1 ère préparatoire

11èreère préparatoire préparatoire

Les Maths sont plus faciles avecLes Maths sont plus faciles avec MonsieurMonsieur

Emad SabetEmad Sabet

Tel:Tel: 01246652670124665267 – – 2492308724923087

EmadoEmado__mathsmaths@@hotmailhotmail..comcom

EmadoEmado__mathsmaths@@yahooyahoo..comcom

Maths-blog.co.ccMaths-blog.co.cc

Les ensemblesLes ensemblesUn ensemble est: un collection d`objet bien définisLes objets qui forment un ensemble sont appelés les éléments.

Expressions d`un ensemble

-il faut faire la différence entre 5 est {5}. 5 est un élément mais {5} est un ensemble.

1) Par une liste : X= {1, 2, 3, 4, 5} , Y= {a, b}

- on désigne l`ensemble par une lettre majuscule X, Y, Z, A, B,….

- écris les éléments en les séparent par une virgule 1, 2, 3, 4,……- entoure les éléments par des accolades { }-ne répètes pas l`élément. L`ensemble des chiffres de 3272 est {3, 2, 7}

- lòrdre nà pas dìmportance {3,5} = {5,3}

Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet

2) Par une propriété caractéristique :

X = {a : a est un nombre impair, 1< a <9}

Par une propriété caractéristique: X = {a : a est un nombre pair, 4 ≤ a ≤ 92}

Exemple : L`ensemble des nombres entiers compris entre 1 et 2 est

Exemple : Exprime par une liste puis par une propriété caractéristique l`ensemble des nombres pairs de 4 à 92

SolutionPar une liste : X = {4, 6, 8, 10,

…….90, 92}

3) l`ensemble vide ou phi Ø :ne contient aucun élément { }

{ } ou Ø

∩appartenances

se lit appartient à

et utilisent avec les éléments

∩ 7 {2, 7, 5}∩

∩ se lit n`appartient pas à 7 {2, 3, 5}∩

∩ ∩

se lit partie de ou inclus dans

et utilisent avec les ensembles

∩ {7} {2, 7, 5}∩

se lit n`est pas une partie de ou n`est pas inclus dans

{7} {2, 3, 5}∩∩ ∩

Ø est inclus dans n`importe quel autre ensemble.

Ø {2, 7, 5}∩ Ø {a, b}∩

Exemple :

A B se lit A inter B∩A B = les éléments communs

X Y = {x:x X et x Y}∩ ∩Si A = {1, 2, 3, 4} , B = {3, 4, 5, 6}

Alors A B = {3, 4}

Intersection : ∩

X Ø = Ø∩X Y = Y X∩ ∩

X Y ∩représente Si X = {1, 2, 3} , Y = {4, 5, 6}

alors A B =∩ Ø

Exemple :

*3 *4*6

A B se lit A union B

A B = tous les éléments de A et B

ne répètes pas les éléments

X Y = {x:x X ou x Y}

∩ ∩Si A = {3,4,6} , B = {4, 5, 6, 9}

Alors A B =

{3, 4, 6, 5, 9}

La différence ( - )X – Y = {x:x X , x Y}

X = {1,2,3} ,

alors X – Y = alors Y – X =

Complémentaire X\ , Y\

Ensemble référentiel E ou U: contient tous les éléments X\ = {x:x E , x X}

Exemple : 1 X 3

6 2 7 5

E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} , X = {2,5,6,7}

Y = {2,3,5}

{1} {5}

{1,3,4,8,9}

∩ ∩

∩ ∩Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet

Les nombres naturels N

0 et 1 ne sont pas nombres premiers

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,……}Remarques:

1) Le plus petit nombre naturel est le2) Les nombres pairs naturels sont

Le plus petit nombre pair est3) Les nombres impairs naturels sont

Le plus petit nombre impair est4)Les nombres premiers sont

Le plus petit nombre premier est

zéro{0,2,4,6,….}

zéro{1,3,5,7,…}

1{2,3,5,7,11,13,17,…}

Nombres de compte = {1,2,3,4,…..}

Les facteurs d`un nombre

alors 3 et 5 chacun est appelé un facteur de 15

Si tous les facteurs sont égaux, alors le produit est appelé Puissances

2 est appelé la base et 4 est appelé la puissance

15 = 3 × 5

par exemple : 16 = 2 × 2 × 2 × 2et on l’écrit sous la forme 16 = 24

4×4×4=64

les nombres carrés: C`est les nombres qui peuvent être représentés par des carrés

, 32 = 3×3 = 9

5×5 = 25les nombres cubes:

C`est les nombres qui peuvent être écrits par des cubes

, 23 = 2×2×2=8

12 = 1×1= 1, 22 = 2×2 = 4

4×4 = 16

13 = 1×1×1=1

3×3×3=27

42 = , 52 =

33 = , 43 =

Quel est le nombre de cubes

de la quatrième figure?

Quel est le nombre de carrés

de la cinquième figure?

133 233 333

1 8 271 4 9 16

122 222 322 422

43 3 = 64 52 2 = 25

tel que (x ≠ 0)Pour tout nombre Pour tout nombre x x ::x0 =1x0 se lit x se lit x puissance zéro. puissance zéro.

il est égal à 1il est égal à 1110 0 = = 11

, 2, 20 0 = 1= 1, 3, 30 0 = 1= 1, 4, 40 0 == , 5, 50 0 ==11 11

Le plus grand nombre négatif est

Les nombres entiers ZLes nombres entiers Z

ZZ+ + = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …….} nombres = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …….} nombres entiersentiers positifspositifs

, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ….}, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ….}

Le zéro ni positive ni négatif

ZZ- - = {-1, -2, -3, -4, -5, -6, ..….} nombres = {-1, -2, -3, -4, -5, -6, ..….} nombres entiersentiers négatifsnégatifs

ZZ =={……., {……., 00-1,-1,-2,-2,-3,-3,-4,-4,-5,-5,

ChoiChoisisi N , Z , Z+ ,

Z- N , Z , Z+ , Z- N , Z , Z+ , Z- N , Z , Z+ , Z- N , Z , Z+ , Z- N , Z , Z+ , Z- N , Z , Z+ , Z-

, Z+Z-

Z , Z-

N , Z+N , Z

N, Z , Z-

La droite numLa droite numériquerique

0 est l`origine de la droite numérique Les nombres rangements du plus petit au

plus grand de gauche à droite.

