ACT2025 - Cours 3

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Troisième cours

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Rappel:

• Valeur actuelle d’un capital

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Rappel:

• Valeur actuelle d’un capital

• Fonction d’actualisation

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Rappel:

• Valeur actuelle d’un capital

• Fonction d’actualisation

• Taux effectif d’escompte

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Rappel:

• Valeur actuelle d’un capital

• Fonction d’actualisation

• Taux effectif d’escompte

• Équivalence de taux

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Sur ce dernier point, nous avons vu que

Rappel:

où i et d sont deux taux équivalents, i désigne un taux effectif d’intérêt et d, un taux effectif d’escompte.

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Exemple 1:

Alex fait l’achat d’appareils électroménagers au montant total de 2400$ (incluant les taxes). Le vendeur lui fait deux offres:

1) soit qu’il paie 2400$ dans un an

2) soit qu’il paie immédiatement et a un escompte de 10%.

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Exemple 1 (suite):

Si le taux d’intérêt est de 11% par année, laquelle des deux options est la plus avantageuse pour Alex?

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Exemple 1 (suite):

Si le taux d’intérêt est de 11% par année, laquelle des deux options est la plus avantageuse pour Alex?

À quel taux d’escompte, les deux options sont équivalentes?

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Solution pour la première question:Dans la première option, la valeur actuelle du 2400$ payable dans un an est

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Solution pour la première question:

Dans la seconde option, la valeur après l’escompte est

Dans la première option, la valeur actuelle du 2400$ payable dans un an est

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Solution de la première question (suite):

Nous pouvons conclure que la deuxième option est la plus avantageuse pour Alex.

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Solution pour la deuxième question:

Notons par d le taux d’escompte pour lequel les deux options sont équivalentes. Alors nous avons

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Donc d = 9.9099099%.

Ceci est tout simplement la formule d’équivalence:

Solution pour la deuxième question:

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Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante:

Autres formules d’équivalence:

Nous avons

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Considérons un capital de 1 dollar à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle est

Explication de la formule:

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Autres formules d’équivalence:

Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante:

Nous avons vu que

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Explication de la formule:

Considérons un capital de 1 dollar à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle est

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Nous avons

Capital investi au début de la période:

Explication de la formule: (suite)

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Nous avons

Capital investi au début de la période:

Capital accumulé à la fin de la période:

Explication de la formule: (suite)

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Nous avons

Capital investi au début de la période:

Capital accumulé à la fin de la période:

Intérêt:

Explication de la formule: (suite)

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Autres formules d’équivalence:

Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante:

Nous avons que

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Explication de la formule:

Considérons deux prêts.

Le premier prêt est de 1 dollar et sera remboursé par le versement de (1 + i) dollar dans un an.

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Explication de la formule:

Considérons deux prêts.

Le premier prêt est de 1 dollar et sera remboursé par le versement de (1 + i) dollar dans un an.

Le second prêt sera remboursé par le versement de 1 dollar dans un an et l’emprunteur recoit initialement (1 - d) dollar.

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Explication de la formule: (suite)

La différence des montants prêtés est d

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Explication de la formule: (suite)

La différence des montants prêtés est d

L’intérêt sur la différence entre les montants prêtés est id

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Explication de la formule: (suite)

La différence des montants prêtés est d

L’intérêt sur la différence entre les montants prêtés est id

Mais ceci est aussi la différence entre l’intérêt

des deux prêts: i - d

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Il y a ainsi quatre formules à retenir:

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Il y a ainsi quatre formules à retenir:

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Il y a ainsi quatre formules à retenir:

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Il y a ainsi quatre formules à retenir:

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Escompte composé: (Description)

Dans cette situation, nous supposons que le taux effectif d’escompte est le même pour chaque période. Si nous notons le taux d’escompte composé par d, alors nous pouvons calculer la fonction d’actualisation

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Principal investi au début de la 1ère période pour avoir 1dollar à la fin de la 1ère période est (1 - d)

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Principal investi au début de la 1ère période pour avoir 1dollar à la fin de la 1ère période est (1 - d)

Principal investi au début de la 1ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 2e période est (1 - d)2

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Principal investi au début de la 1ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 1ère période est (1 - d)

Principal investi au début de la 1ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 2e période est (1 - d)2

En effet, pour obtenir 1 dollar à la fin de la 2e période, il faut (1 - d) dollars à la fin de la 1ère période et (1 - d)2 dollars au début de la 1ère période.

