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TRACE ECRITE
I- NOTION DE VECTEURS
1. Activité 1
Soit la figure suivante, les quatre droites sont parallèles
Les droites (AA’), (BB’), (CC’) et (EE’) sont parallèles : elles déterminent une même direction
Les demi-droites [AA’), [BB’) et [EE’) ont le même sens
Les demi-droites [AA’), [CC’) ont des opposés
Les segments [AA’], [CC’] et [EE’] ont la même longueur
Les couples de points de points (A ; A’) et (E ; E’) déterminent une même direction, un même sens et une
même longueur : on dit qu’ils forment un vecteur noté AA′ ou BB′
Les vecteurs AA′ et BB′ sont égaux, on note AA′ = BB′
Les couples de points de points (A ; A’) et (C ; C’) déterminent une même direction, une même longueur
mais de sens opposés : ils forment des vecteurs opposés, on note AA′ = - CC′ Les couples de points de points (AA’) et (BB’) déterminent une même direction: ils forment des vecteurs
colinéaires
2. Caractérisation d’un vecteur
Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur
Représentation graphique
Le vecteur u est noté AB a pour :
Direction ; la droite (AB)
Sens : la demi-droite [AB)
Longueur : le segment [AB]
Le point A est l’origine du vecteur et le point B est son extrémité
NB : Un vecteur est représenté par une "flèche" que l'on peut tracer n'importe où. Un vecteur n'a pas
d'emplacement précis, c'est un objet "baladeur".
3. Vecteur et parallélogramme
Propriété : si ABCD est un parallélogramme alors AB = DC (figure)
u
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Propriété réciproque : si AB = DC alors ABCD est un parallélogramme (figure)
4. Vecteur et milieu d’un segment
Si le point I est le milieu du segment [AB] alors :
AI = 𝐼𝐵 ou AB = 2 AI = 2𝐼𝐵
IA + IB = 0
Exercice : ABCD est un parallélogramme de centre O.
Trouve tous les vecteurs égaux de la figure
Trouve des vecteurs opposés à AB ; à AC
5. Vecteur et translation
a. Définition
Un point N est l’image d’un point M par la translation du vecteur AB signifie que AB = MN
On note tAB (M) = N ou N = tAB (M) (construction)
Remarque :
AB = MN signifie que ABNM est un parallélogramme
L’image de A par tAB est B
b. Image d’un segment
Soit la figure suivante, construis l’image [M’N’] du segment [MN] par la translation de vecteur AB
Propriété : l’image d’un segment par une translation est un segment de même longueur
c. Image d’un cercle
Soit la figure suivante, construis l’image (C’ ) du cercle (C ) par la translation de vecteur AB
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Propriété : l’image d’un cercle par une translation est un cercle de même rayon
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SEQUENCE 2 : ADDITION VECTORIELLE
Durée : 06 h
Matériel : matériel de géométrie, calculatrice
DEROULEMENT
Organisation de la classe : Le travail se fera individuellement ou par groupe
TRACE ECRITE
II- ADDITION DE DEUX VECTEURS
1. Définition
Soient deux vecteurs et un point A.
B = tu (A) et C = t v (B)
Le vecteur w = AC est le vecteur somme de u + v . On écrit w = u + v
2. Configuration
NB : Le vecteur somme de u + v ne dépend pas du choix du point de A
Méthode : Pour additionner des vecteurs on les représente "bout à bout", et on joint l’origine du premier
vecteur à l’extrémité du dernier. L’ordre des vecteurs n’a pas d’importance : u + v = v + u
3. Relation de Chasles
Quelque soient les points A, B et C, on a : 𝐀𝐁 + 𝐁𝐂 = 𝐀𝐂
u
v
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4. Propriétés de l’addition vectorielle
a. Commutativité
Quelque soient les vecteurs u et v , on a : u + v = v + u
NB : la configuration du parallélogramme illustre la commutativité de l’addition vectorielle
b. Associativité
Quelque soient les vecteurs u , v et w on a toujours : ( u + v ) + w = u + ( v + w )
Exemple :
Montre que AS + HA + CH = CS
AS + HA + CH = CH + HA + AS = ( CH + HA ) + AS = CA + AS = CS
c. Vecteur nul
Par définition, le vecteur nul est le vecteur de longueur nulle. Il est noté 0 et se lit « vecteur nul »
AA = BB = MM = 0
Le vecteur nul est l’élément neutre de l’addition vectorielle : u + 0 = u
d. Vecteurs opposés
Deux vecteurs opposés sont deux vecteurs qui ont la même direction, des sens contraires et la même longueur
AB et BA sont des vecteurs opposés et on a : AB = - BA
Deux vecteurs sont opposés lorsque leur somme est égale au vecteur nul. Ainsi AB + BA = AA = 0
Exemple : montre que AB - AC = CB
AB - AC = AB + (- AC ) = AB + CA = CA + AB = CB
Exercice : soit ABC un triangle quelconque, I et J les milieux respectifs de [AC] et [AB].
