Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie
Université Virtuelle de Tunis
Physique - électricité : TC1
Champ et potentiel électrostatiques
Concepteur du cours:
Jilani Lamloumi et Monjia Ben Braiek
Attention !
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Physique -
électricité : TC1
Champ et potentiel électrostatiques
2 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI
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En analysant la loi de Coulomb présentée dans le chapitre précédent, nous
introduisons le champ électrostatique
E . L’étude des propriétés de ce champ à l’aide des
notions mathématiques conduit au potentiel électrostatique et au théorème de Gauss. les
méthodes permettant de calculer le champ et le potentiel électrostatiques lorsque la
distribution de charges est donnée seront présentées.
I. LE CHAMP ELECTROSTATIQUE
I.1. Définition
Toute région de l’espace dans laquelle une charge électrique subit une force
électrique est appelée un champ électrique.
Une charge q exerce sur une charge q' placée à une distance r, dans le vide, une force
qui est donnée par la loi de Coulomb:
r
r
r
4
1F
2
0
Cette force dépend de la grandeur des charges q et 'q mais si on considère le rapport
r
r
r4
q
'q
F2
0
, on constate qu’il ne dépend plus de la charge q' mais seulement de la charge
q. On pose
E'q
Fet on désigne ce vecteur sous le nom de vecteur champ électrique au
point M créé par la charge ponctuelle q.
r
r
r
q
4
1E
2
0
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PMr ,rdirection la de unitaire vecteur:ur
r
Remarques:
1. Le champ électrique qui existe en tout point de l’espace définit un champ de vecteurs.
Pour mettre en évidence ce champ on introduit une charge q0, appelée « charge
d’épreuve », dans ce champ, il s’exerce sur cette dernière la force : EqF 0
La charge électrique étant une quantité algébrique,
F et
E sont de même sens si q0>0 et de
sens contraire si q0<0.
2. Le champ électrique s’exprime en Volts par mètre (V/m). Le Volt est l’unité de potentiel
électrostatique qui sera défini au paragraphe suivant.
I.2. Expressions du champ électrique
I.2.1. Cas d’un ensemble de charges ponctuelles-Principe de superposition
E
P r M
q>0
E
P r M q<0
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Considérons maintenant une charge q0 placée en un point M et se trouvant en
présence d’autres charges qi placées en des points Pi (i = 1 à n). Le principe de superposition
permet d’écrire la force
F s’exerçant sur la charge q0 sous la forme:
) MPr ( r
r
4
qqF ii3
i
in
1i 0
i0
soit: r
rq
4
1E avec EqF
3
i
iin
1i 0
0
On remarque que le champ E
est la somme des champs
iE créés en M par les
différentes charges qi, ce que nous écrivons:
r
r
r
q
4
1E avec EE
i
i
2
i
i
0
i
n
1i
i
Le principe de superposition s’applique donc pour les champs dus à différentes
charges.
I.2.2. Cas d’une distribution continue de charges
Ce sont des charges reparties dans un volume, sur une surface ou sur un fil. On peut
considérer ces répartitions de charges comme continues dans la limite où la distance entre
deux charges est très petite par rapport à la distance qui les sépare du point où on calcule le
champ.
a. Distribution volumique
Considérons une répartition continue de charges à l’intérieur d’un certain volume V,
répartition considérée en chaque point P du volume par la donnée de la densité volumique
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de charges dv
dq où dq désigne la charge électrique contenue dans l’élément de volume
dv entourant le point P.
Le champ
dE créé en un point M par la charge dq a pour expression:
) r
ru , PMr ( u
r
dv
4
1
r
r
r
dq
4
1dE
2
0
2
0
Nous écrivons donc pour l’ensemble de la répartition:
u r
dv
4
1E
v 2
0
b. Distribution surfacique
Pour une répartition surfacique de charges caractérisée par la donnée de la densité
surfacique dS
dq en chaque point d’une surface S, nous écrirons de façon analogue:
s u
r
dSσ
4
1E
2
0
c. Distribution linéique
Pour une répartition linéique de charges caractérisée en chaque point d’une courbe
, par la densité linéique d
dq , nous écrirons:
.u r
d
4
1E
2
0
I.3. Propriétés de symétrie et principe de Curie
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Les propriétés de symétrie d’une distribution de charges électriques permettent de
déterminer par calcul, en un point quelconque de l’espace, la direction du champ électrique
créé par cette distribution et les variables d’espace dont dépend E . En physique, les
considérations de symétrie constituent un outil extrêmement puissant qui intervient dans
des nombreux domaines.
