursquoils suscitent Tableau 7 Indice de Gini et ses proprieacuteteacutes utiles
LIMITE
INFLIMITE SUP
Principe des transferts
Invariance agrave leacutechelle
Invariance agrave la translation
Principe de population
Indice dineacutegaliteacute relative (IIR)
Inteacuterecirct
Gini 0 (n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
Gv 0 (2v )(n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
9 REMARQUES Agrave LrsquoINTENTION DES LECTEURS
91 Liens EASYPol
Les lecteurs pourront se tourner vers certains modules EASYPol pour renforcer leurs acquis de base et approfondir leurs connaissances sur lrsquoineacutegaliteacute et sa mesure Le preacutesent module fait partie drsquoun ensemble de documents expliquant les modaliteacutes de comparaison en termes drsquoineacutegaliteacute des distributions de revenus geacuteneacutereacutees par diffeacuterentes options des politiques Il appartient au parcours de formation Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des politiques
9 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses
axiomes de mesure (disponible en anglais)
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 19
Les modules EASYPol suivants preacutecegravedent logiquement le document preacutesent et pourront renforcer les connaissances des utilisateurs
Module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute courbe de Lorenz
Module EASYPol 001 Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz
EASYPol Module 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de pauvreteacute
Module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure (disponible en anglais)
Les points traiteacutes dans ce module sont approfondis dans les documents suivants
Module EASYPol 002 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz geacuteneacuteraliseacute
Module EASYPol 041 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social bien-ecirctre social fonctions de bien-ecirctre social et aversion pour lineacutegaliteacute (disponible en anglais)
Le module EASYPol 042 Impacts sur lineacutegaliteacute et la pauvreteacute de certaines
politiques agricoles cas du Paraguay est une eacutetude de cas de la mesure agrave lrsquoaide de lrsquoindice de Gini des impacts drsquoune politique agricole sur lrsquoineacutegaliteacute dans le contexte drsquoun exercice de simulation bacircti agrave partir de donneacutees reacuteelles
Module EASYPol 040 Outils analytiques
20
10 ANNEXE I ndash AUTRES MEacuteTHODES DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible
La deacuterivation de lrsquoindice de Gini par les courbes de Lorenz preacutesente une correspondance directe avec une autre meacutethode plutocirct lourde de calcul de cet indicateur
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+= minusminus
Yy
nY
yY
yYy
nnG nnn 121 32211 [A1]
Vous remarquerez la speacutecificiteacute des termes figurant entre les derniegraveres parenthegraveses ougrave chaque part de revenu de la plus eacuteleveacutee agrave la plus faible est multiplieacutee par le rang des individus dans la distribution des revenus du plus bas au plus eacuteleveacute de maniegravere agrave ce que la part la plus importante ait le rang 1 et la plus petite le rang n Cette correspondance apparaicirct encore mieux dans un exemple ougrave n=3 En rappelant la deacutefinition des q et des p on obtient
133 1
032
031
0
0300 0
3321
3
221
2
11
1
00
0
===+++
=
=++
=
=+
=
=====
pY
yyyq
pY
yyq
pY
yq
np
Yy
q
Substituer ces valeurs dans lrsquoeacutequation [2] dans le texte donne
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++minus=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++minus=
Yy
Yy
Yy
Yyy
Yyyy
Yy
Yyy
YyG 123213211211
1 35
33
311
31
31
311
[A2] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 1 Maintenant reacuteeacutecrivons lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++minus+=Yy
Yy
Yy
G 1232 32
32
311
[A3] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 2 Maintenant reacuteeacutecrivons [A2] et [A3] de maniegravere plus commode en manipulant les crochets
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus=
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
G 12121231 2
32
311
34
32
311
[A4]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +minusminus+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyyyG 121212123
2 232
3112
32
32
3112
32
311
[A5] comme lrsquoexpression entre parenthegraveses dans les deux eacutequations est eacutegale agrave 1 pour n=3 il est tregraves facile de veacuterifier que les deux expressions donnent le mecircme reacutesultat (G =G1 2) La formule [A1] souvent utiliseacutee dans les applications opeacuterationnelles est donc entiegraverement baseacutee sur la deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini
101 Indice de Gini avec formule de covariance
Dans le texte nous avons montreacute que lrsquoindice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moyen et la covariance entre les niveaux y et la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Analytiquement
( ))(2 yFyCovy
G = [A6]
Cette formule eacutequivaut aussi agrave la formule [A1] Voyons pourquoi
( )[ ] ( )[ )(1 yFyCovyFyCov ]minusminus=Sachant que comme la valeur attendue de F(y) est frac12 et la valeur attendue de [1-F(y)] frac12 eacutegalement nous pouvons reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A6]
sous la forme ( )[ ])(12 yFyCov
yG minusminus=
Lrsquoeacutequivalence entre les formules [A6] et [A1] apparaicirct agrave nouveau pour un cas simplifieacute n=3 Tout drsquoabord il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( )()()( yFEyEyyFEyFyCov minus )= ougrave E correspond agrave la valeur attendue (la moyenne) drsquoune variable donneacutee Ensuite il convient de deacutefinir chaque composante de la covariance
( ) ( ) ( )32
333
32
31
)( 3
3
31
32
33
)(123
=++
==++
= yFEYyEyyy
yyFE
nous pouvons obtenir Par conseacutequent en tenant compte du fait que 321 yyyY ++=
( ) [ ]13123123 9
192
92
92
91
92
93)( yyyyyyyyyFyCov minus=minusminusminus++=
Module EASYPol 040 Outils analytiques
22
nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minussdot
sdot=
Yy
Yy
yyY
G 1313 3
29132
Maintenant sachant que pour n=3
1321 =++
Yyyy
on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
Yy
Yy
Yy 13111223321321
32
32
32
32
32
32
32
31
ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance
102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors
034
311
36
32
31132
32
311 =minus+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus+=yy
Yy
Yy
YyG
LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera
nn
Yy
YYG 1
32
32
31100
32
311 minus
==minus+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=
comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3
G deviendrait ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
+α
α+
αα
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyG 323323 32
32
31132
32
311
GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
+minus+=
000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
112
individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
Module EASYPol 040 Outils analytiques
24
11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES
Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
24 617-628
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 25
Meacutetadonneacutees du module
1 Module EASYPol 040
2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
Franccedilais
Espagnol
Autre
3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine
Anglais The Gini Index
Franccedilais
Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module
10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
Module EASYPol 040 Outils analytiques
26
11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
Module EASYPol 040 Outils analytiques
10
Figure 4 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la distribution de revenus cumuleacutee
3Calculer la proportion cumuleacutee des revenus en divisant chaque revenu
cumuleacute par le total des revenus
4
Affecter le rang 1 au revenu le plus bas et le rang n au revenu le plus eacuteleveacute
puis calculer la proportion cumuleacutee de la population en divisant chaque rang
par n
5
Calculer laire des polygones en appliquant les formules fournies dans le
texte pour laire du triangle et des trapegravezes
6 Additionner toutes les aires pour obtenir Z puis calculer G = 1-2Z
Mais le texte fournit une autre formule de calcul direct de lrsquoindice de Gini (voir la formule [4]) baseacutee sur le terme de covariance Il est donc utile den fournir la proceacutedure de calcul deacutetailleacutee (voir la figure 5) Figure 5 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini agrave lrsquoaide de la formule de covariance
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la distribution de revenus par niveaux
de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer la covariance Cov(yF(y)) et le niveau de revenu moyen
4 Calculer Gini en appliquant la formule [4] fournie dans le texte
Lrsquoeacutetape 1 nous demande comme dhabitude de trier la distribution de revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 nous demande de calculer la FDC F(y)7
7 Voir le module EASYPOL 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de la pauvreteacute
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 11
Lrsquoeacutetape 3 nous demande simplement de prendre la covariance entre la distribution des niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee et le niveau de revenus moyen utiliseacutee dans le deacutenominateur de la formule[4] Enfin lrsquoeacutetape 4 applique directement la formule [4] fournie dans le texte
42 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
La figure 6 fournit les eacutetapes du calcul de la version geacuteneacuteraliseacutee de lrsquoindice de Gini Figure 6 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer 1-F(y) pour chaque revenu
4 Choisir la valeur du paramegravetre daversion pour lineacutegaliteacute v
5 Calculer [1-F(y)]v -1
6Calculer la covariance
Cov[y (1-F(y))v -1] et la moyenne de la distribution de revenus
7 Calculer Gini en appliquant la formule de covariance [6] fournie dans le texte
Les eacutetapes sont tregraves semblables agrave celles du calcul de lrsquoindice de Gini standard agrave lrsquoaide de la formule de covariance Les eacutetapes 1 et 2 sont mecircme identiques Par souci de commoditeacute du fait du mode drsquoexpression de la formule lrsquoeacutetape 3 nous demande de calculer pour chaque niveau de revenus la valeur de un moins la valeur de la fonction de distribution cumuleacutee agrave ce point Lrsquoeacutetape 4 est lrsquoeacuteleacutement le plus caracteacuteristique de cette proceacutedure car elle nous demande de choisir la valeur du paramegravetre de lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v Il suffit de nous souvenir que plus les valeurs de v sont eacuteleveacutees plus lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute est forte Lrsquoeacutetape 5 nous demande de calculer un eacuteleacutement du terme de covariance agrave savoir la valeur de (1-F(y))v-1 Agrave lrsquoeacutetape 6 nous devons calculer la covariance complegravete et le revenu moyen ce qui nous permettra drsquoappliquer la formule [6] fournie dans le texte pour obtenir lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (eacutetape 7)
Module EASYPol 040 Outils analytiques
12
5 EXEMPLE NUMEacuteRIQUE DU MODE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
51 Indice de Gini standard deacuteriveacute de la courbe de Lorenz
Le calcul de lrsquoindice de Gini deacuteriveacute de la courbe de Lorenz figure dans le tableau 2 ougrave nous supposons lrsquoexistence drsquoune distribution de revenus agrave cinq individus (et cinq revenus) Lrsquoeacutetape 1 neacutecessite simplement de trier cette distribution par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 en revanche nous demande de calculer la distribution cumuleacutee des revenus Le reacutesultat de ce calcul est 15 000 uniteacutes de revenu soit le revenu total de lrsquoeacuteconomie Tableau 2 Exemple numeacuterique du calcul de lrsquoindice de Gini (deacuteriveacute de la courbe de Lorenz)
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 6
Calculer le revenu cumuleacute
Calculer la proportion
cumuleacutee des revenus (qi)
Affecter un rang aux revenus
Calculer la proportion
cumuleacutee de la population (pi)
Calculer laire des polygones
(Z)
Calculer lindice de
Gini
IndividuDistribution des revenus
Revenu cumuleacuteProportion
cumuleacutee des revenus
RangsProportion
cumuleacutee de la population
Aire des polygones
Indice de Gini
1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100
0100
EacuteTAPE 1
Trier la distribution de revenus
EacuteTAPE 4
Valeur de Z laire sous la courbe de Lorenz
G = 1 - 2Z
Aire du premier triangle
Aire de chaque trapegraveze
Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2
0007=[0067 x 02]2
Lrsquoeacutetape 3 transforme la distribution de revenus cumuleacutee en proportion cumuleacutee des revenus Le reacutesultat est 1 Rappelons-nous simplement que ces valeurs sont les qi introduits dans la section 31 ci-dessus Conformeacutement au tri de la distribution des revenus de lrsquoeacutetape 1 un rang croissant (de 1 agrave n) est affecteacute agrave chaque revenu (eacutetape 4) Ces rangs sont ensuite transformeacutes en proportion cumuleacutee de la population Ce calcul donne les p traiteacutes dans la section 31i ci-dessus Lorsque nous disposons de q et de p pour tous les niveaux de revenus nous pouvons calculer lrsquoaire des polygones sous la courbe de Lorenz Il suffit de nous rappeler que le premier est un triangle et que les autres sont des trapegravezes Pour ce faire lrsquoeacutetape 5 applique les formules preacutesenteacutees dans la section 31 La somme de ces aires donne Z crsquoest-agrave-dire lrsquoaire totale sous la courbe de Lorenz
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 13
Enfin lrsquoeacutetape 6 est lrsquoapplication meacutecanique de la formule [6] fournie dans le texte Elle donne un indice de Gini de 0267
52 Indice de Gini standard avec formule de covariance
Le tableau 3 fournit un exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule [4] de covariance preacutesenteacutee dans le texte Les eacutetapes sont ici moins nombreuses Leacutetape 1 change pas et consiste agrave trier la distribution des revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 demande de calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Lrsquoeacutetape 3 neacutecessite de calculer les deux paramegravetres essentiels agrave appliquer agrave la formule de covariance la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee (dont la valeur est de 400 dans lrsquoexemple) et le niveau de revenus moyen soit 3 000 uniteacutes de revenu Tableau 3 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule de covariance
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 4
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer la covariance Cov
(y F(y))
Calculer le niveau
moyen de revenu
Calculer Gini agrave laide la
formule [4]
Individu
A - Distribution des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacuteeCovariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267
EacuteTAPE 1
Trier la distribution des revenus
EacuteTAPE 3
Lrsquoapplication de la formule [4] fournie dans le texte donne une valeur drsquoindice de Gini eacutegale agrave 0267 (bien eacutevidemment identique agrave celle du tableau 2 )
53 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Nous nous sommes servis de la formule de covariance pour expliquer qursquoil est possible de rendre lrsquoindice de Gini standard sensible agrave un degreacute donneacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Le tableau 4 fournit un exemple de traitement de cette geacuteneacuteralisation agrave lrsquoaide de la mecircme distribution de revenus que dans les tableaux 2 et 3
Module EASYPol 040 Outils analytiques
14
Tableau 4 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 4 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 7
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer 1 - F(y)
Choisir vCalculer
[1 - F(y)](v-1)
Calculer la covariance
Cov (y F(y))
Calculer le niveau de revenu
moyen
Calculer Gini agrave laide de la formule [4]
Individu
A - Distribution
des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacutee1 - F(y) v [1 - F(y)](v-1) Covariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246
EacuteTAPE 1 EacuteTAPE 6
Trier la distribution des revenus
Les eacutetapes 1 et 2 sont identiques agrave celles du tableau 3 En revanche lrsquoeacutetape 3 requiert de calculer les valeurs de un moins la fonction de distribution cumuleacutee Lrsquoeacutetape 4 introduit le paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v auquel nous avons choisi drsquoattribuer la valeur 4 Par conseacutequent chaque montant calculeacute agrave lrsquoeacutetape 3 passe agrave la puissance (v-1) crsquoest-agrave-dire 3 (eacutetape 5) Lrsquoeacutetape 6 calcule les deux paramegravetres essentiels le terme de covariance (-246 dans lrsquoexemple) et le revenu moyen (3 000) Lrsquoeacutetape 7 applique la formule [6] fournie dans le texte et donne un indice de Gini de 0246 Cette valeur est diffeacuterente de celle obtenue avec lrsquoindice de Gini standard car des pondeacuterations diffeacuterentes ont eacuteteacute attribueacutees aux mecircmes revenus
6 PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LrsquoINDICE DE GINI
Cette section deacutecrit les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini en termes des axiomes qursquoil respecte 8
Comme la plupart de ces proprieacuteteacutes sont communes aux indices de Gini standard et geacuteneacuteraliseacute nous les traiterons ensemble tout en signalant leurs diffeacuterences majeures Les principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini sont les suivantes la limite infeacuterieure de G est zeacutero quelle que soit la valeur de v Quand tous les
revenus sont eacutegaux la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee est nulle et lrsquoindice de Gini est donc zeacutero Concernant lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini standard notez que quand tous les revenus sont eacutegaux la courbe de Lorenz est eacutegale agrave la droite drsquoeacutequidistribution Par conseacutequent la somme des aires des polygones (Z) est eacutegale agrave frac12 crsquoest-agrave-dire la somme du triangle sous la courbe de Lorenz De ce fait lrsquoindice de Gini (1ndash 2Z) est eacutegal agrave zeacutero
8 Voir le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes
(disponible en anglais) pour en savoir plus sur les axiomes dans la mesure de lrsquoineacutegaliteacute de mesure
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 15
nn 1minus la limite supeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard G est Dans les tregraves grandes
populations la limite de cette valeur est 1 Quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier celui-ci est aussi eacutegal au revenu total y=Y Autrement dit il ne faut calculer qursquoune seule aire celle du dernier trapegraveze Cependant dans les tregraves grandes populations cette aire tend agrave ecirctre plus petite Dans la limite (crsquoest-agrave-dire dans un cadre continu) la valeur de lrsquoaire Z tend vers zeacutero et donc lrsquoindice de Gini tend vers
1 Dans la geacuteneacuteralisation la limite supeacuterieure de G(v) est n
nv
12 minus Souvenez-vous
que dans lrsquoindice de Gini standard v=2 lrsquoindice de Gini est invariant agrave lrsquoeacutechelle La multiplication de tous les revenus par
un facteur α ne modifie pas la valeur de lrsquoindice de Gini G Intuitivement quand tous les revenus sont redimensionneacutes par un facteur commun la distribution cumuleacutee des revenus ne change pas car une fraction donneacutee de la population continue agrave deacutetenir la mecircme fraction du revenu total Les aires sous la courbe de Lorenz demeurent donc identiques Dans le cas de la formule de covariance lrsquoapplication drsquoun facteur commun agrave tous les revenus augmente la covariance et le revenu moyen dans la mecircme mesure Lrsquoindice de Gini ne change pas Cela vaut eacutegalement pour G(v)
en revanche lrsquoindice de Gini G nrsquoest pas invariant agrave la translation Si lrsquoon
ajoutesoustrait la mecircme somme agrave tous les revenus il augmente (ou diminue) en conseacutequence Cela vaut eacutegalement pour G(v)
lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts quelle que soit la valeur de v
Si le revenu est redistribueacute drsquoindividus relativement riches agrave des individus relativement pauvres G et G(v) diminuent Lrsquoinverse est vrai si le revenu est redistribueacute de personnes relativement pauvres agrave des personnes relativement riches Dans le cas de lrsquoindice de Gini standard nous remarquons que la taille du changement deacutecoulant de la variation de lrsquoun quelconque des revenus deacutepend du rang des individus participant agrave la redistribution et de la taille de lrsquoeacutechantillon Elle ne deacutepend pas du niveau des revenus individuels redistribueacutes mais du total des revenus Plus preacuteciseacutement lrsquoindice de Gini reacuteagit davantage agrave une redistribution entre individus preacutesentant une grande diffeacuterence de rang De fait agrave quantiteacute de redistribution eacutegale lrsquoeffet est beaucoup plus faible si les deux individus sont de rang proche
Le tableau 5 illustre le principe de fonctionnement des principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini Dans la colonne de gauche figurent trois simulations de distributions de revenus La premiegravere est une distribution laquo type raquo classeacutee par niveaux de revenus Les individus de la seconde ont tous le mecircme revenu Les individus de la troisiegraveme ont tous un revenu nul sauf le dernier
Module EASYPol 040 Outils analytiques
16
Pour la distribution de revenus type A lrsquoindice de Gini est de 0267 Pour les revenus eacutequidistribueacutes B il est nul et pour la distribution la plus concentreacutee C il est de 08
( 80541
==minusn
n )
Pour une augmentation de tous les revenus de 20 pour-cent la cinquiegraveme colonne montre que lrsquoindice de Gini demeurerait inchangeacute agrave 0267 (proprieacuteteacute drsquoinvariance agrave lrsquoeacutechelle) Ce ne serait pas le cas pour une augmentation de tous les revenus du mecircme montant absolu (par exemple 2 000 uniteacutes de revenu dans le texte) Dans ce cas le tableau 5 montre que lrsquoindice de Gini serait plus bas (0160) Cet indice nrsquoest pas invariant agrave la translation Lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts Si nous redistribuons par exemple 500 uniteacutes de revenu des plus riches au plus pauvres il sera infeacuterieur (0213) dans le texte Agrave noter que les mecircmes transferts entre individus de rang proche (derniegravere colonne du tableau 5) donnent toujours lieu agrave un indice de Gini plus bas (0253) mais supeacuterieur au cas preacuteceacutedent (0213) Cela montre que lrsquoindice est plus sensible aux transferts entre individus de rangs eacuteloigneacutes
Tableau 5 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
IndividuA - Distribution des
revenus type
B - Distribution des revenus avec
revenus eacutegaux
C - Distribution des revenus avec un
seul revenu
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 20 pour-cent de tous les revenus
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 2 000 USD de tous
les revenus
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 500 USD du plus riche au plus pauvre
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 200
USD par deux individus de rang
proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000
Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000
GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253
INCHANGEacute DIMINUEacute DIMINUEacute DIMINUEacute
entre individus de rang proche
Lindice de Gini reacuteagit moins aux transferts
7 INTERSECTION DE LORENZ ET INDICE DE GINI
Nous avons vu qursquoil est possible de deacuteriver lrsquoindice de Gini drsquoune courbe de Lorenz En dautres termes indice de Gini et courbe de Lorenz sont en coheacuterence Il faut neacuteanmoins rappeler que lrsquoordre fourni par les courbes de Lorenz et en particulier par la dominance
