Cours de Mathématiques supérieures · 2020. 3. 16. · Chapitre1–Logique&calculalgébrique 1....

Exercices – Chapitre 1

1. Logique

Exercice 1Une île lointaine comporte deux sortes d’habitants : les Purs qui disent toujoursla vérité et les Pires qui mentent toujours. Chaque habitant de l’île est soit unPur soit un Pire. Trois habitants Albert, Bernard et Charles sont ensemble quandun étranger vient demander à Albert :

Êtes-vous un Pur ou un Pire ?

Albert répond en bredouillant de sorte que l’étranger ne comprend pas sa réponse.Alors l’étranger demande à Bernard :

Qu’est-ce qu’il a dit ?

Bernard répond :

Il a dit qu’il est un Pire.

Charles intervient alors :

Ne croyez pas Bernard, il ment.

Déterminer si Bernard et Charles sont des Purs ou des Pires. Que peut-on dire deAlbert ?

Exercice 2Étant donné trois assertions P, Q et R vérifier en dressant une table de vérité :

1. non(P =⇒ Q) ⇐⇒ P et non(Q)

2. P ou (Q et R) ⇐⇒ (P ou Q) et (P ou R)

Exercice 3On considère les quatre assertions suivantes :

∃x ∈R, ∀y ∈R, x+ y> 0 (1.1)

∀x ∈R, ∀y ∈R, x+ y> 0 (1.2)

∀x ∈R, ∃y ∈R, x+ y> 0 (1.3)

∃x ∈R, ∀y ∈R, y2 > x (1.4)

1. Indiquer pour chacune des assertions si elles sont vraies ou fausses.

2. Écrire la négation de chacune des assertions.

Exercice 4Démontrer :

6≥ 254

=⇒p

6≤ 52

L’implication est elle une équivalence?

Exercice 5Soit f : I →R où I est un intervalle de R. En utilisant des quantificateurs, traduireles assertions suivantes :

1. f est la fonction nulle,

2. f s’annule sur l’intervalle I,3. f n’est pas constante

4. f est strictement croissante sur I,5. f atteint son maximum au point x0.

6. f présente un minimum

Exercice 6

1

Chapitre 1 – Logique & calcul algébrique

1. Démontrer que, pour tout a,b ∈R2 :

(a−b)(a+b)= a2 −b2

2. Lorsque a =p2 et b = 1, en déduire :

p2= 1p

2−1−1

3. Sip

2= pq avec p, q > 0, en déduire :

p2= 2q− p

p− q

En déduire par l’absurde quep

2 est irrationnel.

2. Récurrence

Exercice 7Soit x > 1 tel que x+ 1

x ∈N∗.

1. Donner un exemple de réel x > 1 tel que x+ 1x ∈N∗

2. Dans le cas général, démontrer que :

∀n ∈N, xn + 1xn ∈N∗

Exercice 8

Montrer que pour tout n ∈N∗ :(2n)!(n!)2

≥ 4n

2p

n

Exercice 9On définit une suite (un)n∈N de nombres réels par u0 = 1, u1 = 2, u2 =−2 et :

∀n ∈N, un+3 = 2un+2 +un+1 −2un

Montrer que :

∀n ∈N, un = 3−2n − (−1)n

Exercice 10Soit n ∈N. Déterminer an, bn, cn et dn entiers réalisant :

n∏p=0

p(p+1)+ (1− i)p(p+1)+ (1+ i)

= an +bn icn +dn i

Exercice 11

1. Montrer que, pour tout k ≥ 2 :1k2 ≤ 1

k− 1

k−1

2. En déduire que, pour tout n ≥ 1 :n∑

k=1

1k2 ≤ 2

3. Démontrer par récurrence sur n ≥ 1 :n∑

k=1

1k2 ≥ 3

2n+1

3. Ensembles et applications

Exercice 12A, B et C sont trois sous ensembles d’un ensemble E. Prouver que si

(A∪B

)⊂(A∪C

)et

(A∩B

)⊂ (A∩C

)alors B ⊂ C.

Exercice 13

2

Chapitre 1 – Logique & calcul algébrique

1. Soit f l’application de R2 dans R2 qui à (x, y) associe (x+ y,2x+ y). Est elleinjective ? Est elle surjective ?

2. Même questions avec g : (x, y) 7→ (x+ y, xy),

3. Soit h l’application de R2 dans R2 qui à (x, y) associe (2x+3y−1, x− y+1).Montrer que h est bijective et déterminer h−1.

Exercice 14Soient f : N→N définie par :

f (n)= 2n

et g : N→N définie par :

g(n)=

n2 si n est pair,0 si n est impair

Déterminer g f et f g. Donner les propriétés de f et g (injective, surjective,bijective).

Exercice 15Pour toute partie A d’un ensemble E, on appelle fonction caractéristique de A eton note 1A l’application de E dans

0,1

qui à x associe 1 si x ∈ A, 0 si x 6∈ A.

1. Prouver que l’application P (E)→ 0,1

E qui à A associe 1A est une bijection

2. Déterminer, en fonction de 1A et 1B les fonctions caractéristiques des troisparties suivantes : A∩B, A∪B et A.

3. Utiliser la notion de fonction caractéristique pour prouver l’égalité :

A∪(B∩C

)=(A∪B

)∩(A∪C

)Exercice 16f , g et h sont trois applications d’un ensemble E dans lui même. Montrer que sih g f et g f h sont injectives (resp. surjectives) et f h g est surjective (resp.injective) alors f , g et h sont bijectives.

Exercice 17A et B sont deux parties d’un ensemble E. f est une application de E dans unensemble F

1. Prouver que f(A∪B

)= f (A)∪ f (B),

2. Comparer f(A ∩B

)et f (A)∩ f (B). Envisager le cas particulier où f est

injective

3. Utiliser la question 2 pour donner une caractérisation de l’injectivité de f .

4. Calculs algébriques, coefficients binomiaux

Exercice 18

Demontrer que :n∑

k=0(−1)kk = (−1)n n(n+1)

2

Exercice 19

Soit f la fonction définie par : ∀x ∈R, f (x)=n∑

k=0xk

1. Démontrer que f est de classe C ∞ sur R et vérifie :

∀x ∈R, (x−1) f (x)= xn+1 −1

2. En dérivant la relation précédente, en déduire la valeur de f (1), puis en

dérivant deux fois la relation, en déduire la valeur de σn =n∑

k=0k.

3. Calculern∑

k=02kk.

3

Chapitre 2 –

4. Comment pourrait-on calculer σn,p =n∑

k=0kp pour p = 2, p = 3 ?

Exercice 20

Soit n ∈N∗. Prouver que : S =n∑

k=0k2 =

n∑i=0

n∑j=0

min(i, j). En déduire S.

Exercice 21Simplifier les sommes suivantes :

n∑i=0

n∑j=0

xi+ jn∑

i=0

n∑k=i

ik+1

n∑i=0

n∑j=0

(i+ j

)2n∑

i=0

n∑k=i

i2

k

Exercice 22

1. Montrer que, pour tout n ∈N∗ :n∑

k=1

1n+k

≥ 12

2. En déduire que, pour tout n ∈N :2n∑

k=1

1k≥ n

2

3. En déduire :n∑

k=1

1k−−−−−→n→+∞ +∞

Exercice 23

1. Pour n entier naturel non nul, calculer :

A =n∑

k=0k

(nk

)B =

n∑k=0

k2

(nk

)

Indication On pourra exprimer A et B en fonction de f : x 7−→ (1+ x)n etde ses dérivées au point 1

2. En utilisant l’identité : (1+ x)n+p = (1+ x)n(1+ x)p justifier l’égalité :

∑(i, j)

∣∣i+ j=k

(ni

)(pj

)=

(n+ p

k

)

En déduire quen∑

k=0

(nk

)2

=(2nn

)

Exercice 24Calculer :

n∑k=0

(−1)k

2k

(nk

)n∑

k=022k

(nk

)n∑

k=0

(−1)k

k+1

(nk

)n∑

k=0(k+1)(k+2)

(nk

)

4


1. Systèmes linéaires

Exercice 1Résoudre le système d’inconnues (x, y, z) ∈R3 :

x+ y−2z = 54x− y+2z = 02x−3y+3z = 5

Exercice 2Soit m ∈R. Résoudre le système d’inconnues (x, y, z) ∈R3 :

x−2y+4z = 22x−4y+2z = 12x+ y−8z =−1

2. Systèmes avec paramètres

Exercice 3Soit (a,b, c,d) ∈R4. Résoudre le système d’inconnues (x, y, z, t) ∈R4 :

x+ y+ z+ t = ax− y− z+ t = b−x− y+ z+ t = c−3x+ y−3z−7t = d

Exercice 4Soit (a,b, c,d) ∈R4. Résoudre le système d’inconnues (x, y, z, t) ∈R4 :

4x+3y+2z+ t = ax+4y+3z+2t = b2x+ y+4z+3t = c3x+2y+ z+4t = d

Exercice 5Soit f : R3 →R3 définie (avec la convention des vecteurs colonnes) par :

f

xyz

=x+7y+2z−2x+ y+ z−x+2y+ z

1. Résoudre l’équation d’inconnue (x, y, z) : f

xyz

=0

00

. f est elle injective ?

2. Identifier Im( f ). f est elle surjective ?

3. Paramètres dans les coefficients

Exercice 6Soit m ∈R. Résoudre le système d’inconnues (x, y, z) ∈R3 :

x+my+ z = 1(m+1)x+2y+ (m−3)z =−1(m−1)x−3z =−1

5

Chapitre 2 – Systèmes linéaires

Exercice 7Soit (a,b, c,d) ∈R4. Résoudre le système d’inconnues (x, y, z) ∈R3 :

x+ y+ z = 1ax+by+ cz = da(a−1)x+b(b−1)y+ c(c−1)z = d(d−1)

Exercice 8Soit (α,β,γ,a,b, c) ∈R6. Résoudre le système d’inconnues (x, y, z) ∈R3 :

xcos(2α)+ ycos(α)+ z = axcos(2β)+ ycos(β)+ z = bxcos(2γ)+ ycos(γ)+ z = c

Exercice 9Soit (a,b, c, p, q, r) ∈R6. Résoudre le système d’inconnues (x, y, z) ∈R3 :

ax−by= pby− cz = qcz−ax = r

Exercice 10Soit (a,b) ∈R2. Résoudre le système d’inconnues (x, y, z) ∈R3 :

ax+by+ z = 1x+aby+ z = bx+by+az = 1

Exercice 11Soit a ∈R. Résoudre le système d’inconnues (x, y, z) ∈R3 :

x1+a

+ y1+2a

+ z1+3a

= 1

x2+a

+ y2+2a

+ z2+3a

= 1

x3+a

+ y3+2a

+ z3+3a

= 1

4. Équations de droites et de plans

Exercice 12On pose A(−3,−1), B(4,1), C(−2,3) et −→u (1,2).

1. Donner une équation cartésienne de P = (AB),

2. Donner une équation cartésienne de la droite P ′ passant par C et dirigéepar −→u ,

3. Déterminer P ∩P ′.

Exercice 13Former une équation du plan P passant par A(3,4,−1) et dirigé par la famille devecteurs indépendants

(−→u (1,−1,2),−→v (2,1,−3)).

Exercice 14On considère les plans P et P ′ d’équations respectives

(P ) : 2x−4y+3z+5= 0

(P ′) : x−2y+3z−2= 0

1. Vérifier qu’il ne sont pas parallèles et donner une paramétrisation de leurintersection.

6

Chapitre 3 –

2. Former une équation du plan P ′′ passant par A(2,−2,0) et perpendiculaireà P et à P ′.

Exercice 15Déterminer une équation du plan P passant par O et contenant la droite D dontun système d’équations cartésiennes est

x−2z−1= 0y+4z+2= 0

puis déterminer une équation du plan P ′ perpendiculaire à P et contenant ladroite D′ dont un système d’équations cartésiennes est

x =(

23

)z+1

y=(

43

)z+1

Exercice 16Soit D la droite :

x+ y−3z+1= 02x− y+6z−3= 0

et D′ la droite passant par A(2,−1,1) et dirigée par −→u = 1

2−3

.1. Identifier un point B et un vecteur directeur −→v de D.

La perpendiculaire commune à D et D′ est l’unique droite ∆ de direction ortho-gonale aux directions de D et D′, qui coupe chacune des droites D et D′ en unpoint.

2. Identifier une équation du plan P contenant D et ∆. On pourra remarquerque ce plan contient le point B, et qu’il est dirigé par les vecteurs −→v (vecteurdirecteur de D) et −→u ∧−→v (vecteur directeur de ∆, orthogonal aux vecteursdirecteurs de D et D′).

3. En identifiant demême une équation du planP ′ contenantD′ et∆, identifierun point C et un vecteur directeur −→w de ∆.

7


1. Encadrements, équations

Exercice 1Soit x ∈]−4,2[ et y ∈]−2,3[. Déterminer le meilleur encadrement possible pour leproduit xy.

Indication On inverse le sens des inégalités lorsqu’on multiplie par un nombrenégatif…

Exercice 2Démontrer pour a et b réels la double inégalité :∣∣|a|− |b| ∣∣≤ |a+b| ≤ |a|+ |b|

Rappel La valeur absolue est définie par :

|x| =

x si x ≥ 0−x si x ≤ 0

Exercice 3m désigne un paramètre réel. Résoudre et discuter les inéquations réelles :

x−mm−2

> 3− x

etp

2x+m ≥ x+1

Indication Attention, lorsque l’on multiplie une inégalité par un nombre négatif,il faut inverser le sens de l’inégalité. De même,

pa ≥ b est automatiquement

vérifié lorsque b ≤ 0…

Exercice 4m désigne un paramètre réel. Déterminer m pour que l’équation d’inconnue x :

m2x2 + (m+3)x+4= 0

ait deux racines réelles positives.

Exercice 5Soient x, y ∈R+. Montrer :

pxy≤ x+ y

2

Cas d’égalité ?

Exercice 6Résoudre l’équation d’inconnue x ∈R :

x+√

3x2 −2x−1= 1

Exercice 7Soient (x, y) ∈ ]−1,1

[2. Montrer :

x+ y1+ xy

∈ ]−1,1[

Exercice 8Soient (x, y, z) ∈R∗+ tels que x ≤ y+ z. Montrer :

xx+1

≤ yy+1

+ zz+1

8

Chapitre 3 – Fonctions usuelles

2. Fonctions usuelles

Exercice 9Représenter graphiquement la fonction f définie par :

f (x)=∫ 1

0|x− t|dt


ln(

x+34

)= 1

2

(ln(x)+ ln(3)

)Exercice 11Résoudre l’équation d’inconnue x ∈ [

0,2π]:

ln(sin(x))+ ln(cos(x))= ln(p

3)−2ln(2)

Exercice 12Soit f la fonction définie par :

f (x)=−2x√− ln(x)

Étudier f et donner l’allure de sa courbe représentative.


ln |2x+1|+ ln |x+3| < ln(3)


logx(10)+2log10x(10)+3log100x(10)= 0

Exercice 15Résoudre l’équation d’inconnue x ∈R+ :(p

x)x = x

px

Indication On définit ab pour tout b ∈R et a > 0 par :

ab = exp(b ln(a))

Exercice 16a > 0 étant fixé, résoudre dans

(R+∗)2 :

xy = yx

y= ax

Exercice 17Soit f la fonction définie par

f (x)= 1−|exp(x)−exp(3x)|

Étudier f et donner l’allure de sa courbe représentative.

Exercice 18Montrer que pour tout x ∈]0,1[

xx(1− x)1−x ≥ 12

9

Chapitre 3 – Fonctions usuelles


22x −3x− 12 = 3x+ 1

2 −22x−1

Exercice 20Étudier la dérivabilité de f et exprimer f ′(x) lorsqu’il existe dans les cas suivants :

f (x)= ln∣∣x2 −5x+6

∣∣ f (x)=√

exp(x)−1

f (x)= cos(p

x)

f (x)= ln(x)−1ln(x)+1

f (x)= xx f (x)= (1+ x)1x

3. Fonctions trigonométriques et réciproques

Exercice 21Prouver :

1. Pour tout x > 0, arctan(x)+arctan(

1x

)= π

2

2. Pour tout x < 0, arctan(x)+arctan(

1x

)=−π

2

3. Pour tout x ∈ [0,1], arcsin(p

x)+arcsin

(p1− x

)= π

2

4. Pour tout x ∈]0,1], arcsin(2x−1)+2arctan

(√1− x

x

)= π

2

Exercice 22Résoudre dans R les équations suivantes :

arcsin(x)+arcsin(2x)= π

2

arcsin(sin(x)

)= π

9

arctan(x)+arctan(p

3x)= 7π

12Exercice 23Donner l’allure de la courbe représentative de la fonction f dans chacun des cassuivants :

f (x)= arcsin(

2x1+ x2

)

f (x)= arccos

√1+sin(x)

2

−arcsin

√1+cos(x)

2

Exercice 24

1. Démontrer que, pour tout (a,b) ∈R2 tels que ab 6= 1, il existe k ∈ −1,0,1

tel que :

arctan(a)+arctan(b)= arctan(

a+b1−ab

)+kπ

2. En déduire les différentes formules :

π

4= arctan

(12

)+arctan

(13

)π

4= 2arctan

(12

)−arctan

(17

)π

4= 2arctan

(13

)+arctan

(17

)π

4= 4arctan

(15

)−arctan

(1

239

)

10

Chapitre 4 –

Remarque : La première formule est dûe à Euler, la seconde à Hermann, latroisième à Hutton (1776) et la dernière est la formule de Machin (1706), uti-lisée par John Machin pour calculer 100 décimales du nombre π. C. Störmer(Bulletin de la S.M.F, tome 27 (189), p. 160–170) a démontré qu’il n’existepas d’autre solution pour l’équation d’inconnues (i, j,k,m,n) ∈ (Z∗)5 :

marctan(

1i

)+narctan

(1j

)= k

π

4

Il existe d’autres formules comme la formule de Jurij Vega :

aπ

4= 5arctan

(17

)+2arctan

(3

79

)grâce à laquelle Vega porté le record de calcul des décimales de π à 140décimales le 20 août 1789.

4. Fonctions hyperboliques

Exercice 25

Soient x ∈R et n ∈N. Calculern∑

k=0

(nk

)ch(kx) et

n∑k=0

(nk

)sh(kx)

Exercice 26

Soient (a,b) ∈R2 et n ∈N. Calculern∑

k=0ch(a+kb)


5ch(x)−4sh(x)= 3

Exercice 28Simplifier les expressions suivantes :

ϕ1(x)= sh2(x)cos2(y)+ch2(x)sin2(y)

ϕ2(x)= arctan(exp(x))−arctan(th

( x2

))ϕ3(x)= ln

(√1+ th(x)1− th(x)

)

Exercice 29a, b et x étant des réels fixés :

1. Calculer ch(a+b) en fonction de ch(a), ch(b), sh(a) et sh(b).

2. En déduire ch(x) en fonction de sh( x

2)et de ch

( x2)

11


1. Forme algébrique, forme trigonométrique

Exercice 1a est un complexe fixé. Trouver l’ensemble des nombres complexes z tels que a−za

1−zsoit réel.

Exercice 2a, b et c sont des complexes fixés. Montrer que :

|1+a|+ |a+b|+ |b+ c|+ |c| ≥ 1

Exercice 3Soient z, a et b trois nombres complexes tels que z = a+ ib. démontrer que|z|2 = a2 +b2 si et seulement si z = 0 ou (a,b) ∈R2.

Exercice 4

1. a est un réel appartenant à [0,2π[, n un entier naturel non nul. Écrire(1+ ieia)n

sous forme trigonométrique.

