TITRISATION
Journées d’étude des actuaires SACEI - IA
Présentation du 15 mars 2008
par Vincent DUPRIEZ
F I X A G E
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 2
Sommaire
1. Introduction1. Introduction
2. Pourquoi titriser ?2. Pourquoi titriser ?
3. Les intervenants3. Les intervenants
4. Les perspectives4. Les perspectives
5. Application au risque de mortalité5. Application au risque de mortalité
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 3
1. Introduction
Une titrisation est un montage financier qui permet à un assureur de vendre
une partie de son risque aux marchés financiers. Pour se faire, l’assureur
émet des obligations qu’il rembourse (comme un emprunt classique) si le
risque qu’il veut couvrir ne se réalise pas mais qu’il ne rembourse pas ou
que partiellement dans le cas contraire.
L’exemple le plus connu de ce type de montage financier est les Cat-Bonds
qui garantissent les assureurs contre des risques de catastrophe naturelle
(ouragan, inondation, …).
Les premières tentatives de titrisation ont eu lieu en 1995-1996, mais ont
rencontré un succès mitigé auprès des investisseurs, déroutés par l’aspect
jugé trop aléatoire de ces instruments. L’intervention des agences de
notation fut un élément déterminant dans la réussite des premiers
placements de « Cat-Bonds » fin 1996.
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 4
Sommaire
1. Introduction1. Introduction
2. Pourquoi titriser ?2. Pourquoi titriser ?
3. Les intervenants3. Les intervenants
4. Les perspectives4. Les perspectives
5. Application au risque de mortalité5. Application au risque de mortalité
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 5
2. Pourquoi titriser ?
2.1. Diminuer son exposition au risque2.1. Diminuer son exposition au risque
La titrisation est, par définition, une opération de transformation de
risques en titres négociables. A ce titre, elle permet notamment de se
couvrir contres les risques extrêmes suivants (par l’intermédiaire
d’obligations catastrophes) :
• Catastrophes naturelles
• Mortalité extrême
• Longévité
• Déviation de la sinistralité en IARD
Au contraire de la réassurance classique, ce type d’opération permet aux
assureurs d’avoir un prix fixe sur plusieurs années et d’éliminer le risque
de contrepartie.
Il permet également aux assureurs de libérer une partie de leurs fonds
propres (si la réglementation le permet) et d’augmenter ainsi leur
rendement.
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 6
2. Pourquoi titriser ?
2.2. S'autofinancer2.2. S'autofinancer
2.2.1. Financement de l’activité :
Les assureurs vie se sont rapidement rendus compte que les opérations de
titrisation pouvaient être un bon moyen de financement car elles leur
permettent de réaliser immédiatement la valeur de leurs actifs générateurs
de trésorerie.
Le principe est par exemple de titriser les flux de paiements de primes
futures de polices d’assurance vie, l’élément déclencheur de la couverture
étant alors la qualité des paiements de primes (dépendant de la mortalité
par exemple).
On peut aussi citer les titrisations d’Embedded Value qui permettent de
monétiser les frais d’acquisitions reportés et d’anticiper la valeur des
bénéfices futurs.
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 7
2. Pourquoi titriser ?
2.2.2. Financement d’exigence de capital réglementaire :
Ce cas est plus spécifique aux Etats-Unis où, pour certains contrats
temporaires décès et d’assurance vie, les contraintes réglementaires en
terme d’exigence de capital sont très fortes (réglementation XXX).
Les assureurs américains considérant qu’elles ne sont pas
« économiquement » réalistes, ont recours à la titrisation des réserves
dites « redondantes ». Ces réserves redondantes sont égales à la différence
entre le montant des réserves réglementaires et le montant des réserves
« économiques ».
La garantie d’exigence de capital réglementaire est ainsi fournie par les
investisseurs. Leur investissement sera réduit d’autant que le montant des
sinistres dépasse les réserves « économiques » constituées par la société.
