Variables Aléatoires&

Lois de Probabilités Usuelles

Pr. A. SOULAYMANI

Théorie des ProbabilitésÉtude des lois de probabilités usuelles

Pr. A. SOULAYMANI

Une variable aléatoire X peut prendre des valeurs xi dans un intervalle donné de façon qu’à chaque valeur particulière de xi correspond une probabilité pi.

Introduction:

pi apparaît comme une fonction de xi et l’ensemble des probabilités élémentaires pi constitue la loi de probabilité de la variable aléatoire X .

Th

éori

e d

es P

rob

ab

ilit

és

Pr. A. SOULAYMANI

Autrement dit, affecter une probabilité pi à chacune des valeurs de xi, c’est doter la variable aléatoire X d’une loi de probabilité.

• Exemple :Si on lance successivement 3 fois une

pièce de monnaie:

xi 0 1 2 3

P(xi) 1/8 3/8 3/8 1/8

Ceci ne pose aucun problème lorsque la var. aléatoire est discrète.

Th

éori

e d

es P

rob

ab

ilit

és

Pr. A. SOULAYMANI

Th

éori

e d

es P

rob

ab

ilit

és

Le problème des lois de probabilité devient plus délicat lorsque la V.A. X est continue.

En effet, pour des V.A. continue, la probabilité d’une valeur particulière est nulle.(De la même manière que le choix d’un point sur une droite).

On est donc amener à distinguer deux catégories de lois de probabilité:

- Les Lois relatives à la variation discontinue et,

- Les Lois relatives à la variation continue.

Pr. A. SOULAYMANI

I- Distribution Binomiale

Pr. A. SOULAYMANI

Loi B

inom

iale

La distribution binomiale ou loi binomiale est une loi de variation discontinue dite de Bernoulli.

Si X est la V.A. qui associe à tout élément de A la valeur 1 et à tout élément n’appartenant pas à A la valeur 0.

Cette variable ne prend donc que deux valeurs 1 et 0, avec:

P(A) = p et P(Ã) = q = 1-p

Pr. A. SOULAYMANI

Loi B

inom

iale

1- Urne de BERNOULLI:

Considérons une urne qui contient deux types de boules:

- Des boules blanches d’effectif n1 (8): ☺

- Des boules noires d’effectif n2: (12)☻

☻☺

☺☺

☺

☺

☺

☻☻☻

☻

☻ ☻☻

☻

☻

☻

☻

☺☺ n1 + n2 = N = 20

Pr. A. SOULAYMANI

☻☺

☺☺

☺

☺

☺

☻☻☻

☻

☻ ☻☻

☻

☻

☻

☻

☺☺

On suppose que le tirage se fait avec remise, de sorte que la composition de l’urne ne change pas d’un tirage à l’autre.

p = n1/N = 8/20 = 0,4

q = n2/N = 12/20 = 0,6

☺

☻

On constate que p+q = n1 + n2 /N = 20/20 = 1

Loi B

inom

iale

: u

rne d

e

Bern

ou

lli

Pr. A. SOULAYMANI

Loi B

inom

iale

: u

rne d

e

Bern

ou

lli

2- Définition:

Une Variable aléatoire X suit une Loi Binomiale β(N,p) si elle peut être considérée comme une somme de plusieurs variables aléatoires indépendantes, suivant toutes la loi de Bernoulli de paramètre p.

Ce qui nous intéresse donc, c’est la probabilité des associations qui peuvent résulter de n tirages successifs.

Pr. A. SOULAYMANI

Loi B

inom

iale

: Ép

reu

ve d

u

dou

ble

tir

ag

e2- 1. Épreuve du double tirage:

Considérons l’exemple simple d’un sac de 3 boules, dont une blanche et deux noires.

On se propose de voir ce qui va se passer sur le plan de probabilités quand on procède à deux tirages successifs avec remise.

La probabilité de tirer une boule blanche étant p=1/3 et celle de tirer une boule noire est q=1-p = 2/3.