2. Utiliser z = 1+ip3+i

pour calculer cos(π12

)et sin

(π12

)puis déterminer n ∈ N

pour que zn ∈R+.

Exercice 5On pose ω= exp

(i 2π

7), S =ω+ω2 +ω4 et T =ω3 +ω5 +ω6.

1. Montrer que S et T sont conjugués et que Im(S) est positive ou nulle.

2. Calculer S+T, ST puis S et T.

Exercice 6Résoudre les équations d’inconnues z ∈C :

1. z3 − (1+2i)z2 + (9i−1)z−2(1+5i)= 0

2.(

z− iz+ i

)4= 1 3. (1− i)4 = z4

4. z4 − (2x+1 cos(x)

)z2 +22x = 0 5. z7 = z

6. 2z+ z = |z|2 7.(

1− iz1+ iz

)n= 1− i tan(a)

1+ i tan(a)

RemarqueDans l’équation 4, x est un paramètre réel appartenant à

[0,2π

[.

Dans l’équation 7, a est un paramètre réel appartenant à]−π

2 , π2[et n un entier

naturel non nul.

Indication L’équation 1 et l’équation 5 possèdent une racine réelle

Exercice 7Trouver un nombre complexe z possédant la propriété suivante : il existe deuxéléments n et p de R∗ tels que zn = 1 et (1+ z)p = 1.

Exercice 8Soit n un entier naturel non nul et a un nombre complexe. Les deux propriétéssuivantes sont elles équivalentes ?

1. |a| = 1,

2. Les racines de l’équation d’inconnue z ∈C :(

1+ iz1− iz

)n= a sont toutes réelles.

12

Chapitre 4 – Nombres complexes

Exercice 9En utilisant la formule du binôme pour

(1±1

)n, calculer :

S = ∑0≤2k≤n

(−1)k

(n

2k

)

En utilisant la formule du binôme pour(1+ x

)n avec x = 1, x = j et x = j2 oùj = exp

( 2iπ3

)calculer :

S0 =∑

k tel que0≤3k≤n

(n

3k

)S1 =

∑k tel que

0≤3k+1≤n

(n

3k+1

)S2 =

∑k tel que

0≤3k+2≤n

(n

3k+2

)

2. Fonctions trigonométriques et nombres complexes

Exercice 10Prouver que

n∑k=1

12k cos

(kπ3

)= 1

2n

p3

3sin

( nπ3

)Exercice 11Prouver que

216 cos16(x)= 27∑

k=0

(16k

)cos

(2(8−k)x

)+(168

)

Exercice 12Déterminer les solutions complexes z1, z2, …, zn−1 de l’équation d’inconnue z ∈C :

zn−1 + zn−2 + zn−3 +·· ·+ z+1= 0

et en déduire

P =n−1∏k=1

sin(

kπn

)Exercice 13Pour x 6= 2kπ, prouver que :

n∑k=0

cos(kx)= 12+ sin

((2n+1) x

2)

2sin( x

2)

Exercice 14Calculer suivant la valeur de x ∈R :

n∑k=0

cosk(x)cos(kx)

3. Interprétation géométrique

Exercice 15Trouver z tel que :

|z| = |z−2−4i|arg(z)= arg(z+1+3i)

[2π

]Exercice 16Montrer qu’un triangle équilatéral (non réduit à un point) ne peut avoir troissommets à coordonnées entières.

13

Chapitre 5 –

Exercice 17Soit E l’équation d’inconnue z ∈C :

(1+ z)2n = (1− z)2n

où n est un entier naturel non nul.

1. Dans le plan complexe, déterminer l’ensemble X des points d’affixe z telsque

|1+ z| = |1− z|

En déduire que les solutions de E sont éléments de iR.

2. Résoudre E puis calculer le produit des solutions non nulles.

Indication Le produit des solutions non nulles est égal à ±1.

Exercice 18Soit z un complexe différent de −1, 0 et 1. A, B, C, D et E ont pour affixesrespectives 1, −1, z, 1

z et 12(z+ 1

z).

1. Vérifier que C, D et E sont alignés.

2. Prouver que [ED) est la bissectrice de l’angle de [EA) et [EB).

Exercice 19ϕ1 et ϕ2 sont les applications de P dans P (où P est le plan muni du repèreorthonormal direct R = (

O,−→ı ,−→ )) qui à M(z) associent M1(z1) et M2(z2) où z1 et

z2 sont les solution de l’équation d’inconnue Z :

Z2 − ((3− i)z+2i

)Z+ (

2(1− i)z2 + (1+3i)z−1)= 0

Reconnaître ϕ1 et ϕ2

Exercice 20Identifier l’affixe z′ de M′, image du point M d’affixe z par :

1. La rotation de centre Ω d’affixe ω= i, d’angle 2π3 ,

2. L’homothétie de centre Ω d’affixe ω= 1+ i, de rapport 4,

3. La similitude directe de centre Ω d’affixe ω= 1, de rapoort 2 et d’angle π4 ,

Exercice 21Identifier la similitude z 7−→

(p3− i

)z−2+2i

(1−

p3)

14


1. Primitives

Exercice 1En indiquant les intervalles sur lesquelles ces primitives existent, calculer :∫

t2 ln(t)dt∫ (

t3 − t2 +2t−3)exp(−t)dt∫

t3 cos(t)dt∫

t3 sin(t)dt∫sh(t)sin(t)dt

∫tarctan2(t)dt

Exercice 2

1. Démontrer qu’il existe (a,b) ∈R2 tels que :

1t2 +4t−5

= at−1

+ bt+5

En indiquant les intervalles sur lesquelles une primitive existe, calculer :∫dt

t2 +4t−5

2. Démontrer qu’il existe (a,b, c) ∈R3 tels que :

t4

1+ t2 = at2 +b+ c1+ t2

En indiquant les intervalles sur lesquelles une primitive existe, calculer :∫dt

t2 +4t−5

Exercice 3En indiquant les intervalles sur lesquelles ces primitives existent, calculer :

∫ (ln(t)

)3

tdt

∫(t+1)

√t−1

tdt∫

tan(t)1+cos(t)

dt∫

dtsh3(t)∫

sin3(t)cos(t)dt∫

sin(t)dtcos2(t)

2. Changement de variable

Exercice 4Calculer les intégrales suivantes :

I1 =∫ π

1sin

(ln(t)

)dt I2 =

∫ π4

0

tan(t)dt1+ tan(t)

Exercice 5En utilisant le changement de variable t = x+cos(x) calculer :

I =∫ cos2 ( x

2)dx

x+sin(x)

15

Chapitre 5 – Primitives et équations différentielles

Exercice 6En utilisant le changement de variable t =p

x+1 calculer :

I =∫

xdxpx+1

Exercice 7En utilisant le changement de variable t = 1

x calculer :

I =∫

dxx (1+ xn)

3. Équations différentielles d’ordre 1

Exercice 8Résoudre les équations différentielles :

1. y′+ t2 y= t2

2. y′+ y= 2exp(t)+4sin(t)+3cos(t)

3. y′+(

t1+ t2

)y= 1

1+ t2

4. y′+2y= exp(2t)+exp(−t)

où y est cherchée de R dans R.

Exercice 9Trouver la solution sur

[0,+∞[

de :

y′− 1t+1

y= 1t+2

telle que y(0)= 0.

Exercice 10Déterminer l’unique fonction f continue sur R telle que, pour tout x ∈R :

f (x)−∫ x

0t f (t)dt = 1

Exercice 11Résoudre l’équation différentielle :

ty′+ y= arctan(t)

1. sur R−∗,2. sur R+∗,3. Existe-t-il des solutions définies sur R ?


t(t+1)y′+ y= arctan(t)

Exercice 13Soit a ∈R∗. Résoudre :

t(1− t2)y′+ (2t2 −1)y= t3

On prendra soin d’étudier les problèmes de raccordements éventuels.

16

Chapitre 6 –

4. Équations différentielles d’ordre 2

Exercice 14Résoudre les équations différentielles :

1. y′′−4y′+4y= (t2 +1

)exp(t)

2. y′′−4y′+4y= ch(t)3. y′′+ y′+ y′ = exp(3t)+exp(−t)

4. y′′−4y′+3y= t2 exp(t)+ texp(2t)cos(t)

Exercice 15Résoudre sur R l’équation différentielle :

y′′+9y= tcos(3t)

avec les conditions initiales y(0)= 1 et y′(0)= 0.


y′′+3y′+2y= (t−1)exp(−t)t2

Indication On pourra chercher une solution particulière de la forme y(t) =ϕ(t)exp(−t).

Exercice 17Soit α> 0. Résoudre sur ]0,+∞[ l’équation différentielle :

x2 y′′+ xy′−α2 y= 2αxα

Indication On pourra poser x = exp(t).

Exercice 18Résoudre sur R l’équation différentielle :

ty′′+2(t+1)y′+ (t+2)y= 0

Indication On pourra poser z = ty.

17


1. Borne supérieure

Exercice 1A et B sont deux parties non disjointes de R telles que A∪B est majorée. Montrerque sup(A), sup(B), sup(A∩B) et sup(A∪B) existent et trouver, en les justifiant,des relations entre ces réels

Indication On peut démontrer que sup(A∪B)=max(sup(A),sup(B)).

Exercice 2Soit A une partie bornée non vide de R. Montrer que :

supx,y∈A

|x− y| = sup(A)− inf(A)

Exercice 3a et b > 0 étant fixés, déterminer, s’ils existent, inf(A), sup(A), min(A) et max(A),dans les cas suivants :

1. A =

cos(

2nπ7

)∣∣∣∣n ∈N

2. A =

(−1)na+ bn

∣∣∣∣n ∈N∗

3. A =(

1+sin( nπ

4

))ln(n)

∣∣∣n ∈N∗

4. A =

a+ (−1)n bn

∣∣∣∣n ∈N∗

5. A =

1+cos(n)n

∣∣∣∣n ∈N∗

2. Limites

Exercice 4Soit (un)n∈N une suite à valeurs réelles telle que les sous-suites (u2n)n∈N et(u2n+1)n∈N convergent. Montrer que (un)n∈N est une suite convergente si et seule-ment si lim

n→+∞u2n = limn→+∞u2n+1.

Exercice 5Étudier la convergence et identifier la limite éventuelle des suites de termesgénéraux :

n−cos(n)n+cos(n)

n∑k=0

nn2 +k

3p8n3 +1−2n3pn3 +1−n

n−√

(n+a)(n+b)

Exercice 6Etudier la convergence de (un)n∈N, (vn)n∈N et (wn)n∈N définies par :

un = n3 +101+ (−1)n10n3 vn =

n∑k=1

1k(k+1)

wn =n∑

k=1

1k2

Exercice 7Soit u une suite à valeurs dans R telle que :

∀k,n ∈ (N∗)2 , |un| ≤ k

n+ 1

k

Montrer que un −−−−−→n→+∞ 0

18

Chapitre 6 – Suites à valeurs réelles

Exercice 8(un)n∈N est définie par la connaissance des deux premiers termes u0, u1 et larelation de récurrence :

∀n ∈N, un+2 =−un+1 −un

1. Prouver que, pour toute suite réelle (vn)n∈N, (vn)n∈N converge si et seulementsi (v3n)n∈N, (v3n+1)n∈N et (v3n+2)n∈N convergent vers la même limite,

2. Calculer un en fonction de u0, u1 et n,

3. Étudier la convergence de (un)n∈N.

Exercice 9Soit (un)n∈N la suite définie par u0 = 1 et :

∀n ≥ 1, un =n∏

k=0

(1+ k

n2

)1. Démontrer que :

∀x ≥ 0, x− x2

2≤ ln(1+ x)≤ x

2. En encadrant vn = ln(un), en déduire que la suite (un)n∈N converge et iden-tifier lim

n→+∞un.

Exercice 10Soit a > 0 (a 6= 1). On définit une suite (un)n∈N par la donnée de u0 > 0 et :

∀n ∈N, un+1 = f (un)

où f est la fonction définie par :

f (x)= 1+axa+ x

1. Identifier les points fixes de f , c’est à dire les solutions de l’équation d’in-connue x ∈R : f (x)= x.

2. Si α<β sont les points fixes de f , vérifier que la suite (vn)n∈N définie par :

∀n ∈N, vn = β−un

α−un

est une suite géométrique dont on déterminera la raison.

3. En déduire que (vn)n∈N converge, puis que (un)n∈N converge et calculerlim

n→+∞un.

3. Suites adjacentes (ou pas)

Exercice 11(un)n∈N et (vn)n∈N sont définies par la connaissance de u0, v0 (u0 < v0) et lesrelations de récurrence :

un+1 = un +vn

2

vn+1 = un +2vn

3

Prouver que ces deux suites convergent vers la même limite `. Démontrer qu’ilexiste α ∈R tel que un+1 +αvn+1 = un +αvn. En déduire ` en fonction de u0 et v0.

Exercice 12(un)n∈N est décroissante de limite nulle. On définit une suite (Sn(u))n∈N par :

∀n ∈N, Sn(u)=n∑

k=0(−1)kuk = u0 −u1 +u2 −u3 +·· ·+ (−1)nun︸︷︷︸

n+1 termes

Prouver que la suite (Sn(u))n∈N converge.

19

Chapitre 6 – Suites à valeurs réelles

Indication Que peut on dire des suites (S2n(u))n∈N et (S2n+1(u))n∈N ?

Exercice 13(un)n∈N et (vn)n∈N sont définies par u0 ≥ v0 ≥ 1 et les relations de récurrence :

un+1 =un +p

vn

2

vn+1 =p

un +vn

2

1. Vérifier que un+1 −vn+1 et un −vn sont de même signe.

2. Étudier la monotonie et la convergence de (vn)n∈N.3. Prouver que (un)n∈N et (vn)n∈N convergent, et que :

limn→+∞un = lim

n→+∞vn = 1

4. (un)n∈N et (vn)n∈N sont elles adjacentes ?

4. Équivalents simples, développement asymptotique

Exercice 14Étudier la convergence et identifier la limite éventuelle des suites de termesgénéraux :

2n +n10

3n +n100n+ ln(n)2n −n2(

ln(n+1)ln(n)

)nn2 ln

( nn+1

)sin

(1n

)cos

(a+ b

n

)cos(a)

nln

(cos

( an))

ln(cos

(bn

)) avec (a,b) ∈]0,π

2

[2

Exercice 15

1. Démontrer que

∀x > 0,1

1+ x≤ ln

(1+ 1

x

)≤ 1

x

En déduire que, pour ∀n > 1,

n∑p=2

1p≤ ln(n)≤

n−1∑p=1

1p

2. En déduire que la suite de terme généraln∑

p=1

1p

diverge et que :

n∑p=1

1p

∼+∞ ln(n)

3. Après avoir étudié les variations de la suite (un)n∈N∗ de terme général :

un =n∑

p=1

1p− ln(n)

montrer que cette suite est convergente.

Remarque Sa limite est appelée constante d’Euler et notée γ.

20

Chapitre 7 –

Exercice 16Pour tout n ≥ 1, on pose :

un =n∑

k=1exp

(kn2

)ln

(1+ 1

k

)vn =

n∑k=1

ln(1+ 1

k

)1. Après en avoir justifié l’existence, donner lim

n→+∞vn puis limn→+∞un

2. Montrer que

un − ln(n+1)−−−−−→n→+∞ 0

En déduire

un ∼+∞ ln(n)

Exercice 17

1. Soit (an)n∈N une suite réelle qui converge vers a. Prouver que la suite desmoyennes :

µn(a)n = 1n+1

n∑k=0

ak

converge aussi vers a.

2. Soit (un)n∈N une suite de réels strictement positifs telle que un+1un

convergevers λ> 0.Prouver que la suite de terme général vn = npun converge aussi vers λ.

3. En déduirenpn! ∼+∞

ne

et, pour tout α ∈R : npnα −−−−−→n→+∞ 1

Exercice 18Montrer qu’il existe une suite (un)n∈N définie de façon unique par :

∀n ∈N, u5n +nun −1= 0

puis déterminer un développement asymptotique à deux termes de (un).

5. Suites à valeurs complexes

Exercice 19Soit z = x+ i y un nombre complexe tel que (x, y) ∈R×R∗. Pour n ∈N∗, on pose

un =(1+ z

n

)net 1+ z

n= rn exp(iθn) avec rn > 0 et θn ∈]−π,π[

1. Calculer |un| et déterminer la limite éventuelle de |un|.2. Montrer que θn −−−−−→

n→+∞ 0 et prouver que θn ∼+∞yn

3. Démontrer que (un)n∈N∗ converge et calculer limn→+∞un.

21


1. Convergence

Exercice 1f est une fonction T-périodique de R dans R telle que f (x)−−−−−→

x→+∞ `. Montrer que

f est constante.

Exercice 2Soit f : R→R la fonction définie par :

∀x ∈R, f (x)=∫ x

0

e−tdtp1+ t

Prouver que f admet une limite réelle en +∞.

Exercice 3

1. Soit f : R+∗ →R la fonction définie par : ∀x ∈R+∗, f (x)= x[

1x

].

En justifiant leur existence, déterminer limx→0

f (x) limx→+∞ f (x),

2. Soit g : R−∗ →R la fonction définie par : ∀x ∈R−∗, g(x)= x[

1x

]En justifiant leur existence, déterminer lim

x→0g(x) lim

x→−∞ g(x),

3. Soit h : R+∗ →R la fonction définie par : ∀x ∈R+∗, h(x)= x2[

1x

]Déterminer les points où h est discontinue et donner la limite à gauche et àdroite de h en chacun de ces points.

Exercice 4Soit f :

[0,2

]→R la fonction définie par :

∀x ∈ [0,2

], f (x)= xn

1+ xn

Pour x ∈ [0,2

], étudier la convergence de la suite ( fn(x))n∈N et déterminer le cas

échéant limn→+∞ fn(x).

2. Continuité, théorème des valeurs intermédiaires

Exercice 5Étudier les prolongements par continuité éventuels des fonctions définies surR\

0par :

f1 = sin(

1x

)f2 = exp

(−1

x

)f3 = x2 sin

(1x

)f4 = arctan

(1x

)Exercice 6Déterminer toutes les fonctions continues sur R telles que : ∀x ∈Q, f (x)= 0

Exercice 7Déterminer les fonctions réelles continues f telles que :

∀(x, y) ∈R2, f (x+ y)+ f (x− y)= 2(f (x)+ f (y)

)

22

Chapitre 7 – Limites et continuité

Indication On pourra commencer par chercher les fonctions f de classe C ∞vérifiant l’équation fonctionnelle, puis caractériser les fonctions f définie sur Qvérifiant l’équation fonctionnelle et conclure par continuité.

Exercice 8On considère f et g des fonctions continues sur un intervalle I. On suppose que :

∀x ∈ I, f (x)2 = g(x)2 6= 0

Montrer que f = g ou f =−g.

Exercice 9Soit f :

]a,b

[→R continue et telle que :

limx→a

f (x)= limx→b

f (x)

Montrer que f n’est pas injective.

Exercice 10Soit f : R→ R continue telle qu’il existe a ∈ R tel que f f (a) = a. f a-telle despoints fixes? Peut-on généraliser ce résultat ?

Exercice 11Soient a < b deux réels et f une fonction définie sur

[a,b

], à valeur dans

[a,b

].

Démontrer que si, de plus, f est contractante :

∀(x, y) ∈ [a,b

]2, | f (x)− f (y)| < |x− y|alors f admet un unique point fixe, c’est à dire que l’équation d’inconnue x ∈ [

a,b]:

f (x)= x a une unique solution.

Exercice 12Soit f :

[0,+∞[→ [

0,+∞[une fonction continue telle que :

f (x)x

−−−−−→x→+∞ ` où `< 1

Démontrer que f a au moins un point fixe.