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 8
2. Pourquoi titriser ?
2.3. Le montage2.3. Le montage
2.3.1. Le schéma type en assurance :
Emetteur
Collatérisation
Véhicule de titrisation Investisseur
Garantie financière
Prime (1)
Investissement initial (2)
Coût pour l’investisseur (4)
Intérêts + Prime (3)
Intérêts prévus (8)
Revenus portefeuilles (7)
Garanties (6) Indemnités (5)
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 9
2. Pourquoi titriser ?
2.3.2. Détail des flux :
• (1) Prime : Elle correspond à la rémunération de l’investisseur (sous
forme de spread)
• (2) Investissement initial : Il correspond au montant des obligations
achetées par l’investisseur
• (3) Intérêts prévus + Prime : En cas de non-survenance du risque,
l’investisseur reçoit ses remboursements à un taux « sans risque »
augmenté d’un spread
• (4) Coût pour l’investisseur : En cas de survenance du risque, tout ou
partie de l’investissement initial est versé à l’émetteur selon des
règles déterminées à l’émission
• (5) Indemnités : L’organisme de garantie financière est rétribué pour
la garantie qu’il apporte
• (6) Garantie : La garantie financière garantit le remboursement du
capital et des intérêts
• (7) Revenus portefeuille : Les revenus du portefeuille sont versés à
un organisme de collatérisation
• (8) Intérêts prévus : Celui-ci garantit au véhicule de titrisation un
niveau de performance égal au taux d’intérêt prévu ; taux « sans
risque » (LIBOR …) + spread
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Sommaire
1. Introduction1. Introduction
2. Pourquoi titriser ?2. Pourquoi titriser ?
3. Les intervenants3. Les intervenants
4. Les perspectives4. Les perspectives
5. Application au risque de mortalité5. Application au risque de mortalité
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3. Les intervenants
3.1. Les intervenants du montage3.1. Les intervenants du montage
3.1.1. L’émetteur :
Il s’agit d’un assureur ou d’un réassureur dont la taille et les ressources
sont assez importantes pour paraître crédible sur un sujet aussi pointu que
la titrisation.
3.1.2. Les investisseurs :
Ce type d’obligation étant novateur, elles bénéficient d’un rendement plus
élevé que d’autres titres ayant le même risque. De plus, elles permettent
une diversification des portefeuilles d’actifs puisque les risques
catastrophe et crédit sont très peu corrélés.
Les principaux investisseurs sont les hedges funds, les fonds catastrophes
et les gérants de fonds. Les assureurs vie investissent dans une moindre
mesure mais de moins en moins directement.
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 12
3. Les intervenants
3.1.3. Le véhicule de titrisation :
Il peut prendre deux formes distinctes : une entité disposant d’une
personnalité juridique propre (type S.A.) ou une personnalité juridique non
propre. Dans ce dernier cas (plus rare), le véhicule prend la forme d'un
fonds commun de placement organisé soit en copropriété, soit en fiducie et
doit disposer d’une société de gestion distincte.
3.1.4. La garantie financière :
Afin d’améliorer la notation du montage, l’émetteur peut avoir recours à un
assureur caution (assureur monobranche ou organisme d’amélioration de la
qualité du crédit) qui peut venir porter la notation du titre à AAA.
3.1.5. La collatérisation :
L’organisme de collatérisation garantit au véhicule de titrisation le
versement des intérêts prévus au contrat (taux « sans risque » + spread)
quel que soit le rendement des investissements effectués.
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 13
3. Les intervenants
3.2. Les intervenants annexes3.2. Les intervenants annexes
3.2.1. Le réassureur :
Si l’émetteur est un assureur, il peut avoir recours à l’assistance d’un
réassureur et bénéficier de ses connaissances des risques extrêmes pour
définir les risques à couvrir.
3.2.2. L’actuaire :
L’actuaire est chargé de modéliser les risques contre lesquels la société
veut se couvrir. C’est en partie à lui de définir le spread des obligations
en fonction des projections qu’il a pu faire et des conséquences observées.
3.2.3. Les agences de notation :
Elles sont chargées de mettre une notation aux obligations émises en
fonction des risques définis et des informations communiquées par
l’actuaire.
