Minimal Submanifolds Z.C

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  1. 1. Table des matires 1 Ddicace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Prface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 Dnitions et prliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 Gometrie dune sous varit admettant une p-forme parallle . . . . . . . . . . . 13 4.1 Rsultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5 Gomtrie de sous varits avec un nombre de betti non nul . . . . . . . . . . . . . 19 5.1 Deuxime rsultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6 Rfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1
  2. 2. 1 Ddicace Nos jours sont les jours de sang, dinjustice et des coeurs glacs, je ddie ce travail tout homme qui garde en lui le vrai sens dhumanit. Dr. Mehdi, veuillez accepter mes remerciments et mon respect. Vous tes toujours en train de nous encourager et nous assurer le meilleur, cest le critre dune me gnreuse. Dr. Habib, un grand remerciment pour votre aide et votre support qui mont aide accomplir ce travail, et un grand respect pour votre modestie remarquable. 2
  3. 3. 2 Prface Le but de ce papier rdig par Jean-Franois Grosjean, et intitul "Minimal Submanifolds with a parallel or a harmonic p-form" est dtudier la non existence dune immersion minimale dune va- rit riemannienne M admettant une p-forme parallle ou harmonique non triviale dans une autre varit N. Dans la premire partie, on suppose que M admet une p-forme prallle non triviale et on dmontre que sous une certaine condition sur les courbures, il nexiste pas une immersion minimale de M dans N. Dans la deuxime partie de cet article, on fait la mme chose, mais on tudie le cas o M admet une p-forme harmonique non triviale et un nombre de betti non nul. 3
  4. 4. 3 Dnitions et prliminaires On admet dans cet article que (Mm , g) est une varit riemannienne de dimension m immerge isomtriquement dans une autre varit riemannienne (Nn , h) de dimension n avec n > m. Soit lidentit cette immersion et soit (ei)i=1,...,m une base orthonormale sur M. On note par la connexion de Levi-Civita de M et par celle de N. Le tenseur de courbure d une varit riemannienne (Mm , g) est dni par : R : (M)(M) (M) (M) C (M) (X, Y, Z, T) R(X, Y, Z, T) = g(R(X, Y, Z), T) avec R(X, Y )Z = [X,Y ]Z [ X, Y ]Z. Dans la suite on notera R(i,j,k,l) par Rijkl. Le tenseur de Ricci est un 2-tenseur symtrique donn par : Riccip(Xp, Yp) = Xi pY j p gkl p Rkijl(p). Finalement, on dnit la courbure scalaire comme tant la trace du tenseur de Ricci. Dautre part, si on suppose que est un plan de TpM engendr par {Xp,Yp}, alors on dnit la courbure sectionnelle par : kp() = R(Xp, Yp, Xp, Yp) Xp 2 Yp 2 < Xp, Yp >2 . De plus, si (Mm , g) est isomtriquement immerge dans une autre varit riemannienne (Nn , h), alors la courbure moyenne est donne par : H(x) = 1 m m i=1 ki(x), o les ki sont les valeurs propres de la deuxime forme fondamentale de limmersion B(X, Y ). Le produit scalaire entre deux p-formes et est donn par : < , >= 1 p! m i1,...,ip=1 i1...ip i1...ip , o i1...ip , est la notation adapte (ei1 , ..., eip ). Le produit intrieur dun champ de vecteur X (M) par une p-forme est : iX(X1, ..., Xp1) = (X, X1, ..., Xp1), 4