Les symétries propres d’une distribution de charges sont les opérations de symétries
(rotations, translations, symétries par rapport à un plan ...) qui laissent le système de
charges géométriquement invariant, c’est à dire qui le superposent à lui-même.
Le principe de Curie permet de comparer les éléments de symétrie d’une distribution
de charges ( système appelé «cause») aux éléments de symétrie du champ électrique
(système appelé «effets»).
Ce principe s’énonce de la manière suivante:
- Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des
causes doivent se retrouver dans les éléments de symétrie des effets produits.
- Lorsque certains effets révèlent une certaine dissymétrie, cette dissymétrie doit se
retrouver dans les causes qui lui ont donné naissance.
I.3.1. Eléments de symétrie et variables d’espace
a. Symétrie de translation
On décrit l’invariance d’une distribution de charges par translation en utilisant les
coordonnées cartésiennes (x, y, z). Une distribution de charges invariante dans toute
translation parallèle à un axe,
z'z par exemple, est caractérisée par une densité de charges
indépendante de z. Le champ E
créé ne dépend pas donc de z.
b. Symétrie de rotation autour d’un axe
On décrit l’invariance d’une distribution de charges par rotation autour d’un axe en
utilisant les coordonnées cylindriques (r,,z), l’axe
z'z étant l’axe de rotation. Une
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distribution de charges invariante dans toute rotation par rapport à un axe
z'z est
caractérisée par une densité de charges indépendante de l’angle . Le champ E
créé ne
dépendra que de r et de z: )z,r(E)z,,r(E)M(E
c. Symétrie de rotation autour d’un point (Symétrie sphérique)
On décrit l’invariance d’une distribution de charges par rotation autour d’un point en
utilisant les coordonnées sphériques (r,,). Une distribution de charges invariante dans
toute rotation autour d’un point fixe O, présentant la symétrie sphérique, est caractérisée
par une densité de charges indépendante de et de . Le champ E
créé ne dépendra que de
r:
)r(E),,r(E)M(E
I.3.2. Plans de symétrie et direction du champ E
On dit qu’une distribution de charge volumique possède un plan de symétrie (ou
plan de symétrie paire) lorsque l’opération de symétrie par rapport à ce plan ne la modifie
pas: )P()'P( ( 'P : symétrique de P par rapport au plan ). Lorsqu’une opération de
symétrie par rapport à un plan ' change une distribution de charge en son opposée:
)P()'P( , on dit que le plan de symétrie ' est un plan d’antisymétrie ( ou plan de
symétrie impaire ).
Les conséquences de l’application du principe de Curie pour le champ
E conduisent
aux résultats suivants pour la direction du champ
E :
- Le champ, créé en tout point M appartenant au plan , est contenu au plan de
symétrie paire . En effet:
Soient deux charges élementaires dq1 et dq2, dq1
est symétrique de dq2 .
(dq1= dq2, P1M = P2M = r )
Le champ électrique créé.au point M par ces
charges est:
P1(dq1)
P2(dq2)
M H
1dE
2dE
dE
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r
HM2kdq
r
)MPMP(kdq
MP
MPkdq
M1
P
MPkdqdEdEdE
33
21
2
3
223
1121
le champ E appartient donc au plan de symétrie
- Le champ, créé en tout point M appartenant au plan, est perpendiculaire au
plan de symétrie impaire.En effet:
Le champ électrique créé Au point M par dq1 et dq2
(dq1 = -dq2 ) est donné par :
r
PPkdq
r
)MPMP(kdqdEdEdE
3
21
3
2121
Le champ E est donc perpendiculaire au plan
d'antisymétrie '
I.4. Exemples de calcul direct du champ E
I.4.1. Fil uniformément chargé avec une densité linéique >0
Considérons un fil AB de longueur 2L uniformément chargé coïncidant avec l’axe Oz
et chargé avec une densité linéique constante. Calculons directement le champ créé en
tout poit M d'un axe orthogonal à AB passant par le point O milieu de AB. La distance OM
sera notée a ( Fig.1 ).