(> supérieur à)

-4 < -1

4 < 6(< inférieur à)et 5 > 2, 5 > -2

Les nombres positifs à droite le zéro

Les nombres négatifs à gauche le zéro

4) 0 ….. -5 5) -2 ..…. 7 6) 3 .…. 8

La comparaison

c) le nombre positif > le nombre négatifExercices :

1) 3 ..… 0 2) -9 ….. -2 3) 1 ….. -1

, 0 > les nombres négatifs b) le grand nombre négatif est le plus petit

a) Range dans l`ordre croissant 3 , -5 , 7 , -2 , 0 , 1

Solution :

a) 0 < les nombres positifs0 < 3

0 > -2-5

3 > -7

-5 , -2 , 0 , 1 , 3 , 7b) mets le signe convenable < , >

Les opérations dans Z : 1) L`addition et la soustraction :

a) -2 -3 = , 3 + 4 = , 5a + 2a = , 10X – X =

Si les deux nombres ont les mêmes signes on prend le même signe et on addition.

b) -5 +7 = , 3 – 9 =Si les deux nombres ont des signes différents on prend le signe du plus grand nombre et on soustrait.

c) - 4+4 = , 6 – 6 =

Si les deux nombres sont égaux et ont des signes différentsAlors le résultat est 0

d) -3+5-6+2+7-8= 14 - 17 = - 3

Si on a plusieurs des signes on addition les nombres positifs ensemble et les nombres négatifs ensemble

-5 7 7a 9X

+, –, x, ÷

Monsieur/ Emad Sabet

2) La multiplication et la division :

a) –×– = + , +×+ = + , +×– = – , –×+= –

–2 × –3 = 6 , 4 × 5 = , –3×4 = –12

5×a = 5a , -3×b = -3b , x×Y = XY

20 , 2 ×– 4= –8

b) – ÷ – = + , + ÷ + = + , + ÷ – = – , – ÷ += –

–8 ÷ –2 = 4 , 6 ÷ 3 = 2 , 6 ÷ – 2 = – 3 , –12 ÷ 6 = –2

= 0 = n`a pas de sens = a = X

c) suppression les parenthèses :

(-3) + 5 + (-12) + 8 – (-2) = - 3 + 5 -12 = 0+8 +2 = 15 -15

Si |x|= 5 alors

Le symbole| |est utilisé pour exprimer

Valeur absolue

Le nombre d’unités de 0 à 3 est égal au nombre d’unités de 0 à –3

tandis que 3 et –3 sont dans des sens opposés du nombre zéro.

|3| = 3

et |-3| = 3

x = 5 ou x = -5

la valeur absolue

a) |-5|=……b) |-6|+|4|=…..c) –[|-7|-|-1|]=……d) Si |x|= 9 alors x =….. ou ….. e) Si |C|=10 alors C=….. ou …..

Exemble

1] =-99

10 -10

-(|-5|+|-1|) =

Complète :

Simplifie:|-6|-|3| = 6 3– = 3 , -|-4|=-4

- 1)(5+ = -6

+4= 10

-[7- -6

Les nombres Rationnels Q

{ : , , 0}abQ a b Z b

Exemples : 23 ,

Z+={1,2,3,4,5,…..} ,

Z Q*= Q - {0}N Q

Un nombre rationnel peut être écrit sous la forme des nombres entierset b ≠ 0

boù a et b sont

341 , 2.3, 5, 0,......

N={0,1,2,3,4,5,6,…..},

Z={……,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,…..}

Z-={-1,-2,-3,-4,-5,……},

Z*= Z - {0}

représente les nombres rationnels sur la droite numérique

Remarques:1) Chaque nombre rationnel est représente

2) Les nombres rationnels égaux sont représentes par le même point d`une droite numérique

....... 4 3 2 1 0 1 2 3 4 ...... X

2par un point unique d`une droite graduée ;

représente les nombres rationnels suivantes sur la droite numérique

6 4 3 2 1 1 2 3 4 6

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

6 5 3 2 1 1 2 3 5 6

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

0 1X-1

3) 2.3

Remarques:

0.25 25

0, 05 0, 0

6) un nombre rationnel peut s`écrire sous une infinité de forme a a cb b c

est un nombre entier si a est divisible par b,

5) 0nb = n`a pas de sens, 3 7 0

0 0 0, , n`a pas de sens

Remarques:

Écris quatre nombres égal le nombre

3 24 2

a ca c

68 , 3 3 9

4 3 12 , 3 5 15

4 5 20 , 3 10 30

4 10 40

Formes différentes d’un nombre rationnel

Exemple 1: . .Ecris le nombre 0.581 sous la forme d`un nombre rationnel

Comparaison et ordre dans Q

c) le nombre positif > le nombre négatif

a) 0 < le nombre positif,

b) le grand nombre négatif est le plus petit <25

Range dans l`ordre croissant les nombres:

0 > le nombre négatif

L`ordre croissant

8 6 4 2 0 2 4 6

2 2 2 2 2 2 2 2

0 1-1 2 3-2-3XXXXX

On met le même dénominateurs62

l`ordre décroissant 62

Exemple1:

7 5 3 1 1 3 5

2 2 2 2 2 2 2

Exemple 2:

On met le même dénominateurs

Entre deux nombres rationnels il y a infinité des nombres Rationnels

Trouve trois nombres rationnels compris entre et

On met le même dénominateurs

On multiple x 2 Les trois nombres sont

il y a un nombre

Exemple 4:

et a x d b x c>si ab

cd>alors

1 13 2

10 10 23

4 3 39 28

12 12 11

la somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel

2 + 3 =a c

2 + 3 + 4 =

a c e a c e a c e

b d f b d f b d f

3 + 2c a

( ) 2 + 3 + 4 ( )

( ) ( )

Complète le tableau:

L`opposé de 0 est 0 ,

Le 0 ni positif ni négatif

2 5) 3 2

Exemple:

3 6 22 17

6 6 39

- X - =- 2 X -3 =

1 13 4

+ x + = + ,

- x + = - ,

+ x - = -6 , 2 x 3 = 6 , -2 x 3 = -6 , 2 x -3 = -6a c

bd;a c

b b a c

8 5 105

Le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel

2 x 3 = 3 x 2a c

2 x 3 x 4 = 2 x 3 x 4

a c e a c e a c e

b d f b d f b d f

1 1a a

2 2.....