de Lorenz est partiel car quand ces courbes ne coupent rien nous sommes agrave mecircme de dire quelle distribution des revenus preacutesente le plus drsquoineacutegaliteacute Agrave lrsquoinverse lrsquoindice de Gini fournit un ordre complet puisqursquoil reacuteduit lrsquointeacutegraliteacute de la distribution des revenus agrave un seul nombre La diffeacuterence eacuteleacutementaire entre ces deux approches devient apparente en cas drsquointersection des courbes de Lorenz Prenons par exemple les deux distributions de
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 17
revenus du tableau 6 Les revenus sont distribueacutes diffeacuteremment mais lrsquoindice de Gini est le mecircme (0200) Tableau 6 Deux distributions de revenus posseacutedant le mecircme indice de Gini
IndividusDistribution des
revenus XDistribution des
revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500
Revenu total20 000 20 000
Gini 0200 0200 Ces deux distributions sont figureacutees par les courbes de Lorenz de la figure 7 Comme elles se coupent on ne peut pas srsquoen servir pour les classer en termes drsquoineacutegaliteacute des revenus Mais la maniegravere dont elles se coupent donne des aires de mecircme valeur avant et apregraves lrsquointersection Du coup lrsquoindice de Gini est identique en deacutepit de diffeacuterences de revenus importantes Figure 7 Intersection de courbes de Lorenz
00
02
04
06
08
10
00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y
Distributions de revenus diffeacuterentesIntersection de LorenzMecircme indice de Gini
Aire de concentrationavant intersection
Aire de concentrationapregraves intersection
Module EASYPol 040 Outils analytiques
18
8 SYNTHEgraveSE DES PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LINDICE DE GINI ET DE SA VERSION GEacuteNEacuteRALISEacuteE
Le tableau 7 syntheacutetise les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee Ces proprieacuteteacutes reflegravetent la structure des axiomes9
Il est inteacuteressant de noter tout drsquoabord que la limite infeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard et de sa version geacuteneacuteraliseacutee est zeacutero alors que sa limite supeacuterieure est diffeacuterencieacutee Cette derniegravere est tregraves proche de 1 (pour les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini standard et tend vers 2v (toujours dans les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute Les deux versions de lrsquoindice de Gini respectent le principe des transferts mais il faut rappeler que lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts de revenus entre individus situeacutes agrave des positions (rang) eacuteloigneacutees dans la distribution des revenus Les deux versions sont invariantes agrave lrsquoeacutechelle et non invariantes agrave la translation et respectent le principe de population Cette structure fait de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee deux indicateurs drsquoineacutegaliteacute relative La grande utiliteacute de leurs caracteacuteristiques dans la pratique explique le fort inteacuterecirct qursquoils suscitent Tableau 7 Indice de Gini et ses proprieacuteteacutes utiles
LIMITE
INFLIMITE SUP
Principe des transferts
Invariance agrave leacutechelle
Invariance agrave la translation
Principe de population
Indice dineacutegaliteacute relative (IIR)
Inteacuterecirct
Gini 0 (n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
Gv 0 (2v )(n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
9 REMARQUES Agrave LrsquoINTENTION DES LECTEURS
91 Liens EASYPol
Les lecteurs pourront se tourner vers certains modules EASYPol pour renforcer leurs acquis de base et approfondir leurs connaissances sur lrsquoineacutegaliteacute et sa mesure Le preacutesent module fait partie drsquoun ensemble de documents expliquant les modaliteacutes de comparaison en termes drsquoineacutegaliteacute des distributions de revenus geacuteneacutereacutees par diffeacuterentes options des politiques Il appartient au parcours de formation Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des politiques
9 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses
axiomes de mesure (disponible en anglais)
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 19
Les modules EASYPol suivants preacutecegravedent logiquement le document preacutesent et pourront renforcer les connaissances des utilisateurs
Module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute courbe de Lorenz
Module EASYPol 001 Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz
EASYPol Module 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de pauvreteacute
Module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure (disponible en anglais)
Les points traiteacutes dans ce module sont approfondis dans les documents suivants
Module EASYPol 002 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz geacuteneacuteraliseacute
Module EASYPol 041 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social bien-ecirctre social fonctions de bien-ecirctre social et aversion pour lineacutegaliteacute (disponible en anglais)
Le module EASYPol 042 Impacts sur lineacutegaliteacute et la pauvreteacute de certaines
politiques agricoles cas du Paraguay est une eacutetude de cas de la mesure agrave lrsquoaide de lrsquoindice de Gini des impacts drsquoune politique agricole sur lrsquoineacutegaliteacute dans le contexte drsquoun exercice de simulation bacircti agrave partir de donneacutees reacuteelles
Module EASYPol 040 Outils analytiques
20
10 ANNEXE I ndash AUTRES MEacuteTHODES DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible
La deacuterivation de lrsquoindice de Gini par les courbes de Lorenz preacutesente une correspondance directe avec une autre meacutethode plutocirct lourde de calcul de cet indicateur
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+= minusminus
Yy
nY
yY
yYy
nnG nnn 121 32211 [A1]
Vous remarquerez la speacutecificiteacute des termes figurant entre les derniegraveres parenthegraveses ougrave chaque part de revenu de la plus eacuteleveacutee agrave la plus faible est multiplieacutee par le rang des individus dans la distribution des revenus du plus bas au plus eacuteleveacute de maniegravere agrave ce que la part la plus importante ait le rang 1 et la plus petite le rang n Cette correspondance apparaicirct encore mieux dans un exemple ougrave n=3 En rappelant la deacutefinition des q et des p on obtient
133 1
032
031
0
0300 0
3321
3
221
2
11
1
00
0
===+++
=
=++
=
=+
=
=====
pY
yyyq
pY
yyq
pY
yq
np
Yy
q
Substituer ces valeurs dans lrsquoeacutequation [2] dans le texte donne
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++minus=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++minus=
Yy
Yy
Yy
Yyy
Yyyy
Yy
Yyy
YyG 123213211211
1 35
33
311
31
31
311
[A2] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 1 Maintenant reacuteeacutecrivons lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++minus+=Yy
Yy
Yy
G 1232 32
32
311
[A3] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 2 Maintenant reacuteeacutecrivons [A2] et [A3] de maniegravere plus commode en manipulant les crochets
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus=
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
G 12121231 2
32
311
34
32
311
[A4]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +minusminus+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyyyG 121212123
2 232
3112
32
32
3112
32
311
[A5] comme lrsquoexpression entre parenthegraveses dans les deux eacutequations est eacutegale agrave 1 pour n=3 il est tregraves facile de veacuterifier que les deux expressions donnent le mecircme reacutesultat (G =G1 2) La formule [A1] souvent utiliseacutee dans les applications opeacuterationnelles est donc entiegraverement baseacutee sur la deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini
101 Indice de Gini avec formule de covariance
Dans le texte nous avons montreacute que lrsquoindice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moyen et la covariance entre les niveaux y et la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Analytiquement
( ))(2 yFyCovy
G = [A6]
Cette formule eacutequivaut aussi agrave la formule [A1] Voyons pourquoi
( )[ ] ( )[ )(1 yFyCovyFyCov ]minusminus=Sachant que comme la valeur attendue de F(y) est frac12 et la valeur attendue de [1-F(y)] frac12 eacutegalement nous pouvons reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A6]
sous la forme ( )[ ])(12 yFyCov
yG minusminus=
Lrsquoeacutequivalence entre les formules [A6] et [A1] apparaicirct agrave nouveau pour un cas simplifieacute n=3 Tout drsquoabord il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( )()()( yFEyEyyFEyFyCov minus )= ougrave E correspond agrave la valeur attendue (la moyenne) drsquoune variable donneacutee Ensuite il convient de deacutefinir chaque composante de la covariance
( ) ( ) ( )32
333
32
31
)( 3
3
31
32
33
)(123
=++
==++
= yFEYyEyyy
yyFE
nous pouvons obtenir Par conseacutequent en tenant compte du fait que 321 yyyY ++=
( ) [ ]13123123 9
192
92
92
91
92
93)( yyyyyyyyyFyCov minus=minusminusminus++=
Module EASYPol 040 Outils analytiques
22
nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minussdot
sdot=
Yy
Yy
yyY
G 1313 3
29132
Maintenant sachant que pour n=3
1321 =++
Yyyy
on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
Yy
Yy
Yy 13111223321321
32
32
32
32
32
32
32
31
ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance
102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors
034
311
36
32
31132
32
311 =minus+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus+=yy
Yy
Yy
YyG
LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera
nn
Yy
YYG 1
32
32
31100
32
311 minus
==minus+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=
comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3
G deviendrait ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
+α
α+
αα
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyG 323323 32
32
31132
32
311
GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
+minus+=
000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
112
individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
Module EASYPol 040 Outils analytiques
24
11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES
Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
24 617-628
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 25
Meacutetadonneacutees du module
1 Module EASYPol 040
2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
Franccedilais
Espagnol
Autre
3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine
Anglais The Gini Index
Franccedilais
Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module
10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
Module EASYPol 040 Outils analytiques
26
11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 11
Lrsquoeacutetape 3 nous demande simplement de prendre la covariance entre la distribution des niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee et le niveau de revenus moyen utiliseacutee dans le deacutenominateur de la formule[4] Enfin lrsquoeacutetape 4 applique directement la formule [4] fournie dans le texte
42 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
La figure 6 fournit les eacutetapes du calcul de la version geacuteneacuteraliseacutee de lrsquoindice de Gini Figure 6 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel
1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la
distribution de revenus par niveaux de revenus
2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)
3 Calculer 1-F(y) pour chaque revenu
4 Choisir la valeur du paramegravetre daversion pour lineacutegaliteacute v
5 Calculer [1-F(y)]v -1
6Calculer la covariance
Cov[y (1-F(y))v -1] et la moyenne de la distribution de revenus
7 Calculer Gini en appliquant la formule de covariance [6] fournie dans le texte
Les eacutetapes sont tregraves semblables agrave celles du calcul de lrsquoindice de Gini standard agrave lrsquoaide de la formule de covariance Les eacutetapes 1 et 2 sont mecircme identiques Par souci de commoditeacute du fait du mode drsquoexpression de la formule lrsquoeacutetape 3 nous demande de calculer pour chaque niveau de revenus la valeur de un moins la valeur de la fonction de distribution cumuleacutee agrave ce point Lrsquoeacutetape 4 est lrsquoeacuteleacutement le plus caracteacuteristique de cette proceacutedure car elle nous demande de choisir la valeur du paramegravetre de lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v Il suffit de nous souvenir que plus les valeurs de v sont eacuteleveacutees plus lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute est forte Lrsquoeacutetape 5 nous demande de calculer un eacuteleacutement du terme de covariance agrave savoir la valeur de (1-F(y))v-1 Agrave lrsquoeacutetape 6 nous devons calculer la covariance complegravete et le revenu moyen ce qui nous permettra drsquoappliquer la formule [6] fournie dans le texte pour obtenir lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (eacutetape 7)
Module EASYPol 040 Outils analytiques
12
5 EXEMPLE NUMEacuteRIQUE DU MODE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
51 Indice de Gini standard deacuteriveacute de la courbe de Lorenz
Le calcul de lrsquoindice de Gini deacuteriveacute de la courbe de Lorenz figure dans le tableau 2 ougrave nous supposons lrsquoexistence drsquoune distribution de revenus agrave cinq individus (et cinq revenus) Lrsquoeacutetape 1 neacutecessite simplement de trier cette distribution par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 en revanche nous demande de calculer la distribution cumuleacutee des revenus Le reacutesultat de ce calcul est 15 000 uniteacutes de revenu soit le revenu total de lrsquoeacuteconomie Tableau 2 Exemple numeacuterique du calcul de lrsquoindice de Gini (deacuteriveacute de la courbe de Lorenz)
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 6
Calculer le revenu cumuleacute
Calculer la proportion
cumuleacutee des revenus (qi)
Affecter un rang aux revenus
Calculer la proportion
cumuleacutee de la population (pi)
Calculer laire des polygones
(Z)
Calculer lindice de
Gini
IndividuDistribution des revenus
Revenu cumuleacuteProportion
cumuleacutee des revenus
RangsProportion
cumuleacutee de la population
Aire des polygones
Indice de Gini
1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100
0100
EacuteTAPE 1
Trier la distribution de revenus
EacuteTAPE 4
Valeur de Z laire sous la courbe de Lorenz
G = 1 - 2Z
Aire du premier triangle
Aire de chaque trapegraveze
Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2
0007=[0067 x 02]2
Lrsquoeacutetape 3 transforme la distribution de revenus cumuleacutee en proportion cumuleacutee des revenus Le reacutesultat est 1 Rappelons-nous simplement que ces valeurs sont les qi introduits dans la section 31 ci-dessus Conformeacutement au tri de la distribution des revenus de lrsquoeacutetape 1 un rang croissant (de 1 agrave n) est affecteacute agrave chaque revenu (eacutetape 4) Ces rangs sont ensuite transformeacutes en proportion cumuleacutee de la population Ce calcul donne les p traiteacutes dans la section 31i ci-dessus Lorsque nous disposons de q et de p pour tous les niveaux de revenus nous pouvons calculer lrsquoaire des polygones sous la courbe de Lorenz Il suffit de nous rappeler que le premier est un triangle et que les autres sont des trapegravezes Pour ce faire lrsquoeacutetape 5 applique les formules preacutesenteacutees dans la section 31 La somme de ces aires donne Z crsquoest-agrave-dire lrsquoaire totale sous la courbe de Lorenz
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 13
Enfin lrsquoeacutetape 6 est lrsquoapplication meacutecanique de la formule [6] fournie dans le texte Elle donne un indice de Gini de 0267
52 Indice de Gini standard avec formule de covariance
Le tableau 3 fournit un exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule [4] de covariance preacutesenteacutee dans le texte Les eacutetapes sont ici moins nombreuses Leacutetape 1 change pas et consiste agrave trier la distribution des revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 demande de calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Lrsquoeacutetape 3 neacutecessite de calculer les deux paramegravetres essentiels agrave appliquer agrave la formule de covariance la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee (dont la valeur est de 400 dans lrsquoexemple) et le niveau de revenus moyen soit 3 000 uniteacutes de revenu Tableau 3 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule de covariance
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 4
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer la covariance Cov
(y F(y))
Calculer le niveau
moyen de revenu
Calculer Gini agrave laide la
formule [4]
Individu
A - Distribution des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacuteeCovariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267
EacuteTAPE 1
Trier la distribution des revenus
EacuteTAPE 3
Lrsquoapplication de la formule [4] fournie dans le texte donne une valeur drsquoindice de Gini eacutegale agrave 0267 (bien eacutevidemment identique agrave celle du tableau 2 )
53 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Nous nous sommes servis de la formule de covariance pour expliquer qursquoil est possible de rendre lrsquoindice de Gini standard sensible agrave un degreacute donneacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Le tableau 4 fournit un exemple de traitement de cette geacuteneacuteralisation agrave lrsquoaide de la mecircme distribution de revenus que dans les tableaux 2 et 3
Module EASYPol 040 Outils analytiques
14
Tableau 4 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 4 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 7
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer 1 - F(y)
Choisir vCalculer
[1 - F(y)](v-1)
Calculer la covariance
Cov (y F(y))
Calculer le niveau de revenu
moyen
Calculer Gini agrave laide de la formule [4]
Individu
A - Distribution
des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacutee1 - F(y) v [1 - F(y)](v-1) Covariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246
EacuteTAPE 1 EacuteTAPE 6
Trier la distribution des revenus
Les eacutetapes 1 et 2 sont identiques agrave celles du tableau 3 En revanche lrsquoeacutetape 3 requiert de calculer les valeurs de un moins la fonction de distribution cumuleacutee Lrsquoeacutetape 4 introduit le paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v auquel nous avons choisi drsquoattribuer la valeur 4 Par conseacutequent chaque montant calculeacute agrave lrsquoeacutetape 3 passe agrave la puissance (v-1) crsquoest-agrave-dire 3 (eacutetape 5) Lrsquoeacutetape 6 calcule les deux paramegravetres essentiels le terme de covariance (-246 dans lrsquoexemple) et le revenu moyen (3 000) Lrsquoeacutetape 7 applique la formule [6] fournie dans le texte et donne un indice de Gini de 0246 Cette valeur est diffeacuterente de celle obtenue avec lrsquoindice de Gini standard car des pondeacuterations diffeacuterentes ont eacuteteacute attribueacutees aux mecircmes revenus
6 PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LrsquoINDICE DE GINI
Cette section deacutecrit les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini en termes des axiomes qursquoil respecte 8
Comme la plupart de ces proprieacuteteacutes sont communes aux indices de Gini standard et geacuteneacuteraliseacute nous les traiterons ensemble tout en signalant leurs diffeacuterences majeures Les principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini sont les suivantes la limite infeacuterieure de G est zeacutero quelle que soit la valeur de v Quand tous les
revenus sont eacutegaux la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee est nulle et lrsquoindice de Gini est donc zeacutero Concernant lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini standard notez que quand tous les revenus sont eacutegaux la courbe de Lorenz est eacutegale agrave la droite drsquoeacutequidistribution Par conseacutequent la somme des aires des polygones (Z) est eacutegale agrave frac12 crsquoest-agrave-dire la somme du triangle sous la courbe de Lorenz De ce fait lrsquoindice de Gini (1ndash 2Z) est eacutegal agrave zeacutero
8 Voir le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes
(disponible en anglais) pour en savoir plus sur les axiomes dans la mesure de lrsquoineacutegaliteacute de mesure
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 15
nn 1minus la limite supeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard G est Dans les tregraves grandes
populations la limite de cette valeur est 1 Quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier celui-ci est aussi eacutegal au revenu total y=Y Autrement dit il ne faut calculer qursquoune seule aire celle du dernier trapegraveze Cependant dans les tregraves grandes populations cette aire tend agrave ecirctre plus petite Dans la limite (crsquoest-agrave-dire dans un cadre continu) la valeur de lrsquoaire Z tend vers zeacutero et donc lrsquoindice de Gini tend vers
1 Dans la geacuteneacuteralisation la limite supeacuterieure de G(v) est n
nv
12 minus Souvenez-vous
que dans lrsquoindice de Gini standard v=2 lrsquoindice de Gini est invariant agrave lrsquoeacutechelle La multiplication de tous les revenus par
un facteur α ne modifie pas la valeur de lrsquoindice de Gini G Intuitivement quand tous les revenus sont redimensionneacutes par un facteur commun la distribution cumuleacutee des revenus ne change pas car une fraction donneacutee de la population continue agrave deacutetenir la mecircme fraction du revenu total Les aires sous la courbe de Lorenz demeurent donc identiques Dans le cas de la formule de covariance lrsquoapplication drsquoun facteur commun agrave tous les revenus augmente la covariance et le revenu moyen dans la mecircme mesure Lrsquoindice de Gini ne change pas Cela vaut eacutegalement pour G(v)
en revanche lrsquoindice de Gini G nrsquoest pas invariant agrave la translation Si lrsquoon
ajoutesoustrait la mecircme somme agrave tous les revenus il augmente (ou diminue) en conseacutequence Cela vaut eacutegalement pour G(v)
lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts quelle que soit la valeur de v
Si le revenu est redistribueacute drsquoindividus relativement riches agrave des individus relativement pauvres G et G(v) diminuent Lrsquoinverse est vrai si le revenu est redistribueacute de personnes relativement pauvres agrave des personnes relativement riches Dans le cas de lrsquoindice de Gini standard nous remarquons que la taille du changement deacutecoulant de la variation de lrsquoun quelconque des revenus deacutepend du rang des individus participant agrave la redistribution et de la taille de lrsquoeacutechantillon Elle ne deacutepend pas du niveau des revenus individuels redistribueacutes mais du total des revenus Plus preacuteciseacutement lrsquoindice de Gini reacuteagit davantage agrave une redistribution entre individus preacutesentant une grande diffeacuterence de rang De fait agrave quantiteacute de redistribution eacutegale lrsquoeffet est beaucoup plus faible si les deux individus sont de rang proche
Le tableau 5 illustre le principe de fonctionnement des principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini Dans la colonne de gauche figurent trois simulations de distributions de revenus La premiegravere est une distribution laquo type raquo classeacutee par niveaux de revenus Les individus de la seconde ont tous le mecircme revenu Les individus de la troisiegraveme ont tous un revenu nul sauf le dernier
Module EASYPol 040 Outils analytiques
16
Pour la distribution de revenus type A lrsquoindice de Gini est de 0267 Pour les revenus eacutequidistribueacutes B il est nul et pour la distribution la plus concentreacutee C il est de 08
( 80541
==minusn
n )
Pour une augmentation de tous les revenus de 20 pour-cent la cinquiegraveme colonne montre que lrsquoindice de Gini demeurerait inchangeacute agrave 0267 (proprieacuteteacute drsquoinvariance agrave lrsquoeacutechelle) Ce ne serait pas le cas pour une augmentation de tous les revenus du mecircme montant absolu (par exemple 2 000 uniteacutes de revenu dans le texte) Dans ce cas le tableau 5 montre que lrsquoindice de Gini serait plus bas (0160) Cet indice nrsquoest pas invariant agrave la translation Lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts Si nous redistribuons par exemple 500 uniteacutes de revenu des plus riches au plus pauvres il sera infeacuterieur (0213) dans le texte Agrave noter que les mecircmes transferts entre individus de rang proche (derniegravere colonne du tableau 5) donnent toujours lieu agrave un indice de Gini plus bas (0253) mais supeacuterieur au cas preacuteceacutedent (0213) Cela montre que lrsquoindice est plus sensible aux transferts entre individus de rangs eacuteloigneacutes
