Algorithme de DIJKSTRA

Recherche d’un chemin minimal

On se donne un graphe orienté où chaque arrête est affectée d’un

poids.L’objectif est de trouver un chemin

de poids minimum entre deux sommets choisis.

Exemple 1 : quel est le chemin minimal entre A et H ?

A

CE

H

G

BF

D5

3

4

1

3

3

3 3

3

5

6

4

4

A

CE

H

G

BF

D5

3

4

1

3

3

3 3

3

5

6

4

4

A B C D E F G H Définitif

A

CE

H

G

BF

D5

3

4

1

3

3

3 3

3

5

6

4

4

A B C D E F G H Définitif

(4,A) (3,A) (5,A) A

A

CE

H

G

BF

D5

3

4

1

3

3

3 3

3

5

6

4

4

A B C D E F G H Définitif

(4,A) (3,A) (5,A) A

(6,C) C3

A

CE

H

G

BF

D5

3

4

1

3

3

3 3

3

5

6

4

4

A B C D E F G H Définitif

(4,A) (3,A) (5,A) A

(6,C) C3

(5,B) (7,B) B4

A

CE

H

G

BF

D5

3

4

1

3

3

3 3

3

5

6

4

4

A B C D E F G H Définitif

(4,A) (3,A) (5,A) A

(6,C) C3

(5,B) (7,B) B4

- (9,D) D5

A

CE

H

G

BF

D5

3

4

1

3

3

3 3

3

5

6

4

4

A B C D E F G H Définitif

(4,A) (3,A) (5,A) A

(6,C) C3

(5,B) (7,B) B4

- (9,D) D5

- (8,E) E5

A

CE

H

G

BF

D5

34

1

3

33 3

3

5

6

4

4

A B C D E F G H Définitif

(4,A) (3,A) (5,A) A(6,C) C3

(5,B) (7,B) B4

- (9,D) D5

- (8,E) E5

- (13,F) F7

A

CE

H

G

BF

D5

34

1

3

33 3

3

5

6

4

4

A B C D E F G H Définitif

(4,A) (3,A) (5,A) A(6,C) C3

(5,B) (7,B) B4

- (9,D) D5

- (8,E) E5

- (13,F) F7

(12,G) G8

A

CE

H

G

BF

D5

34

1

3

33 3

3

5

6

4

4

A B C D E F G H Définitif

(4,A) (3,A) (5,A) A(6,C) C3

(5,B) (7,B) B4

- (9,D) D5

- (8,E) E5

- (13,F) F7

(12,G) G8

H12

A B C D E F G H Définitif

(4,A) (3,A) (5,A) A(6,C) C3

(5,B) (7,B) B4

- (9,D) D5

- (8,E) E5

- (13,F) F7

(12,G) G8

H12

Conclusion : le plus court chemin pour aller de A à H est 12 et il provient de G, lui-même distant de 8 et provenant de E, lui-même distant de 5 et provenant de B, lui-même distant de 4 et provenant de A.Un chemin minimal est donc de poids 12 : A B E G H

Un chemin minimal est donc de poids 12 : A-B-E-G-H

A

CE

H

G

BF

D5

3

4

1

3

3

3 3

3

5

6

4

4

Exemple 2 : quel est le chemin minimal entre A et G ?

A

CE

G

BF

D5

3

4

4

4

5

1 2

3

5

4

2

23

A

CE

G

BF

D5

3

4

4

4

51 2

3

5

4

2

23

A B C D E F G Définitif

(4,A) (3,A) (5,A) A

A

CE

G

BF

D5

3

4

4

4

51 2

3

5

4

2

23

A B C D E F G Définitif

(4,A) (3,A) (5,A) A

(5,C) (8,C) C3

A

CE

G

BF

D5

3

4

4

4

51 2

3

5

4

2

23

A B C D E F G Définitif

(4,A) (3,A) (5,A) A

(5,C) (8,C) C3

- (8,B) (8,B) B4

A

CE

G

BF

D5

3

4

4

4

51 2

3

5

4

2

23

A B C D E F G Définitif

(4,A) (3,A) (5,A) A

(5,C) (8,C) C3

- (8,B) (8,B) B4

(6,D) (7,D) (9,D) D5

A

CE

G

BF

D5

3

4

4

4

51 2

3

5

4

2

23

A B C D E F G Définitif

(4,A) (3,A) (5,A) A

(5,C) (8,C) C3

- (8,B) (8,B) B4

(6,D) (7,D) (9,D) D5

- (8,E) E6

A

CE

G

BF

D5

3

4

4

4

51 2

3

5

4

2

23

A B C D E F G Définitif

(4,A) (3,A) (5,A) A

(5,C) (8,C) C3

- (8,B) (8,B) B4

(6,D) (7,D) (9,D) D5

- (8,E) E6

- F7

A

CE

G

BF

D5

3

4

4

4

51 2

3

5

4

2

23

A B C D E F G Définitif

(4,A) (3,A) (5,A) A

(5,C) (8,C) C3

- (8,B) (8,B) B4

(6,D) (7,D) (9,D) D5

- (8,E) E6

- F7

G8

A B C D E F G Définitif

(4,A) (3,A) (5,A) A

(5,C) (8,C) C3

- (8,B) (8,B) B4

(6,D) (7,D) (9,D) D5

- (8,E) E6

- F7

G8

Conclusion : le plus court chemin pour aller de A à G est 8 et il provient de E, lui-même distant de 6 et provenant de D, lui-même distant de 5 et provenant de A ou C, C lui-même distant de 3 et provenant de A.Un chemin minimal est donc de poids 8 : A C D E G ou A D E G

Exemple 3 : quel est le chemin minimal entre A et I ?

A

CE

G

BF

D5

6

4

4

4

1

1 2

3

5

6

2

33

H

I

4

4

4

4

Solution…

A B C D E F G H I Définitif

(4,A) (6,A) (5,A) A

- (8,B) (8,B) B4

(6,D) (8,D) (11,D) D5

- - C6

- (8,E) E6

- (12,F) (12,F) F8

(12,G) G8

- H12

Conclusion : le plus court chemin pour aller de A à I est de poids 12.

A B C D E F G H I Définitif

(4,A) (6,A) (5,A) A

- (8,B) (8,B) B4

(6,D) (8,D) (11,D) D5

- - C6

- (8,E) E6

- (12,F) (12,F) F8

(12,G) G8

- H12

Conclusion : le plus court chemin pour aller de A à I est de poids 12.Un chemin minimal est donc : ADEGI ou ABFI ou ADFI.

A B C D E F G H I Définitif

(4,A) (6,A) (5,A) A

- (8,B) (8,B) B4

(6,D) (8,D) (11,D) D5

- - C6

- (8,E) E6

- (12,F) (12,F) F8

(12,G) G8

- H12

Conclusion : le plus court chemin pour aller de A à I est de poids 12.Un chemin minimal est donc : ADEGI ou ABFI ou ADFI.

A B C D E F G H I Définitif

(4,A) (6,A) (5,A) A

- (8,B) (8,B) B4

(6,D) (8,D) (11,D) D5

- - C6

- (8,E) E6

- (12,F) (12,F) F8

(12,G) G8

- H12

Conclusion : le plus court chemin pour aller de A à I est de poids 12.Un chemin minimal est donc : ADEGI ou ABFI ou ADFI.