Un élément de fil de longueur d à la distance de O porte une charge d et crée
au point M un champ
rdE :
'
P1(dq1)
P2(dq2)
M H
1dE
2 dE
dE
ru
P
u
a
O
rdE
rdE
dE
M
d
r 0
A
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) OP ; aOM ; r
ru ; rPM (
ur
d
4
1dE
r
r2
0
r
En raison de la symétrie du problème, à chaque élément d à la distance au-dessus de O,
correspond un élément d au-dessous de O à la même distance.
L’addition vectorielle des champs créés par des éléments symétriques deux à deux
donne une résultante dont la composante parallèle au fil est nulle. Seule la composante
parallèle à OM perpendiculaire au fil est différente de zéro et vaut :
) OM
OMu( ; ucos
r4
d ucosdEdE
2
0
r
Sur la figure on vérifie que
cos
ar et atg
On a donc: cosa4
d dE 3
2
0
Le calcul du champ total créé au point M resultera de l'intégration de cette
expression sur toute la longueur de la tige. On remarque que dans cette expression,
l'élément de longueur d est réperé par l'angle . Il serait donc intéressant de choisir
comme variable d'intégration.
On a: . dcos
ad
2
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Soit: d cosa4
dE0
Intégrons cette expression entre -0 et 0 qui sont les deux angles délimitant le fil AB
vu du point M.
a2
sindcos
a4E
0
0
0
0
0
On peut remplacer 0sin par son expression en fonction des données a et L:
22
0
La
Lsin
D'où l'expression finale du champ électrique en M:
u
La2
LE
22
0
Remarque: cas d'un fil infini uniformément chargé.
* L'expression du champ électrique créé par un fil infini au point M est donnée par:
a2dcos
a4E
0
2
20
Puisque
E a la direction de
u , on obtient finalement sous forme vectorielle:
u
a2E
0
* Un plan 1 passant par M et contenant Oz est un plan de symétrie paire. Il en est de
même pour un plan 2 passant par M et perpendiculaire à Oz. Le champ
E doit donc être
contenu à la fois dans 1 et dans 2; il est donc porté par la direction commune de 1 et 2
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c’est à dire qu’il est perpendiculaire au fil. Le système de coordonnées adapté à la symétrie
est celui de coordonnées cylindriques dans lequel le point M est défini par , et z
(=OM=a). Le module de
E est le même pour un même , ceci quelque soit . D’autre part,
E est invariant par une translation suivant Oz.
Finalement E est indépendant de z et de et varie seulement en fonction de . Ceci
correspond bien au résultat trouvé précédemment pour
E :
u
a2E
0
I.4.2. Disque uniformément chargé
Considérons un disque de rayon R
portant la charge totale Q uniformément
répartie à sa surface, ce qui correspond à une
densité surfacique uniforme ²R
Q
; nous
nous proposons de calculer le champ
électrostatique créé par ce disque en un
point M de son axe Oz à la distance z (z>0) de
son centre O ( Fig.2).
Tout plan contenant la droite OM est
un plan de symétrie paire; le champ
E est
nécessairement porté par la direction
commune à tous ces plans, c’est à dire par
Oz.
Le champ
dE dû à un élément de surface dS, de charge dSdq , a pour expression:
) r
ru , PMr ( udEu
²r4
dSdE
0
dE
r
z
M
dS P
R
O
Fig.2
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On peut associer deux à deux les éléments de surface de façon que les composantes
normales à Oz des champs correspondants se compensent comme nous l’avons prévu à
partir des éléments de symétrie du problème, seules s’ajoutent les composantes
cosdEdE z .
²r
cosdS
4dE
0
z
avec dS = dd (en coordonnées polaires); r² = ² + z² ( = OP ; z = OM) et
²z²
zcos
Soit: 2/3
0
z²z²
dd
4
zdE
L’expression du champ
E en M ( qui se confond avec sa composante sur Oz) est
donnée par:
²z²R
z
z
z
2E
d ²z²
d
4
zE
0
R
0
2
02/3
0
Soit:
z
0
u²z²R
z
z
z
2E
Cette expression est valable quelque soit le signe de z.