Tableau 5 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
IndividuA - Distribution des
revenus type
B - Distribution des revenus avec
revenus eacutegaux
C - Distribution des revenus avec un
seul revenu
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 20 pour-cent de tous les revenus
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 2 000 USD de tous
les revenus
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 500 USD du plus riche au plus pauvre
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 200
USD par deux individus de rang
proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000
Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000
GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253
INCHANGEacute DIMINUEacute DIMINUEacute DIMINUEacute
entre individus de rang proche
Lindice de Gini reacuteagit moins aux transferts
7 INTERSECTION DE LORENZ ET INDICE DE GINI
Nous avons vu qursquoil est possible de deacuteriver lrsquoindice de Gini drsquoune courbe de Lorenz En dautres termes indice de Gini et courbe de Lorenz sont en coheacuterence Il faut neacuteanmoins rappeler que lrsquoordre fourni par les courbes de Lorenz et en particulier par la dominance
de Lorenz est partiel car quand ces courbes ne coupent rien nous sommes agrave mecircme de dire quelle distribution des revenus preacutesente le plus drsquoineacutegaliteacute Agrave lrsquoinverse lrsquoindice de Gini fournit un ordre complet puisqursquoil reacuteduit lrsquointeacutegraliteacute de la distribution des revenus agrave un seul nombre La diffeacuterence eacuteleacutementaire entre ces deux approches devient apparente en cas drsquointersection des courbes de Lorenz Prenons par exemple les deux distributions de
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 17
revenus du tableau 6 Les revenus sont distribueacutes diffeacuteremment mais lrsquoindice de Gini est le mecircme (0200) Tableau 6 Deux distributions de revenus posseacutedant le mecircme indice de Gini
IndividusDistribution des
revenus XDistribution des
revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500
Revenu total20 000 20 000
Gini 0200 0200 Ces deux distributions sont figureacutees par les courbes de Lorenz de la figure 7 Comme elles se coupent on ne peut pas srsquoen servir pour les classer en termes drsquoineacutegaliteacute des revenus Mais la maniegravere dont elles se coupent donne des aires de mecircme valeur avant et apregraves lrsquointersection Du coup lrsquoindice de Gini est identique en deacutepit de diffeacuterences de revenus importantes Figure 7 Intersection de courbes de Lorenz
00
02
04
06
08
10
00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y
Distributions de revenus diffeacuterentesIntersection de LorenzMecircme indice de Gini
Aire de concentrationavant intersection
Aire de concentrationapregraves intersection
Module EASYPol 040 Outils analytiques
18
8 SYNTHEgraveSE DES PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LINDICE DE GINI ET DE SA VERSION GEacuteNEacuteRALISEacuteE
Le tableau 7 syntheacutetise les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee Ces proprieacuteteacutes reflegravetent la structure des axiomes9
Il est inteacuteressant de noter tout drsquoabord que la limite infeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard et de sa version geacuteneacuteraliseacutee est zeacutero alors que sa limite supeacuterieure est diffeacuterencieacutee Cette derniegravere est tregraves proche de 1 (pour les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini standard et tend vers 2v (toujours dans les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute Les deux versions de lrsquoindice de Gini respectent le principe des transferts mais il faut rappeler que lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts de revenus entre individus situeacutes agrave des positions (rang) eacuteloigneacutees dans la distribution des revenus Les deux versions sont invariantes agrave lrsquoeacutechelle et non invariantes agrave la translation et respectent le principe de population Cette structure fait de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee deux indicateurs drsquoineacutegaliteacute relative La grande utiliteacute de leurs caracteacuteristiques dans la pratique explique le fort inteacuterecirct qursquoils suscitent Tableau 7 Indice de Gini et ses proprieacuteteacutes utiles
LIMITE
INFLIMITE SUP
Principe des transferts
Invariance agrave leacutechelle
Invariance agrave la translation
Principe de population
Indice dineacutegaliteacute relative (IIR)
Inteacuterecirct
Gini 0 (n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
Gv 0 (2v )(n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
9 REMARQUES Agrave LrsquoINTENTION DES LECTEURS
91 Liens EASYPol
Les lecteurs pourront se tourner vers certains modules EASYPol pour renforcer leurs acquis de base et approfondir leurs connaissances sur lrsquoineacutegaliteacute et sa mesure Le preacutesent module fait partie drsquoun ensemble de documents expliquant les modaliteacutes de comparaison en termes drsquoineacutegaliteacute des distributions de revenus geacuteneacutereacutees par diffeacuterentes options des politiques Il appartient au parcours de formation Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des politiques
9 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses
axiomes de mesure (disponible en anglais)
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 19
Les modules EASYPol suivants preacutecegravedent logiquement le document preacutesent et pourront renforcer les connaissances des utilisateurs
Module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute courbe de Lorenz
Module EASYPol 001 Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz
EASYPol Module 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de pauvreteacute
Module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure (disponible en anglais)
Les points traiteacutes dans ce module sont approfondis dans les documents suivants
Module EASYPol 002 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz geacuteneacuteraliseacute
Module EASYPol 041 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social bien-ecirctre social fonctions de bien-ecirctre social et aversion pour lineacutegaliteacute (disponible en anglais)
Le module EASYPol 042 Impacts sur lineacutegaliteacute et la pauvreteacute de certaines
politiques agricoles cas du Paraguay est une eacutetude de cas de la mesure agrave lrsquoaide de lrsquoindice de Gini des impacts drsquoune politique agricole sur lrsquoineacutegaliteacute dans le contexte drsquoun exercice de simulation bacircti agrave partir de donneacutees reacuteelles
Module EASYPol 040 Outils analytiques
20
10 ANNEXE I ndash AUTRES MEacuteTHODES DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible
La deacuterivation de lrsquoindice de Gini par les courbes de Lorenz preacutesente une correspondance directe avec une autre meacutethode plutocirct lourde de calcul de cet indicateur
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+= minusminus
Yy
nY
yY
yYy
nnG nnn 121 32211 [A1]
Vous remarquerez la speacutecificiteacute des termes figurant entre les derniegraveres parenthegraveses ougrave chaque part de revenu de la plus eacuteleveacutee agrave la plus faible est multiplieacutee par le rang des individus dans la distribution des revenus du plus bas au plus eacuteleveacute de maniegravere agrave ce que la part la plus importante ait le rang 1 et la plus petite le rang n Cette correspondance apparaicirct encore mieux dans un exemple ougrave n=3 En rappelant la deacutefinition des q et des p on obtient
133 1
032
031
0
0300 0
3321
3
221
2
11
1
00
0
===+++
=
=++
=
=+
=
=====
pY
yyyq
pY
yyq
pY
yq
np
Yy
q
Substituer ces valeurs dans lrsquoeacutequation [2] dans le texte donne
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++minus=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++minus=
Yy
Yy
Yy
Yyy
Yyyy
Yy
Yyy
YyG 123213211211
1 35
33
311
31
31
311
[A2] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 1 Maintenant reacuteeacutecrivons lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++minus+=Yy
Yy
Yy
G 1232 32
32
311
[A3] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 2 Maintenant reacuteeacutecrivons [A2] et [A3] de maniegravere plus commode en manipulant les crochets
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus=
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
G 12121231 2
32
311
34
32
311
[A4]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +minusminus+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyyyG 121212123
2 232
3112
32
32
3112
32
311
[A5] comme lrsquoexpression entre parenthegraveses dans les deux eacutequations est eacutegale agrave 1 pour n=3 il est tregraves facile de veacuterifier que les deux expressions donnent le mecircme reacutesultat (G =G1 2) La formule [A1] souvent utiliseacutee dans les applications opeacuterationnelles est donc entiegraverement baseacutee sur la deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini
101 Indice de Gini avec formule de covariance
Dans le texte nous avons montreacute que lrsquoindice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moyen et la covariance entre les niveaux y et la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Analytiquement
( ))(2 yFyCovy
G = [A6]
Cette formule eacutequivaut aussi agrave la formule [A1] Voyons pourquoi
( )[ ] ( )[ )(1 yFyCovyFyCov ]minusminus=Sachant que comme la valeur attendue de F(y) est frac12 et la valeur attendue de [1-F(y)] frac12 eacutegalement nous pouvons reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A6]
sous la forme ( )[ ])(12 yFyCov
yG minusminus=
Lrsquoeacutequivalence entre les formules [A6] et [A1] apparaicirct agrave nouveau pour un cas simplifieacute n=3 Tout drsquoabord il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( )()()( yFEyEyyFEyFyCov minus )= ougrave E correspond agrave la valeur attendue (la moyenne) drsquoune variable donneacutee Ensuite il convient de deacutefinir chaque composante de la covariance
( ) ( ) ( )32
333
32
31
)( 3
3
31
32
33
)(123
=++
==++
= yFEYyEyyy
yyFE
nous pouvons obtenir Par conseacutequent en tenant compte du fait que 321 yyyY ++=
( ) [ ]13123123 9
192
92
92
91
92
93)( yyyyyyyyyFyCov minus=minusminusminus++=
Module EASYPol 040 Outils analytiques
22
nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minussdot
sdot=
Yy
Yy
yyY
G 1313 3
29132
Maintenant sachant que pour n=3
1321 =++
Yyyy
on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
Yy
Yy
Yy 13111223321321
32
32
32
32
32
32
32
31
ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance
102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors
034
311
36
32
31132
32
311 =minus+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus+=yy
Yy
Yy
YyG
LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera
nn
Yy
YYG 1
32
32
31100
32
311 minus
==minus+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=
comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3
G deviendrait ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
+α
α+
αα
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyG 323323 32
32
31132
32
311
GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
+minus+=
000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
112
individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
Module EASYPol 040 Outils analytiques
24
11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES
Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
24 617-628
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 25
Meacutetadonneacutees du module
1 Module EASYPol 040
2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
Franccedilais
Espagnol
Autre
3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine
Anglais The Gini Index
Franccedilais
Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module
10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
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26
11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
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12
5 EXEMPLE NUMEacuteRIQUE DU MODE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
51 Indice de Gini standard deacuteriveacute de la courbe de Lorenz
Le calcul de lrsquoindice de Gini deacuteriveacute de la courbe de Lorenz figure dans le tableau 2 ougrave nous supposons lrsquoexistence drsquoune distribution de revenus agrave cinq individus (et cinq revenus) Lrsquoeacutetape 1 neacutecessite simplement de trier cette distribution par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 en revanche nous demande de calculer la distribution cumuleacutee des revenus Le reacutesultat de ce calcul est 15 000 uniteacutes de revenu soit le revenu total de lrsquoeacuteconomie Tableau 2 Exemple numeacuterique du calcul de lrsquoindice de Gini (deacuteriveacute de la courbe de Lorenz)
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 6
Calculer le revenu cumuleacute
Calculer la proportion
cumuleacutee des revenus (qi)
Affecter un rang aux revenus
Calculer la proportion
cumuleacutee de la population (pi)
Calculer laire des polygones
(Z)
Calculer lindice de
Gini
IndividuDistribution des revenus
Revenu cumuleacuteProportion
cumuleacutee des revenus
RangsProportion
cumuleacutee de la population
Aire des polygones
Indice de Gini
1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100
0100
EacuteTAPE 1
Trier la distribution de revenus
EacuteTAPE 4
Valeur de Z laire sous la courbe de Lorenz
G = 1 - 2Z
Aire du premier triangle
Aire de chaque trapegraveze
Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2
0007=[0067 x 02]2
Lrsquoeacutetape 3 transforme la distribution de revenus cumuleacutee en proportion cumuleacutee des revenus Le reacutesultat est 1 Rappelons-nous simplement que ces valeurs sont les qi introduits dans la section 31 ci-dessus Conformeacutement au tri de la distribution des revenus de lrsquoeacutetape 1 un rang croissant (de 1 agrave n) est affecteacute agrave chaque revenu (eacutetape 4) Ces rangs sont ensuite transformeacutes en proportion cumuleacutee de la population Ce calcul donne les p traiteacutes dans la section 31i ci-dessus Lorsque nous disposons de q et de p pour tous les niveaux de revenus nous pouvons calculer lrsquoaire des polygones sous la courbe de Lorenz Il suffit de nous rappeler que le premier est un triangle et que les autres sont des trapegravezes Pour ce faire lrsquoeacutetape 5 applique les formules preacutesenteacutees dans la section 31 La somme de ces aires donne Z crsquoest-agrave-dire lrsquoaire totale sous la courbe de Lorenz
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 13
Enfin lrsquoeacutetape 6 est lrsquoapplication meacutecanique de la formule [6] fournie dans le texte Elle donne un indice de Gini de 0267
52 Indice de Gini standard avec formule de covariance
Le tableau 3 fournit un exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule [4] de covariance preacutesenteacutee dans le texte Les eacutetapes sont ici moins nombreuses Leacutetape 1 change pas et consiste agrave trier la distribution des revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 demande de calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Lrsquoeacutetape 3 neacutecessite de calculer les deux paramegravetres essentiels agrave appliquer agrave la formule de covariance la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee (dont la valeur est de 400 dans lrsquoexemple) et le niveau de revenus moyen soit 3 000 uniteacutes de revenu Tableau 3 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule de covariance
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 4
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer la covariance Cov
(y F(y))
Calculer le niveau
moyen de revenu
Calculer Gini agrave laide la
formule [4]
Individu
A - Distribution des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacuteeCovariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267
EacuteTAPE 1
Trier la distribution des revenus
EacuteTAPE 3
Lrsquoapplication de la formule [4] fournie dans le texte donne une valeur drsquoindice de Gini eacutegale agrave 0267 (bien eacutevidemment identique agrave celle du tableau 2 )
53 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Nous nous sommes servis de la formule de covariance pour expliquer qursquoil est possible de rendre lrsquoindice de Gini standard sensible agrave un degreacute donneacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Le tableau 4 fournit un exemple de traitement de cette geacuteneacuteralisation agrave lrsquoaide de la mecircme distribution de revenus que dans les tableaux 2 et 3
Module EASYPol 040 Outils analytiques
14
Tableau 4 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 4 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 7
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer 1 - F(y)
Choisir vCalculer
[1 - F(y)](v-1)
Calculer la covariance
Cov (y F(y))
Calculer le niveau de revenu
moyen
Calculer Gini agrave laide de la formule [4]
Individu
A - Distribution
des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacutee1 - F(y) v [1 - F(y)](v-1) Covariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246
EacuteTAPE 1 EacuteTAPE 6
Trier la distribution des revenus
Les eacutetapes 1 et 2 sont identiques agrave celles du tableau 3 En revanche lrsquoeacutetape 3 requiert de calculer les valeurs de un moins la fonction de distribution cumuleacutee Lrsquoeacutetape 4 introduit le paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v auquel nous avons choisi drsquoattribuer la valeur 4 Par conseacutequent chaque montant calculeacute agrave lrsquoeacutetape 3 passe agrave la puissance (v-1) crsquoest-agrave-dire 3 (eacutetape 5) Lrsquoeacutetape 6 calcule les deux paramegravetres essentiels le terme de covariance (-246 dans lrsquoexemple) et le revenu moyen (3 000) Lrsquoeacutetape 7 applique la formule [6] fournie dans le texte et donne un indice de Gini de 0246 Cette valeur est diffeacuterente de celle obtenue avec lrsquoindice de Gini standard car des pondeacuterations diffeacuterentes ont eacuteteacute attribueacutees aux mecircmes revenus
6 PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LrsquoINDICE DE GINI
Cette section deacutecrit les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini en termes des axiomes qursquoil respecte 8
Comme la plupart de ces proprieacuteteacutes sont communes aux indices de Gini standard et geacuteneacuteraliseacute nous les traiterons ensemble tout en signalant leurs diffeacuterences majeures Les principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini sont les suivantes la limite infeacuterieure de G est zeacutero quelle que soit la valeur de v Quand tous les
revenus sont eacutegaux la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee est nulle et lrsquoindice de Gini est donc zeacutero Concernant lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini standard notez que quand tous les revenus sont eacutegaux la courbe de Lorenz est eacutegale agrave la droite drsquoeacutequidistribution Par conseacutequent la somme des aires des polygones (Z) est eacutegale agrave frac12 crsquoest-agrave-dire la somme du triangle sous la courbe de Lorenz De ce fait lrsquoindice de Gini (1ndash 2Z) est eacutegal agrave zeacutero
8 Voir le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes
(disponible en anglais) pour en savoir plus sur les axiomes dans la mesure de lrsquoineacutegaliteacute de mesure
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 15
nn 1minus la limite supeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard G est Dans les tregraves grandes
populations la limite de cette valeur est 1 Quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier celui-ci est aussi eacutegal au revenu total y=Y Autrement dit il ne faut calculer qursquoune seule aire celle du dernier trapegraveze Cependant dans les tregraves grandes populations cette aire tend agrave ecirctre plus petite Dans la limite (crsquoest-agrave-dire dans un cadre continu) la valeur de lrsquoaire Z tend vers zeacutero et donc lrsquoindice de Gini tend vers
1 Dans la geacuteneacuteralisation la limite supeacuterieure de G(v) est n
nv
12 minus Souvenez-vous
que dans lrsquoindice de Gini standard v=2 lrsquoindice de Gini est invariant agrave lrsquoeacutechelle La multiplication de tous les revenus par
un facteur α ne modifie pas la valeur de lrsquoindice de Gini G Intuitivement quand tous les revenus sont redimensionneacutes par un facteur commun la distribution cumuleacutee des revenus ne change pas car une fraction donneacutee de la population continue agrave deacutetenir la mecircme fraction du revenu total Les aires sous la courbe de Lorenz demeurent donc identiques Dans le cas de la formule de covariance lrsquoapplication drsquoun facteur commun agrave tous les revenus augmente la covariance et le revenu moyen dans la mecircme mesure Lrsquoindice de Gini ne change pas Cela vaut eacutegalement pour G(v)
en revanche lrsquoindice de Gini G nrsquoest pas invariant agrave la translation Si lrsquoon
ajoutesoustrait la mecircme somme agrave tous les revenus il augmente (ou diminue) en conseacutequence Cela vaut eacutegalement pour G(v)
lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts quelle que soit la valeur de v
Si le revenu est redistribueacute drsquoindividus relativement riches agrave des individus relativement pauvres G et G(v) diminuent Lrsquoinverse est vrai si le revenu est redistribueacute de personnes relativement pauvres agrave des personnes relativement riches Dans le cas de lrsquoindice de Gini standard nous remarquons que la taille du changement deacutecoulant de la variation de lrsquoun quelconque des revenus deacutepend du rang des individus participant agrave la redistribution et de la taille de lrsquoeacutechantillon Elle ne deacutepend pas du niveau des revenus individuels redistribueacutes mais du total des revenus Plus preacuteciseacutement lrsquoindice de Gini reacuteagit davantage agrave une redistribution entre individus preacutesentant une grande diffeacuterence de rang De fait agrave quantiteacute de redistribution eacutegale lrsquoeffet est beaucoup plus faible si les deux individus sont de rang proche
Le tableau 5 illustre le principe de fonctionnement des principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini Dans la colonne de gauche figurent trois simulations de distributions de revenus La premiegravere est une distribution laquo type raquo classeacutee par niveaux de revenus Les individus de la seconde ont tous le mecircme revenu Les individus de la troisiegraveme ont tous un revenu nul sauf le dernier
Module EASYPol 040 Outils analytiques
16
Pour la distribution de revenus type A lrsquoindice de Gini est de 0267 Pour les revenus eacutequidistribueacutes B il est nul et pour la distribution la plus concentreacutee C il est de 08
( 80541
==minusn
n )
Pour une augmentation de tous les revenus de 20 pour-cent la cinquiegraveme colonne montre que lrsquoindice de Gini demeurerait inchangeacute agrave 0267 (proprieacuteteacute drsquoinvariance agrave lrsquoeacutechelle) Ce ne serait pas le cas pour une augmentation de tous les revenus du mecircme montant absolu (par exemple 2 000 uniteacutes de revenu dans le texte) Dans ce cas le tableau 5 montre que lrsquoindice de Gini serait plus bas (0160) Cet indice nrsquoest pas invariant agrave la translation Lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts Si nous redistribuons par exemple 500 uniteacutes de revenu des plus riches au plus pauvres il sera infeacuterieur (0213) dans le texte Agrave noter que les mecircmes transferts entre individus de rang proche (derniegravere colonne du tableau 5) donnent toujours lieu agrave un indice de Gini plus bas (0253) mais supeacuterieur au cas preacuteceacutedent (0213) Cela montre que lrsquoindice est plus sensible aux transferts entre individus de rangs eacuteloigneacutes
Tableau 5 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
IndividuA - Distribution des
revenus type
B - Distribution des revenus avec
revenus eacutegaux
C - Distribution des revenus avec un
seul revenu
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 20 pour-cent de tous les revenus
