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MODELISATION
Introduction aux quations aux drivespartielles et leurs rsolutions numriques
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Polytech'Montpellier - Universit Montpellier [email protected]
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SOMMAIRE
AVANT-PROPOS ......................................................................................................................... 51. INTRODUCTION ................................................................................................................... 62. EXEMPLE D'ETABLISSEMENT DUNE EQUATION MECANISTE ............................................ 7
2.1. Equation de diffusion 1D ........................................................................................... 72.2. Interprtation d'une quation aux drives partielles .......................................... 112.3. Equation de la Diffusion 3D .................................................................................... 122.4. Conditions limites et condition initiale ................................................................... 142.5. Rgime permanent et non permanent .................................................................... 152.6. Complments lquation de base ......................................................................... 15
2.6.1. Injection (ou soutirage) .................................................................................... 152.6.2. Cintique propre du produit ............................................................................. 162.6.3. Convection ....................................................................................................... 162.6.4. Cas o K est variable (dans toutes les directions et en tous points) ................. 172.6.5. Autres problmatiques ...................................................................................... 18
2.7. Sur le Laplacien, le Gradient et le Divergent ........................................................ 182.7.1. Oprateurs en mathmatique et en physique .................................................... 182.7.2. Le Laplacien ..................................................................................................... 192.7.3. Le gradient ........................................................................................................ 192.7.4. Le divergent ...................................................................................................... 202.7.5. Remarques ........................................................................................................ 20
2.8. Laplacien en coordonnes polaires ......................................................................... 213. CLASSIFICATION DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES DORDRE 2 ................... 22
3.1. Classification par les coniques ................................................................................ 223.1.1. Classification par discriminant et par valeurs propres ..................................... 223.1.2. Application aux EDP dordre 2 ........................................................................ 22
3.2. Equation stationnaire et quation dvolution ...................................................... 254. RESOLUTION DES EDP-PRINCIPE DES METHODES NUMERIQUES .................................. 265.
LA METHODE DES DIFFERENCES FINIES ........................................................................... 27
5.1. Principe de la mthode ............................................................................................ 275.2. Cas dune EDP elliptique (stationnaire) ................................................................ 28
5.2.1. Cas de conditions de Dirichlet ......................................................................... 285.2.2. Cas de conditions de Neumann homognes ..................................................... 345.2.3. Cas de conditions de Neumann non homognes .............................................. 37
5.3. Notions sur les erreurs de la mthode .................................................................... 395.3.1. Prsentation ...................................................................................................... 395.3.2. La consistance .................................................................................................. 405.3.3. La stabilit ........................................................................................................ 415.3.4. La convergence ................................................................................................ 41
5.4. Cas dune EDP parabolique 1D (volutive) ........................................................... 425.4.1. Position du problme et mthode ..................................................................... 42
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5.4.2. Les schmas types ............................................................................................ 425.4.2.1 Discrtisation du domaine dtude .......................................................... 435.4.2.2 Discrtisation de lquation ..................................................................... 43
5.4.3. Le schma explicite .......................................................................................... 445.4.4. Le schma implicite ......................................................................................... 455.4.5. Le schma explicite 2 pas .............................................................................. 475.4.6. Le schma pondr ........................................................................................... 475.4.7. Exemple d'un schma explicite stable .............................................................. 49
5.5. Cas d'une EDP parabolique 2D .............................................................................. 495.5.1. Schmas classiques .......................................................................................... 495.5.2. Schma des directions alternes ....................................................................... 50
5.6. Cas d'une EDP hyperbolique (volutive) ............................................................... 515.6.1. Schmas explicites ........................................................................................... 515.6.2. Schmas implicites ........................................................................................... 53
5.7. Cas particuliers ........................................................................................................ 545.7.1. Maillage irrgulier en 1D ................................................................................. 545.7.1.1 Discrtisation de la drive premire ...................................................... 555.7.1.2 Discrtisation de la drive seconde ........................................................ 55
5.7.2. Maillage irrgulier en 2D ................................................................................. 565.7.2.1 Maillage rgulier dans chaque dimension ............................................... 565.7.2.2 Maillage irrgulier dans chaque dimension ............................................ 56
5.7.3. Drive mixte ................................................................................................... 575.7.4. Discrtisation du divergent............................................................................... 57
5.8. Traitement des termes non linaires ...................................................................... 606. LA METHODE DES ELEMENTS FINIS .................................................................................. 62
6.1. Comparaison Diffrences finies Elments finis .................................................. 626.2. Equivalence de problmes ....................................................................................... 626.2.1. Objet ................................................................................................................. 62
6.2.2. Equivalence entre systme matriciel et problme de minimisation ................. 626.2.3. Equivalence avec un problme de minimum ................................................... 636.2.4. Rcapitulatif ..................................................................................................... 646.2.5. Application aux EDP ........................................................................................ 646.2.6. Approximation interne ..................................................................................... 65
6.3. Construction pratique du problme variationnel ................................................. 666.3.1. Cas dune quation diffrentielle ..................................................................... 666.3.1.1 Cas dune condition de Neumann homogne ........................................... 666.3.1.2 Cas dune condition de Dirichlet homogne ............................................ 676.3.1.3 Cas dune condition de Neumann non homogne .................................... 676.3.1.4 Cas dune condition de Dirichlet non homogne ..................................... 67
6.3.2. Cas dune EDP ................................................................................................. 686.4. Mise en uvre de la mthode des lments finis ................................................... 696.5. Cas dune quation diffrentielle - Fonction linaire par morceaux ................... 69
6.5.1. Cas de condition de Dirichlet homogne ......................................................... 696.5.2. Cas de condition de Neumann homogne ........................................................ 746.5.3. Cas de condition de Neumann non homogne ................................................. 756.5.4. Cas de condition de Dirichlet non homogne .................................................. 76
6.6. Cas dune quation diffrentielle - Fonction parabolique par morceaux .......... 776.7. Cas dune EDP Approximation linaire par lment ........................................ 846.8. Cas dune EDP Approximation quadratique par lment ................................ 916.9. Extension de la mthode .......................................................................................... 92
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6.10. Extension aux problmes volutifs ......................................................................... 927. RESOLUTION DES SYSTEMES DEQUATIONS LINEAIRES................................................... 93
7.1. Introduction .............................................................................................................. 937.2. Mthodes directes ..................................................................................................... 93
7.2.1. Mthode de Gauss-Jordan ou mthode du pivot .............................................. 947.2.1.1 Principe .................................................................................................... 947.2.1.2 Limite de la mthode ................................................................................ 95
7.2.2. Mthode de Gauss (ou triangularisation) ......................................................... 957.2.2.1 Principe .................................................................................................... 957.2.2.2 Nombre d'oprations ................................................................................ 96
7.3. Mthode du double balayage pour les matrices tridiagonales (Cholesky). ........ 967.4. Mthodes itratives .................................................................................................. 97
7.4.1. Principe ............................................................................................................. 977.4.2. Mthode de Jacobi ............................................................................................ 987.4.3. Mthode de Gauss -Seidel ................................................................................ 987.4.4.
Facteur de relaxation ........................................................................................ 99
ANNEXE1:ECRIRE UN SYSTEME MATRICIEL.................................................................... 100ANNEXE2:LA PENTE D'UNE DROITE................................................................................. 101ANNEXE3:DEVELOPPEMENT DE TAYLOR........................................................................ 102ANNEXE4:LE LAPLACIEN EN COORDONNEES POLAIRES ................................................. 103BIBLIOGRAPHIE ..................................................................................................................... 106
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AVANT-PROPOS
Ce polycopi est une introduction aux quations aux drives partielles et leur rsolution,
tout ceci ayant comme objectif la modlisation mathmatique du monde qui nous entoure, ou,pour rester plus modeste, la modlisation des problmes courants rencontrs par l'ingnieur.
Soyons clair : vous n'aurez peut-tre que peu ou pas l'occasion de manipuler les quations aux
drives partielles plus tard, car cela est fait dans les logiciels que vous utiliserez plus
certainement. Ce cours a donc pour objectif de vous montrer comment on construit et
rsout ces quations afin que vous puissiez avoir un regard critique et clair sur les
outils informatiques que vous utiliserez.
Le chapitre 1 situe succinctement la modlisation mathmatique parmi les modlisations les
plus courantes.
Ces quations ne sont pas toujours bien abordes par les tudiants qui y voient une criture
sotrique et parfois incomprhensible. Le chapitre 2 tente de dmystifier ces quations en
prsentant un exemple simple et baser sur "le bon sens" dans lequel on aboutit l'quation de
la diffusion. L'objectif est alors de ne pas perdre le lecteur avec une approche trop
mathmatique susceptible de le dcourager. Cependant, il est important que le lecteur se
familiarise rapidement avec les symboles mathmatiques utiliss.
Ce n'est pas la manire "officielle" de prsenter cette quation, mais cette dmonstration
prsente l'immense avantage de pouvoir tre suivie avec un niveau de terminale scientifique
(du moins, je l'espre !). On arrive petit petit l'criture la plus complte de l'quation de la
diffusion.
