Analyse de la signifiance de diverses procédures d’agrégation multicritère (PAM) à partir de la

théorie du mesurage

Bernard ROY&Jean-Marc MARTEL

Meltem Öztürk

Plan de la présentation

• Théorie du mesurage– Typologie des échelles de mesure

• Notion de signifiance– Illustration à partir de la somme pondérée

• TOPSIS (PAMC de type critère unique de synthèse)– Présentation de la méthode ‘TOPSIS’– Illustration du concept de signifiance– Application : ‘Problématique du choix du lieu de location d’une

office bancaire’

Théorie du mesurage

• Campbell (1938): ‘The assignement of numerals to represent proporties of material systems other than number, in virtue of the laws governing these proporties.’

• Russel (1938): ‘Measurement of magnitude is, in its most general sense, any method by which a unique and reciprocal correspondance is established between all or some of the magnetudes of a kind and all or some the numbers, integral, rational, or real as the case may be.’

• Stevens(1951): ‘Measurement is the assignement of the numerals to objects of events according to rules.’

Exemple: Masse

‘a plus lourd que b’ f(a) > f(b)

‘concaténation’: f(ab)=f(a)+f(b)

M1 (A, , ) M2 (R, +, >)

Questions?????

• Système relationnel numérique représente-t-il bien le système relationnel empirique?

• Cette représentation est-elle unique?

• Traitements numériques autorisés?

Les énoncés issus de ces traitements restent-ils les mêmes s’ils sont effectués avec une autre représentation numérique admissible?

Krantz, Luce, Suppes, TverskyFoundations of measurement (1958)

volume 1 Additive and polynomial represantions

Représentation:Axiomes et Théorèmes (Roberts

1979)

ex:Aide à la décision

-Transitivité

-Asymétrie

-Transitivité négative

(aPb) et non (bPc) non (aPc)

ou

Théorème de Cantor

Unicité: (Barzilai 1998)

Si f:homomorphisme de M1 vers M2 alors tout homomorphisme h de M1 à M2 peut s’écrire sous forme:

h= (f)

Échelle régulière: (Roberts 1979,1994)

S’il existe 2 homomorphismes f et h alors il existe une transformation admissible tel que h= (f)

f(a)=f(b) h(a)=h(b)

Echelles:– Ensemble de nombres susceptibles pour coder

une information relative aux objets de A– Un mesurage appliquant A dans cet ensemble

de nombres

Caractéristiques:– Caractéristique d’ordre– Caractéristique de distance– Caractéristique d’origine

Caractéristique Transformation Exemples

Echelle Absolue Φ o f(x)=f(x) Le dénombrement

Echelle Ratio origine Φ o f(x)= a f(x), a>0 La masse

Echelle d'Intervalle distance Φ o f(x)= a f(x)+b,a>0 La température

Echelle Ordinale ordre si f(x)>f(y) alors Une préférence

Φ o f(x)> Φ o f(y)

Echelle Nominale Toute fonction Φ Codification

Signifiance

Exemple :

 A={ a, b,c ,d } f(a)= card({y A / a P y})

 

a b f( a )=3 f( b )=1

f( c )=0 f( d )=1

c d

f( a )-f( b ) = 2( f( d )-f( c ))

 “le degré de préférence de a par rapport à b est deux fois plus grand que le degré de préférence de d par rapport à c”

 

h( a )=10 h( b )=8 h( c )=0 h( d )=8

 Proposition pas signifiante

Définitions

• « une proposition fondée sur un calcule utilisant les échelons d’une échelle est signifiante si sa véracité ou sa fausseté demeure inchangée lorsqu’on remplace une échelle par une autre représentant toutes les deux la même information »

Roberts (1979)

• « A numerical statement is meaningful if and only if its truth or falsity is constant under admissible scale transformation of any of its numerical assignment, that is, any of its numerical function expressing the results of measurement »

Suppes & Zinnes (1963)

Signifiance & Somme Pondérée

a P b pi gi(a) > pi gi(b) (*)

a: action potentielle

gi: échelle de mesure

pi: poids de point de vue i

But: Etudier les conditions dans les quelles la proposition (*) est vraie lorsqu’on substitue aux échelles gi des échelles équivalentes

Remarque: si une procédure n’est pas signifiante pour un niveau de mesure donné, elle ne le sera pas pour un niveau de mesure plus bas.

• Echelle Absolue: (*) est signifiante• Echelle Ratio:

?pi gi(a) >pi gi(b) pi i gi(a)> pi i gi(b)

exemple: g1 g2 g3

a 4 2 5 pi gi(a) = 19

b 1 4 3 pi gi(b) = 17

pi 2 3 1 pi i gi(a) = 25

i 1 2 1 pi i gi(b) = 29

i -2 -1 3

Remarque:

Coefficients de pondération dépendent des

échelles de mesure associées aux critères

exemple: 2 critères, coût et délai,coût en millier de francs, en millions de francs etc..