Exercice 13Soit f :

[0,+∞[→R une fonction continue telle que :

| f (x)| −−−−−→x→+∞ +∞

Démontrer que, soit f (x)−−−−−→x→+∞ +∞, soit f (x)−−−−−→

x→+∞ −∞.

Exercice 14Étudier la continuité de f :

[0,+∞[→R définie par :

∀x ≥ 0, f (x)= supn∈N

xn

n!

3. Théorème des bornes atteintes

Exercice 15f et g sont deux fonctions de R dans R telles que f est bornée et g est continue.Démontrer que f g et g f sont bornées.

Exercice 16f est une fonction continue sur R telle que : f (x)−−−−−→

x→+∞ +∞f (x)−−−−−→

x→−∞ +∞

Démontrer l’existence de minR

( f ).

23

Chapitre 7 – Limites et continuité

Exercice 17Soit f , g des fonctions continues sur un segment

[a,b

]. On suppose que :

∀x ∈ [a,b

], 0< g(x)< f (x)

Montrer que :

∃λ> 0 tel que ∀x ∈ [a,b

], (1+λ)g(x)≤ f (x)

Exercice 18Soit f une fonction T-périodique, continue. Montrer qu’il existe a ∈ R tel queIm( f )= f

([a,a+ T

2]).

Exercice 19

1. Démontrer qu’il n’existe pas de fonction f :[0,1

]→ ]0,1

[continue et surjec-

tive.

2. Trouver une fonction f :]0,1

[→ [0,1

]continue et surjective.

4. Théorème de la bijection

Exercice 20Soit f : R→R définie par : ∀x ∈R, f (x)= x5 + x−1.

1. Démontrer que f est bijective,

2. Résoudre l’équation d’inconnue x : f (x)= f −1(x).

Exercice 21Soient a > 0, n ≥ 2 et f : R→R la fonction définie par : ∀x ∈R, f (x)= xn +ax−1

1. Montrer que l’équation d’inconnue x ≥ 0 : fn(x) = 0 a une unique solutionxn,

2. Montrer que la suite (xn)n∈N est croissante puis convergente vers une limite`.

3. Montrer que(`< 1

)⇐⇒ (a > 1

)En déduire ` suivant les valeurs de a.

24

Chapitre 8 –

5. Équivalents simples

Exercice 22Déterminer, sous réserve d’existence, la limite de f en a dans les cas suivants :

f (x)= xarctan(2x)sin2(3x)

a = 0

f (x)= 1−cos(x)x(1− x)tan(4x)

a = 0

f (x)= xm −1xn −1

a = 1 puis a =+∞

f (x)=√

x+√

x+px−p

x a =+∞f (x)= x+sin(x) a =+∞

f (x)=(tan

(3x2

)) 1cos(3x)

a = π

6

f (x)= 2sin2(x)

− 11−cos(x)

a = 0

f (x)=(α

1x +β 1

x

2

)x

a =+∞

f (x)=p

xexp(x)+ x7 −2020ln(x)

x3 +(p

x3 + x2 −p

x3)exp(x)

a =+∞

f (x)= ((x+1)(x+2) . . . (x+n)

) 1n − x a =+∞

Exercice 23On pose

f (x)=(1+ 1

x

)2x−

(1+ 2

x

)x

et

un = arccos(

n3 +1n3 +2

)Trouver une fonction g et une suite (vn)n∈N∗ simples tels que :

f (x) ∼+∞ g(x) et un ∼+∞vn

6. Fonctions à valeurs complexes

Exercice 24

1. Soit f :R→C définie par :∀x ∈R, f (x)= 11+ ix

. Démontrer la convergence

de f en +∞ et déterminer limx→+∞ f (x)

2. Soit g : R→C définie par : ∀x ∈R, g(x)= exp(ix)x

. Étudier la convergence

de g en 0.

Exercice 25Étudier les limites des fonctions f qui suivent au point a :

f (x)= xcos(x)x+ i

a = 0

f (x)= x2 +exp(ix)x3 + i cos(x)

a =+∞

f (x)= exp(ip

xsin(

1x+1

))a =+∞

f (x)= xx2 + i

a =−∞

25


1. Groupe

Exercice 1(G,+) est un groupe ayant quatre éléments a, b, c et d. On donne quelques infor-mations sur la table de la loi « + » :

+ a b c d

a d cb cc cd b

Quel est l’élément neutre du groupe? Compléter la table (en justifiant la façon defaire). Démontrer que G s’identifie à un groupe connu.

Exercice 2Pour x, y ∈R, on pose :

x? y= 3√

x3 + y3

Montrer que (R,?) est un groupe isomorphe à (R,+).

Exercice 3Soit (G,×) un groupe, on note e l’élément neutre et on suppose que :

∀g ∈G, g2 = e

Montrer que G est un groupe commutatif.

Exercice 4Soit (G,×) un groupe, on note Aut(G) l’ensemble des automorphismes deG.Montrerque (Aut(G) ,) est un groupe.

Exercice 5Soit (G,×) un groupe, Pour g ∈G on considère l’application µg : G→G définie par :

∀x ∈G, µg(x)= g× x

1. Montrer que µg est une permutation de G. S’agit-il d’un automorphisme deG ?

2. Montrer que l’application µ : G→S (G) qui à g ∈ G associe µg est un mor-phisme de groupe injectif du groupe (G,×) dans le groupe des permutations(S (G) ,).

3. En déduire le théorème de Cayley :Tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe d’un groupe de permutations

Exercice 6Soit (G,×) un groupe et H⊂G une partie finie non vide et stable par produit.Montrer H est un sous-groupe de G.

Exercice 7

1. Soit (G,×) un groupe fini et H un sous-groupe de G.On définit une relation sur G par, pour tout (x, y) ∈G2 :

x ∼ y⇐⇒ (∃h ∈H tel que x = h× y)

Montrer qu’il s’agit d’une relation d’équivalence et que les classes d’équiva-lences sont toutes en bijection.En déduire le théorème de Lagrange :L’ordre de tout sous groupe H d’un groupe G divide l’ordre du groupe.Rappel : l’ordre d’un groupe est le nombre d’éléments du groupe.

26

Chapitre 8 – Groupes, anneaux, corps

2. Soit f : G→G′ un morphisme de groupe avec G fini. Montrer que :

card(Ker( f ))×card(Im( f ))= card(G)

2. Anneaux et corps

Exercice 8

1. Prouver que 513 6∈Q

2. Prouver que

A=

x+513 y

∣∣∣(x, y) ∈Q

n’est pas un sous anneau de (R,+,×) en constatant que 513 ∈A et 5

23 6∈A.

Exercice 9

1. Prouver que

B=

x+ yp

5∣∣∣(x, y) ∈Q

est un sous anneau de (R,+,×). Est-ce un sous corps?

2. Prouver que

C=

x+ yp

7∣∣∣(x, y) ∈Q

est un sous corps de (R,+,×).

Exercice 10Soit (A,+,×) un anneau. On dit que x ∈A est un élément nilpotent s’il existe unentier n tel que xn = 0.

1. Quels sont les éléments nilpotents si A est intègre?2. Soit (x, y) ∈A2 deux éléments nilpotents qui commutent. Montrer que x+ y

et x× y sont nilpotents.3. Soit x ∈A un élément nilpotent, montrer que 1− x est inversible.

Indication On pourra calculer la somme de la suite géométrique 1+ x+ x2 + . . .

Exercice 11Soit E un ensemble. Si A et B sont deux parties de E, on appelle différencesymétrique de A et B et on note A∆B la partie :

A∆B = (A \ B)∪ (B \ A)

1. Montrer que (P (E),∆,∩) est un anneau commutatif.2. S’agit-il d’un corps?3. Si F ⊂ E est-ce que (P (F),∆,∩) est un sous-anneau de (P (E),∆,∩) ?

Indication À une partie A de E est associée l’application 1A définie par :

∀ω ∈Ω, 1A(ω)=

1 si ω ∈ A0 si ω 6∈ A

On pourra calculer 1A∆B et 1A∩B en fonction de 1A et 1B.

Exercice 12Soit (A,+,×) un anneau commutatif, intègre et fini. Montrer que A est un corps.

Exercice 13Déterminer tous les sous-anneaux de Z puis tous les sous-corps de Q.

Exercice 14Monter que tout morphisme de corps est injectif.

Exercice 15Déterminer tous les endomorphismes de corps de R.

Indication On pourra démontrer qu’un endomorphisme de corps de R est néces-sairement une application croissante.

27

Chapitre 8 – Groupes, anneaux, corps

3. Arithmétique

Exercice 16Une bande de 17 pirates dispose d’un butin composé de N pièces d’or d’égalevaleur. Ils décident de se le partager également et de donner le reste au cuisinier(non pirate). Celui ci reçoit 3 pièces.Mais une rixe éclate et 6 pirates sont tués. Tout le butin est reconstitué et partagéentre les survivants comme précédemment ; le cuisinier reçoit alors 4 pièces.Dans un naufrage ultérieur, seuls le butin, 6 pirates et le cuisinier sont sauvés.Le butin est à nouveau partagé de la même manière et le cuisinier reçoit 5 pièces.Quelle est alors la fortune minimale que peut espérer le cuisinier lorsqu’il décided’empoisonner le reste des pirates ?

Exercice 17Montrer que m2 +n2 est divisible par 7 si et seulement si m et n sont divisiblespar 7.

Exercice 18Soient p et q deux entiers. Montrer que 41 divise 25p+3q si et seulement si 41divise 31p+7q.

Exercice 19

Montrer que pour tout m ∈Z, la fraction21m+414m+3

est une fraction irréductible.

Exercice 20Montrer que pgcd(a,b)= 1 si et seulement si pgcd(ab,a+b)= 1.

Exercice 21Calculer le reste de la division euclidienne de 20182019 par 7.

Exercice 22

Quel est le dernier chiffre en base 10 de 7777777

(7 élevé 7 fois à la puissance 7)

Exercice 23Soit n ∈N. Calculer :

pgcd(15n2 +8n+6,30n2 +21n+13

)Exercice 24

1. Dresser la liste des cubes dans Z/13Z.

2. Soient (n,m, p) trois entiers tels que :

5n3 +11m3 +13p3 = 0

Montrer que 13 divise n, m et p.

3. L’équation d’inconnues (n,m, p) ∈ (Z∗)3 :

5n3 +11m3 +13p3 = 0

a-t-elle des solutions?

Exercice 25

1. Trouver la valuation 2-adique de 1000!.

2. Généraliser en calculant l’exposant p-adique dans la décomposition de n!lorsque p est un nombre premier.

Exercice 26Soit p un nombre premier.

28

Chapitre 9 –

1. Montrer que :

∀k ∈ 1, p−1

,

(pk

)≡ 0

[p]

2. En déduire que, pout tous (a,b) ∈Z2 :

(a+b)p ≡ ap +bp [p]

3. En déduire par récurrence sur n ∈N :

np ≡ n[p]

C’est le petit théorème de Fermat.

4. SiK est un corps de caractéristique p, démontrer que l’application ϕ :K→K

définie par :

∀x ∈K, ϕ(x)= xp

est un automorphisme de K, c’est à dire :ϕ(1)= 1

∀(x, y) ∈K2, ϕ(xy)=ϕ(x)ϕ(y)∀(x, y) ∈K2, ϕ(x+ y)=ϕ(x)+ϕ(y)

29


1. Degré

Exercice 1Déterminer les fonctions polynômiales réelles non nulles qui sont solutions sur Rde l’équation différentielle :

t2(1+ t)y′′+ t(1− t)y′− y= 0

2. Division euclidienne

Exercice 2Les restes des divisions euclidiennes de P, élément de R[X ], par X −1, X −2 etX −3 sont respectivement 3, 7 et 13.Déterminer le reste de la division euclidienne de P par (X −1)(X −2)(X −3).

Exercice 3Soit A le polynôme :

A(X )= X4 − X3 −3X2 +3X −4

Calculer A(λ) lorsque λ= 1+ 3p2.

Indication On pourra constater qu’il existe un polynôme B tel que B(λ)= 0 puisdiviser A par B.

Exercice 4Soitα ∈R, n ∈N.Déterminer le reste de la division euclidienne de (sin(α)X +cos(α))n

par X2 +1.

Exercice 5Trouver P ∈R[X ] tel que deg(P)= 5, (X+2)3 divise P+10 et (X−2)3 divise P−10.

Exercice 6Déterminer n ∈N pour que

(X +1

)n − X n −1 soit divisible par X2 + X +1

3. Racines

Exercice 7Factoriser dans C[X ] et, éventuellement, dans R[X ] les polynômes suivants :

P1 = (X +1)7 − X7 −1

P2 = X8 + X4 +1

P3 = X6 − i

P4 = X2n −2cos(α)X n +1

P5 = X7 −5X6 +8X5 −4X4 −4X3 +8X2 −5X +1

Indication Dans le ce dernier cas, on pourra vérifier que 1 et −1 sont racines,en déterminer l’ordre de multiplicité puis poser z = x+ 1

x dans l’équation Q(x)= 0qui restera à résoudre afin de déterminer les autres racines de P5.

Exercice 8Trouver les racines du polynôme

P = 1− X1!

+ X (X −1)2!

− X (X −1)(X −2)3!

+ . . .

+ (−1)n X (X −1) . . . (X −n+1)n!

30

Chapitre 9 – Polynômes

Exercice 9Déterminer λ et µ complexes pour que

P = X4 +4X3 +λX2 +µX +2

admette −1 comme racine double. Factoriser P.

Exercice 10Identifier tous les polynômes P ∈C[X ] divisibles par leur polynôme dérivé.

Exercice 11Trouver tous les polynômes P de C[X ] tels que

P(X2)+P(X )P(X +1)= 0

Exercice 12Soit n ∈N∗. On pose

Pn = (X + i)2n+1 − (X − i)2n+1

1. Factoriser Pn dans C[X ].2. Déduire, pour (n,a) ∈N∗×C la valeur de

n∏k=1

(a2 +cotan2

(kπ

2n+1

))

4. Interpolation

Exercice 13Soit a, b et c trois réels deux à deux distincts. On définit deux polynômes A et Bpar :

A(X )= X (X −b)(X − c)a(a−b)(a− c)

+ X (X −a)(X − c)b(b−a)(b− c)

+ X (X −a)(X −b)c(c−a)(c−b)

B(X )= 1+ 1abc

((X −a

)(X −b

)(X − c

))Montrer que A = B.

Exercice 14Trouver tous les polynômes P de R[X ] tels que P(0) = 1, P(1) = 0, P ′(0) = 0 etP ′(1)= 1.

5. Relations coefficients–racines

Exercice 15Résoudre dans C3 :

a+b+ c = 3ab+bc+ac = 2a3 +b3 + c3 = 9

Puis a+b+ c = 11a + 1

b + 1c = 1

a2 +b2 + c2 = 9

Exercice 16Soit P = X3 +3X −12i. Calculer

S =3∑

k=1x7

k

où les xk sont les racines de P.

31

Chapitre 10 –

6. Polynômes de Tchebycheff

Exercice 17Soit n ∈N. On définit Tn et Un par :

∀θ ∈R,

Tn(cos(θ))= cos(nθ)sin(θ)Un(cos(θ))= sin(nθ)

1. En admettant que Tn et Un sont des polynômes, prouver que Tn et Un sontuniques.

2. En développant (cos(θ)+ isin(θ))n par la formule du binôme de Newton,démontrer l’existence de Tn et Un.

Remarque Tn est appelé n-ième polynôme de Tchébychev de premièreespèce et Un est appelé n-ième polynôme de Tchébychev de deuxième espèce.

3. Donner T0 et T1. Écrire cos(2θ) et cos(3θ) en fonction de cos(θ) et en déduireT2 et T3.

4. Soient n ∈N∗ et θ ∈R. Exprimer cos((n+1)θ)+cos((n−1)θ) en fonction decos(nθ) et cos(θ). En déduire que, pour n ≥ 1,

Tn+1 = 2X Tn −Tn−1

Donner T4 et T5.

5. Montrer que Tn est de degré n et donner son coefficient dominant. Montrerque Tn a même parité que n.

6. Soit n ∈N∗. Comparer 2XUn −Un−1 et Un+1. Que vaut(1− X2)

U2n +T2

n ?

7. Trouver les racines de Tn pour 1≤ n ≤ 3,

8. Soit n ∈N∗. En utilisant la relation de définition, calculer les racines de Tnqui appartiennent à [−1,1]. Montrer que l’on obtient ainsi toutes les racinesde Tn dans C. En déduire la décomposition de Tn en produit de facteursirréductibles

32


Exercice 1Décomposer les fractions rationnelles suivantes en éléments simples sur R :

F1 = X3(X2 −1

)(X −2)

F2 = (X2 − X +1)2

X2(X −1)2

F3 = X2

(X2 −1)2F4 = X6

(X −2)(X +1)2

Exercice 2Décomposer les fractions rationnelles suivantes en éléments simples sur C puisen déduire leurs décompositions sur R :

F1 = X4(X2 +1

)(X −1)

F2 = X5

X4 −1

F3 = X(X2 + X +1)(X +1)3

F4 = X6

(X2 +1)(X −1)3

Exercice 3Décomposer les fractions rationnelles suivantes en éléments simples sur R :

F1 = X6

(X2 +1)2(X +1)2F2 = X

(X4 + X2 +1)

F3 = X4 +1X2(X2 + X +1)2

F4 = X5 − X2 +1(X2 +1

)2 (X +1

)2

Exercice 4On fixe n ∈ N∗, Déterminer la décomposition en éléments simples sur C de lafraction :

F = nX n−1

X n −1

puis en déduire celle de :

G = nX2n−2 +n(n−1)X n−2

(X n −1)2

33

Chapitre 11 –

Exercice 5Soit P ∈C[X ] de racines a1, a2, …, ak avec les multiplicités m1, m2, …, mp.

1. Décomposer en éléments simplesP ′

P.

2. En déduire que les racines de P ′ sont des barycentres à coefficients positifsde a1, a2, …, ak, c’est à dire que, si a est racine de P ′, il existe k réels λ1,λ2 …λk tels que :

∀i ∈ 1,k λi ≥ 0

1=k∑

i=1λi

a =k∑

i=1λiai

3. Interpréter géométriquement (dans le plan complexe) le résultat précédent.

Exercice 6

1. Montrer que, pour tout n ∈N, il existe un polynôme Pn tel que :

Pn

(X + 1

X

)= X n + 1

X n

2. Factoriser Pn

3. Décomposer en éléments simples Fn = 1Pn

34


1. Dérivée en un point

Exercice 1

1. Soit x0 ∈R et f une fonction dérivable en x0. Étudier et déterminer éven-tuellement :

limx→x0

xf (x0)− x0 f (x)x− x0

limh→0

f 2(x0 +3h)− f 2(x0 −h)h

2. Étudier et déterminer éventuellement :

limx→1

arctan(x)2 − π2

16px−1

3. Soit a 6= 0. Étudier et déterminer éventuellement :

limx→1

cos(ax)−cos(a)exp

(−ax2)−exp(−a)

Exercice 2Étudier la dérivabilité de f et calculer f ′(x) le cas échéant dans les cas suivants :

f (x)= ln∣∣x2 −5x+6

∣∣ f (x)=√

exp(x)−1

f (x)= cos(p

x)

f (x)=∣∣∣∣ ln(x)−1ln(x)+1

∣∣∣∣f (x)= arccos

(ln(x)

)f (x)=

xsin(x)sin

( 1x)

si x 6= 00 si x = 0

f (x)= (x2 −2

)arcsin

( x2

)+ x

p4− x2

2

Exercice 3Démontrer que, pour tout x ∈ [

0,1]:

arcsin(p

x)+arcsin

(p1− x

)= π

2

2. Dérivées successives

Exercice 4Calculer la dérivée n-ième des fonctions suivantes :

f (x)= exp(xp

3)sin(x)

g(x)= 1x2 −5x+6

h(x)= x2 sin(x)

u(x)= xn−1 ln(x)

3. Théorème de Rolle

Exercice 5Montrer que si P est une fonction polynomiale qui admet n racines réelles dis-tinctes, alors P ′ admet au moins n−1 racines réelles distinctes.