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 2 000 USD de tous
les revenus
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 500 USD du plus riche au plus pauvre
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 200
USD par deux individus de rang
proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000
Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000
GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253
INCHANGEacute DIMINUEacute DIMINUEacute DIMINUEacute
entre individus de rang proche
Lindice de Gini reacuteagit moins aux transferts
7 INTERSECTION DE LORENZ ET INDICE DE GINI
Nous avons vu qursquoil est possible de deacuteriver lrsquoindice de Gini drsquoune courbe de Lorenz En dautres termes indice de Gini et courbe de Lorenz sont en coheacuterence Il faut neacuteanmoins rappeler que lrsquoordre fourni par les courbes de Lorenz et en particulier par la dominance
de Lorenz est partiel car quand ces courbes ne coupent rien nous sommes agrave mecircme de dire quelle distribution des revenus preacutesente le plus drsquoineacutegaliteacute Agrave lrsquoinverse lrsquoindice de Gini fournit un ordre complet puisqursquoil reacuteduit lrsquointeacutegraliteacute de la distribution des revenus agrave un seul nombre La diffeacuterence eacuteleacutementaire entre ces deux approches devient apparente en cas drsquointersection des courbes de Lorenz Prenons par exemple les deux distributions de
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 17
revenus du tableau 6 Les revenus sont distribueacutes diffeacuteremment mais lrsquoindice de Gini est le mecircme (0200) Tableau 6 Deux distributions de revenus posseacutedant le mecircme indice de Gini
IndividusDistribution des
revenus XDistribution des
revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500
Revenu total20 000 20 000
Gini 0200 0200 Ces deux distributions sont figureacutees par les courbes de Lorenz de la figure 7 Comme elles se coupent on ne peut pas srsquoen servir pour les classer en termes drsquoineacutegaliteacute des revenus Mais la maniegravere dont elles se coupent donne des aires de mecircme valeur avant et apregraves lrsquointersection Du coup lrsquoindice de Gini est identique en deacutepit de diffeacuterences de revenus importantes Figure 7 Intersection de courbes de Lorenz
00
02
04
06
08
10
00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y
Distributions de revenus diffeacuterentesIntersection de LorenzMecircme indice de Gini
Aire de concentrationavant intersection
Aire de concentrationapregraves intersection
Module EASYPol 040 Outils analytiques
18
8 SYNTHEgraveSE DES PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LINDICE DE GINI ET DE SA VERSION GEacuteNEacuteRALISEacuteE
Le tableau 7 syntheacutetise les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee Ces proprieacuteteacutes reflegravetent la structure des axiomes9
Il est inteacuteressant de noter tout drsquoabord que la limite infeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard et de sa version geacuteneacuteraliseacutee est zeacutero alors que sa limite supeacuterieure est diffeacuterencieacutee Cette derniegravere est tregraves proche de 1 (pour les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini standard et tend vers 2v (toujours dans les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute Les deux versions de lrsquoindice de Gini respectent le principe des transferts mais il faut rappeler que lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts de revenus entre individus situeacutes agrave des positions (rang) eacuteloigneacutees dans la distribution des revenus Les deux versions sont invariantes agrave lrsquoeacutechelle et non invariantes agrave la translation et respectent le principe de population Cette structure fait de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee deux indicateurs drsquoineacutegaliteacute relative La grande utiliteacute de leurs caracteacuteristiques dans la pratique explique le fort inteacuterecirct qursquoils suscitent Tableau 7 Indice de Gini et ses proprieacuteteacutes utiles
LIMITE
INFLIMITE SUP
Principe des transferts
Invariance agrave leacutechelle
Invariance agrave la translation
Principe de population
Indice dineacutegaliteacute relative (IIR)
Inteacuterecirct
Gini 0 (n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
Gv 0 (2v )(n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
9 REMARQUES Agrave LrsquoINTENTION DES LECTEURS
91 Liens EASYPol
Les lecteurs pourront se tourner vers certains modules EASYPol pour renforcer leurs acquis de base et approfondir leurs connaissances sur lrsquoineacutegaliteacute et sa mesure Le preacutesent module fait partie drsquoun ensemble de documents expliquant les modaliteacutes de comparaison en termes drsquoineacutegaliteacute des distributions de revenus geacuteneacutereacutees par diffeacuterentes options des politiques Il appartient au parcours de formation Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des politiques
9 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses
axiomes de mesure (disponible en anglais)
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 19
Les modules EASYPol suivants preacutecegravedent logiquement le document preacutesent et pourront renforcer les connaissances des utilisateurs
Module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute courbe de Lorenz
Module EASYPol 001 Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz
EASYPol Module 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de pauvreteacute
Module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure (disponible en anglais)
Les points traiteacutes dans ce module sont approfondis dans les documents suivants
Module EASYPol 002 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz geacuteneacuteraliseacute
Module EASYPol 041 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social bien-ecirctre social fonctions de bien-ecirctre social et aversion pour lineacutegaliteacute (disponible en anglais)
Le module EASYPol 042 Impacts sur lineacutegaliteacute et la pauvreteacute de certaines
politiques agricoles cas du Paraguay est une eacutetude de cas de la mesure agrave lrsquoaide de lrsquoindice de Gini des impacts drsquoune politique agricole sur lrsquoineacutegaliteacute dans le contexte drsquoun exercice de simulation bacircti agrave partir de donneacutees reacuteelles
Module EASYPol 040 Outils analytiques
20
10 ANNEXE I ndash AUTRES MEacuteTHODES DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible
La deacuterivation de lrsquoindice de Gini par les courbes de Lorenz preacutesente une correspondance directe avec une autre meacutethode plutocirct lourde de calcul de cet indicateur
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+= minusminus
Yy
nY
yY
yYy
nnG nnn 121 32211 [A1]
Vous remarquerez la speacutecificiteacute des termes figurant entre les derniegraveres parenthegraveses ougrave chaque part de revenu de la plus eacuteleveacutee agrave la plus faible est multiplieacutee par le rang des individus dans la distribution des revenus du plus bas au plus eacuteleveacute de maniegravere agrave ce que la part la plus importante ait le rang 1 et la plus petite le rang n Cette correspondance apparaicirct encore mieux dans un exemple ougrave n=3 En rappelant la deacutefinition des q et des p on obtient
133 1
032
031
0
0300 0
3321
3
221
2
11
1
00
0
===+++
=
=++
=
=+
=
=====
pY
yyyq
pY
yyq
pY
yq
np
Yy
q
Substituer ces valeurs dans lrsquoeacutequation [2] dans le texte donne
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++minus=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++minus=
Yy
Yy
Yy
Yyy
Yyyy
Yy
Yyy
YyG 123213211211
1 35
33
311
31
31
311
[A2] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 1 Maintenant reacuteeacutecrivons lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++minus+=Yy
Yy
Yy
G 1232 32
32
311
[A3] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 2 Maintenant reacuteeacutecrivons [A2] et [A3] de maniegravere plus commode en manipulant les crochets
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus=
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
G 12121231 2
32
311
34
32
311
[A4]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +minusminus+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyyyG 121212123
2 232
3112
32
32
3112
32
311
[A5] comme lrsquoexpression entre parenthegraveses dans les deux eacutequations est eacutegale agrave 1 pour n=3 il est tregraves facile de veacuterifier que les deux expressions donnent le mecircme reacutesultat (G =G1 2) La formule [A1] souvent utiliseacutee dans les applications opeacuterationnelles est donc entiegraverement baseacutee sur la deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini
101 Indice de Gini avec formule de covariance
Dans le texte nous avons montreacute que lrsquoindice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moyen et la covariance entre les niveaux y et la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Analytiquement
( ))(2 yFyCovy
G = [A6]
Cette formule eacutequivaut aussi agrave la formule [A1] Voyons pourquoi
( )[ ] ( )[ )(1 yFyCovyFyCov ]minusminus=Sachant que comme la valeur attendue de F(y) est frac12 et la valeur attendue de [1-F(y)] frac12 eacutegalement nous pouvons reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A6]
sous la forme ( )[ ])(12 yFyCov
yG minusminus=
Lrsquoeacutequivalence entre les formules [A6] et [A1] apparaicirct agrave nouveau pour un cas simplifieacute n=3 Tout drsquoabord il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( )()()( yFEyEyyFEyFyCov minus )= ougrave E correspond agrave la valeur attendue (la moyenne) drsquoune variable donneacutee Ensuite il convient de deacutefinir chaque composante de la covariance
( ) ( ) ( )32
333
32
31
)( 3
3
31
32
33
)(123
=++
==++
= yFEYyEyyy
yyFE
nous pouvons obtenir Par conseacutequent en tenant compte du fait que 321 yyyY ++=
( ) [ ]13123123 9
192
92
92
91
92
93)( yyyyyyyyyFyCov minus=minusminusminus++=
Module EASYPol 040 Outils analytiques
22
nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minussdot
sdot=
Yy
Yy
yyY
G 1313 3
29132
Maintenant sachant que pour n=3
1321 =++
Yyyy
on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
Yy
Yy
Yy 13111223321321
32
32
32
32
32
32
32
31
ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance
102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors
034
311
36
32
31132
32
311 =minus+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus+=yy
Yy
Yy
YyG
LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera
nn
Yy
YYG 1
32
32
31100
32
311 minus
==minus+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=
comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3
G deviendrait ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
+α
α+
αα
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyG 323323 32
32
31132
32
311
GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
+minus+=
000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
112
individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
Module EASYPol 040 Outils analytiques
24
11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES
Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
24 617-628
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 25
Meacutetadonneacutees du module
1 Module EASYPol 040
2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
Franccedilais
Espagnol
Autre
3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine
Anglais The Gini Index
Franccedilais
Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module
10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
Module EASYPol 040 Outils analytiques
26
11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 13
Enfin lrsquoeacutetape 6 est lrsquoapplication meacutecanique de la formule [6] fournie dans le texte Elle donne un indice de Gini de 0267
52 Indice de Gini standard avec formule de covariance
Le tableau 3 fournit un exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule [4] de covariance preacutesenteacutee dans le texte Les eacutetapes sont ici moins nombreuses Leacutetape 1 change pas et consiste agrave trier la distribution des revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 demande de calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Lrsquoeacutetape 3 neacutecessite de calculer les deux paramegravetres essentiels agrave appliquer agrave la formule de covariance la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee (dont la valeur est de 400 dans lrsquoexemple) et le niveau de revenus moyen soit 3 000 uniteacutes de revenu Tableau 3 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule de covariance
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 4
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer la covariance Cov
(y F(y))
Calculer le niveau
moyen de revenu
Calculer Gini agrave laide la
formule [4]
Individu
A - Distribution des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacuteeCovariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267
EacuteTAPE 1
Trier la distribution des revenus
EacuteTAPE 3
Lrsquoapplication de la formule [4] fournie dans le texte donne une valeur drsquoindice de Gini eacutegale agrave 0267 (bien eacutevidemment identique agrave celle du tableau 2 )
53 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute
Nous nous sommes servis de la formule de covariance pour expliquer qursquoil est possible de rendre lrsquoindice de Gini standard sensible agrave un degreacute donneacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Le tableau 4 fournit un exemple de traitement de cette geacuteneacuteralisation agrave lrsquoaide de la mecircme distribution de revenus que dans les tableaux 2 et 3
Module EASYPol 040 Outils analytiques
14
Tableau 4 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 4 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 7
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer 1 - F(y)
Choisir vCalculer
[1 - F(y)](v-1)
Calculer la covariance
Cov (y F(y))
Calculer le niveau de revenu
moyen
Calculer Gini agrave laide de la formule [4]
Individu
A - Distribution
des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacutee1 - F(y) v [1 - F(y)](v-1) Covariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246
EacuteTAPE 1 EacuteTAPE 6
Trier la distribution des revenus
Les eacutetapes 1 et 2 sont identiques agrave celles du tableau 3 En revanche lrsquoeacutetape 3 requiert de calculer les valeurs de un moins la fonction de distribution cumuleacutee Lrsquoeacutetape 4 introduit le paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v auquel nous avons choisi drsquoattribuer la valeur 4 Par conseacutequent chaque montant calculeacute agrave lrsquoeacutetape 3 passe agrave la puissance (v-1) crsquoest-agrave-dire 3 (eacutetape 5) Lrsquoeacutetape 6 calcule les deux paramegravetres essentiels le terme de covariance (-246 dans lrsquoexemple) et le revenu moyen (3 000) Lrsquoeacutetape 7 applique la formule [6] fournie dans le texte et donne un indice de Gini de 0246 Cette valeur est diffeacuterente de celle obtenue avec lrsquoindice de Gini standard car des pondeacuterations diffeacuterentes ont eacuteteacute attribueacutees aux mecircmes revenus
6 PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LrsquoINDICE DE GINI
Cette section deacutecrit les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini en termes des axiomes qursquoil respecte 8
Comme la plupart de ces proprieacuteteacutes sont communes aux indices de Gini standard et geacuteneacuteraliseacute nous les traiterons ensemble tout en signalant leurs diffeacuterences majeures Les principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini sont les suivantes la limite infeacuterieure de G est zeacutero quelle que soit la valeur de v Quand tous les
revenus sont eacutegaux la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee est nulle et lrsquoindice de Gini est donc zeacutero Concernant lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini standard notez que quand tous les revenus sont eacutegaux la courbe de Lorenz est eacutegale agrave la droite drsquoeacutequidistribution Par conseacutequent la somme des aires des polygones (Z) est eacutegale agrave frac12 crsquoest-agrave-dire la somme du triangle sous la courbe de Lorenz De ce fait lrsquoindice de Gini (1ndash 2Z) est eacutegal agrave zeacutero
8 Voir le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes
(disponible en anglais) pour en savoir plus sur les axiomes dans la mesure de lrsquoineacutegaliteacute de mesure
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 15
nn 1minus la limite supeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard G est Dans les tregraves grandes
populations la limite de cette valeur est 1 Quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier celui-ci est aussi eacutegal au revenu total y=Y Autrement dit il ne faut calculer qursquoune seule aire celle du dernier trapegraveze Cependant dans les tregraves grandes populations cette aire tend agrave ecirctre plus petite Dans la limite (crsquoest-agrave-dire dans un cadre continu) la valeur de lrsquoaire Z tend vers zeacutero et donc lrsquoindice de Gini tend vers
1 Dans la geacuteneacuteralisation la limite supeacuterieure de G(v) est n
nv
12 minus Souvenez-vous
que dans lrsquoindice de Gini standard v=2 lrsquoindice de Gini est invariant agrave lrsquoeacutechelle La multiplication de tous les revenus par
un facteur α ne modifie pas la valeur de lrsquoindice de Gini G Intuitivement quand tous les revenus sont redimensionneacutes par un facteur commun la distribution cumuleacutee des revenus ne change pas car une fraction donneacutee de la population continue agrave deacutetenir la mecircme fraction du revenu total Les aires sous la courbe de Lorenz demeurent donc identiques Dans le cas de la formule de covariance lrsquoapplication drsquoun facteur commun agrave tous les revenus augmente la covariance et le revenu moyen dans la mecircme mesure Lrsquoindice de Gini ne change pas Cela vaut eacutegalement pour G(v)
en revanche lrsquoindice de Gini G nrsquoest pas invariant agrave la translation Si lrsquoon
ajoutesoustrait la mecircme somme agrave tous les revenus il augmente (ou diminue) en conseacutequence Cela vaut eacutegalement pour G(v)
lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts quelle que soit la valeur de v
Si le revenu est redistribueacute drsquoindividus relativement riches agrave des individus relativement pauvres G et G(v) diminuent Lrsquoinverse est vrai si le revenu est redistribueacute de personnes relativement pauvres agrave des personnes relativement riches Dans le cas de lrsquoindice de Gini standard nous remarquons que la taille du changement deacutecoulant de la variation de lrsquoun quelconque des revenus deacutepend du rang des individus participant agrave la redistribution et de la taille de lrsquoeacutechantillon Elle ne deacutepend pas du niveau des revenus individuels redistribueacutes mais du total des revenus Plus preacuteciseacutement lrsquoindice de Gini reacuteagit davantage agrave une redistribution entre individus preacutesentant une grande diffeacuterence de rang De fait agrave quantiteacute de redistribution eacutegale lrsquoeffet est beaucoup plus faible si les deux individus sont de rang proche
Le tableau 5 illustre le principe de fonctionnement des principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini Dans la colonne de gauche figurent trois simulations de distributions de revenus La premiegravere est une distribution laquo type raquo classeacutee par niveaux de revenus Les individus de la seconde ont tous le mecircme revenu Les individus de la troisiegraveme ont tous un revenu nul sauf le dernier
Module EASYPol 040 Outils analytiques
16
Pour la distribution de revenus type A lrsquoindice de Gini est de 0267 Pour les revenus eacutequidistribueacutes B il est nul et pour la distribution la plus concentreacutee C il est de 08
( 80541
==minusn
n )
Pour une augmentation de tous les revenus de 20 pour-cent la cinquiegraveme colonne montre que lrsquoindice de Gini demeurerait inchangeacute agrave 0267 (proprieacuteteacute drsquoinvariance agrave lrsquoeacutechelle) Ce ne serait pas le cas pour une augmentation de tous les revenus du mecircme montant absolu (par exemple 2 000 uniteacutes de revenu dans le texte) Dans ce cas le tableau 5 montre que lrsquoindice de Gini serait plus bas (0160) Cet indice nrsquoest pas invariant agrave la translation Lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts Si nous redistribuons par exemple 500 uniteacutes de revenu des plus riches au plus pauvres il sera infeacuterieur (0213) dans le texte Agrave noter que les mecircmes transferts entre individus de rang proche (derniegravere colonne du tableau 5) donnent toujours lieu agrave un indice de Gini plus bas (0253) mais supeacuterieur au cas preacuteceacutedent (0213) Cela montre que lrsquoindice est plus sensible aux transferts entre individus de rangs eacuteloigneacutes
Tableau 5 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
IndividuA - Distribution des
revenus type
B - Distribution des revenus avec
revenus eacutegaux
C - Distribution des revenus avec un
seul revenu
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 20 pour-cent de tous les revenus
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 2 000 USD de tous
les revenus
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 500 USD du plus riche au plus pauvre
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 200
USD par deux individus de rang
proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000
Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000
GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253
INCHANGEacute DIMINUEacute DIMINUEacute DIMINUEacute
entre individus de rang proche
Lindice de Gini reacuteagit moins aux transferts
7 INTERSECTION DE LORENZ ET INDICE DE GINI
Nous avons vu qursquoil est possible de deacuteriver lrsquoindice de Gini drsquoune courbe de Lorenz En dautres termes indice de Gini et courbe de Lorenz sont en coheacuterence Il faut neacuteanmoins rappeler que lrsquoordre fourni par les courbes de Lorenz et en particulier par la dominance
de Lorenz est partiel car quand ces courbes ne coupent rien nous sommes agrave mecircme de dire quelle distribution des revenus preacutesente le plus drsquoineacutegaliteacute Agrave lrsquoinverse lrsquoindice de Gini fournit un ordre complet puisqursquoil reacuteduit lrsquointeacutegraliteacute de la distribution des revenus agrave un seul nombre La diffeacuterence eacuteleacutementaire entre ces deux approches devient apparente en cas drsquointersection des courbes de Lorenz Prenons par exemple les deux distributions de
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 17
revenus du tableau 6 Les revenus sont distribueacutes diffeacuteremment mais lrsquoindice de Gini est le mecircme (0200) Tableau 6 Deux distributions de revenus posseacutedant le mecircme indice de Gini
IndividusDistribution des
revenus XDistribution des
revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500
Revenu total20 000 20 000
Gini 0200 0200 Ces deux distributions sont figureacutees par les courbes de Lorenz de la figure 7 Comme elles se coupent on ne peut pas srsquoen servir pour les classer en termes drsquoineacutegaliteacute des revenus Mais la maniegravere dont elles se coupent donne des aires de mecircme valeur avant et apregraves lrsquointersection Du coup lrsquoindice de Gini est identique en deacutepit de diffeacuterences de revenus importantes Figure 7 Intersection de courbes de Lorenz
00
02
04
06
08
10
00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y
Distributions de revenus diffeacuterentesIntersection de LorenzMecircme indice de Gini
Aire de concentrationavant intersection
Aire de concentrationapregraves intersection
Module EASYPol 040 Outils analytiques
18
8 SYNTHEgraveSE DES PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LINDICE DE GINI ET DE SA VERSION GEacuteNEacuteRALISEacuteE
Le tableau 7 syntheacutetise les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee Ces proprieacuteteacutes reflegravetent la structure des axiomes9
