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2014複素数拾遺
【演習 1】複素数を表す平面上で、zz + 3i(z − z) + 5 = 0は点 ア + イ iを中心とす
る半径 ウ の円を表す。それは |z + i| = エ |z − 2i|を満足する点 zの軌跡である。zは zの共役な複素数を意味する。
【1970東京大学】
【解答】ア0
イ3
ウ2
エ2
x
y
O 2
12©
1©
x
y
O
zz + 3i (z − z) + 5 = 0(z − 3i) (z + 3i) = 9 − 5 = 4∴ |z − 3i| = 2
は中心 (3i)半径2の円を表す。
zz − i (z − z) + 1 = a2 {zz + 2i (z − z) + 4}(a2 − 1
)zz +
(2a2 + 1
)(z − z) + 4a2 − 1 = 0より
4a2 − 1a2 − 1
= 5
∴ a = 2
(−i)と (2i)を 2 : 1に内分する点と、外分する点を直径の両端とするアポロニウスの円である。
c©Darumafactory -1- UltimateMath
【演習 2】|z| >
54となるどのような複素数 z に対しても w = z2 − 2z とは表されない複
素数 wの全体の集合を T とする。すなわち、
T ={
w|w = z2 − 2zならば、|z| 5 54
}とする。このとき、T に属する複素数 wで絶対値 |w|が最大となるような wの値を求めよ。
【2005東京大学】
解答
1
− 34 i
34 i
Re
Im
O
z2 − 2z = wの2解を α, β とおくと、
α + β = 2, αβ = w
この2解が |z| 5 54をみたすから、
|α| 5 54, |β| 5 5
4
β が存在するために、
|α| 5 54, |2 − α| 5 5
4
これを図示すると右図。この図より、
|α| =54, |2 − α| =
54
⇔ α = 1 ± 34i
そして、
|w| = |αβ| = |α| |2 − α| 5 2516
この等号は
α = 1 ± 34i
のときに成立するから、求める wは
w =(
1 ± 34i
)(−1 ± 3
4i
)= −1 − 9
16= −25
16
c©Darumafactory -2- UltimateMath
【演習 3】次の2つの条件 (a),(b)を同時に満たす複素数 z 全体の集合を複素数平面上に図示せよ。
(a) 2z,2zの実部はいずれも整数である。
(b) |z| = 1である。
【1999東京大学】
解答
2z + 2z
2= z + z,
2z + 2
z
2=
1z
+1z
が整数である。
0 5∣∣∣∣1z +
1z
∣∣∣∣ 5 ∣∣∣∣1z∣∣∣∣+ ∣∣∣∣1z
∣∣∣∣ 5 1 + 1 = 2
より、1z
+1z
= 0,±1,±2
( i )1z
+1z
= 0 ⇔ z + z = 0のとき、これと |z| = 1を満たす zが求めるもののひとつ。これを図示すると下図。
Re
Im
O
( ii )1z
+1z
= 1 ⇔ z + z = zzのとき、これは円;
|z − 1| = 1
を表す。これと領域 |z| = 1の部分で z + zが整数となるものは下図の点。
c©Darumafactory -3- UltimateMath
12
Re
Im
O
∴ z =12±
√3
2i, 1 ± i, 2
(iii)1z
+1z
= 2 ⇔ z + z = 2zzのとき、これは円;∣∣∣∣z − 12
∣∣∣∣ = 14
を表す。これと領域 |z| = 1 の部分で z + z が整数となるものは下図の点。
Re
Im
O
∴ z = 1
1z
+1z
= −1,−2
のときも同様に得られる。求めるものは、
(z + z − 0 ∧ |z| = 1) ∨
(z = ±1
2±
√3
2i
)∨ (z = ±1 ± i) ∨ (z = ±2) ∨ (z = ±1)
である。
c©Darumafactory -4- UltimateMath
【演習 4】複素数平面上で、複素数 αは2点 1 + iと 1− iとを結ぶ線分上を動き、複素数β は原点を中心とする半径 1の円周上を動くものとする。
(1) α + β が複素数平面上を動く範囲の面積は ア + イ πである。
(2) αβ が複素数平面上を動く範囲の面積は ウ πである。