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Cas limites:
* Si le point M est très éloigné du disque Rz , on aura:
z
z
²z4
²R
z
z
²z4
²R
²z2
²R11
z
z
2
²z
²R1
z
z
z
z
2)M(E
00
00
C’est l’expression du champ créé en M par une charge ²RQ (c’est la charge totale du
disque) placée en O.
* Si le point M est très proche du disque Rz , l’expression du champ devient
approximativement égale à :
z
z
2)M(E
0
Nous retrouvons ainsi, au voisinage immédiat du disque, le champ d’un plan
uniformément chargé .
00 20)E(zet
2)0z(E
Remarquons la discontinuité de 0
de E à la traversée de la couche superficielle
chargée.
0
0)E(z)0z(E
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II. LE POTENTIEL ELECTROSTATIQUE
II.1. Circulation du champ électrostatique - Définition du potentiel électrostatique
II.1.1. Circulation du champ électrostatique d’une charge ponctuelle
Une charge ponctuelle fixe q placée
en O crée en tout point de l’espace un champ
électrostatique:
r2
0
3
0
ur4
q
r
r
4
qME
La circulation élémentaire dC de
E correspondant à un déplacement élémentaire
d du point M sur la courbe
AB est:
d.u
²r4
qd.EdC r
0
or .)usur d de projection laest (dr dru.dd.u rrr
Cter4
qV(r) avec
)r(dVr4
qddr
²r4
qdC
0
00
La circulation élémentaire dC est donc la différentielle totale d’une fonction de r.
)M(E
ru
O
A
B
M
d
Fig.3
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II.1.2. Potentiel électrostatique
Nous venons de montrer que pour une charge ponctuelle, on a:
Cter4
q)r(V avec )r(dVd.E
0
.
La fonction V(r) est appelée potentiel électrostatique; V(r) est définie à une
constante prés.
Cter4
q)r(V
0
L’unité du potentiel électrostatique dans le système SI est le Volt (V). Remarquons
que le choix du volt justifie le nom du Volt/mètre attachée à l’unité de
E .
Relation entre
E et V:
Le potentiel électrostatique a été défini à partir de la circulation élémentaire de
E :
dV.graddV or dVd.EdC
d’où la relation locale entre
E et V:
V(M)gradME
Cette relation locale montre que le champ électrostatique
E dérive du potentiel
électrostatique V.
II.1.3. Notion de différence de potentiel
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La circulation AB
C du champ
E le long du contour AB (Fig.4) est:
ABBA0
BA
B
AAB r
1
r
1
4
qVV)r(dVdCC
Cette circulation est donc égale à la
différence de potentiel VA-VB.
BA
B
AVVd.E
La circulation du champ électrostatique entre deux points A et B est indépendante du
trajet suivi pour aller de A à B et ne dépend que des potentiels du point de départ et
d’arrivée.
Remarque: Physiquement, on n’a aucun moyen pour déterminer le potentiel V. Par contre
on sait mesurer des différences de potentiel entre deux points A et B.
II.2. Expressions du potentiel électrostatique
II.2.1. Cas d’une distribution ponctuelle de charges
a. Cas d’une charge ponctuelle
E
d
B A
Fig.4
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Le potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelle en un point M de l’espace
distant de r, est donné par l’expression suivante:
Cter4
q)r(V)M(V
0
On choisit en général la valeur de la constante de façon à satisfaire à la condition V=0
à l’infini (potentiel coulombien). Dans ce cas la constante est nulle et le potentiel s’écrit:
r4
q)r(V)M(V
0
b. Cas de n charges ponctuelles
La formule du potentiel donnée par le paragraphe (II.1.2.) se généralise à n charges.
En effet, la loi de composition pour les champs:
n
1i
n
1i i0
i
i0
in
1i
i Cter4
qgradCte
r4
qgradEE
entraîne la loi de superposition pour les potentiels:
Cter4
qVV
n
1i i0
in
1i
i
II.2.2. Cas d’une distribution continue de charges
- Pour une répartition linéique de charge caractérisée par la densité linéique , nous
écrirons:
r
d
4
1)M(V
0
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- Pour une répartition surfacique de charge caractérisée par la donnée de la densité
surfacique , nous écrirons:
S0 r
dS
4
1)M(V
- Pour une répartition volumique de charge caractérisée par la donnée de la densité
volumique , nous écrirons:
v0 r
dv
4
1)M(V
Remarque:
Ces expressions du potentiel reposent sur la convention suivant laquelle V tend vers
zéro lorsque l’on s’éloigne infiniment des charges.
