Fonction partie entière

Rôle des paramètres

f(x) = a [ b (x – h) ] + k

Remarque : Tu devrais visionner la présentation « Fonction en escalier.ppt »

avant de visionner celle-ci.

La fonction partie entière est un type de fonction en escalier.

Ce qui la distingue, c’est sa régularité.

Impôt fédéral

Les marches ont toutes la même longueur.

Les marches ont des longueurs

différentes.

Fonction partie entière Fonction en escalier quelconque

La distance entre les marches est toujours

la même.

Les distances entre les marches

sont différentes.

f(x) = a [ b (x – h) ] + k

La fonction partie entière de base est représentée par f(x) = [ x ].

Les paramètres a, b, h, k vont transformer cette fonction de base.

Regardons, en premier, ce que signifie f(x) = [ x ].

Le symbole [ x ] signifie le plus grand entier inférieur ou égal à x.

Exemple : Si x = 2,25 alors [ x ] = [ 2,25 ] = 2.

Soit le plus grand entier inférieur à 2,25.

Si x = 45,99 alors [ x ] = [ 45,99 ] = 45.

2,25

0 2 1 3 … … -2 -3 -1

Si x = 489,23 alors [ x ] = [ 489,23 ] = 489.

Le plus grand

entier inférieur.

Si x = 26 alors [ x ] = [ 26 ] = 26.

Le symbole [ x ] signifie le plus grand entier inférieur ou égal à x.

Attention : Si x = - 2,25 alors [ x ] = [ - 2,25 ] = - 3

Soit le plus grand entier inférieur à - 2,25.

Si x = - 78,1 alors [ x ] = [ - 78,1 ] = - 79.

- 2,25

Le plus grand

entier inférieur.

0 2 1 3 … … -2 -3 -1

… … - 78 - 79 - 77

- 78,1

Le plus grand

entier inférieur.

La fonction partie entière sert à représenter certaines situations dans lesquelles

la variable dépendante ne varie pas alors que la variable indépendante varie.

Prenons comme exemple ton âge.

À ton dernier anniversaire, tu as eu 15 ans.

À 15 ans et 1 mois, tu as encore 15 ans.

À 15 ans et 3 mois, tu as encore 15 ans.

À 15 ans et 6 mois, tu as encore 15 ans.

À 15 ans et 9 mois, tu as encore 15 ans.

tu auras 16 ans.

Durant toute l’année, on ne retient que la partie entière de ton âge, soit 15

ans.

Variable indépendante Variable dépendante

À 15 ans et 12 mois,

soit à ton prochain

anniversaire,

Chaque trait vertical représente 1 mois.

Représentons par un graphique l’âge d’un enfant.

Années depuis

la naissance

Âge

Âge d’un enfant

0 1 2 3 4 5 6

1

4

2

3

5

6

7

Durant toute la première année, l’âge est de 0 an. x varie, mais y ne varie pas,

Durant toute la deuxième année, l’âge est de 1 an. x varie, mais y ne varie pas,

Ainsi de suite.

Le modèle théorique de la fonction partie entière de base est : f(x) = [ x ]

1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-1

-2

-3

-4

-5

5

4

3

2

1

- La longueur des marches est

de 1 unité.

- Les intervalles de valeurs

de la variable indépendante

sont fermés à gauche,

ce qui signifie que la première

valeur de l’intervalle est incluse.

: [ 0 , 1 [ Exemple :

- La distance entre les marches est

de 1 unité.

La fonction f , partie entière de x , qui associe à chaque nombre réel x le

plus grand entier inférieur ou égal à x est définie par f(x) = [ x ] ;

dom f = IR et ima f = Z.

- L’ordonnée à l’origine est 0.

- Les abscisses à l’origine sont dans

l’intervalle [ 0 , 1 [ .

Soit la partie entière seulement.

{ … -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … }

Caractéristiques :

x

y

La fonction partie entière de base est f(x) = [ x ] .

Les paramètres a, b, h, k transforment cette fonction de base.

On obtient alors f(x) = a [ b (x – h) ] + k

Regardons le rôle joué par chacun de ces paramètres.

Pour bien comprendre ces rôles, utilisons une table de valeurs restreinte et le

graphique qui lui est associé.

Forme canonique.