(3) α2が複素数平面上で描く曲線と虚数軸とで囲まれた範囲の面積はエ
オで
ある。
【1974東京大学】
解答
ア4
イ1
ウ1
エ8
オ3
(1)
2
−1
2
1
Re
Im
O
z = α + β
|β| = 1
を満たす β があるために、|z − α| = 1
αを2点 1 + iと 1− iとを結ぶ線分上で動かして、この円の通貨範囲を求めると右図。その面積は、4 + π
(2)
Re
Im
O
z = αβ, |β| = 1
を満たす β があるために、∣∣∣ zα
∣∣∣ = 1 ⇔ |z| = |α|
1 5 |α| 5√
2
であるから、zは1 5 |z| 5
√2
の範囲を動く。この面積は πである。
c©Darumafactory -5- UltimateMath
(3)
(t = 1)
(t = −1)
x = 1 − y2
4
x
y
O
z = α2
= (1 + ti)2
= 1 − t2 + 2ti
(−1 5 t 5 1)
と表わせるから、z = x + yiとおくと、x = 1 − t2, y = 2t,−1 5 t 5 1
と媒介変数表示されるから、zは図のようの放物線の弧を描く。求める面積は∫ 2
−2
−14
(y − 2) (y + 2) dy =14· 16
(2 + 2)3 =83
【演習 5】複素数平面上の正方形 ABCDがある。その 4頂点を A,B,C,Dを表す複素数をそれぞれ α, β, γ, δとする。
α = i, γ = 10 + 25i, |β| > |δ|
ならば、
β = アイ + ウエ i, δ = オカ + キ i
【1972東京大学】
解答
α = i
γ = 10 + 25i
β
δ
Re
Im
O
アイ−7
ウエ18
オカ17
キ8
β, δ = (γ − α) × 1√2{cos 45 ± i sin 45} + α
=12
(10 + 24i) (1 ± i) + i
= −7 + 18i, 17 + 8i
であり、|−7 + 18i| =
√373, |17 + 8i| =
√343
であるから、β = −7 + 18i, δ = 17 + 8i
c©Darumafactory -6- UltimateMath
である。
【演習 6】nを正の整数とする。αn = cos
2π
n+ i sin
2π
nとする。p, q が整数を表すとき、
p+ qαnの形で表わせる点のうちで、原点を中心とする半径 1の円周上にあるものの個数を An とすれば、A3 = ア , A4 = イ , A5 = ウ である。また、
n = 3のとき、それら A3 個の点を頂点とする凸多角形の面積はエ
√オ
カである。
【1975東京大学】
解答
ア6
イ4
ウ4
エ3
オ3
カ2
|p + qαn| = 1⇔ (p + qαn) (p + qαn) = 1
⇔ p2 + q2 + pq (αn + αn) = 1
⇔ p2 + q2 + 2pq cos2π
n= 1
である。
(1)
1−1
−1
1
Re
Im
O
n = 3のとき、p2 + q2 − pq = 1
q2 − pq + p2 − 1 = 0
qの実数条件より、p2 − 4
(p2 − 1
)= 0
⇔ 3p2 − 4 5 0∴ p = 0, p = ±1
よって、
(p, q) = (0,±1) , (1, 0) , (1, 1) , (−1, 0) , (−1,−1)
A3 = 6である。
(2) n = 4のとき、
p2 + q2 = 1
c©Darumafactory -7- UltimateMath
上の格子点は
(p, q) = (1, 1) , (1,−1) , (−1, 1) , (−1,−1)
であるから、A4 = 4である。
(3) n = 5のとき、
p2 + q2 + 2pq cos2π
5= 1
cos2π
5は無理数だから、pq = 0である。
(p, q) = (1, 0) , (−1, 0) , (0, 1) , (0,−1)
であるから、A5 = 4である。
Re
Im
O
また、n = 3のとき、6つの点は単位円周上の点でこれらを結んで、正6角形ができる。
1 + 1 ·
(−1
2+
√3
2i
)=
12
+√
32
i
1 + 0 ·
(−1
2+
√3
2i
)= 1
0 + 1 ·
(−1
2+
√3
2i
)= −1
2+
√3
2i
0 − 1 ·
(−1
2+
√3
2i
)=
12−
√3
2i
−1 − 1 ·
(−1
2+
√3
2i
