PremiereScientifique-1èreS-11thgradeGénéralitéssurlessuites

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TD 3 (4 PAGES) Exercice 1

Représenter à l’aide de la calculatrice le nuage de

points de chacune des suites suivantes puis conjecturer

leurs variations.

1) 𝑢! la suite définie pour 𝑛 ∈ ℕ par 𝑢! =!!

!!!!.

2) 𝑣! la suite définie par un premier terme 𝑣! = 5 et vérifie,

pour 𝑛 ≥ 1, la relation 𝑣! =!!𝑣!!! + 2.

3) 𝑤! la suite définie pour 𝑛 ∈ ℕ∗ par 𝑤! = −1 !× !"!

.

Exerc ice 2

Soit 𝑢! la suite définie pour 𝑛 ≥ 1 par

𝑢! = 1 + !"!

.

1) En étudiant le signe de 𝑢!!! − 𝑢!, montrer que la suite

𝑢! est décroissante à partir de 𝑛 ≥ 1.

2) Retrouver ce résultat en étudiant les variations de

𝑓 𝑥 = 1 + !"!

définie sur ℝ!∗

Exerc ice 3

Etudier les variations des suites définies pour tout

entier naturel par :

1) 𝑢! = 3𝑛 + 4

2) 𝑎! = −2𝑛 + 5

3) 𝑏! = 𝑛!

4) 𝑐! = 4!

Exerc ice 4

Etudier la monotonie de la suite définie par 𝑢! = 2

et pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢!!! = 𝑢! − 4.

Exercice 5

Soit 𝑢! la suite définie pour tout entier

naturel par 𝑢! = −1 !.

Calculer les 5 premiers termes de cette suite. Est- elle

monotone ?

Exercice 6

1) Soit 𝑢! la suite définie pour 𝑛 ∈ ℕ par

𝑢! = 𝑛! − 3𝑛 + 1. Démontrer que la suite 𝑢! est

croissante à partir d’un certain range que l’on précisera.

2) Soit 𝑣! la suite définie pour 𝑛 ∈ ℕ par 𝑣! = 2! − 𝑛

Démontrer que la suite 𝑣! est croissante à partir d’un

certain range que l’on précisera.

Exercice 7

1) Soit 𝑢! la suite définie pour 𝑛 ∈ ℕ par 𝑢! = 5𝑛 − 𝑛!.

Démontrer que la suite 𝑢! est décroissante à partir

d’un certain range que l’on précisera.

2) Soit 𝑣! la suite définie pour 𝑛 ∈ ℕ par

𝑣! = 𝑛! − 10𝑛 + 16 Démontrer que la suite 𝑣! est

croissante à partir d’un certain range que l’on précisera.

Exercice 8

𝑣! est la suite définie par un premier terme

𝑣! = 1 et vérifie, pour 𝑛 ∈ ℕ, la relation

𝑣!!! = 𝑣! + 𝑛! −!"!

. En étudiant le signe de 𝑣!!! − 𝑣!,

déterminer les variations de la suite 𝑣! .

Exerc ice 9

𝑣! est la suite définie par un premier terme

𝑣! = 1 et vérifie, pour 𝑛 ∈ ℕ∗, la relation 𝑣!!! =!!!!.

1) Construire la table de valeurs de 𝑣! , afficher son

nuage de point et conjecturer ses variations.

2) Comparer !!!! !!

à 1.

3) En admettant que tous les termes de la suite 𝑣! sont

strictement positifs, montrer que la suite 𝑣! est

décroissante à partir d’un certain rang à préciser.

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Exercice 10

𝑣! est la suite définie par un premier terme 𝑣! = 1 et vérifie, pour tout entier 𝑛 ≥ 1, la relation 𝑣! =! × !!!!!!!

.

En admettant que tous les termes de la suite 𝑣! sont strictement positifs, montrer que la suite 𝑣! est décroissante à partir

d’un certain rang à préciser.

Exerc ice 11

Voici un algorithme :

1) Exécuter cet algorithme pour U = 4 et n = 3.

2) Comment est définie la suite utilisée dans l’algorithme ?

3) Que souhaite-t-on tester avec cet algorithme ?

4) Que représente n ?

5) Que donne l’algorithme en sortie si on le teste avec U = 1 et n = 100 ?

Exercice 12

Soit 𝑢! la suite définie pour tout entier 𝑛 ≥

0 par 𝑢! =!!

!!

1) Calculer les quatre premiers termes de la suite.

2) Montrer que !!!!!!

< 1 à partir d’un certain rang

que l’on précisera.

3) En déduire les variations de la suite 𝑢! .

Exerc ice 13

𝑣! est la suite définie par un premier terme

𝑣! = 1 et vérifie, pour tout entier naturel par la relation

𝑣!!! =!!!!!!

1) Calculer les 4 premiers termes de la suite.

2) Montrer que !!!!!!

< 1 à partir d’un certain rang

que l’on précisera.

3) En déduire les variations de la suite 𝑣! .

ALGORITHME 1 Variables : U, n, i, V des entiers Entrée : Saisir U Saisir n Initialisation : Affecter la valeur 0 à i. Traitement : Répéter n fois Affecter la valeur U à V Affecter la valeur 0,5 × U+1 à U Si U < V Affecter la valeur i+1 à i Fin Si Si i = n Afficher « (𝑢!) est décroissante sur ℕ » Sinon Afficher « (𝑢!) n’est pas décroissante sur ℕ » Fin Si

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Exercice 14

Soit 𝑢! la suite définie pour tout entier 𝑛 ≥

1 par 𝑢! = 1 + !!+ !

!+ !

!+⋯+ !

!

Etudier les variations de 𝑢! .

Exerc ice 15

Dans chacun des cas suivants, calculer les trois

premiers termes de la suite 𝑢! puis étudier son sens de

variation.

1) 𝑢! = 𝑛 + !!!!

2) 𝑢! =!!!!!

3) 𝑢! = 1 𝑢! = 𝑢!!! +

!!

𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 > 1

4) 𝑢! = 1 𝑢!!! =

!!!

Exerc ice 16

Lors d’une soirée nocturne, Arne apprend à

prendre le téléski en snowboard.

La première fois, Arne parcourt 40 mètres avant de tomber

du téléski. La deuxième fois, il parcourt 45 mètres. Puis à

chaque tentative, Arne réussit à tenir sur la perche 5

mètres de plus que la fois précédente.

Le téléski mesure 300 mètres de long.

1) Combien devra-t-il faire de tentatives pour arriver

au sommet de la montagne ?

2) Le téléski avance à la vitesse de 4 mètres par

seconde. Combien de temps Arne aura-t-il passé

sur le téléski ?

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Exercice 18 - D’après Baccalauréat - L IBAN - Mai 2013 -

On considère la suite 𝑣! définie pour tout entier naturel 𝑛 par 𝑣! = 1 𝑣!!! =

!!!!!

1) On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel 𝑛 donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au

rang 𝑛. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.

2) Pour 𝑛 = 10, on obtient l’affichage suivant :

Pour 𝑛 = 100, on obtient l’affichage suivant :

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite 𝑣! ?

3) On admet que pour tout entier naturel 𝑛, 0 < 𝑣! < 3.

a) Démontrer que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑣!!! − 𝑣! =!!!! !

!!!!

b) En déduire le sens de variation de la suite 𝑣! .