La somme pondérée est signifiante sous réserve de transformation des coefficients de pondération de manière appropriée

pi pi/i

• Echelle d’Intervalle

(pi/i) (i gi(a)+i)> (pi/i) (i gi(b)+i)[pi gi(a)+ (pi i/i )]> [pi gi(b)+ (pi i/i )]pi gi(a)> pi gi(b)

Exemple:

(pi/i) (i gi(a)+i)=33

(pi/i) (i gi(b)+i)=29

•Echelle ordinale: La proposition (*) n’est pas signifiante

Exemple:g1 g2 g3

a 4 2 5

b 1 4 3

pi 2 3 1

pi gi(a) = 19

pi gi(b) = 17

g1 g2 g3

a 3 1 4

b 2 5 2

pi 2 3 1

pi gi(a) = 13

pi gi(b) = 21

Remarque: si à la place des performances,on utilise les relations que ces performances expriment relativement à chaque critère sur l’ensemble des actions on peut avoir la signifianceVi(a,b)=1 si a Pi b et Vi(a,b)=0 si non(a Pi b)

pi Vi(a) > pi Vi(b) g1 g2 g3

a 4 2 5 b 1 4 3Va 1 0 1Vb 0 1 0 pi 2 3 1 pi Vi(a) =3 pi Vi(b) =3

g1 g2 g3

a 3 1 4

b 2 5 2

Va 1 0 1

Vb 0 1 0

pi 2 3 1

pi Vi(a) =3

pi Vi(b) =3

TOPSISPaul Yoon & Ching-Lai Hwang

(1981)

Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution

(multiple attribute decision making)

Idée Principale de TOPSIS

Choisir l’action ayant la plus petite distance à l’action dite 

« idéale »

(positive-ideal solution) la plus grande distance à l’action

dite « anti-idéale »

(negative-ideal solution »

Idéale et Anti-Idéale Solutions

Idéale Solution:

A* = { g1*, …, gj*,…, gn* } avec gj* la meilleure valeur pour le jèmecritèreparmis toutes les actions

Anti-Idéale Solution

A* = {g1*, …, gj*, …, gn* }avec gj* la plus mauvaise valeur pour le jèmecritèreparmis toutes les actions

Algorithme de TOPSIS

PAS 1 : Calcule des préférences normalisés

(normalized ratings)

i = 1,…, m j = 1,…, n

m

i

ij

ij

xg

xgxr

ij1

2

))((

)()(

Algorithme de TOPSIS

PAS 2 : Calcule des préférences normalisés

avec des poids associés aux critères

(weighted normalized ratings)

Vj(xi) = wj rj(xi) i = 1,…, m j = 1,…, n

Algorithme de TOPSIS

PAS 3 : Identification des solutions idéales et anti-idéales

A* = { v1*, …, vj*,…, vn* }

= {( maxi vj(xi)/ jJ1), (mini vj(xi)/ jJ2)}

A* = {v1*, …, vj*, …, vn* }

= {( mini vj(xi)/ jJ1), (maxi vj(xi)/ jJ2)}

J1 : ensemble des critères de bénéfice

J2 : ensemble des critères de coût

Algorithme de TOPSIS

PAS 4 : Calcule des distances

(Separation measures)

n

ji vxvxd jij

1

2* *)( )(

n

ji vxvxd jij

1

2

* *)( )(

Algorithme de TOPSIS

PAS 5 : Calcule de l’index de similarité à la solution idéale

c(xi) = d*(xi)/ (d*(xi)+d*(xi))

PAS 6 : Ordre de preference

• Choisir l’action ayant le plus grand index de similarité (problématique de choix)

• Ranger les action par ordre décroissant des index de similarité (problématique de rangement)

Calcul des distances

n

jjij

Axj

jn

ji gxg

gw

vxvxdx

jij1

2

*2

2

1

2

*))((

)((*)( )(

n

jjij

Axj

jn

ji gxg

gw

vxvxdx

jij1

2

2

2

1

2*

*))(()(

(*)( )(

Attention!!!

d* et d* font intervenir toutes les performances des actions selon le critère Cj

une variation quelconque de la performance d’une action selon ce critère Cj modifie la valeur de d* et d* par suite la valeur finale c(xj)

Solution Une variation concomitante (dans les mêmes proposition) des coefficients wj peut annuler cet impact

Exemple 1: variation de performance C1 avec w1= 3

xi a b c d

g1(xi) 1 3 5 7 g1(xi)2 = 84

W12/ g1(xi)2 = 32/84

C1’ avec w1’= ?

xi a b c d

g1’(xi) 1 3 8 7 g1(xi)2 = 123

W1’ 2/ g1’(xi)2 = W1’

2/123 = 32/84

W1’ 2 = (9*123)/84 = 3,63

Attention !!!