II.3. Exemples de calcul du potentiel électrostatique
II.3.1. Segment uniformément chargée
a. Le point M est sur la médiatrice du segment
Calculons le potentiel électrique créé
en un point M de la médiatrice (OM=a) du
segment AB.
Le potentiel élémentaire dV, créé au
point M par la charge dq contenue dans
l’élément de longueur ddq d , centré
en P, est :
d
-L
L
O
P
A
B
a
M
r
Fig.5
AB=2L
PM=r
OP=
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L
L 220
22
00
a
d
4)M(V
a4
d
r4
d)M(dV
On pose:
2222
22
a
d
t
dt
a
dddtat
Soit: 22
22
LaL
LaL00
Logt4t
dt
4)M(V
22
22
0 LaL
LaLLog
4)M(V
Cas limites:
a- Si le point M est très éloigné (a>>L):
) L2Q ( a4
Q
a4
L2)M(V
00
b- Si le point M appartient à l’axe, extérieur au segment :
L
L0
00
a
)a(d
4)M(V
a4
d
r4
dq)M(dV
P
L
M B A O
-L
PM=a-
OP=
OM=a
Fig.6
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La
LaLog
4)M(V
0
II.3.2. Disque uniformément chargé
On peut calculer le potentiel électrostatique V(z) sur l’axe (Fig.2) soit à partir de
z
VEz
en tenant compte de la condition 0V à l’infini, soit par sommation directe;
c’est cette seconde méthode que nous allons utiliser ici:
2
0
R
02
1
0
2
1
00
d
²z²
d
4)M(V
²z²
dd
4
1
r
dS
4
1)M(dV
z²z²R2
)M(V0
Remarque: V est continu à la traversée du disque : 2
R)0(V)0z(V
0
II.4. Surfaces équipotentielles et lignes du champ électrique
II.4.1. Surfaces équipotentielles
Ce sont des surfaces sur lesquelles le potentiel a une valeur constante, leur équation
est donc: ConstanteMV
II.4.2. Lignes de champs
Ce sont des courbes qui sont tangentes au vecteur
E en chacun de leurs points. Ces
lignes sont orientées dans le sens de
E .
Si
d désigne un vecteur élémentaire, tangent à la ligne de champ, on a:
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dkE (k est un coefficient de proportionnalité)
En coordonnées cartésiennes, on a:
kdzE , kdyE , kdxE zyx
Et l’équation des lignes du champ s’écrit:
zyx E
dz
E
dy
E
dx
Remarque:
L’ensemble des lignes de champ qui s’appuie sur une courbe C constitue ce qu’on
appelle tube de force.
II.4.3. Propriétés diverses
a. Le long d’un trajet petit sur une équipotentielle on a dV = 0 d’où,
d’après
d.EdV , 0d.E
E est donc perpendiculaire à un déplacement
d quelconque sur l’équipotentielle.
Les lignes du champ sont donc perpendiculaires aux équipotentielles.
b. Les lignes du champ vont dans le sens des potentiels décroissants.
En effet, 0d.EdV
.
III. FLUX DU VECTEUR CHAMP ELECTROSTATIQUE - THEOREME DE
GAUSS
III.1. Angle solide
Dans le plan, on peut déterminer l’angle par:
B
A
O
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r
AB
(
AB est la mesure de l'arc AB)
Par analogie, dans l’espace, on définit
aussi l’angle, noté , qui permet la mesure
de l’étendue d’un cône de sommet O et dont
les génératrices s’appuient sur une surface
(S). désigne l’angle solide sous lequel du
point O, on voit la surface (S).
²R
S
où S désigne la surface interceptée par le cône sur une sphère de rayon R centrée en
O.
* Expression de l’angle solide élémentaire
Soit M le point moyen d’un élément de surface dS, r la distance de O à M et
u un
vecteur unitaire porté par
OM .