Le chapitre 3 n'est pas le plus important, mais il introduit la classification des quations aux
drives partielles, lment structurant pour la suite.
A partir du chapitre 4, on aborde la rsolution des quations aux drives partielles par 2
mthodes numriques :
La mthode des diffrences finies, qui est une mthode simple, et que lecteur pourrasuivre aisment La mthode des lments finis, qui est d'un abord beaucoup plus complexe. Le lecteur
s'attachera comprendre le principe et traiter les exemples complets qui y sont
dvelopps.
Enfin, le dernier chapitre sur la rsolution des systmes d'quations linaires, aboutissement
des 2 mthodes prcdentes, est l titre informatif. En effet, la mise en uvre de ces
mthodes ncessite gnralement des connaissances informatiques, notamment de
programmation, ce qui dborde du sujet abord dans ce document.
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1. INTRODUCTION
La modlisation dun phnomne est une dmarche visant reprsenter par un moyen adquat
le comportement de ce phnomne. Dans les sciences de l'ingnieur, la modlisation permet
de comprendre les variables qui influencent ce comportement, afin de dimensionner desouvrages, d'anticiper son volution, de simuler des situations venir.
La modlisation peut tre aborde de diffrentes faons. On peut proposer la classification
sommaire suivante :
Les modles rduitsQui ne connat pas les souffleries o sont tests les modles rduits davion ? Le modle
rduit permet de rendre compte du comportement dun objet soumis diffrentes
contraintes sans avoir construire cet objet dans sa taille normale. La thorie des
similitudes permet alors, partir du comportement du modle rduit, de conclure sur le
comportement de lobjet rel.
Les modles analogiquesIls permettent de reprsenter un phnomne partir dune analogie avec un autre plus
facile laborer. Par exemple, le comportement dune nappe deau dans le sol peut tre
abord par une analogie avec le potentiel lectrique d'une plaque mtallique.
Les modles mathmatiquesCes modles sont les plus courants actuellement, suite la monte en puissance des
ordinateurs et de leur capacit calculer vite. Ils sont bass sur la mise en quation
mathmatique du phnomne tudier. Ce sont ces modles qui vont nous intresser pource cours. L aussi, on peut tenter une classification sommaire.
- Les modles empiriquesIl sagit didentifier les variables qui interviennent priori dans un phnomne
physique et de les relier par une quation partir dune srie dobservations. Cette
quation na parfois rien de physique, mais reprsente bien le nuage de points . Elle
est totalement dpendante de lchantillon qui a servi au calage.
- Les modles conceptuelsIls abordent la reprsentation dun phnomne complexe partir dun autre beaucoup
plus simple tudier. Par exemple, en hydrologie, on conoit souvent lefonctionnement dun bassin versant (en termes de production dun dbit deau) comme
celui dun rservoir, objet dont le remplissage et/ou la vidange se mettent facilement
sous forme dquations.
- Les modles mcanistesLa mcanique, en tant que science, est la base de la reprsentation du phnomne.
On aboutit gnralement un type dquations dites aux drives partielles, quil
sagit ensuite de rsoudre.
Cest ce dernier type de modlisation auquel ce cours se consacre. On verra successivement
comment on aboutit des quations aux drives partielles travers un exemple, et deuxmthodes classiques pour les rsoudre.
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2. EXEMPLE D'ETABLISSEMENT DUNE EQUATION MECANISTEOn va partir dun exemple suffisamment simple pour tre comprhensible quelque soit
lorigine scientifique du lecteur : le comportement dun produit par exemple un polluant
dans de leau.
Il sagit dun problme dit de diffusion.
2.1. Equation de diffusion 1DOn considre un paralllpipde, de section S, constitu de matire homogne immobile (de
l'eau par exemple on verra plus loin le cas de l'eau en mouvement), ayant une concentration
C1 d'un produit sur sa face gauche et C2 sur sa face droite.
On peut faire comme hypothse que la quantit
de matire M issue du produit en question qui
franchit une section S du paralllpipde, c'est-
-dire qui circule par unit de longueur sur l'axe
des x, de l'avant vers l'arrire pendant le temps
t est:- proportionnel la section S- proportionnel la diffrence C1-C2
- proportionnel t- inversement proportionnel x. en effet,
plus x est petit et plus la quantit dematire devant franchir la section S
pendant l'intervalle de temps t sera importante pour passer de la concentration C1 et
C2.
soit tx
CCSKM 21x
=
La dimension de K, qui est appel coefficient de diffusion, est ici m/s.
Remarque : cette relation peut se vrifier exprimentalement.
La forme de cette relation s'applique diffrents domaines scientifiques en fonction de la
variable C et porte diffrents noms selon le domaine concern (loi de Fick en Gnie des
Procds, loi de Darcy en hydrogologie, loi de Fourier en thermique )
On admettra comme convention que M est positif si C1 > C2 et que le coefficient Kx est
constant le long de laxe Ox (on tudiera le cas de ce coefficient variable plus loin)
Cette quation trs simple, admise comme hypothse, est la base de l'quation de la
diffusion. Le lecteur est invit bien la mmoriser et toujours se rappeler ce point de dpart.
On considre maintenant un volume de matire homogne dcoup en paralllpipdes de
longueur x. On considre des paralllpipdes suffisamment petits pour que laconcentration, au sein de chaque paralllpipde, y soit considre comme constante.
x
C1
C2
S
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Faisons un bilan de produit au niveau de la tranche i selon l'axe des x : on regarde ce qui
rentre et ce qui sort de cette tranche pendant lintervalle de temps t afin de connatre laconcentration dans cette tranche. On suppose donc qu'il n'y a pas d'change de matires dans
les directions Oy et Oz.
Ci-1 Ci Ci+1
1 2
x
z
y
x
Tranches
i-1 i i+1
La quantit de matire qui franchit la face 1, compte positivement dans le sens de l'axe Ox,
s'crit :
tx
CCSKM i1ix1i
=
La quantit de matire qui franchit la face 2, compte positivement dans le sens de l'axe Ox,
s'crit :
tx
CCSKM 1iix2i
= +
Si on considre que le coefficient Kx est constant le long de l'axe Ox, le bilan dans la tranche i
s'crit :
Variation de matire (Mi) = ce qui entre (Mi1) ce qui sort (Mi2)
tx
CC2CSKMMM 1ii1ix2i1ii
+== +
Ecrivons la variation de concentration dans la tranche i, en divisant par son volume Sx :
tx
CC2CKtxxS
CC2CSKxS
MC2
1ii1ix
1ii1ix
i
+=+=
= ++
Soit2
1ii1ix
x
CC2CK
t
C
+
= + (quation A)
Regardons de plus prs les deux termes de cette quation :
a - Tout d'abord, le terme C/t. C'est le rapport entre la variation de concentration C, qu'on
observe pendant une dure t, et cette dure t.
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Ci
t
ti ti+1
Ci+1
C
C
t
C'est donc, en terme d'unit, par exempledes mg/l/s, soit de combien varie C par
unit de temps.
Notamment, si t = 1 (1 seconde), on a
la variation de C directement chaqueseconde.
Ce n'est cependant pas ce qui va nousintresser, car on dsire savoir comment
varie C instantanment (pour une trs
petite dure), car quand on crit unefonction C(x, t), cela signifie que C est"exprimable" aux coordonnes x et t, et
pas pour un intervalle x et t.On fait donc tendre t vers 0 pour avoir une variation instantane C (le mot "instantane"doit bien tre pris dans son sens premier : un instant, donc quand t0).
Vers quoi va tendre le rapport C/t quand t0 ? Si on y regarde rapidement etinstinctivement, il tend vers un rapport 0/0, ce qui est indtermin.
C'est l que les mathmatiques viennent notre secours !
Ci
t
ti ti+1
Ci+1
Ccorde
Cangle
tTangente
la courbe
Considrons l'angle entrel'horizontale et la corde reliant les
points (Ci, ti) et (Ci+1, ti+1).La tangente de cet angle est le rapport
entre le cot oppos et le cot adjacent,
soit C/t.C'est aussi la valeur de la pente de lacorde (voir Annexe 2 si ncessaire).
Vers quoi tend le rapport C/t quandt0 ?On voit graphiquement que ce rapport
tend vers la pente de la tangente la
courbe au point d'abscisse ti.
C'est--dire que la variation instantane de C est gale la pente de la tangente la courbe l'abscisse t qui nous intresse.
On nomme cette pente de la tangente la courbe "drive premire" et on la notet
C
. C'est
la variation instantane de la concentration (en fonction du temps ici) et peut tre interprte
smantiquement comme "comment drive (au sens de la variation) la fonction C en fonctionde t".
Elle exprime la valeur (ou la limite) de C/t quand t tend vers 0 (et il plus rapide
d'criret
C
que "limite de C/t quand t tend vers 0").
Remarque : il y a la notation dt
dC
et t
C
. Tout dpend si la fonction C est fonction d'une ouplusieurs variables. Ici, C est fonction de x (voire de y et z galement voir plus loin) et de t.