-2 -1,1 -1 -0,1 0 0,9 1 1,9 2

-2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2

x

f(x) = [ x ]

x

y

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

x

y

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

Pour mieux comprendre le rôle de chaque paramètre, neutralisons les autres.

f(x) = a [ b (x – h) ] + k b = 1, h = 0 et k = 0

Le paramètre a :

Fonction de base.

f(x) = a [ 1 (x – 0) ] + 0 f(x) = a [ x ]

-2

-2

-1,1

-2

-1

-1

-0,1

-1

0

0

0,9

0

1

1

1,9

1

2

2

-2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2

x

f(x) = [ x ]

f(x) = 1 [ x ]

f(x) = 1 [ x ]

f(x) = 1 [ x ] f(x) = [ x ]

f(x) = - 1 [ x ]

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

x

y

Fonction croissante.

Fonction décroissante. Réflexion par rapport à

l’axe des x .

x

y

-2

2

-1,1

2

-1

1

-0,1

1

0

0

0,9

0

1

-1

1,9

-1

2

-2

-2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2

x

f(x) = [ x ]

f(x) = - 1 [ x ]

f(x) = 1 [ x ]

x

y

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

x

f(x) = [ x ]

x

y

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

a > 1

Étirement vertical.

La distance verticale

entre les marches

augmente.

0 < a < 1

Compression verticale.

La distance verticale

entre les marches

diminue.

…

…

-1

-2

-0,1

-2

0

0

0,9

0

1

2

1,9

2

…

…

… -1 -1 0 0 1 1 …

f(x) = 2 [ x ]

-2

-1

-1,1

-1

-1

-0,5

-0,1

-0,5

0

0

0,9

0

1

0,5

1,9

0,5

-2 -2 -1 -1 0 0 1 1

x

f(x) = [ x ]

…

…

…

f(x) = 0,5 [ x ]

x

y

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

Pour mieux comprendre le rôle de chaque paramètre, neutralisons les autres.

f(x) = a [ b (x – h) ] + k a = 1, h = 0 et k = 0

Le paramètre b :

Fonction de base.

f(x) = 1 [ b (x – 0) ] + 0 f(x) = [ b x ]

[ -2 ] [ -1,1 ] [ -1 ] [ -0,1 ] [ 0 ] [ 0,9 ] [ 1 ] [ 1,9 ] [ 2 ] f(x) = [ 1 x ]

f(x) = [ 1 x ]

x -2 -1,1 -1 -0,1 0 0,9 1 1,9 2

-2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2

f(x) = [ b x ]

f(x) = [ 1 x ] f(x) = [ x ]

[ 2 ] [ 1,9 ] [ 1 ] [ 0,9 ] [ 0 ] [ -0,1 ] [ -1 ] [ -1,1 ] [ -2 ] f(x) = [ -1 x ]

f(x) = [ -1 x ]

x -2 -1,9 -1 -0,9 0 0,1 1 1,1 2

2 1 1 0 0 -1 -1 -2 -2

x

y

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

f(x) = [ - b x ]

Fonction décroissante. Réflexion par rapport à

l’axe des y.

Fonction croissante.

b > 0

b < 0

x

y

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

f(x) = [ 1 x ]

b > 1

0 < b < 1

Compression

horizontale.

La longueur des

marches (intervalles)

diminue.

Étirement

horizontal.

La longueur des

marches (intervalles)

augmente.

[ -2 ] [ -1,2 ] [ -1 ] [ -0,2 ] [ 0 ] [ 0,8 ] [ 1 ] [ 1,8 ] [ 2 ] f(x) = [ 2 x ]

f(x) = [ 2 x ]

x -1 -0,6 -0,5 -0,1 0 0,4 0,5 0,9 1

-2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2

x

y

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

[ -1 ] [ -0,5 ] [ -0,05 ] [ 0 ] [ 0,5 ] [ 0,95 ] [ 1 ] [ 1,25 ] [ 1,5 ] f(x) = [ 0,5 x ]

f(x) = [ 0,5 x ]

x -2 -1 -0,1 0 1 1,9 2 2,5 3

-1 -1 -1 0 0 0 1 1 1

x

y

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

x

y

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

Pour mieux comprendre le rôle de chaque paramètre, neutralisons les autres.

f(x) = a [ b (x – h) ] + k a = 1, b = 1 et k = 0

Le paramètre h :

f(x) = [ x – h ]

-1

[ -2 ]

Translation horizontale

vers la droite.