L’expression de l’angle solide d
sous lequel de O on voit dS c’est à dire
l’angle solide délimité par le cône de
sommet O et de base dS est donnée par:
²r
u.ndS
²r
u.dS
²r
cosdS
r
dSd
2
0
R
0dS
O S
d
dS
O
u
M
r
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III.2. Flux du vecteur champ électrostatique créé par une charge ponctuelle
III.2.1. Flux élémentaire
Soit q une charge ponctuelle fixe
placée en O et dS un élément de surface
orienté (Fig.7). Le champ électrostatique
E créé en M par q, a pour expression:
u
²r
q
4
1E
0
Le flux élémentaire d de
E à travers dS est donné par:
²r
dS.u
4
qdS.Ed
0
d4
qd
0
d étant l’angle solide élémentaire sous lequel de O on voit l’élément de surface dS.
III.2.2. Flux sortant d’une surface fermée
Soit S une surface fermée délimitant un volume fini de l’espace. Soit q une charge
ponctuelle placée en un point O; cette charge se trouve soit à l’intérieur de S soit à
l’extérieur (nous ne considérons pas le cas où la charge viendrait se trouver justement sur S).
d
u
dS
q
O
Fig.7
M
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Champ et potentiel électrostatiques
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Nous nous proposons, dans les deux cas, de calculer le flux, de
E créé par la charge
q, sortant de S.
a- Charge située à l’intérieur de S
Dans ce cas (Fig.8), du point O où se trouve la
charge q, on voit la surface S sous l’angle solide
4d , cette intégrale correspond à l’angle
solide sous lequel on voit l’espace tout entier.
d’où:000
q
4
4qd
4
q
b- Charge située à l’extérieur de S
Si la charge q se trouve à l’extérieur de S, un cône élémentaire issu de la charge
coupe un nombre pair de fois la surface (Fig.9), les flux élémentaires correspondants ont
tous même module mais ont des signes différents à cause des variations de signe de
dS.u puisque les normales ont une orientation différente.
u
dS
dS
dS2 dS1
q
Fig.9
u
O
q
Fig.8
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En effet, sur dS1,
dS.u est négatif, tandis que sur dS2,
dS.u est positif. On a donc pour
l’ensemble des surfaces dS1 et dS2, 0ddd 21 . On peut ainsi associer par couples
tous les éléments de la surface S et en déduire que 0
En résumé, le flux, du champ créé par une charge ponctuelle, sortant d’une surface fermée
S est nul si la charge est à l’extérieur de S et vaut 0
q
si la charge est à l’intérieur de S.
III.3. Flux du champ créé par une distribution de charges- Théorème de Gauss
Si l’on considère maintenant plusieurs charges q1, q2 ,..., qn , elles créent un champ
E dû à la superposition des champs ,E,...,E,E n21
on a donc:
jj
ii
avec i les flux des charges qi intérieures à S ( S étant une surface fermée délimitant le
volume fini v de l’espace ) et j les flux des charges qj extérieures.
Or, comme nous l’avons vu, 0et q
j
0
ii
, nous écrirons donc pour le flux
total sortant de S:
0
int
i 0
Q soit ,
qi
où i
iint qQ est la charge électrique totale intérieure à la surface S.
Ce résultat constitue le théorème de Gauss qui peut s’énoncer ainsi:
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Le flux sortant, du champ électrostatique créé par une distribution donnée de charges
placée dans le vide, à travers une surface fermée S est égal à la somme algébrique des
charges intérieures à la surface divisée par 0.
i
i
0S
q1
dS.E
Remarques:
1. Le théorème de Gauss est très utile dans les applications car il permet de calculer
d’une façon simple et rapide les champs dans les problèmes où la symétrie des données est
assez grande.
2. Pour que le calcul du flux sortant d’une surface soit simple, il faut choisir
judicieusement une surface fermée, appelée surface de Gauss, telle que:
*
E soit perpendiculaire à cette surface EdSdS.E
(la direction
de
E devrait être déterminée au préalable en utilisant la symétrie de distribution).
*.
E doit avoir en chaque point de la surface une valeur constante
ESEdS (S étant l’aire de ).
