Algbre Linaire Semestre 2 Bachelor 1 2009 - 2010

Fiche de TD N1

Espaces vectoriels NB : les exercices 2, 3 et 5 devront tre entirement traits par les tudiants seules quelques pistes de rsolution seront donnes en classe.

Exercice 1:

E = IRn ou IRn[X] sont considrs comme des espaces vectoriels rels. Montrer que les espaces F et G suivant sont des sous-espaces vectoriels de E.

1. E = IR3 ; F = { X = (x1 ,x2 , x3 ) / 2 x1 4 x2 + x3 = 0}

2. E = IR3[X]; F = { P E / P(0) = P'(0) = 0}

3. E = IR4 ; F = { X = (x1 ,x2 , x3 ,x4 ) / x1 - x2 = x4 et x1 - x4 = x3}

4. E = IR3[X]; F = { P E / P(1) = P'(1) = 0 et P(2) = 0 }, G = { P F / P'(2) = 0}

5. Donner une autre dfinition de F et G dans les questions 2 , 4.

Exercice 2:

oit E un espace vectoriel sur IR. Soient E1 , E2 2 sous-espaces vectoriels de E .

1. Montrer que E1 E2 et E1 + E2 sont des sous-espaces vectoriels de E .

2. E1 U E2 n'est pas toujours un s.e.v. Donner un exemple.

Exercice 3:

Soient u1, ...., up p vecteurs d'un espace vectoriel E. On note F = { X = 1u1 + ......... + pup / 1 , ......... , p IR} l'ensemble des combinaisons linaires de u1, ........ , up.

Montrer que F est le plus petit sous-espace vectoriel contenant u1, ........ , up.

Exercice 4:

On note B0 la base canonique de E = IRn ou de IRn[X]

1. Pour les s.e.v de l'exercice 1 , dterminer une famille gnratrice, une base B1, puis la dimension.

2. Complter dans chaque cas la base B 1 obtenue avec des lments de B 0 pour

obtenir une nouvelle base B ' de E contenant B 1

3. En dduire dans chaque cas, un sous-espace supplmentaire F' de F dans E

Exercice 5:

Soit B = {e1 , e2 , ... , en} la base canonique de E = IRn. On construit la famille B ' = {u1 , u2 , .... , un} avec u1 = e1 , u2 = e1 + e2, un = e1 + e2 + ... + en .

1. Montrer que B ' est une base de E.

2. Construire de la mme faon une nouvelle base de Pn.

Exercice 6:

Soit E = P4 .On considre les trois polynmes : P1 = X + X3 ; P2 = 1 + X + X + X4 ; P3 = 2 - X + 2X - 3X3 + 2X4

Dterminer un sous-espace supplmentaire E2 du sous-espace E1 engendr par la famille B1 = { P1 , P2 , P3 } (on donnera une base de E1 et une base de E2 ).

Exercice 7:

Soit E = IR3. Soient u1 = (1 , 1 , 1); u2 = (1 , 0 , 1); u3 = (1 , 2 , 1); u4 = (2 , 1 , 2). On note B1 = {u1 , u2}et B2 = { u3 , u4 } les familles gnratrices respectives de 2 sous-espaces vectoriels E1 , E2 de E.

1. Montrer que B 1 et B 2 sont des bases respectives de E1 , E2.

2. Montrer que E1 = E2