Pr. A. SOULAYMANI

Loi B

inom

iale

: Ép

reu

ve d

u

dou

ble

tir

ag

eCe qui nous intéresse, c’est la probabilité des associationsissues du premier et du secondtirage.

p=1/3

q=2/3

1er tirage 2eme tirage

Association

BB : p2

BN : pq

BN : pq

NB : qp

NN : q2

NN : q2

NB : qp

NN : q2

NN : q2

Pr. A. SOULAYMANI

1er tirage 2eme tirage Association

BB : p2

BN : pq

BN : pq

NB : qp

NN : q2

NN : q2

NB : qp

NN : q2

NN : q2

Loi B

inom

iale

: Ép

reu

ve d

u

dou

ble

tir

ag

eAu total, on aura trois catégories d’associations (2 tirages + 1)

Si on ne tient pas compte de l’ordre du tirage, on aura:

1- Association BB de probabilité (1/3)(1/3)=p2

2- Association BN ou NB de probabilité 2(1/3)(2/3)=2pq

3- Association NN de probabilité (2/3)(2/3)=q2

Ces divers associations de 2 boules, comportant respectivement 0, 1 et 2 boules noires, ont donc pour probabilités respectives les termes successifs du développement de (p+q)2 = p2 + 2pq + q2

Pr. A. SOULAYMANI

Loi B

inom

iale

: Ép

reu

ve d

u

tira

ge m

ult

iple

2-2. Épreuve du tirage multiple: La loi Binomiale

En résonnant de la même manière que précédemment, on arrivera dans le cas d’un triple tirage à 4 associations (3+1) de boules blanches ou noires, avec 0, 1, 2 ou 3 boules noires.

En démontre facilement que les probabilités des 4 associations seront obtenues par les termes du développement de (p+q)3.

(p+q)3 = p3 + 3p2q + 3 pq2 + q2

3B 2B+ N 2N+ B

3N

Pr. A. SOULAYMANI

Loi B

inom

iale

: Ép

reu

ve d

u

tira

ge m

ult

iple

Épreuve du tirage multiple: La loi Binomiale

Nombre de boules Noires

Probabilité

0 1 2 3

p3 = 1/27

3p2q=6/27

q3 =8/27

3pq2= 12/27

(p+q)3 = p3 + 3p2q + 3 pq2 + q2

[ p = 1/3 ; q = 2/3 ]

Pr. A. SOULAYMANI

Loi B

inom

iale

: En

gén

éra

lD’une manière générale:

Soit une urne composée de N boules , dont k boules blanches et N-k boules noires.

En répétant l’épreuve plusieurs fois; la structure des échantillons sera la suivante:

- 0 boules Blanches et n boules noires.- 1 boules Blanches et (n-1) boules noires.- 2 boules Blanches et (n-2) boules noires.-….-….- k boules Blanches et (n-k) boules noires.-….-….- n boules Blanches et 0 boules noires.

Tirage Échantillon

E: n boules(n < N)

Pr. A. SOULAYMANI

Loi B

inom

iale

: En

gén

éra

l

NoirebouleunetirerE :

blanchebouleunetirerE :Si

X: nombre de réalisations de E dans un échantillon de n boules.

X: peut prendre (n+1) valeurs possibles tel que:X = { 0, 1, 2, ………., K, ……., n }

Si X = k réalisations de E et si l’on tient pas compte de l’ordre

du tirage des boules

La probabilité d’avoir k boules

blanches est:p. p. p…..p… p = pk

K fois

Dans l’échantillon, on aura (N-k) boules noires de probabilité q. q. ….q…….q = q(N-k)

Pr. A. SOULAYMANI

Loi B

inom

iale

: En

gén

éra

lAinsi, la probabilité d’avoir k boules blanches et (n-k) boules noires dans l’échantillon serait; fk = pk.q(n-k).

Mais il y a autant d’échantillon satisfaisants (k boules blanches et n-k boules noires) que de combinaisons de n boules avec k boules blanches; on aura donc:

)(..)( knKkn qpCkXP

)(..!)!(

!)( knk qp

kkn

nkXp

Pr. A. SOULAYMANI

Loi B

inom

iale

: En

gén

éra

lSi X est le nombre de réalisation de E avec

X = { 0,1,2,……k,……N}

Les probabilités liées à chacune des réalisations xi correspondent aux termes successifs du développement du binôme de Newton (p+q)n.

nknkkn

nn

nn

nn pqpCqpCqpCqqp ........)( 222111

C’est cette distribution de probabilités qui est connue sous le nom de

Distribution Binomiale.