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On parle alors d'une "drive premire partielle" car on ne regarde la variation instantane
de C qu'en fonction de t, alors qu'elle dpend aussi de x (on regarde cette variation pour un x
fix, mais ce n'est pas forcment la mme pour tout x).
Si C n'tait fonction que de t, on crirait alorsdt
dCcar il n'y a pas d'autres variables qui
peuvent influencer cette valeur de variation instantane.
De faon gnrale, si on a une fonction U(x) U dpend d'une seule variable alors on parle
de drives pour dsigner des variations instantanes en fonction de x, et si U dpend de
plusieurs variables, on parle de drives partielles.
Si une quation relie la fonction U avec ses drives (ce qui est le cas le plus frquent dans
les modles mathmatiques), on parle d'quation diffrentielle si U ne dpend que d'une
variable, et d'quations aux drives partielles si U dpend de plusieurs variables.
De tout cela, on en conclut donc que le terme
t
C
correspond la drive premire partielle
t
C
(variation instantane de C par rapport t) quand t 0.
b - A quoi correspond le deuxime terme de cette quation2
1ii1i
x
CC2C
+ + ?
Considrons la courbe ci-dessous et sa drivex
C
au point d'abscisse x. Cette drive
correspond la pente de la tangente la courbe au point d'abscisse x comme on vient de le
voir.
On peut approximer cette tangente
par la pente de la corde entre lespoints (xi ,Ci) et (xi+1 ,Ci+1). La pente
de cette corde est gale la tangentede l'angle entre la corde et
l'horizontale.
Cette pente est donc gale
tg()=x
CC i1i
+ ; plus x est petit, et
plus l'approximation est valide.
Autrement dit, le termex
CC i1i
+ est
une approximation de la drive premireix
C
l'abscisse xi quand x 0.
De la mme faon, on peut approximer la drive premireix
C
l'abscisse xi par la pente
de la corde entre les points (xi ,Ci) et (xi-1 ,Ci-1) :x
CC
x
C 1ii
i
quand x 0.
Ci
x
Xi Xi+1Xi-1x x
Ci-1
Ci+1
C
tangente
Approximationde la tangente
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TOPO sur la drive seconde
On peut maintenant avoir une approximation de la drive seconde en xi , en drivant 2 fois
C(x) par rapport x, et en appliquant les 2 faons vues au-dessus:
2
1ii1i
2
1ii
2
i1i
i1i
i1i
ii
2
2
x
CC2C
x
CC
x
CC
x
C
xx
C
xx
CC
xx
C
xx
C
+
=
=
=
=
+++
+
Autrement dit, le deuxime terme de l'quation A correspond l'approximation de la drive
seconde de la fonction C; quand x 0, nous avonsi
2
2
2
1ii1i
x
C
x
CC2C
+ +
L'quation A est donc une expression de
2
2
xx
CK
t
C
=
et tend vers cette dernire quand x 0 et t 0
L'quation encadre est dite de la diffusion 1D (1D pour une dimension d'espace).
Cest une quation aux drives partielles (EDP) car C est fonction dau moins 2 variables (x
et t) et elle fait intervenir les drives de C par rapport ces 2 variables.
2.2. Interprtation d'une quation aux drives partiellesComment "lire" l'quation prcdente ?
La drive premire
t
C
correspond la variation de concentration dans le temps, c'est--dire
de quelle quantit C varie dans le temps.
La drive seconde2
2
x
C
correspond la variation de la variation (drive de la drive
premire) de concentration selon l'axe des x, autrement dit, ce terme s'intresse la faon dontla drive premire de la concentration varie en x.
L'quation de la diffusion dit que la variation de concentration au cours du temps est
proportionnelle la variation de la variation de concentration en espace.
Interprtons ce qui vient d'tre dit :
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x
Ci-
C i+
Xi+XiX i-Xi+Xi- Xi
Cas 1 Cas 2
C
Sur le graphique ci-dessus, on considre un petit dplacement gauche et droite de X et
l'allure de la solution entre Xi- et Xi+. Nous avons une valeur (approximative) des drivespremires droite et gauche de Xi travers les pentes des cordes entre Xi- et Xi d'une part,
et Xi et Xi+ d'autre part.
Il est important de remarquer que la variation de concentration entre X i- et Xi+ est ma mme
dans les 2 cas.
Dans le cas 1, les pentes sont voisines. L'quation dit donc que dans l'intervalle de temps t,
la concentration en xi ne changera gure (donct
C
sera faible) puisque le terme2
2
x
C
est voisin
de 0.
Dans le cas 2, les pentes sont trs diffrentes. L'quation de la diffusion dit alors que la
concentration en xi va beaucoup changer (t
C
sera important) puisque le terme2
2
x
C
est loin
d'tre ngligeable).
Ainsi, l'quation de la diffusion prcise que la variation de concentration dans le temps ne
dpend pas de la diffrence de concentration entre 2 points, mais dpend de la diffrence despentes entre ces 2 points (donc de l'allure de la solution et non de la valeur de la solution).
L'interprtation physique est simple : les valeurs de pentes reprsentent les flux de part et
d'autres du point xi (soit des quantits de polluant qui circulent gauche et droite de x i , etc'est bien ce qu'on a crit au tout dbut : on a fait un bilan de ce qui entrait et sortait de latranche i).
- Si les flux de part et d'autre de xi sont voisins, le bilan est proche de zro et laconcentration en xi ne varie gure dans le temps.
- Si les flux sont diffrents, le bilan ne sera pas quilibr au niveau de x i et laconcentration changera dans le temps
2.3. Equation de la Diffusion 3DEn supposant qu'il y a galement des changes dans les directions Oy et Oz.
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On peut raliser ce mme bilan de matire selon les deux autres axes y et z de l'espace, pour
avoir un bilan total au niveau de la tranche Ci,j,k.(indice i pour laxe Ox, j pour laxe Oy et kpour laxe Oz)
Supposons dans un premier temps que le coefficient de proportionnalit est constant danstoutes les directions de l'espace : Kx = Ky = Kz = K
La variation Mi,j,kde matire dans la tranche (i,j,k) s'crit :
tz
CC2CSK
ty
CC2CSK
tx
CC2CSK
)MM()MM()MM(M
1k,j,ik,j,i1k,j,i
zz
k,1j,ik,j,ik,1j,i
yy
k,j,1ik,j,ik,j,1i
xx
2k,j,i1k,j,ik,2j,ik,1j,ik,j,2ik,j,1ik,j,i
++
++
+=
++=
+
+
+
Supposons dans un premier temps que le coefficient de proportionnalit est constant danstoutes les directions de l'espace : Kx = Ky = Kz = K
++
++
+= +++
z
CC2CS
y
CC2CS
x
CC2CStKM
1k,j,ik,j,i1k,j,i
z
k,1j,ik,j,ik,1j,i
y
k,j,1ik,j,ik,j,1i
xk,j,i
En divisant par le volume de la tranche V= x y z, on a une variation de concentration
+
+
+
+
+
= +++
2
1k,j,ik,j,i1k,j,iz
2
k,1j,ik,j,ik,1j,iy
2
k,j,1ik,j,ik,j,1ixk,j,i
z
CC2C
yx
S
y
CC2C
zx
S
x
CC2C
zy
StKC
or yxS;zxS;zyS zyx === do
++
++
+= +++
2
1k,j,ik,j,i1k,j,i
2
k,1j,ik,j,ik,1j,i
2
k,j,1ik,j,ik,j,1i
k,j,iz
CC2C
y
CC2C
x
CC2CtKC
En reprenant les considrations prcdentes sur les drives, on aboutit alors :
CKz
C
y
C
x
CK
t
C2
2
2
2
2
2
=
+
+
=
La somme des drives secondes est appele Laplacien et note . On a alors
CKt
C=
Il s'agit de l'quation de la diffusion 3D. Ici, il faut bien noter que le coefficient de diffusion
est constant dans toutes les directions de l'espace.
Entre le modle 1D et 3D, on peut bien sr tablir un modle 2D.
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14
2.4. Conditions limites et condition initialeDans cette dmarche, on a travaill avec une tranche i,j,k "interne", mais il est vident que
pour la premire et la dernire tranche (dans chacune des directions de l'espace), il faudra
reprsenter ce qui se passe chacune des extrmits pour tablir un bilan massique du produit
dans la premire et dernire tranche.
Autrement dit, il faut savoir ce qui se passe sur les frontires du domaine tudi pour pouvoirtablir un bilan des tranches priphriques. Sans cette connaissance, on ne pourra pas tablir
la variation de concentration sur ces tranches priphriques, et en cascade, on ne pourra pas
tablir de bilan sur une tranche quelconque.
