Variables Aléatoires&
Lois de Probabilités Usuelles
Pr. A. SOULAYMANI
II- Distribution de Poisson
Pr. A. SOULAYMANI
Loi d
e P
ois
son
I- Définition:On dit qu’une Variable Aléatoire X suit une Loi de Poisson:
♣ Si sa distribution est discontinue ( V.A. Discrète) pouvant prendre toutes les valeurs possible {0, 1, 2, …i, …... n}
♣ Si les probabilités de réalisation de X sont très faibles.
&
Pr. A. SOULAYMANI
Loi d
e P
ois
son
La rareté du phénomène dans une Distribution de Poisson ne peut être défini que lorsque l’effectif étudié est très élevé.
Poisson a montré que la probabilité pour qu’un événement de cette catégorie se réalise k fois est:
!)(
k
mekXP
Km
Où m représente la moyenne de cette distribution et e = 2,71828.
Pr. A. SOULAYMANI
II- Paramètres d’une distribution de Poisson:La rareté du phénomène (p très petit, et q tend vers 1, nous conduit à une valeur moyenne:
npm Et une variance 2:
npmX 2
Loi d
e P
ois
son
Pr. A. SOULAYMANI
Loi d
e P
ois
son
La loi de poisson est considérée comme la limite de la loi binomiale lorsque le phénomène est très rare et l’effectif est très élevé. Dans ce cas m=np et n tend vers l’infini.
D’une manière générale, on admet qu’une distribution suit une loi de Poisson dès que:
550 npetn
Pr. A. SOULAYMANI
Loi d
e P
ois
son
Le tableau suivant se rapporte au cas d’une distribution discontinue où p = 0,1 et n = 10.
110).1,0( npm
X=k Loi binomiale Loi de Poisson
0 0,348 0,367
1 0,387 0,368
2 0,194 0,184
3 0,057 0,061
4 0,011 0,015
5 0,0015 0,003
Cf. Lecture à partir des tables théoriques
Pr. A. SOULAYMANI
Loi d
e P
ois
son
Le tableau montre que même si on n’atteint pas des valeurs de n >= 50, les valeurs de probabilité p(X=k) obtenues par les 2 lois sont très proches.
La représentation graphique d’une distribution de poisson montre généralement une dissymétrie à gauche ( puisque p <<<< q).
Cependant, si la valeur moyenne augmente ( si n augmente) , la distribution devient de + en + symétrique
Pr. A. SOULAYMANI
Loi d
e P
ois
son
0 1 2 3 2 3 0,00E+00
5,00E-02
1,00E-01
1,50E-01
2,00E-01
2,50E-01
3,00E-01
3,50E-01
4,00E-01
m=1 3,67E-01 3,68E-01 1,84E-01 6,10E-03 1,50E-02 3,00E-03
m=2 1,35E-01 2,71E-01 2,70E-01 1,81E-01 9,00E-02 3,60E-02
0 1 2 3 4 5
p=0,1
P(X=k)
X
Pr. A. SOULAYMANI
Loi d
e P
ois
son
Pour m=10, p=0,1, on aura une distribution relativement symétrique.
0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 202
m=10P(X=k)
Pr. A. SOULAYMANI
III- Utilisation des Tables théoriques:Loi d
e P
ois
son
!)(
k
mekXP
Km
L’utilisation des tables théoriques facilite le calcul des probabilités
K
K
m = np
K m=1
0
1
2
3
4
5
6
0,368
0,368
0,184
0,061
0,015
0,003
0,001
Pr. A. SOULAYMANI
II- Distribution Normale
Pr. A. SOULAYMANI
Loi d
e n
orm
ale
I- Introduction à la variation continue:Si l’effectif d’un échantillon augmente infiniment, l’étendue des classes tend vers zéro.
De là, la représentation graphique des probabilités prend une allure caractéristique, appelée distribution en cloche.
Cette forme particulière de la distribution des probabilité est caractéristique de la variation continue.
Pr. A. SOULAYMANI
Loi d
e n
orm
ale
En effet, si l’on considère une V.A. X, très nombreuse et classée par ordre croissant;
La différence entre deux valeurs élémentaires successives (x2 – x1) tend vers une quantité infiniment petite dx.