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 14
3. Les intervenants
3.2.4. Les juristes :
Les juristes interviennent dans ce type de montage du fait de la complexité
des transactions et des connaissances en droit qu’elles nécessitent.
3.2.5. Le fonds de garantie :
Les capitaux reçus par le véhicule de titrisation (investissement initial
des investisseurs et prime versée par l’émetteur) sont versés à un fonds de
garantie qui les gère.
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 15
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1. Introduction1. Introduction
2. Pourquoi titriser ?2. Pourquoi titriser ?
3. Les intervenants3. Les intervenants
4. Les perspectives4. Les perspectives
5. Application au risque de mortalité5. Application au risque de mortalité
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 16
4. Les perspectives
La titrisation connaît une hausse de sa popularité depuis quelques années
et elle devrait encore augmenter avec l’introduction de la nouvelle norme
Solvency II. En effet, elle devrait permettre d’intégrer l’effet de la
titrisation dans le transfert du risque et la réduction des fonds propres
qui en découle (supérieure à la réassurance a priori puisque plus de risque
de contrepartie).
Les réassureurs ne seront pas forcément en retrait pour autant car ils sont
les plus aptes à avoir des portefeuilles de taille critique et bien
diversifiés (pour les cas de titrisations du risque de mortalité par
exemple) et ont une expérience approfondie des risques en général.
Les titrisations déjà réalisées (EV, risque de mortalité, …) devraient
continuer à se développer tandis que celles liées au risque de longévité
ont un avenir incertain malgré le risque non négligeable pour les assureurs
ayant des portefeuilles de rentiers. En effet, les investisseurs ne sont
pas prêts à prendre des engagements longs (plus de 3 ou 5 ans) alors qu’une
émission de type risque de longévité devrait au moins porter sur 15 ou 20
ans pour être réaliste.
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 17
Sommaire
1. Introduction1. Introduction
2. Pourquoi titriser ?2. Pourquoi titriser ?
3. Les intervenants3. Les intervenants
4. Les perspectives4. Les perspectives
5. Application au risque de mortalité5. Application au risque de mortalité
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 18
5. Application au risque de mortalité
5.1. L’opération de titrisation du risque de mortalité5.1. L’opération de titrisation du risque de mortalité
5.1.1. Le risque :
Cette titrisation permet à un assureur de se prémunir contre le risque de
décès massif au sein de sa population d’assurés (risque non diversifiable
contrairement au risque terroriste par exemple).
Ce risque n’est pas transférable à un réassureur traditionnel car en cas de
chocs, le risque de défaut du réassureur est très important.
La couverture de ce type d’opération est déclenchée si l’évolution d’un
indice de mortalité de référence dépasse un certain seuil à la hausse. À
noter que le recours à un indice externe peut conduire à une efficacité
imparfaite de la couverture : la corrélation peut être partielle entre la
mortalité de la population servant de base à l’indice externe et la
mortalité de la population assurée. Il faut noter que cet indice est
souvent paramétré sur l’indice de plusieurs pays afin d’éviter d’être
affecté par des événements mineurs. Il s’agit de couvrir le risque
systémique d’occurrence très rare (de type grippe espagnole) et non le
risque d'événements comme un crash aérien ou une explosion d’usine. En
effet, pour ces derniers cas, le risque est mutualisable et cessible en
réassurance pour un coût moindre.
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 19
5. Application au risque de mortalité
5.1.2. Détails de l’opération VITA I :
C’est la 1ère titrisation du risque de mortalité réalisée. Son instigateur
est Swiss Re.
• Date d’émission : Novembre 2003
• Maturité : 1er janvier 2007
• Période de couverture : 1er janvier 2004 au 31 décembre 2006 (3
ans)
• Pays couverts : USA (70%), Royaume-Uni (15%), France, Suisse et
Italie
• Indice de référence annuel (taux de mortalité pour 100 000
habitants en 2002 tout âge confondu de la population ci-dessus)
• Déclenchement de la couverture : si entre 2004 et 2006 le taux
de mortalité dépasse 130% de l’indice de 2002
• Épuisement de la couverture : si entre 2004 et 2006 le taux de
mortalité dépasse 150% de l’indice de 2002
• 400 Millions d’euros de couverture souscrits
• Risque sur le capital
• Spread : 1,35%
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 20
5. Application au risque de mortalité
5.1.3. Fonctionnement :
Nous allons traiter du fonctionnement de l’opération dans le cas de
l’opération VITA I.
