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Algèbres et Réseaux

des délais, min-plus et autres propriétés

nouvelles et intéressantes dans

les réseauxJean-Yves Le Boudec, 1er Février 2000

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1. un problème intéressant

2. des théories pour l’ingénieur en système de communication

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Une conversation sur l’Internet

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Pourquoi cette mauvaise qualité ?

Sur l’Internet, l’information est mise en paquets

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6

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L’Internet perd des paquets

La perte de paquets cause une mauvaise qualité

Les pertes sont normales et des mécanismes existent pour éviter l’excès de pertes

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On peut masquer les pertes par correction

d’erreur La théorie de l’information nous dit:

Un canal à 64 kb/s qui perd 50% des paquets peut être utilisé pour transporter sans perte un signal codé jusqu’à 32kb/s

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Une conversation avec correction d’erreur

Tu aimeras les réseauxLes noms de modèles en coucheNe te seront plus farouchesLes noms de modèles en quoi?

TCP/IP, ISO

Loin des affres des novicesAh d’accord, je répète

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Tu aimeras les réseauxLes noms de modèles en coucheNe te seront plus farouches

Loin des affreux quoi ?

TCP/IP, ISO

Loin des affres des novices

Hm hm, pourtant la liaison avait

Tu seras à bonne écoleConnaîtras les protocoles

Leurs trames et leurs services

l’air bonne, je recommence

Une conversation avec correction d’erreur

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Tu aimeras les réseauxLes noms de modèles en coucheNe te seront plus farouches

TCP/IP, ISO

Loin des affres des novicesTu seras à bonne écoleConnaîtras les protocoles

Leurs trames et leurs services

Une conversation avec correction d’erreur

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La qualité est-elle bonne ?

Il n’y a plus de distorsion de la voix, grâce à la correction d’erreur qui masque les pertes.

Mais...

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TCP/IP, ISOLoin des affres des novices

Tu aimeras les réseauxLes noms de modèles en couche

Les noms de modèles en quoi?

Ah d’accord, je répète

Ne te seront plus farouchesTCP/IP, ISOLoin des affres des novices

Tu aimeras les réseauxLes noms de modèles en couche

Ah d’accord, je répète

TCP/IP, ISOLoin des affres des novices

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Au delà de 150 ms de délai la conversation n’est plus naturelle

La correction d’erreur augmente le délai

On peut corriger les pertes, pas les délais

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Y a-t’il un progrès ?Lausanne Hamburg : téléphone10 ms

2 boîtes de conserve avec très long fil1 heure

téléphonie Internet100 ms à 2 s

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L’Internet est-il condammé

… à offrir des services à délai élevé ? Le réseau téléphonique est optimisé pour des délais très faibles

L’augmentation de capacité dans l’Internet ne résout pas le problème des délais

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Comment diminuer les délais ?

L’essentiel du délai est l’attente dans le réseau + correction d’erreur

Une solution est le principe de réservation

Internet de nouvelle génération (2005)

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Le service à réservation accepte ou rejette les flux

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Le service à réservation conditionne les flux

Condi-tionneur

maximum 7 paquets par

50 ms

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Le réseau est fluide

Condi-tionneur

Condi-tionneur

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Le réseau est fluide

Condi-tionneur

Condi-tionneur

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Principe du service à réservation

chaque flux est limité par un conditionneur (enveloppe de traffic)

le réseau donne une garantie de ressource aux flux acceptés

délai faible + pas de perte

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2. L’ingénieur a besoin de règles quantitatives

Quelle enveloppe choisir ? Quelle garantie demander au réseau ? Quels flux accepter ?

Pour une enveloppe et des garanties données, quel est le meilleur délai réalisable ?

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Algèbre min-plus Calcul usuel : +,

Distributivité

a (b + c)  =   (a b) + (a c)

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  7

Algèbre min-plus Calcul usuel : +, Min-plus: min, +

2 5  =  Distributivité

2 (5 8)  ? = ?   (2 5) (2 + 8)

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Convolution

Convolution min-plus(f g) (t) = infu { f(t u) + g(u) }

duugutftgf )()())((

Convolution usuelle

On sait la calculer

t

f(t)g(t)

(f g)(t)

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R( t ) = nombre de bits entre 0 et t R(t) R*(t)

La garantie s’exprime en algèbre min-plus

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La garantie s’exprime en algèbre min-plus

débit instantané100 200 300 400

10

20

30

40

50

60

70

100 200 300 400

2000

4000

6000

8000

10000R(t)

100 200 300 40010203040506070

30

La garantie de ressource à un routeur est définie par

(t)

t

bits

R* R R* R

La garantie s’exprime en algèbre min-plus

R( t ) = nombre de bits entre 0 et t R(t) R*(t)

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( t ) = nombre maximum de bits autorisés pendant t unités de temps

L’enveloppe s’exprime en algèbre min-plus

le conditionneur engendre un flux

(t)

t

bits

R’ R R’ R

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Un théorème pour le meilleur délai possible

calculer

Théorème: Le délai minimal est l’écart horizontal entre R(t) et ()(t)

R(t)

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100 200 300 400

2000

4000

6000

8000

10000 R(t)

100 200 300 40010203040506070

tD = 435 ms

100 200 300 400

2000

4000

6000

8000

10000

100 200 300 40010203040506070

t

D = 102 ms

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Reconditionneur

R(t)

un reconditionneur évite l’accumulation des irrégularités

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Le conditionneur retarde certains paquets

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Un théorème de conservation

Théorème : reconditionner le trafic n’augmente pas le délai maximum

R(t)

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Mais les délais sont parfois fantasques

un réseau de noeuds FIFO utilisé uniformément à 85% peut accumuler des délais sans borne (Andrews, 1996)

ajouter de la capacité peut augmenter les délais (Braess, 1968)

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Conclusion Vaincre les délais est peut-être la dernière frontière de l’Internet

L’algèbre min-plus est un outil d’analyse quantitative

Merci à Catherine Boutremans ( + ingénieur du son )

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Merci à Catherine Boutremans ( + ingénieur du son )

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100 200 300 400

2000

4000

6000

8000

10000

100 200 300 400

10

20

30

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50

60

70

100 200 300 400

10

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40

50

60

70

100 200 300 400

2000

4000

6000

8000

10000