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Quaternions et algèbres géométriques de nouveaux outils pour les images
numériques couleur
13 Décembre 2007
Patrice Denis
Direction :Christine Fernandez-Maloigne
Philippe Carré
Problématique
Formalisme mathématique pour les images couleur
2
Problématique
Traitement des images numériques couleur 2 grandes méthodes :
– traitements en niveaux de gris marginalement sur 3 composantes ; problème : apparition de fausses couleurs
3
image originale ouverture marginale (taille 7)
Problématique
Traitement des images numériques couleur 2 grandes méthodes :
– traitements vectoriels : besoin définition de relations d’ordre entre couleurs
4
c1 c2 c3
c4 c5 c6
c7 c8 c9
problème : ordre total n’existe pas
Exemple (couleurs en rvb) : -c1 = (255,0,30)-c2 = (255,30,0)
C’1 C’2 C’3 C’4 C’5 C’6 C’7 C’8 C’9filtre médian vectoriel
c2
c1
5
Objectifs
2 objectifs de manipulation des images couleur– analyse : transformée de Fourier– traitement : manipulation par filtrage spatial
2 représentations algébriques permettant de modéliser les couleurs :– Quaternions– Algèbres géométriques
6
Plan
Problématique Définitions et généralités sur les quaternions
et algèbres géométriques Approches fréquentielles Approches spatiales Conclusions et perspectives
Quaternions - vocabulaire
Quaternion : q = a + b i + c j + d k R(q) = a : partie réelle I(q) = b i + c j + d k : partie imaginaire q = a – b i – c j – d k : conjugué |q| = : module groupe des quaternions purs :
groupe des quaternions unitaires :
7
¯
Quaternions - représentations
Cartésienne : [Hamilton]
q = a + b i + c j + d k Vectorielle :
q = S(q) + V(q)
Idée : une couleur = un vecteur de R3
image codée sur les 3 parties imaginaires : – f[m,n] = r[m,n] i + v[m,n] j + b[m,n] k [Sangwine]
8i j
k
f[m,n] m et n : coordonnées spatiales
Quaternions – représentations (2)
Symplectique : [Ell]q = q1 + q2 μ2 avec q1 = a’ + b’ μ1 et q2 = c’ + d’ μ1
et (1, μ1, μ2, μ1μ2) une base orthonormée
exemple : q[m,n] = q1 + q2 μ2 avec q1 = a + b μgris et q2 = c + d μgris
9
= +
μgris
μ2
μgrisμ2
q
Extension des quaternions
Distinction entre :– objets manipulés : couleurs– opérations de manipulations
Algèbres géométriques
10
¯
Algèbres géométriques - définition
Connues aussi comme « Algèbres de Clifford » Manipuler des entités géométriques, « multivecteur », comme des
nombres d’une algèbre
Exemple dans G3 : M = e0 + 5 e1 + e3 - 3 e23 + 2 e123
11
dimension
représentation
base
v
1D 2D 3D
Représentation des images couleur
Idée : une couleur = un vecteur des R3
G3 sur les 3 parties vectorielles :– f[m,n] = r[m,n] e1 + v[m,n] e2 + b[m,n] e3
12
e1
e2
e3
f[m,n]
m et n : coordonnées spatiales
Algèbres géométriques – vocabulaire
4 produits : interne , externe , scalaire , géométrique Réversion : correspond au conjugué des quaternions Norme
Inverse
Dualité
Propriété des 1-vecteurs :
13
14
Objectifs
2 représentations algébriques permettant de modéliser les couleurs :– Quaternions– Algèbres géométriques
2 objectifs de manipulation des images couleur– analyse : transformée de Fourier– traitement local : manipulation par filtrage spatial
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Plan
Problématique Définitions et généralités sur les quaternions
et algèbres géométriques Approches fréquentielles Approches spatiales Conclusions et perspectives
Représentation fréquentielle des images numériques
Transformée de Fourier :
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Signal fréquentiel (2D)Signal spatial (2D)TF
Représentation fréquentielle des images numériques
Images en niveaux de gris :– Transformée de Fourier quaternionique (TFQ) [Bülow]
– Permet : Séparation de l’information suivant les directions horizontales
(i) et verticales (j) symétries axiales dans le spectre (horizontale ou verticale) Notion d’amplitude et de phase instantanées 2D
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Représentation fréquentielle des images numériques
Images en niveaux de gris :– Transformée de Fourier utilisant G3 ou transformée de
Fourier Cliffordienne (TFC) [Felsberg]
– Permet : Généralisation de la transformée de Bülow également symétries 2D dans le spectre
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Représentation fréquentielle des images numériques
Images couleur :– Transformée de Fourier quaternionique [Sangwine et Ell]
– Interprétation avec les notions de module, phase et axe
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Représentation fréquentielle des images numériques
Représentation exponentielle [Bulow]- Euler : q = |q|evφ = |q| [cos(φ) + v sin(φ)]
– Problème : difficulté d’interprétation de l’information spectrale
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module de la TFQ
TFQ
image d’origine phase de la TFQ
axe de la TFQ
|q| vφ
Représentation fréquentielle des images numériques
– Décomposition sympliciale avec base (1, μgris, μ2, μgris μ2)
– Interprétation avec direction = μgris [Ell & Sangwine] :
– Partie parallèle :
information de luminosité : phase de la partie luminosité : amplitude
– Partie perpendiculaire
information chromatique : angle initial de μ2
: amplitude de la rotation autour de μ21
μgris
μ2
Représentation fréquentielle des images numériques
Images couleur– Interprétation avec direction variable– Approche différente
22
ProblèmePropriétés sur quaternion en entrée ?