L’ensemble des valeurs de x est représenté par la fonction y = f (x) où y représente la densité de probabilités ou de fréquences relatives.
Pr. A. SOULAYMANI
Loi d
e n
orm
ale
La probabilité de la quantité dx étant par définition très réduite et tend vers zéro.
Dans ces conditions, toute probabilité ne peut être définie que par un intervalle donné et non pour une valeur particulière de x.
La distribution de la densité de probabilité aura l’aspect suivant:
La distribution de la densité de probabilité aura l’aspect suivant:
Pr. A. SOULAYMANIa a’ bX
Compte tenu de la continuité de y=f(x) dans l’intervalle [a-b], la surface totale sous la courbe est:
b
a
dxxfbxaP 1)()(La probabilité d’un intervalle [a-a’] est:
'
)()'(a
a
dxxfaxaP
Loi d
e n
orm
ale
Pr. A. SOULAYMANI
La moyenne:
Loi d
e n
orm
ale
II- Paramètres d’une distribution Normale:
b
a
iib
ai dxxfxxpXXE )()(
Pr. A. SOULAYMANI
Loi d
e n
orm
ale
La variance:
dxxfxxxxpxxnN
b
a iiib
aiiib
aixi)()()()(
1 2222
b
a
b
a
b
a
x dxxfxdxxxfxdxxfx )()(2)(222
222 )( xdxxfxb
a
x
1x
Pr. A. SOULAYMANI
Loi d
e n
orm
ale
II- Étude de la Loi Normale:
Soit X, une variable aléatoire, continue.On dit que X suit une loi normale η(x,x), ou loi de Laplace Gauss si:♣ ses réalisations apparaissent dans l’intervalle:
,
♣ Si la densité de probabilité associée à ces réalisations est définie par:
2
2)(2/1
2
1)( x
xx
x
exfy
et
Avec:
☻ e = 2,72☻ = 3,14☻ s2 = Variance de X☻ s = Ecart – type de X
Pr. A. SOULAYMANI
Loi d
e n
orm
ale
En pratique, on procède à un changement de cette variable (on dit qu’on norme la variable).
Pour cela, on pratique le changement de X par t tel que:
x
XXt
On dit que la variable X, suit une loi normale (ou loi de Laplace Gauss de moyenne x et d’écart type s. On résume cette loi par la notation η(x , x)
La nouvelle variable t est dite variable Centrée, réduite, da moyenne t = 0 et sa variance st
2=1. Elle est notée ηt (0,1).
Pr. A. SOULAYMANI
Loi d
e n
orm
ale
L’allure de la fonction f(t) de la nouvelle variable ηt (0,1) centrée, réduite de moyenne nulle et d’écart type égal à l’unité est le suivant:
t
La fonction f(t) de la variable ηt (0,1) est toujours symétrique:
)()( tftft
Avec:
2
2
2
1)(
t
etf
Y= f(t) :densité de probabilité
ηt (0,1)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
-t 0 +t
f(t)
F(x)
Pr. A. SOULAYMANI
Loi d
e n
orm
ale
La fonction intégrale (t) ou (t) de la loi normale centrée réduite ηt (0,1) est:
0
20
20
2
1)()(
t tt
dtedttft
On démontre que: 12
1)()( 2
2
dtedttftt
f(t)
t0ta
ttb
Pr. A. SOULAYMANI
f(t)
t0ta
ttb
(t0)
Loi d
e n
orm
ale
Ainsi, la fonction intégrale (t0) constitue la fonction de répartition de t, c’est-à-dire:
On peut aussi calculer la probabilité associée à un intervalle. En effet, la surface (t)comprise entre ta et tb est:
)()( 00 tTPt
)()()()( tbTPtTPtTtPt aba
)()()( abt
Pr. A. SOULAYMANI
)()( 00 tTPt t
Tab
le d
e la L
oi d
e n
orm
ale
On lit t en additio
nnant entête de
ligne et de colonne. A l'intersection,
on lit la
probabilité P(T< =t).