35

Chapitre 11 – Dérivation

Exercice 6 Théorème de Rolle généraliséMontrer que si f est une fonction continue sur

[a,+∞[

, dérivable sur]a,+∞[

,telle que :

f (x)−−−−−→x→+∞ f (a)

alors il existe c ∈ ]a,+∞[

tel que f ′(c)= 0.

Exercice 7 Théorème des accroissements finis généralisés

1. Soient f et g deux fonctions continues sur[a,b

], dérivables sur

]a,b

[. Dé-

montrer qu’il existe c ∈ ]a,b

[tel que :(

g(b)− g(a))f ′(c)= (

f (b)− f (a))g′(c)

2. Soient f et g deux fonctions continue sur un intervalle I, dérivables sauféventuellement en un point a ∈ I, telle que g′(x) 6= 0 pour tout x 6= a. Démon-trer :

(a) ∀x ∈ I \a, g(x) 6= g(a)

(b) sif ′(x)g′(x)

−−−→x→a

` ∈R alors :f (x)− f (a)g(x)− g(a)

−−−→x→a

`

3. Étudier la convergence et déterminer la limite éventuelle :

limx→0

cos(x)−exp(x)(x+1)exp(x)−1

Indication Appliquer le théorème de Rolle à λ f −µg, où λ et µ sont deux réelsbien choisis.

Exercice 8

1. Soit f la fonction arctan. En utilisant l’identité :(1+ x2)

f ′(x)= 1 prouverque, pour tout n ≥ 2 et pour tout x ∈R,

f (n)(x)=− 11+ x2

(2(n−1)xf (n−1)(x)+ (n−1)(n−2) f (n−2)(x)

)2. Calculer f (n)(0) pour n ∈N,

3. (a) Vérifier que f (n)(x)= Pn−1(x)(1+ x2

)n où Pn−1 est un polynôme de degré n−1

de coefficient dominant an−1 = (−1)n−1n!.(b) Démontrer que Pn admet n racines réelles distinctes.

Indication Utiliser le théorème de Rolle et le théorème de Rollegénéralisé.

Exercice 9Soit f une fonction dérivable sur R, telle que f est bornée telle et f ′ admet unelimite ` en +∞. Montrer que `= 0.

Indication On pourra utiliserf (2x)− f (x)

2x− x.

Exercice 10Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

1. On suppose que :

∀x ∈ I, f ′(x) 6= 0

Montrer que f ′ est de signe constant.

2. Montrer que f ′ vérifie la propriété des valeurs intermédiaires.

Exercice 11Soit f une fonction dérivable sur un intervalle

[a,b

]telle que f (a) = f (b) = 0,

f ′(a)> 0 et f ′(b)> 0. Montrer qu’il existe c ∈ ]a,b

[tel que f (c)= 0 et f ′(c)≤ 0.

36

Chapitre 11 – Dérivation

4. Rolle itéré

Exercice 12Soit f une fonction n fois dérivable sur

[a,b

].

1. Si f s’annule en n+ 1 points distincts dans[a,b

], montrer qu’il existe

c ∈ ]a,b

[tel que f (n)(c)= 0.

2. Si f (a) = f ′(a) = ·· · = f (n−1)(a) = f (b) = 0, montrer qu’il existe c ∈ ]a,b

[tel

que f (n)(c)= 0.

Exercice 13Soit f une fonction deux fois dérivable sur

]a,b

[, continue sur

[a,b

]et c ∈ ]

a,b[.

1. On suppose que f (a)= f (b)= 0. Montrer qu’il existe d ∈ ]a,b

[tel que :

f (c)=− (c−a)(b− c)2

f ′′(d)

2. Montrer qu’il existe d ∈ ]a,b

[tel que :

f (c)= b− cb−a

f (a)+ c−ab−a

f (b)− (c−a)(b− c)2

f ′′(d)

Indication Considérer la fonction g : t 7−→ f (t)+λ(t−a)(b− t) où λ est un réelbien choisi.

5. Dérivée et tableau de variations

Exercice 14Soit f une fonction continue sur

[0,+∞[

, dérivable sur]0,+∞[

, telle que f (0)= 0.On suppose f ′ croissante sur

]0,+∞[

. Étudier les variations de la fonction gdéfinie par :

g(x)= f (x)x

6. Inégalité des accroissements finis

Exercice 15

1. Montrer que, pour tout x ∈R,x

1+ x2 ≤ arctan(x)≤ x

2. Montrer que, pour tout x ∈ ]0,1

[,

x ≤ arcsin(x)≤ xp1− x2

Exercice 16Soient a < b deux réels et 0< k < 1. Soit f une fonction définie, continue sur

[a,b

]à valeur dans

[a,b

], telle que :

∀x ∈ ]a,b

[,

∣∣ f ′(x)∣∣≤ k

1. Démontrer que f est une fonction k-Lipschitzienne, c’est à dire :

∀(x, y) ∈ [a,b

], | f (x)− f (y)| ≤ k |x− y|

2. Prouver f admet un unique point fixe, c’est à dire que l’équation :

f (x)= x

admet une unique solution c.3. Prouver que toute suite (un)n∈N définie par son premier terme u0 ∈

[a,b

]et

par la relation de récurrence :

∀n ∈N, un+1 = f (un)

converge vers c. Vérifier que un est une valeur approchée de c à la précisionkn(b−a).

37

Chapitre 12 –

7. Prolongement de dérivées

Exercice 17Montrer que la fonction f définie par :

f (x)=

x2 exp(−x)

1−exp(−2x)si x 6= 0

0 si x = 0

est de classe C 1 sur R.


f (x)=exp

(− 1

1− x2

)si |x| < 1

0 si |x| ≥ 1

et g la fonction définie par :

g(x)=exp

(−1

x

)si x > 0

0 si x ≤ 0

Montrer que g est de classe C ∞ sur R. En déduire que f est de classe C ∞ sur R.

8. Fonctions à valeurs complexes

Exercice 19

1. Soit f : R→C la fonction définie par :

∀x ∈R, f (x)= exp(ix)

et g : R→C la fonction définie par :

∀x ∈R, g(x)= exp(ax)

où a ∈C est fixé.

(a) Étudier la dérivabilité de f , puis de g,

(b) En utilisant la fonction f , démontrer que le théorème de Rolle n’estpas vérifié pour les fonctions complexes de la variable réelle,

2. Soit I un intervalle réel d’intérieur non vide, a ∈ I et f une fonction définiesur I, à valeur dans C. Montrer que si f est continue sur I, dérivable surI \

a, telle que :

f ′(x)−−−→x→a

λ

alors f est dérivable en a et f ′(a)=λ.

38


1. Développement limité

Exercice 1Déterminer le développement limité à l’ordre n en 0 des fonctions suivantes :

n = 4 f (x)= xsin(x)

n = 2 g(x)= (1+ x)1x

n = 4 h(x)= sin(x) ln(1− x)

n = 2 k(x)= xln(1+ x)

Exercice 2Déterminer le développement limité à l’ordre n en a des fonctions suivantes :

n = 2 a =+∞ f (x)= 3√

x2 + x+1− 3√

x2 +1

n = 3 a =+∞ g(x)=√

x2 +1−√

x2 −1

n = 3 a = 2 h(x)= 2x − x2

Exercice 3Donner les DLn(a) des fonctions suivantes :

f (x)=√

1+sin(x) n = 4 et a = 0

f (x)= exp(cos(x)

)n = 4 et a = 0

f (x)= (1+ x)1x n = 4 et a = 0

f (x)=∫ x

0

√2−sin2(t)dt n = 6 et a = 0

f (x)= arccos(

1+ x2+ x

)n = 2 et a = 0

f (x)=√

1+sin(x) n = 2 et a = 2

f (x)=√

1+sin(

1x

)n = 3 et a =+∞

Exercice 4Soit f : R→R une fonction solution de l’équation différentielle :

y′ = 1+ y+ y2

qui vérifie :

f (0)= 0

1. Démontrer que f est de classe C ∞ sur R,

2. Justifier l’existence d’un DLn(0) pour tout entier n, et expliciter le DL4(0)de f .

Exercice 5Soit f :

]−π2 , π2

[→R la fonction définie par :

x 7→ exp(x)tan(x)

Montrer que f est bijective et que f −1 est de classe C ∞. Calculer le DL3(0) def −1 en utilisant le fait que :

∀x ∈]−π

2,π

2

[, f −1 f (x)= x

39

Chapitre 12 – Développements limités

2. Calcul de limite

Exercice 6Déterminer les limites suivantes à l’aide d’un développement limité :

limx→0

1x(1+ x)

− ln(1+ x)x2 lim

x→0

ln(1+sin(x))− tan(x)sin(x)− tan(x)

limx→0

ln(1+ ex)− ln(2)x

limx→0

ex −1−sin(x)cos(x)−1

limx→+∞x2

(e

1x − e

1x+1

)limx→ π

2

2cos2(x)

− 1ln(sin(x))

limx→1

x−1ln(x)

− ln(x)x−1

limx→0

(1+ x)x − xx(xx −1)

Exercice 7Déterminer (lorsqu’elle existe) lim

x→af (x) dans les cas suivants :

f (x)= exp(x)−1−sin(x)cos(x)−1

a = 0

f (x)= arctan(x2 − x2 cos(x)

)(1−p

cos(x))ln

(sin(x)

x

) a = 0

f (x)= ln(ch(x)

)+ ln(cos(x)

)p

cos(x)+pch(x)−2

a = 0

f (x)= 2cos2(x)

− 1ln

(sin(x)

) a = π

2

Déterminer (si elle existe) limn→+∞un lorsque :

un =(3 np2−2 np3

)n

3. Étude locale d’une fonction

Exercice 8

1. Soit f la fonction définie par la formule :

f (x)= ep

1+x − etan(x)

En écrivant un développement limité à l’ordre 2 de f en 0,

(a) montrer que f se prolonge par continuité en 0,

(b) que la courbe de la fonction ainsi prolongée possède une tangente en 0

(c) indiquer la position de la courbe par rapport à sa tangente au voisinagede 0.

2. Soit f la fonction défine par la formule :

f (x)= ln(tan(x))

(a) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abs-cisse π

4 ,

(b) Déterminer la position de la courbe par rapport à la tangente auvoisinage de ce point.

Indication On fera un développement limité de f à l’ordre 3 au voi-sinage de π

4 .

40

Chapitre 13 –

Exercice 9Étude et représentation graphique des fonctions suivantes :

f1(x)= ln |1+ x|x

f2(x)= x+√

x2 −1

f3(x)=√

x3

x−1f4(x)= exp

(x−1x2

)On étudiera soigneusement les points d’inflexion.

Exercice 10Soit D = ]−π

2 ,0[∪ ]

0, π2[et f : D →R la fonction définie par :

∀x ∈D, f (x)= exp(p

1+sin(x))− e

tan(x)

1. Montrer que f est continue sur D et qu’elle se prolonge par continuité en 0.On note encore f la fonction prolongée par continuité sur

]−π2 , π2

[.

2. Prouver que f est dérivable en 0 et préciser la position de la courbe C f parrapport à sa tangente au voisinage du point A d’abscisse 0.

Exercice 11Étudier les branches infinies des courbes représentatives des fonctions suivantes :

f (x)= 1x

(2x2 −1

)exp

(1x

)f (x)=

√x4 − x2 + x−1− (x+1)

√x2 +1

Exercice 12Étudier et représenter graphiquement les fonctions suivantes :

f (x)= x2 arctan(

11+ x

)f (x)= exp

(1x

)√x2 −5x+6

41


1. Convexité

Exercice 1Étudier la convexité des fonctions suivantes :

f (x)= ln(x) sur ]0,+∞[

g(x)= exp(x) sur R

h(x)= xα sur ]0,+∞[

ϕ(x)= cos(x) sur]−π

2,π

2

[ψ(x)= sin(x) sur ]0,π[


f (x)=− ln(ln(x))

1. Quel est l’ensemble de définition de f ?

2. Démontrer que f est convexe.

3. En déduire pour tout (x, y) ∈D2f :

ln( x+ y

2

)≥

√ln(x) ln(y)


f (x)= x ln(x)

1. Quel est l’ensemble de définition de f ?

2. Étudier la convexité de f .

3. En déduire pour tout (a,b, x, y) ∈D4f :

x ln( x

a

)+ y ln

( yb

)≥ (x+ y) ln

( x+ ya+b

)Exercice 4Soit n ≥ 2 et (ak)1≤k≤n un n-uplet de réels strictement positifs. On définit diffé-rentes notions de moyennes :

Nom Formule

Moyenne arithmétique A A = 1n

n∑k=1

ak

Moyenne géométrique G G = n

√n∏

k=1ak

Moyenne harmonique H1H

= 1n

n∑k=1

1ak

Moyenne quadratique Q Q =√

1n

n∑k=1

a2k

En utilisant des fonctions convexes judicieuses, prouver que :

H ≤G ≤ A ≤Q

42

Chapitre 13 – Suites récurrentes et approximation

Exercice 5Soit f une fonction convexe de classe C 1 sur R. Montrer qu’on a l’aternative :

1. soit f est croissante sur R,

2. soit f est décroissante sur R,

3. soit ∃a ∈R tel que f soit décroissante sur ]−∞,a] et croissante sur [a,+∞[.

Que peut-on dire si f est seulement dérivable sur R ?

Exercice 6Soit f dérivable et convexe sur R.

1. Montrer que s’il existe a ∈R tel que f ′(a)> 0, alors :

f (x)−−−−−→x→+∞ +∞

2. Montrer que s’il existe a ∈R tel que f ′(a)< 0, alors :

f (x)−−−−−→x→−∞ +∞

3. Que peut-on dire si f est bornée?

2. Suites récurrentes

Exercice 7

1. Montrer que l’équation d’inconnue x :

cos(x)= x

admet une unique solution c, et que c ∈ [0,1

],

2. Montrer que pour tout x ∈ [0,1

],∣∣cos′(x)

∣∣≤ 0.85

3. Soit (un)n∈N la suite définie par :u0 = 1

∀n ∈N un+1 = cos(un)

Démontrer que (un)n∈N converge vers c. Pour quelle valeur de n est on sûrque un est une valeur approchée de c à 0,01 près?

Exercice 8

1. Étudier les variations de f : x 7−→ exp(−x)−x. En déduire que f a une uniqueracine α et vérifier que 0<α< 1.

2. Étudier la suite (un)n∈N définie par :u0 = 0

∀n ∈N un+1 = exp(−un)

et démontrer que un −−−−−→n→+∞ α.

En appliquant la méthode de Newton pour définir une suite qui converge vers α,on définit la suite (vn)n∈N par :

v0 = 0∀n ∈N vn+1 =ϕ(vn)

en posant : ϕ(x)= (1+ x)exp(−x)1+exp(−x)

3. Démontrer que ϕ(x)= 0⇐⇒ f (x)= 0.

4. Calculer ϕ′ et vérifier que ϕ′(x) a le signe de f (x). En déduire le tableau devariation de ϕ.

43

Chapitre 14 –

5. Démontrer que (vn)n∈N est croissante, majorée et converge vers α.Soit p ∈N∗. Pour quelle valeur de n est on sûr que vn est une valeur appro-chée de α à 2−p près?

Exercice 9

1. Soit (un)n∈N la suite définie par son premier terme : u0 = 0 et la relation derécurrence :

un+1 =√

6+un

Étudier la fonction x 7→p6+ x. En utilisant C f , conjecturer le comportement

de (un)n∈N puis étudier la suite (un)n∈N.2. Soit (un)n∈N la suite définie par son premier terme : u0 = 0 et la relation de

récurrence :

un+1 =√

6−un

Vérifier que le réel un est bien défini pour tout n ∈N et prouver que, pourtout n ∈N,

0≤ un ≤ 6

Étudier la fonction définie sur [0,6] : x 7→p6− x. En utilisant C f , conjecturer

le comportement de (un)n∈N puis étudier la suite (un)n∈N.3. Étudier la suite (un)n∈N définie par son premier terme : u0 = 2 et la relation

de récurrence :

un+1 =1+u2

n2

4. Étudier la suite (un)n∈N définie par son premier terme : u0 = 12 et la relation

de récurrence :

un+1 = (1−un)2

Exercice 10Étudier la convergence des suites récurrentes suivantes :

u0 ∈R ∀n ∈N, un+1 = u2n +2

u0 = 1 ∀n ∈N, un+1 = 3sin(un)4

u0 = 0 ∀n ∈N, un+1 = 1+sin(un)2

u0 = 0 ∀n ∈N, un+1 = exp(−un)

44


1. Espaces vectoriels

Exercice 1Dans les cas suivants, E est-il un R-espace vectoriel ?

E=

(x, y, z) ∈R3∣∣∣∣x+ y+ z = 0

E=

(x, y, z) ∈R3

∣∣∣∣x2 − (y+ z)2 = 0

E=

f ∈F (R,R)∣∣∣∣ f croissante

E=

f ∈C 2 (R,R)

∣∣∣∣ f ′′+3 f ′− f = 0

E=

f ∈F (R,R)∣∣∣∣∃g,h croissantes telles que f = g−h

E=

(un)n∈N

∣∣∣∣ (un)n∈N est géométrique

E=

(un)n∈N∣∣∣∣∀n ∈N, un+2 −2un=1 +3un = 0

E=

P ∈R2[X ]

∣∣∣∣∃(a,b) ∈R2 tels que P = aX (X −1)+b(X −1)

Exercice 2

1. Dans R3, on pose −→u =2

32

, −→v =1

34

, −→w =−1−16

et−→t =

122

,(a) −→w est il combinaison linéaire de −→u et −→v ?

(b)−→t est il combinaison linéaire de −→u , −→v et −→w ?

2. Dans le R-espace vectoriel RR (l’ensemble des fonctions de R dans R), onpose :

f1 : x 7→ 1 f2 : x 7→ cos(x)

f3 : x 7→ sin(x) f4 : x 7→ cos(2x)

f : x 7→ sin(x+ π

6

)g : x 7→ cos2(x)

(a) f et g sont elles combinaisons linéaires de f1, f2, f3 et f4 ?

(b) f et g sont elles combinaisons linéaires de f2 et f3 ?

2. Sous espaces vectoriels

Exercice 3Soient F et G les espaces vectoriels :

F=

f ∈RR∣∣∣ f (1)= 0

G=

f ∈RR

∣∣∣∃a ∈R tel que ∀x ∈R, f (x)= ax

Prouver que F et G sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires du R-espacevectoriel RR.

Exercice 4Soit F1, F2, G1 et G2 quatre sous espaces vectoriels de E tels que :

F1 ⊕F2 =G1 ⊕G2 = E

On suppose que F1 ⊂G1 et F2 ⊂G2.Monter que F1 =G1 et F2 =G2.