)= −1
2−
√3
2i
−1 + 0 ·
(−1
2+
√3
2i
)= −1
その面積は√
34
× 6 =3√
32
c©Darumafactory -8- UltimateMath
【演習 7】Oを原点とする複素数平面上で 6を表す点をA,7 + 7iを表す点を Bとする。ただし、iは虚数単位である。正の実数 tに対し、 14(t − 3)
(1 − i)t − 7を表す点を Pと
する。
(1) ∠APBを求めよ。
(2) 線分 OPの長さが最大となる tを求めよ。
【2003東京大学】
解答
A
B
P
Re
Im
O
(1)
7 + 7i − 14(t−3)(1−i)t−7
6 − 14(t−3)(1−i)t−7
=(7 + 7i) (t − 7 − it) − 14 (t − 3)
6 (t − 7 − it) − 14 (t − 3)
=72t
(1 + i)
=7√
22t
(cos 45◦ + i sin 45◦)
より、∠APB = 45◦
(2) (1)より、Pは ABを見込む角が 45◦の円弧を描く。その中心は
(7 + 7i − 6) (cos 45 + i sin 45)1√2
+ 6
=12
(1 + 7i) (1 + i) + 6
= 3 + 4i
より、3 + 4iであり、OPが最大になるときの Pは 6 + 8i
である。
6 + 8i =14 (t − 3)
(1 − i) t − 7⇔ t = 28
これは t > 0を満たすので、これが求めるものである。
c©Darumafactory -9- UltimateMath
【演習 8】複素数平面上の点 a1, a2, · · · · · · , an, · · · を{
a1 = 1, a2 = i
an+2 = an+1 + an (n = 1, 2, · · · · · ·)
により定め、
bn =an+1
an(n = 1, 2, · · · · · ·)
とおく。ただし、iは虚数単位である。
(1) 3点 b1, b2, b3 を通る円 C の中心と半径を求めよ。
(2) すべての点 bn(n = 1, 2, · · · · · · )は円 C の周上にあることを示せ。
【2001東京大学】
解答
(1)
b1
b2
b3
Re
Im
O
a3 = a2 + a1 = i + 1a4 = a3 + a2 = 2i + 1
b1 =a2
a1= i
b2 =a3
a2= 1 − i
b3 =a4
a3=
2i + 1i + 1
= −32
+12i
b1 − b3
b2 − b3=
32 − 1
2 i
−12 − 3
2 i
=110
(3 − i) (−1 + 3i)
= i
だから、
|b1 − b3| = |b2 − b3| ,∠b1b3b2 = 90◦
この3点で頂点 b2 を直角頂点とする2等辺三角形ができるから、この外接円の
中心は 12で半径は
√5
2となる。
c©Darumafactory -10- UltimateMath
(2)
an+2 = an+1 + an
an+2
an+1= 1 +
an
an+1
∴ bn+1 = 1 +1bn
babababababababababababababababab
w = 1 +1zによって、zが wに変換される。このとき、zが円∣∣∣∣z − 12
∣∣∣∣ = √5
2
を描くならば、w も同じ円を描くことを示せ、という軌跡の問題にすぎない。この変換は、「円円変換」という 1次変換であり、いわば、不動円を求めよということである。wの軌跡を求めたいとは、zを量化することであるから、· · · · · ·
bn =1
bn+1 − 1
が ∣∣∣∣bn − 12
∣∣∣∣ = √5
2
を満たすとすると、∣∣∣∣ 1bn+1 − 1
− 12
∣∣∣∣ = √5
2
⇔∣∣∣∣3 − bn+1
bn+1 − 1
∣∣∣∣ = √5
⇔ |bn+1 − 3| =√
5 |bn+1 − 1|
⇔ |bn+1|2 − 3(bn+1 + bn+1
)+ 9 = 5
{|bn+1|2 −
(bn+1 + bn+1
)+ 1}
⇔ 4 |bn+1|2 − 2(bn+1 + bn+1
)+ 4 = 0
⇔∣∣∣∣bn+1 −
12
∣∣∣∣ = √5
2
よって、数学的帰納法により、すべての bn は円 C 上にある。
c©Darumafactory -11- UltimateMath
本問は反転の問題として入試でときどき扱われる。RadicalMathの後半に詳述してある。
