Post on 21-Nov-2015
description
Support de cours TECHNIQUES NUMERIQUES
Prpar par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 1 - Fvrier 2012
CHAP03 SIMPLIFICATION DES FONCTIONS LOGIQUES
I. Introduction :
Aprs la recherche de lexpression algbrique de la fonction, ltape suivante consiste
minimiser le nombre de termes (de portes logiques) afin dobtenir une ralisation matrielle
plus simple donc plus facile construire et dpanner, en plus moins coteuse.
Deux mthodes de simplification sont utilises:
1. La mthode algbrique
2. La mthode graphique (diagramme de KARNAUGH).
3. Mac clauskie
II. La mthode algbrique:
Il sagit dappliquer les thormes et les proprits de lalgbre de Boole pour obtenir une
expression plus simple de la fonction.
Exemple 01:Simplifier algbriquement la fonction suivante :
S=A.B.C + A.B.(A.C)
S=A.B.C + A.B. (A+C) [A=A]
S=A.B.C + A.B. (A+C)
S=A.B.C + A.B.A+A.B.C [A.A=A]
S=A.B.C + A.B +A.B.C
S=A.B + A.C.(B+B) [B+B=1]
S=A.B + A.C S=A.(B+C)
Exemple 02 :
F=A.B+A+B = A.B.(A+B) = (A+B).(A+B) = A.A+A.B+B.A+B.B = A.B+A.B
III. La mthode graphique (diagramme de KARNAUGH).
On a pu sapercevoir que la mthode de simplification algbrique devenait vite trs longue et
fastidieuse ds que le nombre de variables devenait important.
La mthode du tableau de KARNAUGH va nous permettre deffectuer des simplifications
beaucoup plus rapidement sans avoir crire de longues quations.
La simplification dune expression logique par le tableau de KARNAUGH est une mthode
dveloppe en 1953 par Maurice KARNAUGH, ingnieur en tlcommunications au
laboratoire Bell.
Support de cours TECHNIQUES NUMERIQUES
Prpar par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 2 - Fvrier 2012
Le diagramme de Karnaugh est un outil graphique, mthodique. Il permet dobtenir une
solution optimale la simplification logique.
Le diagramme de Karnaugh consiste prsenter les tats dune fonction logique, non pas
sous la forme dune table de vrit, mais en utilisant un tableau double entre.
Chaque case du tableau correspond une combinaison des variables dentres, donc une
ligne de la table de vrit.
Le tableau de Karnaugh aura autant de cases que la table de vrit possde de lignes.
Les lignes et les colonnes du tableau sont numrotes selon le code binaire rflchi (code
de Gray) : chaque passage dune case lautre, une seule variable change dtat (cases
adjacentes).
Le diagramme de Karnaugh est un tableau de 2N cases, N tant le nombre de variables.
III.1.Diagramme de KARNAUGH 2 variables
A. Table de vrit B. Tableau de KARNAUGH
III.2.Diagramme de KARNAUGH 3 variables
A. Table de vrit B. Tableau de KARNAUGH
A B S
0 0 0 S0 1 0 1 S1 2 1 0 S2 3 1 1 S3
A B C S
0 0 0 0 S0 1 0 0 1 S1 2 0 1 0 S2 3 0 1 1 S3 4 1 0 0 S4 5 1 0 1 S5 6 1 1 0 S6 7 1 1 1 S7
A.B
A.B
A.B
A.B
S
A.B.C
A.B.C
Code Gray
Support de cours TECHNIQUES NUMERIQUES
Prpar par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 3 - Fvrier 2012
Remarque : Dans tableau de KARNAUGH deux cases sont dites ADJACENTES si UNE seul variable change dtat dune case lautre.
Exemple : Les cases S0 et S2 sont des cases ADJACENTES (S0=A.B.C et S2=A.B.C une seul variable change dtat cest B)
Autre reprsentation du tableau de KARNAUGH :
III.3.Diagramme de KARNAUGH 4 variables
A. Table de vrit B. Tableau de KARNAUGH
A B C D S
0 0 0 0 0 S0 1 0 0 0 1 S1 2 0 0 1 0 S2 3 0 0 1 1 S3 4 0 1 0 0 S4 5 0 1 0 1 S5 6 0 1 1 0 S6 7 0 1 1 1 S7 8 1 0 0 0 S8 9 1 0 0 1 S9
10 1 0 1 0 S10 11 1 0 1 1 S11 12 1 1 0 0 S12 13 1 1 0 1 S13 14 1 1 1 0 S14 15 1 1 1 1 S15
S
A.B.C.D
A.B.C.D
Support de cours TECHNIQUES NUMERIQUES
Prpar par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 4 - Fvrier 2012
III.4.Simplification on utilisant le tableau de KARNAUGH :
Rgles de simplification :
Constituer des groupe des groupes de 1,2,4,8,16 cases ADJACENTES (2n cases)
(on choisit des cases contenant des 1 ou des 0 pas les deux la fois)
Ces groupes de taille maximale, doivent tre carr ou rectangulaire ;
Ils doivent contenir un nombre de cases gal une puissance de deux ;
Les bords de la table doivent tres adjacent ;
On ne retient que les variables dont ltat logique dentr nest pas modifi lintrieur
du groupement ;
Les mmes termes peuvent participer plusieurs groupements,
On doit avoir le moins de groupes possible , chaque groupe doit contenir le maximum de
terme (1 ou 0)
Les variables dun mme groupement sont lies par une fonction ET(.), les groupements
sont lis par des fonctions OU(+).