  5. 5. avec X1, .., Xp1 sont des champs de vecteurs sur M. De mme, on dnit le produit intrieur dune q-forme par comme tant : (3.1) iX1...Xq (Y1, ..., Ypq) = (Xq, ..., X1, Y1, ..., Ypq), pour tout Y1, .., Ypq (M). Pour une p-forme sur M, on dnit la drive covariante de par : ( )(X, X1, ..., Xp) = X(X1, ..., Xp) m i=1 (X1, ..., XXi, ..., Xp). Une p-forme est dite parallle si = 0. Si (Mm , g) est de plus oriente, alors on dnit loprateur de Hodge par : : p M mp M ( )(X1, ..., Xmp)g = X 1 ... X mp, o g est une forme volume sur p M. Soient une p-forme sur M, une q-forme sur M et X (M). Alors on a : (3.2) iX( ) = iX + (1)p iX. Si on note par X la forme duale de X, on aura : (3.3) < iX, >=< , X > . Si M est oriente, alors loprateur de Hodge vrie lgalit suivante : (3.4) iX( ) = (1)p (X ). Soient une 1-forme valeur dans R et une 1-forme valeur dans un br vectoriel. On dnit le 2-tenseur par : ( )(X, Y ) = (X)(Y ) + (Y )(X), o X et Y sont des champs des vecteurs sur M. Si la varit riemannienne (Mm , g) est compacte et une p-forme sur M, alors on dnit le laplacien de Hodge de Rham par : = dd + d d, o d est ladjoint de d pour le scalaire suivant : (, ) = M < , > 1 = M . 5
  6. 6. la proposition suivante va nous donner lexpression de suivant une base orthonormale (ei)i. Proposition 3.1 Soient (Mm , g) une varit riemannienne compacte de dimension m et une p-forme sur M, alors on a : = m i=1 ei ei + m i=1 ei ei , o est ladjoint de pour le scalaire donn ci-dessus. Preuve : Soient et deux p-formes, la compatibilit de avec la mtrique nous donne : < , >= m i=1 < ei , ei >= m i=1 (ei < , ei > < , ei ei >). On dnit le champ de vecteurs X de (M) tel que g(X, ei) =< , ei >, alors lgalit devient : < , > = m i=1 eig(X, ei) m i=1 < , ei ei > = m i=1 g( ei X, ei) + m i=1 g(X, ei ei) m i=1 < , ei ei > = div(X)+ < , m i=1 ei ei m i=1 ei ei > . En intgrant sur M, et par la formule de Stokes, on trouve que : M < , > g = 0 + M < , m i=1 ( ei ei ei ei) > g. Cest ce quil fallait dmontrer. Proposition 3.2 (Formule de Weitzenbck) Soit (Mm , g) une varit riemannienne compacte de dimension m et une p-forme sur M alors : (3.5) = + Rp(), o Rp() = m i,j=1 ej (iei R(ej, ei)). Preuve : En utilisant le fait que d = m i=1 ei ei et d = m i=1 iei ei , on a : 6
  7. 7. = d( m i=1 iei ei ) + d ( m i=1 ei ei ) = m i=1 d(iei ei ) + m i=1 d (ei ei ) = m i,j=1 ej ej (iei ei ) m i,j=1 iej ej (ei ei ) = m i,j=1 ej (i ej ei ( ei ) + iei ( ej ei )) m i,j=1 iej ( ei ei ei + ei ej ei ). Ici, on a utilis le fait que X(iY ) = i X Y + iY ( X), pour tout p-forme et pour tous vecteurs X et Y . Do : = m i,j=1 ej (i ej ei ( ei )) m i,j=1 ej iei ( ej ei ) m i,j=1 iej ( ej ei ei ) m i,j=1 iej (ei ej ei ) = m i,j=1 ej (i ej ei ( ei )) m i,j=1 ej (iei ( ej ei )) m i,j=1 (iej ( ej ei)) ( ei ) + m i,j=1 ( ej ei) (iej ei ) m i,j=1 (iej (ei)) ( ej ei ) + m i,j=1 ei (iej ( ej ei )). Puisque ( X)Y = X(Y ) ( XY ) pour toute 1-forme et vecteurs X et Y , alors : = m i,j=1 ej (i ej ei ( ei )) m i,j=1 ej (iei ( ej ei )) m i,j=1 (ej(j i ) < ei, ej ej >) ei + m i,j=1 ( ej ei) (iej ei ) m i,j=1 ei ei + m i,j=1 ei (iej ( ej ei )). Donc, on en dduit que : 7
