Post on 10-Feb-2016
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3. Logique et mathématiques
Frege
Frege
(1848 – 1925) Après que la
mathématique se fut pour un temps écartée de la rigueur euclidienne, elle y revient, et non sans de vifs efforts pour la dépasser
Manque de rigueur?
Newton: les fluxions o : une « particule atomique de temps », un
« infiniment petit » mais infiniment petit : terme contradictoire Paradoxes de Zénon Séries infinies
...11111111
....000...)11()11()11()11(
...1)11()11()11(1
1)11()11()11(1...11111111
Niels Abel (1826):– « [les séries divergentes]
sont quelque chose de bien fatal et c’est une honte qu’on ose y fonder aucune démonstration… Ce sont elles qui ont fait tant de malheurs et causé tant de paradoxes »
Niels Abel
La vie de Niels Abel, mathématicien norvégien né le 5 août 1802, est marquée par la pauvreté. Son père était pourtant un éminent homme politique norvégien, mais à la fin de sa vie il est tombé en disgrâce, et quand il meurt en 1820, c'est Abel qui doit supporter la charge de la famille. Grâce à l'aide financière de ses professeurs, il parvient cependant à poursuivre ses études et à faire ses premières découvertes. Mais ses mémoires sont perdus par Cauchy, mésestimés par Gauss.
Après son doctorat, Abel ne parvient pas à trouver un poste, ses conditions de vie sont de plus en plus précaires et sa santé se fait fragile : il est atteint de la tuberculose. Malgré des déplacements à Paris et à Berlin, ses travaux ne sont toujours pas perçus à leur juste valeur. Dans ses dernières semaines, il n'a plus assez de force pour quitter son lit. Il décède le 5 avril 1829, à même pas 27 ans, alors qu'un ami venait juste de lui trouver un poste à Berlin.
Cauchy, Weierstrass
quand n tend vers si et seulement si :lun
luNnnN n)(0
La Begriffschrift-1
« je n’ai pas voulu faire un simple calculus ratiocinator, mais une lingua characterica au sens de Leibniz »
La Begriffschrift-1
Sujet / Prédicat Objet / Fonction x2 – 4x _ conquit la Gaule Les objets (expressions saturées) ont une
dénotation Donc aussi les propositions La dénotation d’une proposition est soit le vrai,
soit le faux
Idée de système formel Les déductions obtenues « par le seul
moyen des règles données pour l’utilisation de nos signes »
Comme chez Euclide : axiomes)( aba
))()(())(( acbcabc ))()(()( acbcab
La Begriffschrift-2
aba
acbcabc
acbca
axiomes
A
Règle d’inférence
A
A
A
baab
aa
aa
négation
axiomes
acbcabcab
aba
acbcabc
soit à prouver : avec les axiomes
Exemple de déduction
ab
aba
acbcabc
dans
mettre à la place de a
et à la place de b
acbcabc
acbcabc
ab
acbcabc
acbcabc
ab
acbcabc
acbcabc
ab
ab
acbcabc
acbcabc
(A)
(a)a
(a)a
(a)a
A
Fonctions et champ
Beaucoup de flèches n’ont pas atteint la cible
Pas beaucoup de flèches ont atteint la cible
la cible n’a pas été atteinte par beaucoup de flèches
(a)a
A
(a)a
A
assertions et contenus