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Quaternions et algèbres géométriques de nouveaux outils pour les images

numériques couleur

13 Décembre 2007

Patrice Denis

Direction :Christine Fernandez-Maloigne

Philippe Carré

Problématique

Formalisme mathématique pour les images couleur

2

Problématique

Traitement des images numériques couleur 2 grandes méthodes :

– traitements en niveaux de gris marginalement sur 3 composantes ; problème : apparition de fausses couleurs

3

image originale ouverture marginale (taille 7)

Problématique

Traitement des images numériques couleur 2 grandes méthodes :

– traitements vectoriels : besoin définition de relations d’ordre entre couleurs

4

c1 c2 c3

c4 c5 c6

c7 c8 c9

problème : ordre total n’existe pas

Exemple (couleurs en rvb) : -c1 = (255,0,30)-c2 = (255,30,0)

C’1 C’2 C’3 C’4 C’5 C’6 C’7 C’8 C’9filtre médian vectoriel

c2

c1

5

Objectifs

2 objectifs de manipulation des images couleur– analyse : transformée de Fourier– traitement : manipulation par filtrage spatial

2 représentations algébriques permettant de modéliser les couleurs :– Quaternions– Algèbres géométriques

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Plan

Problématique Définitions et généralités sur les quaternions

et algèbres géométriques Approches fréquentielles Approches spatiales Conclusions et perspectives

Quaternions - vocabulaire

Quaternion : q = a + b i + c j + d k R(q) = a : partie réelle I(q) = b i + c j + d k : partie imaginaire q = a – b i – c j – d k : conjugué |q| = : module groupe des quaternions purs :

groupe des quaternions unitaires :

7

¯

Quaternions - représentations

Cartésienne : [Hamilton]

q = a + b i + c j + d k Vectorielle :

q = S(q) + V(q)

Idée : une couleur = un vecteur de R3

image codée sur les 3 parties imaginaires : – f[m,n] = r[m,n] i + v[m,n] j + b[m,n] k [Sangwine]

8i j

k

f[m,n] m et n : coordonnées spatiales

Quaternions – représentations (2)

Symplectique : [Ell]q = q1 + q2 μ2 avec q1 = a’ + b’ μ1 et q2 = c’ + d’ μ1

et (1, μ1, μ2, μ1μ2) une base orthonormée

exemple : q[m,n] = q1 + q2 μ2 avec q1 = a + b μgris et q2 = c + d μgris

9

= +

μgris

μ2

μgrisμ2

q

Extension des quaternions

Distinction entre :– objets manipulés : couleurs– opérations de manipulations

Algèbres géométriques

10

¯

Algèbres géométriques - définition

Connues aussi comme « Algèbres de Clifford » Manipuler des entités géométriques, « multivecteur », comme des

nombres d’une algèbre

Exemple dans G3 : M = e0 + 5 e1 + e3 - 3 e23 + 2 e123

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dimension

représentation

base

v

1D 2D 3D

Représentation des images couleur

Idée : une couleur = un vecteur des R3

G3 sur les 3 parties vectorielles :– f[m,n] = r[m,n] e1 + v[m,n] e2 + b[m,n] e3

12

e1

e2

e3

f[m,n]

m et n : coordonnées spatiales

Algèbres géométriques – vocabulaire

4 produits : interne , externe , scalaire , géométrique Réversion : correspond au conjugué des quaternions Norme

Inverse

Dualité

Propriété des 1-vecteurs :

13

14

Objectifs

2 représentations algébriques permettant de modéliser les couleurs :– Quaternions– Algèbres géométriques

2 objectifs de manipulation des images couleur– analyse : transformée de Fourier– traitement local : manipulation par filtrage spatial

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Plan

Problématique Définitions et généralités sur les quaternions

et algèbres géométriques Approches fréquentielles Approches spatiales Conclusions et perspectives

Représentation fréquentielle des images numériques

Transformée de Fourier :

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Signal fréquentiel (2D)Signal spatial (2D)TF

Représentation fréquentielle des images numériques

Images en niveaux de gris :– Transformée de Fourier quaternionique (TFQ) [Bülow]

– Permet : Séparation de l’information suivant les directions horizontales

(i) et verticales (j) symétries axiales dans le spectre (horizontale ou verticale) Notion d’amplitude et de phase instantanées 2D

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Représentation fréquentielle des images numériques

Images en niveaux de gris :– Transformée de Fourier utilisant G3 ou transformée de

Fourier Cliffordienne (TFC) [Felsberg]

– Permet : Généralisation de la transformée de Bülow également symétries 2D dans le spectre

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Représentation fréquentielle des images numériques

Images couleur :– Transformée de Fourier quaternionique [Sangwine et Ell]

– Interprétation avec les notions de module, phase et axe

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Représentation fréquentielle des images numériques