Il est inteacuteressant de noter tout drsquoabord que la limite infeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard et de sa version geacuteneacuteraliseacutee est zeacutero alors que sa limite supeacuterieure est diffeacuterencieacutee Cette derniegravere est tregraves proche de 1 (pour les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini standard et tend vers 2v (toujours dans les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute Les deux versions de lrsquoindice de Gini respectent le principe des transferts mais il faut rappeler que lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts de revenus entre individus situeacutes agrave des positions (rang) eacuteloigneacutees dans la distribution des revenus Les deux versions sont invariantes agrave lrsquoeacutechelle et non invariantes agrave la translation et respectent le principe de population Cette structure fait de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee deux indicateurs drsquoineacutegaliteacute relative La grande utiliteacute de leurs caracteacuteristiques dans la pratique explique le fort inteacuterecirct qursquoils suscitent Tableau 7 Indice de Gini et ses proprieacuteteacutes utiles
LIMITE
INFLIMITE SUP
Principe des transferts
Invariance agrave leacutechelle
Invariance agrave la translation
Principe de population
Indice dineacutegaliteacute relative (IIR)
Inteacuterecirct
Gini 0 (n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
Gv 0 (2v )(n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
9 REMARQUES Agrave LrsquoINTENTION DES LECTEURS
91 Liens EASYPol
Les lecteurs pourront se tourner vers certains modules EASYPol pour renforcer leurs acquis de base et approfondir leurs connaissances sur lrsquoineacutegaliteacute et sa mesure Le preacutesent module fait partie drsquoun ensemble de documents expliquant les modaliteacutes de comparaison en termes drsquoineacutegaliteacute des distributions de revenus geacuteneacutereacutees par diffeacuterentes options des politiques Il appartient au parcours de formation Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des politiques
9 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses
axiomes de mesure (disponible en anglais)
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 19
Les modules EASYPol suivants preacutecegravedent logiquement le document preacutesent et pourront renforcer les connaissances des utilisateurs
Module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute courbe de Lorenz
Module EASYPol 001 Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz
EASYPol Module 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de pauvreteacute
Module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure (disponible en anglais)
Les points traiteacutes dans ce module sont approfondis dans les documents suivants
Module EASYPol 002 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz geacuteneacuteraliseacute
Module EASYPol 041 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social bien-ecirctre social fonctions de bien-ecirctre social et aversion pour lineacutegaliteacute (disponible en anglais)
Le module EASYPol 042 Impacts sur lineacutegaliteacute et la pauvreteacute de certaines
politiques agricoles cas du Paraguay est une eacutetude de cas de la mesure agrave lrsquoaide de lrsquoindice de Gini des impacts drsquoune politique agricole sur lrsquoineacutegaliteacute dans le contexte drsquoun exercice de simulation bacircti agrave partir de donneacutees reacuteelles
Module EASYPol 040 Outils analytiques
20
10 ANNEXE I ndash AUTRES MEacuteTHODES DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible
La deacuterivation de lrsquoindice de Gini par les courbes de Lorenz preacutesente une correspondance directe avec une autre meacutethode plutocirct lourde de calcul de cet indicateur
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+= minusminus
Yy
nY
yY
yYy
nnG nnn 121 32211 [A1]
Vous remarquerez la speacutecificiteacute des termes figurant entre les derniegraveres parenthegraveses ougrave chaque part de revenu de la plus eacuteleveacutee agrave la plus faible est multiplieacutee par le rang des individus dans la distribution des revenus du plus bas au plus eacuteleveacute de maniegravere agrave ce que la part la plus importante ait le rang 1 et la plus petite le rang n Cette correspondance apparaicirct encore mieux dans un exemple ougrave n=3 En rappelant la deacutefinition des q et des p on obtient
133 1
032
031
0
0300 0
3321
3
221
2
11
1
00
0
===+++
=
=++
=
=+
=
=====
pY
yyyq
pY
yyq
pY
yq
np
Yy
q
Substituer ces valeurs dans lrsquoeacutequation [2] dans le texte donne
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++minus=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++minus=
Yy
Yy
Yy
Yyy
Yyyy
Yy
Yyy
YyG 123213211211
1 35
33
311
31
31
311
[A2] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 1 Maintenant reacuteeacutecrivons lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++minus+=Yy
Yy
Yy
G 1232 32
32
311
[A3] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 2 Maintenant reacuteeacutecrivons [A2] et [A3] de maniegravere plus commode en manipulant les crochets
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus=
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
G 12121231 2
32
311
34
32
311
[A4]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +minusminus+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyyyG 121212123
2 232
3112
32
32
3112
32
311
[A5] comme lrsquoexpression entre parenthegraveses dans les deux eacutequations est eacutegale agrave 1 pour n=3 il est tregraves facile de veacuterifier que les deux expressions donnent le mecircme reacutesultat (G =G1 2) La formule [A1] souvent utiliseacutee dans les applications opeacuterationnelles est donc entiegraverement baseacutee sur la deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini
101 Indice de Gini avec formule de covariance
Dans le texte nous avons montreacute que lrsquoindice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moyen et la covariance entre les niveaux y et la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Analytiquement
( ))(2 yFyCovy
G = [A6]
Cette formule eacutequivaut aussi agrave la formule [A1] Voyons pourquoi
( )[ ] ( )[ )(1 yFyCovyFyCov ]minusminus=Sachant que comme la valeur attendue de F(y) est frac12 et la valeur attendue de [1-F(y)] frac12 eacutegalement nous pouvons reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A6]
sous la forme ( )[ ])(12 yFyCov
yG minusminus=
Lrsquoeacutequivalence entre les formules [A6] et [A1] apparaicirct agrave nouveau pour un cas simplifieacute n=3 Tout drsquoabord il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( )()()( yFEyEyyFEyFyCov minus )= ougrave E correspond agrave la valeur attendue (la moyenne) drsquoune variable donneacutee Ensuite il convient de deacutefinir chaque composante de la covariance
( ) ( ) ( )32
333
32
31
)( 3
3
31
32
33
)(123
=++
==++
= yFEYyEyyy
yyFE
nous pouvons obtenir Par conseacutequent en tenant compte du fait que 321 yyyY ++=
( ) [ ]13123123 9
192
92
92
91
92
93)( yyyyyyyyyFyCov minus=minusminusminus++=
Module EASYPol 040 Outils analytiques
22
nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minussdot
sdot=
Yy
Yy
yyY
G 1313 3
29132
Maintenant sachant que pour n=3
1321 =++
Yyyy
on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
Yy
Yy
Yy 13111223321321
32
32
32
32
32
32
32
31
ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance
102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors
034
311
36
32
31132
32
311 =minus+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus+=yy
Yy
Yy
YyG
LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera
nn
Yy
YYG 1
32
32
31100
32
311 minus
==minus+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=
comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3
G deviendrait ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
+α
α+
αα
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyG 323323 32
32
31132
32
311
GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
+minus+=
000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
112
individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
Module EASYPol 040 Outils analytiques
24
11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES
Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
24 617-628
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 25
Meacutetadonneacutees du module
1 Module EASYPol 040
2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
Franccedilais
Espagnol
Autre
3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine
Anglais The Gini Index
Franccedilais
Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module
10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
Module EASYPol 040 Outils analytiques
26
11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
Module EASYPol 040 Outils analytiques
14
Tableau 4 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute
EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 4 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 7
Calculer la fonction de distribution
cumuleacutee F(y)
Calculer 1 - F(y)
Choisir vCalculer
[1 - F(y)](v-1)
Calculer la covariance
Cov (y F(y))
Calculer le niveau de revenu
moyen
Calculer Gini agrave laide de la formule [4]
Individu
A - Distribution
des revenus
type
Distribution des revenus
cumuleacutee1 - F(y) v [1 - F(y)](v-1) Covariance
Revenu moyen
Gini
1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246
EacuteTAPE 1 EacuteTAPE 6
Trier la distribution des revenus
Les eacutetapes 1 et 2 sont identiques agrave celles du tableau 3 En revanche lrsquoeacutetape 3 requiert de calculer les valeurs de un moins la fonction de distribution cumuleacutee Lrsquoeacutetape 4 introduit le paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v auquel nous avons choisi drsquoattribuer la valeur 4 Par conseacutequent chaque montant calculeacute agrave lrsquoeacutetape 3 passe agrave la puissance (v-1) crsquoest-agrave-dire 3 (eacutetape 5) Lrsquoeacutetape 6 calcule les deux paramegravetres essentiels le terme de covariance (-246 dans lrsquoexemple) et le revenu moyen (3 000) Lrsquoeacutetape 7 applique la formule [6] fournie dans le texte et donne un indice de Gini de 0246 Cette valeur est diffeacuterente de celle obtenue avec lrsquoindice de Gini standard car des pondeacuterations diffeacuterentes ont eacuteteacute attribueacutees aux mecircmes revenus
6 PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LrsquoINDICE DE GINI
Cette section deacutecrit les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini en termes des axiomes qursquoil respecte 8
Comme la plupart de ces proprieacuteteacutes sont communes aux indices de Gini standard et geacuteneacuteraliseacute nous les traiterons ensemble tout en signalant leurs diffeacuterences majeures Les principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini sont les suivantes la limite infeacuterieure de G est zeacutero quelle que soit la valeur de v Quand tous les
revenus sont eacutegaux la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee est nulle et lrsquoindice de Gini est donc zeacutero Concernant lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini standard notez que quand tous les revenus sont eacutegaux la courbe de Lorenz est eacutegale agrave la droite drsquoeacutequidistribution Par conseacutequent la somme des aires des polygones (Z) est eacutegale agrave frac12 crsquoest-agrave-dire la somme du triangle sous la courbe de Lorenz De ce fait lrsquoindice de Gini (1ndash 2Z) est eacutegal agrave zeacutero
8 Voir le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes
(disponible en anglais) pour en savoir plus sur les axiomes dans la mesure de lrsquoineacutegaliteacute de mesure
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 15
nn 1minus la limite supeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard G est Dans les tregraves grandes
populations la limite de cette valeur est 1 Quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier celui-ci est aussi eacutegal au revenu total y=Y Autrement dit il ne faut calculer qursquoune seule aire celle du dernier trapegraveze Cependant dans les tregraves grandes populations cette aire tend agrave ecirctre plus petite Dans la limite (crsquoest-agrave-dire dans un cadre continu) la valeur de lrsquoaire Z tend vers zeacutero et donc lrsquoindice de Gini tend vers
1 Dans la geacuteneacuteralisation la limite supeacuterieure de G(v) est n
nv
12 minus Souvenez-vous
que dans lrsquoindice de Gini standard v=2 lrsquoindice de Gini est invariant agrave lrsquoeacutechelle La multiplication de tous les revenus par
un facteur α ne modifie pas la valeur de lrsquoindice de Gini G Intuitivement quand tous les revenus sont redimensionneacutes par un facteur commun la distribution cumuleacutee des revenus ne change pas car une fraction donneacutee de la population continue agrave deacutetenir la mecircme fraction du revenu total Les aires sous la courbe de Lorenz demeurent donc identiques Dans le cas de la formule de covariance lrsquoapplication drsquoun facteur commun agrave tous les revenus augmente la covariance et le revenu moyen dans la mecircme mesure Lrsquoindice de Gini ne change pas Cela vaut eacutegalement pour G(v)
en revanche lrsquoindice de Gini G nrsquoest pas invariant agrave la translation Si lrsquoon
ajoutesoustrait la mecircme somme agrave tous les revenus il augmente (ou diminue) en conseacutequence Cela vaut eacutegalement pour G(v)
lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts quelle que soit la valeur de v
Si le revenu est redistribueacute drsquoindividus relativement riches agrave des individus relativement pauvres G et G(v) diminuent Lrsquoinverse est vrai si le revenu est redistribueacute de personnes relativement pauvres agrave des personnes relativement riches Dans le cas de lrsquoindice de Gini standard nous remarquons que la taille du changement deacutecoulant de la variation de lrsquoun quelconque des revenus deacutepend du rang des individus participant agrave la redistribution et de la taille de lrsquoeacutechantillon Elle ne deacutepend pas du niveau des revenus individuels redistribueacutes mais du total des revenus Plus preacuteciseacutement lrsquoindice de Gini reacuteagit davantage agrave une redistribution entre individus preacutesentant une grande diffeacuterence de rang De fait agrave quantiteacute de redistribution eacutegale lrsquoeffet est beaucoup plus faible si les deux individus sont de rang proche
Le tableau 5 illustre le principe de fonctionnement des principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini Dans la colonne de gauche figurent trois simulations de distributions de revenus La premiegravere est une distribution laquo type raquo classeacutee par niveaux de revenus Les individus de la seconde ont tous le mecircme revenu Les individus de la troisiegraveme ont tous un revenu nul sauf le dernier
Module EASYPol 040 Outils analytiques
16
Pour la distribution de revenus type A lrsquoindice de Gini est de 0267 Pour les revenus eacutequidistribueacutes B il est nul et pour la distribution la plus concentreacutee C il est de 08
( 80541
==minusn
n )
Pour une augmentation de tous les revenus de 20 pour-cent la cinquiegraveme colonne montre que lrsquoindice de Gini demeurerait inchangeacute agrave 0267 (proprieacuteteacute drsquoinvariance agrave lrsquoeacutechelle) Ce ne serait pas le cas pour une augmentation de tous les revenus du mecircme montant absolu (par exemple 2 000 uniteacutes de revenu dans le texte) Dans ce cas le tableau 5 montre que lrsquoindice de Gini serait plus bas (0160) Cet indice nrsquoest pas invariant agrave la translation Lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts Si nous redistribuons par exemple 500 uniteacutes de revenu des plus riches au plus pauvres il sera infeacuterieur (0213) dans le texte Agrave noter que les mecircmes transferts entre individus de rang proche (derniegravere colonne du tableau 5) donnent toujours lieu agrave un indice de Gini plus bas (0253) mais supeacuterieur au cas preacuteceacutedent (0213) Cela montre que lrsquoindice est plus sensible aux transferts entre individus de rangs eacuteloigneacutes
Tableau 5 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
IndividuA - Distribution des
revenus type
B - Distribution des revenus avec
revenus eacutegaux
C - Distribution des revenus avec un
seul revenu
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 20 pour-cent de tous les revenus
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 2 000 USD de tous
les revenus
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 500 USD du plus riche au plus pauvre
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 200
USD par deux individus de rang
proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000
Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000
GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253
INCHANGEacute DIMINUEacute DIMINUEacute DIMINUEacute
entre individus de rang proche
Lindice de Gini reacuteagit moins aux transferts
7 INTERSECTION DE LORENZ ET INDICE DE GINI
Nous avons vu qursquoil est possible de deacuteriver lrsquoindice de Gini drsquoune courbe de Lorenz En dautres termes indice de Gini et courbe de Lorenz sont en coheacuterence Il faut neacuteanmoins rappeler que lrsquoordre fourni par les courbes de Lorenz et en particulier par la dominance
de Lorenz est partiel car quand ces courbes ne coupent rien nous sommes agrave mecircme de dire quelle distribution des revenus preacutesente le plus drsquoineacutegaliteacute Agrave lrsquoinverse lrsquoindice de Gini fournit un ordre complet puisqursquoil reacuteduit lrsquointeacutegraliteacute de la distribution des revenus agrave un seul nombre La diffeacuterence eacuteleacutementaire entre ces deux approches devient apparente en cas drsquointersection des courbes de Lorenz Prenons par exemple les deux distributions de
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 17
revenus du tableau 6 Les revenus sont distribueacutes diffeacuteremment mais lrsquoindice de Gini est le mecircme (0200) Tableau 6 Deux distributions de revenus posseacutedant le mecircme indice de Gini
IndividusDistribution des
revenus XDistribution des
revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500
Revenu total20 000 20 000
Gini 0200 0200 Ces deux distributions sont figureacutees par les courbes de Lorenz de la figure 7 Comme elles se coupent on ne peut pas srsquoen servir pour les classer en termes drsquoineacutegaliteacute des revenus Mais la maniegravere dont elles se coupent donne des aires de mecircme valeur avant et apregraves lrsquointersection Du coup lrsquoindice de Gini est identique en deacutepit de diffeacuterences de revenus importantes Figure 7 Intersection de courbes de Lorenz
00
02
04
06
08
10
00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y
Distributions de revenus diffeacuterentesIntersection de LorenzMecircme indice de Gini
Aire de concentrationavant intersection
Aire de concentrationapregraves intersection
Module EASYPol 040 Outils analytiques
18
8 SYNTHEgraveSE DES PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LINDICE DE GINI ET DE SA VERSION GEacuteNEacuteRALISEacuteE
Le tableau 7 syntheacutetise les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee Ces proprieacuteteacutes reflegravetent la structure des axiomes9
Il est inteacuteressant de noter tout drsquoabord que la limite infeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard et de sa version geacuteneacuteraliseacutee est zeacutero alors que sa limite supeacuterieure est diffeacuterencieacutee Cette derniegravere est tregraves proche de 1 (pour les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini standard et tend vers 2v (toujours dans les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute Les deux versions de lrsquoindice de Gini respectent le principe des transferts mais il faut rappeler que lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts de revenus entre individus situeacutes agrave des positions (rang) eacuteloigneacutees dans la distribution des revenus Les deux versions sont invariantes agrave lrsquoeacutechelle et non invariantes agrave la translation et respectent le principe de population Cette structure fait de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee deux indicateurs drsquoineacutegaliteacute relative La grande utiliteacute de leurs caracteacuteristiques dans la pratique explique le fort inteacuterecirct qursquoils suscitent Tableau 7 Indice de Gini et ses proprieacuteteacutes utiles
LIMITE
INFLIMITE SUP
Principe des transferts
Invariance agrave leacutechelle
Invariance agrave la translation
Principe de population
Indice dineacutegaliteacute relative (IIR)
Inteacuterecirct
Gini 0 (n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
Gv 0 (2v )(n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
9 REMARQUES Agrave LrsquoINTENTION DES LECTEURS
91 Liens EASYPol
Les lecteurs pourront se tourner vers certains modules EASYPol pour renforcer leurs acquis de base et approfondir leurs connaissances sur lrsquoineacutegaliteacute et sa mesure Le preacutesent module fait partie drsquoun ensemble de documents expliquant les modaliteacutes de comparaison en termes drsquoineacutegaliteacute des distributions de revenus geacuteneacutereacutees par diffeacuterentes options des politiques Il appartient au parcours de formation Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des politiques
9 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses
axiomes de mesure (disponible en anglais)
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 19
Les modules EASYPol suivants preacutecegravedent logiquement le document preacutesent et pourront renforcer les connaissances des utilisateurs
Module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute courbe de Lorenz
Module EASYPol 001 Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz
EASYPol Module 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de pauvreteacute
Module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure (disponible en anglais)
Les points traiteacutes dans ce module sont approfondis dans les documents suivants
Module EASYPol 002 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz geacuteneacuteraliseacute
Module EASYPol 041 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social bien-ecirctre social fonctions de bien-ecirctre social et aversion pour lineacutegaliteacute (disponible en anglais)
Le module EASYPol 042 Impacts sur lineacutegaliteacute et la pauvreteacute de certaines
politiques agricoles cas du Paraguay est une eacutetude de cas de la mesure agrave lrsquoaide de lrsquoindice de Gini des impacts drsquoune politique agricole sur lrsquoineacutegaliteacute dans le contexte drsquoun exercice de simulation bacircti agrave partir de donneacutees reacuteelles
Module EASYPol 040 Outils analytiques
20
10 ANNEXE I ndash AUTRES MEacuteTHODES DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible
La deacuterivation de lrsquoindice de Gini par les courbes de Lorenz preacutesente une correspondance directe avec une autre meacutethode plutocirct lourde de calcul de cet indicateur
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+= minusminus
Yy
nY
yY
yYy
nnG nnn 121 32211 [A1]
Vous remarquerez la speacutecificiteacute des termes figurant entre les derniegraveres parenthegraveses ougrave chaque part de revenu de la plus eacuteleveacutee agrave la plus faible est multiplieacutee par le rang des individus dans la distribution des revenus du plus bas au plus eacuteleveacute de maniegravere agrave ce que la part la plus importante ait le rang 1 et la plus petite le rang n Cette correspondance apparaicirct encore mieux dans un exemple ougrave n=3 En rappelant la deacutefinition des q et des p on obtient
133 1
032
031
0
0300 0
3321
3
221
2
11
1
00
0
===+++
=
=++
=
=+
=
=====
pY
yyyq
pY
yyq
pY
yq
np
Yy
q
Substituer ces valeurs dans lrsquoeacutequation [2] dans le texte donne
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++minus=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++minus=
Yy
Yy
Yy
Yyy
Yyyy
Yy
Yyy
YyG 123213211211
1 35
33
311
31
31
311
[A2] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 1 Maintenant reacuteeacutecrivons lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++minus+=Yy
Yy
Yy
G 1232 32
32
311
[A3] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 2 Maintenant reacuteeacutecrivons [A2] et [A3] de maniegravere plus commode en manipulant les crochets
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus=
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
G 12121231 2
32
311
34
32
311
[A4]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +minusminus+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyyyG 121212123
2 232
3112
32
32
3112
32
311