III.4. Applications du théorème de Gauss
III.4.1. Fil infini uniformément chargé
Considérons un fil coincidant avec l'axe Oz et uniformément chargé avec une densité
linéaire .
Le plans (P1) passant par M et contenant l'axe
Oz est un plan de symétrie. Il en est de même
pour un plan (P2) passant par M et
h
r
z
M
E
O
ru
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perpendiculaire à Oz. Le champ E doit donc
être contenu à la fois dans (P1) et dans (P2); il
est donc porté par la direction commune de
(P1) et (P2) c'est à dire qu'il est radial.
ru)z,,r(E)M(E
La distribution de charges est invariante par
translation le long de Oz et par rotation
autour de Oz . Par conséquent, le module de
E ne peut dépendre que de la distance r de
M à l'axe Oz.
ru)r(E)M(E
Appliquons le théorème de Gauss à un cylindre de hauteur h, d'axe Oz et de rayon r .
Le flux sortant de E à travers les surfaces des bases est nul (
dSE ). En chaque point de la
surface latérale dS etE sont colinéaires et E(r) a une valeure constante. Le flux de
E à
travers la surface latérale est donc égal à E(r )2rh .
La charge contenue dans la surface de Gauss est Q = h; le théorème de Gauss s'écrit donc:
0
hrh2)r(E
D'où l'expression du champ :
r
0
u r
1
2E
III.4.2. Sphère uniformément chargée en volume
a- Calcul du champ
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Considérons une sphère de centre O et de rayon R,
de charge Q. Cette charge est répartie avec une
densité volumique uniforme.
Nous allons déterminer l’expression de
E à
l’intérieur comme à l’extérieur de la sphère.
Tout plan contenant OM est un plan de symétrie. Le champ
E est nécessairement
porté par la direction commune à tous ces plans, donc par OM .
Soit r = OM la distance de O au point M où l’on veut calculer le champ et
r
r
OM
OMu
le vecteur unitaire porté par OM . La distribution de charges présente une
symétrie sphérique, le module de
E est indépendant de et de , il ne peut dépendre que
de r et nous poserons
u)r(E)r(E)M(E .
La surface de Gauss est une sphère de centre O et de rayon r. Le champ
E est en
tout point de porté par la normale
u et son module est constant en tout point de . Le
flux de
E à travers est donc:
²r4 r ES rEdS.E)E(
1er cas : r > R
La charge intérieure à la surface de Gauss est la charge totale :
3R3
4Q
Le théorème de Gauss se traduit donc par la relation:
M
E
R
r
Fig.10
O
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3
00
R3
4Q²r4)r(E
Soit : ²r
R
3
1)r(E
3
0
L’expression de
E sous forme vectorielle est donc:
u
²r4
Qu
²r3
R)Rr(E)M(E
00
3
1
2ème cas : r < R
La charge comprise à l’intérieur de la surface de Gauss est cette fois inférieure à Q et
vaut: 3
int r 3
4Q
et le théorème de Gauss s’écrit:
3
0
r 3
4²r4)r(E
d’où l’expression de
E :
u
3
r)Rr(E)M(E
0
2
Remarque:
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On remarque que E est continu en
tout point de l’espace, en particulier pour r
=R; ce fait est général en présence d’une
distribution volumique de charges.
b- Calcul du potentiel
A cause de la symétrie sphérique, le potentiel V ne peut dépendre que de r; V=V(r) et
la relation VgradE
s’écrit ici:
E(r)dr-V(r)ou dr
)r(dV)r(E
1er cas : r > R
1
0
3
0
3
1 Cr3
Rdr
²r3
R)r(V
où C1 est une constante d’intégration; en supposant que 0)(V ( il n’y a pas de charges à
l’infini ), nous obtenons C1=0, d’où l’expression de V(r) s’écrit :
r 3
R)r(V
0
3
1
2ème cas : r < R
r R
E(r)
Fig.11
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2
00
C6
²rdr
3
r)r(V
où C2 est une constante d’intégration que nous
allons déterminer en exprimant la continuité de
V(r) pour r = R. Cette condition de continuité se
traduit en écrivant :V1(r = R) =V2(r = R). Soit:
0
2
2
0
2
0
3
2
0
2
2
RC
3
R
R 3
RC
6
R
D’où l’expression de V2(r) à l’intérieur de la sphère chargée:
²)r²R3(6
)r(V0
III.4.3. Sphère uniformément chargée en surface
Considérons une sphère de centre O et de rayon R, chargée uniformément avec une
densité superficielle . Soit 2
SR4SdSQ sa charge totale.