À l’émission
Swiss RE a créé une société ad hoc ou Special Purpose Vehicle (SPV). Le SPV
s’engage auprès de Swiss RE au titre d’un contrat de couverture. Moyennant
le versement d’une prime, le SPV est tenu d’indemniser Swiss RE si les
indices de mortalité 2004, 2005 ou 2006 dépassent de plus de 30% l’indice
de 2002.
Simultanément le SPV émet des obligations qu’il place auprès
d’investisseurs. Les fonds reçus par le SPV sont placés en actifs sans
risque. Les coupons versés par celui-ci correspondent au LIBOR + 1,35%. Prime (spread) FondsAssureur SPV Investisseurs
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 21
5. Application au risque de mortalité
En l’absence de sinistre
Le SPV paye le coupon (LIBOR + spread à 1,35%) aux investisseurs à chaque
date anniversaire du contrat. La partie LIBOR du coupon est payée grâce aux
intérêts perçus sur les fonds placés et le spread correspond à la prime
reçue au lancement de l’opération par le SPV.
À l’échéance, le SPV rembourse le principal aux investisseurs.
CouponAssureur SPV Investisseurs
CapitalAssureur SPV Investisseurs
+ Coupon
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 22
5. Application au risque de mortalité
En cas de sinistre
Si un sinistre atteint une intensité suffisante pour faire jouer la
couverture (le taux de mortalité dépasse 130% de l’indice de référence), le
SPV indemnise l’assureur.
Dans le cas de Swiss RE, si par exemple l’indice de mortalité atteint 140%
de l’indice de référence une année, l’indemnité s’élèvera à 50% du
capital .
Au terme du contrat, s’il n’y a eu que l’événement ci-dessus, les
investisseurs recevront un dernier coupon et leur capital restant (50% du
capital initial)
Capital réduitAssureur SPV Investisseurs
+ Coupon
IndemnitésAssureur SPV Investisseurs
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 23
5. Application au risque de mortalité
5.2. Comparaison avec la réassurance5.2. Comparaison avec la réassurance
5.2.1. Avantages :
• Plus de risque de contrepartie du réassureur puisque l’assureur est
sûr de toucher les capitaux prévus au contrat
• Le transfert de risque est réel
• Offre des capacités nouvelles de financement
5.2.2. Inconvénients :
• La réglementation actuelle ne reconnaît pas le transfert de risque
(cela devrait changer avec Solvency II) donc pas d’effet sur
l’exigence de marge de solvabilité
• Le coût important de ce type de montage (rémunération des
investisseurs et coût de mise en place du montage)
• Le montant de couverture idéal doit se situer, au minimum, entre 200
et 300 millions d’euros d’après les experts
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 24
5. Application au risque de mortalité
5.3. Historique des titrisations du risque de mortalité5.3. Historique des titrisations du risque de mortalité
5.3.1. Opérations réalisées
On dénombre seulement, à ce jour, 5 opérations de titrisation du risque de
mortalité :
• 2003 : Opération VITA I de Swiss Re (250 Millions d’euros de
couverture proposés au lancement, 400 Millions d’euros souscrits au
final)
• 2005 : Opération VITA II de Swiss Re (200 Millions d’euros de
couverture proposés au lancement, 362 Millions d’euros souscrits au
final)
• 2006 : Opération Tartan de Scottish Re (150 Millions d’euros de
couverture proposés au lancement, 155 Millions d’euros souscrits au
final)
• Fin 2006 : AXA (345 Millions d’euros souscrits)
• Début 2007 : Nouvelles émissions de titre de la part de Swiss Re (706
Millions d’euros souscrits)
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 25
5. Application au risque de mortalité
5.3.2. Evolution des opérations
• Opération VITA I de Swiss Re : Population couverte : USA (70%), Royaume-Uni (15%), France,
Suisse et Italie Durée de couverture : 3 ans Indice de référence annuel 1 seul tranche de risque (de 130% à 150% de l’indice de
référence) Spread de 1,35% Risque sur le capital
• Opération VITA II de Swiss Re : Population couverte : USA (62,5%), Canada, Royaume-Uni,