Il s'agit des conditions limites qui grent le phnomne sur toutes les frontires spatiales.On distingue gnralement 2 grands types de conditions limites :
- les conditions de type Dirichlet : elles fixent une valeur de la concentration sur lafrontire. Cette condition permet donc toujours de faire un bilan sur la premire ou
dernire tranche en tablissant la quantit de matire qui franchit la frontire. Dans
l'exemple prcdent, cela revient connaitre la concentration sur la frontire du
domaine (par exemple une source de pollution qui maintient constante laconcentration sur la frontire).
- Les conditions de type Neumann : elles fixent la valeur de la drive de laconcentration sur la frontire. Cette condition permet aussi d'tablir un bilan sur la
premire ou dernire tranche puisqu'on a directement le terme x/C (ou y/C ou
z/C ). On les appelle aussi conditions de flux. Dans l'exemple prcdent, celarevient avoir du polluant qui entre sans arrt dans (ou sort de) notre domaine d'tude
si ce flux n'est pas nul).
Insistons sur la diffrence des 2 conditions par rapport notre exemple.Dans le premier cas, du polluant entrera dans (ou sortira de) notre domaine s'il y a une
diffrence de concentration entre la frontire et la tranche priphrique (puisque la quantit
qui circule entre 2 tranches est proportionnelle la diffrence de concentration). Si les
concentrations la frontire et dans la tranche priphrique sont identiques, rien ne rentre
(rien ne sort)
Dans le deuxime cas, quelque soit les concentrations sur la frontire et dans la tranche
priphrique, du polluant entre ou sort si le flux est diffrent de 0, et rien ne franchit la
frontire si le flux est nul.
De la mme faon, l'origine temporelle du phnomne, la concentration du produit l'intrieur de chaque tranche va commander l'change de matire entre les tranches, du moins
pendant les premiers instants. La connaissance des concentrations linstant zro est donc
indispensable pour apprhender lvolution des concentrations de chaque tranche dans le
temps. Il s'agit ici de la condition initiale.
Ces conditions sont extrmement importantes :
1) elles conditionnent la valeur de la solution, c'est--dire qu'elles sont aussi importantesque l'quation elle-mme. Des conditions limites diffrentes, pour une mme quation
rsolue, donneront des solutions diffrentes.
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2) elles doivent tre compatibles avec l'existence d'une solution, et que celle-ci soitunique (dans le cas contraire, on parle de problme mal pos)
Cette dernire notion, problme bien ou mal pos, peut tre illustre avec un exemple simple.
Prenons l'quation diffrentielle 0dx
)x(yd
2
2
= dans l'intervalle [x1 , x2].Remarque : cette quation en y(x) n'est qu'un cas particulier d'une EDP : la fonction (y) ne
dpend que d'une seule variable (x), c'est pour cela qu'on met un (d) au lieu d'un ( ).
La solution analytique de cette quation est y(x) = ax + b. Il s'agit d'une solution
"mathmatique" qui admet une infinit de solutions en fonction de (a) et (b), mais une
solution physique se doit d'tre unique, en admettant que cette quation modlise un
phnomne physique.
Ce sont les conditions limites qui vont imposes la "valeur" de la solution. C'est dj un
premier lment qui montre l'importance des conditions limites.
Etudions diffrents cas de conditions limites en x1
et x2
:
2 conditions de Dirichlet en x1 et x2 : on a alors 2 points fixs, et par ces 2 points,on peut faire passer une droite. Le problme est bien pos.
1 condition de Dirichlet et 1 condition de Neumann : on a un point et une pentefixs, ce qui est compatible avec une droite. Le problme est galement bien pos.
2 conditions de Neumann en x1 et x2 : on a alors un problme car soit les 2conditions de Neumann sont gales et il y a alors une infinit de solutions, soit les
2 conditions de Neumann sont diffrentes et il n'y a pas de solution car il est
impossible qu'une droite ait 2 pentes diffrentes. . Le problme est alors mal pos.
Cet exemple illustre donc que les conditions limites que l'on retient entrainent l'unicit ou
l'inexistence d'une solution physique.
2.5. Rgime permanent et non permanentOn parle dun phnomne en rgime permanent quand son volution est indpendante du
temps.
Dans lquation de la diffusion, le termet
C
est nul et l'quation devient C = 0 .
Il sagit de lquation de Laplace (somme des drives secondes en espace nulle).
Rciproquement, si le temps intervient dans l'quation, on parle d'un rgime non permanent.
2.6. Complments lquation de baseOn se remet dans le cas o on regarde ce qui de passe le long de laxe Ox uniquement (c'est
plus simple crire et l'extension 2 ou 3 dimensions ne pose pas de problme particulier).
2.6.1.Injection (ou soutirage)
On peut "injecter" ou "soutirer" dans la tranche j une quantit M0 du produit en question.
La quantit totale qui entre ou qui sort de la tranche i s'crit : 02i1ii MMMM += (M0 est
positif ou ngatif selon le cas).
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D'oxS
Mt
x
CC2CK
xS
M
xS
MM
xS
MC 0
2
1ii1i02i1ii
+
+=
+
=
= +
SoittxS
M
x
CC2CK
t
C 02
1ii1i
+
+=
+
Ou encore quand x et t tendent vers zro : 022
qxCK
tC +=
Remarque : q0 est exprim en mg/l/s
2.6.2.Cintique propre du produitIl s'agit d'un terme de croissance (apparition) ou de dcroissance (disparition) du produit. On
considre souvent que la variation de concentration due cette cintique est proportionnelle
la concentration de produit (cintique du premier ordre) et se traduit au niveau du bilan de la
tranche i par un terme k'C (en positif ou en ngatif).
C'kxS
MMC'kxS
MC 2i1ii +
=+= d'o t
C'k
x
CC2CKt
C2
1ii1i
++
=
+
Ou encore quand x et t tendent vers zro : kCx
CK
t
C2
2
+
=
Remarque : k est exprim s-1
2.6.3.ConvectionNous avons fait l'hypothse que la matire dans laquelle on observe le produit tait immobile.
Supposons maintenant qu'elle est anime d'une vitesse U positive dans le sens des x.
De par ce mouvement, indpendamment du phnomne de diffusion, la quantit de matire
qui entre dans la tranche i en provenance de la tranche i-1 s'crit :- quantit deau qui entre par unit de temps : US (on a des m3/s si U en m/s et S en m)- masse de produit par unit de temps : US C i-1 (on a des mg/s, si C est en mg/m
3)
- masse de produit : US Ci-1 t (en mg si t en secondes)
et il en sort une quantit USCit par un mme raisonnement.
On aura donc la variation globale suivante de matire dans la tranche i :
tUSCtUSCMMM i1i2i1ii +=
et la variation de concentration suivante : tx
CCU
xS
MMC i1i2i1i
+
=
soitx
CCU
x
CC2CK
t
C i1i2
1ii1i
+
+=
+
Le termex
CC i1i
est une approximation de la drive premire en i (au signe prs) et tend
donc vers cette drive quand x 0. Dans ce cas (x 0), on a alors l'quation :
x
CU
x
CK
t
C2
2
=
ou bien2
2
x
CK
x
CU
t
C
=
+
Il s'agit de l'quation dite de Diffusion-Convection 1D.
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En 3D, on considre les vitesses Ux, Uy, Uz, dans chaque direction de lespace. On tablit les
mmes bilans que prcdemment et on obtient :
CKz
CU
y
CU
x
CU
t
Czyx =
+
+
+
En considrant les vecteurs
-U de composantes )U,U,U( zyx
- Cgrad
de composantes
z
C,
y
C,
x
C
on a l'quation CKCgrad.Ut
C=+
oz
CU
y
CU
x
CUCgrad.U zyx
+
+
=
2.6.4.Cas o K est variable (dans toutes les directions et en tous points)
Reprenons le problme sans injection, cintique ou convection.Dans un premier temps, on regarde ce qui se passe le long de l'axe Ox.La quantit de matire Mx qui franchit une section S du paralllpipde est :
tx
CCS)z,y,x(KM 21x
=
Introduisons qx le flux, toujours selon l'axe Ox, par unit de surface d'change (flux
surfacique) :
xx21x
x qtSMsoitx
CC)z,y,x(K
tS
Mq =
=
=
xC)z,y,x(Kqx
= quand x 0
En faisant un bilan d'accumulation dans une tranche i, donc un bilan des flux entre les faces 1
et 2 :
Accumulation M = Entre SortieAccumulation M = ( )2x1x qqtS
D'o la variation de concentration au sein de la tranche j :
( ) ( )x
qqt
xS
qqtS
xS
MC 2x1x2x1x
=
=
=
O encore
x
x
t
C 1x2x2x1x
=
=
En passant en notation diffrentielle quand x 0 et t 0 :
x
q
t
C x
=
avecx
C)z,y,x(Kq x
=
On procde de la mme faon sur les axes Oy et Oz.