Représentation exponentielle [Bulow]- Euler : q = |q|evφ = |q| [cos(φ) + v sin(φ)]

– Problème : difficulté d’interprétation de l’information spectrale

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module de la TFQ

TFQ

image d’origine phase de la TFQ

axe de la TFQ

|q| vφ

Représentation fréquentielle des images numériques

– Décomposition sympliciale avec base (1, μgris, μ2, μgris μ2)

– Interprétation avec direction = μgris [Ell & Sangwine] :

– Partie parallèle :

information de luminosité : phase de la partie luminosité : amplitude

– Partie perpendiculaire

information chromatique : angle initial de μ2

: amplitude de la rotation autour de μ21

μgris

μ2

Représentation fréquentielle des images numériques

Images couleur– Interprétation avec direction variable– Approche différente

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ProblèmePropriétés sur quaternion en entrée ?

TFQIentrée sortie

quaternion qcqquaternion pur

« pixel image »

Représentation fréquentielle des images numériques

23

Annuler la partie réelle :

Propriétés de symétries du spectre : Fr [-o,-p] = - Fr[o,p]

Fi [-o,-p] = Fi[o,p]

Fj [-o,-p] = Fj[o,p]

Fk [-o,-p] = Fk[o,p]

Fr la partie réelle du quaternion F

Fi, Fj, Fk les parties imaginaires de F

Initialisation spectrale sur F[o0,p0] et F[-o0,-p0] en respectant les symétries.

symétrie anti-hermitienne

Représentation fréquentielle des images numériques

1er cas de figure :

exemple :

24

Initialisation composante(s)

imaginaire

Direction µ de la TFQ

quelconque

TFQIentrée sortie Variation paire

sur composante(s) d’initialisation

Représentation fréquentielle des images numériques

2ie cas de figure :

exemple

avec e = i, j et k

25

Initialisation composante

réelle

Direction µ de la TFQ

TFQIentrée sortie Variation

impaire sur composante(s) fonction(s) de µ

Représentation fréquentielle des images numériques

26

Bilan quaternions Fourier

analyse fréquentielle quaternionique difficile dépend de la direction donnée à la TF de Fourier

– direction : axe de gris séparation information chromatique et achromatique

– direction quelconque analyse par initialisation spectrale

– composante imaginaire : variations paires– composante réelle : variations impaires dépendant de la

direction

analyse fréquentielle utilisant les algèbres géométriques

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Représentation fréquentielle des images numériques

Image couleur codée sur G2

f[m,n] = r[m,n] e0 + v[m,n] e1 + b[m,n] e2

Transformée de Fourier utilisant G2 [Brackx]

Symétries du spectre– F1 et F2 quelconques

– F0[o,p]=F0[-o,-p]

– F12[o,p] =-F12 [-o,-p]

28

Représentation fréquentielle des images numériques

Problème d’interprétation du spectre car la même importance n’est pas donnée pour chacune des composantes couleur (grade)

29

Représentation fréquentielle des images numériques

Image couleur codée sur G3

f[m,n] = r[m,n] e1 + v[m,n] e2 + b[m,n] e3

Transformée de Fourier utilisant G3

30

Représentation fréquentielle des images numériques

31

Initialisation de l’espace fréquentiel sur 2 points F[o0,p0] et F[-o0,-p0]

en respectant les symétries suivantes: F0 [-o0,-p0] = - F0[o0,p0] = F123 [-o0,-p0] = F123[o0,p0] = 0

F1 [-o0,-p0] = F1[o0,p0]

F2 [-o0,-p0] = F2[o0,p0]

F3 [-o0,-p0] = F3[o0,p0]

F23 [-o0,-p0] = -F23[o0,p0]

F31 [-o0,-p0] = -F31[o0,p0]

F12 [-o0,-p0] = -F12[o0,p0]

F0 et F123 les parties scalaire et pseudo-scalaire du multivecteur F

F1 ,F2 et F3 les parties 1-vectorielles de F

F11 ,F23 et F31 les parties 2-vectorielles de F

Représentation fréquentielle des images numériques

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Initialisation composante(s)

1-vectorielleTFCI

entrée sortie Variation paire sur

composante(s) d’initialisation

Initialisation composante(s)

2-vectorielleTFCI

entrée sortie Variation impaire sur

composante(s) 1-vectorielle

complémentaire

2 cas de figures :

Bilan AG Fourier

Analyse G2 impossible

Analyse G3 équivalente approche marginale Application filtrage fréquentiel couleur

33

34

Plan

Problématique Définitions et généralités sur les quaternions

et algèbres géométriques Approches fréquentielles Approches spatiales Conclusions et perspectives