【演習 9】複素数平面上の原点以外の相異なる2点 を考える。P(α),Q(β)を通る直線を l,原点から lに引いた垂線と lとの交点を R(w)とする。ただし、複素数 γ を表す点 Cを C(γ)とかく。このとき、
「w = αβであるための必要十分条件は、P(α),Q(β)が中心A(
12
)、
半径 12の円周上にあることである」
を示せ。【2000東京大学】
解答 ∠ORP = ∠ORQ = 90◦ だから、wは∣∣∣w − α
2
∣∣∣ = ∣∣∣α2
∣∣∣ , ∣∣∣∣w − β
2
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣β2∣∣∣∣
⇔
|w|2 − 1
2(αw + αw) = 0
|w|2 − 12(βw + βw
)= 0
を満たす。w = αβ がこれを満たすとは、
c©Darumafactory -12- UltimateMath
|αβ|2 − 1
2(ααβ + ααβ
)= 0
|αβ|2 − 12(βαβ + βαβ
)= 0
⇔
|α|2
{|β|2 − 1
2(β + β
)}= 0
|β|2{|α|2 − 1
2(α + α)
}= 0
⇔
|β|2 − 1
2(β + β
)= 0
|α|2 − 12
(α + α) = 0
⇔∣∣∣∣α − 1
2
∣∣∣∣ = 12
⇔
∣∣∣∣α − 1
2
∣∣∣∣ = 12∣∣∣∣β − 1
2
∣∣∣∣ = 12
よって、示せた。
【演習 10】a, bを実数とする。3次方程式
x3 + ax2 + bx + 1 = 0
は3つの複素数からなる解 α1, α2, α3をもち、相異なる i, jに対し、|αi −αj | =√3をみたしている。このような a, bの組をすべて求めよ。 【2003京都大学】
解答 実数係数の3次方程式は少なくとも1つの実数解をもち、虚数解をもつならば、互いに共役な2解をもつ。相異なる i, j に対し、|αi − αj | =
√3をみたしている
から、3解がみな実数であることはない。この3解は1つを実軸上にもち、他の2解は実軸に関して対称の位置にある。そして、この3点は1辺の長さ
√3の正3角形の
頂点である。α1 を実数解とする。3解の位置関係は下図の2通りである。
c©Darumafactory -13- UltimateMath
c α1
α2
α3
cα1
α2
α3
外接円の中心を c ∈ Rとすると、この円の半径は 1だから、
(1) 右図の場合は
α1 = c + 1, α2 = c − 12
+√
32
i, α3 = c − 12−
√3
2i
とおけるから、解と係数の関係より、
α1α2α3 = (c + 1)
(c − 1
2+
√3
2i
)(c − 1
2−
√3
2i
)= −1
(c + 1)
{(c − 1
2
)2
+34
}= −1
(c + 1)(c2 − c + 1
)= −1
c3 + 1 = −1
∴ c = − 3√
2
−a = c + 1 + c − 12
+√
32
i + c − 12−
√3
2i
∴ a = 3 3√
2
∴ b = (c + 1) (2c − 1) +(c2 − c + 1
)= 3c2 = 3 3
√4
(2) 左図の場合は
α1 = c − 1, α2 = c +12
+√
32
i, α3 = c +12
+√
32
i
c©Darumafactory -14- UltimateMath
とおけるから、
α1α2α3 = (c − 1)
(c +
12
+√
32
i
)(c +
12−
√3
2i
)= −1
(c − 1)
{(c +
12
)2
+34
}= −1
(c + 1)(c2 + c + 1
)= −1
c3 − 1 = −1∴ c = 0
−a = c − 1 + c +12
+√
32
i + c +12−
√3
2i
∴ a = 0∴ b = 0
【演習 11】相異なる4つの複素数 z1, z2, z3, z4 に対して
w =(z1 − z3)(z2 − z4)(z1 − z4)(z2 − z3)
とおく。このとき、以下を証明せよ。
(1) 複素数 zが単位円上にあるための必要十分条件は z =1zである。
(2) a1, z2, z3 が単位円上にあり、wが実数であれば、z4 は単位円上にある
【1999京都大学】
解答
(1)
|z| = 1 ⇔ zz = 1 ⇔ z =1z
(2)
zi =1zi