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Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonction d’actualisation dans une situation d’escompte composé:

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Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonction d’actualisation dans une situation d’escompte composé:

et nous sommes en mesure de calculer la fonction de capitalisation:

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L’escompte composé est équivalent à l’intérêt composé. L’équivalence est obtenue par la formule:

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Escompte simple: (Description)

Dans cette situation, nous supposons que le montant d’escompte est le même pour chaque période. Si nous notons le taux d’escompte simple par d, alors nous pouvons calculer la fonction d’actualisation.

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Principal investi au début de la 1ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 1ère période est (1 - d)

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Principal investi au début de la 1ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 1ère période est (1 - d)

Principal investi au début de la 1ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 2e période est (1 - 2d)

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Principal investi au début de la 1ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 1ère période est (1 - d)

Principal investi au début de la 1ère période pour avoir 1 dollar à la fin de la 2e période est (1 - 2d)

En effet, pour obtenir 1 dollar à la fin de la 2e période, il faut (1 - d) dollars à la fin de la 1ère période et (1 - 2d) dollars au début de la 1ère période.

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Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonction d’actualisation dans l’escompte simple:

Noter que nous devons supposer

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Nous sommes aussi en mesure de calculer la fonction de capitalisation:

L’escompte simple n’est pas équivalent à l’intérêt simple!

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En effet, nous ne pouvons pas trouver un taux d’intérêt i tel que

Le terme de droite de l’équation ci-dessus est une fonction linéaire, alors que le terme de gauche ne l’est pas.

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Exemple 2:

Alex contracte un prêt auprès de Béatrice. Il lui remboursera 4000$ dans 5 ans. Le taux d’escompte composé de ce prêt est 4.75% par année.

Quel est le montant que Béatrice remet à Alex au début des 5 ans?

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Exemple 2: (suite)

Nous devons calculer la valeur actuelle de 4000$ payable dans 5 ans au taux d’escompte composé de 4.75%. Nous obtenons

4000(1 - 0.0475)5 = 3136.06 $

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Exemple 2: (suite)

c’est-à-dire que le taux d’intérêt équivalent est 4.9868766%. Nous obtenons alors une autre approche.

Nous aurions aussi pu calculer le taux d’intérêt composé équivalent au taux d’escompte 4.75% par année

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Exemple 2: (suite)

Il nous faut calculer la valeur actuelle de 4000$ payable dans 5 ans au taux d’intérêt composé de 4.9868766% par année. Nous obtenons que Alex reçoit

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Cléo contracte un prêt auprès de la banque desRichards. Elle recoit 5875$ maintenant et elle remboursera ce prêt en versant L dollars dans 5 mois. Le taux d’escompte simple de ce prêt est 5% par année.

Quel est le montant remboursé L?

Exemple 3:

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Exemple 3: (suite)

Nous voulons calculer la valeur accumulée de 5875$ dans 5 mois au taux d’escompte simple 5% par année. Cette valeur est

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Comparaison:

Si nous comparons les fonctions d’actualisation dans les cas de l’escompte simple et de l’escompte composé pour le même taux d, nous obtenons le graphique suivant:

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Nous avons que

et

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Jusqu’à présent, l’intérêt était capitalisé qu’une seule fois par période. Il existe un autre type de

taux tant pour l’intérêt que l’escompte: le taux nominal

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Exemple 4:

Sur l’état de compte d’une compagnie de crédit, il est indiqué comme intérêt (pour les achats ou les avances): 18.50% par année et 0.05068% par jour.

Comment interpréter ce taux de 18.50% par année?