f(x) = 1 [ 1 (x – h) ] + 0 f(x) = [ (x – h) ] f(x) = [ x – h ]

x

f(x) = [ x – 1 ]

f(x) = [ x – 1 ] -2

-0,1

[ -1,1 ]

-2

0

[ -1 ]

-1

0,9

[ -0,1 ]

-1

1

[ 0 ]

0

1,9

[ 0,9 ]

0

2

[ 1 ]

1

2,9

[ 1,9 ]

1

3

[ 2 ]

2

x

y

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

f(x) = [ x + 1 ]

f(x) = [ x – h ]

Translation horizontale

vers la gauche.

h = - 1

2

[ -2 ]

-3

-2

[ -1,1 ]

-2,1

-2

[ -1 ]

-2

-1

[ -0,1 ]

-1,1

-1

[ 0 ]

-1

0

[ 0,9 ]

-0,1

0

[ 1 ]

0

1

[ 1,9 ]

0,9

1

[ 2 ]

1 x

f(x) = [ x + 1 ]

-2

-2

-1

-2

-1,1

-1

-1

-1

0

-1

-0,1

0

0

0

1

0

0,9

1

1

1

2

1

1,9

2

f(x) = [ x ]

f(x) = [ x ] + 1

x

y

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

Pour mieux comprendre le rôle de chaque paramètre, neutralisons les autres.

f(x) = a [ b (x – h) ] + k a = 1, b = 1 et h = 0

Le paramètre k :

f(x) = [ x ] + k

Translation verticale

vers le haut.

f(x) = 1 [ 1 (x – 0) ] + k f(x) = [ x ] + k

x

…

…

…

f(x) = [ x ] + k

Translation verticale

vers le bas.

…

-1

-1

-2

-1

-0,1

-2

0

0

-1

0

0,9

-1

1

1

0

1

1,9

0

2

2

1

2

2,9

1

…

…

f(x) = [ x ]

f(x) = [ x ] - 1

x

x

y

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

k = -1

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

f(x) = a [ x ] f(x) = a [ x ] f(x) = a [ x ]

f(x) = a [ x ] f(x) = a [ x ] f(x) = a [ x ]

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

En résumé :

a > 1 0 < a < 1 a = 1

a < -1 -1 < a < 0

Le paramètre a

a = -1

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

f(x) = [ b x ]

f(x) = [ b x ] f(x) = [ b x ]

f(x) = [ b x ] f(x) = [ b x ] f(x) = [ b x ]

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

b > 1 0 < b < 1 b = 1

b < -1 -1 < b < 0

En résumé : Le paramètre b

b = -1

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

f(x) = [ x ] f(x) = [ x ] + k f(x) = [ x ] + k

x

y

x

y

x

y

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

f(x) = [ x ] f(x) = [ x + h ] f(x) = [ x – h ]

x

y

x

y

x

y

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

h < 0 h > 0

k < 0 k > 0

En résumé : Le paramètre h

Le paramètre k

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

x

y

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

x

y

Remarque : a et b du même signe. Fonction croissante.

a et b de signes contraires.

b : négatif a : négatif

Fonction décroissante.

b : positif

b : négatif

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

x

y

a : négatif

a : positif

b : positif

1 2 -1 -2

1

2

-1

-2

x

y

a : positif

Attention

Pour interpréter correctement les paramètres d’une fonction partie entière, il faut

que celle-ci soit écrite en forme canonique.

Exemple :

f(x) = a [ b (x – h) ] + k

f(x) = 2 [ 2x – 4 ] + 1 Ce n’est pas la forme canonique.

f(x) = 2 [ 2 (x – 2) ] + 1 C’est la forme canonique.

Exemple : f(x) = 3 [ 5 - x ] - 2 Ce n’est pas la forme canonique.

C’est la forme canonique.

f(x) = 3 [ - x + 5 ] - 2

f(x) = 3 [ - ( x – 5 ) ] - 2

Simple mise en évidence.

Simple mise en évidence.

Ce n’est pas la forme canonique.

a = 2 b = 2 h = 2 k = 1

a = 3 b = -1 h = 5 k = -2

Le coefficient de x doit être +1.

Pour bien comprendre la fonction partie entière, c’est-à-dire :

- analyser les caractéristiques de la fonction;

- déterminer la règle de la fonction;

- tracer le graphique de la fonction;

- résoudre l’équation;

il faut bien saisir le rôle de chaque paramètre.