(i = 1, 2, 3)
w ∈ R ⇔ w = w
c©Darumafactory -15- UltimateMath
のとき、(z1 − z3) (z2 − z4)(z1 − z4) (z2 − z3)
=(z1 − z3) (z2 − z4)(z1 − z4) (z2 − z3)
⇔ (z1 − z3) (z2 − z4)(z1 − z4) (z2 − z3)
=
(1z1
− 1z3
)(1z2
− z4
)(
1z1
− z4
)(1z2
− 1z3
)⇔ (z1 − z3) (z2 − z4)
(z1 − z4) (z2 − z3)=
(z3 − z1) (1 − z2z4)(1 − z1z4) (z3 − z2)
⇔ z2 − z4
z1 − z4=
1 − z2z4
1 − z1z4
⇔ (z2 − z4) (1 − z1z4) = (1 − z2z4) (z1 − z4)
⇔ z2 − z4 − z1z2z4 + z1 |z4|2 = z1 − z4 − z1z2z4 + z2 |z4|2
⇔ (z2 − z1)(1 − |z4|2
)= 0
⇔ |z4|2 = 1
【演習 12】α, β は 0 でない相異なる複素数で、α
β+
α
β= 2 を満たすとする。このとき、
0,α, βの表す複素平面上の3点を結んで得られる三角形はどのような三角形か。【2005京都大学】
解答
β
α
k >のときkiβ
Re
Im
O
α
β+
α
β= 2
⇔ ∃k (k ∈ R)[α
β= 1 + ki
]これを図示すると右図のようになるから、0, α, β の3点でできる3角形は直角3角形である。
【演習 13】α, β, γ は相異なる複素数で、α + β + γ = α2 + β2 + γ2 = 0を満たすとする。このとき、α, β, , γの表す複素平面上の3点を結んで得られる三角形はどのような三角形か。
【2005京都大学】
c©Darumafactory -16- UltimateMath
解答 α, β, γは相異なる複素数だから、その中には 0ではないものが存在する。それを γ とすると、
α
γ+
β
γ+ 1 = 0(
α
γ
)2
+(
β
γ
)2
+ 1 = 0
これより、(α
γ
)(β
γ
)= 0
を得るから、(
α
γ
),
(β
γ
)は、2次方程式
t2 + t + 1 = 0
の2解となるから、(α
γ,β
γ
)= (cos 120◦ ± i sin 120◦, cos 120◦ ∓ i sin 120◦)
よって、α, β, , γの表す複素平面上の3点を結んで得られる三角形はOを外心とする正3角形である、
【演習 14】複素平面上で、4ABCの頂点を表す複素数を α, β, γ とする。α, β, γ が次の 3条件を満たすとする。
( i ) 4ABCは辺の長さ√
3の正三角形である。
( ii ) α + β + γ = 3
(iii) αβγ は絶対値 1で、虚数部分は正。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) z = α − 1とおいて、β と γ を zを使って表せ。
(2) α, β, γ の偏角を求めよ。ただし、
0◦ 5 arg α 5 arg β 5 arg γ < 360◦
とする。
【1999京都大学】
解答
c©Darumafactory -17- UltimateMath
(1)
α + β + γ = 3 ⇔ α + β + γ
3= 1
より、正3角形の重心は点 (1)であり、これはまた外心でもある、この外接円の半径は、1である。したがって、1を中心に αを±120◦回転させると β, γになる。
β − 1, γ − 1 = (α − 1) (cos 120◦ ± sin 120◦)
∴
β = 1 + z
(−1
2± i
√3
2
)
γ = 1 + z
(−1
2∓ i
√3
2
)(複号同順)
(2)
1-1120◦
Re
Im
O
1の虚立方根の1つを ω とおく。β = 1 + zω, γ = 1 + zω2
と表せて、αβγ = (z + 1) (1 + zω)
(1 + zω2
)= (z + 1)
(1 − z + z2
)= 1 + z3
より、∣∣1 + z3∣∣ = 1 · · · · · · 1©
また、|z| = 1 · · · · · · 2©
zは Oを中心とし、半径1の円周上にあるから、z3もやはりこの円周上にある。1©より z3 は (−1)を中心に半径1の円周上にあるから、