( ) ( )

3l inverse de est 3

....... 15

2....... 0

( )a c e

2 1 3( )

4) (11 16)

3) (8 5 1)

b d a e

3 4 2 3

b d 1 3

4 2a 15 4

3; ; ;

)240(0.125 0.01)b

1000)7216( )

)2163 5d

30 2.4 1 1

240( )8 100 32.4

72161000

8 902 1000 902000

102163

10 432,6

3 1 5 3( )

2 3 6 2

3 1 5 9( )

2 3 6 6

3 1 2( )

2 3 3 3 2

( )2 9

Le terme algébrique

(1 facteur numérique ou coéfficient)(1 facteur numérique ou coéfficient)

(5 facteur numérique ou coéfficient)(5 facteur numérique ou coéfficient)

Un terme algébrique est le produit de deux facteurs au moins.Un terme algébrique est le produit de deux facteurs au moins.

2a se compose de deux facteurs 2a se compose de deux facteurs (2 facteur numérique ou coéfficient)(2 facteur numérique ou coéfficient)

- 4X- 4X2Y se compose de quatre facteursY se compose de quatre facteurs

(a facteur algébrique)(a facteur algébrique)

- 4 ,- 4 , X ,X , X ,X , YY

2a , 2a , Sont des termes algébriqueSont des termes algébrique- 4x- 4x22Y ,Y , 3ab ,3ab , X ,X , 55

X se compose de deux facteursX se compose de deux facteurs (car X = 1X)(car X = 1X)

(x facteur algébrique)(x facteur algébrique)

5 5 se compose de deux facteursse compose de deux facteurs 5X5X0(X(X0 = 1) = 1) (5 x 1 = 5)(5 x 1 = 5)

Le degré dùn termeCèst la somme des puissances des symboles Cèst la somme des puissances des symboles

Compléte le tableau :Compléte le tableau :

Termealgébrique

Coéfficient Degré

-4x4x22YYXX 2ab2ab

=5X=5X0

Zéro degré ,Zéro degré , premiere degrpremiere degréé , ,X=XX=X1

deuxideuxièème degrme degréé2a2a1b1

troisième degrtroisième degréé , , -3a-3a2bb2 quatrième degréquatrième degré

L`expression algébrique

5x+2 ,5x+2 ,Sont des expressions algébriqueSont des expressions algébrique

3a3a5b Un termeb Un terme

3X3X2 + Y deux termes + Y deux termes

5X5X3 – 7X + 4 trois termes – 7X + 4 trois termes

Une expression algébrique est la somme de deux termes au moinsUne expression algébrique est la somme de deux termes au moins

Remarques :Remarques :

plus que trois termesplus que trois termes2x2x33 + 3X + 3X2 – X + 5– X + 5

a – 4 ,a – 4 , aa2 +3a - 1 ,+3a - 1 , - 4x- 4x22Y + XYY + XY - X- X

monomemonome

binomebinome

trinometrinome

PolynomePolynome

2X2 +x – 3X – 5

X3Y3 – X2Y2 + XY – 2

4X3 – XY + 5

Le degré d`un expression est la plus grand degré des termeLe degré d`un expression

Complete le tableau :Complete le tableau :

Expression algebrique

Nombre de termes

Nom degre

2a2b+3ab2 –a2cb2

X2Y2 – 3XY4

a2b-3ab3+2a3b2+b4

trinometrinome

binomebinome

polynomepolynome

(troisieme degre)

(deuxieme degre)(premiere degre)

(sixieme degre)

Termes semblablesTermes semblables

Les terLes termes semblables ont même lettre et même puissance mes semblables ont même lettre et même puissance

2X , 4X , X , -3X

a2b, -5a2b, 3ba2

X, X2, X3

ab2, a2b, a2b2

sont des termes semblables

sont des termes semblablesne sont pas des termes semblables

ne sont pas des termes semblables

Addition et soustraction des termes semblables

Pour additionner ou soustraction des termes semblables

On additionne et soustrait les coeffitions des termes semblables

solution

Exemple 1: Reduis l`expression algebrique

9a – 4b – 2c – 5a + 7b +3c

(9a – 5a) =

Exemple 2:

Dans la figure ci-contre, donne l`expression algebrique qui exprime la somme des aires des rectangles

solutionla somme des aires des rectangles =

3X2 + 2X + 9X + 6 =

+ (– 4b +7b) + (– 2c + 3c) 4a + 3b + c

3X2 + 11X + 6

Reduis l`expressions algebrique :Exemple :

3X2Y + 4XY2 – 2Y3 + 3 + X2Y + 3Y3 - 4

solution

(3X2Y + X2Y) +

4X2Y +

(- 2Y3 + 3Y3) + (3 – 4)+ 4XY2

4XY2 + Y3 – 1

On multiple le signe x le signe lettre x lettre

Remarques:1) - X - = + ,

2) a x a = a2 ,

Multiplication des termes algebriques

5a 3b = 15ab 5X2 3X3 = 15X5 am an = am+n

Pour la multiplication, on additionne les puissances si les bases sont semblables.

X2 X3 = X5 , -2X6 -5X2 = 10X8

Exemple : Un rectangle de 4cm de longueur et 3cm de largeur calcule son aire

solution

2X3×5X2Y×(-3XY3) =

Aire du rectangle = longueur× largeur =

Trouve :

le nombre x le nombre,

+ x + = + , - x + = - , + x - = -

2 x a = 2a , a x b = ab

4X×3X = 12X2 cm2

- 30 X6 Y4

Dans La figure ci-contre

a) Aire de A = …………….

b) Aire de B = …………….

c) Aire de C = …………….

d) Aires de A + B + C = …..

e) complete: X(X+2Y) =……. + ……..

X x X =

X x Y =

a) Aire de A = …………….

b) Aire de B = …………….

c) Aire de A + B = …………….