Si la modification de performance entraîne une modification de A* et/ou A*

modification de d* et/ou d* pour toutes les actions

Problème grave de robustesse

Solution

Solutions idéales et anti-idéales: solutions fictives

Signifiance / Echelles de ratiogi(x) gi(x)

n

jjij

Axj

j

i gxggw

xdx1

2

*2

2

*))((

)(()(

n

jjij

Ax j

j

i gxgg

wxd

x1

2

*2

2

*))((

)(2()(

Exemple 2: signifiance échelle de ratio

C1 avec w1= 3

xi a b c d

g1(xi) 1 3 5 7 g1(xi)2 = 84

d*(b) = [(32/84) (7-3)2]1/2 = 1, 310 d*(b) = [(32/84) (3-1)2]1/2= 0,655

c(b) = d*(b)/ (d*(b)+d*(b)) = 0,333

C1 avec w1= 3 = 2

xi a b c d

g1(xi) 2 6 10 14 g1(xi)2 = 336

d*(b) = [(32/336) (14-6)2]1/2 = 1, 310 d*(b) = [(32/336) (6-2)2]1/2= 0,655

c(b) = d*(b)/ (d*(b)+d*(b)) = 0,333

Signifiance / Echelles d’intervalle

gi(x)+ gi(x)

n

jjij

Axj

j

i gxggw

xdx1

2

*2

2

*))((

)(()(

n

j

Axj

j

igxg

gw

xd jijx1

2

2

2

* *)(

()( (

n

j

Axj

j

igxg

gw

xd jijx1

2

2

22

* *)(

()(

Exemple 3: signifiance échelle d’intervalle

C1 avec w1= 3

xi a b c d

g1(xi) 1 3 5 7 g1(xi)2 = 84

d*(b) = [(32/84) (7-3)2]1/2 = 1, 310 d*(b) = [(32/84) (3-1)2]1/2= 0,655

c(b) = d*(b)/ (d*(b)+d*(b)) = 0,333

C1 avec w1= 3

xi a b c d

g1(xi) 5 11 17 23 g1(xi)2 = 964

d*(b) = [(32/964) (11-23)2]1/2 =1,159 d*(b) = [(32/964) (11-5)2]1/2= 0,580 c(b) = d*(b)/ (d*(b)+d*(b)) = 0,333

Exemple 3: signifiance échelle d’intervalle

C1 avec w1= 3 C1’ avec w1= ? 32/84 w’2.32/964

w1’2 = 3,388

Axj

j

Axj

j

xx gw

gw

2

22

2

2

)]([)(

Critiques Simple compréhension de l’idée et l’algorithme de la méthode Application assez facile Semi-compensatoire Pas de veto Problèmes dus à la normalisation:

Differents mesure d’unité, et des fonctions de performance (distance entre 2 performances sur une échelle n’est pas la même sur une autre)

une variation quelconque de la performance d’une action selon un critère Cj modifie la valeur de d* et d* par suite la valeur finale c(xj)

Si la modification de performance entraîne une modification de A* et/ou A* modification de d*et/ou d* pour toutes les actions

Problème grave de robustesse

Application : location d’un établissement bancaire

• Actions : 10 villes de la Turquie• Critères:

– 4 Critères 1.      Les critères démographiques2.      Les critères macroéconomiques3.      Le potentiel de commerce et de l’industrie4.      Les dépenses de localisation

– des sous-critères associés

(tableaux de capacités et tableaux de capacités normalisées)

Application : location d’un établissement bancaire

Poids flous des critères et des sous-critères associés Matrice floue de performance

Maximum flou et minimum flou

Matrice de performance floue singleton

j

j

p

k

jk

cj

w

YW

1

*

jijjh MxwiU j maxsup

jijjl MxwiU j minsup1

2

iuiur jj lhij

Application : location d’un établissement bancaire

Ul(i)

Uh(i)

a1j b1j a2j c1j b2j c2j aij bij cij anj bnj cnj

Figure 5-1minimum et maximum flou

fij

Application : location d’un établissement bancaire

Solutions idéales et anti-idéales

A* = (0.8585, 0.5640, 0.6655, 0.7810)

A* = (0.7360, 0.4710, 0.5205, 0.6925)

Distances de Hamming

Index de similarité

m

j

ijji rrs1

m

jjiji rrs

1