PremiereScientifique-1èreS-11thgradeGénéralitéssurlessuites
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TD 3 (4 PAGES) Exercice 1
Représenter à l’aide de la calculatrice le nuage de
points de chacune des suites suivantes puis conjecturer
leurs variations.
1) 𝑢! la suite définie pour 𝑛 ∈ ℕ par 𝑢! =!!
!!!!.
2) 𝑣! la suite définie par un premier terme 𝑣! = 5 et vérifie,
pour 𝑛 ≥ 1, la relation 𝑣! =!!𝑣!!! + 2.
3) 𝑤! la suite définie pour 𝑛 ∈ ℕ∗ par 𝑤! = −1 !× !"!
.
Exerc ice 2
Soit 𝑢! la suite définie pour 𝑛 ≥ 1 par
𝑢! = 1 + !"!
.
1) En étudiant le signe de 𝑢!!! − 𝑢!, montrer que la suite
𝑢! est décroissante à partir de 𝑛 ≥ 1.
2) Retrouver ce résultat en étudiant les variations de
𝑓 𝑥 = 1 + !"!
définie sur ℝ!∗
Exerc ice 3
Etudier les variations des suites définies pour tout
entier naturel par :
1) 𝑢! = 3𝑛 + 4
2) 𝑎! = −2𝑛 + 5
3) 𝑏! = 𝑛!
4) 𝑐! = 4!
Exerc ice 4
Etudier la monotonie de la suite définie par 𝑢! = 2
et pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢!!! = 𝑢! − 4.
Exercice 5
Soit 𝑢! la suite définie pour tout entier
naturel par 𝑢! = −1 !.
Calculer les 5 premiers termes de cette suite. Est- elle
monotone ?
Exercice 6
1) Soit 𝑢! la suite définie pour 𝑛 ∈ ℕ par
𝑢! = 𝑛! − 3𝑛 + 1. Démontrer que la suite 𝑢! est
croissante à partir d’un certain range que l’on précisera.
2) Soit 𝑣! la suite définie pour 𝑛 ∈ ℕ par 𝑣! = 2! − 𝑛
Démontrer que la suite 𝑣! est croissante à partir d’un
certain range que l’on précisera.
Exercice 7
1) Soit 𝑢! la suite définie pour 𝑛 ∈ ℕ par 𝑢! = 5𝑛 − 𝑛!.
Démontrer que la suite 𝑢! est décroissante à partir
d’un certain range que l’on précisera.
2) Soit 𝑣! la suite définie pour 𝑛 ∈ ℕ par
𝑣! = 𝑛! − 10𝑛 + 16 Démontrer que la suite 𝑣! est
croissante à partir d’un certain range que l’on précisera.
Exercice 8
𝑣! est la suite définie par un premier terme
𝑣! = 1 et vérifie, pour 𝑛 ∈ ℕ, la relation
𝑣!!! = 𝑣! + 𝑛! −!"!
. En étudiant le signe de 𝑣!!! − 𝑣!,
déterminer les variations de la suite 𝑣! .
Exerc ice 9
𝑣! est la suite définie par un premier terme
𝑣! = 1 et vérifie, pour 𝑛 ∈ ℕ∗, la relation 𝑣!!! =!!!!.
1) Construire la table de valeurs de 𝑣! , afficher son
nuage de point et conjecturer ses variations.
2) Comparer !!!! !!
à 1.
3) En admettant que tous les termes de la suite 𝑣! sont
strictement positifs, montrer que la suite 𝑣! est
décroissante à partir d’un certain rang à préciser.
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Exercice 10
𝑣! est la suite définie par un premier terme 𝑣! = 1 et vérifie, pour tout entier 𝑛 ≥ 1, la relation 𝑣! =! × !!!!!!!
.
En admettant que tous les termes de la suite 𝑣! sont strictement positifs, montrer que la suite 𝑣! est décroissante à partir
d’un certain rang à préciser.
Exerc ice 11
Voici un algorithme :
1) Exécuter cet algorithme pour U = 4 et n = 3.
2) Comment est définie la suite utilisée dans l’algorithme ?
3) Que souhaite-t-on tester avec cet algorithme ?
4) Que représente n ?
5) Que donne l’algorithme en sortie si on le teste avec U = 1 et n = 100 ?
Exercice 12
Soit 𝑢! la suite définie pour tout entier 𝑛 ≥
0 par 𝑢! =!!
!!
1) Calculer les quatre premiers termes de la suite.
2) Montrer que !!!!!!
< 1 à partir d’un certain rang
que l’on précisera.
3) En déduire les variations de la suite 𝑢! .
Exerc ice 13
𝑣! est la suite définie par un premier terme
𝑣! = 1 et vérifie, pour tout entier naturel par la relation
𝑣!!! =!!!!!!
1) Calculer les 4 premiers termes de la suite.
2) Montrer que !!!!!!
< 1 à partir d’un certain rang
que l’on précisera.
3) En déduire les variations de la suite 𝑣! .
ALGORITHME 1 Variables : U, n, i, V des entiers Entrée : Saisir U Saisir n Initialisation : Affecter la valeur 0 à i. Traitement : Répéter n fois Affecter la valeur U à V Affecter la valeur 0,5 × U+1 à U Si U < V Affecter la valeur i+1 à i Fin Si Si i = n Afficher « (𝑢!) est décroissante sur ℕ » Sinon Afficher « (𝑢!) n’est pas décroissante sur ℕ » Fin Si
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Exercice 14
Soit 𝑢! la suite définie pour tout entier 𝑛 ≥
1 par 𝑢! = 1 + !!+ !
!+ !
!+⋯+ !
!
Etudier les variations de 𝑢! .
Exerc ice 15
Dans chacun des cas suivants, calculer les trois
premiers termes de la suite 𝑢! puis étudier son sens de
variation.
1) 𝑢! = 𝑛 + !!!!
2) 𝑢! =!!!!!
3) 𝑢! = 1 𝑢! = 𝑢!!! +
!!
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 > 1
4) 𝑢! = 1 𝑢!!! =
!!!
Exerc ice 16
Lors d’une soirée nocturne, Arne apprend à
prendre le téléski en snowboard.
La première fois, Arne parcourt 40 mètres avant de tomber
du téléski. La deuxième fois, il parcourt 45 mètres. Puis à
chaque tentative, Arne réussit à tenir sur la perche 5
mètres de plus que la fois précédente.
Le téléski mesure 300 mètres de long.
1) Combien devra-t-il faire de tentatives pour arriver
au sommet de la montagne ?
2) Le téléski avance à la vitesse de 4 mètres par
seconde. Combien de temps Arne aura-t-il passé
sur le téléski ?
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Exercice 18 - D’après Baccalauréat - L IBAN - Mai 2013 -
On considère la suite 𝑣! définie pour tout entier naturel 𝑛 par 𝑣! = 1 𝑣!!! =
!!!!!
1) On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel 𝑛 donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au
rang 𝑛. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.
2) Pour 𝑛 = 10, on obtient l’affichage suivant :
Pour 𝑛 = 100, on obtient l’affichage suivant :
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite 𝑣! ?
3) On admet que pour tout entier naturel 𝑛, 0 < 𝑣! < 3.
a) Démontrer que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑣!!! − 𝑣! =!!!! !
!!!!
b) En déduire le sens de variation de la suite 𝑣! .
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