Pr. A. SOULAYMANI

pnqpxxn

nnpX xnxn

i .].!)1(!)(

!)1(.[ 1

0

Loi B

inom

iale

:Moyen

ne

2-3. Paramètre de La loi Binomiale2-3-1. La moyenne d’une loi Binomiale

Si X est le nombre de réalisation de E avec X={0,1,2,……k,……N}; à chacune des valeurs xi s’associe une probabilité P(xi), telle que:

xnxxni qpCxP )( xqpCxPxX xxk

nniii

ni ..)(. )(

00

xqpxxn

nX xnxn

i ..!!)(

! )(0

(p+q)(n-1) = 1

Pr. A. SOULAYMANI

Loi B

inom

iale

:Vari

an

ce

2-3-2. La variance d’une loi Binomiale

La variance V(X) = x2 = E(X)2 – [E(x)]2

= n pi xi

2 -x2 = pi xi

2 - x +x -x2 __ __

iixpxquesaiton 22 )]1[( xxxxpdonc iix

2)(2 )1(. xxxxqpC xnxxnx

2)(2 )1(!)!(

!xxxxqp

xxn

n xnxx

2)2(22

)!2()!(

)!2()1( xxqp

xxn

npnn xnx

x

Pr. A. SOULAYMANI

Loi B

inom

iale

:Vari

an

ce

npqx 2

2)2(22

)!2()!(

)!2()1( xxqp

xxn

npnn xnx

x

(p+q)(n-2) = 1(n-2)=1

2222 )1( pnnppnnx

npnpqnpx 2

npqnppnnpnppnx )1(222222

Pr. A. SOULAYMANI

3- Exemples d’application

3-1. Exemple 1: Dans les familles de 3 enfants, quelle est la probabilité d’avoir 2 filles?. La probabilité de naissance d’une fille est p=0.48.

Solution: n=3, k=2, p=0.48 et q=1-p=0.52

359.0)52.0()48.0()2( )23(223 CXP

Quel est le nombre moyen de filles et la variance?

Solution: E(X) = np = 3 (0.48) = 1.44

Var(X) = npq = 3 (0.48) (0.52)= 0.75Loi B

inom

iale

Pr. A. SOULAYMANI

Loi B

inom

iale

3-2. Exemple 2: Dans les familles de 5 enfants, définir la loi de probabilité de X (nombre de filles) si la probabilité d’avoir une fille est de 0.3 et donner la valeur moyenne et la variance de X

Solution:

x P(X=x)

0 0.1680

1 0.3601

2 0.3087

3 0.1323

4 0.0283

5 0.0024

)( knkkn qpC

Loi de Probabilité

E(X) = n.p =5(0.3)=1.5

La Moyenne est:

Var(X) = n.p.q=5(0.3)(0.7)=1.05

La Variance est:

Pr. A. SOULAYMANI

Loi B

inom

iale

Fonction de répartition:Solution:

FX(x) = P(X ≤ xi)

x P(X = x) P(X ≤ x)

0 0.1680 0.1680

1 0.3601 0.5281

2 0.3087 0.8368

3 0.1323 0.9691

4 0.0283 0.9974

5 0.0024 0.9999 ≈ 1

Pr. A. SOULAYMANI

3- 3. Exemple 3: Soit un Dé cubique à 6 faces numérotés de 1 à 6, ayant la même probabilité.On lance 9 fois de suite le Dé.

On considère que l’on obtient un succès si la réponse obtenue est supérieur à 5.

Soit X, la V.A. associée aux nombre de succès obtenus sur les 9 jets.

Déterminer la probabilité de X=0, X=4 et de X=9, la moyenne et la variance de cette distribution.

Pr. A. SOULAYMANI

Solution: Sur un jet, la probabilité de succès est p = 2/6 = 1/3La probabilité de l’échec est q = 4/6 = 2/3

99009

9009 ]

3

2[)

3

2()

3

1()0( CqpCXP

5449

5449 )

3

2()

3

1()4( CqpCXP

X suit une loi binomiale (N,p) = (9, 1/3)

90999

0999 ]

3

1[)

3

2()

3

1()9( CqpCXP

Pr. A. SOULAYMANI

La moyenne de X : (N,p) est: np = 9.1/3 = 3

La variance de X : (N,p) est: npq = 9.1/3.2/3 = 2

Pr. A. SOULAYMANI

3- Distribution binomiale symétrique ou asymétrique:

Loi B

inom

iale

L’expression générale de la loi binomiale est donnée par:

)()( knkkn qpCkXP

Si p = q; l’expression générale de terme k, abstraction faite du coefficient C, devient pk.q(n-k) = pk.p(n-k) = pn.