Démontre que BC = 2 × JI
I milieu de [AC] donc AC = 2 AI = 2 IC
J milieu de [AB] donc AB = 2 AJ = 2 JB
AC - AB = 2 AI - 2 AJ = 2 (AI - AJ )
v
u + v
u
u + v = AB + BC = AC
v + u = AD + DC = AC
D’où u + v =v + u v
u
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AC + BA = 2 (AI + JA ) ⇒ BA + AC = 2 (JA + AI ) ⇒ BC = 2 × JI
III-MULTIPLICATION D’UN VECTEUR PAR UN NOMBRE REEL
1. Définition
Soit u est un vecteur et k un réel, on appelle produit du vecteur u par k, le vecteur noté k × u tel que :
k.u et u ont même direction
k.u et u ont même sens si k > 0
k.u et u sont de sens opposé si k < 0
k.u a pour longueur k fois la longueur du vecteur u
Remarque
Si u = 0 alors k. u = k. 0 = 0
Si k = 0 alors k. u = 0. u = 0
Construction
Soit u un vecteur, construisons les vecteurs v , w et p tel que : v = 3 u , w = -2 u et p = 4 u
2. Propriétés
Soient u et v deux vecteurs, k et k’ deux réels, on a :
1 u = u
k(u + v ) = k u + k v
k(k’ u ) = ( k × k’ ) u
k u + k’ u = ( k + k’ ) u
Exemple
3 AB + 4 AB = (3 + 4) AB = 7 AB 5 AB - AB = (5 - 1) AB = 4 AB
6 AB - 6 CB = 6 (AB + BC ) = 6 AC 3 (4 AB ) = ( 3 × 4) AB = 12 AB
3. Vecteurs colinéaires
Définition
Deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont tous les deux la même direction ou si l’un de ces vecteurs est nul
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Propriétés
Soient u et v deux vecteurs, k un réel :
Si u = k v alors u et v sont colinéaires
Si u et v sont colinéaires alors il existe k tel que u = k v
Remarque
A, B et M sont alignés si et seulement si AM = k AB
(AB) // (CD) sont parallèles si et seulement si AB = k CD
Formulation vectoriel du théorème de Thalès
ABC est un triangle et k un réel non nul,
M un point de (AB) et N un point de (AC) et (MN) // (BC) équivaut à :
AM = k AB et AN = k AC et MN = k BC
Exo d’application
Soit ABC un triangle rectangle en A. E, K et F sont trois points tel que :
AE = 2 AC + AB BF = 2 BC AK = 2 AC
Construis le triangle puis place les points E, K et F
Trouve une relation vectorielle entre les vecteurs EF et KF . En déduis que les points E, F et K sont alignés.
Exo : trace un triangle ABC puis construis les ponts P, Q et R tels que :
AP = AB + AC BQ = BC + BA CR = CA + CB
Que peut – on dire des droites (AP), (BQ) et (CR)
Solution
Conjecture : il semble que A soit le milieu de [RQ]
Preuve : RA = BC et AQ = BC d’où RA = AQ et A est le milieu de [RQ]
On prouvera de même que B et C sont les milieux respectifs de [RP] et [PQ].
(AP), (BQ) et (CR) sont donc les médianes du triangle PQR et sont par conséquent concourants
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Evaluation des connaissances procédurales
CONSTRUCTION
Exercice 1 : On considère un triangle ABC
Marque les points D, E et F tels que BD = DC EA = CE EF = CD
Que représente le triangle DEF pour le triangle ABC ?
Exercice 2 : Soit un triangle ABC. Construis les points D, E et F tels que :
AD = AB + AC BE = BA + BC CF = CA + CB
Exercice 3 : Soit ( O, I, J ) un repère orthonormé. Construis le polygone OABCDEFGH où :
OA = OI + OJ OB = 2 OI OH = 2 OJ OC = 2 OB
OF = 2 OH OD = OB + OH OG = OD + BA OE = OG + AD
Exercice 4 : On considère un triangle ABC
Marque les points D, E et F tels que AD = BC CE = AB BF = CA
Que représente le triangle ABC pour le triangle DEF ?
