Post on 04-Apr-2015
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Algèbres et Réseaux
des délais, min-plus et autres propriétés
nouvelles et intéressantes dans
les réseauxJean-Yves Le Boudec, 1er Février 2000
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1. un problème intéressant
2. des théories pour l’ingénieur en système de communication
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Une conversation sur l’Internet
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Pourquoi cette mauvaise qualité ?
Sur l’Internet, l’information est mise en paquets
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L’Internet perd des paquets
La perte de paquets cause une mauvaise qualité
Les pertes sont normales et des mécanismes existent pour éviter l’excès de pertes
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On peut masquer les pertes par correction
d’erreur La théorie de l’information nous dit:
Un canal à 64 kb/s qui perd 50% des paquets peut être utilisé pour transporter sans perte un signal codé jusqu’à 32kb/s
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Une conversation avec correction d’erreur
Tu aimeras les réseauxLes noms de modèles en coucheNe te seront plus farouchesLes noms de modèles en quoi?
TCP/IP, ISO
Loin des affres des novicesAh d’accord, je répète
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Tu aimeras les réseauxLes noms de modèles en coucheNe te seront plus farouches
Loin des affreux quoi ?
TCP/IP, ISO
Loin des affres des novices
Hm hm, pourtant la liaison avait
Tu seras à bonne écoleConnaîtras les protocoles
Leurs trames et leurs services
l’air bonne, je recommence
Une conversation avec correction d’erreur
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Tu aimeras les réseauxLes noms de modèles en coucheNe te seront plus farouches
TCP/IP, ISO
Loin des affres des novicesTu seras à bonne écoleConnaîtras les protocoles
Leurs trames et leurs services
Une conversation avec correction d’erreur
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La qualité est-elle bonne ?
Il n’y a plus de distorsion de la voix, grâce à la correction d’erreur qui masque les pertes.
Mais...
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TCP/IP, ISOLoin des affres des novices
Tu aimeras les réseauxLes noms de modèles en couche
Les noms de modèles en quoi?
Ah d’accord, je répète
Ne te seront plus farouchesTCP/IP, ISOLoin des affres des novices
Tu aimeras les réseauxLes noms de modèles en couche
Ah d’accord, je répète
TCP/IP, ISOLoin des affres des novices
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Au delà de 150 ms de délai la conversation n’est plus naturelle
La correction d’erreur augmente le délai
On peut corriger les pertes, pas les délais
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Y a-t’il un progrès ?Lausanne Hamburg : téléphone10 ms
2 boîtes de conserve avec très long fil1 heure
téléphonie Internet100 ms à 2 s
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L’Internet est-il condammé
… à offrir des services à délai élevé ? Le réseau téléphonique est optimisé pour des délais très faibles
L’augmentation de capacité dans l’Internet ne résout pas le problème des délais
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Comment diminuer les délais ?
L’essentiel du délai est l’attente dans le réseau + correction d’erreur
Une solution est le principe de réservation
Internet de nouvelle génération (2005)
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Le service à réservation accepte ou rejette les flux
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Le service à réservation conditionne les flux
Condi-tionneur
maximum 7 paquets par
50 ms
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Le réseau est fluide
Condi-tionneur
Condi-tionneur
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Le réseau est fluide
Condi-tionneur
Condi-tionneur
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Principe du service à réservation
chaque flux est limité par un conditionneur (enveloppe de traffic)
le réseau donne une garantie de ressource aux flux acceptés
délai faible + pas de perte
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2. L’ingénieur a besoin de règles quantitatives
Quelle enveloppe choisir ? Quelle garantie demander au réseau ? Quels flux accepter ?
Pour une enveloppe et des garanties données, quel est le meilleur délai réalisable ?
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Algèbre min-plus Calcul usuel : +,
Distributivité
a (b + c) = (a b) + (a c)
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Algèbre min-plus Calcul usuel : +, Min-plus: min, +
2 5 = Distributivité
2 (5 8) ? = ? (2 5) (2 + 8)
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Convolution
Convolution min-plus(f g) (t) = infu { f(t u) + g(u) }
duugutftgf )()())((
Convolution usuelle
On sait la calculer
t
f(t)g(t)
(f g)(t)
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R( t ) = nombre de bits entre 0 et t R(t) R*(t)
La garantie s’exprime en algèbre min-plus
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La garantie s’exprime en algèbre min-plus
débit instantané100 200 300 400
10
20
30
40
50
60
70
100 200 300 400
2000
4000
6000
8000
10000R(t)
100 200 300 40010203040506070
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La garantie de ressource à un routeur est définie par
(t)
t
bits
R* R R* R
La garantie s’exprime en algèbre min-plus
R( t ) = nombre de bits entre 0 et t R(t) R*(t)
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( t ) = nombre maximum de bits autorisés pendant t unités de temps
L’enveloppe s’exprime en algèbre min-plus
le conditionneur engendre un flux
(t)
t
bits
R’ R R’ R
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Un théorème pour le meilleur délai possible
calculer
Théorème: Le délai minimal est l’écart horizontal entre R(t) et ()(t)
R(t)
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100 200 300 400
2000
4000
6000
8000
10000 R(t)
100 200 300 40010203040506070
tD = 435 ms
100 200 300 400
2000
4000
6000
8000
10000
100 200 300 40010203040506070
t
D = 102 ms
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Reconditionneur
R(t)
un reconditionneur évite l’accumulation des irrégularités
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Le conditionneur retarde certains paquets
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Un théorème de conservation
Théorème : reconditionner le trafic n’augmente pas le délai maximum
R(t)
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Mais les délais sont parfois fantasques
un réseau de noeuds FIFO utilisé uniformément à 85% peut accumuler des délais sans borne (Andrews, 1996)
ajouter de la capacité peut augmenter les délais (Braess, 1968)
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Conclusion Vaincre les délais est peut-être la dernière frontière de l’Internet
L’algèbre min-plus est un outil d’analyse quantitative
Merci à Catherine Boutremans ( + ingénieur du son )
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Merci à Catherine Boutremans ( + ingénieur du son )
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100 200 300 400
2000
4000
6000
8000
10000
100 200 300 400
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100 200 300 400
10
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100 200 300 400
2000
4000
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8000
10000