[A5] comme lrsquoexpression entre parenthegraveses dans les deux eacutequations est eacutegale agrave 1 pour n=3 il est tregraves facile de veacuterifier que les deux expressions donnent le mecircme reacutesultat (G =G1 2) La formule [A1] souvent utiliseacutee dans les applications opeacuterationnelles est donc entiegraverement baseacutee sur la deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini
101 Indice de Gini avec formule de covariance
Dans le texte nous avons montreacute que lrsquoindice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moyen et la covariance entre les niveaux y et la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Analytiquement
( ))(2 yFyCovy
G = [A6]
Cette formule eacutequivaut aussi agrave la formule [A1] Voyons pourquoi
( )[ ] ( )[ )(1 yFyCovyFyCov ]minusminus=Sachant que comme la valeur attendue de F(y) est frac12 et la valeur attendue de [1-F(y)] frac12 eacutegalement nous pouvons reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A6]
sous la forme ( )[ ])(12 yFyCov
yG minusminus=
Lrsquoeacutequivalence entre les formules [A6] et [A1] apparaicirct agrave nouveau pour un cas simplifieacute n=3 Tout drsquoabord il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( )()()( yFEyEyyFEyFyCov minus )= ougrave E correspond agrave la valeur attendue (la moyenne) drsquoune variable donneacutee Ensuite il convient de deacutefinir chaque composante de la covariance
( ) ( ) ( )32
333
32
31
)( 3
3
31
32
33
)(123
=++
==++
= yFEYyEyyy
yyFE
nous pouvons obtenir Par conseacutequent en tenant compte du fait que 321 yyyY ++=
( ) [ ]13123123 9
192
92
92
91
92
93)( yyyyyyyyyFyCov minus=minusminusminus++=
Module EASYPol 040 Outils analytiques
22
nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minussdot
sdot=
Yy
Yy
yyY
G 1313 3
29132
Maintenant sachant que pour n=3
1321 =++
Yyyy
on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
Yy
Yy
Yy 13111223321321
32
32
32
32
32
32
32
31
ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance
102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors
034
311
36
32
31132
32
311 =minus+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus+=yy
Yy
Yy
YyG
LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera
nn
Yy
YYG 1
32
32
31100
32
311 minus
==minus+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=
comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3
G deviendrait ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
+α
α+
αα
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyG 323323 32
32
31132
32
311
GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
+minus+=
000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
112
individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
Module EASYPol 040 Outils analytiques
24
11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES
Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
24 617-628
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 25
Meacutetadonneacutees du module
1 Module EASYPol 040
2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
Franccedilais
Espagnol
Autre
3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine
Anglais The Gini Index
Franccedilais
Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module
10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
Module EASYPol 040 Outils analytiques
26
11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 15
nn 1minus la limite supeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard G est Dans les tregraves grandes
populations la limite de cette valeur est 1 Quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier celui-ci est aussi eacutegal au revenu total y=Y Autrement dit il ne faut calculer qursquoune seule aire celle du dernier trapegraveze Cependant dans les tregraves grandes populations cette aire tend agrave ecirctre plus petite Dans la limite (crsquoest-agrave-dire dans un cadre continu) la valeur de lrsquoaire Z tend vers zeacutero et donc lrsquoindice de Gini tend vers
1 Dans la geacuteneacuteralisation la limite supeacuterieure de G(v) est n
nv
12 minus Souvenez-vous
que dans lrsquoindice de Gini standard v=2 lrsquoindice de Gini est invariant agrave lrsquoeacutechelle La multiplication de tous les revenus par
un facteur α ne modifie pas la valeur de lrsquoindice de Gini G Intuitivement quand tous les revenus sont redimensionneacutes par un facteur commun la distribution cumuleacutee des revenus ne change pas car une fraction donneacutee de la population continue agrave deacutetenir la mecircme fraction du revenu total Les aires sous la courbe de Lorenz demeurent donc identiques Dans le cas de la formule de covariance lrsquoapplication drsquoun facteur commun agrave tous les revenus augmente la covariance et le revenu moyen dans la mecircme mesure Lrsquoindice de Gini ne change pas Cela vaut eacutegalement pour G(v)
en revanche lrsquoindice de Gini G nrsquoest pas invariant agrave la translation Si lrsquoon
ajoutesoustrait la mecircme somme agrave tous les revenus il augmente (ou diminue) en conseacutequence Cela vaut eacutegalement pour G(v)
lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts quelle que soit la valeur de v
Si le revenu est redistribueacute drsquoindividus relativement riches agrave des individus relativement pauvres G et G(v) diminuent Lrsquoinverse est vrai si le revenu est redistribueacute de personnes relativement pauvres agrave des personnes relativement riches Dans le cas de lrsquoindice de Gini standard nous remarquons que la taille du changement deacutecoulant de la variation de lrsquoun quelconque des revenus deacutepend du rang des individus participant agrave la redistribution et de la taille de lrsquoeacutechantillon Elle ne deacutepend pas du niveau des revenus individuels redistribueacutes mais du total des revenus Plus preacuteciseacutement lrsquoindice de Gini reacuteagit davantage agrave une redistribution entre individus preacutesentant une grande diffeacuterence de rang De fait agrave quantiteacute de redistribution eacutegale lrsquoeffet est beaucoup plus faible si les deux individus sont de rang proche
Le tableau 5 illustre le principe de fonctionnement des principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini Dans la colonne de gauche figurent trois simulations de distributions de revenus La premiegravere est une distribution laquo type raquo classeacutee par niveaux de revenus Les individus de la seconde ont tous le mecircme revenu Les individus de la troisiegraveme ont tous un revenu nul sauf le dernier
Module EASYPol 040 Outils analytiques
16
Pour la distribution de revenus type A lrsquoindice de Gini est de 0267 Pour les revenus eacutequidistribueacutes B il est nul et pour la distribution la plus concentreacutee C il est de 08
( 80541
==minusn
n )
Pour une augmentation de tous les revenus de 20 pour-cent la cinquiegraveme colonne montre que lrsquoindice de Gini demeurerait inchangeacute agrave 0267 (proprieacuteteacute drsquoinvariance agrave lrsquoeacutechelle) Ce ne serait pas le cas pour une augmentation de tous les revenus du mecircme montant absolu (par exemple 2 000 uniteacutes de revenu dans le texte) Dans ce cas le tableau 5 montre que lrsquoindice de Gini serait plus bas (0160) Cet indice nrsquoest pas invariant agrave la translation Lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts Si nous redistribuons par exemple 500 uniteacutes de revenu des plus riches au plus pauvres il sera infeacuterieur (0213) dans le texte Agrave noter que les mecircmes transferts entre individus de rang proche (derniegravere colonne du tableau 5) donnent toujours lieu agrave un indice de Gini plus bas (0253) mais supeacuterieur au cas preacuteceacutedent (0213) Cela montre que lrsquoindice est plus sensible aux transferts entre individus de rangs eacuteloigneacutes
Tableau 5 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
IndividuA - Distribution des
revenus type
B - Distribution des revenus avec
revenus eacutegaux
C - Distribution des revenus avec un
seul revenu
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 20 pour-cent de tous les revenus
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 2 000 USD de tous
les revenus
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 500 USD du plus riche au plus pauvre
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 200
USD par deux individus de rang
proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000
Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000
GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253
INCHANGEacute DIMINUEacute DIMINUEacute DIMINUEacute
entre individus de rang proche
Lindice de Gini reacuteagit moins aux transferts
7 INTERSECTION DE LORENZ ET INDICE DE GINI
Nous avons vu qursquoil est possible de deacuteriver lrsquoindice de Gini drsquoune courbe de Lorenz En dautres termes indice de Gini et courbe de Lorenz sont en coheacuterence Il faut neacuteanmoins rappeler que lrsquoordre fourni par les courbes de Lorenz et en particulier par la dominance
de Lorenz est partiel car quand ces courbes ne coupent rien nous sommes agrave mecircme de dire quelle distribution des revenus preacutesente le plus drsquoineacutegaliteacute Agrave lrsquoinverse lrsquoindice de Gini fournit un ordre complet puisqursquoil reacuteduit lrsquointeacutegraliteacute de la distribution des revenus agrave un seul nombre La diffeacuterence eacuteleacutementaire entre ces deux approches devient apparente en cas drsquointersection des courbes de Lorenz Prenons par exemple les deux distributions de
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 17
revenus du tableau 6 Les revenus sont distribueacutes diffeacuteremment mais lrsquoindice de Gini est le mecircme (0200) Tableau 6 Deux distributions de revenus posseacutedant le mecircme indice de Gini
IndividusDistribution des
revenus XDistribution des
revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500
Revenu total20 000 20 000
Gini 0200 0200 Ces deux distributions sont figureacutees par les courbes de Lorenz de la figure 7 Comme elles se coupent on ne peut pas srsquoen servir pour les classer en termes drsquoineacutegaliteacute des revenus Mais la maniegravere dont elles se coupent donne des aires de mecircme valeur avant et apregraves lrsquointersection Du coup lrsquoindice de Gini est identique en deacutepit de diffeacuterences de revenus importantes Figure 7 Intersection de courbes de Lorenz
00
02
04
06
08
10
00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y
Distributions de revenus diffeacuterentesIntersection de LorenzMecircme indice de Gini
Aire de concentrationavant intersection
Aire de concentrationapregraves intersection
Module EASYPol 040 Outils analytiques
18
8 SYNTHEgraveSE DES PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LINDICE DE GINI ET DE SA VERSION GEacuteNEacuteRALISEacuteE
Le tableau 7 syntheacutetise les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee Ces proprieacuteteacutes reflegravetent la structure des axiomes9
Il est inteacuteressant de noter tout drsquoabord que la limite infeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard et de sa version geacuteneacuteraliseacutee est zeacutero alors que sa limite supeacuterieure est diffeacuterencieacutee Cette derniegravere est tregraves proche de 1 (pour les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini standard et tend vers 2v (toujours dans les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute Les deux versions de lrsquoindice de Gini respectent le principe des transferts mais il faut rappeler que lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts de revenus entre individus situeacutes agrave des positions (rang) eacuteloigneacutees dans la distribution des revenus Les deux versions sont invariantes agrave lrsquoeacutechelle et non invariantes agrave la translation et respectent le principe de population Cette structure fait de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee deux indicateurs drsquoineacutegaliteacute relative La grande utiliteacute de leurs caracteacuteristiques dans la pratique explique le fort inteacuterecirct qursquoils suscitent Tableau 7 Indice de Gini et ses proprieacuteteacutes utiles
LIMITE
INFLIMITE SUP
Principe des transferts
Invariance agrave leacutechelle
Invariance agrave la translation
Principe de population
Indice dineacutegaliteacute relative (IIR)
Inteacuterecirct
Gini 0 (n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
Gv 0 (2v )(n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
9 REMARQUES Agrave LrsquoINTENTION DES LECTEURS
91 Liens EASYPol
Les lecteurs pourront se tourner vers certains modules EASYPol pour renforcer leurs acquis de base et approfondir leurs connaissances sur lrsquoineacutegaliteacute et sa mesure Le preacutesent module fait partie drsquoun ensemble de documents expliquant les modaliteacutes de comparaison en termes drsquoineacutegaliteacute des distributions de revenus geacuteneacutereacutees par diffeacuterentes options des politiques Il appartient au parcours de formation Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des politiques
9 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses
axiomes de mesure (disponible en anglais)
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 19
Les modules EASYPol suivants preacutecegravedent logiquement le document preacutesent et pourront renforcer les connaissances des utilisateurs
Module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute courbe de Lorenz
Module EASYPol 001 Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz
EASYPol Module 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de pauvreteacute
Module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure (disponible en anglais)
Les points traiteacutes dans ce module sont approfondis dans les documents suivants
Module EASYPol 002 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz geacuteneacuteraliseacute
Module EASYPol 041 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social bien-ecirctre social fonctions de bien-ecirctre social et aversion pour lineacutegaliteacute (disponible en anglais)
Le module EASYPol 042 Impacts sur lineacutegaliteacute et la pauvreteacute de certaines
politiques agricoles cas du Paraguay est une eacutetude de cas de la mesure agrave lrsquoaide de lrsquoindice de Gini des impacts drsquoune politique agricole sur lrsquoineacutegaliteacute dans le contexte drsquoun exercice de simulation bacircti agrave partir de donneacutees reacuteelles
Module EASYPol 040 Outils analytiques
20
10 ANNEXE I ndash AUTRES MEacuteTHODES DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible
La deacuterivation de lrsquoindice de Gini par les courbes de Lorenz preacutesente une correspondance directe avec une autre meacutethode plutocirct lourde de calcul de cet indicateur
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+= minusminus
Yy
nY
yY
yYy
nnG nnn 121 32211 [A1]
Vous remarquerez la speacutecificiteacute des termes figurant entre les derniegraveres parenthegraveses ougrave chaque part de revenu de la plus eacuteleveacutee agrave la plus faible est multiplieacutee par le rang des individus dans la distribution des revenus du plus bas au plus eacuteleveacute de maniegravere agrave ce que la part la plus importante ait le rang 1 et la plus petite le rang n Cette correspondance apparaicirct encore mieux dans un exemple ougrave n=3 En rappelant la deacutefinition des q et des p on obtient
133 1
032
031
0
0300 0
3321
3
221
2
11
1
00
0
===+++
=
=++
=
=+
=
=====
pY
yyyq
pY
yyq
pY
yq
np
Yy
q
Substituer ces valeurs dans lrsquoeacutequation [2] dans le texte donne
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++minus=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++minus=
Yy
Yy
Yy
Yyy
Yyyy
Yy
Yyy
YyG 123213211211
1 35
33
311
31
31
311
[A2] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 1 Maintenant reacuteeacutecrivons lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++minus+=Yy
Yy
Yy
G 1232 32
32
311
[A3] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 2 Maintenant reacuteeacutecrivons [A2] et [A3] de maniegravere plus commode en manipulant les crochets
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus=
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
G 12121231 2
32
311
34
32
311
[A4]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +minusminus+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyyyG 121212123
2 232
3112
32
32
3112
32
311
[A5] comme lrsquoexpression entre parenthegraveses dans les deux eacutequations est eacutegale agrave 1 pour n=3 il est tregraves facile de veacuterifier que les deux expressions donnent le mecircme reacutesultat (G =G1 2) La formule [A1] souvent utiliseacutee dans les applications opeacuterationnelles est donc entiegraverement baseacutee sur la deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini
101 Indice de Gini avec formule de covariance
Dans le texte nous avons montreacute que lrsquoindice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moyen et la covariance entre les niveaux y et la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Analytiquement
( ))(2 yFyCovy
G = [A6]
Cette formule eacutequivaut aussi agrave la formule [A1] Voyons pourquoi
( )[ ] ( )[ )(1 yFyCovyFyCov ]minusminus=Sachant que comme la valeur attendue de F(y) est frac12 et la valeur attendue de [1-F(y)] frac12 eacutegalement nous pouvons reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A6]
sous la forme ( )[ ])(12 yFyCov
yG minusminus=
Lrsquoeacutequivalence entre les formules [A6] et [A1] apparaicirct agrave nouveau pour un cas simplifieacute n=3 Tout drsquoabord il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( )()()( yFEyEyyFEyFyCov minus )= ougrave E correspond agrave la valeur attendue (la moyenne) drsquoune variable donneacutee Ensuite il convient de deacutefinir chaque composante de la covariance
( ) ( ) ( )32
333
32
31
)( 3
3
31
32
33
)(123
=++
==++
= yFEYyEyyy
yyFE
nous pouvons obtenir Par conseacutequent en tenant compte du fait que 321 yyyY ++=
( ) [ ]13123123 9
192
92
92
91
92
93)( yyyyyyyyyFyCov minus=minusminusminus++=
Module EASYPol 040 Outils analytiques
22
nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minussdot
sdot=
Yy
Yy
yyY
G 1313 3
29132
Maintenant sachant que pour n=3
1321 =++
Yyyy
on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
Yy
Yy
Yy 13111223321321
32
32
32
32
32
32
32
31
ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance
102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors
034
311
36
32
31132
32
311 =minus+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus+=yy
Yy
Yy
YyG
LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera
nn
Yy
YYG 1
32
32
31100
32
311 minus
==minus+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=
comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3
G deviendrait ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
+α
α+
αα
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyG 323323 32
32
31132
32
311
GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
+minus+=
000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
112
individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
Module EASYPol 040 Outils analytiques
24
11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES
Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
24 617-628
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 25
Meacutetadonneacutees du module
1 Module EASYPol 040
2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
Franccedilais
Espagnol
Autre
3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine
Anglais The Gini Index
Franccedilais
Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module
10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
Module EASYPol 040 Outils analytiques
26
11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
Module EASYPol 040 Outils analytiques
16
Pour la distribution de revenus type A lrsquoindice de Gini est de 0267 Pour les revenus eacutequidistribueacutes B il est nul et pour la distribution la plus concentreacutee C il est de 08
( 80541
==minusn
n )
Pour une augmentation de tous les revenus de 20 pour-cent la cinquiegraveme colonne montre que lrsquoindice de Gini demeurerait inchangeacute agrave 0267 (proprieacuteteacute drsquoinvariance agrave lrsquoeacutechelle) Ce ne serait pas le cas pour une augmentation de tous les revenus du mecircme montant absolu (par exemple 2 000 uniteacutes de revenu dans le texte) Dans ce cas le tableau 5 montre que lrsquoindice de Gini serait plus bas (0160) Cet indice nrsquoest pas invariant agrave la translation Lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts Si nous redistribuons par exemple 500 uniteacutes de revenu des plus riches au plus pauvres il sera infeacuterieur (0213) dans le texte Agrave noter que les mecircmes transferts entre individus de rang proche (derniegravere colonne du tableau 5) donnent toujours lieu agrave un indice de Gini plus bas (0253) mais supeacuterieur au cas preacuteceacutedent (0213) Cela montre que lrsquoindice est plus sensible aux transferts entre individus de rangs eacuteloigneacutes
Tableau 5 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
IndividuA - Distribution des
revenus type
B - Distribution des revenus avec
revenus eacutegaux
C - Distribution des revenus avec un
seul revenu
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 20 pour-cent de tous les revenus
Distribution des revenus dorigine
avec augmentation de 2 000 USD de tous
les revenus
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 500 USD du plus riche au plus pauvre
Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 200
USD par deux individus de rang
proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000
Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000
GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253
INCHANGEacute DIMINUEacute DIMINUEacute DIMINUEacute
entre individus de rang proche
Lindice de Gini reacuteagit moins aux transferts
7 INTERSECTION DE LORENZ ET INDICE DE GINI
Nous avons vu qursquoil est possible de deacuteriver lrsquoindice de Gini drsquoune courbe de Lorenz En dautres termes indice de Gini et courbe de Lorenz sont en coheacuterence Il faut neacuteanmoins rappeler que lrsquoordre fourni par les courbes de Lorenz et en particulier par la dominance
de Lorenz est partiel car quand ces courbes ne coupent rien nous sommes agrave mecircme de dire quelle distribution des revenus preacutesente le plus drsquoineacutegaliteacute Agrave lrsquoinverse lrsquoindice de Gini fournit un ordre complet puisqursquoil reacuteduit lrsquointeacutegraliteacute de la distribution des revenus agrave un seul nombre La diffeacuterence eacuteleacutementaire entre ces deux approches devient apparente en cas drsquointersection des courbes de Lorenz Prenons par exemple les deux distributions de
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 17
revenus du tableau 6 Les revenus sont distribueacutes diffeacuteremment mais lrsquoindice de Gini est le mecircme (0200) Tableau 6 Deux distributions de revenus posseacutedant le mecircme indice de Gini
IndividusDistribution des
revenus XDistribution des
revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500
Revenu total20 000 20 000
Gini 0200 0200 Ces deux distributions sont figureacutees par les courbes de Lorenz de la figure 7 Comme elles se coupent on ne peut pas srsquoen servir pour les classer en termes drsquoineacutegaliteacute des revenus Mais la maniegravere dont elles se coupent donne des aires de mecircme valeur avant et apregraves lrsquointersection Du coup lrsquoindice de Gini est identique en deacutepit de diffeacuterences de revenus importantes Figure 7 Intersection de courbes de Lorenz
00
02
04
06
08
10
00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y
Distributions de revenus diffeacuterentesIntersection de LorenzMecircme indice de Gini
Aire de concentrationavant intersection
Aire de concentrationapregraves intersection
Module EASYPol 040 Outils analytiques
18
8 SYNTHEgraveSE DES PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LINDICE DE GINI ET DE SA VERSION GEacuteNEacuteRALISEacuteE
Le tableau 7 syntheacutetise les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee Ces proprieacuteteacutes reflegravetent la structure des axiomes9