Dans ce cas, tous les termes sont de la forme pn et ne différent que par C. Il en résulte que, si p=q, les termes situés à égales distance du binômes (p+q)2 deviennent respectivement égaux entre eux: La distribution est dite alors Symétrique.

Pr. A. SOULAYMANI

Avec ∑ Pi = 1

(P,P,P)→3 (F,P,P)→2 (P,F,F)→1

(F,P,F)→1

(F,F,P)→1

(F,F,F)→0(P,P,F)→2

X = {0, 1, 2, 3}

(P,F,P)→2

P(X=2) = P(P,P,F)+P(P,F,P)+P(F,P,P) =3/8

P(X=3) = P(P,P,P) = 1/8

P(X=0) = P(F,F,F) = 1/8

P(X=1) = P(P,F,F)+P(F,P,F)+P(F,F,P) =3/8

Exemple: X: Nombre de fois « pile » dans l’épreuve de 3 tirages successifs d’une pièce de monnaie non truquée(p = q = 1/2)

Pr. A. SOULAYMANI

La forme générale de la distribution symétrique est la suivante:

P

k0 1 2 3

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

P(X)

1 2 3 4

Xi

Pr. A. SOULAYMANI

n=10 x p 0,10 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,348

0,736

0,929

0,987

0,998

0,999

0,999

1,000

0,107

0,375

0,677

0,879

0,967

0,993

0,999

0,999

1,000

0,056

0,244

0,525

0,775

0,921

0,980

0,996

0,999

0,999

1,000

0,028

0,149

0,382

0,649

0,849

0,952

0,989

0,998

0,999

0,999

1,000

0,006

0,046

0,167

0,382

0,633

0,833

0,945

0,987

0,998

0,999

1,000

0,000

0,010

0,054

0,171

0,379

0,623

0,828

0,945

0,989

0,999

1,000

4- Utilisation de la table de la Loi Binomiale:P (X ≤ x)

P(X=5) = P(X≤5) – P(X ≤4)

P(X=5) = 0,999 – 0,998 = 0,001

Par définition: P(X=xi) = P(X ≤xi) – P(X ≤x(i-1))

Pr. A. SOULAYMANI

n=10 x p 0,10 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,348

0,736

0,929

0,987

0,998

0,999

0,999

1,000

0,107

0,375

0,677

0,879

0,967

0,993

0,999

0,999

1,000

0,056

0,244

0,525

0,775

0,921

0,980

0,996

0,999

0,999

1,000

0,028

0,149

0,382

0,649

0,849

0,952

0,989

0,998

0,999

0,999

1,000

0,006

0,046

0,167

0,382

0,633

0,833

0,945

0,987

0,998

0,999

1,000

0,000

0,010

0,054

0,171

0,379

0,623

0,828

0,945

0,989

0,999

1,000

Probabilité d’un intervalle: P (xi ≤ X ≤ xk)

P(2≤ X ≤4) = P(X≤4) – P(X ≤1)

P(X=5) = 0,998 – 0,736 = 0,262

Par définition:P(xi ≤ X ≤ xK) = P(X ≤xi) – P(X ≤x(k-1))

Pr. A. SOULAYMANI

n=10 x p 0,10 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,348

0,736

0,929

0,987

0,998

0,999

0,999

1,000

0,107

0,375

0,677

0,879

0,967

0,993

0,999

0,999

1,000

0,056

0,244

0,525

0,775

0,921

0,980

0,996

0,999

0,999

1,000

0,028

0,149

0,382

0,649

0,849

0,952

0,989

0,998

0,999

0,999

1,000

0,006

0,046

0,167

0,382

0,633

0,833

0,945

0,987

0,998

0,999

1,000

0,000

0,010

0,054

0,171

0,379

0,623

0,828

0,945

0,989

0,999

1,000

Probabilité P ( X ≥ xk)

P( X ≥4) = 1 -P(X≤3)

P(X=5) = 1 – 0,987 = 0,013

Par définition:P(X ≥xi) = 1 -P(X ≤x(i-1))