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Si nous considérons le taux 0.05068% par jour et calculons le montant d’intérêt versé sur un prêt de 1$ pour une année, nous aurons

(1 + 0.0005068)365 - 1 = 1.203140402 - 1 = 0.203140402

Exemple 4: (suite)

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Si nous considérons le taux 0.05068% par jour et calculons le montant d’intérêt versé sur un prêt de 1$ pour une année, nous aurons

(1 + 0.0005068)365 - 1 = 1.203140402 - 1 = 0.203140402

Ce taux quotidien de 0.05068% correspond à un taux annuel de 20.3140402% par année et non au taux de 18.50% par année.

Exemple 4: (suite)

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La raison est que le 18.50% est un taux nominal d’intérêt. Nous avons ici que

Exemple 4: (suite)

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Taux nominal d’intérêt:

Si l'intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux d'intérêt pour chacun de ces m-ièmes de période est

alors nous disons que le taux nominal d'intérêt est i(m)

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Donc pour déterminer le taux d’intérêt par période de capitalisation, il nous faut diviser le taux nominal par m.

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Exemple 5:

Un placement est rémunéré au taux nominal d’intérêt de 8% par année capitalisé trimestriellement, c’est-à-dire i(4) = 8% par année.

Si Zénon veut accumuler 10000$ après 5 ans, quel montant doit-il investir?

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Le taux d’intérêt par trimestre (i.e. par trois mois) est de

Pendant 5 ans, il y a 5 x 4 = 20 trimestres et l’intérêt sera capitalisé 20 fois

Exemple 5: (solution)

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Nous cherchons donc la valeur actuelle de 10000$ payable après 20 périodes de capitalisation dont le taux d’intérêt est de 2%:

10000(1 + 0.02)-20 = 6729.71 $

Exemple 5: (solution)

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Équivalence de taux:

Si nous considérons 1 dollar investi et calculons la valeur accumulée au taux nominal d’intérêt i(m) par année capitalisé m fois par année, nous obtenons

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L’intérêt sera capitalisé m fois pendant l’année au taux d’intérêt par m-ième de période égal à

Équivalence de taux: (suite)

et la valeur accumulée est

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Si le taux effectif d’intérêt i est équivalent au taux nominal d’intérêt i(m), alors

Équivalence de taux: (suite)

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Donc

et

Équivalence de taux: (suite)

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Exemple 6:

Si 2500$ est placé dans un compte de banque rémunéré au taux nominal d’intérêt de 9% par année capitalisé mensuellement, alors quelle sera la valeur accumulée à la fin de la 2e année?

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Exemple 6: (suite)

Dans cette situation, le taux d’intérêt est le taux nominal

i(12) = 9%, i.e. que le taux d’intérêt par mois est

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Exemple 6: (suite)

Dans cette situation, le nombre de périodes de capitalisation est

24 = 12 x 2

parce qu’il y a 12 mois dans une année et le capital est investi pour 2 années.

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Exemple 6: (suite)

Dans cette situation, le nombre de périodes de capitalisation est

24 = 12 x 2

parce qu’il y a 12 mois dans une année et le capital est investi pour 2 années.

La valeur accumulée sera 2500(1 + 0.0075)24 = 2991.03 $

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Taux nominal d’escompte:

Si l’intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux d’escompte pour chacun de ces m-ièmes de période est

alors nous disons que le taux nominal d’escompte est d(m)

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Si nous calculons la valeur actuelle de 1 dollar payable dans un an au taux nominal d’escompte d(m), alors nous obtenons

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Équivalence de taux:

Supposons que les taux suivants sont équivalents

Taux effectif d’intérêt: i

Taux nominal d’intérêt: i(m)

Taux effectif d’escompte: d

Taux nominal d’escompte: d(p)

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En calculant la valeur actuelle de 1 dollar payable à la fin de l’année, nous obtenons

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En calculant la valeur actuelle de 1 dollar payable à la fin de l’année, nous obtenons

En calculant la valeur accumulée par un investissement de 1$ pendant une année, nous obtenons

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L’équivalence de taux est obtenue par les formules équivalentes

et