Apres avoir fait la somme des fonctions de chaque groupement on obtiendra lquation
finale de S
III.4.1. Simplification dune fonction 2 variables :
Simplifier la fonction de la TDV (Table de vrit) suivante on utilisant le tableau de
KARNAUGH (TDK).
A. Table de vrit B. Tableau de KARNAUGH
S= A.1 + B.1 = A+B
A B S
0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1
0
S
1
1 1
A
1
Parce que A na pas
chang dtat
Parce que B a
chang dtat
B
1
Support de cours TECHNIQUES NUMERIQUES
Prpar par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 5 - Fvrier 2012
III.4.2. Simplification dune fonction 3 variables :
Exemple 01 : Simplifier la fonction de la TDV (Table de vrit) suivante on utilisant le
tableau de KARNAUGH (TDK).
A. Table de vrit B. Tableau de KARNAUGH
S= A.C + A.B
Exemple 02 : Simplifier la fonction de la TDV (Table de vrit) suivante on utilisant le
tableau de KARNAUGH (TDK).
A. Table de vrit B. Tableau de KARNAUGH
S= B.C + A.B + B.C
A B C S
0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1
5 1 0 1 1
6 1 1 0 0
7 1 1 1 0
A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 1
0 0
0
1
1 1 1
0
C
A
1
A.B
Support de cours TECHNIQUES NUMERIQUES
Prpar par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 6 - Fvrier 2012
III.4.3. Simplification dune fonction 4 variables :
Exemple 01 : Simplifier la fonction de la TDV (Table de vrit) suivante on utilisant le
tableau de KARNAUGH (TDK).
B. Table de vrit B. Tableau de KARNAUGH
Exemple 02 : Simplifier la fonction de la TDV (Table de vrit) suivante on utilisant le
tableau de KARNAUGH (TDK).
A. Table de vrit B. Tableau de KARNAUGH
A B C D S
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 0 3 0 0 1 1 0 4 0 1 0 0 0
5 0 1 0 1 1
6 0 1 1 0 1
7 0 1 1 1 1
8 1 0 0 0 0
9 1 0 0 1 1
10 1 0 1 0 0
11 1 0 1 1 1
12 1 1 0 0 0
13 1 1 0 1 1
14 1 1 1 0 0
15 1 1 1 1 1
A B C D S
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 0 3 0 0 1 1 0 4 0 1 0 0 0
5 0 1 0 1 1
6 0 1 1 0 1
7 0 1 1 1 1
8 1 0 0 0 0
9 1 0 0 1 1
10 1 0 1 0 0
11 1 0 1 1 1
12 1 1 0 0 0
13 1 1 0 1 1
14 1 1 1 0 0
15 1 1 1 1 1
C
A
D
B
A.B
S= A.D + B.D + A.B.C
CD
C
1
B
S= C.D + B.C
11
10
0
Support de cours TECHNIQUES NUMERIQUES
Prpar par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 7 - Fvrier 2012
III.5.Fonctions incompltement dfinies : Parfois, la fonction raliser n'est pas
compltement dfinie, c'est dire que pour certaines combinaisons des variables, la
valeur logique que prend la fonction n'est pas connue. Ceci pour plusieurs raisons:
Soit qu'on est indiffrent la valeur qu'elle peut prendre pour certaines combinaisons
des variables.
Soit que ces combinaisons correspondent, dans la pratique, des configurations
impossibles.
Les cases du tableau de KHARNAUGH correspondantes ces combinaisons sont appeles
des cases .
Pour trouver l'expression la plus simple de la fonction logique, on pourra utiliser ces
cases , selon le cas soit comme des cases 1, soit comme des cases 0. Il n'y a pas de rgle
permettant un choix judicieux, mais en gnral on attribuera chaque case la valeur (0
ou 1) qui permet d'obtenir le plus petit nombre de contractions de plus grande taille
possible qui englobe toutes les cases.
Exemple 01 : Simplifier la fonction suivante :
A.D
B.C
G = A.D + B.C
Support de cours TECHNIQUES NUMERIQUES
Prpar par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 8 - Fvrier 2012
Exemple 02
Une serrure de scurit souvre en fonction de quatre cls A, B, C D. Le fonctionnement
de la serrure est dfinie comme suite :
S (A,B,C,D)= 1 si au moins deux cls sont utilises
S (A,B,C,D)= 0 sinon
Les cls A et D ne peuvent pas tre utilises en mme temps
On remarque que si la cl A et D sont utilises en mme temps ltat du systme nest pas
dtermin. Ces cas sont appels cas impossibles ou interdites.
B. Table de vrit B. Tableau de KARNAUGH
Remarque :
La mthode de simplification de KHARNAUGH, qui est une mthode graphique, devient
pnible utiliser au-del de cinq variables, car le tableau devient de dimensions importantes,
les cases adjacentes moins faciles reprer, cest pour cela quau-del de 5 variables, on
utilise dautre mthode de simplifications comme la mthode de QUINE MAC CLUSKEY.
A B C D S
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 0 3 0 0 1 1 1 4 0 1 0 0 0
5 0 1 0 1 1
6 0 1 1 0 1
7 0 1 1 1 1
8 1 0 0 0 0
9 1 0 0 1 10 1 0 1 0 1
11 1 0 1 1 12 1 1 0 0 1
13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 1
15 1 1 1 1
CD
S= A.B + C.D + B.D + A.C + B.C