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SYLLABUS DU COURS ALGEBREE LINEAIRE – FMT 3231
Nombre de crédits du cours 3 crédits
Nombre de séances par semestre 26 séances
Etudiants concernés Première année, Semestre 2
Enseignant Coordonnées Branche
Fares Fares
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Baabda
1- Description du cours
1. Espaces vectoriels et Applications linéaires
1.1. Espaces vectoriels
1.1.1. Définition et exemples
1.1.2. Sous-espaces vectoriels
1.2. Familles génératrices, familles libres, bases et dimensions.
1.3. Applications linéaires
1.3.1. Définitions et propriétés
1.3.2. Endomorphismes, isomorphismes, automorphismes
1.4. Noyau et image d’une application linéaire
1.5. Rang d’une application linéaire, théorème du rang.
2. Matrices
2.1. Matrice associée à une application linéaire
2.2. Matrice nulle, égalité de matrices, transposition
2.3. Matrices carrées particulières (diagonale, triangulaire et symétrique)
2.4. Trace d’une matrice carrée
2.5. Opérations sur les matrices : addition, produit des matrices
2.6. Matrice carrée inversible
2.7. Rang d'une matrice carrée
2.8. Méthode élémentaire d'inversion d'une matrice
2.9. Changement de base :
2.9.1. Changement de base d'un vecteur
2
2.9.2. Changement de base d'une application linéaire
2.10. Matrices semblables
2.11. Matrices équivalentes
3. Déterminants
3.1. Propriétés d’un déterminant
3.2. Calcul pratique du déterminant
3.3. Calcul de l’inverse d'une matrice carrée :
3.3.1. Mineurs
3.3.2. Cofacteurs
3.3.3. Co matrice
3.3.4. Formule d'inversion
4. Système d'équations linéaires
4.1. Définition
4.2. Résolution du système lorsque n = p et det (A) ≠0
4.2.1. Inversion d’une matrice
4.2.2. Méthode de Cramer
4.2.3. Méthode du pivot de Gauss
4.3. Théorème de Rouché –fontené
5. Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation, trigonalisation
5.1. Polynôme caractéristique
5.2. Valeurs propres, vecteurs propres
5.3. Espace propre
5.4. Théorème 1 (somme et produit des valeurs propres)
5.5. Théorème 2 (vecteurs propres indépendants)
5.6. Théorème 3 (cas de n valeurs propres distinctes)
5.7. Théorème 4 (cas de p<n valeurs propres)
5.8. Diagonalisation
5.9. Trigonalisation
6. Applications à la diagonalisation
6.1. Puissances d’une matrice
6.2. Suites récurrentes
6.3. Exponentielle d’une matrice
6.4. Résolution des systèmes d’équations différentielles linéaires.
2- But / Objectifs généraux
Ce cours a pour principal objectif d’introduire les notions fondamentales de l’algèbre linéaire,
reliées au calcul matriciel et à la résolution de systèmes linéaires. On vise d'abord une certaine
aisance dans l'emploi du langage géométrique (vecteurs, applications linéaires) et du langage
matriciel ; on vise aussi la pratique du calcul matriciel (addition, produit, inversion), du calcul
des déterminants, de la résolution de systèmes d’équations linéaires, et de la réduction
(diagonalisation, trigonalisation) des matrices après calcul des valeurs propres et des vecteurs
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propres, afin de fournir aux étudiants des outils efficaces pour l'étude des phénomènes
rencontrés en mécanique et en sciences physiques.
3- Objectifs spécifiques / Acquis d’apprentissage
Notions du cours Compétence acquise
Chapitre 1 : Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels, familles génératrices, familles libres,
bases et dimensions, application linéaire
injective, surjective et bijective.
Ker f, Im f, et rang f
L’étudiant devra être capable de
� Connaître la définition d’un espace
vectoriel et d’un sous-espace vectoriel
� Déterminer la base et la dimension
d’un espace ou d’un sous espace
vectoriel
� Montrer si une famille est libre, liée ou
génératrice
� Identifier si l’application est un
endomorphisme, isomorphisme ou
automorphisme.
� Déterminer le noyau, l’image et le rang
d’une application linéaire.
� Donner une base et la dimension de
Ker f et Im f.
Chapitre 2 : Vecteur, matrice, trace, transposée.
rang, base.
