Post on 03-Apr-2015
1
Primitives - Primitives - IntégrationIntégration
2
La notion de PrimitiveLa notion de Primitive
Définition :
F(x) est une primitive de f (x) si F ’(x) = f (x)
Donc F(x) + Cste est aussi une primitive.
Dériver
Intégrerf
(x)f ’ (x)
Notation :
L’ensemble des primitives de f est noté
( )f x dx
3
La notion de PrimitiveLa notion de Primitive
x2
ln (x)
exp (x)
2x
1 / x
exp (x)
Dériver
Intégrerf
(x)f ’ (x)
Formulaire dans MathSV et dans le fascicule Jaune
4
Un premier Un premier exempleexemple
En médecineEn médecine
Quantité de médicament dans le Quantité de médicament dans le sang au temps sang au temps tt, après une injection , après une injection
par voie intraveineuse par voie intraveineuse
5
Un modèle exponentielUn modèle exponentiel
0.13 tf t e
6
Questions :Questions :
QMS = Quantité de médicament dans le QMS = Quantité de médicament dans le sang (h.mg/l)sang (h.mg/l)
Q1Q1 : QMS dans les 10 heures qui suivent : QMS dans les 10 heures qui suivent l’injection ?l’injection ?
Q2Q2 : QMS : QMS moyennemoyenne par heure pendant les par heure pendant les 10 heures qui suivent l’injection ?10 heures qui suivent l’injection ?
7
10
0
f t dt
Q1 :Q1 : QMS sur les 10 premières QMS sur les 10 premières heuresheures
8
Q2 :Q2 : QMS QMS moyennemoyenne par heure par heure
10
0
1
10 f t dt
9
La notion d’intégraleLa notion d’intégrale
« La somme de a à b de est égale à la
différence entre la primitive de f au point b et la
primitive de f au point a »
f x dx
b
b
aa
F b F a f x dx F x
10
Interprétation géométriqueInterprétation géométrique
ff est définie sur [a ; est définie sur [a ; b]b]
ff admet une admet une primitiveprimitive
a b
A
11
Interprétation géométriqueInterprétation géométrique
n petits intervallesn petits intervalles xx = = xxii – – xxi+1i+1
xx = ( = (b – ab – a) /) / n n
f (xi) x
f (xi+1) x
12
Interprétation géométriqueInterprétation géométrique
+-A <A<A
b
a
f x dxA
C’est une notation
13
PropriétésPropriétés
a b
b a
f x dx f x dx 0a
a
f x dx
0 0b
a
f x f x dx
b b
a a
f x g x f x dx g x dx
Relation de CHASLES : b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
ATTENTION au signe
14
ExempleExemple
10 10
0 0
5
5
f t dt f t dt f t dt
1
2
15
Valeur moyenneValeur moyenne
1 b
a
f x dxb a
16
0
paire 2a a
a
f f x dx f x dx
impaire 0a
a
f f x dx
Autres propriétésAutres propriétés
17
Aire d’un domaineAire d’un domaine 2 2, / 0 1 et D x y x x y x
18
Méthodes de Méthodes de calculcalcul
Décomposition en sommeDécomposition en somme
Changement de variablesChangement de variables
Décomposition en éléments Décomposition en éléments simples Intégration par partiesimples Intégration par partie
19
Décomposition en sommeDécomposition en somme
b b b
a a a
f g x dx f x dx g x dx
b b b
a a a
f g x dx f x dx g x dx
Changement de variablesChangement de variables
b b
a a
f x dx f t t dt
20
Intégration par partieIntégration par partie
21
Un autre exempleUn autre exemple
La population du BotswanaLa population du Botswana
22
Un exemple en Un exemple en DémographieDémographie
0.02910.7835 tP t e
24 ans
0
0.4
0.0128 millions d'hab. / an
a t dt
a
23
Un dernier Un dernier exempleexemple
La probabilité de rencontre La probabilité de rencontre entre deux individus d’une entre deux individus d’une
même espècemême espèce
24
Probabilité de se rencontrer Probabilité de se rencontrer au temps au temps tt
1
12
tf t t e
25
Probabilité de se rencontrer Probabilité de se rencontrer entre entre tt11 et et tt22
t1
t2
2
1
t
t
p f t dt
26
0
?f t dt
27
0
1f t dt
28
Prochain RDVProchain RDVLundi 27/09 à 16hLundi 27/09 à 16h
Les équations différentiellesLes équations différentielles
TD du lundi : Problèmes A-2, A-4, A-TD du lundi : Problèmes A-2, A-4, A-5, B-35, B-3
TD du vendredi : Série 2 + TD du vendredi : Série 2 + EVALEVAL