X x X =

X(3Y-X) =

X2 = 3XY

XY+ XY = X2 +2XY

3XY –X2

+3XY–X2

Pour la division, on soustrait les puissances si les bases sont semblables.

division des termes algebriques

On diviseLettre÷lettre

Remarques:

1) - ÷ - = + ,

2) a5 ÷ a2 = a3,

Exemples

le signe÷le signe le nombre÷le nombre

+ ÷ + = + , - ÷ + = - , + ÷ - = -

-2a2 ÷ a = -2a , a2 ÷a2 = 1

5X m na

Exemple :

On met 3 boules dans une boite comme indique la figure.calcule le rapport entre le volume des 3 boules et la capacite de la boite solutionle diametre est 2r ,la longueur de la boite =

la largeur de la boite =la hauteur de la boite =Volume de la boite = L×l×h =

Le rapport =

= 1 : 2

Capacite de la boite

Volume des 3 boules

2r + 2r + 2r = 6r

6r×2r×2r = 24r3

3433 r

6 2 2r r r

34 r324r

Addition et soustraction des expressions algebriques

Exemple1: Additionne les expressions algebriques

2X – 5Z + Y

solutionMethode horizontale

2X – 5Z + Y

(2X+7X)+

Methode verticale

2X + Y – 5Z

7X + 4Y - 2Z

Exemple 2 : Determine la somme: 3X2 - 4X - 2 et - X2 - 4X+7 solution

2X23X2 - 4X - 2

+ 7X + 4Y – 2Z

(-5Z -2Z)+ (Y + 4Y)

-7Z +5Y +5Z -7Z

- X2 - 4X + 7 = - 8X + 5

et 7X + 4Y – 2Z

Exemple 3 :

soustrait l`expression -a2-5ab+4b2

solution

Soustrait :- deuxieme – (premiere)

3a2-2ab-2b2 –

3a2-2ab-2b2

= (3a2 +a2 ) +

de l`expression 3a2-2ab-2b2

(-a2-5ab+4b2)=

+ a2 + 5ab - 4b2

(-2ab + 5ab) + (-2b2 - 4b2)

+ 3ab - 6b2

Exemple 4 :

solutionQuelle est l`augmentation de X2 - 5X - 1 à

Augmentation : premiere – (deuxieme)

X2 - 5X - 1 - = X2 - 5X - 1

= - 2X2

Exemple 5 :

solution

Quelle est la diminution de

2X – 8Y - Z à

Diminution : deuxieme – (premiere)

3X – 3Y + Z + 5X

5X – 7Y – 7Z – = 5X – 7Y – 7Z

3X2 + 2X - 3

(3X2 + 2X – 3) - 3X2 - 2X + 3

- 7X + 2

3X – 3Y + Z , 2X – 4Y – 8Z ?

2X – 4Y – 8Z = – 7Y – 7Z

(2X – 8Y - Z ) – 2X + 8Y + Z

Deuxieme =

+ Y – 6Z

X (3X + 5)X (3X + 5)= = 3X3X2 +5X

2XY (3X2XY (3X2 – 2Y – 2Y2))= = 66 --

--3a (2a + 4b)3a (2a + 4b)= = -- --

Multiplication d`un terme par une expression algebrique

Puis trouve la valeur numerique pour X = -2Puis trouve la valeur numerique pour X = -2

solution

Simplifie: 3(1 - 2X) – (XSimplifie: 3(1 - 2X) – (X2 - 5X + 3) + 2X(X + 3) - 5X + 3) + 2X(X + 3)

La valeur =

XX3 YY 44 XX YY3

66 aa2 1212 abab

- 6X- 6X - X- X2 + 5X+ 5X - 3- 3+ 2X+ 2X2 + 6X+ 6X XX2 + 5X+ 5X

+ 5 + 5 ×× -2 -2 = 4 – 10 = - 6(-2)(-2)2

1) deux parenthèses de deux termes semblables et différents au signe de milieu

(X-Y)(X+Y) =

Carré du première - Carré du deuxième

X2 – Y2

(X-5)(X+5) = X2 – 25

)X + 2Y) (X – 2Y=( XX2 - -4Y4Y2

Remarque :(X-Y)(X+Y) = X2 – Y2

(X-Y)(X+Y)

X2 – Y2 =

(X-Y)2 = (X+Y)(X+Y)2 = =

2) Carré du binôme (Parenthèse a deux termes au carré)

Carré du premier terme (même signe) 1er x 2eme x 2+ carré du deuxième terme

2= = ) )33+ + XX ( ( 99

1er x 1er même signe

1er x2eme x2 2eme x2eme

++ X x X

X x 3 x 2

6X3 x 3

Trouve le produit :

(2X+5)2 = 4X2 + 20X+ 25

(3X-4Y)2

=9X2 -24XY+ 16Y2

X2 X2– 2XY + Y2 + 2XY + Y2

a) Aire de A + Aire de D =………...+ ……………

b) Aire de B + Aire de C = …..…..+ ………...

c) Aire du carre = …………….

XY XY = 2XY

A+B+C+D =

(X+Y)(X+Y) = X2(X+Y)2 =

+XY+XY+Y2 = +2XY +Y2

+2XY +Y2

3) deux parenthèses de deux termes différents

1er x1er (produis des moyens + produis des extrême) +2ème x 2ème

= = ))55 ))2X-2X- ( (22 + +3X3X)) 6X6X2 - 10- 10- 11X- 11X

4X-15X-11X-11X

= = ) )22+ + XX ) ( ) (44 + +2X2X ( ( 2X2X2 +8+8+8X+8X

4X4X8X8X

(X+1)(X+2) =X2+3X+2

(X-2)(X-3)

=X2 - 5X +6

(2X-3)(X+5)

=2X2 +7X-15

Complete :

(3X+2)(2X+5) = ……….. + ….….. + ……… + ……..

= …….. + …….. + …….

3X x 2X

= …….. + …... + ….... + ……..