L’étudiant devra être capable de
� Déterminer la matrice associée à une
application linéaire dans les bases
canoniques
� Effectuer des opérations matricielles.
� Déterminer la trace d’une matrice.
� Déterminer la matrice transposée.
� Donner les coordonnées d’un vecteur
selon une base.
Chapitre 3 : Déterminant, mineurs, cofacteurs,
comatrice.
L’étudiant devra être capable de
� Calculer le déterminant d’une matrice
� Déterminer la matrice inverse.
Chapitre 4 : méthode de pivot de Gauss,
méthode de Cramer, Théorème de Rouché-
Fontené.
L’étudiant devra être capable de
� Résoudre des systèmes d’équations
linéaires de n équations à n inconnues
en utilisant 4 méthodes différentes.
� Discuter l’existence et l’unicité des
solutions d’un système d’équations
linéaires à n variables.
Chapitre 5: valeurs propres, vecteurs propres,
polynôme caractéristique, espace propre, sous
espaces vectoriels propres, diagonalisation,
trigonalisation.
L’étudiant devra être capable de
� Déterminer le polynôme
caractéristique d’une matrice.
� Donner les valeurs propres et les
vecteurs propres d’une matrice.
� Diagonaliser et trigonaliser une
matrice.
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� Déterminer la matrice associée à une
application linéaire
Chapitre 6: Puissance et exponentielle d’une
matrice, suites récurrentes, systèmes
d’équations linéaires.
L’étudiant devra être capable de
� Résoudre un système d’équations
différentielles linéaires du premier
ordre.
� Calculer la puissance nième et
l’exponentielle d’une matrice
diagonalisable.
� Calculer en fonction de n les termes
d’une suite récurrente linéaire.
4- Activités d’Enseignement et d’Apprentissage
13 séances de travaux dirigés sont prévues pour ce cours.
5- Programme et calendrier des activités
Séances1 Date Cours
Séance 1
Début du chapitre 1 : Espaces vectoriels et
Applications linéaires
1.1- 1.3
Séance 2
Suite et fin du chapitre 1
Début du chapitre 2 : Matrices
2.1- 2.5
Séance 3
Suite du chapitre 2 :
2.6- 2.9
Séance 4 Suite et fin du chapitre 2
Séance 5
Début du chapitre 3 : Déterminants
3.1-3.2
Séance 6 Suite et fin du chapitre 3
Séance 7
Début du chapitre 4 : Systèmes d’équations
linéaires 4.1- 4.2
Séance 8 Suite et fin du chapitre 4
1 La répartition des séances doit correspondre au nombre de crédits du cours (1 crédit = 9, 10 séances, 2 crédits = 18
séances, 3 crédits = 26 séances)
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Séance 9
Début du chapitre 5 : Valeurs propres,
vecteurs propres, diagonalisation,
trigonalisation :
5.1- 5.3
Séance 10
Suite du chapitre 5 :
5.4-5.7
Séance 11 Suite et fin du chapitre 5
Séance 12
Début du chapitre 6 : Applications à la
diagonalisation
6.1-6.2
Séance 13 Suite et fin du chapitre 6
6- Critères d’évaluation :
Critères d’évaluation Résolution des systèmes d’équations linéaires
Application des méthodes de diagonalisation et trigonalisation d’une matrice.
Résolution des systèmes d’équations différentielles linéaires du premier ordre.
7- Modalités d’évaluation :
La note finale du cours est notée sur 100% et sera répartie comme suit :
Séance Date
Prévue Pourcentage Commentaire
Quiz(s) 220% - Durée : 15 à 20 minutes par Quiz
Examen
Partiel 35%
- Durée : 1 h
- Documents : Interdits ou bien � Permis
- Calculatrice non programmable :
� Interdite Permise
Examen
Final
45%
- Durée max. : 1h30
- Documents : Interdits ou bien � Permis
- Calculatrice non programmable :
� Interdite Permise
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8- Matériels et Références du cours [1] Hage, Algèbre linéaire M 121; cours et exercices; Libanographe.
[2] Jacques Pichon, Algèbre linéaire, cours et conseils de travail, Exercices et problèmes corrigés;
Collection Ellipses.
[3] Claude Deschamps, André Warusfel et al., Mathématiques 2eme année MP, MPSI, PC, cours et
exercices corrigés; collection J'intègre, Ed. Dunod.
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