45

Chapitre 14 – Espaces vectoriels

3. Applications linéaires

Exercice 5Les applications suivantes sont-elles linéaires ? Le cas échéant, identifier le noyauet l’image.

f1 : R2 →R f2 : R2 →R3

(x, y) 7→ 3x− y−1 (x, y) 7→ (x,2y, x− y)

f3 :R2[X ]→R f4 : C 0 (R,R)→C 0 (R,R)

P 7→∫ 1

−1P(t)dt f 7→ g : (x 7→ xf (x))

Exercice 6E et F sont deux K-espaces vectoriels et f une application linéaire de E dans F.Montrer que ϕ : E×F→ E×F définie par :(−→u ,−→v ) 7→ (−→u ,−→v − f

(−→u ))est un automorphisme de E×F.Exercice 7Soient f et g les applications de Rn[X ] dans Rn[X ] définies par :

f (P)= P −P ′

g(p)=n∑

k=0P(k)

1. Prouver que f et g sont linéaires, et calculer g f .2. Prouver que f ∈GL (Rn[X ]) et déterminer f −1.

3. On suppose n ≥ 4 et on pose :

Q = 2X4 −4X3 +3X2 + X −6

Résoudre f (P)=Q.

Exercice 8Soit f un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E. Prouver :

( f homothétie)⇐⇒ (∀−→u ∈ E,(−→u , f

(−→u ))liée

)4. Image et noyau

Exercice 9E est le R-espace vectoriels C ∞ (R,R) des fonctions de classe C ∞. Soit D : E→ E

l’endomorphisme de dérivation :

D( f )= f ′

et P : E→ E l’endomorphisme de primitivation :

∀x ∈R, I( f )(x)=∫ x

0f (t)dt

Déterminer les noyaux, les images D P et P D.

Exercice 10Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E.

1. Montrer que, si f et g commutent, alors Ker( f ) et Im( f ) sont stables par g.2. Montrer que la réciproque est vraie lorsque f est un projecteur.

Exercice 11Soient E, F et G troisK-espaces vectoriels et f : F→G et g : E→ F deux applicationslinéaires. Montrer :

46

Chapitre 14 – Espaces vectoriels

1.(Ker( f g)=Ker(g)

)⇐⇒

(Im(g)∩Ker( f )=

−→0

)2.

(Im( f g)= Im( f )

)⇐⇒

(Im(g)+Ker( f )= F

)Exercice 12E est un K-espace vectoriels et f ∈L (E). On pose :

Fn = Im( f n)Gn =Ker( f n)

Montrer :

1.(Ker( f )=Ker

(f 2))⇐⇒

(Im( f )∩Ker( f )=

−→0

)2.

(Im( f )= Im

(f 2))⇐⇒

(Im( f )+Ker( f )= E

)3. Pour la relation d’ordre d’inclusion « ⊂ », la suite (Fn)n∈N est décroissante,

(Gn)n∈N est croissante,

4. S’il existe un entier p tel que Fp+1 = Fp, la suite (Fn)n∈N est stationnaire.S’il existe un entier q tel que Gq+1 =Gq, la suite (Gn)n∈N est stationnaire.

Exercice 13Soient f un endomorphisme d’un espace vectoriel E tel que :(

f − id) (

f −2id)= 0

Montrer que F1 =Ker( f − id) et F2 =Ker( f −2id) sont deux sous espaces supplé-mentaires de E, c’est à dire :

E= F1 ⊕F2

5. Formes linéaires

Exercice 14Soient f et g deux formes linéaires du K-espace vectoriel E.

1. Prouver que si :

∀−→u ∈ E, f(−→u )

g(−→u )= 0

alors f = 0 ou g = 0.

2. Prouver que, si f 6= 0 et g 6= 0, on a :(Ker( f )=Ker(g)

)⇐⇒ (∃λ ∈K∗∣∣ f =λg)

6. Projecteurs et symétries

Exercice 15 Projecteurs de paritéSoit I = [−1,1

]et E=F

(A,R

). On considère les applications p et q : E→ E définies

par :

p( f ) : x 7→ f (x)+ f (−x)2

q( f ) : x 7→ f (x)− f (−x)2

1. Montrer que p et q sont des projecteurs et identifier leurs noyaux et leursimages,

2. En déduire que :

E=P⊕ I

où P (resp. I) est l’ensemble des applications paires (resp. impaires) de Idans R.

47

Chapitre 15 –

Exercice 16Soient p et q deux projecteur d’un espace vectoriel E. Montrer que p et q on lemême noyau si et seulement si :

p = p qq = q p

Exercice 17Soient f et g deux projecteurs du K-espace vectoriel E.

1. Prouver :

( f + g projecteurs)⇐⇒ ( f g = g f = 0)

2. Dans le cas où f + g est un projecteur, prouver :Im( f + g)= Im( f )+ Im(g)Ker( f + g)=Ker( f )∩Ker(g)

3. On suppose dans cette question que f et g commutent, c’est à dire :

f g = g f

Montrer que f g est un projecteur, et déterminer Im( f g) et Ker( f g).

4. Soit u ∈L (E). Montrer que :

( f u = u f )⇐⇒ (Ker( f ) et Im( f ) sont stables par u)

5. On suppose à nouveau dans cette question que f et g commutent. Montrerque u = f + g− f g est un projecteur, et montrer que :

Im(u)= Im( f )+ Im(g)Ker(u)=Ker( f )∩Ker(g)

7. Espaces affines

Exercice 18Soit n ≥ 2, E=Kn[X ] et ∆ : E→K[X ] définie par :

∆(P)(X )= P(X +1)−P(X )

1. Prouver que ∆ est un endomorphisme de E et déterminer Ker(∆).

2. Prouver que X ∈ Im(∆) puis prouver que

D =P ∈ E

∣∣∣∆(P)= X

est une droite affine du K-espace vectoriel E. Déterminer ce sous espaceaffine.

Exercice 19Soit E un espace vectoriel et F le sous espace affine passant par A, dirigé par F.À quelle condition simple F est il un sous espace vectoriel de E ?

Exercice 20Soit E un espace vectoriel, F le sous espace affine passant par A, dirigé par F etG le sous espace affine passant par B, dirigé par G. Montrer que :

F ∩G 6= ;⇐⇒−−→AB ∈ F+G

48


1. Dimension

Exercice 1

1. Soient (α,β,γ) ∈ R3. Démontrer que les applications de R dans R qui à xassocient respectivement cos(x+α), cos(x+β), et cos(x+γ) forment unefamille liée,

2. On pose : Q0 = 3, Q1 = 2X , Q2 = X3 + X , Q3 = X3 et Q4 = X2 +1. (Qk)0≤k≤4est une famille liée de R[X ] qui engendre R3[X ].

3. Soient a et b deux réels distincts. Pour tout k ∈ 0,n, on pose :

Pk = (X −a)k(X −b)n−k

Démontrer que la famille (Pk)0≤k≤n est une base de Rn[X ].

4. Soit E un espace vectoriel de dimension n ≥ 1. Soit f ∈L (E) tel que : f n = 0et f n−1 6= 0. Démontrer qu’il existe un vecteur −→u ∈ E tel que la famille(−→u , f

(−→u ), f 2 (−→u )

, . . . , f n−1 (−→u ))est une base de E.

5. Dans RR, pour tout p ∈ N on pose : fp : x 7→ sin(px) et gp : x 7→ sin(x+ p).Démontrer :

(a) ( f1, . . . , fn) est une famille libre,

(b) si n ≥ 3, (g1, . . . , gn) est une famille liée.

Exercice 2Soient (a,b) ∈C2. E=CN est l’espace vectoriel des suites à valeur complexe, et

F=(un)n∈N

∣∣∣∀n ∈N,un+2 = aun+1 +bun

1. Montrer que F est un sous espace vectoriel de E et que f : F→ C2 définie

par :

f((un)n∈N

)= (u0,u1)

est un isomorphisme de C-espaces vectoriels.

2. Prouver que, si l’équation d’inconnue z ∈C :

z2 = az+b

admet deux racines r1 et r2 (resp. une racine double r), alors les suites((r1)n)

n∈N et((r2)n)

n∈N (resp.(rn)

n∈N et(nrn)

n∈N) forment une base de F.

Exercice 3Dans R4, on pose : −→u 1 = (1,−1, 2, 0)

−→u 2 = (0,−9,−9, 6)−→v 1 = (1, 2, 3, 0)−→v 2 = (0,−1, 2,−2)−→v 3 = (3, 7, 7, 2)

Soient E= vect(−→u 1,−→u 2

)et F= vect

(−→v 1,−→v 2,−→v 3).

1. Déterminer dim(E), dim(F), dim(E+F), dim(E∩F).

2. Donner un supplémentaire de E et un supplémentaire de E∩F.

Exercice 4Déterminer le rang des familles suivantes :

49

Chapitre 15 – Espaces vectoriels de dimension finie

1. Dans R3 :

F =(1,−1,1); (0,−1,2); (1,−2,3)

2. Dans R[X ] :

F =

X2 + X +1; 2X ; X2 +3X ; X3 +3

3. Dans R]−1,1[ :

F =

x 7→p

1− xp1+ x

; x 7→p

1+ xp1− x

;

x 7→ 1p1− x2

; x 7→ xp1− x2

2. Rang

Exercice 5R4 est muni de sa base canonique

(−→e 1,−→e 2,−→e 3,−→e 4). f ∈L

(R4)

est défini par :

f(−→e 1

)=−→e 1 −−→e 3 +−→e 4

f(−→e 2

)=−−→e 1 +−→e 2 +−→e 3

f(−→e 3

)=−−→e 1 +3−→e 2 +−→e 3 +2−→e 4

f(−→e 4

)=−3−→e 1 +−→e 2 +3−→e 3 −2−→e 4

Déterminer Im( f ) et Ker( f ). Ces deux sous-espaces vectoriels de R4 sont ilssupplémentaires dans R4 ?

Exercice 6Soit n ≥ 2 et E=Rn[X ]. À tout polynôme P de E on associe le polynôme f (P) :

f (P)= P(X +1)+P(X −1)−2P(X )

1. Montrer que f ∈L (E). Calculer f (X k) pour 0≤ k ≤ n, et déterminer Im( f ),rg( f ) et Ker( f ).

2. Soit Q ∈ Im( f ). Montrer qu’il existe un unique P ∈ E tel que :f (P)=QP(0)= P ′(0)= 0

3. Théorème du rang, formule de Grassman

Exercice 7Soit E un espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1 et f ∈L (E). Prouver l’équiva-lence des cinq propositions :

1. Im( f )= Im(f 2)

2. Ker( f )=Ker(f 2)

3. Ker( f )∩ Im( f )=−→

0

4. Ker( f )+ Im( f )= E5. Ker( f )⊕ Im( f )= E

Exercice 8Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension finie n ≥ 1, f et g deux applicationslinéaires de E dans F. Montrer que :

|rg( f )−rg(g)| ≤ rg( f + g)≤ rg( f )+rg(g)

50

Chapitre 16 –

Exercice 9Soit E un espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1, ( f , g) ∈ (L (E))2.

1. Montrer que :

rg( f )+rg(g)−dim(E)≤ rg(g f )≤min(rg( f ) ,rg(g)

)2. Soit G un sous espace vectoriel de E. Montrer que :

dim(f −1(G)

)= dim(E)−rg( f )+dim(G∩ Im( f ))

Exercice 10Soit E un espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1. ( f , g) ∈ (L (E))2 sont tels que :

f g = 0 et f + g inversibles

Montrer que :

rg( f )+rg(g)= dim(E)

Exercice 11Soit E un espace vectoriel de dimension finie n ≥ 2, −→u un vecteur non nul de E, Hun hyperplan de E tel que :

H⊕K−→u = E

1. Soit s la symétrie par rapport à K−→u parallèlement à H. Montrer que, si unendomorphisme f de E commute avec s, alors H et K−→u sont stables par f .

2. Prouver que les seuls endomorphismes de E qui commutent avec tous lesautres sont les homothéties.

Exercice 12E est un espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1. Montrer que p ∈L (E) est unprojecteur si et seulement si :

dim(Ker(p)

)+dim(Ker(idE−p)

)= dim(E)

51


1. Modèles basiques

Exercice 1Les numéros de téléphone en France métropolitaine sont constitués de 10 chiffres :

— le premier chiffre est 0

— le deuxième chiffre est 1, 2, 3, 4, 5, 6 ou 7

Combien peut-on avoir de numéros de téléphone en France métropolitaine?

Exercice 2Pierre se propose de ranger ses 7 livres de probabilités sur une étagère : combiend’ordres lui sont proposés ?

Exercice 3Blaise range les sept tomes d’Harry Potter sur une étagère.De combien de manière peut-il ranger les livres de façons à ce que les tomes 1, 2et 3 soient côte à côte (pas nécessairement dans cet ordre)

Exercice 4Une société de voyage propose à ses clients le tour de l’Europe en huit jours. Ils’agit de visiter 4 capitales européennes en passant deux jours dans chaque ville.Les capitales sont à choisir parmi 7 villes : Rome, Paris, Londres, Amsterdam,Madrid, Pragues et Budapest.Combien y-a-t-il de circuits possibles ?

Exercice 5Une « main » est un sous-ensemble d’un jeu de cartes. Avec un jeu de 52 cartes,combien peut-on former de mains de 8 cartes contenant :

1. le roi de cœur ;

2. au moins un roi ;

3. exactement un roi et un cœur ;

4. 2 cœurs et 6 piques ;

5. 2 cartes d’une couleur et 6 d’une autre

6. 4 couleurs : carreau, cœur, pique, trèfle.

Exercice 6On forme des main de 5 cartes prises simultanément dans un jeu de 32 cartes.

1. Combien y-a-t-il de mains possibles ?

2. Déterminer le nombres de mains contenant exactement :

(a) deux dix (une paire de dix).

(b) trois rois (un brelan de rois).

(c) trois dames et deux sept (un full au dames par les rois).

3. Même question qu’au 2. en remplaçant le mot exactement par au moins.

4. Combien existe-t-il de mains contenant

(a) exactement une paire.

(b) au moins un brelan.

(c) au plus un pique.

(d) un as et deux piques exactement.

52

Chapitre 16 – Dénombrement

2. Coefficients binomiaux

Exercice 7Soient n et p deux entiers tels que 1≤ p ≤ n.

1. Démontrer

p

(np

)= n

(n−1p−1

)

2. En déduire une expression simplifiée de

n∑k=1

k

(nk

)

Exercice 8Dans une assemblée, il y a n hommes et p femmes. On doit choisir un bureaucomprenant a personnes (1≤ a ≤ n+ p)

1. Combien y-a-t-il de bureaux comprenant k hommes et a−k femmes?

2. En déduire

n∑k=0

(nk

)(p

a−k

)=

(n+ p

a

)

en adoptant la convention(n

k)= 0 si k < 0 ou k > n.

3. En déduire

n∑k=0

k(k−1)

(nk

)2

= n(n−1)

(2n−2n−2

)

Indication Exprimer k(k−1)(n

k)en fonction de

(n−2k−2

)puis de

(n−2n−k

).

Exercice 9En dénombrant de deux façons différentes les partition d’un ensemble de nboules en trois sous ensembles U1, U2 et U3 tels que U2 ∪U3 contienne k boules,U2 contient p boules, montrer que, pour tout (k, p,n) ∈N3, p ≤ k ≤ n :(

kp

)(nk

)=

(np

)(n− pk− p

)

Exercice 10Soient (un)n∈N et (un)n∈N deux suites à valeurs réelles ou complexes, telles que :

∀n ∈N, un =n∑

k=0

(nk

)vk

1. Démontrer que, lorsque p ≤ k ≤ n :(kp

)(nk

)=

(np

)(n− pk− p

)

2. Démontrer que, pour tout p < n :

n∑k=p

(−1)k

(kp

)(nk

)= 0

3. En déduire la formule d’inversion de Pascal :

∀n ∈N, vn =n∑

k=0(−1)n−k

(nk

)uk

53

Chapitre 16 – Dénombrement

3. Coefficients multinomiaux

Exercice 11Combien de combinaisons différentes peut-on obtenir en permutant les lettres dumot CARAVANE ? Même question avec le mot MISSISSIPI ?

Exercice 12Quel est le coefficient de a3b3c4 lorsqu’on développe

(a+b+ c

)10 ?

4. Modèles d’urne

Exercice 13On place r boules dans n tiroirs numérotés. Quel est le nombre de répartitionspossibles dans chacun des cas suivants :

1. r ≤ n et chaque tiroir peut contenir au plus une boule ; les boules sontdiscernables (par exemple numérotées)

2. r ≤ n et chaque tiroir peut contenir au plus une boule ; les boules sontindiscernables.

3. Chaque tiroir peut contenir la totalité des boules ; les boules sont discer-nables.

4. Chaque tiroir peut contenir la totalité des boules ; les boules sont indiscer-nables

Exercice 14Dans une urne, il y a N boules numérotées de 1 à N. On effectue n tirage avecremise d’une boule dans cette urne. On appelle résultat la suite de ces tirages.

1. Combien existe-t-il de résultats différents pour lesquels une boule donnéeBi est prélevée exactement k fois ?

2. Combien existe-t-il de résultats différents pour lesquels une boule donnéeBi est prélevée exactement m fois au cours des r premiers tirages?

3. Combien existe-t-il de résultats différents pour lesquels une boule donnéeBi est prélevée pour la s-ième fois au t-ième tirage?

5. Formule du crible

Exercice 15Un parlement est constitué de 470 parlementaires. On procède à l’élection d’unecommission de 5 membres. Chaque parlementaire vote pour 5 candidats. Il n’y a nivote nul, ni abstention. On considère les 3 candidats A, B et C. 282 parlementairesont voté pour A, 117 pour A et B , 105 pour A et C, 79 pour A, B et C, 117 pourB et C mais pas pour A, 27 pour C mais pas pour A ni pour B, 133 pour B maispas pour A.

1. Combien de parlementaires ont voté pour B ?

2. Combien de parlementaires ont voté pour C ?

3. Combien de parlementaires n’ont voté ni pour A, ni pour B, ni pour C ?

Exercice 16Soit k ∈N et Ak =

kp∣∣p ∈N∩

1,112 −1l’ensemble des multiples de k stricte-

ment inférieurs à 112.

1. Démontrer que n ∈ 1,112−1 est un nombre premier différent de 2, 3, 5 ou7 si et seulement si n 6= 1 et : n 6∈ A2 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7.

2. En utilisant la formule du crible, calculer card(A2 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7).On pourraremarquer que An ∩ Am = Anm lorsque n et m sont premiers entre eux, et

que : card(Ak) =[

120k

]où [x] est la partie entière de x. En déduire le

nombre de nombres premiers compris entre 1 et 120.

54

Chapitre 17 –

Exercice 17Soit p, n deux entiers naturels non nuls. On note σn,p le nombre de surjectionsde 1,n dans 1, p. Montrer que, pour tout n ∈N,

σn,p =p∑

k=1(−1)p−kkn

(pk

)

Indication Dénombrer le complémentaire de l’ensemble des surjections, en no-tant que, lorsque ϕ n’est pas une surjection, il existe i tel que i 6∈ Im

(ϕ

).

6. Dénombrements avancés

Exercice 18Soient (n, p) ∈N2. On note Kn

p l’ensemble des parties à p éléments de 1,n qui

ne contiennent pas deux entiers consécutifs, et on note K np = card

(Kn

p

).

1. Déterminer K np lorsque n = 2p−1, puis lorsque n < 2p−1.

2. Soit X ∈ Knp est a1 < a2 < ·· · < ap les p éléments de X , rangés dans l’ordre

croissant. On définit une nouvelle suite(u1, . . . ,up

)par : u1 = a1 u2 =

a2 −1 u3 = a3 −2 . . . c’est à dire : ∀k ∈ 1, p, uk = ak −k+1.Démontrer que (uk)1≤k≤p vérifie :

1≤ u1 < u2 < ·· · < up−1 < up ≤ n+1− p

3. En déduire que Knp peut être mis en bijection avec l’ensemble des parties à

p éléments de 1,n+1− p. En déduire K np .

Exercice 19

Soit

nk

le nombre de partitions non ordonnées d’un ensemble de n éléments en

k parties non videsA1, . . . , Ak

.