Le flux sur chacun des axes s'crit :y
C)z,y,x(Kq
y
= et
z
C)z,y,x(Kq
z
=
En prsentation vectorielle, on a
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Cgrad).z,y,x(Kq =
o q est un vecteur de coordonnes zyx q,q,q
Cgrad
est un vecteur de coordonnes
z
C;
y
C;
x
C
L'accumulation sur chacun des axes conduit :
y
q
t
C y
=
etz
q
t
C z
=
La variation totale de concentration sur un volume infinitsimal sera la somme des variations
selon les diffrents axes :
z
q
y
q
x
q
t
C zyx
=
En notant )q(divr
- lire divergent de q - la somme des drives premires :
z
q
y
q
x
q)q(div z
yx
+
+
=r
( )Cgrad).z,y,x(Kdiv)q(divt
C==
r
C'est l'criture gnrale de l'quation de la diffusion (sans convection, ni apport ou soutirage,
ni cintique)
Remarque : si K est constant : K(x,y,z) = K, on a alors
( ) ( )CgraddivKCgraddivK)q(divtC
===
r
C.Kx
C
y
C
x
CK
z
C
zy
C
yx
C
xK
t
C=
+
+
=
+
+
=
2.6.5.Autres problmatiquesNous avons trait ici le cas d'un produit (dans de l'eau priori) travers sa concentration,
mais la dmarche peut bien sr s'appliquer toute variable : chaleur (c'est d'ailleurs dans ce
cadre que l'quation de la diffusion fut tout d'abord tablie ; on parle alors d'quation de
Fourier) la variable tudie est alors la temprature , volume d'eau " surface libre" lavariable tudie est alors la hauteur d'eau travers un bilan des volumes d'eau
Dans tous les cas, on arrive des quations aux drives partielles (EDP), gnralement
dordre 2, cest--dire quelles font intervenir les drives secondes.
2.7. Sur le Laplacien, le Gradient et le Divergent
2.7.1.Oprateurs en mathmatique et en physique
Laplacien, gradient et divergent sont nomms "oprateurs", car ils permettent "d'oprer" (ausens de travailler) sur des fonctions.
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Ces diffrents oprateurs sont dfinis mathmatiquement. Cependant, leur application en
physique est diffrente de leur dfinition mathmatique.
En effet, alors qu'en mathmatique on peut avoir n variables dans un problme x1, , xn, en
physique on considre classiquement 4 variables au maximum ( priori), les 3 dimensions
d'espace (x, y, z) et la variable temps (t).
Ainsi, quand on parle d'un laplacien en mathmatique, il va s'appliquer toutes les variablesx1, , xn, alors qu'en physique, on ne l'applique qu'aux variables d'espace. Pourquoi ? Parce
que dans les quations qu'on obtient physiquement, on a une certaine "symtrie" des variables
d'espace o on retrouve un laplacien alors que la variable temps apparat " part". Ainsi, en
appliquant le laplacien qu'aux variables d'espace, on peut l'introduire et simplifier l'criture de
l'quation.
Ceci est bien videmment vrai pour le gradient et le divergent.
On gardera ici l'approche physique de ces oprateurs pour rester cohrent avec le polycopi,
et on les appliquera uniquement sur les variables d'espace.
2.7.2.Le LaplacienC'est la somme des drives secondes d'une fonction.
Dans le polycopi, une telle somme apparat au paragraphe 2.3, lorsqu'on fait un bilan dans
les 3 directions de l'espace, et que le coefficient de diffusion est constant.
CKz
C
y
C
x
CK
t
C2
2
2
2
2
2
=
+
+
=
Physiquement, ici le laplacien reprsente ici le rsultat d'un bilan.
Pour compter le paragraphe prcdent, dans le cas de lquation de la diffusion, le laplacien
mathmatique scrirait2
2
2
2
2
2
2
2
t
C
z
C
y
C
x
C
+
+
+
, alors que le laplacien physique
quon crit est2
2
2
2
2
2
z
C
y
C
x
C
+
+
donc uniquement avec les variables despace.
2.7.3.Le gradient
Le gradient d'une fonction u est un vecteur de composantes u/x, u/y, u/z.
Ce terme apparat dans le polycopi (au paragraphe 2.6.4) quand on veut dcrire
"indpendamment" les changes de produit dans chaque direction de l'espace, et qu'on a un
coefficient de diffusion variable.
Le flux en x s'critx
C)z,y,x(Kq x
= ,
Et sur les autres axes, on ay
C)z,y,x(Kq y
= et
z
C)z,y,x(Kq z
= .
Il est plus pratique de considrer q comme un vecteur avec 3 composantes qx, qy et qz, et on a
alors Cgrad).z,y,x(Kq =
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Physiquement, ici le gradient est l'expression de la variation instantane d'une fonction u dans
chaque direction d'espace.
2.7.4.Le divergent
C'est la somme des drives premires d'un champ vectoriel (un vecteur).
Ce terme apparat (au paragraphe 2.6.4 du polycopi) quand on veut obtenir un bilan des
changes dans un volume unitaire et qu'on a un coefficient de diffusion variable.
On az
q
y
q
x
q
t
C zyx
=
, soit ( )Cgrad).z,y,x(Kdiv)q(divt
C==
r
Physiquement, ici le divergent reprsente comment va "se dformer" une fonction, puisque
qu'on somme les variations dans chaque direction de l'espace
2.7.5.Remarques
a Sans utilisation de ces symboles, la dernire quation ( )Cgrad).z,y,x(Kdivt
C=
s'crit
+
+
=
z
C)z,y,x(K
zy
C)z,y,x(K
yx
C)z,y,x(K
xt
C.
On peut convenir que cette criture est plus lourde que la premire.
b le laplacien peut s'crire comme la divergence du gradient. C'est ce qui apparat dans la
remarque la fin du paragraphe 2.6.4 o le coefficient de diffusion K est constant.
En reprenant les quations prcdentes, et en dtaillant les calculs :
Soit
+
+
=
z
C)z,y,x(K
zy
C)z,y,x(K
yx
C)z,y,x(K
xt
C
Si K est constant : K(x,y,z) = K, on peut sortir K des drives, et le mettre en facteur :
+
+
=
+
+
=
z
C
zy
C
yx
C
xK
z
C
zy
C
yx
C
xK
t
C
C.Kx
C
y
C
x
CK
t
C=
+
+
=
Tout cela peut s'crire plus rapidement
( ) ( ) C.KCgraddivKCgraddivK)CgradK(div)q(divt
C=====
r
Finalement, l'criture "divergent du gradient" est une gnralisation du laplacien, ce dernier
tant un cas particulier pour l'quation de la diffusion.
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2.8. Laplacien en coordonnes polaires
Il est frquent, lorsqu'on a des domaines ayant une forme circulaire (au moins dans une
direction d'espace, par exemple un disque, ou une colonne pour ce qui est du gnie civil), de
travailler non pas en coordonnes cartsiennes, mais en coordonnes polaires.
En coordonnes polaires, chaque point M du plan, au lieu d'tre
repr par ses valeurs (x , y) en coordonnes cartsiennes, est alors
repr par ses valeurs (r , ) en coordonnes polaires.
Le problme est alors d'crire le laplacien d'une fonction u :2
2
2
2
y
u
x
u
+
en fonction des
coordonnes (r , ). Il faut donc remplacer les drives en x et y en faisant apparatre lesdrives en r et .Ce calcul est fait en annexe 4, et permet d'crire le laplacien en coordonnes polaires :
2
2
22
2 u
r
1
r
u
r
1
r
u
+
+
x
y
r
M
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3. CLASSIFICATION DES EQUATIONS AUX DERIVEESPARTIELLES DORDRE 2
3.1. Classi fication par les coniques
La classification des EDP peut tre rapproche de celle des coniques. Cest ce que nous allons
faire.
Soit lquation dune conique
ax + 2bxy + cy + dx + ey + f = 0 (a 0 et c 0)
3.1.1.Classification par discriminant et par valeurs propresLes directions asymptotiques sont obtenues quand on fait tendre les variables x et y vers
linfini. Lquation dune conique est alors quivalente aux termes de plus haut degr :
ax + 2bxy + cy = 0
En posant y = mx, on obtient
ax + 2bmx + cmx = 0
cm + 2bm + a = 0
Cest lquation des directions asymptotiques. La nature dune conique dpend du signe du
discriminant = 4b - 4ac de cette quation :
- si > 0 : 2 directions asymptotiques relles et distinctes ; la conique est une hyperbole- si = 0 : 2 directions asymptotiques relles et confondues ; la conique est une parabole- si < 0 : pas de directions asymptotiques relles; la conique est une ellipse
Le signe de est indpendant de tout changement daxe : cest une caractristique intrinsquede lquation.
Lquation des directions asymptotiques ax + 2bxy + cy = 0 peut se mettre sous la forme
matricielle suivante :
[ ] 0y
x
cb
bayx =
soit [ ] [ ] 0yxQyx T = o
=
cb
baQ
Soit 1 et 2 les valeurs propres de Q.Ce sont les solutions de lquation (a )(c ) b = 0
On montre que la classification des coniques par discriminant est quivalente :
- si 1 et 2 sont non nulles et de signes diffrents ; la conique est une hyperbole- si 1 ou 2 sont nulles ; la conique est une parabole- si 1 et 2 sont non nulles et de mme signe ; la conique est une ellipse
3.1.2.Application aux EDP dordre 2Les propos prcdents peuvent stendre directement aux quations aux drives partielles
linaires d'ordre 2 (avec des drives secondes).