z3 = cos 120◦ + i sin 120◦またはz3 = cos 240◦ + i sin 240◦
1 + z3 の虚部は正だから、z3 = cos 120◦ + i sin 120◦
z = cos θ + i sin θとおくと、z3 = cos 3θ + i sin 3θ
だから、3θ = 120◦ + 360◦n∴ θ = 40◦ + 120◦n∴ θ = 40◦, 160◦, 280◦
c©Darumafactory -18- UltimateMath
一般に、
z = cos θ + i sin θ, w = cos φ + i sinφ
に対して、z + wの偏角は、
|θ − φ| 5 180◦のとき、arg (z + w) =θ + φ
φ
|θ − φ| > 180◦のとき、arg (z + w) = 180◦ +θ + φ
φ
θϕ
偏角は θ + ϕ
2
x
y
O
θϕ
偏角は 180◦ +θ + ϕ
2
偏角は θ + ϕ
2
x
y
O
1 + z = 1 + cos θ + i sin θ の偏角は θ
2または、180◦ +
θ
2であるから、θ =
40◦, 160◦, 280◦ のときの 1 + zの偏角は 20◦, 80◦, 320◦ よって、
∴ arg α = 20◦, arg β = 80,◦ arg γ = 320◦
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【演習 15】複素数平面上に 0と異なる3点 z1, z2, z3があり、条件(ア)(イ)(ウ)を満たしている。
(ア) arg z1 = arg z2 + 120◦
(イ) 点 z3 は2点 z1, z2 を通る直線に関して 0と反対側にある。
(ウ) 4z1z2z3 は正三角形である。
このとき、以下の問に答えよ。
(1) α = cos 60◦ + i sin 60◦ とするとき、
αz1 = pz1 + qz2, αz2 = sz1 + tz2
となる実数 p, q, s, tをそれぞれ |z1|, |z2|を用いて表せ。
(2) z3 = az1 + bz2 となる実数をそれぞれ、|z1|, |z2|を用いて表せ。
【1997一橋大学】
解答
(1) O,(z1), (z2), (z3), (αz1), (αz2)の4点の位置関係は下図の通り。
z2
z1z3
αz1
αz2
60◦60◦60◦
Re
Im
O
O,(z1), (z2)は一直線上にあるから、
αz1 = −|z1||z2|
z2
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よって、
p = 0, q = −k1
k2
O(αz2)は角 (z2)O(z1)の二等分線であるから、
αz2 =|z2||z1|
z1 + z2
∴ s =|z2||z1|
, t = 1
(2) 4点 O, (z1), (z2), (z3)は同一円周上にあるから、トレミーの定理より、Oz1 × z2z3 + Oz2 × z1z3 = Oz3 × z2z1
∴ Oz1 + Oz2 = Oz3
∴ z3 =Oz3
|z2|αz2
=|z1| + |z2|
|z2|
(|z2||z1|
z1 + z2
)=
|z1| + |z2||z1|
z1 +|z1| + |z2|
|z2|z2
a =|z1| + |z2|
|z1|, b =
|z1| + |z2||z2|
点の位置関係をつかんでしまえば複素数の問題ではなくなるが、それに気がつかないとなると手強い問題かもしれない。O,z1, z2は1直線上にないから、任意の複素数 wは w = az1 + bz2 とただ一通りに表わせる。
|zi| = ki (i = 1, 2)
とする。α = cos 60◦+i sin 60◦だから、α3 = −1である。また、arg z1 = arg z2+120◦
であるから、
z1 = α2z2 ×k1
k2
が成り立つ。αz1 = pz1 + qz2
とおくと、
α · α2z2 ×k1
k2= pz1 + qz2
−z2 ×k1
k2= pz1 + qz2
∴ p = 0, q = −k1
k2
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αz2 = sz1 + tz2 · · · · · · 1©
とおくと、α2z2 = sαz1 + tαz2