On ne tient pas compte de l’ordre d’énumération des parties : si σ est une per-mutation, on considère que

Aσ(1), . . . , Aσ(k)

et

A1, . . . , Ak

correspondent à une

même partition.

1. Montrer que :nk

=

n−1k−1

+k

n−1

k

puis que :

n1

= 1 et

nk

= 0 si k > n

En utilisant un triangle de Pascal pour

nk

, calculer

nk

pour tout k ≤ n ≤ 5.

2. Écrire un algorithme Python pour calculer

nk

.

3. Quelle relation y-a-t-il entre

nk

et σn,k le nombre de surjections de 1,k

dans 1,n.Sachant que :

σn,k =p∑

k=1(−1)p−kkn

(pk

)

en déduire une formule pour

nk

.

55


1. Algèbre d’événements

Exercice 1Soit (Ω,A ) un espace probabilisable. Soit (An)n∈N une famille d’événements et A,B,C des événements.À l’aide des opérations ensemblistes :

⋂,⋃

et complémentaire,écrire les événements suivants :

1. l’un au moins des événements A, B, C est réalisé.

2. un et un seul des événements A, B, C est réalisé.

3. Tous les événements (An)n∈N se réalisent.

4. Bn : « pour tout k ≥ n, Ak est réalisé ».Montrer que (Bn)n est une suite monotone d’événements 1.

5. Cn : « il existe k ≥ n tel que Ak se réalise ».Montrer que (Cn)n est une suite monotone d’événements.

6. Tous les événements An se réalisent à partir d’un certain rang.

7. Un nombre fini d’événements An se réalisent.

8. Une infinité d’événements An se réalisent.

2. Modèle de tirages avec remise/sans remise

Exercice 2On dispose de n boules jaunes numérotées de 1 à n dans une urne U, et de nboules rouges numérotées de 1 à n dans une urne V . On prend au hasard uneboule jaune et une boule rouge, ces tirages se font sans remise. On réalise ainsin tirages successifs. Calculer la probabilité qu’à chaque tirage, le numéro de laboule jaune soit identique au numéro de la boule rouge.

Exercice 3On pioche successivement 4 cartes d’un jeu de 32 cartes. Calculer la probabi-lité d’obtenir exactement 2 trèfles et 2 coeurs quand la pioche est sans remise.Reprendre les calculs quand la pioche est avec remise.

Exercice 4On lance 7 fois successives un même dé à 20 faces (que l’on suppose équilibré).Calculer la probabilité pour que :

1. toutes les faces portent un numéro distinct.

2. toutes les faces portent un numéro identique.

Exercice 5Dans un jeux de 32 cartes, on tire successivement 5 cartes en les remettre dans lejeu.

1. Calculer la probabilité que le premier as apparaisse

(a) à la première pioche,

(b) à la seconde pioche,

(c) à la troisième pioche

(d) à la quatrième pioche,

(e) à la cinquième pioche,

(f) jamais.

2. Refaire la question précédente avec le second as.

1. On dit qu’une suite d’événements (Bn)n∈N est croissante si pour tout n, Bn ⊂ Bn+1. On ditque la suite est décroissante si pour tout n, Bn+1 ⊂ Bn. On dit que la suite est monotone si elle estcroissante ou décroissante.

56

Chapitre 17 – Probabilités

Exercice 6Deux urnes A et B contiennent chacune n boules numérotées de 1 à n. On tireune boule de A et une boule de B et on note les numéros respectifs a et b.

1. Soit E l’événement « le rapport ab est un nombre entier ». Calculer P

(E

)dans les cas où n = 3, n = 4, puis dans le cas général.

Indication On pourra s’aider d’un quadrillage dont les deux entrées sontles numéros des boules de A et B et les cases cochées sont celles où a

b estentier.

2. Encadrer P(E

)en utilisant les propriétés de la fonction partie entière.

3. Donner un équivalent de P(E

)quand n tend vers l’infini.

3. Formule du crible

Exercice 7On lance un dé à quatre faces (numérotées de 1 à 4) n fois de suite. On note pn laprobabilité que les quatres chiffres (1,2,3,4) apparaissent au moins une fois lorsdes n lancersPour tout nombre entier i ∈ 1; ...;4, on pose A i l’évènement « le numéro i n’appa-rait pas durant les n tirages ».

1. Calculer

P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4

)2. En déduire que

pn = 1−4(

14

)n+6

(24

)n−4

(34

)n

3. Calculer limn→+∞ pn. Interpréter ce résultat.

Exercice 8 Le problème des couplesn couples C1, . . . ,Cn vont à une fête dansante. Les partenaires se séparent dèsl’entrée, et à la première danse, les dames se voient attribuer un cavalier choisiau hasard.

1. Calculer la probabilité que le couple n°1 soit conservé pour la danse. Calculeraussi la probabilité que les couples n°1 et n°2 soient conservés pour la danse.

2. Quelle est la probabilité qu’au moins un des couples de danseurs soit uncouple dans la vie ?

Indication On pourra utiliser la formule du crible générale :

P

( ⋃i∈I

A i

)= ∑

J⊂I(−1)card(J)+1P

( ⋂j∈J

A j

)

3. Vers quoi tend cette probabilité quand n tend vers l’infini ?

4. Formule de Bayes

Exercice 9Parmi cent dés cubiques, vingt-cinq sont pipés de telle sorte que la probabilitéd’obtenir 6 soit 1

2 et que les autres numéros aient la même probabilité d’apparaître.On prend un dé au hasard parmi les cent et on le lance.

1. Quelle est la probabilité d’obtenir 6 ?

2. On obtient 6. Quelle est la probabilité que ce dé soit pipé?

3. On obtient 2. Quelle est la probabilité que ce dé ne soit pas pipé?

57

Chapitre 18 –

Exercice 10Une urne contient 4 boules blanches et 5 boules noires. On pioche trois boules, onremet les noires et l’on garde les blanches. On tire une quatrième boule…Quelle est la probabilité que celle-ci soit blanche?

Exercice 11La société « GayLu » propose un test de dépistage d’une maladie rare. Le test estfiable à 99% :

— il est négatif pour 99% des individus sains, positif pour 1% des individussains,

— il est positif pour 99% des malades, négatif pour 1% des malades.

Le taux de prévalence de la maladie est de 1/1000 : seul un individu sur mille estmalade.

1. Blaise décide de passer le test : il est positif. Quelle est la probabilité pourque Blaise soit effectivement malade?

2. Pierre décide de passer le test : il est négatif. Quelle est la probabilité pourque Pierre soit effectivement sain?

3. Le gouvernement décide de lancer une campagne de dépistage systématique,à condition que 50% des individus positifs soient effectivement malades. Àpartir de quel taux de prévalence de la maladie dans la population doit illancer sa campagne?

Exercice 12On dispose d’une urne contenant 20 boules dont 8 noires, 7 rouges et 5 blanches.On pioche, au hasard et sans remise, cinq boules. Calculer la probabilité de piocher

1. que des boules d’une même couleur.

2. que des boules blanches sachant que toutes les boules sont d’une mêmecouleur

3. deux boules d’une couleur et trois boules d’une autre couleur

4. trois boules blanches sachant que l’on obtient les trois couleurs

Refaire l’exercice lorsqu’il y a remise

Exercice 13Une urne contient b boules blanches et r boules rouges. On tire n boules enremettant la boule après tirage si elle est rouge et en ne la remettant pas si elleest blanche.Calculer la probabilité d’obtenir exactement une boule blanche. On introduirales événements Rk (resp. Bk) « la boule obtenue au tirage n°k est rouge (resp.blanche) ».

58


1. Matrice d’une application linéaire

Exercice 1Soit f l’application linéaire de R2 dans R3 de matrice :

M = 1 1−1 10 −2

dans les bases canoniques de R2 et R3. Soit g l’application de R3 dans R2 définiepar :

g(x, y, z)= (x− y, y− z)

1. Vérifier la linéarité de g, et donner sa matrice dans les bases canoniques deR3 dans R2,

2. Déterminer la matrice de f g dans la base canonique de R3 et celle de g fdans la base canonique de R2. En déduire ( f g)(x, y, z) et g f )(x, y).

Exercice 2

1. Calculer A2 lorsque A = (ak`)1≤k≤n1≤`≤n

et : ak` = exp(

2ik`πn

)2. Calculer A2 lorsque A = (ak`)1≤k≤n

1≤`≤net : ak` =

0 si k > `

(−1)`−1(`−1k−1

)si k ≤ `

Exercice 3

1. Soit n ∈N∗. Calculer Sn =n∑

k=0Ak lorsque : A =

(ρ cos(θ) −ρ sin(θ)ρ sin(θ) ρ cos(θ)

)2. Soit n ∈N∗. Calculer An lorsque :

A =(5 −44 −3

)Exercice 4Soit T ∈Mn(K) une matrice triangulaire supérieure dont tous les éléments diago-naux sont nuls. Démontrer que :

Tn = 0

2. Rang d’une matrice

Exercice 5Déterminer le rang des matrices suivantes :

A =

3 1 11 1 λ

−4 4 −46 4 0

∈M4,3(R)

B =

1 −1 −1 1 0 02 −2 −2 2 0 00 1 2 1 5 −1−1 3 8 4 19 −5

∈M4,6(R)

C = (sin(i+ j)

)1≤i≤n1≤ j≤n

∈Mn(R)

59

Chapitre 18 – Matrices

Exercice 6Soit f l’application linéaire de E,R-espace vectoriel de dimension 4 dans F,R-espacevectoriel de dimension 5 dont la matrice dans les bases B = −→e 1,−→e 2,−→e 3,−→e 4

et

C =−→

f 1,−→f 2,

−→f 3,

−→f 4,

−→f 5

est

M =

2 3 7 23 6 18 4−3 −2 −2 −24 5 7 32 9 7 1

Déterminer le rang de f , Ker( f ), Im( f ).

Exercice 7Soit n ∈N∗ et A et B deux matrices de Mn(K) telle que :

AB = 0 et A+B inversible

1. Donner un exemple dans M2(R),

2. Prouver que :

rg(A)+rg(B)= n

3. Changement de base

Exercice 8B = −→e 1,−→e 2,−→e 3

est la base canonique du C-espace vectoriel C3, B′ désigne la

famille−→

f 1,−→f 2,

−→f 3

où :

−→f 1 =−→e 1 −−→e 2−→f 2 =−i−→e 2 +−→e 3−→f 3 =−→e 1 −−→e 2 + i−→e 3

1. Prouver que B′ est une base de C3,

2. Soit P la matrice de passage de B à B′. Calculer P−1,

3. Soit f ∈L(C3)

tel que :

M( f ,B)= A = −2i −2i 1

2+2i 1+2i −1+ i1+2i 1+ i −1

Déterminer A′ = M( f ,B′). Prouver que f est un automorphisme et calculerf −1.

Exercice 9Soit f ∈L

(R3)

de matrice :

MBc ( f )= 0 1 −sin(θ)

−1 0 cos(θ)−sin(θ) cos(θ) 0

On pose :

−→e 1 =(cos(θ),sin(θ),0

)−→e 2 = f

(−→e 1)

−→e 3 = f(−→e 2

)1. Prouver que :

(a) −→e 3 6= −→0 ,

60

Chapitre 18 – Matrices

(b) B = (−→e 1,−→e 2,−→e 3)est une base de R3. Donner MB( f )

2. Prouver que

H=

id+t f + t2

2f 2

∣∣∣∣t ∈Rmuni de la loi est un groupe abélien.

Exercice 10Soit n ≥ 2, f ∈L (Rn) tel que :

f n = 0 et f n−1 6= 0

f est il un automorphisme? Démontrer qu’il existe −→u ∈Rn tel que

B = −→u , f(−→u )

, . . . , f n−1 (−→u )soit une base de Rn. Déterminer la matrice de f dans cette base, et identifierIm( f ) et Ker( f ).

Exercice 11B désigne la base canonique de Rn[X ] et B′ la famille

B′ =

X k(1− X )n−k∣∣∣0≤ k ≤ n

Prouver que B′ est une base de Rn[X ] et donner la matrice de passage de B′ à B.

4. Inverse de matrices

Exercice 12

1. Soit A la matrice :

A = 4 −2 1

2 −1 2−1 2 2

Montrer que A est inversible et calculer A−1 (donner deux méthodes).

2. Soit B la matrice :

B =

1 a a2 . . . an−1 an

0 1 a . . . an−2 an−1

0 0 1 . . . an−3 an−2

. . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1 a0 0 0 . . . 0 1

Montrer que B est inversible et calculer B−1

5. Polynôme de matrices

Exercice 13Soit m ∈R∗ et A la matrice :

A =

0 m m2

1m 0 m1

m21m 0

On pose B = 1

3(A+ I3

)et C = 1

3(2I3 − A

).

1. Calculer A3 en fonction de A et I3. En déduire que A est inversible etcalculer A−1,

61

Chapitre 19 –

2. Soit n ∈N∗. Calculer BC, CB, Bn et Cn. En déduire An.

Exercice 14Soit A la matrice :

A =2 1 0

0 2 10 0 2

et B la matrice telle que :

A = 2I3 +B

1. Soit n ∈N∗. Calculer An. La formule est elle vraie pour n =−1 ?

2. Soit n ≥ 2 et P un polynôme de degré n : P =n∑

k=0ak X k On pose P(A) =

n∑k=0

ak Ak Prouver que :

P(A)=P(2) P ′(2) 1

2 P ′′(2)0 P(2) P ′(2)0 0 P(2)

Ce résultat est-il vrai pour n = 0 et n = 1 ? Pour n =−1 ?

Exercice 15Soit E l’ensemble :

E=M(a,b, c)=

a b cb a+ c bc b a

∣∣∣∣∣∣(a,b, c) ∈R3

1. Montrer que E est un R-espace vectoriel et

(E,+,×)

est un anneau.

2. Soit A = M(1,0,−3). Calculer A2. En déduire A−1.

3. Soit n ∈N. Calculer le reste de la division euclidienne de X n par X2−2X −8.En déduire An en fonction de A et de I3.

Exercice 16Soit q 6= 0, p et r trois réels, et T ∈MA(R) la matrice :

T =(

p q−q r

)Soit C l’ensemble des matrices qui commutent avec T.

1. Montrer que, pour les opérations usuelles, C est un R-espace vectoriel dontune base est (T, I2) et que c’est un anneau,

2. Pour n ∈N, on pose λn et µn les réels tels que :

Tn =λnT +µnI2

(a) Calculer λ2 et µ2 en fonction de p, q et r,

(b) Calculer λn et µn dans les cas suivants :

i. p = 3, q = r =−2,

ii. p = q = r = 1,

iii. p = 3, q = r = 1,

62


1. Calcul d’intégrales

Exercice 1Justifier l’existence et effectuer le calcul des intégrales suivantes :

I1 =∫ 3

−2[x]dx I2 =

∫ 1

0

x+1px2 +2x+7

dx

I3 =∫ π

2

0sin(x)exp

(cos(x)

)dx I4 =

∫ π

0

∣∣2cos(x)−1∣∣dx

2. Sommes de Riemann

Exercice 2Déterminer la limite des suites de termes général :

un = 1n

n∑k=1

sin(

kπn

)vn =

n∑k=1

kn2 sin

(kπ

n+1

)

wn =n∏

k=1

(1+ k

n

) 1n

3. Inégalités

Exercice 3a, b et c sont trois réels tels que a < b < b, et f est une application continue parmorceaux de [a, c] dans R. Montrer que :

1c−a

∫ c

af (t)dt ≤max

(1

b−a

∫ b

af (t)dt,

1c−b

∫ c

bf (t)dt

)Exercice 4a et b sont deux réels tels que : exp(2)< a < b. Montrer que :∫ b

a

dtln(t)

< 2bln(b)

Exercice 5

1. Montrer que, pour tout t ∈R et pour tout n ∈N,

11+ t2 =

n∑k=0

(−1)k t2k + (−1)n+1 t2n+2

1+ t2

2. Montrer que pour tout x ∈R,∣∣∣∣∫ x

0(−1)n+1 t2n+2

1+ t2 dt∣∣∣∣≤ |x|2n+3

2n+3

3. On pose Sn =n∑

k=0

(−1)k

2k+1. Calculer lim

n→+∞Sn.

4. Utilisation de symétries

Exercice 6Montrer que :∫ π

4

0ln

(cos(x)

)dx =

∫ π4

0ln

(cos

(π4− x

))dx

63

Chapitre 19 – Intégration

En déduire la valeur de l’intégrale :

I =∫ π

4

0ln

(1+ tan(x)

)dx

5. Dérivée d’une intégrale

Exercice 7Pour x réel, déterminer :

f (x)=∫ sin2(x)

0arcsin

(pt)dt+

∫ cos2(x)

0arccos

(pt)dt

Exercice 8f est une fonction réelle continue sur R. On pose ϕ : R→R :

x 7→∫ b

af (x− t)(1+sin(t))dt

Montrer que ϕ est dérivable sur R et calculer ϕ′.

Exercice 9Après avoir justifié leur existence, calculer :

limx→p

π

1x−p

π

∫ x

pπ

cos2(t)dt

limx→p

1

1x2 − x

∫ x2

x

1+ et2

1+ et dt


f (x)=∫ 2x

x

1ln(t)

dt

1. Déterminer D f .

2. Étudier la dérivabilité de f puis son sens de variation.

3. Déterminer limx→0

f (x) et limx→+∞ f (x)

Exercice 11Déterminer toutes les fonctions continues de R dans R telles que :

∀(x, y) ∈R2, f (x) f (y)=∫ x+y

x−yf (t)dt

6. Formules de Taylor

Exercice 12Utiliser une formule de Taylor pour prouver :

1. Pour tout x ∈R :

x− x2

2+ x3

3(1+ x)3≤ ln(1+ x)≤ x− x2

2+ x3

3

2. Si f est de classe C 2 sur [a,b] et c ∈ ]a,b

[:

f (c+h)+ f (c−h)−2 f (c)h2 −−−→

h→0f ′′(c)

3. 1+ 11!

+ 12!

+·· ·+ 1n!

−−−−−→n→+∞ e

64

Chapitre 20 –

7. Calcul de primitive

Exercice 13En indiquant les intervalles sur lesquelles ces primitives existent, calculer :∫ (

ln(x))3

xdx

∫x4

1+ x2 dx∫(x+1)

√x−1

xdx

∫sh(x)sin(x)dx∫

tan(x)1+cos(x)

dx∫

xarctan2(x)dx∫ ln(x2 +4x+5

)(x+1)2

dx∫

dxsh3(x)

Exercice 14Calculer les intégrales suivantes :

I1 =∫ π

2

0

sin(t)dtsin(t)+cos(t)

I2 =∫ π

2

0

cos(t)dtsin(t)+cos(t)

I3 =∫ π

1sin

(ln(t)

)dt I4 =

∫ 2π

0

dt2+cos(t)

8. Intégrale de Wallis

Exercice 15 Intégrale de Wallis

Pour n ∈N, on pose : In =∫ π

2

0sinn(x)dx

1. Montrer que In =∫ π

2

0cosn(x)dx. Calculer I0 et I1,

2. Établir une relation de récurrence entre In et In+2.

3. Démontrer que, pour tout n ≥ 1, nInIn−1 = π2

4. Linéariser cos2p(x). En déduire I2p puis I2p+1.

5. Montrer que la suite (In)n∈N est décroissante. En déduire : In+1In

−−−−−→n→+∞ 1

puis : (2nn

)∼+∞

4npπn

65


1. Loi d’une variable aléatoire

Exercice 1Soit n ∈N∗. Un joueur lance une fléchette au hasard sur une cible circulaire derayon 1, divisée en couronnes concentriques par les cercles de rayons 1

n , 2n , …, n−1

n .On suppose que la fléchette tombe nécessairement sur la cible et que la probabilitéde toucher une partie de la cible est proportionnelle à sa surface.Si la fléchette touche la cible dans la couronne limitée par les cercles de rayons i

net i+1

n , le joueur gagne n− i €.Soit X le gain du joueur : déterminer la loi de X , son espérance et sa variance.

