TD1_espaceVect
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Algèbre Linéaire Semestre 2 Bachelor 1 2009 - 2010 Fiche de TD N°1 Espaces vectoriels NB : les exercices 2, 3 et 5 devront être entièrement traités par les étudiants seules quelques pistes de résolution seront données en classe. Exercice 1: E = IR n ou IR n [X] sont considérés comme des espaces vectoriels réels. Montrer que les espaces F et G suivant sont des sous-espaces vectoriels de E. 1. E = IR 3 ; F = { X = (x 1 ,x 2 , x 3 ) / 2 x 1 – 4 x 2 + x 3 = 0} 2. E = IR 3 [X]; F = { P ∈ E / P(0) = P'(0) = 0} 3. E = IR 4 ; F = { X = (x 1 ,x 2 , x 3 ,x 4 ) / x 1 - x 2 = x 4 et x 1 - x 4 = x 3 } 4. E = IR 3 [X]; F = { P ∈ E / P(1) = P'(1) = 0 et P(2) = 0 }, G = { P ∈ F / P'(2) = 0} 5. Donner une autre définition de F et G dans les questions 2 , 4. Exercice 2: oit E un espace vectoriel sur IR. Soient E 1 , E 2 2 sous-espaces vectoriels de E . 1. Montrer que E 1 E 2 et E 1 + E 2 sont des sous-espaces vectoriels de E . 2. E 1 U E 2 n'est pas toujours un s.e.v. Donner un exemple. Exercice 3: Soient u 1 , ...., u p p vecteurs d'un espace vectoriel E. On note F = { X = α 1 u 1 + ......... + α p u p / α 1 , ......... , α p ∈ IR} l'ensemble des combinaisons linéaires de u 1 , ........ , u p . Montrer que F est le plus petit sous-espace vectoriel contenant u 1 , ........ , u p . Exercice 4: On note B 0 la base canonique de E = IR n ou de IR n [X] 1. Pour les s.e.v de l'exercice 1 , déterminer une famille génératrice, une base B 1 , puis la dimension. 2. Compléter dans chaque cas la base B 1 obtenue avec des éléments de B 0 pour obtenir une nouvelle base B ' de E contenant B 1 3. En déduire dans chaque cas, un sous-espace supplémentaire F' de F dans E Exercice 5: Soit B = {e 1 , e 2 , ... , e n } la base canonique de E = IR n . On construit la famille B ' = {u 1 , u 2 , .... , u n } avec u 1 = e 1 , u 2 = e 1 + e 2 , u n = e 1 + e 2 + ... + e n . 1. Montrer que B ' est une base de E. 2. Construire de la même façon une nouvelle base de P n . Exercice 6: Soit E = P 4 .On considère les trois polynômes : P 1 = X + X 3 ; P 2 = 1 + X + X² + X 4 ; P 3 = 2 - X + 2X² - 3X 3 + 2X 4 Déterminer un sous-espace supplémentaire E 2 du sous-espace E 1 engendré par la famille B 1 = { P 1 , P 2 , P 3 } (on donnera une base de E 1 et une base de E 2 ). Exercice 7: Soit E = IR 3 . Soient u 1 = (1 , 1 , 1); u 2 = (1 , 0 , 1); u 3 = (1 , 2 , 1); u 4 = (2 , 1 , 2). On note B 1 = {u 1 , u 2 }et B 2 = { u 3 , u 4 } les familles génératrices respectives de 2 sous-espaces vectoriels E 1 , E 2 de E. 1. Montrer que B 1 et B 2 sont des bases respectives de E 1 , E 2 . 2. Montrer que E 1 = E 2
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Algbre Linaire Semestre 2 Bachelor 1 2009 - 2010
Fiche de TD N1
Espaces vectoriels NB : les exercices 2, 3 et 5 devront tre entirement traits par les tudiants seules quelques pistes de rsolution seront donnes en classe.
Exercice 1:
E = IRn ou IRn[X] sont considrs comme des espaces vectoriels rels. Montrer que les espaces F et G suivant sont des sous-espaces vectoriels de E.
1. E = IR3 ; F = { X = (x1 ,x2 , x3 ) / 2 x1 4 x2 + x3 = 0}
2. E = IR3[X]; F = { P E / P(0) = P'(0) = 0}
3. E = IR4 ; F = { X = (x1 ,x2 , x3 ,x4 ) / x1 - x2 = x4 et x1 - x4 = x3}
4. E = IR3[X]; F = { P E / P(1) = P'(1) = 0 et P(2) = 0 }, G = { P F / P'(2) = 0}
5. Donner une autre dfinition de F et G dans les questions 2 , 4.
Exercice 2:
oit E un espace vectoriel sur IR. Soient E1 , E2 2 sous-espaces vectoriels de E .
1. Montrer que E1 E2 et E1 + E2 sont des sous-espaces vectoriels de E .
2. E1 U E2 n'est pas toujours un s.e.v. Donner un exemple.
Exercice 3:
Soient u1, ...., up p vecteurs d'un espace vectoriel E. On note F = { X = 1u1 + ......... + pup / 1 , ......... , p IR} l'ensemble des combinaisons linaires de u1, ........ , up.
Montrer que F est le plus petit sous-espace vectoriel contenant u1, ........ , up.
Exercice 4:
On note B0 la base canonique de E = IRn ou de IRn[X]
1. Pour les s.e.v de l'exercice 1 , dterminer une famille gnratrice, une base B1, puis la dimension.
2. Complter dans chaque cas la base B 1 obtenue avec des lments de B 0 pour
obtenir une nouvelle base B ' de E contenant B 1
3. En dduire dans chaque cas, un sous-espace supplmentaire F' de F dans E
Exercice 5:
Soit B = {e1 , e2 , ... , en} la base canonique de E = IRn. On construit la famille B ' = {u1 , u2 , .... , un} avec u1 = e1 , u2 = e1 + e2, un = e1 + e2 + ... + en .
1. Montrer que B ' est une base de E.
2. Construire de la mme faon une nouvelle base de Pn.
Exercice 6:
Soit E = P4 .On considre les trois polynmes : P1 = X + X3 ; P2 = 1 + X + X + X4 ; P3 = 2 - X + 2X - 3X3 + 2X4
Dterminer un sous-espace supplmentaire E2 du sous-espace E1 engendr par la famille B1 = { P1 , P2 , P3 } (on donnera une base de E1 et une base de E2 ).
Exercice 7:
Soit E = IR3. Soient u1 = (1 , 1 , 1); u2 = (1 , 0 , 1); u3 = (1 , 2 , 1); u4 = (2 , 1 , 2). On note B1 = {u1 , u2}et B2 = { u3 , u4 } les familles gnratrices respectives de 2 sous-espaces vectoriels E1 , E2 de E.
1. Montrer que B 1 et B 2 sont des bases respectives de E1 , E2.
2. Montrer que E1 = E2