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Soit lEDP linaire gnrale 2 variables :
0)y
u,
x
u,u,y,x(F
y
uc
yx
ub
x
ua
2
22
2
2
=
+
+
+
o a, b et c sont des fonctions de x et y.
)
y
u,
x
u,u,y,x(F
regroupe tous les termes et toutes les drives qui ne sont pas dordre 2.
On considre la matrice
=
cb
baQ et ses valeurs propres.
LEDP est hyperbolique si les valeurs propres sont non nulles et de signes diffrents.
LEDP est parabolique si au moins une valeur propre est nulle.
LEDP est elliptique si les valeurs propres sont non nulles et de mme signe.
Ces dfinitions sappliquent aux EDP dordre 2 plusieurs variables. La taille de la matrice Q
est alors gale aux nombre de variables que l'on a dans l'quation. On va se limiter 4
variables au maximum : x, y, z, t (mais le raisonnement sapplique bien sr moins de
variables comme on la fait au dessus).
La matrice Q se construit en mettant sur la diagonale principale les coefficients des drives
secondes dune seule variable, les autres termes tant les coefficients des drives mixtes (de
2 variables car on a des drives secondes au plus dans lquation).
On peut reprsenter au dessus et gauche de la matrice les drives auxquelles chaque terme
se rapporte (la matrice est entre crochets) :
423
312
2121
3211
adcbt
dacbz
ccaby
bbbax
tzyx
Cette matrice est symtrique.
Par exemple, de l'quation 0zy
u5
yx
u4
t
u3
y
u2
x
u 22
2
2
2
2
2
2
=
+
+
+
+
(totalement imaginaire),
on extrait la matrice Q suivante :
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Modlisation
FN CRES
24
3000
0050
0524
0041
t
z
y
x
tzyx
Les EDP d'ordre 2 classiques qu'on traite dans ce cours n'ont pas de drives mixtes (on traite
titre d'exemple l'quation de Laplace et l'quation de la diffusion). La matrice Q est alors
une matrice dite diagonale car tous les termes en dehors de la diagonale principale sont nuls.
Les valeurs propres d'une telle matrice sont videntes : il s'agit des termes de la diagonale
principale.
Par exemple, lquation de Laplace 0z
u
y
u
x
u2
2
2
2
2
2
=
+
+
est elliptique car les valeurs
propres sont non nulles et de mme signe (1, 1, 1)
Lquation de la diffusiont
u
z
u
y
u
x
uk
2
2
2
2
2
2
=
+
+
est parabolique car au moins une
valeur propre est nulle. Les valeurs propres sont (k, k, k, 0)
Enfin, pour citer une EDP d'ordre 2 classique, prenons lquation des ondes
2
2
2
2
2
2
2
22
t
u
z
u
y
u
x
uk
=
+
+
qui est hyperbolique car les valeurs propres sont non nulles
et de signes diffrents (k, k, k, -1)
Une EDP peut tre de type mixte, c'est--dire d'un type ou d'un autre selon le cas. Cela se
produit si un des coefficients de l'quation est une fonction.
Prenons un exemple d'une EDP a 2 variables : 0y
uy
x
ux
2
2
2
2
=
+
. Les valeurs propres sont
alors x et y.
Selon la rgion du plan o on est, on aura un type diffrent :
- Elliptique si x et y sont de mme signe etdiffrents de 0 (partie suprieure droite ou
infrieure gauche).
- Hyperbolique si x et y sont de signeopposs et sont diffrents de 0 (partie
suprieure gauche ou infrieure droite).
- Parabolique si x ou y est nul (sur les axes)
Elliptique
Elliptique Hyperbolique
Hyperbolique
Parabolique
x
y
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FN CRES
25
3.2. Equation stationnaire et quation dvolutionOn a vu que les quations hyperboliques et paraboliques avaient des directions asymptotiques
relles. Cela veut dire que lune des variables peut tendre vers linfini. Aussi, toute EDP
physique hyperbolique ou parabolique fait intervenir le temps. On parle alors dquationsvolutives, car la solution de ces quations volue en fonction du temps.
A contrario, la solution dune quation elliptique nayant pas de directions asymptotiques
relles, le temps ne peut pas y intervenir. On parle dquations stationnaires.
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4. RESOLUTION DES EDP - PRINCIPE DES METHODESNUMERIQUES
On aborde partir de ce chapitre les mthodes de rsolution des EDP. Celles-ci nont
gnralement pas de solutions exactes et on utilise donc des mthodes numriques.
Les mthodes numriques sintressent la recherche de valeurs de la fonction en des
endroits particuliers. Autrement dit, on ne cherche pas lcriture dune fonction qui vrifie
lquation, mais par quelles valeurs passe la fonction en des abscisses particulires (cest la
mthode des diffrences finies), ou bien on recherche sur des lments du domaine tudi
lcriture dune fonction simple qui approxime au mieux la solution recherche (cest la
mthode des lments finis).
Une fois ce travail fait, on a donc une image graphique de la solution.
Nous allons tudier successivement ces 2 mthodes.
Chaque solution qu'on obtient ainsi est une solution dans un cas particulier, c'est--dire pour
des valeurs de conditions limites fixes, ventuellement avec des valeurs de coefficients
fixes, et avec une gomtrie particulire du domaine d'tude.
Le recours aux logiciels pour rsoudre les EDP est donc indispensable, d'une part parce qu'il y
beaucoup de calculs faire, et d'autre part pour pouvoir rapidement obtenir un rsultat en
changeant soit le domaine, soit les conditions limites et initiales.
Gnralement, un logiciel rsout une EDP, voire ses variantes.
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5. LA METHODE DES DIFFERENCES FINIES
5.1. Principe de la mthode
Ce principe se dcline en plusieurs tapes.
a - Le domaine tudi est maill. On parle de discrtisation du domaine.
Exemple de maillage dun domaine
1D. Ce maillage peut tre rgulier
ou non, cest--dire que le pas du
maillage peut tre constant ou non
Frontire
NoeudsPas du maillage
Exemple de maillage dun
domaine 2D (on nen a reprsent
quune partie)
Frontire
Maillage
Noeuds
La mthode des diffrences finies recherche une solution aux nuds du maillage.
b On discrtise galement lEDP, cest--dire quon va crire en chaque nud une
approximation algbrique de lquation dorigine.
c On crit autant dquations algbriques quil y a de nuds o on cherche une solution, ce
qui conduit crire un systme dquations
d on rsout ce systme dquations
Nous traiterons diffrents exemples simples illustratifs de cette mthode.
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Modlisation
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5.2. Cas dune EDP elliptique (stationnaire)
5.2.1.Cas de conditions de Dirichlet
On considre un domaine carr, donc 2
dimensions despace (problme 2D), oon veut rsoudre le problme suivant :
0y
u
x
u2
2
2
2
=
+
(quation de Laplace)
Les conditions limites sont de type
Dirichlet, telles que dcrites sur le schma
ci-contre, g1 et g2 tant 2 constantes
quelconques.
0y
u
x
u2
2
2
2
=
+
u = g2
u = g1u = 0
u = 0 x
y
a Discrtisation du domaine dtude
Le domaine dtude comprend le domaine interne, not , et la frontire, note .On va crer un maillage relativement lche (afin de limiter ensuite les critures ; mais
lextension plus de nuds ne pose aucun problme) et rgulier.
Ce maillage introduit en tout 25 nuds,dont 9 nuds internes et 16 nuds
frontires.
Cependant, les nuds frontires ne
constituent pas des valeurs rechercher,
puisque la valeur de la fonction y est
connue (conditions de Dirichlet).
Seuls les nuds ici numrots de 1 9
constituent donc les inconnues de notre
problme, sachant que bien sr, les
conditions limites doivent intervenir dansla solution.
u = g2
u = g1u = 0
u = 0 x
y
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Le maillage tant rgulier, on pose x = y = h
Rappelons que la mthode des diffrences finies permet de trouver une valeur approche de la
solution aux 9 nuds, solution qui vrifie lquation 0y
u
x
u2
2
2
2
=
+
b Discrtisation de lquationCette tape consiste remplacer lEDP par une quation algbrique approche. Plusieurs
approches sont possibles.
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Modlisation
FN CRES
29
Approche graphique (plus pdagogique)
On a dj vu quon pouvait remplacer une drive par une quation. Considrons la courbe ci-
dessous et sa drivex
u
au point d'abscisse x. Cette drive correspond la tangente la
courbe au point d'abscisse x.
On note x = xi , x + x = xi + 1 et x - x = xi - 1u(x) = ui , u(x + x) = ui + 1 et u(x - x) = ui - 1
On peut approximer cette tangente
par la pente de la corde entre les
points (xi ,ui) et (xi+1 ,ui+1).