C'est à
dire observer d
es valeurs inférie
ures
ou égales à m + t
* s pour d
es VA
normales non centré
es réduites.
(1)=P(T<=1)=0,8413
P(1<=T<=2)= P(T<=2)-P(T<=1) = 0,9777 – 0,8413 = 0,1364
III- Utilisation des Tables théoriques:f(t)
t0tattb
(t0)
Pr. A. SOULAYMANI
IV- Exemples:
Soit X une variable suivant une loi normale η ( = 1,=1)1. ♣ Calculer la probabilité de x telle que : -2 ≤ x ≤ 7.
2. ♣ Déterminer la constante a telle que: P(X≤a) = 0,6.
4-1. Exemple 1:
Pr. A. SOULAYMANI
IV- Exemples:
Soit X une variable suivant une loi normale η ( = 1,=3)1. ♣ Calculer la probabilité de x telle que : -2 ≤ x ≤ 7.
Réponse:
Avant de chercher la probabilité demandée, il faut transformer la variable X en variable centrée et réduite:
)3
17
3
12()72(
tPxP
)1()2()21()72( tPxP
8185,01587,097725,0)]1(1[)2()72( xP
Pr. A. SOULAYMANI
IV- Exemples:
Soit X une variable suivant une loi normale η ( = 1,=1)2. ♣ Déterminer la constante a telle que: P(X≤a) = 0,6.
6,0)()(
atPaxP
78,0126,03
16,0)
3
1(
a
aatP
D’où a =1,78
Réponse:
Pr. A. SOULAYMANI
4-2. Exemple 2:Soit la fonction de densité f(x) telle que:
1. ♣ Déterminer la constante k pour que f(x) soit une fonction de densité.
210)(21)( xsixfetxsikxxf
2. ♣ Calculer E(x) et V(x).
3. ♣ Déterminer la fonction de répartition F(x)
Pr. A. SOULAYMANI
4-2. Exemple 2:1. ♣ Déterminer la constante k pour que f(x) soit une fonction de densité.
Réponse:
Pour que X soit une fonction de densité, il faut que:
1 2
1 2
1)()()(1)( dxxfdxxfdxxfdxxf
210)(21)( xsixfetxsikxxf
2
1
2
1
11)( dxkxdxxf
12
31]
2
1
2
2[)]1()2([1]
2[
2221
2
kkFFkx
k
D’où k = 2/3
Pr. A. SOULAYMANI
4-2. Exemple 2:2. ♣ Calcul de la moyenne E(x)
1 2
1 2
)()()()()( dxxfxdxxfxdxxfxdxxfxxE
210)(21)( xsixfetxsikxxfcar
9
14
3
1
3
8
3
2
33
2
3
2
3
2)(
232
1
22
1
xdxxdxxxxE
=0
Or k = 2/3
Pr. A. SOULAYMANI
4-2. Exemple 2:2. ♣ Calcul de la variance V(x)
On sait que V(x) = E(x)2 – [E(x)]2, par conséquent on peut écrire:
22
1
422
1
2
9
14
43
2
9
14
3
2)(
xxxxV
D’où V(x) = 2/3[16/4 – 1/4 ]-[14/9]2 = (30/12) – (14/9)2
244
9
14
4
1
4
2
3
2)(
xV
Pr. A. SOULAYMANI
3. ♣ Fonction de répartition F(x)
4-2. Exemple 2:
0)(1 xFxsi xxx x
dxxfdxxfdxxfxFxSi1
2
1
1
23
2)()()()(2
3
1
2
1
3
1
2
1
23
2
23
2)(2
22
22
1
2
xx
xxxFxSi
x
1)(2 xFxsi
Pr. A. SOULAYMANI
♣ représentation graphique de la fonction de répartition
♠ si x < 1 : F(x) = 0
♠ si 1 <= x < 2 : F(x) = 1/3 x2 – 1/3 (Ex: pour x=3/2, F(x)=5/8.
♠ si x >= 2 : F(x) = 1
0
5/12
1
1 3/2 ≥2 …X
F(x)
Pr. A. SOULAYMANI
Loi normale
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-4 -2 0 2 4
f(x)
F(x)
Pr. A. SOULAYMANI
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