3X x 5 2 x 2X 2 x 5

6X2 15X 4X 10

6X2 19X 10

Le produit des 3X+2 et 2X+5 represente l`aire du rectangle:

Compléte:a) (3X+2)(X+7) =a) (3X+2)(X+7) =

b) (3X-2)(X-7) =b) (3X-2)(X-7) =

c) (3X-2)(X+7) =c) (3X-2)(X+7) =

d) (3X+2)(X-7) =d) (3X+2)(X-7) =

e) (X+5Y)(X-5Y) =e) (X+5Y)(X-5Y) =

f) (X-4)(X+4) =f) (X-4)(X+4) =

g) (2X+Y)g) (2X+Y)2 ==

h) (2X-Y)h) (2X-Y)2 ==

Determine l`aire de la partie hachurée

Aire grand rectangle (5X+Y)(3X+Y) =

Aire petit rectangle Y(2X+Y) =

L`aire de la partie hachurée =

15X2 +8XY+Y2 -2XY -Y2 = 15X2 +6XY

2XY+Y2

15X2 +8XY+Y2

3X2 +23X+14

3X2 - 23XY+14

3X2 +19XY-14

3X2 -19XY-14

X2 -25Y2

X2 -16

4X2 +4XY+Y2

4X2 - 4XY+Y2

(5X+Y)(3X+Y) – Y(2X+Y) =

a) Aire de A = …………….

b) Aire de D + Aire de C = ……… + ..…….

c) Aire de B + Aire de C + Aire de D =

………..…+ ……….…… +………….

(X-Y)(X-Y)=

Y(X-Y)Y2

=Y2 +XY = XY

XY XY-Y2 Y2 = 2XY

(X-Y)2 = ……...……..X2 - 2XY+Y2

X2 +Y2 = (X-Y)2 + ……..2XY

(X-Y)2 = X2-2XY+Y2

Produit de deux expressions

(X+3)(X2+X+1) =La methode horizontale :La methode horizontale :(X+3)(X2+X+1) = X(X2+X+1) +3(X2+X+1)

= X3 + X2 + X + 3X2 + 3X + 3 = X3

La methode verticale :La methode verticale :X2 + X + 1

+ 4X2 + 4X + 3

+ X2 + X

+ 3X + 3

+ 4X2 + 4X + 3

On divise chaque terme par ce terme1) X2 + 2XY

X+ 2XY

X= 2YX +

2) 2ab + 6ac + 12ad2a

= 2ab 2a

+6ac2a

= 3cb ++12ad2a

X2 + 14X7X

= X2 7X

+ 14X7X

= 2X +7

4) (X2 + X) ÷ X =

5) (15a + 5) ÷ 5 =

6) (15X4 + 5X3) ÷ 5X3 =

+ 1+ 1

=b+ 3C+ 6d

Factorisation par le PGCDOn trouve le PGCD et divise chaque terme par le PGCD

Exemple 1: Factorise 3X2Y3 – 9X3Y4 + 12X3Y2

solutionLe PGCD estOn divise chaque terme par le PGCDOn divise chaque terme par le PGCD

3X2Y3 – 9X3Y4 + 12X3Y2 = 3X2Y2 (

Exemple 2: Factorise 3a(4a + 5b) – 2b(4a + 5b)solution

Le PGCD est (4a + 5b)

3a(4a + 5b) – 2b(4a + 5b) =

3) 21X3) 21X2YY3ZZ2 – 14X – 14X3YY2 + 7XY = + 7XY = 7XY7XY

X2 Y23

Y - 3XY2 + 4X)

(4a + 5b)( 3a – 2b)

(3XY(3XY2ZZ2 – – 2X2X2YY + 1)+ 1)

Multiplication répètee : an Puissance

baseanSe lit a puissance n

, (5a) 0 = 1

(- a)n +

-Si n est un nombre pair

Si n est un nombre impair

(-2)4 = 24

(-2)5 = -25 =

Dans la multiplication on additionne les puissances d`une même base.

a m - n 24

Dans la division on soustrait les puissances d`une même base

53 – 52 =

25 = 2×2×2×2×2=32

a0 = 1 tel que a ≠ 0 , 50=1 , 20=1 , 5a0 =5×1 =5

-32Remarques :

a) am × an = , 23 × 22 =am+n 25

c) a m + an dans l`addition et la soustraction on calcule chaque terme.

125 , 23 + 24 =– 25 = 100 8 16+ = 24Monsieur/ Emad Sabet

2001 2002 2003 2004 2005

Vaches

Buffes

Moutons

Chevres

Chameaux

Annees

StatistiquesLecture et analyse des donnees Diagramme en batons

Le tableau ci-contre représente le nombre de quelques animaux en Egypte pour la période de 2001 à 2005 Les nombres sont en milliers

On utilise des diagrammes pour éclairer les données pour les analyser facilement

On trace deux axes perpendiculaires

sur làxe vertical on représente le type dànimaux et les années sur làxe horizontal.

Pièces plantées des produits de l`hiver

Type 2001 2002 2003 2004 2005

Total 6286 6479 6571 6482 6607

Pièces plantPièces plantééeses

Années

Distribution des touristes selon leur nationalité de 2002 à 2006

Nationalité 2002 2003 2004 2005 2006

Américains 171 188 257 298 340

% 3.3%

Arabe 1128 1322 1496 1703 1922

% 21.7%

Européens 3584 4204 5920 6120 6260

AutresNationalités

309 331 431 487 561

Total 5192

% 100 100 100 100 100

a) Calcule le nombre des touristes de 2002 à 2006

2003 =188+1322+4204+331=6045

6045 8104 8608

Le tableau ci-contre indique le nombreDe touristes en milliers qui ont visité l`Egypte pendant 5 années

b) Donne les pourcentages à un dixième prés de 2002 à 2006

Le pourcentage est calculé comme suit :

nombre x 100 total

Américains 2003 = 188 x100 = 6045

Arabe 2003 = 1322 x100 =

6045 Européens 2003 = 4204 x100 = 6045

Autres Nationalités 2003 =331 x100 =

Secteurs circulaires

21.9 %

Distribution des touristes selon leur nationalité de 2002 à 2006

Nationalité 2002 2003 2004 2005 2006

Américains 171 188 257 298 340

% 3.3%

Arabe 1128 1322 1496 1703 1922

% 21.7%

Européens 3584 4204 5920 6120 6260

AutresNationalités

309 331 431 487 561

Total 5192

% 100 100 100 100 100

6045 8104 8608 9083

c) Transforme les pourcentages à la mesure d`un angle d`un secteur circulaire

La mesure d`angle est calculé comme suit

360 x pourcentage 100

360 x 3.3 100

L`angle des Américains 2002 =

360 x 21.7 100

L`angle d` Arabe 2002 =

360 x 69 100

L`angle des Européens 2002 =

L`angle des Autres Nationalités 2002 =

360 x 6 100

=11.88 = 120

=78.12 = 780

= 248.4 = 2480

=21.6 = 220

Européens2003

Arabe2003

NationalitésAutres

Nationalités 2003

69.5 % 22% pourcentage

Américains2003

Solution

d) Represente le tableau par des secteurs circulaires

Arabe 22 %

2500790 Angle 200110

Européens 69.5%

Representation des donnéesLe Mode :