Allemagne et Japon Durée de couverture : 5 ans Indice de référence biannuel 3 tranches de risque (de 110% à 115%, de 115% à 120% et de 120%
à 125% de l’indice de référence) Spreads de 1,9%, 1,4% et 0,9% Risque sur le capital
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 26
5. Application au risque de mortalité
• Opération Tartan de Scottish Re : Population couverte : USA pendant 2 ans Indice de référence biannuel 2 tranches de risque (de 110% à 115% et de 115% à 120% de l’indice de
référence) Risque sur le capital
• Opération d’AXA : Population couverte: France (60%), Japon (25%) et Etats-Unis (15%)
pendant 4 ans Indice de référence biannuel 3 tranches de risque (de 106% à 110%, de 110% à 114% et de 114% à
119% de l’indice de référence) Spread de 5%, 2,85% et 1,2% Risque sur le capital ou sur les intérêts (pour la tranche 114%-
119% ; spread de 0,2%)
• Opération de Swiss Re : Renouvellement de la couverture de l’opération VITA I qui arrivait à
échéance
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 27
5. Application au risque de mortalité
5.4. Techniques de tarification5.4. Techniques de tarification
5.4.1. Méthodologie de Milliman :
Milliman est intervenu sur la plupart des opérations de titrisation du
risque de mortalité.
• Pour l’opération VITA I
D’après les informations dont nous disposons, Milliman a utilisé 94 années
de taux historiques de mortalité (voir graphique ci-dessous), a éliminé la
tendance à la diminution de la mortalité et a effectué 50 000 simulations
en « bootstrap » mais nous n’avons pas plus d’informations.Nombre de morts pour 100 000 habitants de 1907 à 2000
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 28
5. Application au risque de mortalité
• Pour les opérations VITA II et Tartan
Pour ces opérations, le modèle utilisé par Milliman a été
significativement amélioré.
Un modèle stochastique de mortalité a été développé
Il s’appuie sur 3 modèles de mortalité
Le modèle de mortalité « de base » Le modèle de mortalité « épidémique » (celui qui prend 99% du
poids global) Le modèle de mortalité « terroriste »
Le 1er modèle s’appuie sur une régression des taux de mortalité
historiques Les deux derniers établissent des lois de « sévérité / fréquence »
sur une base d’événements historiques.
Cependant, comme pour la modélisation de l’opération VITA I, nous ne
disposons pas de plus d’informations.
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 29
5. Application au risque de mortalité
5.4.2. Méthodologie utilisée :
La tarification comporte au minimum 2 étapes : l’évaluation du coût
probable des risques (approche du type risque de défaut) et la conversion
de ce coût en spread.
Composantes théoriques du spread
Théoriquement, on peut diviser le spread en 4 composantes :
• Pertes moyennes attendues (Expected Loss)
• Aversion de l’investisseur
• Prime de liquidité
• Prime de nouveauté
Les pertes moyennes attendues sont le seul paramètre que l’on puisse
évaluer à partir d’une étude technique des risques.
Dans la suite, le but va alors être de reconstituer le spread de
l’opération VITA I (1,35% pour une unique tranche de risque ; 130% - 150%)
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 30
5. Application au risque de mortalité
Simulation des taux de mortalité
Données utilisées :
La population couverte en majeure partie par l’opération VITA I est les
Etats-Unis (à hauteur de 70%). Ne disposant pas du poids de certains autres
pays et des classes d’âges utilisées, nous nous limiterons aux données
américaines ci-dessous.Taux de mortalité aux Etats-Unis de 1900 à 2002
0.0%
0.5%
1.0%
1.5%
2.0%
2.5%
3.0%
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
Taux de mortalité
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 31
5. Application au risque de mortalité
Modèle utilisé :
Le modèle utilisé pour décrire les évolutions possibles de la mortalité
future est le modèle de Y. LIN et S.H. COX.