Exercice 5 : Soit un triangle ABC. Construis les points E, F, G et H tels que :
AE = AB + AC AF = - AB + AC AG = - AC + BA AH = - AC + AB
Exercice 6 : Dans chaque cas, marque quatre points A, B, C et D
Construis le point E tel que AE = AB + CD
Place un point O et Construis le point F tel que OF = AB + CD
Exercice 7 : En utilisant la relation de Chasles, écris le plus simplement possible les vecteurs u 1, u 2 et u 3
u 1= AB + BC + CE u 2= 2 AB + AK + 2 BK u 3= 2 AB -7 AB + 6 AB
Exercice 8 : Simplifie les sommes suivantes : AB + CA + BC ; AB + CA + BA ; AE + AE + BA + EB
OA + CD + AB + DO + BC
Exercice 9 : On pose : u = i - 3 j v = 3 i w = - i + 2 j
A = 3 u - v B = u + v - 7 w C = v + 5 w
Exprime les vecteurs A , B et C en fonction des vecteurs i et j
Exercice 10: ABCD est un rectangle et BRIC est un losange.
Simplifie les sommes : AB + CI ; AB + RI ; DC + BR
AD + IR ; IC + DA ; AB + RI + CD
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Exercice 11 : Soit un losange ABCD. Simplifie les sommes : AB + CD ; BC + DA ; BC + BA
Exercice 12 : Soit un triangle ABC tel que AB = 7 cm, AC = 6 cm et BC = 5 cm et soit le point I du segment
[AB] tel AI = 4 cm.
Construis le point J image de I par la translation de vecteur BC . Justifie la construction
Exercice 13 : Vecteurs et forces
Reproduis, sur quadrillage, la figure suivante qui
représente un « objet » O, soumis à l’action de trois forces.
Rajoute une force s’exerçant en O, de façon que l’ »objet »
reste immobile. Indication : construis le point M tel que OM = ( OA + OB ) + OC
Exercice 14 : Soit un triangle ABC et I, J et K les milieux respectifs des côtés [AB], [AC] et [BC].
Au compas seulement, construis les points M et N tel que : MA + MB = AC et NA + NC = AB
Exercice 15 :
1. Refais la figure ci – contre dans laquelle :
La droite (d) et les points A et B sont fixes ; le point M est variable sur (d).
Soit le point M’tel que BM′ = AM
Construis la ligne sur laquelle se déplace M’ lorsque M se déplace sur la droite (d)
2. Même consigne sachant que :
a. BM′ = MA
b. M’ est le symétrique de M par rapport au milieu de [AB]
Fais une remarque pour le cas b)
Exercice 16 : la tache
Construis (pas de tracé dans la tache) le point M tel que :
M a pour image N par la translation tBC
N a pour image C par la translation tBA
Exercice 17 : construis un parallélogramme ABCD.
Quels sont les points P et Q tels que : DP = DA + AB et CQ = CD + CB
Construis le point E image de C par la translation t de vecteur AD
Quel est le transformé par la translation t du triangle ABC
Compare AC et DE
Exercice 18 : Trace un cercle C ( O ; 5 cm ), puis un diamètre [AB].
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Place un point M du cercle tel que BM = 6 cm, puis les points I, J et K images respectives des points A, B et
M par la translation tOM .
Calcule la valeur exacte du périmètre et de l’aire du triangle IJK
Exercice 19 : Soit un parallélogramme ABCD. Place un point M sur la diagonale [BD].
Construis les points E et F vérifiant : AM + AD = AE et AM + AB = AF
Donne deux vecteurs égaux à AD . En déduis que MBCE est un parallélogramme
Donne deux vecteurs égaux à AB . Que peut – on en déduire pour le quadrilatère MDCF ?
Démontre en utilisant les questions précédentes que les points E, C et F sont alignés.
Exercice 20 : On donne un segment [EF]. Construis le point M du segment [EF] tel que 3 EM + 5 FM = 0
Exercice 21 : le sommet C du triangle ABC ne tient pas sur la feuille
Sans rien tracer hors de la feuille, construis le triangle A’B’C’
Image du triangle ABC par la translation de vecteur BB′ .
(Indique les étapes de la construction)
PROBLEMES
Exercice 22 : soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 8 cm et AC = 6 cm
On désigne par D le milieu du segment [AB], par I le milieu du segment [CD], par P le point d’intersection des
droites (BC) et (AI), par E le point tel que CE = AD
Calcule les longueurs BC et DC
Détermine la tangente de l’angle CDA
Justifie que E ∈ (AI)
Démontre que le quadrilatère BDCE est parallélogramme. On notera O son centre
Que représente le point P dans le triangle CDE ?
Que peut – on dire du point d’intersection des droites (DP) et (EC) ?