Le tableau d`effectifs suivant indique les poids des élèves

Poids (kg) 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

Nombre d`élèves

1 2 2 4 6 7 4 5 3 2 2 1 1

1) Quel est le poids le plus répandu?2) Quel est le nombre d`d`élèves qui ont le poids le plus répandu?

est la valeur que l`on trouve le plus dans une distribution.

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

876543210

élèves

Les poids d`d`élèves

Solution1) le poids le plus répandu est 35 kg

2) le nombre d`d`élèves qui ont le poids le plus répandu est 7 élèves

Le mode de 5, 6, 10, 13, 17, 17, 22 est..... a)22 b)13 c)19

Pour déterminer la médiane :1) on range les valeurs dans l`ordre croissant ou décroissant

2) si les nombres impairs on prend la valeur médiane n + 1 2

25, 32, 40, 48, 50, 52, 58La médiane est

3) si les nombres pairs on prend la demi-somme des deux valeurs n n 2 2

2, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12 6 + 7 = 2

Médiane

Dans les groupes de 9 élèves la taille médiane sera la 5ème

Dans les groupes de 10 élèves la taille médiane sera la moitié de la somme de la 5ème et 6ème

161 + 162 = 2

La médiane est 13 2

Taille médiane = 323 = 2

161.5 cm

La moyenne = la somme de valeurs ÷ le nombre de valeurs

Calcule la moyenne de 6, 4, 1, 3, 7 la moyenne = 6 + 4 + 1 + 3 + 7 + 95

La moyenne 19.1 + 18.3 + 23 + 23.84

= 84.2 4

= 21.05 ==

Trouve la moyenne arithmétique des températures maximales en Janvier

Moyenne arithmétique

JanvierLe Caire Alexandrie Louxor Assouan

Max Min Max Min Max Min Max Min

19.1 8.6 18.3 9.3 23 5.4 23.8 8

choisis

1 (Le mode de 5, 6, 15, 5, 10, 13, 15, 15, 22 est.....

1) 22 2) 13 3) 5

2 (La moyenne de 5, 6, 10, 4, 3, 2 est.....

1) 30 2) 6

3 (La médiane de 5, 6, 10, 3, 2 est.....

2) 3 3) 10 4) 6

L`ordre: 2, 3, 5, 6, 10

3 (La médiane de 5, 6, 4, 10, 3, 2 est.....

L`ordre: 2, 3, 4, 5, 6, 10

5 + 6 + 10 + 4 + 3 + 26

3) 5 4) 10

4 + 52

3) 5 4) 62) 4.5

Un segment est un ensemble formé d’une succession de points reliant deux points.

les deux points sont appeléés les extréémites du segment

Le segment est notéé AB ou BA

1) Le segment

Nous éécrirons: la logueur de AB = 6cm

AB = 6 cmou

Notions géométriques

2) La droite: 2) La droite:

Une droite est formée d’une succession de points reliant deux points définis ou non définis (a une infinité de points)

A B C A B C

il existe une seule droite passant par deux points.

La droite est notée AB = BA = AC = BD = AD = L

une droite notune droite noté par deux points par deux points quelconques qui lui appartiennent.quelconques qui lui appartiennent.

3) La demi droite3) La demi droiteUne demi-droite est une partie de la droite

Une demi-droite noté par le point origine et n`importe quel autre point qui lui appartient

A B C A B C

La demi - droite est noté AB = AC = AD

Remarques:

AB AB AB∩ ∩

4) L`angle 4) L`angle Un angle c’est la réunion de deux demi-droites de même origine.

et les deux demi-droites

L’origine (A) est appelée le sommet de l’angle AB AB

AB ACsont appelées les côtés de l’angle.

Bissectrice d’un angle

Si AD est la bissectrice de ∠BACAlors, A

m (∠ BAD) = m (∠ CAD)

Nature des angles

2) Angle droit :

sa mesure est égale à 900

00 < mesure de l’angle aigu < 900

3) Angle aigu:

900 < mesure de l’angle obtus < 1800

4) Angle obtus :

sa mesure est égale à 0

1) Angle nul :

ses côtés sont confondus

sa mesure est égale à 1800 et ses côtés forment une droite

5) Angle plat :

A,B,C sont alignes

1800 < mesure de l’angle rentrant < 3600

6) Angle rentrant :

Trouve l`angle rentrant de l`angle 1500

360 – 150 = 2100

150210

relations entre les angles relations entre les angles Deux angles sont adjacents: s’ils ont le même sommet et un côté commun. et les deux autres côtés situés de part et d’autre du côté commun

et ont même sommet AAD est côté commun

les côtés AB , AC situés de part et d’autre du côté commun ADAlors les angles BAD et CAD sont adjacents

1) Angles adjacents:

2) Angles complémentairesDeux angles sont complémentaires: si la somme de leurs mesures est égale à 900

Trouve les complémentaires des angles de mesures 400 , 600 Le complémentaire de 40 estLe complémentaire de 60 est3) Angles supplémentairesDeux angles sont supplémentaires: si la somme de leurs mesures est égale à 1800Trouve les supplémentaires des angles de mesures 400 , 600 Le supplémentaire de 40 estLe supplémentaire de 60 est

90 – 40 = 500

90 – 60 = 300

180 – 40 = 1400

180 – 60 = 1200

1) Deux angles adjacents formés par l’intersection de demi-droite et une droite………….

Remarques

BAD = 700 CAD

=Alors m

CAE = m

2) Si Deux angles adjacents sont supplémentaires alors……..