Il est inteacuteressant de noter tout drsquoabord que la limite infeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard et de sa version geacuteneacuteraliseacutee est zeacutero alors que sa limite supeacuterieure est diffeacuterencieacutee Cette derniegravere est tregraves proche de 1 (pour les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini standard et tend vers 2v (toujours dans les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute Les deux versions de lrsquoindice de Gini respectent le principe des transferts mais il faut rappeler que lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts de revenus entre individus situeacutes agrave des positions (rang) eacuteloigneacutees dans la distribution des revenus Les deux versions sont invariantes agrave lrsquoeacutechelle et non invariantes agrave la translation et respectent le principe de population Cette structure fait de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee deux indicateurs drsquoineacutegaliteacute relative La grande utiliteacute de leurs caracteacuteristiques dans la pratique explique le fort inteacuterecirct qursquoils suscitent Tableau 7 Indice de Gini et ses proprieacuteteacutes utiles
LIMITE
INFLIMITE SUP
Principe des transferts
Invariance agrave leacutechelle
Invariance agrave la translation
Principe de population
Indice dineacutegaliteacute relative (IIR)
Inteacuterecirct
Gini 0 (n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
Gv 0 (2v )(n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
9 REMARQUES Agrave LrsquoINTENTION DES LECTEURS
91 Liens EASYPol
Les lecteurs pourront se tourner vers certains modules EASYPol pour renforcer leurs acquis de base et approfondir leurs connaissances sur lrsquoineacutegaliteacute et sa mesure Le preacutesent module fait partie drsquoun ensemble de documents expliquant les modaliteacutes de comparaison en termes drsquoineacutegaliteacute des distributions de revenus geacuteneacutereacutees par diffeacuterentes options des politiques Il appartient au parcours de formation Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des politiques
9 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses
axiomes de mesure (disponible en anglais)
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 19
Les modules EASYPol suivants preacutecegravedent logiquement le document preacutesent et pourront renforcer les connaissances des utilisateurs
Module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute courbe de Lorenz
Module EASYPol 001 Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz
EASYPol Module 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de pauvreteacute
Module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure (disponible en anglais)
Les points traiteacutes dans ce module sont approfondis dans les documents suivants
Module EASYPol 002 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz geacuteneacuteraliseacute
Module EASYPol 041 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social bien-ecirctre social fonctions de bien-ecirctre social et aversion pour lineacutegaliteacute (disponible en anglais)
Le module EASYPol 042 Impacts sur lineacutegaliteacute et la pauvreteacute de certaines
politiques agricoles cas du Paraguay est une eacutetude de cas de la mesure agrave lrsquoaide de lrsquoindice de Gini des impacts drsquoune politique agricole sur lrsquoineacutegaliteacute dans le contexte drsquoun exercice de simulation bacircti agrave partir de donneacutees reacuteelles
Module EASYPol 040 Outils analytiques
20
10 ANNEXE I ndash AUTRES MEacuteTHODES DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible
La deacuterivation de lrsquoindice de Gini par les courbes de Lorenz preacutesente une correspondance directe avec une autre meacutethode plutocirct lourde de calcul de cet indicateur
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+= minusminus
Yy
nY
yY
yYy
nnG nnn 121 32211 [A1]
Vous remarquerez la speacutecificiteacute des termes figurant entre les derniegraveres parenthegraveses ougrave chaque part de revenu de la plus eacuteleveacutee agrave la plus faible est multiplieacutee par le rang des individus dans la distribution des revenus du plus bas au plus eacuteleveacute de maniegravere agrave ce que la part la plus importante ait le rang 1 et la plus petite le rang n Cette correspondance apparaicirct encore mieux dans un exemple ougrave n=3 En rappelant la deacutefinition des q et des p on obtient
133 1
032
031
0
0300 0
3321
3
221
2
11
1
00
0
===+++
=
=++
=
=+
=
=====
pY
yyyq
pY
yyq
pY
yq
np
Yy
q
Substituer ces valeurs dans lrsquoeacutequation [2] dans le texte donne
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++minus=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++minus=
Yy
Yy
Yy
Yyy
Yyyy
Yy
Yyy
YyG 123213211211
1 35
33
311
31
31
311
[A2] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 1 Maintenant reacuteeacutecrivons lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++minus+=Yy
Yy
Yy
G 1232 32
32
311
[A3] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 2 Maintenant reacuteeacutecrivons [A2] et [A3] de maniegravere plus commode en manipulant les crochets
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus=
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
G 12121231 2
32
311
34
32
311
[A4]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +minusminus+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyyyG 121212123
2 232
3112
32
32
3112
32
311
[A5] comme lrsquoexpression entre parenthegraveses dans les deux eacutequations est eacutegale agrave 1 pour n=3 il est tregraves facile de veacuterifier que les deux expressions donnent le mecircme reacutesultat (G =G1 2) La formule [A1] souvent utiliseacutee dans les applications opeacuterationnelles est donc entiegraverement baseacutee sur la deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini
101 Indice de Gini avec formule de covariance
Dans le texte nous avons montreacute que lrsquoindice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moyen et la covariance entre les niveaux y et la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Analytiquement
( ))(2 yFyCovy
G = [A6]
Cette formule eacutequivaut aussi agrave la formule [A1] Voyons pourquoi
( )[ ] ( )[ )(1 yFyCovyFyCov ]minusminus=Sachant que comme la valeur attendue de F(y) est frac12 et la valeur attendue de [1-F(y)] frac12 eacutegalement nous pouvons reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A6]
sous la forme ( )[ ])(12 yFyCov
yG minusminus=
Lrsquoeacutequivalence entre les formules [A6] et [A1] apparaicirct agrave nouveau pour un cas simplifieacute n=3 Tout drsquoabord il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( )()()( yFEyEyyFEyFyCov minus )= ougrave E correspond agrave la valeur attendue (la moyenne) drsquoune variable donneacutee Ensuite il convient de deacutefinir chaque composante de la covariance
( ) ( ) ( )32
333
32
31
)( 3
3
31
32
33
)(123
=++
==++
= yFEYyEyyy
yyFE
nous pouvons obtenir Par conseacutequent en tenant compte du fait que 321 yyyY ++=
( ) [ ]13123123 9
192
92
92
91
92
93)( yyyyyyyyyFyCov minus=minusminusminus++=
Module EASYPol 040 Outils analytiques
22
nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minussdot
sdot=
Yy
Yy
yyY
G 1313 3
29132
Maintenant sachant que pour n=3
1321 =++
Yyyy
on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
Yy
Yy
Yy 13111223321321
32
32
32
32
32
32
32
31
ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance
102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors
034
311
36
32
31132
32
311 =minus+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus+=yy
Yy
Yy
YyG
LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera
nn
Yy
YYG 1
32
32
31100
32
311 minus
==minus+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=
comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3
G deviendrait ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
+α
α+
αα
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyG 323323 32
32
31132
32
311
GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
+minus+=
000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
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individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
Module EASYPol 040 Outils analytiques
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11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES
Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
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Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 25
Meacutetadonneacutees du module
1 Module EASYPol 040
2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
Franccedilais
Espagnol
Autre
3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine
Anglais The Gini Index
Franccedilais
Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module
10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
Module EASYPol 040 Outils analytiques
26
11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 17
revenus du tableau 6 Les revenus sont distribueacutes diffeacuteremment mais lrsquoindice de Gini est le mecircme (0200) Tableau 6 Deux distributions de revenus posseacutedant le mecircme indice de Gini
IndividusDistribution des
revenus XDistribution des
revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500
Revenu total20 000 20 000
Gini 0200 0200 Ces deux distributions sont figureacutees par les courbes de Lorenz de la figure 7 Comme elles se coupent on ne peut pas srsquoen servir pour les classer en termes drsquoineacutegaliteacute des revenus Mais la maniegravere dont elles se coupent donne des aires de mecircme valeur avant et apregraves lrsquointersection Du coup lrsquoindice de Gini est identique en deacutepit de diffeacuterences de revenus importantes Figure 7 Intersection de courbes de Lorenz
00
02
04
06
08
10
00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y
Distributions de revenus diffeacuterentesIntersection de LorenzMecircme indice de Gini
Aire de concentrationavant intersection
Aire de concentrationapregraves intersection
Module EASYPol 040 Outils analytiques
18
8 SYNTHEgraveSE DES PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LINDICE DE GINI ET DE SA VERSION GEacuteNEacuteRALISEacuteE
Le tableau 7 syntheacutetise les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee Ces proprieacuteteacutes reflegravetent la structure des axiomes9
Il est inteacuteressant de noter tout drsquoabord que la limite infeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard et de sa version geacuteneacuteraliseacutee est zeacutero alors que sa limite supeacuterieure est diffeacuterencieacutee Cette derniegravere est tregraves proche de 1 (pour les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini standard et tend vers 2v (toujours dans les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute Les deux versions de lrsquoindice de Gini respectent le principe des transferts mais il faut rappeler que lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts de revenus entre individus situeacutes agrave des positions (rang) eacuteloigneacutees dans la distribution des revenus Les deux versions sont invariantes agrave lrsquoeacutechelle et non invariantes agrave la translation et respectent le principe de population Cette structure fait de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee deux indicateurs drsquoineacutegaliteacute relative La grande utiliteacute de leurs caracteacuteristiques dans la pratique explique le fort inteacuterecirct qursquoils suscitent Tableau 7 Indice de Gini et ses proprieacuteteacutes utiles
LIMITE
INFLIMITE SUP
Principe des transferts
Invariance agrave leacutechelle
Invariance agrave la translation
Principe de population
Indice dineacutegaliteacute relative (IIR)
Inteacuterecirct
Gini 0 (n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
Gv 0 (2v )(n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
9 REMARQUES Agrave LrsquoINTENTION DES LECTEURS
91 Liens EASYPol
Les lecteurs pourront se tourner vers certains modules EASYPol pour renforcer leurs acquis de base et approfondir leurs connaissances sur lrsquoineacutegaliteacute et sa mesure Le preacutesent module fait partie drsquoun ensemble de documents expliquant les modaliteacutes de comparaison en termes drsquoineacutegaliteacute des distributions de revenus geacuteneacutereacutees par diffeacuterentes options des politiques Il appartient au parcours de formation Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des politiques
9 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses
axiomes de mesure (disponible en anglais)
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 19
Les modules EASYPol suivants preacutecegravedent logiquement le document preacutesent et pourront renforcer les connaissances des utilisateurs
Module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute courbe de Lorenz
Module EASYPol 001 Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz
EASYPol Module 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de pauvreteacute
Module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure (disponible en anglais)
Les points traiteacutes dans ce module sont approfondis dans les documents suivants
Module EASYPol 002 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz geacuteneacuteraliseacute
Module EASYPol 041 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social bien-ecirctre social fonctions de bien-ecirctre social et aversion pour lineacutegaliteacute (disponible en anglais)
Le module EASYPol 042 Impacts sur lineacutegaliteacute et la pauvreteacute de certaines
politiques agricoles cas du Paraguay est une eacutetude de cas de la mesure agrave lrsquoaide de lrsquoindice de Gini des impacts drsquoune politique agricole sur lrsquoineacutegaliteacute dans le contexte drsquoun exercice de simulation bacircti agrave partir de donneacutees reacuteelles
Module EASYPol 040 Outils analytiques
20
10 ANNEXE I ndash AUTRES MEacuteTHODES DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible
La deacuterivation de lrsquoindice de Gini par les courbes de Lorenz preacutesente une correspondance directe avec une autre meacutethode plutocirct lourde de calcul de cet indicateur
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+= minusminus
Yy
nY
yY
yYy
nnG nnn 121 32211 [A1]
Vous remarquerez la speacutecificiteacute des termes figurant entre les derniegraveres parenthegraveses ougrave chaque part de revenu de la plus eacuteleveacutee agrave la plus faible est multiplieacutee par le rang des individus dans la distribution des revenus du plus bas au plus eacuteleveacute de maniegravere agrave ce que la part la plus importante ait le rang 1 et la plus petite le rang n Cette correspondance apparaicirct encore mieux dans un exemple ougrave n=3 En rappelant la deacutefinition des q et des p on obtient
133 1
032
031
0
0300 0
3321
3
221
2
11
1
00
0
===+++
=
=++
=
=+
=
=====
pY
yyyq
pY
yyq
pY
yq
np
Yy
q
Substituer ces valeurs dans lrsquoeacutequation [2] dans le texte donne
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++minus=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++minus=
Yy
Yy
Yy
Yyy
Yyyy
Yy
Yyy
YyG 123213211211
1 35
33
311
31
31
311
[A2] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 1 Maintenant reacuteeacutecrivons lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++minus+=Yy
Yy
Yy
G 1232 32
32
311
[A3] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 2 Maintenant reacuteeacutecrivons [A2] et [A3] de maniegravere plus commode en manipulant les crochets
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus=
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
G 12121231 2
32
311
34
32
311
[A4]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +minusminus+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyyyG 121212123
2 232
3112
32
32
3112
32
311
[A5] comme lrsquoexpression entre parenthegraveses dans les deux eacutequations est eacutegale agrave 1 pour n=3 il est tregraves facile de veacuterifier que les deux expressions donnent le mecircme reacutesultat (G =G1 2) La formule [A1] souvent utiliseacutee dans les applications opeacuterationnelles est donc entiegraverement baseacutee sur la deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini
101 Indice de Gini avec formule de covariance
Dans le texte nous avons montreacute que lrsquoindice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moyen et la covariance entre les niveaux y et la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Analytiquement
( ))(2 yFyCovy
G = [A6]
Cette formule eacutequivaut aussi agrave la formule [A1] Voyons pourquoi
( )[ ] ( )[ )(1 yFyCovyFyCov ]minusminus=Sachant que comme la valeur attendue de F(y) est frac12 et la valeur attendue de [1-F(y)] frac12 eacutegalement nous pouvons reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A6]
sous la forme ( )[ ])(12 yFyCov
yG minusminus=
Lrsquoeacutequivalence entre les formules [A6] et [A1] apparaicirct agrave nouveau pour un cas simplifieacute n=3 Tout drsquoabord il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( )()()( yFEyEyyFEyFyCov minus )= ougrave E correspond agrave la valeur attendue (la moyenne) drsquoune variable donneacutee Ensuite il convient de deacutefinir chaque composante de la covariance
( ) ( ) ( )32
333
32
31
)( 3
3
31
32
33
)(123
=++
==++
= yFEYyEyyy
yyFE
nous pouvons obtenir Par conseacutequent en tenant compte du fait que 321 yyyY ++=
( ) [ ]13123123 9
192
92
92
91
92
93)( yyyyyyyyyFyCov minus=minusminusminus++=
Module EASYPol 040 Outils analytiques
22
nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minussdot
sdot=
Yy
Yy
yyY
G 1313 3
29132
Maintenant sachant que pour n=3
1321 =++
Yyyy
on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
Yy
Yy
Yy 13111223321321
32
32
32
32
32
32
32
31
ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance
102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors
034
311
36
32
31132
32
311 =minus+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus+=yy
Yy
Yy
YyG
LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera
nn
Yy
YYG 1
32
32
31100
32
311 minus
==minus+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=
comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3
G deviendrait ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
+α
α+
αα
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyG 323323 32
32
31132
32
311
GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
+minus+=
000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
112
individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
Module EASYPol 040 Outils analytiques
24
11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES
Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
24 617-628
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 25
Meacutetadonneacutees du module
1 Module EASYPol 040
2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
Franccedilais
Espagnol
Autre
3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine
Anglais The Gini Index
Franccedilais
Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module
10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
Module EASYPol 040 Outils analytiques
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11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
Module EASYPol 040 Outils analytiques
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8 SYNTHEgraveSE DES PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LINDICE DE GINI ET DE SA VERSION GEacuteNEacuteRALISEacuteE
Le tableau 7 syntheacutetise les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee Ces proprieacuteteacutes reflegravetent la structure des axiomes9
Il est inteacuteressant de noter tout drsquoabord que la limite infeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard et de sa version geacuteneacuteraliseacutee est zeacutero alors que sa limite supeacuterieure est diffeacuterencieacutee Cette derniegravere est tregraves proche de 1 (pour les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini standard et tend vers 2v (toujours dans les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute Les deux versions de lrsquoindice de Gini respectent le principe des transferts mais il faut rappeler que lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts de revenus entre individus situeacutes agrave des positions (rang) eacuteloigneacutees dans la distribution des revenus Les deux versions sont invariantes agrave lrsquoeacutechelle et non invariantes agrave la translation et respectent le principe de population Cette structure fait de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee deux indicateurs drsquoineacutegaliteacute relative La grande utiliteacute de leurs caracteacuteristiques dans la pratique explique le fort inteacuterecirct qursquoils suscitent Tableau 7 Indice de Gini et ses proprieacuteteacutes utiles
LIMITE
INFLIMITE SUP
Principe des transferts
Invariance agrave leacutechelle
Invariance agrave la translation
Principe de population
Indice dineacutegaliteacute relative (IIR)
Inteacuterecirct
Gini 0 (n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
Gv 0 (2v )(n -1)n
OUI plus sensible si les
individus ont des rangs eacuteloigneacutes
OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute
9 REMARQUES Agrave LrsquoINTENTION DES LECTEURS
91 Liens EASYPol
Les lecteurs pourront se tourner vers certains modules EASYPol pour renforcer leurs acquis de base et approfondir leurs connaissances sur lrsquoineacutegaliteacute et sa mesure Le preacutesent module fait partie drsquoun ensemble de documents expliquant les modaliteacutes de comparaison en termes drsquoineacutegaliteacute des distributions de revenus geacuteneacutereacutees par diffeacuterentes options des politiques Il appartient au parcours de formation Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des politiques
9 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses
axiomes de mesure (disponible en anglais)
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 19
Les modules EASYPol suivants preacutecegravedent logiquement le document preacutesent et pourront renforcer les connaissances des utilisateurs
Module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute courbe de Lorenz
Module EASYPol 001 Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz
EASYPol Module 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de pauvreteacute
Module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure (disponible en anglais)
Les points traiteacutes dans ce module sont approfondis dans les documents suivants
Module EASYPol 002 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz geacuteneacuteraliseacute
Module EASYPol 041 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social bien-ecirctre social fonctions de bien-ecirctre social et aversion pour lineacutegaliteacute (disponible en anglais)
Le module EASYPol 042 Impacts sur lineacutegaliteacute et la pauvreteacute de certaines
politiques agricoles cas du Paraguay est une eacutetude de cas de la mesure agrave lrsquoaide de lrsquoindice de Gini des impacts drsquoune politique agricole sur lrsquoineacutegaliteacute dans le contexte drsquoun exercice de simulation bacircti agrave partir de donneacutees reacuteelles
Module EASYPol 040 Outils analytiques
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10 ANNEXE I ndash AUTRES MEacuteTHODES DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible
La deacuterivation de lrsquoindice de Gini par les courbes de Lorenz preacutesente une correspondance directe avec une autre meacutethode plutocirct lourde de calcul de cet indicateur
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+= minusminus
Yy
nY
yY
yYy
nnG nnn 121 32211 [A1]
Vous remarquerez la speacutecificiteacute des termes figurant entre les derniegraveres parenthegraveses ougrave chaque part de revenu de la plus eacuteleveacutee agrave la plus faible est multiplieacutee par le rang des individus dans la distribution des revenus du plus bas au plus eacuteleveacute de maniegravere agrave ce que la part la plus importante ait le rang 1 et la plus petite le rang n Cette correspondance apparaicirct encore mieux dans un exemple ougrave n=3 En rappelant la deacutefinition des q et des p on obtient
133 1
032
031
0
0300 0
3321
3
221
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1
00
0
===+++
=
=++
=
=+
=
=====
pY
yyyq
pY
yyq
pY
yq
np
Yy
q
Substituer ces valeurs dans lrsquoeacutequation [2] dans le texte donne
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++minus=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++minus=
Yy
Yy
Yy
Yyy
Yyyy
Yy
Yyy
YyG 123213211211
1 35
33
311
31
31
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[A2] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 1 Maintenant reacuteeacutecrivons lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++minus+=Yy
Yy
Yy
