Statique et résistance des matériaux

Chapitre 7 Les treillis

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Nous ne parlerons pas de…

Notation de Bow. Méthode du polygone funiculaire. Diagramme de Maxwell-Cremona.

Définition d’un treillis• Un treillis est un assemblage de membrures

rectilignes connectées (noeuds). Aucune membrure ne se prolonge au-delà d’un noeud.

• Les membrures sont boulonnées, rivées ou soudées. On considère les membrures comme un système à deux-forces.

• Lorsque les forces tendent à allonger la membrure, elle est en tension. Lorsque les forces tendent à raccourcir la membrure, elle est en compression.

Définition d’un treillis

Les membrures d’un treillis sont minces et ne peuvent pas subir des charges (forces) latérales. Les charges doivent être appliquées aux nœuds.

Type de treillis

Exemples de treillis

Ferme de toit - Safeco Field à Seattle

Exemples de treillis

San Francisco-Oakland Bay Bridge

Gousset

On approxime la liaison entre les membrures par un pivot.

Fermes de toitLe toit ci-contre comporte deux fermes connectées par des poutres.

Treillis simples

• Un assemblage triangulaire est indéformable.

• Un treillis simple est construit en ajoutant deux membrures et un noeud à une unité triangulaire.

• Dans un treillis simple, m = 2n - 3 où m est le nombre de membrures et n le nombre de noeuds

5 = 2(4)-3

12 ≠ 2(7)-3

Méthode des noeuds• Démembrer le treillis et faites un DCL pour

chaque barre.

• La troisième loi de Newton permet de dessiner les forces sur chaque composante d’un système en interaction..

• La force exercée sur une barre est toujours colinéaire à la barre et égale (en module) à chaque extrémité..

• Les conditions d’équilibre de translation donnent 2n équations pour 2n inconnues. Pour un treillis simple, 2n = m + 3.

• Les conditions d’équilibre de la structure donnent 3 équations additionnelles mais non indépendantes de celles des noeuds.

Cas particuliers• Les forces dans des 4 barres opposées se

coupant à angle droit sont égales.

• Les forces dans des barres opposées sont égales quand une charge est alignée avec une troisième barre. La force dans celle-ci est égale à la charge (zéro inclus).

• Si un noeud non chargés ne comporte que deux barres, les forces dans celles-ci sont égales si elles sont alignées et nulles autrement.

Exemple 1Trouvez les barres à effort nul.

En quoi sont-elles nécessaires ?

Exemple 1

Exemple 2Utilisez la méthode des noeuds, pour trouver la force dans chaque membrure du treillis. Indiquez si elles sont en tension ou en compression.

AD

CD

2,4 kN

2,9

2,1

2D

2,4 kN

AD

CD

2,4

2 2,9 2,1

kN AD CD

m m m AD = 3,48 kN (T)

CD = 2,52 kN (C)

C

AC

RC

CDBCBC = CD = 2,52 kN (C)

RC = AC (On y reviendra)

Suite

0

1,8 3,48sin(46,4 ) cos(53,1 ) 0

1,2 kN (T)

xF

AB

AB

B

AB

BC (2,52)RB

Passons au nœud A

A

AB

AD (3,48)

AC

1,8 kN53.1°

46,4°

x

y

Passons au nœud B

0

sin(53,1 ) 3,48cos(46,4 ) 0

3,36 kN (C)

yF

AC AB

AC

AB

2,52

RB

?

Exemple 3Utilisez la méthode des noeuds, pour trouver la force dans chaque membrure du treillis de toit (Fink). Indiquez si elles sont en tension ou en compression.

Suite

Méthode des coupes (de Ritter)

• Lorsqu’on ne désire trouver que l’effort d’une membrure ou d’un petit nombre, la méthode des coupes est recommandée.

• Pour trouver la force dans la barre BD, tracez une ligne coupant le treillis et faites le DCL pour un des côtés (le gauche, ici).

• S’il n’y a que trois membrures coupées, les conditions d’équilibre statique permettent de trouver les forces inconnues, dont FBD.

Exemple 4Une ferme d’un treillis de Warren est chargée comme illustré. Déterminez les forces EG, FG et FH avec la méthode des sections.

Suite

Exemple 5Une ferme du toit d’un stade est chargée comme illustré. Déterminez les forces dans les barres AB, AG et FG avec la méthode des sections.

AB

AG

FG

0 sin(36,9 ) sin(15,1 ) 20 0

0 cos(36,9 ) cos(15,1 ) 0

0 [ cos(15,1 )][8,4sin(15,1 )] (8)(4,2) (4)(8, 4) 0

x

x

G

F AG AB

F AG AB FG

M AB

2,18

15,1°36,9°

AB=31,9 kN