7001100Si m( BAD) + m( CAD) = 180∠ ∠ 0

Alors AB ACet sont alignes

sont supplémentaires

180 – 70 = 1100

180 – (40+90) = 180 – 130 = 500

(les deux demi-droite sont alignes)

Angles opposés par le sommet

Si deux droites sont sécantes alors

Les angles opposés par le sommet

ont la même mesure.m ( AMD) = m ( CMB) , ∠ ∠

m ( AMC) = m ( DMB)∠ ∠

Exemple: dans la figure ci contre

Si m( AMC) = ∠ 500

Alors : m ( AMC) = m ( DMB) = ∠ ∠ 500

m( AMD) = m ( CMB) =∠ ∠ 180 – 50 = 1300

Angles formés autour d’un pointLa somme des mesures des angles formés autour

d’un point est égale

CAE = 1300

CAD = 1000

, m DAB = 700

m BAE =

1000700

360 – ( 110 + 30 + 90) =

m( CAE) = ∠

360 – ( 130 + 100 + 70) = 360 – 300 = 600

360 – 230 =

Exercices

400500

1) m( BAD) =∠

2) m( DAE) = ∠E

1800 - (50 + 400 ) =

180 – 90 = 900

F3) m( BAD) = m( DAE) = m( EAF) = m( FAC) = .… ∠ ∠ ∠ ∠

= 180 ÷ 4 =

1800 - 120 = 600

4) AB ∩ CD = {M}est la bissectrice de l`angle AMCME

m( BMC) = ∠ 1160

Trouve: m( AMC) ,∠ m( AMD) ,∠ m( AME)∠

m( AMC) =∠ 180 – 116 =

m( AMD) = ∠ m( CMB) =∠

m( AME) =∠ m( CME) =∠ 64 ÷ 2 =

Solution

1300500

Complète:

2) ……. , ……. Sont alignes

1) m( BMD) = ……..∠ 360 – ( 75 + 130 + 50) = 1050

Constructions géométriques1) Construction la bissectrice d’un angle

BD est la bissectrice de

2) Construction la perpendiculaire à une droite

d’un point à l’extérieur d’elle.

AD ┴ BC

3) Construction la médiatrice d`un segment

la médiatrice: c`est la droite perpendiculaire à un segment passe par le milieu

D AD = DB

CD ┴ ABCD est la médiatrice

de AB Suivant précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet

4) Construction un angle égale un autre angle

1) les côtés correspondants ont même longueur

SuperpositionSuperposition

Les polygones ARBEK et OHCEK sont superposables

Complète :CH =......, EK =......

HO =......, EC =......

KO =......,

m ( C) = m ( ......) ∠ ∠

m ( H) = m ( ......) ,∠ ∠

m ( O) = m ( ......)∠ ∠

Deux polygones sont superposables si :

2) les angles correspondants ont même mesure

commun

m ( OKE) = m ( ......)∠ ∠

KE côté……….….aux polygones

m ( KEC) = m ( ......)∠ ∠

Superposition des trianglesUn triangle a 6 éléments, 3 côtés et 3 angles

Le symbole___est utilisé pour la superposition qui se lit superposable à

Deux triangles ayant deux côtés respectifs de même longueur et l’angle compris entre ces côtés de même mesure, sont superposables.

Dans le et le

ABC DHEAB = DHAC = DE

m ( A) = m ( D)∠ ∠

ABCdonc ___ DHE et

BC = HE , m ( B) = m ( H) , ∠ ∠ m ( C) = m ( E)∠ ∠

Premier cas de superposition de deux triangles

Deux triangles ayant un côté de même longueur et deux angles Respectifs de même mesure, sont superposables.

Dans le et le

ABC DHEAC = DE

ABCdonc ___ DHE et

AB = DH ,

m ( A) = m ( D) , ∠ ∠m ( C) = m ( E)∠ ∠

Deuxième cas de superposition de deux triangles

BC = HE , m ( ∠ H) = m ( ∠ B)

Deux triangles ayant les trois côtés respectifs de même Longueur sont superposables

Troisième cas de superposition de deux triangles

Dans le et le

m ( A) = m ( D) , ∠ ∠ABCdonc ___ DHE et

BC = HE

m ( B) = m ( H) , ∠ ∠

m ( C) = m ( E)∠ ∠

Deux triangles rectangles ayant l’hypoténuse de même longueur et Un côté de l’angle droit de même longueur, sont superposables.

Dans le et le

m ( ∠ B) = m ( H)∠

ABCdonc___ DHE et

BC = HE , m ( A) = m ( D) , ∠ ∠

m ( C) = m ( E)∠ ∠

Quatrième cas de superposition de deux triangles

Exercices1) AM = BM , CM = DM

Démontre que ▲ AMC ≡ ▲ BMD

Dans le et le

AMC BMDMC = MDMA = MB

m ( CMA) = m ( BMD)∠ ∠

AMC ≡donc BMDOpposé par le sommet

solution

2) Complète: 1) ABC≡ ………

2) m ( A) = m( …….)∠ ∠ 3) AB = …….

4) ……….. = BD

Dans le et le

ABD ACDAB = ACDB = DC

m ( CAD) = m ( BAD)∠ ∠

ABD ≡donc ACD et

3) AB = AC ,

DB = DC ,

AD cÔté commun

Démontre que AD est la bissectrice BAC∠A

Donc AD est la bissectrice BAC∠

solution

4) AC = AE , AB = DE ,

Trouve:

m( D) = m( B) = 90∠ ∠ 0

m( BAC) = 56∠ 0 , BC = 5cm

a) m(∠AED) b) la longueur de AD

Dans le et le

ABC ADEAC = AEAB = ED

m ( BAC) = m ( DEA) = 56∠ ∠ 0

ABC ≡donc EDA et

BC = DA = 5cm

m( D) = m( B) = 90∠ ∠ 0

solution

Parallélisme 1) Deux droites parallèles ne se coupent pas

2) Si deux droites sont parallèles à une troisième alors

Si L 1 // L 3 et L 2 // L 3 alors L 1 // L 2

3) Si une droite coupe l`une de deux droites parallèles Alors

Si L1//L2 et L3 coupe L1 alors

elles sont parallèles entre elles.