k2
k1z1 = s
(−|z1||z2|
)z2 + tαz2 · · · · · · 2©
1©, 2©より、αz2 を消去すれば、k2
k1z1 = s
(−k1
k2
)z2 + t (sz1 + tz2)
両辺の係数を比べて、k2
k1= ts, s
(−k1
k2
)+ t2 = 0
これを解いて、
t = 1, s =k2
k1
z3 − z1 = α (z2 − z1)
より、z3 = z1 + αz2 − αz1
= z1 +k2
k1z1 + z2 +
k1
k2z2
=(
1 +k2
k1
)z1 +
(1 +
k1
k2
)z2
と解答するのが作者の出題意図であろう。
【演習 16】点 (x, y)が直線 3x + 4y = 1の上を動くとき、 1
x + iy= u + iv から定まる点
(u, v)の軌跡の長さを求めよ。ただし、x, y, u, vはいずれも実数とする。【1965一橋大学】
解答 z = x + iy, w = u + viとおくと、
w =1z⇔ z =
1w
· · · · · · 1©
zが、
3x + 4y = 1 ⇔ 3 · z + z
2+ 4 · z − z
2i= 1 · · · · · · 2©
を満たすとき、 1©で定まる wの軌跡は、
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「 1©かつ 2©を満たす zが存在する」
ような wの全体である。それは、
3 ·1w + 1
w
2+ 4 ·
1w − 1
w
2i= 1
⇔ 3 (w + w) − 4i (w − w) = 2 |w|2
⇔ |w|2 −(
32− 2i
)w −
(32
+ 2i
)w = 0
⇔(
w −(
32
+ 2i
))(w −
(32− 2i
))=∣∣∣∣32 + 2i
∣∣∣∣2⇔∣∣∣∣w −
(32
+ 2i
)∣∣∣∣ = 52
である。これは、点(
32
+ 2i
)を中心として、半径 5
2の円であるから、求める長さは
5πである。
反転の問題です。
【演習 17】(1) z10 − z7 − z3 + 1 = 0をみたす複素数 zをすべて求めよ。
(2) nを3以上の整数とする。zn +1zn
= z2 +1z2をみたす異なる複素数 z の
個数を求めよ。
【2000一橋大学】
解答テキスト【演習24】と重複しています。
【演習 18】次の条件 C を満たす複素数 zの表す点の範囲を複素数平面上に図示せよ。
C:0 5 a 5 1をみたすある実数 aに対して、
a(z + z) = |z|2 − 1
が成り立つ。
【1974一橋大学】
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解答 求めるものは、
∃a[a (z + z) = |z|2 − 1 ∧ 0 5 a 5 1
]( i )
z + z = 1 ∧ |z|2 − 1 = 0
⇔ z, z =12±
√3
2i
( ii ) z + z \= 1のとき
Re
Im
Oa =|z|2 − 1z + z
を 0 5 a 5 1に代入して、
0 5 |z|2 − 1z + z
5 1
⇔ 0 5 |z|2 − 1z + z
∧ |z − 1|2 − 2z + z
< 0
以上を図示すると右図のようになる。
【演習 19】zを 1でない複素数とし、w =
iz
z − 1とおく。
(1) wが実数であるような zの全体を複素数平面上に図示せよ。
(2) aを正の実数とする。|w| 5 aであるような zの全体を複素数平面上に図示せよ。
【20034一橋大学】
解答
(1)
w =iz
z − 1
のとき、wが実数であるとは、
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1Re
Im
Oiz
z − 1=
−iz
z − 1⇔ z (z − 1) = −z (z − 1)
⇔ zz − 12z − 1
2z = 0
⇔∣∣∣∣z − 1
2
∣∣∣∣ = 12
これを z \= 1のもとで図示すると右図。
(2)
|w| 5 a
であるとは、∣∣∣∣ iz
z − 1
∣∣∣∣ 5 a
⇔ |z| 5 a |z − 1|
⇔ |z|2 5 a2 |z|2 − a2z − a2z + a2 · · · · · · 1©
( i ) a < 1のとき、1© ⇔
(1 − a2
)|z|2 + a2z + a2z 5 a2