TFQIentrée sortie
quaternion qcqquaternion pur
« pixel image »
Représentation fréquentielle des images numériques
23
Annuler la partie réelle :
Propriétés de symétries du spectre : Fr [-o,-p] = - Fr[o,p]
Fi [-o,-p] = Fi[o,p]
Fj [-o,-p] = Fj[o,p]
Fk [-o,-p] = Fk[o,p]
Fr la partie réelle du quaternion F
Fi, Fj, Fk les parties imaginaires de F
Initialisation spectrale sur F[o0,p0] et F[-o0,-p0] en respectant les symétries.
symétrie anti-hermitienne
Représentation fréquentielle des images numériques
1er cas de figure :
exemple :
24
Initialisation composante(s)
imaginaire
Direction µ de la TFQ
quelconque
TFQIentrée sortie Variation paire
sur composante(s) d’initialisation
Représentation fréquentielle des images numériques
2ie cas de figure :
exemple
avec e = i, j et k
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Initialisation composante
réelle
Direction µ de la TFQ
TFQIentrée sortie Variation
impaire sur composante(s) fonction(s) de µ
Représentation fréquentielle des images numériques
26
Bilan quaternions Fourier
analyse fréquentielle quaternionique difficile dépend de la direction donnée à la TF de Fourier
– direction : axe de gris séparation information chromatique et achromatique
– direction quelconque analyse par initialisation spectrale
– composante imaginaire : variations paires– composante réelle : variations impaires dépendant de la
direction
analyse fréquentielle utilisant les algèbres géométriques
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Représentation fréquentielle des images numériques
Image couleur codée sur G2
f[m,n] = r[m,n] e0 + v[m,n] e1 + b[m,n] e2
Transformée de Fourier utilisant G2 [Brackx]
Symétries du spectre– F1 et F2 quelconques
– F0[o,p]=F0[-o,-p]
– F12[o,p] =-F12 [-o,-p]
28
Représentation fréquentielle des images numériques
Problème d’interprétation du spectre car la même importance n’est pas donnée pour chacune des composantes couleur (grade)
29
Représentation fréquentielle des images numériques
Image couleur codée sur G3
f[m,n] = r[m,n] e1 + v[m,n] e2 + b[m,n] e3
Transformée de Fourier utilisant G3
30
Représentation fréquentielle des images numériques
31
Initialisation de l’espace fréquentiel sur 2 points F[o0,p0] et F[-o0,-p0]
en respectant les symétries suivantes: F0 [-o0,-p0] = - F0[o0,p0] = F123 [-o0,-p0] = F123[o0,p0] = 0
F1 [-o0,-p0] = F1[o0,p0]
F2 [-o0,-p0] = F2[o0,p0]
F3 [-o0,-p0] = F3[o0,p0]
F23 [-o0,-p0] = -F23[o0,p0]
F31 [-o0,-p0] = -F31[o0,p0]
F12 [-o0,-p0] = -F12[o0,p0]
F0 et F123 les parties scalaire et pseudo-scalaire du multivecteur F
F1 ,F2 et F3 les parties 1-vectorielles de F
F11 ,F23 et F31 les parties 2-vectorielles de F
Représentation fréquentielle des images numériques
32
Initialisation composante(s)
1-vectorielleTFCI
entrée sortie Variation paire sur
composante(s) d’initialisation
Initialisation composante(s)
2-vectorielleTFCI
entrée sortie Variation impaire sur
composante(s) 1-vectorielle
complémentaire
2 cas de figures :
Bilan AG Fourier
Analyse G2 impossible
Analyse G3 équivalente approche marginale Application filtrage fréquentiel couleur
33
34
Plan
Problématique Définitions et généralités sur les quaternions
et algèbres géométriques Approches fréquentielles Approches spatiales Conclusions et perspectives
Transformations géométriques
Un vecteur v de R3 est représenté par le quaternion pur q ou le 1-vecteur m
35
v1
v2
vproj
vrefl
vrej Algèbres géométriquesRéflexion :
Projection :
Réjection :
QuaternionsRéflexion :
Projection :
Réjection :
Transformations géométriques
Un vecteur v de R3 est représenté par le quaternion pur q ou le 1-vecteur m
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Algèbres géométriquesTranslation :
Rotation :
QuaternionsTranslation :
Rotation :
v1
v2
vt
d2
d1
v
θ/2
vrot
d
d1 Λ d2
θ
Quaternions - transformations couleur
37
µ = µgris : axe des niveaux de grisν : vecteur de référence pour T = 0°
Teinte : T, Saturation : S, et Luminosité : L
Teinte : T
Saturation : S
Luminosité : L
µq
ν
G3 - transformations couleur
38
Teinte : T
Saturation : S
Luminosité : L
µm
ν
µ = µgris : axe des niveaux de grisν : vecteur de référence pour T = 0°
Teinte : T, Saturation : S, et Luminosité : L
G3 - transformations couleur
39
Teinte : T
Saturation : S
Luminosité : L
µm
ν
µ = µgris : axe des niveaux de grisν : vecteur de référence pour T = 0°
Teinte : T, Saturation : S, et Luminosité : L
G3 - transformations couleur
Passage de RVB vers TLS Permet d’effectuer des transformations
couleur de base sur des images.