Caractéristiques :
• Modèle stochastique de mortalité
• Permet la prise en compte de sauts de mortalité
• Ecriture : qt+h = qt * exp{ (- 0,5 2) * h + * brownien) } * saut{t ; t +h}
• Le saut est de distribution lognormale (de paramètres m et s) et se
produit avec une certaine probabilité p
0%
2%
4%
6%
8%
10%
0.1273 1.6986 3.2699 4.8412 6.4125 7.9838 9.5551 11.126
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 32
5. Application au risque de mortalité
Estimation des paramètres :
• 5 paramètres à estimer et : paramètres classiques des formules de diffusion
financière p : probabilité de survenance d’un saut m et s : paramètres de la loi lognormale (soit u une loi normale
centrée réduite, on a le saut égal à em+s*u)
• Méthode Estimation par la méthode du maximum de vraisemblance Comme on cherche à ajuster au mieux les taux de mortalité
historiques, cela revient à ajuster au mieux les variations entre
les taux de mortalité d’une année à l’autre
On utilise alors la fonction Z(1) = ln(qt+1) – ln(qt)
On obtient Z(1) = (- 0,5 2) + * brownien + ln(saut{t ; t +1}) -
ln(saut{t ; t-1})
On peut alors envisager 4 scénarios pour la fonction ci-dessus : Entre t–1 et t et entre t et t+1, il n’y a pas de saut de
mortalité : probabilité de cette occurrence = (1-p)*(1-p) /
Moyenne = (- 0,5 2) / Ecart-type = 2
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 33
5. Application au risque de mortalité
Entre t – 1 et t, il n’y a pas de saut de mortalité et entre
t et t + 1, il y en a un : probabilité de cette occurrence =
(1-p)*p / Moyenne = (- 0,5 2) - m / Ecart-type = 2 + s2
Entre t–1 et t, il y a un saut de mortalité et entre t et
t+1, il n’y en a pas : probabilité de cette occurrence =
p*(1-p) / Moyenne = (- 0,5 2) + m / Ecart-type = 2 + s2
Entre t–1 et t et entre t et t+1, il y a des sauts de
mortalité : probabilité de cette occurrence = p*p / Moyenne =
(- 0,5 2) / Ecart-type = 2 + 2*s2
On peut alors en déduire la fonction de vraisemblance à maximiser
fZ(1)(z), qui est la somme des 4 lois normales issues des
scénarios, pondérée par les probabilités de survenance
fZ(1)(z) = (1-p)*(1-p)* fZ(1)(z,m1, 1) + (1-p)*p* fZ(1)(z,m2, 2) +
p*(1-p)* fZ(1)(z,m3, 3)
+ p*p* fZ(1)(z,m4, 4)
Utilisation du Solveur d’Excel pour cette maximisation
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 34
5. Application au risque de mortalité
• Résultats est négatif (explique la baisse de la mortalité) p est faible (autour de 1%)
Taux de mortalité aux Etats-Unis de 1900 à 2002
0.0%
0.5%
1.0%
1.5%
2.0%
2.5%
3.0%
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
Taux de mortalité
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 35
5. Application au risque de mortalité
Simulation :
Après avoir déterminé les paramètres du modèle, nous pouvons effectuer des
simulations (50 000 trajectoires). Nous obtenons alors une répartition des
taux de mortalité pour 2004 ci-dessous (graphique similaire pour les
simulations de 2005 et 2006).Répartition des taux de mortalité 2004 simulés
0.0%
0.5%
1.0%
1.5%
2.0%
2.5%
0.007200.007360.007520.007670.007830.007990.008150.008300.008460.008620.008780.008940.009090.009250.009410.009570.009730.009880.010040.010200.010360.010510.010670.010830.010990.011150.011300.011460.011620.011780.011930.01209
Taux de mortalité
Indice de référence
130% de l’indice
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 36
5. Application au risque de mortalité
Détermination des pertes moyennes attendues
Pour estimer les pertes attendues, nous utilisons une approche « risque de
défaut ». C’est-à-dire qu’à chaque fois qu’un taux de mortalité simulé
dépasse le seuil de déclenchement de la couverture, on considère qu’il y a
défaut de celui qui émet les obligations (assureur ou réassureur) et nous
évaluons les pertes associées pour l’investisseur (selon la règle suivante :
perte = Min (1; (indice simulé - 130% I)).