Vrai ou faux ? AP = 2 PE ( c'est-à-dire PE + PE )
Exercice 23 : Soit ABC un triangle quelconque. I et J sont les milieux respectifs des cotés [AB] et [AC].
E est le symétrique de C par rapport à I. D est l’image de J par la translation de vecteur BJ
Précise la position des points E, A et D
Exercice 24 : ABCD est un parallélogramme,
I et J sont les symétriques respectifs de B et C par rapport à A et C .
Compare les vecteurs IA et AB DC et CJ IA et CJ
Quelle est la nature du quadrilatère IAJC
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Exercice 25 : Refaire la figure de l’exercice 24, puis construit le point G tel que CG = BC
Prouve que DG = BG puis précise la position des points I, D et G
Exercice 26 : On considère un triangle ABC
Marque les points D, E et F tels que BD = AB CE = AB CF = AC
Quelle est l’image du triangle ABC par la translation de vecteur AB ; par la translation tAC ?
Démontre que E est le milieu de [DF]
Exercice 27 : On considère la figure ci – contre dans laquelle :
A, B, C et D sont sur un cercle de rayon 5 cm.
I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [BC]
E et F sont les symétriques respectifs de D par rapport à I et J
Compare les vecteurs AE , DB et CF
Calcule la longueur du cercle circonscrit au triangle BEF
Exercice 28 : Trace un cercle de centre O ; place un point A sur le cercle puis marque :
B et F les points d’intersection du cercle et de la médiatrice de [OA]
C, le symétrique de F par rapport à O
D, l’image de C par la translation tAF
E, l’image de D par la translation tBA
G, l’image de E par la translation tCB
Emettre une conjecture puis la démontrer
Exercice 29 : Soit un parallélogramme ABCD. Démontre que pour tout point M du plan : AB + CM = DM
Exercice 30 : Soit un parallélogramme ABCD.
Construis les points E et F tels que : DE = AD et BF = AB
Démontre que EC = CF . ( Établis que EC = CF sont égaux au vecteur DB )
Exercice 31 : Soit un quadrilatère ABCD.
Construis le point E tel que AB + AD = AC + AE (indication : construis le point F tel que AF = AB + AD puis
le point E tel que AF = AC + AE
Que dire de BCDE ? Justifie.
Exercice 32 : Soit G le centre de gravité du triangle ABC.
1. Construis le symétrique E de A par rapport à G.
2. Démontre que BGCE est un parallélogramme. On utilisera les propriétés suivantes :
La droite des milieux dans un triangle est parallèle, au troisième triangle
Un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles est un parallélogramme
Si L est le milieu de [MN] alors ML = LN
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3. Que peut –on en déduire pour GB + GC ?
4. Démontre que GA + GB + GC = 0
Exercice 33 : ABC est un triangle, construis E et D tels que : BA + BC = BD et AC + BD = AE
Montre que les points A, D et E sont alignés
Quelle est la nature du quadrilatère BDEC ? Justifie.
Exercice 34 : construis un triangle équilatéral ABC de 3 cm de côté.
Construis E et D tels que : 2 AC = AE et BA + 2 BC = DA
Montre que les points B, C et D sont alignés
Exercice 35 : A, B, C et D sont quatre points du plan. Justifie que AC + BD = AD + BC
Exercice 36 : construis un triangle équilatéral ABC de 3 cm de côté.
Construis les points E, F et Y tels que : AF = 2 AB ; AE = 2 AC et S𝐂(B) = Y
Montre que les droites (BY) et (EF) sont parallèles ?
Montre que le quadrilatère BAYE est un rectangle
Montre que FBYE est un parallélogramme
Quelle est la nature exacte du quadrilatère FAYE ? Justifie.
Montre que le cercle (𝒞) (C ; AC ) passe par les points B, Y et E
Ce cercle coupe la droite (FE) en I. Montre que I est le milieu du segment [FE]
Les droites (AI) et (BE) sont sécantes en G. Montre que le point G appartient à la droite (FC)
Exercice 37 : A et B sont deux points du plan et M un point tel que : 3 AM - 2 MB = 0
Exprime le vecteur AM en fonction du vecteur AB
Construis le point M
Exercice 38 : A et B sont deux points du plan et M un point tel que : 2 AM - MB = 0
Exprime le vecteur AM en fonction du vecteur AB
Construis le point M
Exercice 39 : ABC est un triangle et G son centre de gravité. Les points P, M et N sont les milieux respectifs
des côtés [BC], [AC] et [AB]
Exprime AG en fonction de AP ; BM en fonction de GB ; NG en fonction de CN
Exercice 40 : ABCD est un parallélogramme de centre O et M un point du plan.
Démontre que MA + MC = MB + MD
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