Exercice 2Dans une urne, il y a 10 boules blanches et 5 boules bleues. Soit r un entier comprisentre 1 et 10. Soit X le numéro du tirage où on tire la r-ième boule blanche tirée.Déterminer la loi de X lorsque l’on tire sans remise toutes les boules de l’urne.

Exercice 3On lance deux fois de suite un dé équilibré. Soit X la variable aléatoire égale auplus grand des numéros tirés.

1. Déterminer la loi de X , son espérance et sa variance.

2. Déterminer la loi de X lorsque l’on lance n fois de suite le dé.

Exercice 4X est une variable aléatoire de loi binomiale B(n, p). Les résultats de X sontaffichés par un compteur détraqué :

— le compteur affiche la valeur correcte de X lorsque X prend une valeurcomprise entre 1 et n−1

— Lorsque X = 0 ou n, le compteur affiche un nombre au hasard compris entre1 et n−1

Soit Y la valeur affichée par le compteur.

1. Déterminer la loi de Y . Quelle est, en moyenne, la valeur affichée par lecompteur?

2. Quelle est la probabilité pour que le compteur affiche la valeur prise par X ?

3. On suppose n = 2k. Le compteur affiche la valeur k. Quelle est la probabilitépour que X = k ?

2. Espérance, variance

Exercice 5Une urne contient n boules blanches et n boules noires. On tire successivementune à une, sans remise, les boules de cette urne. Soit X le nombre de tirages justenécessaires pour obtenir toutes les boules blanches.Déterminer la loi de X , son espérance et sa variance.

Exercice 6Soit X une variable aléatoire de loi binomiale B(n, p). Calculer l’espérance de lavariable aléatoire

Y = 11+ X

Exercice 7Une piste rectiligne est divisée en cases numérotées 0, 1, …n …de gauche à droite.Une puce se déplace vers la droite de 1 ou 2 cases au hasard à chaque saut. Audépart, la puce se trouve sur la case 0.

66

Chapitre 20 – Variables aléatoires réelles

On note Xn et Yn les variables aléatoires représentant respectivement le numérode la case où se trouve la puce après n sauts et le nombre de sauts d’une caseeffectués au cours des n premiers sauts.

1. Déterminer la loi de Yn, son espérance et sa variance.

2. Exprimer Xn en fonction de Yn, et calculer E(Xn) et Var(Xn) en fonctionde n.

Exercice 8Soit n ∈N∗. On dispose d’une boite B contenant n boules numérotées de 1 à n, etde n boites B1 à Bn, chacune des boites Bk contenant k boules numérotées de 1à k.On tire au hasard une boule dans B, puis, si le numéro de la boule tirée est k, ontire au hasard une boule dans Bk.On note X le numéro de la boule obtenue à l’issue du deuxième tirage.Déterminer la loi de X et l’espérance de X .

Exercice 9Soient m et n deux entiers naturels tels que 1≤ m ≤ n.

1. Montrer que

n∑k=m

(k−1m−1

)=

(nm

)

Indication On pourra raisonner par récurrence sur n

Une urne contient m boules noires et 2m boules blanches. On effectue des tiragessans remise d’une boule de cette urne jusqu’à ce que l’on tire la dernière boulenoire. On note Xm le nombre de tirages effectués.

2. Déterminer la loi de Xm et vérifier que∑k∈Xm(Ω)

P(Xm = k

)= 1

3. CalculerP(X1 ≤ 2

),P

(X2 ≤ 4

), puis, dans le cas général, déterminerP

(Xm ≤ 2m

),

4. Calculer E(Xm)

Exercice 10

1. Soit X une variable aléatoire à support dans1,n

. Démontrer que :

E(X )=n∑

k=1P

(X ≥ k

)On dipose de N urnes. Dans chaque urne, on dispose de n jetons numérotés de1 à N. On tire au hasard un jeton dans chaque urne et on note X le numéro duplus grand jeton tiré.

2. Identifier P(X ≥ k

)pour tout k ∈

1,n. En déduire la loi de X .

3. Montrer que E(X )= n−n−1∑k=0

(kn

)N.

4. Identifier la limite de 1n E(X ) quand n →+∞. En déduire un équivalent de

E(X ) quand n →+∞.

5. Identifier la limite de E(X ) quand N →+∞.

Exercice 11On réalise un portefeuille d’actions avec deux valeurs, qui permettent de réaliserun gain respectif X1 et X2, qui sont deux variables aléatoires. On suppose que X1et X2 sont des variables aléatoires indépendantes, de moyennes respectives m1et m2 et d’écarts type respectifs σ1 et σ2. On investit x € sur la première valeuret 1− x sur la deuxième (x est un réel compris entre 0 et 1).

1. Identifier la valeur de x qui minimise Var(xX1 +

(1− x

)X2

).

2. Quel est alors l’espérance de l’investissement réalisé ?

67

Chapitre 21 –

3. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Exercice 12Un joueur parie à la roulette : il décide de jouer 1 € sur une couleur (rouge ou noir)à chaque partie. Le plateau contient 37 cases : 18 rouges, 18 noires, et 1 verte. Sila couleur choisie sort, il gagne 100 € et récupère sa mise, sinon, il perd sa mise.Soit Xn le gain du joueur après n parties :

Xn+1 =

Xn +1 si le joueur remporte la (n+1)-ième partie,

Xn −1 si le joueur perd la (n+1)-ième partie.

1. Identifier la loi de la variable Yn = Xn +n2

2. En déduire l’espérance et la variance de Xn.

3. En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, donner une estimation(par excès) du plus petit entier n tel que :

P(Xn ≤ 0

)≥ 95%

On exprimera n en fonction de p = 1837 et q = 1− p.

68


1. Loi conjointe

Exercice 1Soit m et n deux entiers naturels non nuls. On dispose d’une urne contenant mjetons blancs numérotés de 1 à m et n jetons noirs numérotés de 1 à n.On tire successivement et sans remise les m+n jetons de l’urne. On note X lerang d’apparition du premier jeton portant le numéro 1 et Y le rang d’apparitiondu premier jeton blanc.

1. Déterminer la plus grande valeur notée α (respectivement β) prise par lavariable aléatoire X (respectivement Y ).

2. Calculer P([X =α]∩ [Y =β]).

3. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur m et n pour queles variables aléatoires X et Y soient indépendantes.

Indication On distinguera les cas m ≥ 2 et m = 1, puis pour m = 1, ondistinguera selon que n ≥ 2 ou n = 1.

Exercice 2Soit n un entier naturel non nul. Une boîte contient (2n+1) jetons bicolores (uneface est blanche, l’autre est noire). Les jetons sont numérotés de 1 à 2n+1 surleur face blanche, les faces noires ne portant pas de numéro.On lance simultanément tous les jetons et on observe leurs faces supérieures.Une et une seulement des deux couleurs apparaît un nombre impair de fois. SoitX la variable aléatoire associée à ce nombre.

1. Déterminer la loi de X .

2. Calculer son espérance et sa variance.

Exercice 3Soit M ∈Mn(R) une matrice de rang 1.

1. Montrer qu’il existe deux matrices colonnes U et V de Mn,1(R), telles que :

M =U tV

2. On pose λ= tVU . Montrer que si λ 6= 0, alors 1λ

M est la matrice d’un projec-teur dont on précisera l’image et le noyau.

Soit X et Y deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé(Ω,A ,P), et à valeurs dans 1,2, . . . ,n. Soit A = (ai, j) la matrice carrée d’ordre n,de terme général :

∀(i, j) ∈ 1,2, . . . ,n2, ai, j = P[Y= j](X = i)

1. Montrer que, pour tout j ∈ 1,2, . . . ,n, on a :

n∑i=1

ai, j = 1

2. Soit f l’endomorphisme de Rn canoniquement associé à A. On pose :

B =

P(X = 1)P(X = 2)

...P(X = n)

Montrer que B ∈ Im( f )

3. Montrer que X et Y sont indépendantes si, et seulement si, le rang de Aest égal à 1.

69

Chapitre 21 – Couples de variables aléatoires

2. Espérance, variance

Exercice 4Un immeuble de p étages est équipé d’un ascenseur ; n personnes montent dansl’ascenseur au rez de chaussée et descendent chacune à un étage au hasard et defaçon indépendante.On note X la variable aléatoire égale au nombre d’arrêts de l’ascenseur.

1. Déterminer la loi et l’espérance de X dans les cas suivants :

(a) dans le cas p = 2 et n ≥ 2 ;

(b) dans le cas n = 2 et p ≥ 2.

On revient au cas général.Pour 1≤ i ≤ p et 1≤ j ≤ n, on note Yi, j la variable aléatoire prenant la valeur 1 sile j-ème passager descend au i-ème étage et la valeur 0 sinon.Pour 1≤ i ≤ p, on note X i la variable aléatoire prenant la valeur 1 si l’ascenseurs’arrête au i-ème étage et la valeur 0 sinon.

2. Déterminer les lois des variables Yi, j et X i .

3. Calculer E(X ) et Var(X ).

4. Calculer la probabilité P(X = 1).

5. On noteS (a,b) le nombre de surjections d’un ensemble de cardinal a sur unensemble de cardinal b. Donner la loi de X en fonction des nombres S (a,b).

6. En déduire :

min(n,p)∑k=1

(p−1k−1

)S (n,k)= pn − (p−1)n

Exercice 5Soit n un entier naturel de N∗. Une urne contient n boules numérotées depuis1 jusqu’à n. On effectue trois tirages au hasard d’une boule de cette urne, enreplaçant à chaque fois la boule obtenue avant le tirage suivant.On désigne par X la variable aléatoire égale au plus grand des numéros obtenus,par Y la variable aléatoire égale au plus petit des numéros obtenus et enfin, parZ la variable aléatoire égale à X −Y .

1. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire Z.

2. Déterminer la loi de la variable aléatoire Z.

3. Déterminer, en fonction de l’entier n, l’espérance E(Z).

4. Déterminer un polynôme P ∈R[X ] tel que :

P(X +1)−P(X )= nX3 − X4

En déduire la variance Var(Z) en fonction de n.

Exercice 6Un jeu se déroule de la manière suivante. On dispose d’une roulette comportantn cases numérotées de 1 à n, n étant un entier naturel non nul, multiple de 8. Ondemande au candidat de donner deux entiers α,β tels que : 1≤α<β< n. Puis onactionne trois fois de suite la roulette, et on note X1, X2, X3 les résultats successifsobtenus.Le gain Zα,β du candidat est alors donné par :

Zα,β =

X3 si X3 >β

X2 si X3 ≤β et X2 >α

X1 si X3 ≤β et X2 ≤α

1. On introduit la variable aléatoire Yα définie par :

Yα =

X2 si X2 >α

X1 si X2 ≤α

70

Chapitre 21 – Couples de variables aléatoires

(a) Déterminer la loi de Yα et calculer son espérance.

(b) Pour quelle valeur deα ∈ 1,n−2, l’espérance de Yα est-ellemaximale ?Préciser la valeur de ce maximum.

2. (a) Montrer que ∀k ∈ 1,n,

P(Zα,β = k|X3 ≤β)= PX3≤β(Zα,β = k)

= P(Yα = k)

(b) En déduire l’expression de l’espérance de Zα,β en fonction de β,n etde l’espérance de Yα.

(c) Quelles valeurs de α,β doit choisir le candidat pour maximiser songain en moyenne?

Exercice 7Une urne contient N boules numérotées de 1 à N. On tire, au hasard et sansremise, n boules de l’urne. On note X i la variable aléatoire associée au numérode la boule obtenue au i-ème tirage, ceci pour i = 1,2, . . . ,n.

1. (a) Déterminer la loi de la variable aléatoire X i. Préciser son espéranceet sa variance.

(b) Déterminer la loi du n-uplet (X1, X2, . . . , Xn).

À l’issue du n-ième tirage les numéros obtenus sont classés par ordre croissant. Onnote Y j la variable aléatoire associée au j-ième numéro, classé par ordre croissant,obtenu parmi les n numéros.Ainsi Y1 est la variable aléatoire min(X1, X2, . . . , Xn), Y2 est le nombre aléatoirevenant juste après Y1, par ordre croissant, etc. et Yn est la variable aléatoiremax(X1, X2, . . . , Xn).

2. (a) Déterminer la loi du n-uplet (Y1,Y2, . . . ,Yn).

(b) Déterminer la loi de Y j , pour j = 1,2, . . . ,n.

(c) Déterminer la loi du couple (Y j,Yk), pour 1≤ j < k ≤ n.On conserve les notations précédentes, en se restreignant au cas où n = 3.

3. (a) Préciser la loi du couple (Y1,Y3). En déduire la loi de D = Y3 −Y1.Calculer l’espérance de D.

(b) Déterminer la loi de Y2. Que peut-on remarquer?

Exercice 8Soit n un entier naturel strictement positif, inconnu a priori.Une urne contient des jetons à deux faces portant chacun, sur une des faces unnuméro bleu, et sur l’autre face un numéro rouge. On sait que, sur l’ensemble desjetons de l’urne, k exactement portent le numéro bleu k, ceci pour k = 1,2, . . . ,n,et que, parmi les k jetons portant le numéro bleu k, un et un seul porte le numérorouge i, ceci pour i = 1,2, . . . ,k.

1. Déterminer, en fonction de n, le nombre de jetons contenus dans l’urne.

On tire au hasard un jeton de l’urne. On désigne par B la variable aléatoireassociée à son numéro bleu, et par R la variable aléatoire associée a son numérorouge. On pose, d’autre part, G = B−R.

2. Déterminer la loi du couple (B,R).

3. En déduire les lois de B et de R. Calculer leurs espérances et leurs variances.

4. Suite au tirage d’un jeton, on gagne G. Préciser l’espérance de G et calculerla variance de G.

3. Covariance

Exercice 9Soit n un entier naturel aumoins égal à 2 et soit n variables aléatoires X1, X2, . . . , Xndéfinies sur le même espace probabilisé (Ω,A ,P).

71

Chapitre 22 –

On suppose que ces variables aléatoires ont toutes la même espérance m et lamême variance σ2. On suppose de plus qu’il existe un nombre réel r tel que :

∀(i, j) ∈ 1,n2, i 6= j =⇒ Cov(X i, X j

)= r.σ2

On pose enfin :

X = 1n

(X1 + X2 +·· ·+ Xn)

1. Calculer la variance de X en fonction de n, r et σ2.

2. Calculer l’espérance den∑

i=1(X i − X )2 en fonction de n, r et σ2.

3. En déduire que :

− 1n−1

≤ r ≤ 1

On considère une urne contenant deux boules blanches et n−2 boules noires. Onextrait les boules de cette urne, une par une, au hasard et sans remise.Pour i ∈ 1,n, on note X i la variable aléatoire valant 1 si la i-ème boule obtenueest blanche et 0 sinon.

4. Pour i ∈ 1,n, calculer la variance de X i

5. Si i et j sont deux éléments distincts de 1,n, calculer Cov(X i, X j

).

6. Montrer que l’encadrement obtenu en 3. ne peut pas être amélioré sansperdre sa généralité.

4. Loi des grands nombres

Exercice 10Soit (Xk)k∈N∗ , une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes laloi de Bernoulli de paramètre p ∈]0,1[ et définies sur le même espace probabilisé(Ω,A ,P).On pose, pour k ∈N∗, Yk = Xk Xk+1.

1. Donner la loi de Yk, ainsi que l’espérance et la variance de Yk.

2. Soient i et j deux entiers naturels distincts.Discuter, suivant les valeurs de i et de j, de l’indépendance de Yi et de Y j.

3. On pose, pour n ∈N∗,

Zn = Y1 +·· ·+Yn

n

Montrer que :

∀ε> 0, limn→∞P

(∣∣Zn − p2∣∣≥ ε)= 0

Suite au lancer, on ramasse les jetons de la couleur apparaissant un nombreimpair de fois et on note les numéros de leur face blanche. Soit Y la variablealéatoire représentant le plus petit de ces nombres.

3. Soit k ∈ 0,n, déterminer la loi conditionnelle de Y , conditionnée par l’évé-nement (X = 2k+1).

4. En déduire la loi de Y . Calculer son espérance.

72


1. Permutations, signature

Exercice 1On considère les permutations σ et τ définies par :

σ=(1 2 3 4 5 6 72 4 7 1 3 5 6

)τ=

(1 2 3 4 5 6 71 4 2 7 6 5 3

)Décomposer στ et σ−1 en produits de cycles disjoints.

Exercice 2Décomposer la permutation σ= (

12)(

2465)(

137)(

254)(

3561)(

25)(

146)en produit

de cycles disjoints.

Exercice 3Calculer les signatures des permutations suivantes :

σ=(1 2 3 4 5 6 7 85 4 2 1 6 8 7 3

)τ= (

134)(

2431)(

23)

θ =(1 2 3 4 55 3 4 2 1

)

2. Calcul de déterminants

Exercice 4Calculer les déterminants suivants en les factorisant au maximum :

∆1 = det

1 1 1a+b a+ c b+ cab ac bc

∆2 = det

1 cosa cos2a1 cosb cos2b1 cos c cos2c

∆3 = det

a−b− c 2a 2a2b b− c−a 2b2c 2c c−a−b

Exercice 5Après avoir remarqué que : 156, 260 et 325 sont divisibles par 13, et que : 312,256 et 560 sont divisibles par 8, montrer que le déterminant suivant est divisiblepar 13×8 sans le calculer :

∆= det

1 5 62 6 03 2 5

Exercice 6Calculer les déterminants suivants en les factorisant au maximum :

∆1 = det

a c c bc a b cc b a cb c c a

∆2 = det

1 (1+a) (1+a)2 (1+a)3

1 (1+b) (1+b)2 (1+b)3

1 (1+ c) (1+ c)2 (1+ c)3

1 (1+d) (1+d)2 (1+d)3

73

Chapitre 22 – Déterminants

Exercice 7Calculer les déterminants suivants :

∆n = det

0 1 . . . 11 0 . . . 1...

.... . .

...1 1 . . . 0

Dn = det

1+ x2 x 0 . . . 0

x 1+ x2 x . . . 00 x 1+ x2 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 1+ x2

Exercice 8On considère la matrice :

M =(min

(i, j

))1≤i≤n1≤ j≤n

∈Mn(K)

Calculer det(M) en décomposant M en produit de deux matrices simples.

Exercice 9

Démontrer que det

1 x x2 x3

1 1 1 11 2 3 41 4 9 16

est divisible par(x−1

)3.

Exercice 10Soit E un K-ev de dimension n.

1. Soit s une symétrie de E, montrer que det(s)=±1 puis préciser.

2. Est-ce qu’il existe des endomorphismes f de E vérifiant :

f 2 =− idE

3. Formules de Cramer

Exercice 11Résoudre le systèmes linéaire S :

x+my+ (m−1)z = m+13x+ 2y+ mz = 3

(m−1)x+my+ (m+1)z = m−1

en discutant les différents cas (on précisera dans chaque cas le rang du système).

Exercice 12Soient A et B des matrices carrées d’ordre n à coefficients dans Z telles que det(A)et det(B) sont premiers entre eux. Démontrer qu’il existe U et V à coefficientsdans Z telles que :

AU =U A, BV =V B, et AU +BV = In

Exercice 13Soit A un sous-anneau de C.