G 1232 32
32
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[A3] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 2 Maintenant reacuteeacutecrivons [A2] et [A3] de maniegravere plus commode en manipulant les crochets
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus=
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
G 12121231 2
32
311
34
32
311
[A4]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +minusminus+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyyyG 121212123
2 232
3112
32
32
3112
32
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[A5] comme lrsquoexpression entre parenthegraveses dans les deux eacutequations est eacutegale agrave 1 pour n=3 il est tregraves facile de veacuterifier que les deux expressions donnent le mecircme reacutesultat (G =G1 2) La formule [A1] souvent utiliseacutee dans les applications opeacuterationnelles est donc entiegraverement baseacutee sur la deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini
101 Indice de Gini avec formule de covariance
Dans le texte nous avons montreacute que lrsquoindice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moyen et la covariance entre les niveaux y et la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Analytiquement
( ))(2 yFyCovy
G = [A6]
Cette formule eacutequivaut aussi agrave la formule [A1] Voyons pourquoi
( )[ ] ( )[ )(1 yFyCovyFyCov ]minusminus=Sachant que comme la valeur attendue de F(y) est frac12 et la valeur attendue de [1-F(y)] frac12 eacutegalement nous pouvons reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A6]
sous la forme ( )[ ])(12 yFyCov
yG minusminus=
Lrsquoeacutequivalence entre les formules [A6] et [A1] apparaicirct agrave nouveau pour un cas simplifieacute n=3 Tout drsquoabord il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( )()()( yFEyEyyFEyFyCov minus )= ougrave E correspond agrave la valeur attendue (la moyenne) drsquoune variable donneacutee Ensuite il convient de deacutefinir chaque composante de la covariance
( ) ( ) ( )32
333
32
31
)( 3
3
31
32
33
)(123
=++
==++
= yFEYyEyyy
yyFE
nous pouvons obtenir Par conseacutequent en tenant compte du fait que 321 yyyY ++=
( ) [ ]13123123 9
192
92
92
91
92
93)( yyyyyyyyyFyCov minus=minusminusminus++=
Module EASYPol 040 Outils analytiques
22
nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minussdot
sdot=
Yy
Yy
yyY
G 1313 3
29132
Maintenant sachant que pour n=3
1321 =++
Yyyy
on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
Yy
Yy
Yy 13111223321321
32
32
32
32
32
32
32
31
ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance
102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors
034
311
36
32
31132
32
311 =minus+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus+=yy
Yy
Yy
YyG
LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera
nn
Yy
YYG 1
32
32
31100
32
311 minus
==minus+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=
comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3
G deviendrait ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
+α
α+
αα
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyG 323323 32
32
31132
32
311
GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
+minus+=
000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
112
individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
Module EASYPol 040 Outils analytiques
24
11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES
Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
24 617-628
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 25
Meacutetadonneacutees du module
1 Module EASYPol 040
2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
Franccedilais
Espagnol
Autre
3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine
Anglais The Gini Index
Franccedilais
Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module
10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
Module EASYPol 040 Outils analytiques
26
11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 19
Les modules EASYPol suivants preacutecegravedent logiquement le document preacutesent et pourront renforcer les connaissances des utilisateurs
Module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute courbe de Lorenz
Module EASYPol 001 Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz
EASYPol Module 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de pauvreteacute
Module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure (disponible en anglais)
Les points traiteacutes dans ce module sont approfondis dans les documents suivants
Module EASYPol 002 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz geacuteneacuteraliseacute
Module EASYPol 041 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social bien-ecirctre social fonctions de bien-ecirctre social et aversion pour lineacutegaliteacute (disponible en anglais)
Le module EASYPol 042 Impacts sur lineacutegaliteacute et la pauvreteacute de certaines
politiques agricoles cas du Paraguay est une eacutetude de cas de la mesure agrave lrsquoaide de lrsquoindice de Gini des impacts drsquoune politique agricole sur lrsquoineacutegaliteacute dans le contexte drsquoun exercice de simulation bacircti agrave partir de donneacutees reacuteelles
Module EASYPol 040 Outils analytiques
20
10 ANNEXE I ndash AUTRES MEacuteTHODES DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible
La deacuterivation de lrsquoindice de Gini par les courbes de Lorenz preacutesente une correspondance directe avec une autre meacutethode plutocirct lourde de calcul de cet indicateur
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+= minusminus
Yy
nY
yY
yYy
nnG nnn 121 32211 [A1]
Vous remarquerez la speacutecificiteacute des termes figurant entre les derniegraveres parenthegraveses ougrave chaque part de revenu de la plus eacuteleveacutee agrave la plus faible est multiplieacutee par le rang des individus dans la distribution des revenus du plus bas au plus eacuteleveacute de maniegravere agrave ce que la part la plus importante ait le rang 1 et la plus petite le rang n Cette correspondance apparaicirct encore mieux dans un exemple ougrave n=3 En rappelant la deacutefinition des q et des p on obtient
133 1
032
031
0
0300 0
3321
3
221
2
11
1
00
0
===+++
=
=++
=
=+
=
=====
pY
yyyq
pY
yyq
pY
yq
np
Yy
q
Substituer ces valeurs dans lrsquoeacutequation [2] dans le texte donne
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++minus=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++minus=
Yy
Yy
Yy
Yyy
Yyyy
Yy
Yyy
YyG 123213211211
1 35
33
311
31
31
311
[A2] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 1 Maintenant reacuteeacutecrivons lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++minus+=Yy
Yy
Yy
G 1232 32
32
311
[A3] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 2 Maintenant reacuteeacutecrivons [A2] et [A3] de maniegravere plus commode en manipulant les crochets
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus=
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
G 12121231 2
32
311
34
32
311
[A4]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +minusminus+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyyyG 121212123
2 232
3112
32
32
3112
32
311
[A5] comme lrsquoexpression entre parenthegraveses dans les deux eacutequations est eacutegale agrave 1 pour n=3 il est tregraves facile de veacuterifier que les deux expressions donnent le mecircme reacutesultat (G =G1 2) La formule [A1] souvent utiliseacutee dans les applications opeacuterationnelles est donc entiegraverement baseacutee sur la deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini
101 Indice de Gini avec formule de covariance
Dans le texte nous avons montreacute que lrsquoindice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moyen et la covariance entre les niveaux y et la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Analytiquement
( ))(2 yFyCovy
G = [A6]
Cette formule eacutequivaut aussi agrave la formule [A1] Voyons pourquoi
( )[ ] ( )[ )(1 yFyCovyFyCov ]minusminus=Sachant que comme la valeur attendue de F(y) est frac12 et la valeur attendue de [1-F(y)] frac12 eacutegalement nous pouvons reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A6]
sous la forme ( )[ ])(12 yFyCov
yG minusminus=
Lrsquoeacutequivalence entre les formules [A6] et [A1] apparaicirct agrave nouveau pour un cas simplifieacute n=3 Tout drsquoabord il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( )()()( yFEyEyyFEyFyCov minus )= ougrave E correspond agrave la valeur attendue (la moyenne) drsquoune variable donneacutee Ensuite il convient de deacutefinir chaque composante de la covariance
( ) ( ) ( )32
333
32
31
)( 3
3
31
32
33
)(123
=++
==++
= yFEYyEyyy
yyFE
nous pouvons obtenir Par conseacutequent en tenant compte du fait que 321 yyyY ++=
( ) [ ]13123123 9
192
92
92
91
92
93)( yyyyyyyyyFyCov minus=minusminusminus++=
Module EASYPol 040 Outils analytiques
22
nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minussdot
sdot=
Yy
Yy
yyY
G 1313 3
29132
Maintenant sachant que pour n=3
1321 =++
Yyyy
on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
Yy
Yy
Yy 13111223321321
32
32
32
32
32
32
32
31
ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance
102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors
034
311
36
32
31132
32
311 =minus+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus+=yy
Yy
Yy
YyG
LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera
nn
Yy
YYG 1
32
32
31100
32
311 minus
==minus+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=
comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3
G deviendrait ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
+α
α+
αα
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyG 323323 32
32
31132
32
311
GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
+minus+=
000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
112
individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
Module EASYPol 040 Outils analytiques
24
11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES
Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
24 617-628
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 25
Meacutetadonneacutees du module
1 Module EASYPol 040
2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
Franccedilais
Espagnol
Autre
3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine
Anglais The Gini Index
Franccedilais
Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module
10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
Module EASYPol 040 Outils analytiques
26
11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
Module EASYPol 040 Outils analytiques
20
10 ANNEXE I ndash AUTRES MEacuteTHODES DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI
Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible
La deacuterivation de lrsquoindice de Gini par les courbes de Lorenz preacutesente une correspondance directe avec une autre meacutethode plutocirct lourde de calcul de cet indicateur
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+= minusminus
Yy
nY
yY
yYy
nnG nnn 121 32211 [A1]
Vous remarquerez la speacutecificiteacute des termes figurant entre les derniegraveres parenthegraveses ougrave chaque part de revenu de la plus eacuteleveacutee agrave la plus faible est multiplieacutee par le rang des individus dans la distribution des revenus du plus bas au plus eacuteleveacute de maniegravere agrave ce que la part la plus importante ait le rang 1 et la plus petite le rang n Cette correspondance apparaicirct encore mieux dans un exemple ougrave n=3 En rappelant la deacutefinition des q et des p on obtient
133 1
032
031
0
0300 0
3321
3
221
2
11
1
00
0
===+++
=
=++
=
=+
=
=====
pY
yyyq
pY
yyq
pY
yq
np
Yy
q
Substituer ces valeurs dans lrsquoeacutequation [2] dans le texte donne
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++minus=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++minus=
Yy
Yy
Yy
Yyy
Yyyy
Yy
Yyy
YyG 123213211211
1 35
33
311
31
31
311
[A2] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 1 Maintenant reacuteeacutecrivons lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++minus+=Yy
Yy
Yy
G 1232 32
32
311
[A3] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 2 Maintenant reacuteeacutecrivons [A2] et [A3] de maniegravere plus commode en manipulant les crochets
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus=
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
G 12121231 2
32
311
34
32
311
[A4]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +minusminus+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyyyG 121212123
2 232
3112
32
32
3112
32
311
[A5] comme lrsquoexpression entre parenthegraveses dans les deux eacutequations est eacutegale agrave 1 pour n=3 il est tregraves facile de veacuterifier que les deux expressions donnent le mecircme reacutesultat (G =G1 2) La formule [A1] souvent utiliseacutee dans les applications opeacuterationnelles est donc entiegraverement baseacutee sur la deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini
101 Indice de Gini avec formule de covariance
Dans le texte nous avons montreacute que lrsquoindice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moyen et la covariance entre les niveaux y et la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Analytiquement
( ))(2 yFyCovy
G = [A6]
Cette formule eacutequivaut aussi agrave la formule [A1] Voyons pourquoi
( )[ ] ( )[ )(1 yFyCovyFyCov ]minusminus=Sachant que comme la valeur attendue de F(y) est frac12 et la valeur attendue de [1-F(y)] frac12 eacutegalement nous pouvons reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A6]
sous la forme ( )[ ])(12 yFyCov
yG minusminus=
Lrsquoeacutequivalence entre les formules [A6] et [A1] apparaicirct agrave nouveau pour un cas simplifieacute n=3 Tout drsquoabord il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( )()()( yFEyEyyFEyFyCov minus )= ougrave E correspond agrave la valeur attendue (la moyenne) drsquoune variable donneacutee Ensuite il convient de deacutefinir chaque composante de la covariance
( ) ( ) ( )32
333
32
31
)( 3
3
31
32
33
)(123
=++
==++
= yFEYyEyyy
yyFE
nous pouvons obtenir Par conseacutequent en tenant compte du fait que 321 yyyY ++=
( ) [ ]13123123 9
192
92
92
91
92
93)( yyyyyyyyyFyCov minus=minusminusminus++=
Module EASYPol 040 Outils analytiques
22
nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minussdot
sdot=
Yy
Yy
yyY
G 1313 3
29132
Maintenant sachant que pour n=3
1321 =++
Yyyy
on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
Yy
Yy
Yy 13111223321321
32
32
32
32
32
32
32
31
ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance
102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors
034
311
36
32
31132
32
311 =minus+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus+=yy
Yy
Yy
YyG
LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera
nn
Yy
YYG 1
32
32
31100
32
311 minus
==minus+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=
comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3
G deviendrait ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
+α
α+
αα
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyG 323323 32
32
31132
32
311
GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
+minus+=
000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
112
individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
Module EASYPol 040 Outils analytiques
24
11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES
Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
24 617-628
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 25
Meacutetadonneacutees du module
1 Module EASYPol 040
2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
Franccedilais
Espagnol
Autre
3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine
Anglais The Gini Index
Franccedilais
Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module
10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
Module EASYPol 040 Outils analytiques
26
11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus=
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
G 12121231 2
32
311
34
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311
[A4]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minusminus=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +minusminus+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyyyG 121212123
2 232
3112
32
32
3112
32
311
[A5] comme lrsquoexpression entre parenthegraveses dans les deux eacutequations est eacutegale agrave 1 pour n=3 il est tregraves facile de veacuterifier que les deux expressions donnent le mecircme reacutesultat (G =G1 2) La formule [A1] souvent utiliseacutee dans les applications opeacuterationnelles est donc entiegraverement baseacutee sur la deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini
101 Indice de Gini avec formule de covariance
Dans le texte nous avons montreacute que lrsquoindice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moyen et la covariance entre les niveaux y et la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Analytiquement
( ))(2 yFyCovy
G = [A6]
Cette formule eacutequivaut aussi agrave la formule [A1] Voyons pourquoi
( )[ ] ( )[ )(1 yFyCovyFyCov ]minusminus=Sachant que comme la valeur attendue de F(y) est frac12 et la valeur attendue de [1-F(y)] frac12 eacutegalement nous pouvons reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A6]
sous la forme ( )[ ])(12 yFyCov
yG minusminus=
Lrsquoeacutequivalence entre les formules [A6] et [A1] apparaicirct agrave nouveau pour un cas simplifieacute n=3 Tout drsquoabord il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( )()()( yFEyEyyFEyFyCov minus )= ougrave E correspond agrave la valeur attendue (la moyenne) drsquoune variable donneacutee Ensuite il convient de deacutefinir chaque composante de la covariance
( ) ( ) ( )32
333
32
31
)( 3
3
31
32
33
)(123
=++
==++
= yFEYyEyyy
yyFE
nous pouvons obtenir Par conseacutequent en tenant compte du fait que 321 yyyY ++=
( ) [ ]13123123 9
192
92
92
91
92
93)( yyyyyyyyyFyCov minus=minusminusminus++=
Module EASYPol 040 Outils analytiques
22
nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minussdot
sdot=
Yy
Yy
yyY
G 1313 3
29132
Maintenant sachant que pour n=3
1321 =++
Yyyy
on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
Yy
Yy
Yy 13111223321321
32
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31
ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance
102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors
034
311
36
32
31132
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311 =minus+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus+=yy
Yy
Yy
YyG
LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera
nn
Yy
YYG 1
32
32
31100
32
311 minus
==minus+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=
comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3
G deviendrait ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
+α
α+
αα
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyG 323323 32
32
31132
32
311
GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
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000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
112
individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
Module EASYPol 040 Outils analytiques
24
11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES
Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
24 617-628
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 25
Meacutetadonneacutees du module
1 Module EASYPol 040
2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
Franccedilais
Espagnol
Autre
3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine
Anglais The Gini Index
Franccedilais
Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module
10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
Module EASYPol 040 Outils analytiques
26
11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
Module EASYPol 040 Outils analytiques
22
nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minussdot
sdot=
Yy
Yy
yyY
G 1313 3
29132
Maintenant sachant que pour n=3
1321 =++
Yyyy
on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
Yyyy
Yy
Yy
Yy 13111223321321
32
32
32
32
32
32
32
31
ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance
102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini
LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors
034
311
36
32
31132
32
311 =minus+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus+=yy
Yy
Yy
YyG
LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera
nn
Yy
YYG 1
32
32
31100
32
311 minus
==minus+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=
comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3
G deviendrait ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++minus+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
+α
α+
αα
minus+=Yy
Yy
Yy
Yy
Yy
YyG 323323 32
32
31132
32
311
GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
+minus+=
000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
112
individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
Module EASYPol 040 Outils analytiques
24
11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES
Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
24 617-628
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 25
Meacutetadonneacutees du module
1 Module EASYPol 040
2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
Franccedilais
Espagnol
Autre
3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine
Anglais The Gini Index
Franccedilais
Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module
10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
Module EASYPol 040 Outils analytiques
26
11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 23
Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+
+minus+=
000230002
3000230002
2000230002
32
311 123
Yy
Yy
Yy
G
Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛minus+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
partpart
Yin
nyG
i
112
individuel rang43421
GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3411
323
32
31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera
( ) dyY
dyY
dyY
dG ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡minus=minus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=
3211
322
32
32 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476
qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee
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Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London
UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
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2 Titre dans la langue drsquoorigine
Anglais Inequality Analysis
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Espagnol
Autre
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Anglais The Gini Index
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Espagnol
Autre
4 Reacutesumeacute
Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
5 Date
Deacutecembre 2006
6 Auteur(s)
Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques
Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires
Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
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UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The
Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review
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Autre
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Autre
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Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
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Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
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Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt
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Anglais The Gini Index
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Espagnol
Autre
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Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees
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Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie
Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie
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Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire
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10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques
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11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social
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