Cette pente est gale x
uu i1i
+ ;
plus x est petit, et plusl'approximation est valide.
Autrement dit, le termex
uu i1i
+ est
une approximation de la drive
premireix
u
l'abscisse xi quand x 0.
Cette discrtisation de la drive premirex
uu
x
u i1i
+ est dite avant, ou droite, ou
progressive, ou aval, car elle fait intervenir ui+1 labscisse xi+1.
De la mme faon, on peut approximer la drive premireix
u
l'abscisse xi par la pente
de la corde entre les points (xi ,ui) et (xi-1 ,ui-1) :x
uu
x
u 1ii
i
quand x 0.
Cette discrtisation de la drive premirex
uu
x
u 1ii
est dite arrire, ou gauche, ou
rgressive, ou amont, car elle fait intervenir ui-1 labscisse xi-1.
On peut galement approximer la drive premire par la pente de la corde entre les abscisses
xi-1 et xi+1. On a alorsx2
uu
x
u 1i1i
+
Cette discrtisation de la drive premirex2
uu
x
u 1i1i
+ est dite centre.
On peut maintenant avoir une approximation de la drive seconde en xi , en drivant 2 fois
par rapport x, et en appliquant une fois une discrtisation avant, puis une discrtisation
arrire :
ui
x
xi xi +1xi -1
x x
ui +1
u
tangente
Approximationde la tangente
ui -1
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Modlisation
FN CRES
31
Pour le schma centr :
)x(ox
)x(u
!2
x
x
)x(ux)x(u)xx(u 3
2
22
+
+
+=+
)x(ox
)x(u
!2
x
x
)x(ux)x(u)xx(u
3
2
22
+
+
=
en faisant la diffrence de ces 2 expressions :
)x(ox
)x(ux2)xx(u)xx(u 3+
=+
soit )x(ox2
)xx(u)xx(u
x
)x(u 2+
+=
; schma de discrtisation centr
Remarque : le schma centr est meilleur que les 2 autres, puisque avec une erreur en o(x)
alors que les schmas avant et arrire ont une erreur en o(x).Ceci se visualise aisment parla mthode graphique reprise ci-dessous.
On "voit" que quandx tend vers zro, l'approximation de la tangente en schma centr tend
plus rapidement vers la bonne tangente qu'en schma dcentr.
ui
x
xi xi +1
x
ui +1
u
tangente
Approximationde la tangente
ui
x
xi xi +1xi -1
x x
ui +1
u
tangente
Approximationde la tangente
ui -1
Schma de discrtisation avant :
erreur en o(x)
Schma de discrtisation centr :
erreur en o(x)
Pour la drive seconde :
)x(ox
)x(u
!3
x
x
)x(u
!2
x
x
)x(ux)x(u)xx(u 4
3
33
2
22
+
+
+
+=+
)x(ox
)x(u
!3
x
x
)x(u
!2
x
x
)x(ux)x(u)xx(u 4
3
33
2
22
+
+
=
en faisant la somme de ces 2 expressions :
)x(ox
)x(ux)x(u2)xx(u)xx(u 4
2
22 +
+=++
soit )x(ox
)xx(u)x(u2)xx(u
x
)x(u 222
2
+
++=
; schma centr
En revenant notre exemple et en notant
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Modlisation
FN CRES
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u(x,y) = ui , j , u(x x , y) = ui 1 , j , u(x, y y) = ui , j 1 , u(x x , y y) = ui 1 , j 1
Par ailleurs, nous rappelons que le maillage est rgulier : x = y = h
)h(oh
uu2u
x
u 22
j,1ij,ij,1i
2
2
+
+
=
+
)h(oh
uu2u
y
u 22
1j,ij,i1j,i
2
2
++
=
+
En sommant ces 2 expressions
)h(oh
uu2u
h
uu2u
y
u
x
u 22
1j,ij,i1j,i
2
j,1ij,ij,1i
2
2
2
2
++
++
=
+
++
)h(oh
uuu4uu
y
u
x
u 22
1j,ij,1ij,i1j,ij,1i
2
2
2
2
++++
=
+
++
Comme l'quation rsoudre est 0yu
xu 2
2
2
2
=+
0h
uuu4uu2
1j,ij,1ij,i1j,ij,1i =+++ ++
en ngligeant lcriture de o(h)
soit 0uuu4uu 1j,ij,1ij,i1j,ij,1i =+++ ++Cette expression constitue donc une approximation de lEDP crite au nud u i,j . Cest une
relation entre 5 nuds qui approxime lEDP crite au nud u i,j. Calque sur le maillage, onlcrit sous forme graphique comme ci-dessous droite o on reprsente les coefficients de
chacun des nuds :
Ui,j
Ui,j-1
Ui,j+1
Ui+1,jUi-1,j -4 11
1
1
Discrtisation de l'quation de Laplace
Remarque : il s'agit bien ici de la discrtisation de l'quation de Laplace 2D, soit
0y
u
x
u2
2
2
2
=
+
.
Une autre quation donnerait une autre discrtisation, mme si on se base toujours sur les
discrtisations de base des drives premires et secondes vues dans ce paragraphe.
c Ecriture du systme dquationsOn va maintenant crire lquation discrtise en chacun des nuds inconnus, ce qui va
conduire un systme de 9 quations 9 inconnues. Pour cela, on reprend la numrotationdes 9 nuds de 1 9 ; en effet, cela est moins laborieux que de travailler en double
coordonnes (i,j).
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Modlisation
FN CRES
33
u = g2
u = g1u = 0
u = 0 x
y
1 2 3
4 5 6
7 8 9
nud 1 : 0uuu4 421 =++ les nuds gauche et en bas correspondentaux conditions de Dirichlet nulles
nud 2 : 0uuu4u 5321 =++
nud 3 : 0ugu4u6132
=++ le nud droite correspond la condition deDirichlet gale g1nud 4 : 0uuu4u 7541 =++
nud 5 : 0uuu4uu 86524 =+++
nud 6 : 0ugu4uu 91635 =+++
nud 7 : 0guu4u 2874 =++
nud 8 : 0guu4uu 29857 =+++
nud 9 : 0ggu4uu 21968 =+++
On reprsente gnralement ce systme dquations sous forme matricielle, ce qui permet debien choisir ensuite la mthode de rsolution qui sera adopte (voir l'annexe 1 sur la
construction d'un systme matriciel partir d'un systme d'quations pour les personnes qui
ne savent pas le faire). Ici, la premire ligne sert bien reprer les colonnes, sachant que
labsence dune valeur dans la matrice carre correspond zro.
=
21
2
2
1
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
987654321
gg
g
g
g
0
0
g
0
0
u
u
u
u
u
u
u
u
u
411
1411
141
1411
11411
1141
141
1141
114
uuuuuuuuu
d Rsolution du systme dquationsNous renvoyons le lecteur aux mthodes numriques de rsolution dun tel systme (dernier
chapitre). Nous lavons rsolu avec Excel dans lapplication numrique suivante : le carr fait1 mtre de cot (donc h=0.25m) et avec g1 = 1 , g2 = 2.
Nous obtenons limage suivante de la solution :
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Modlisation
FN CRES
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u = 2
u = 1u = 0
u = 0 x
y
0.21 0.38 0.57
0.47 0.75 0.90
0.93 1.24 1.29
Aux 4 coins, nous avons pris une valeur moyenne entre les conditions de Dirichlet
concernes. L'image de droite est obtenue sous Excel et montre la forme de la surface qui
vrifie l'quation de Laplace avec les conditions limites indiques.
Un maillage plus fin permettrait dobtenir une meilleure prcision (mais avec plus dquations rsoudre et au dtriment de lapproche pdagogique).
5.2.2.Cas de conditions de Neumann homognes
On considre le mme problme que
prcdemment : un domaine carr, donc 2dimensions despace, o on veut rsoudre
le problme suivant : 0y
u
x
u2
2
2
2
=
+
Les conditions limites sont de typeDirichlet droite et gauche, telles que
dcrites sur le schma ci-contre, et de type
Neumann homogne (c'est--dire nulle) enhaut et en bas.
0y
u
x
u2
2
2
2
=
+
0y
u=
u = g2u = g1
0y
u
=
x
y
a Discrtisation du domaine dtude
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Modlisation
FN CRES
35
Afin de limiter le nombre dquations crire, on adopte le maillage suivant du
dessin de droite.
Les nuds inconnus y sont numrots de 1 8. Sil ny a pas de problme pour les
nuds internes 3 6, on peut
lgitimement sinterroger sur les nudsfrontires 1, 2 et 7, 8.En effet, la valeur de la drive est connue
en ces nuds, mais en aucun cas la valeurde la fonction. Ce sont donc bien des
nuds inconnus.
0y
u=
u = g2u = g1
0y
u=
x
y
1 2
3 4
5 6
7 8
b Discrtisation de lquationOn a exactement la mme quation que prcdemment ; elle peut tre approxime par
lexpression 0uuu4uu 1j,ij,1ij,i1j,ij,1i =+++ ++ crite au nud inconnu ui,j
Ceci introduit une difficult aux nuds frontires puisque cette discrtisation de lquationintroduit chaque fois un nud en dehors du domaine dtude, quon appelle nud fictif .