⇔∣∣∣∣z +
a2
1 − a2
∣∣∣∣ 5 a
1 − a2
( ii ) a = 1のとき、1© ⇔ z + z 5 1
(iii) a > 1のとき、1 ⇔
(a2 − 1
)|z|2 − a2z − a2z = a2
⇔∣∣∣∣z − a2
a2 − 1
∣∣∣∣ 5 a
a2 − 1
以上3つの場合を図示すると、下図のようになる。
− a2
1 − a2
Re
Im
O
12
Re
Im
Oa2
a2 − 1Re
Im
O
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【演習 20】複素数平面上の点 zが原点を中心とする半径 1の円周上を 1周するとき、
w = 2√
2z − z2
で表される点 wの軌跡が虚軸と交わる回数を求めよ。【2005大阪大学】
解答
w = 2√
2z − z2
において、
z = cos θ + i sin θ (0 5 θ < 2π)
とおくと、
w = 2√
2 (cos θ + i sin θ) − (cos 2θ + i sin 2θ)
この点が虚軸と交わるのは、
2√
2 cos θ − cos 2θ = 0
⇔ 2 cos2 θ − 2√
2 cos θ − 1 = 0
⇔ cos θ =√
2 − 22
これを満たす θは2個あるから、虚軸と交わるのは、2回である。
媒介変数表示された曲線{x = 2
√2 cos θ − cos 2θ
y = 2√
2 sin θ − sin 2θ
を図示すると下左図のようになる。右図は r = 1 + cos θと極座標表示された曲線でカージオイドと呼ばれるものである。本問はこれを拡大したものである。
x
y
O x
y
O
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【演習 21】
QR
S
P
A
R′
S′
c
dα
b
a
β
α
c
d
β
α
平面上において、7点A,P,Q,R,S,R′,S′を右図のようにとる。ただし、AP= a,PQ= b,QR=QR′ = c,RS=RS′ = d,∠APQ=∠SRQ=∠S′R′Q =α(0 5 α 5 π)∠RQO=∠PQR′ =β(0 5 β 5 π)で あ る 。こ の と き 、AS2−AS′2 をsinα, sinβ および a, b, c, dを用いて表せ。
【大阪大学】
解答 Qを原点とする。QPを実軸正方向にとる。
Q
R S
P
AR′
S′
c
d
α
b
a
β
αc
d
βαz = cos (π − α) + i sin (π − α)
w = cos β + i sin β
とおくと、A : (b + az)S : (cw + dwz)S′ : (cw + dwz)
と表せる。
AS2 = |b + az − cw − dwz|2
= |b + az|2 + |cw + dwz|2 − (b + az) (cw + dwz) − (b + az) (cw + dwz)
AS′2 = |b + az − cw − dwz|2
= |b + az|2 + |cw + dwz|2 − (b + az) (cw + dwz) − (b + az) (cw + dwz)
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だから、
AS2 − AS′2
= (b + az) (cw + dwz) + (b + az) (cw + dwz)− (b + az) (cw + dwz) − (b + az) (cw + dwz)= (b + az) (c + dz) w + (b + az) (c + dz) w
− (b + az) (c + dz)w − (b + az) (c + dz) w
= (bc + acz + bdz + ad)w + (bc + acz + bdz + ad) w
− (bc + acz + bdz + ad) w − (bc + acz + bdz + ad)w
= (ac − bd) (z − z) w − (ac − bd) (z − z) w
= − (ac − bd) (z − z) (w − w)= − (ac − bd) · 2i sin (π − α) · 2i sinβ
= 4 (ac − bd) sinα sin β
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