En utilisant le même raisonnement que celui d’une sphère chargée en volume on
peut montrer que :
*
u)r(E)M(E ²r4)r(E)E(
Et on obtient:
²r
u²R)Rr(E)M(E
0)Rr(E)M(E
0
2
1
r R
V(r)
Fig.12
0
2
3
R
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De la relation VgradE
on déduit le potentiel:
r
²R)Rr(V)M(V
R)Rr(V)Rr(V)M(V
0
2
0
1
La représentation des variations de V(r) et E(r) en fonction de r ( Fig.13 ) montre que le
potentiel est continu alors que le champ E(r) subit, à la traversée de la surface chargée, une
discontinuité égale à 0
.
III.4.4. Plan uniformément chargé
Considérons un plan «infini» portant
la charge surfacique uniforme sur
toute sa surface.Soit M un point de
l’espace extérieur à . Tout plan
passant par M et perpendiculaire au
plan est un plan de symétrie paire; le
V(r )
E
E
Fig.14
M M’
1
L 2
E(r)
r R R
0
R
r
0
Fig. 13
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champ
E appartient donc à l’un de ces
plans. La seule direction commune à
tous ces plans étant la perpendiculaire
à passant par M, le champ en M est
nécessairement porté par cette
direction.
Pour calculer le module de
E en un point M, nous allons considérer une surface de
Gauss constituée d’un cylindre droit, dont les génératrices sont normales au plan chargé,
fermé par deux sections droites d’aire S parallèles au plan et symétriques par rapport à celui-
ci dont l’un passe par M ( Fig.14 ).
L21
Le flux de
E sortant de la surface latérale L du cylindre est nul, car en tout point de
L, 0dS.E
. Le flux sortant de se réduit au flux sortant de 1 et 2 :
ES2dS).M(EdS).M(EdS.E)E(21
D’aprés le théorème de Gauss:
00
int SQ
D’où le champ
E :
n
2E
0
n est un vecteur unitaire normal au plan dirigé du plan vers M.
IV. LES EQUATIONS LOCALES DU CHAMP ELECTRIQUE ET DU
POTENTIEL
IV.1. Les équations locales de
E
IV.1.1. Le rotationnel
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Si on prend le rotationnel de l’expression VgradE
, et sachant que le rotationnel d’un
gradient est toujours nul, on obtient l’équation locale
0Erot vérifiée en chaque point.
Cette relation est valable pour une distribution quelconque de charges et on a :
0Erot
Le champ électrique est donc un champ à rotationnel nul.
Remarque:
Si on calcule le flux du vecteur
Erot , à travers une surface (S), s’appuyant sur une
courbe (C) fermée quelconque on a:
0dS.Erot)S(
or d’après le théorème de Stokes:
)C()S(
d.EdS.Erot
On en déduit que:
)C(0d.E
La circulation du vecteur
E le long d’un circuit fermé est nulle.
IV.1.2. La divergence
Si on applique le théorème de Green- Ostrogradski au champ
E :
S v
dvEdivdS.E
Et sachant que, pour une distribution volumique de charges, le théorème de Gauss
est:
v
0
dv
On obtient:
0dv)Ediv(v
0
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Cette expression est valable quelque soit le volume dv, on a donc:
0
Ediv
Cette expression représente la forme locale du théorème de Gauss. Elle est appelée
aussi équation de Poisson pour le champ.
Lorsqu’il n’y a pas de charges au point considéré, 0Ediv
; le champ
E est à flux
conservatif.
IV.2. Les équations locales de V:
On a vu que 0
Ediv
, or VgradE
on en déduit donc:
0
VVgraddivEdiv
Soit:
0
V
C’est l’équation de Poisson pour le potentiel; V est le Laplacien de la fonction potentiel et
la densité volumique de charges.
Remarque: Si = 0 on a: 0V C’est l’équation de Laplace.