AB ∩ CD = Ø

elle coupe l`autre .

elle coupe L2

5) D`un point extérieur a une droite on peut tracer

B CDu point A on peut tracer une seule droite parallèle à la droite BC

Si L1 // L2 et L3 ┴ L1 alors

4) Si une droite est perpendiculaire à l`une de deux droitesparallèles alors

L3elle est perpendiculaire à l`autre.

L3 ┴ L2

une seule droite…………………….. parallèle a cette droite.

RemarquesSi une droite coupe deux droites parallèles alors

1) les angles alternes internes

ont même mesure (Z) m ( 3) = m ( 5) , ∠ ∠ m ( 4) = m ( 6) ∠ ∠

2) les angles correspondantsont même mesure (F) m ( 4) = m ( 8) , ∠ ∠ m ( 3) = m ( 7) , ∠ ∠

m ( 1) = m ( 5) , ∠ ∠ m ( 2) = m ( 6)∠ ∠

3) les angles intérieurs d`un même coté de la sécante

sont supplémentaires (1800) ( )m ( 3) + m ( 6) = ∠ ∠ 1800 , m ( 4) + m ( 5) = ∠ ∠ 1800

Si deux droites coupées par une secante déterminent:

1) Soit deux angles alternes internes de même

mesure alors

2) Soit deux angles correspondants de même mesure alors.

3) Soit deux angles intérieurs d`un même cÔté de la sécante supplémentaires (1800) alors

Si m ( 3) = m ( 5) , ∠ ∠ m ( 4) = m ( 6) ∠ ∠Alors AB // CD

Si m ( 4) = m ( 8) ou ∠ ∠ m ( 3) = m ( 7) , ∠ ∠

Ou m ( 1) = m ( 5) , ∠ ∠ ou m ( 2) = m ( 6)∠ ∠Alors AB // CD

Si m ( 4) + m ( 5) = ∠ ∠ 1800 Ou m ( 3) + m ( 6) = ∠ ∠ 1800 , Alors AB // CD

les droites sont parallèles.

les droites sont parallèles

Si des droites parallèles découpent une droite des segments

De même longueur alors

Droites d`autre segments de même longueur.

Si L1 // L2 // L3 // L4

et AB = BC = CD alors

XY = YZ = ZK

elles découpent aussi sur toute autre

Exercices

1) Détermine tous les angles égale l`angle ABE tel que AC//DF

solution

m ( ABE) = m ( DEH) correspondants ∠ ∠

*m ( ABE) = m ( BEF) alternes internes ∠ ∠ *

m ( ABE) = m ( GBC) opposé par le sommet ∠ ∠

Si m ( ABE) = 62∠ 0 alors m( BED) = ………. ∠ 180 - 620 =

2) Dans la figure ci-contre:

Est-ce que Pourquoi ?

solutionA

m ( C) =∠

m ( D) = m( C) = 65∠ ∠ 0

Alternes internes

AB // CD et AC sécante ...

AC // ED

AB // CD

AC // ED

, m( A) = 115∠ 0

m( D) = 65∠ 0

180 – 115 = 650

3) Dans la figure ci-contre : A420

AB // CD , EF // CD

m ( A) = 42∠ 0 et m( C) = 117∠ 0

Trouve m ( AEC)∠solution

m ( A) = m ( AEF) = 42∠ ∠ 0

m ( FEC) = 180 - 117 = 63∠ 0

Alternes internes

AB // EF et AE sécante ...

EF // CD et EC sécante ...

intérieurs d`un même cÔté

.. . m ( AEC) =∠ 42 + 63 = 1050

4) Dans la figure ci-contre:

AO // DX // EY // BC , AX = XY = YC

, AB = 12cm trouve la longueur de BE

solution

.. .AO // DX // EY // BC et AX = XY = YC

AD = DE = EB = 12 ÷ 3 =

.. EB = 4cm

Théorème de Pythagore

l’aire du carré construit sur l’hypoténuseest égale à la somme des aires des carrés

Dans un triangle rectangle

construits sur les deux autres côtés.

Si ABC est un triangle rectangle en B alors A

AB2 =BC2 =

AB2 + BC2

AC2 - BC2

AC2 - AB2

25 – 16 = 9 cm2

= (15)2

(x+3)2+ x2 - x2

h2 =(2500)2 – (1500)2 =6250000 – 2250000 =4000000 m2

précédentSortie Monsieur/ Emad Sabet

1 ère préparatoire

Documents

Transcript of 1 ère préparatoire

Objectifs 1 Ère Année Médecine

1 ère Journée - Matinée 1 ère journée Matinée. 1 ère Journée - Matinée Principes de rédaction, office du Juge.

Optique 1 ère S

1 LYCEE ELIE CARTAN. 2 Voie générale et technologique Voie professionnelle 1 ère année de CAP 1 ère générale 1 ère technologique 2 ème année de CAP Terminale.

Lycée Alexis de Tocqueville A la Rentrée 2011. Voie générale et technologique Voie professionnelle 1 ère année de CAP1 ère générale1 ère technologique2.

Science et Investigation policière. 1 ère partie.

Formation SIP-IMS 1 ère partie : SIP

ELE 208 Radiocommunications 1 ère partie

cours construction 1 ère année

Accompagnement personnalisé 1 ère ST2S

Travail réalisé par Valentin Coirier – 1 ère S 1.

1 ère année LMD

Dr Cornelia Gauthier Médecin psychosomaticienne. Violence éducative ordinaire: méconnaissance des stades de développement de lenfant 1 ère partie 1 ère.

1 ère partie : lentreprise et son environnement 1.

Cyril Faucher (1 ère inscription en 2009)

PROGRAMME HISTOIRE 1 ère

LIVRET SCOLAIRE CE2 – CM1 – CM2 - ien …ien-stdenis5.ac-reunion.fr/fileadmin/user_upload/st-denis5/... · CE2 1 ère 2 ème 3 ème CM1 1 ère 2 ème 3 ème CM2 1 ère 2 ème

Voie générale et technologique Voie professionnelle 1 ère année de CAP 1 ère générale 1 ère technologique 2 ème année de CAP Terminale générale Terminale.

CIRRHOSE ETHYLIQUE ECOLE DINFIRMIERE 1 ère année.

1 ère Année Semestre 1 Conception préliminaire système Conception détaillée chaîne fonctionnelle Réalisation 1 ère Année Semestre 2 Conception détaillée.