(150% I - 130% I))
Résultats sur les 3 années de couverture :
Résultats globaux :
• Pertes moyennes attendues : 0,011 %
• Fréquence de retour des pertes : 0,068 % (environ 1 fois tous les 1 500
ans)
Année 2004 2005 2006
Perte moyenne attendue 0,004% 0,002% 0,004%
Fréquence de retour 0,022% 0,012% 0,034%
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 37
5. Application au risque de mortalité
Utilisation d’un facteur de prudence : La transformée de Wang à 2
facteurs
Présentation de la transformée :
Pour déterminer la prime de risque à offrir à l’investisseur et donc le
spread proposé, nous appliquons la transformée de Wang, sous sa forme à 2
facteurs, à la distribution des taux de mortalité simulés.
Son écriture est F*(qt) = Q { (F(qt)) - } avec :
• Q est une loi de Student à 6 degrés de libertés et est une loi
normale centrée réduite
• F est la fonction de répartition correspondant à la fonction de
densité f, qui est la distribution initiale des taux de mortalité
simulés
• est un paramètre à fixer
Impact de la transformée :
Son impact est une déformation de la répartition initiale des taux de
mortalité qui donne plus de poids aux éléments défavorables (fort taux de
mortalité)
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 38
5. Application au risque de mortalité
Données initiales
0,0%
0,5%
1,0%
1,5%
2,0%
0,007 0,009 0,010 0,012 0,013 0,015 0,016
Taux de mortalité
Probabilité
Impact de la transformée de Wang à 1 facteur
0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
0,007 0,009 0,010 0,012 0,013 0,015 0,016
Taux de mortalité
Probabilité
Impact de la transformée de Wang à 2 facteurs
0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
0,007 0,009 0,010 0,012 0,013 0,015 0,016
Taux de mortalité
Probabilité
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 39
5. Application au risque de mortalité
Nouvelle distribution des taux de mortalité :
La distribution ci-dessous est obtenu à partir des taux de mortalité 2004
simulés auparavant auxquels on applique la transformée de Wang avec un
égal à 0,75.Répartition des taux de mortalité 2004 simulés et transformés
0.0%
0.5%
1.0%
1.5%
2.0%
2.5%
0.007200.007360.007520.007670.007830.007990.008150.008300.008460.008620.008780.008940.009090.009250.009410.009570.009730.009880.010040.010200.010360.010510.010670.010830.010990.011150.011300.011460.011620.011780.011930.01209
Taux de mortalité
Distribution initiale
Distribution transformée
Indice de référence
130% de l’indice
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 40
5. Application au risque de mortalité
Zoom sur la queue de distribution :
Répartition des taux de mortalité 2004 simulés et transformés
0.0%
0.2%
0.4%
0.6%
0.8%
1.0%
0.009410.009500.009590.009680.009770.009860.009950.010040.010130.010220.010310.010400.010490.010580.010670.010760.010850.010940.011030.011120.011210.011300.011390.011480.011570.011660.011750.011840.011930.012020.012120.01221
Taux de mortalité
Distribution initiale
Distribution transformée
130% de l’indice
Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 41
5. Application au risque de mortalité
Pertes moyennes finales
Résultats sur les 3 années de couverture :
Résultats globaux :
• Perte moyenne attendue : 1,35 % = spread de l’opération
• Fréquence de retour des pertes = 4,87 % (environ 1 fois tous les 20
ans)
Année 2004 2005 2006
Perte moyenne attendue 1,632% 1,327% 1,908%
Fréquence de retour 0,570% 0,338% 0,444%
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