  8. 8. = m i,j=1 ej (i ej ei ( ei )) m i,j=1 ej (iei ( ej ei )) + m i,j=1 < ej ej, ei > ei + m i,j=1 ( ej ei) (iej ei ) m i=1 ei ei + m i,j=1 ei (iej ( ej ei )) = + m i,j=1 ej (iei (R(ej, ei) [ej,ei])) + m i,j=1 ( ej ei) (iej ei ) m i,j=1 ej (i ej ei ( ei )) = + m i,j=1 ej (iei (R(ej, ei))) m i,j=1 ej iei [ej,ei] + m i,j=1 ( ej ei) (iej ei ) m i,j=1 ej (i ej ei ( ei )). Maintenant, on va estimer les trois derniers termes de lgalit. m i,j=1 ej (iei [ej,ei]) + m i,j=1 ( ej ei) (iej ei ) m i,j=1 ej (i ej ei ( ei )) = m i,j=1 ej (iei [ej,ei]) m i,j,k=1 < ej ek, ei > ek (iej ei ) + m i,j,k=1 ej (i< ej ek,ei>ek ei ) = m i,j=1 ej (iei [ej,ei]) m j,k=1 ek (iej ej ek ) + m j,k=1 ej (iek ej ek ) = m j,k=1 ek (iej [ek,ej]) + m j,k=1 ek (iej ( ek ej ej ek )) = 0 Consquence du thorme de Weitzenbck : Le thorme de Weitzenbck nous conduit au rsultat suivant : (3.6) 1 2 ||2 =< , > | |2 < Rp(), > . En effet : le scalaire de (3.5) par nous donne que : 8
  9. 9. < , > = m i=1 < ei ei , > + < Rp(), > = m i=1 (ei < ei , > < ei , ei >)+ < Rp(), > = m i=1 (ei(ei(< , >) < ei , >) < ei , ei >)+ < Rp(), > = m i=1 ei(ei(||2 )) + | |2 + m i=1 ei(< ei , >)+ < Rp(), > = m i=1 ei(ei(||2 )) + m i=1 ei( 1 2 ei(||2 )) + | |2 + < Rp(), > = 1 2 ||2 + | |2 + < Rp(), > . Ce qui termine la preuve. Maintenant, on va expliciter la valeur de < Rp(), > par la proposition suivante. Proposition 3.3 On a lgalit suivante : (3.7) < Rp(), >= m i,j=1 Ricij < iei , iej > 1 2 m i,j,k,l=1 Rijkl < ieiej , iekel >, pour toute p-forme sur M. Preuve : En utilisant le fait que R(ei, ej) = m i,j=1 R(ei, ej)ek iek , on calcule : < Rp(), > = m i,j,k=1 < iei (R(ei, ej)ek iek ), iej > = m i,j,k=1 (< iei (R(ei, ej)ek) iek , iej > < R(ei, ej)ek iei (iek ), iej >) = m i,j,k=1 < R(ei, ej)ek, ei >< iek , iej > + m i,j,k=1 < m l=1 < R(ei, ej)ek, el > el iei (iek ), iej > = m i,j,k=1 Rkiji < iek , iej > + m i,j,k,l=1 Rijkl < iei (iek ), iel (iej ) > = m i,j=1 Ricij < iei , iej > + m i,j,k,l=1 Rijkl < ieiek , ielej > . 9
  10. 10. En applicant lidentit de Bianchi la deuxime sommation, on aura m i,j,k,l=1 Rijkl < ieiek , ielej > = m i,j,k,l=1 Rjkil < ieiek , ielej > m i,j,k,l=1 Rkijl < ieiek , ielej > = m i,j,k,l=1 Rijkl < ieiek , ielej > m i,j,k,l=1 Rijkl < ieiej , iekel > . Donc m i,j,k,l=1 Rijkl < ieiek , ielej >= 1 2 m i,j,k,l=1 Rijkl < ieiej , iekel > . Ce qui donne lgalit dsire. Soient X, Y, Z et T (M). On dnit le tenseur R(X, Y ) par : R(X, Y ) = m i=1 R(X, ei, Y, ei). (dans la deuxime partie de l galit X et Y sont vus dans (N) par d). Le tenseur de courbure est un 2-tenseur symtrique de 2 N dans 2 N dni par : (3.8) < (X Y ), Z T >= R(X, Y, Z, T), o X,Y ,Z et T sont des champs de vecteurs sur N. On notera dans la suite sur N, la plus grande valeur propre de par 1 et la plus petite par 0 , la plus grande courbure sectionnelle par k 1 et la plus petite par k 0 ,la courbure scalaire de M par sc