1. Montrer que Mn(A) est un sous-anneau de Mn(C).2. Montrer que pour tout M ∈Mn(A) :

det(M) ∈A

3. Soit M ∈Mn(A), montrer que M est inversible dans l’anneau Mn(A) si etseulement si det(M) est inversible dans l’anneau A.Dans ce cas, montrer que M−1 ∈Mn(A).

4. Interpréter ces résultats dans les cas particuliers A=Z et A=Q.

74

Chapitre 23 –

4. Matrices semblables

Exercice 14Démontrer que deux matrices semblables dansMn(C) sont semblables dansMn(R).

Indication A et B sont semblables dans C si et seulement il existe P = P1+ iP2 ∈Mn(C) telles que P A = BP et det(P) 6= 0.

Exercice 15

Soit A la matrice : A =2 −3 6

0 8 06 3 2

et f l’endomorphisme de R3 canoniquement

associé à A.

1. Pour t ∈ R, calculer P(t) = det(A− tI3) puis déterminer les solutions del’équation P(t)= 0. Oon notera t1 et t2 les deux solutions.

2. On pose E1 =Ker( f − t1 id) et E2 =Ker( f − t2 id). Montrer que E1 et E2 sontsupplémentaires dans R3.

3. Déterminer une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale. Dansce cas, on dit que l’endomorphisme f (et la matrice A) est diagonalisable.

4. En déduire les puissances de A.

5. Calcul par bloc

Exercice 16Soient A, B, C, D ∈Mn

(R)telles que C et D commutent.

1. On suppose que D est inversible. Démontrer : det(A BC D

)= det(AD−BC)

2. Généraliser la formule au cas où D n’est pas inversible.

3. La formule reste-t-elle vraie lorsque C et D ne commutent pas?

Exercice 17

Soit A ∈Mn(R)et B =

(In BB In

).

1. À quelle condition B est elle inversible ?

2. Lorsque cette condition est vérifiée, calculer B−1.

75


1. Base orthonormée

Exercice 1

On munit E=R3[X ] du produit scalaire défini par : ⟨P|Q⟩ =∫ 1

−1P(t)Q(t)dt

1. Donner la matrice de ce produit scalaire dans la base canonique de E, et endéduire la valeur de :

⟨2X − X3∣∣1+ X2 + X3⟩

2. Construire à partir de Bc, par le procédé d’orthonormalisation de Schmidt,une base orthonormale (P0,P1,P2,P3).

3. On pose F=R1[X ]. Déterminer F⊥.

Exercice 2On munit E=R3[X ] du produit scalaire défini par :

⟨P|Q⟩ =3∑

k=0akbk

si P =3∑

k=0ak X k et Q =

3∑k=0

bk X k. On pose : F=P ∈R3[X ]

∣∣∣P(1)= 0

1. Donner une base orthonormale de F,

2. Identifier le projeté orthogonal de X sur F.

2. Inégalité de Cauchy Schwarz

Exercice 3

1. Montrer que l’application :

(M, N) 7−→ tr(tMN

)définit un produit scalaire sur Mn (R) et que la base canonique de Mn (R) estune base orthonormée pour ce produit scalaire.

2. Montrer que les sous espace vectoriels des matrices symétriques et antisy-métriques sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires orthogonauxdans Mn (R)

3. Montrer que, pour tout A ∈Mn (R) :

tr(A)≤√

ntr(t AA

)Cas d’égalité ?

Exercice 4Montrer que, pour tout (x1, . . . , xn) ∈Rn,

(x1 + x2 +·· ·+ xn)2 ≤ n(x2

1 + x22 +·· ·+ x2

n)

Dans quel cas a-t-on égalité ?

Exercice 5On considère C 0 ([

a,b],R

)muni du produit scalaire : ⟨ f |g⟩ =

∫[a,b

] f (t)g(t)dt.

Si f est continue, strictement positive sur[a,b

], démontrer :∫[

a,b] f (t)dt

∫[a,b

] dtf (t)

≥ (b−a

)2

Cas d’égalité ?

76

Chapitre 23 – Espaces euclidiens

3. Orthogonalité

Exercice 6E est un espace euclidien, f et g deux endomorphisme de E qui commutent, et B

une base orthonormale de E dans laquelle les matrices de f et g sont respective-ment symétrique et antisymétrique. Montrer que :

∀−→u ∈ E,⟨

f(−→u )∣∣g (−→u )⟩= 0

puis que :

∀−→u ∈ E,∥∥( f − g)

(−→u )∥∥= ∥∥( f + g)(−→u )∥∥

Exercice 7Soit

(−→e 1, . . . ,−→e n)une famille de vecteurs d’un espace euclidien telle que :

∀−→u ∈ E,∥∥−→u ∥∥2 =

n∑k=1

⟨−→u ∣∣−→e k⟩2

1. Montrer que la famille(−→e 1, . . . ,−→e n

)est orthonormée,

2. Montrer que la famille(−→e 1, . . . ,−→e n

)est une base de E.

Exercice 8Soit E un espace euclidien et f ∈L (E) telle que :

∀−→u ,−→v ∈ E2,⟨

f(−→u )∣∣−→v ⟩= ⟨−→u ∣∣ f

(−→v )⟩1. Démontrer que la matrice de f dans une base orthonormée de E est symé-

trique.

2. Montrer que Ker( f ) et Im( f ) sont deux sous espaces vectoriels supplémen-taires orthogonaux dans E.

4. Projection orthogonale

Exercice 9

1. Montrer que l’application :

( f , g) 7−→∫ π

0exp(−t) f (t)g(t)dt

définit un produit scalaire sur C 0 ([0,π

],R

).

2. Identifier la projection orthogonale de f : t 7−→ sin(t) sur vect(ϕ,ψ,ξ

)où ϕ,

ψ et ξ sont les fonctions définies par :

∀t ∈ [0,π

], ϕ(t)= 1 ψ(t)= t ξ(t)= t2

3. Identifier :

inf(a,b,c)∈R3

∫ π

0exp(−t)

(sin(t)−a−bt− ct2)2

dt

5. Procédé d’orthonormalisation

Exercice 10Soit B une base orthonormée d’un espace euclidien E de dimension n. Montrerque, pour tout

(−→u 1, . . . ,−→u n) ∈ En :

∣∣detB

(−→u 1, . . . ,−→u n)∣∣≤ n∏

k=1

∥∥−→u k∥∥

et préciser les cas d’égalité.

77

Chapitre 24 –

Exercice 11Soit

(−→u 1, . . . ,−→u n)une famille de vecteurs d’un espace vectoriel euclidien E. On

note G(−→u 1, . . . ,−→u n

)la matrice de Gram associée à la famille

(−→u 1, . . . ,−→u n), définie

par :

G(−→u 1, . . . ,−→u n

)= (⟨−→u i∣∣−→u j

⟩)1≤i≤n1≤ j≤n

1. Démontrer que, si la famille(−→u 1, . . . ,−→u n

)est liée, alors :

det(G

(−→u 1, . . . ,−→u n))= 0

2. On suppose que la famille(−→u 1, . . . ,−→u n

)est libre. On note

(−→e 1, . . . ,−→e n)la

famille orthonormée obtenue en appliquant le procédé d’orthonormalisationde Gram-Schmidt à la famille

(−→u 1, . . . ,−→u n).

Si F= vect(−→u 1, . . . ,−→u n

), et P la matrice de passage de la base orthonormée

de F(−→e 1, . . . ,−→e n

)dans la base

(−→u 1, . . . ,−→u n), exprimer G

(−→e 1, . . . ,−→e n)en

fonction de P et tP. En déduire :

det(G

(−→u 1, . . . ,−→u n))> 0

lorsque la famille(−→u 1, . . . ,−→u n

)est libre.

3. Soit −→u ∈ E. Montrer que :

d(−→u ,F

)=√√√√det

(G

(−→u ,−→u 1, . . . ,−→u n))

det(G

(−→u 1, . . . ,−→u n))

78


1. Séries géométriques

Exercice 1

1. Justifier que 0,999999...= 1.

2. Trouver une fraction dont le développement décimal est 0.24242424...

Exercice 2Soit (un) la suite réelle définie par

u2n = 2n−1

3n

u2n+1 = 2n

3n+1

Nature de∑

un et calcul de la somme si la série converge.

Exercice 3

Justifier la convergence de∑ sin2(n)

4n .

Calculer la somme et majorer le reste par une suite simple qui tend vers 0.

2. Sommes télescopiques

Exercice 4Existence et somme éventuelles des séries suivantes :∑

n≥2ln

(1− 1

n2

) ∑ 3n+4n(n+1)(n+2)∑

sin(

1pn−1

)−sin

(1p

n+1

)Exercice 5

Pour x ∈ [0,1], on pose Sn =n∑

k=0ln

(cos

(x

2k

))1. À l’aide de la formule de duplication du sinus, montrer que :

sin(2θ)= 2n+1 sin(θ

2n

) n∏k=0

cos(θ

2k

)2. En déduire une expression de Sn en fonction de n.

3. La série∑

ln(cos

( x2n

))est-elle convergente? Si oui, quelle est sa somme?

3. Comparaison avec des séries de référence

Exercice 6

Soit (un)n∈N la suite définie pour n ≥ 1 par : un =(1− 1

n

)n2

1. Quelle est la limite de (un) ? Donner un équivalent de un quand n tend versl’infini.

2. En déduire la convergence de la série de terme général un.

79

Chapitre 24 – Séries numériques

Exercice 7Étudier la nature des séries suivantes :∑ n

1+n2

∑e−

(1+ 1

n

)n

∑ 1pn2 −1

− 1pn2 +1

∑ ch(n)ch(2n)∑ 1

ncos2(n)

∑( nn+1

)n2 ∑(1n

)1+ 1n

Exercice 8Déterminer la nature de la série de terme général

un = 1pn−2

pn+2

pn−1

En déduire la nature de la série de terme général

vn =n∑

k=1

1pk−2

pn

Exercice 9Soit α> 0 et (un)n∈N une suite de réels strictement positifs telle que :

u1nn = 1− 1

nα+o

(1

nα

)La série

∑un est elle convergente?

4. Étude de séries

Exercice 10Soit (un)n∈N∗ une suite à termes positifs . On définit la suite (vn)n∈N∗ par :

∀n ∈N, vn = 1n(n+1)

n∑k=1

un

Montrer que les séries∑

un et∑

vn sont de même nature et qu’en cas de conver-gence :

+∞∑n=1

un =+∞∑n=1

vn

Exercice 11Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites à termes positifs telles que :

∀n ∈N, vn = 11+n2un

Montrer que, si∑

vn converge, alors∑

un diverge.

Exercice 12Soit

∑un une série à termes positifs. On définit (vn)n∈N par :

∀n ∈N, vn = un

1+un

Montrer que, si∑

un et∑

vn sont de même nature.

80

Chapitre 24 – Séries numériques

5. Développement en série des fonctions usuelles

Exercice 13

1. Si x ∈ ]−1,+∞], calculer Sn(x)=

n∑k=0

(−1)kxk. En déduire :

ln(1+ x)=n∑

k=0(−1)k xk+1

k+1+Rn(x)

où on explicitera le reste Rn.

2. Démontrer que Rn(x)−−−−−→n→+∞ 0 lorsque x ∈ ]−1,+∞]

.

3. En déduire la nature et la somme de la série∑

(−1)n xn+1

n+1 en fonction de x.

Exercice 14

1. Si x ∈ ]−1,+∞], calculer Sn(x)=

n∑k=0

(−1)kx2k. En déduire :

arctan(x)=n∑

k=0(−1)k x2k+1

2k+1+Rn(x)

où on explicitera le reste Rn.

2. Démontrer que Rn(x)−−−−−→n→+∞ 0 lorsque x ∈ [−1,+∞]

.

3. En déduire la nature et la somme de la série∑

(−1)n x2n+1

2n+1 en fonction de x.

Exercice 15 Série exponentielle

Le but de l’exercice est d’étudier la série∑ xn

n!1. x 6= 0 étant fixé, en posant un = xn

n! , étudier la convergence de un+1un

. Endéduire qu’à partir d’un certain rang n0, l’inégalité

|un+1| ≤ 12|un|

est vérifiée. En déduire que un −−−−−→n→+∞ 0.

2. En utilisant l’inégalité de Taylor Lagrange, montrer que pour tout n ∈N :

exp(x)=n∑

k=0

xk

k!+Rn où : |Rn(x)| ≤

xn exp(x)n! si x ≥ 0

xn

n! si x ≤ 0

En déduire la convergence puis la somme de la série∑n≥0

xn

n!

Exercice 16Écrire l’inégalité de Taylor-Lagrange à l’ordre 2n+1 pour la fonction cos entre lesréels fixés : x et 0. En déduire le résultat suivant :

∀x ∈R, cos(x)=∞∑

n=0

(−1)n

(2n)!x2n

Établir une égalité du même type pour la fonction sin.

6. Équivalent simple avec le théorème de comparaison

Exercice 17Soit (un)n∈N la suite définie par récurrence par :

u0 = 1∀n ∈N, un+1 = arctan(un)

81

Chapitre 25 –

1. Démontrer que pour tout x > 0 :

0< arctan(x)< x

2. En déduire que un est une suite décroissante, positive, puis que

un −−−−−→n→+∞ 0

3. Identifierα ∈R tel que uαn+1−uα

n a une limite finie non nulle lorsque n →+∞.

4. Démontrer que la série télescopique∑

uαn+1 −uα

n diverge et donner un équi-valent simple de la somme partielle.

5. En déduire un équivalent simple de un, puis un développement asympto-tique à deux termes de un.

7. Séries classiques

Exercice 18 Constante d’EulerL’objectif de l’exercice est d’obtenir un développement asymptotique de la suite

(Hn)n∈N définie par Hn =n∑

k=1

1k.

1. Démontrer en comparant∑ 1

net

∫dtt

l’équivalent Hn ∼+∞ ln(n)

On pose un = Hn − ln(n)

2. Démontrer que un −un+1 ∼∞1

2n2

3. En déduire que la suite (un)n∈N converge vers une limite γ et donner unéquivalent simple de un −γ.Quel développement asymptotique peut-on en déduire pour Hn ?

Dans les questions qui suivent, nous donnons un encadrement plus précis de laconstante d’Euler.

4. Montrer que

∀t ∈[0,

12

], 0≤ ln(1+ t)− t

1+ t≤ 1

2t2

5. En déduire que pour k ≥ 2, on a

0≤ uk −uk+1 ≤12

1k2 ≤ 1

21

k(k−1)

6. En déduire :

∀n ≥ 2, 0≤ un −γ≤ 12(n−1)

Exercice 19 Calcul de ζ(2)

1. Montrer que∫ π

0

(t2

2π− t

)cos(nt)dt = 1

n2

2. Montrer que, pour tout n ∈N et t ∈]0,π],

N∑n=1

cos(nt)= 12

sin(Nt)cotan(

t2

)+ 1

2cos(Nt)− 1

2

3. Soit f un application de classe C 1. Montrer que∫ π

0f (t)sin(nt)dt −−−−−→

n→+∞ 0∫ π

0f (t)cos(nt)dt −−−−−→

n→+∞ 0

4. En déduire :+∞∑n=1

1n2 = π2

6puis calculer

+∞∑n=1

1(2n)2

et+∞∑n=1

1(2n+1)2

82


1. Isométries vectorielles

Exercice 1R3 est muni de son produit scalaire canonique. Déterminer la matrice dans labase canonique de :

1. la projection orthogonale sur P :

x+ y+ z = 0

2. La réflexion par rapport à P ′ :

2x+3y+ z = 0

3. Le demi-tour d’axe D−→u où :

−→u = (1,1,1

)4. La rotation d’axe D−→v de mesure π

2 autour de −→v , où :

−→v = (0,1,1

)Exercice 2

1. B est une base orthonormale directe de l’espace euclidien orienté R2. Dé-terminer la nature et les éléments caractéristiques des endomorphismes( fk)1≤k≤4 dont les matrices dans B sont :

A1 = 15

(4 −33 4

)A2 = 1

5

(4 33 −4

)A3 = 1

2

(p3 1

−1p

3

)A4 = 1

2

(p3 −1

−1 −p3

)

2. B est une base orthonormale directe de l’espace euclidien orienté R3. Dé-terminer la nature et les éléments caractéristiques des endomorphismes( fk)1≤k≤3 dont les matrices dans B sont :

B1 = 13

2 −1 2−1 2 22 2 −1

B2 =0 0 −1

1 0 00 1 0

B3 = 13

−2 −1 22 −2 11 2 2

Exercice 3Dans R3 muni de son produit scalaire canonique, on envisage l’endomorphisme fdont la matrice dans la base canonique est :

A =−23

− 12

ba

ca

ab − 1

2cb

ac

bc − 1

2

avec (a,b, c) ∈ (R∗)3.

1. Montrer que f est une symétrie,

2. Déterminer a, b et c pour que f soit un endomorphisme orthogonal. Carac-tériser alors f .

83

Chapitre 25 – Isométries des espaces euclidiens

2. Matrices orthogonales

Exercice 4−→u est un vecteur unitaire de E euclidien. Soit a ∈R et f : E→ E l’application définiepar :

f(−→x )=−→x −a

⟨−→x ∣∣−→u ⟩−→uDéterminer a pour que f ∈O (E). Quelle est alors la nature de f ?

Exercice 5Prouver que la matrice :

A = 1p6

p

3p

2 10

p2 −2

−p3p

2 1

est inversible et donner (sans calcul) A−1.

Exercice 6Soit A = (

ai j)1≤i≤n1≤ j≤n

une matrice orthogonale. Prouver que :

∣∣∣∣∣∣∣∑

1≤i≤n1≤ j≤n

ai j

∣∣∣∣∣∣∣≤ n

Exercice 7E est un espace vectoriel euclidien de dimension 3 orienté muni de la base ortho-normale directe B =

(−→ı ,

−→ ,

−→k ,

). s1 est la réflexion de plan P1 :

x+ y−2z = 0

r est l’endomorphisme de E défini par :

r(−→ı )=−→

r(−→ )=−→

k

r(−→

k)=−→ı

.

Caractériser r et prouver que r peut s’écrire :

r = s2 s1

où s2 est une réflexion dont on donnera le plan.

3. Isométries affines

Exercice 8H2 est muni du repère orthonormal direct

(O,−→ı ,−→ )

. Reconnaître l’applicationde H2 dans lui même qui à M(x, y) associe M′(x′, y′) où :

x′ = 12(xp

3+ y+3−p3)

y′ = 12(−x+ y

p3−1+p

3)

Exercice 9H2 est muni du repère orthonormal direct

(O,−→ı ,−→ )

. Montrer que l’applicationde H2 dans lui même qui à M(x, y) associe M′(x′, y′) où :

x′ = 15 (−3x+4y+13)

y′ = 15 (4x+3y+6)

est une réflexion glissée dont on identifiera l’axe de la réflexion et le vecteur de latranslation.

84

Chapitre 25 –

Exercice 10ABC est un triangle du plan euclidien orienté H2 tel que :

AB = AC(−−→AB,

−−→AC

)= π

3[2π

]Déterminer l’ensemble G des isométries de H2 laissant ABC invariant et dresserla table de composition du groupe (G,).

Exercice 11H3 est muni du repère orthonormé direct

(O,

−→ı ,

−→ ,

−→k

). Reconnaître l’application

de H3 dans lui-même qui à M(x, y, z) associe M′(x′, y′, z′) dans les cas suivants :

1.

x′ =−z+1y′ =−xz′ = y−2

2.

x′ = 1

3 (−x+2y+2z−4)y′ = 1

3 (2x− y+2z+2)z′ = 1

3 (2x+2y− z+2)

3.

x′ =−z+1y′ = xz′ = y−2

85

Cours de Mathématiques supérieures · 2020. 3. 16. · Chapitre1–Logique&calculalgébrique 1....

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