Transformations géométriques

Un vecteur v de R3 est représenté par le quaternion pur q ou le 1-vecteur m

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v1

v2

vproj

vrefl

vrej Algèbres géométriquesRéflexion :

Projection :

Réjection :

QuaternionsRéflexion :

Projection :

Réjection :

Transformations géométriques

Un vecteur v de R3 est représenté par le quaternion pur q ou le 1-vecteur m

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Algèbres géométriquesTranslation :

Rotation :

QuaternionsTranslation :

Rotation :

v1

v2

vt

d2

d1

v

θ/2

vrot

d

d1 Λ d2

θ

Quaternions - transformations couleur

37

µ = µgris : axe des niveaux de grisν : vecteur de référence pour T = 0°

Teinte : T, Saturation : S, et Luminosité : L

Teinte : T

Saturation : S

Luminosité : L

µq

ν

G3 - transformations couleur

38

Teinte : T

Saturation : S

Luminosité : L

µm

ν

µ = µgris : axe des niveaux de grisν : vecteur de référence pour T = 0°

Teinte : T, Saturation : S, et Luminosité : L

G3 - transformations couleur

39

Teinte : T

Saturation : S

Luminosité : L

µm

ν

µ = µgris : axe des niveaux de grisν : vecteur de référence pour T = 0°

Teinte : T, Saturation : S, et Luminosité : L

G3 - transformations couleur

Passage de RVB vers TLS Permet d’effectuer des transformations

couleur de base sur des images.

40

G3 - transformations couleur

41

Modification de teinte

μ

mm’

m┴

ν

Tθ

avant après

G3 - transformations couleur

42

Modification de saturation

μ

m m’

m┴

ν

avant après

G3 - transformations couleur

43

Modification de luminosité

μ

αμ

m

m’avant après

Approches spatiales

Traitement des images couleur par filtrage spatial

44

q2

Détection de contours

Approche Sangwine : filtrage de Prewitt sur l’image par convolution

Q = e µπ/2 = µ µ = µgris

45

Les deux vecteurs q1 et q2 (resp. q3 et q4) sont éloignés (resp. proches) du point de vue colorimétrique, la somme obtenue (vecteurs oranges) aura une forte (resp. faible) saturation.

µq1µq1

µq3µ

q2 + µq1µ

q4

µq4 + µq3µ

q3

46

Détection de contours [Sangwine]

Inconvénient : résultats différents suivant le sens d’application du filtre

Image d’origine Image filtrée

Détection de contours

47

Détecteur de Sangwine généralisé

Calcul distance vecteur couleur résultat / μ (S1 et S2)

Résultat : gradient quaternionique vectoriel

Approche proposée (quaternions) :

Détection de contours

Inconvénient : non détection des contours achromatiques car approche basée sur différence de saturation

48

Détection de contours

Inconvénient : non détection des contours achromatiques car approche basée sur différence de saturation

49

Détection de contours

Approche généralisée à G3

Amélioration avec produit géométrique :

50

Détection de contours

Norme de la partie bivectorielle

51

Détection de contours

Partie scalaire

52

Détection de contours

Filtrage de Prewitt sur partie scalaire Pondération par la norme de la partie

bivectorielle

53

Bilan de détection de contours

Résumé de la méthode :– Produit géométrique de chaque pixel avec μgris

– Calcul de la norme de la partie bivectorielle– Filtrage de Prewitt sur partie scalaire– Pondération par la norme de la partie bivectorielle– Combinaison avec le gradient de saturation

54

Détection de contours

Résultats

55

Détection de contours

comparaison

56

(a) Image originale

(b) Méthode marginale

(c) Di Zenzo

(d) Carron

(e) Depuis gradient de saturation quaternionique

(f) Depuis gradient géométrique proposé

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Plan

Problématique Définitions et généralités sur les quaternions

et algèbres géométriques Approches fréquentielles Approches spatiales Conclusions et perspectives

Conclusions

Caractérisation fréquentielle– Quaternion : TFQ

– Influence spectrale Partie réelle : variations suivant direction μ Parties imaginaires : variations indépendantes

de μ

– AG : TFC G2 incompatibilité avec besoins couleur G3 équivalent traitement marginal

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Conclusions

Caractérisation spatiale– Opérations entre espace RVB et représentation

Teinte, Saturation et Luminosité– Transformation de base des images couleur– Définition d’un schéma de filtrage

Basé sur distance de saturation avec quaternions Amélioré avec propriétés du produit géométrique des

AG

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Perspectives

Association AG et images couleur débutant donc nombreuses perspectives :– Filtrage spatial avec produit géométrique

– union, intersection : détection de mouvements, morphologie mathématique couleur ;

– extension dimension supérieures,…

60

f1[m,n] f2[m,n]

f2[m,n]

f1[m,n]

f1[m,n] f2[m,n]