40
G3 - transformations couleur
41
Modification de teinte
μ
mm’
m┴
ν
Tθ
avant après
G3 - transformations couleur
42
Modification de saturation
μ
m m’
m┴
ν
avant après
G3 - transformations couleur
43
Modification de luminosité
μ
αμ
m
m’avant après
Approches spatiales
Traitement des images couleur par filtrage spatial
44
q2
Détection de contours
Approche Sangwine : filtrage de Prewitt sur l’image par convolution
Q = e µπ/2 = µ µ = µgris
45
Les deux vecteurs q1 et q2 (resp. q3 et q4) sont éloignés (resp. proches) du point de vue colorimétrique, la somme obtenue (vecteurs oranges) aura une forte (resp. faible) saturation.
µq1µq1
µq3µ
q2 + µq1µ
q4
µq4 + µq3µ
q3
46
Détection de contours [Sangwine]
Inconvénient : résultats différents suivant le sens d’application du filtre
Image d’origine Image filtrée
Détection de contours
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Détecteur de Sangwine généralisé
Calcul distance vecteur couleur résultat / μ (S1 et S2)
Résultat : gradient quaternionique vectoriel
Approche proposée (quaternions) :
Détection de contours
Inconvénient : non détection des contours achromatiques car approche basée sur différence de saturation
48
Détection de contours
Inconvénient : non détection des contours achromatiques car approche basée sur différence de saturation
49
Détection de contours
Approche généralisée à G3
Amélioration avec produit géométrique :
50
Détection de contours
Norme de la partie bivectorielle
51
Détection de contours
Partie scalaire
52
Détection de contours
Filtrage de Prewitt sur partie scalaire Pondération par la norme de la partie
bivectorielle
53
Bilan de détection de contours
Résumé de la méthode :– Produit géométrique de chaque pixel avec μgris
– Calcul de la norme de la partie bivectorielle– Filtrage de Prewitt sur partie scalaire– Pondération par la norme de la partie bivectorielle– Combinaison avec le gradient de saturation
54
Détection de contours
Résultats
55
Détection de contours
comparaison
56
(a) Image originale
(b) Méthode marginale
(c) Di Zenzo
(d) Carron
(e) Depuis gradient de saturation quaternionique
(f) Depuis gradient géométrique proposé
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Plan
Problématique Définitions et généralités sur les quaternions
et algèbres géométriques Approches fréquentielles Approches spatiales Conclusions et perspectives
Conclusions
Caractérisation fréquentielle– Quaternion : TFQ
– Influence spectrale Partie réelle : variations suivant direction μ Parties imaginaires : variations indépendantes
de μ
– AG : TFC G2 incompatibilité avec besoins couleur G3 équivalent traitement marginal
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Conclusions
Caractérisation spatiale– Opérations entre espace RVB et représentation
Teinte, Saturation et Luminosité– Transformation de base des images couleur– Définition d’un schéma de filtrage
Basé sur distance de saturation avec quaternions Amélioré avec propriétés du produit géométrique des
AG
59
Perspectives
Association AG et images couleur débutant donc nombreuses perspectives :– Filtrage spatial avec produit géométrique
– union, intersection : détection de mouvements, morphologie mathématique couleur ;
– extension dimension supérieures,…
60
f1[m,n] f2[m,n]
f2[m,n]
f1[m,n]
f1[m,n] f2[m,n]