Ui,j
Ui,j-1
Ui,j+1
Ui+1,jUi-1,jFrontire infrieure
Nud fictif
Ui,j
Ui,j-1
Ui,j+1
Ui+1,jUi-1,j
Frontire suprieure
Nud fictif
Cas de la frontire infrieure Cas de la frontire suprieure
Pour liminer les nuds fictifs de la discrtisation, il suffit de prendre en compte la conditionde flux sur la frontire en question.
Prenons l'exemple du nud n1 et nommons le nud fictif 3'. La discrtisation de l'quation au nud 1 donne :0uuu4ug 321'31 =+++
La discrtisation centre de la condition de flux au nud 1 s'crit :
0h2
uu
y
u '33 =
ce qui implique que u3' = u3
On remplace u3' dans la discrtisation de l'quation
0uuu4ug 32131 =+++ soit 0u2uu4g 3211 =++
Ceci qui permet d'liminer le nud fictif de l'quation crite au nud 1.
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FN CRES
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Remarquons que cette discrtisation vrifie simultanment l'quation et la condition limite.
On obtient donc 3 formes diffrentes de discrtisation selon la position du nud :
Nuds de la frontire
suprieure
-4 11
2
Nuds internes
-4 11
1
1
Nuds de la frontire
infrieure
-4 11
2
c Ecriture du systme dquations
0y
u=
u = g2u = g1
0y
u=
x
y
1 2
3 4
5 6
7 8Nud 1 : 0u2uu4g 3211 =++
Nud 2 : 0u2gu4u 4221 =++ Nud 3 : 0uuu4ug 54311 =+++
Nud 4 : 0ugu4uu 62423 =+++
Nud 5 : 0uuu4ug 76531 =+++
Nud 6 : 0ugu4uu 82645 =+++
Nud 7 : 0uu4u2g 8751 =++
Nud 8 : 0gu4u2u 2867 =++
La mise sous forme matricielle donne :
=
2
1
2
1
2
1
2
1
8
7
6
5
4
3
2
1
87654321
g
g
g
g
g
g
gg
u
u
u
u
u
u
uu
412
142
1411
1141
1411
1141
241214
uuuuuuuu
d Rsolution du systme dquations
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En prenant g1 = 1 et g2 = 2 dans un domaine carr de 1 mtre de ct, nous obtenons l'image
suivante de la solution :
u = 2u = 1
x
y
1.33
1.33
1.33
1.33
1.67
1.67
1.67
1.67
La solution dans cet exemple est un plan entre les valeurs 1 et 2 selon Ox. Ce qui vrifie
parfaitement l'quation rsoudre (toutes les drives secondes sont nulles, donc leur somme
est nulle) et les drives premires en (y) sont nulles.
5.2.3.Cas de conditions de Neumann non homognesIl n'y a pas de difficult particulire, il suffit de suivre la mthode en intgrant la condition de
flux non homogne au niveau de la discrtisation.Prenons comme exemple des conditions de flux gales f1 la frontire suprieure et f2 la
frontire infrieure.
1fy
u=
u = g2u = g1
2fy
u=
x
y
1 2
3 4
5 6
7 8
a Discrtisation du domaine dtudeCette tape est strictement identique la prcdente
b Discrtisation de lquation
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Modlisation
FN CRES
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On a exactement la mme quation que prcdemment ; elle peut tre approxime par
lexpression 0uuu4uu 1j,ij,1ij,i1j,ij,1i =+++ ++ crite au nud inconnu ui,jComme auparavant, des nuds fictifs apparaissent; on discrtise donc la condition de flux.
Prenons l'exemple du nud n1 et nommons le nud fictif 3'.
La discrtisation de l'quation au nud 1 donne :0uuu4ug 321'31 =+++
La discrtisation centre de la condition de flux au nud 1 s'crit :
2'33 f
h2
uu
y
u=
ce qui implique que 23'3 hf2uu =
On remplace u3' dans la discrtisation de l'quation
0uuu4hf2ug 321231 =+++ soit 0u2uu4hf2g 32121 =++
c Ecriture du systme dquations
1fy
u=
u = g2u = g1
2fy
u=
x
y
1 2
3 4
5 6
7 8Nud 1 : 23211 hf2u2uu4g =++
Nud 2 : 24221 hf2u2gu4u =++ Nud 3 : 0uuu4ug 54311 =+++
Nud 4 : 0ugu4uu 62423 =+++
Nud 5 : 0uuu4ug 76531 =+++
Nud 6 : 0ugu4uu 82645 =+++
Nud 7 : 18751 hf2uu4u2g =++
Nud 8 : 12867 hf2gu4u2u =++
La mise sous forme matricielle donne :
=
21
11
2
1
2
1
22
12
8
7
6
5
4
3
2
1
87654321
ghf2
ghf2
g
g
g
g
ghf2
ghf2
u
u
u
u
u
u
u
u
412
142
1411
1141
1411
1141
241
214uuuuuuuu
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39
5.3. Notions sur les erreurs de la mthode
5.3.1.Prsentation
Soit une quation aux drives partielles en u note L(u) = g o L est un oprateur
diffrentiel. Par exemple, dans lquation de Laplace, L est loprateur2
2
2
2
yx
+
, et L(u) = 0
est alors lquation 0y
u
x
u2
2
2
2
=
+
On peut alors formaliser lquation discrtise sous la forme L(u) = g o est
symboliquement le pas de discrtisation et L un oprateur algbrique, c'est--dire la faon depasser de l'EDP un systme d'quations.
La solution obtenue par la mthode des diffrences finies peut alors se noter u , cest--dire
lapproximation de u avec le pas de discrtisation .
L(u)L(u)
uu
Discrtisation
RsolutionCe que lon cherche
Reprsentativit
On peut tudier les erreurs au niveau des diffrentes tapes de ce schma (de A. Le Pouriet)
a) La discrtisation est lie la notion de consistance (ou de cohrence). Un schma dediscrtisation consistant est un schma qui reprsente bien lquation dorigine.
b) La rsolution des quations obtenues est lie la notion de stabilit de la solution.Une solution u stable doit vrifier le problme L(u) = g
c) La reprsentativit de u est lie la notion de convergence. u doit tre uneapproximation convenable de u.
d)
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Modlisation
FN CRES
40
L(u)L(u)
uu
Discrtisation
Rsolution
Reprsentativit
Consistance
Stabilit
Convergence
5.3.2.La consistanceOn appelle erreur de troncature la quantit
R(u) = L(u) L(u)cest--dire concrtement la diffrence entre le schma discrtis et lquation dorigine. On
va voir qu'on peut calculer cette quantit : c'est la magie des mathmatiques !
L(u) est dit consistant si R(u) 0 quand 0Il faut bien comprendre que si cette condition n'est pas vrifie, alors toute la discrtisations'effondre. On a vu au dbut du cours (tablissement d'une quation mcaniste) qu'on
manipulait en fait des discrtisations, par exemplex
uu ii
+1 et on a dit (et vu graphiquement)
que cette quantit tendx
u
quand x 0, donc que la diffrencex
uu
x
u ii
+1
0 quand x
0. Et effectivement, dans ce cas, c'est vrai. Mais si cela n'tait pas le cas, cela voudrait direqu'on remplace un lment par un autre qui ne lui est pas quivalent !
Reprenons lexemple prcdent en posant L(u) =2
2
2
2
y
u
x
u
+
et tudions la consistance.
Loprateur diffrentiel "drive seconde par rapport une variable w" peut se symboliser
par2
2
ww
L
= et lquation peut alors se reprsenter par :
2
2
2
2
YXy
u
x
u)u(L)u(L)u(L
+
=+=
Le dveloppement de Taylor au voisinage de x scrit :
)x(ox
u
!5
x
x
u
!4
x
x
u
!3
x
x
u
!2
x
x
ux)y,x(u)y,xx(u 6
5
55
4
44
3
33
2
22
+
+
+
=
On en dduit :
)x(ox
u
12
x
x
ux)y,x(u2)y,xx(u)y,xx(u
6
4
44
2
22 +
+
+=++
)x(ox
u
12
x
x
u
x
)y,xx(u)y,x(u2)y,xx(u 64
42
2
2
2+
=
++
44 344 213214444444 34444444 21 )u(R)u(L)u(L xxx =
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De la mme faon, le dveloppement de Taylor au voisinage de y scrit :
)y(oy
u
!5
y
y
u
!4
y
y
u
!3
y
y
u
!2
y
y
uy)y,x(u)yy,x(u 6
5
55
4
44
3
33
2
22
+
+
+
=
On aboutit :
)y(oy
u
12
y
y
u
y
)yy,x(u)y,x(u2)yy,x(u 64
42
2
2
2+
=
++
44 344 213214444444 34444444 21)u(R)u(L)u(L yyy =
On peut sommer les 2 expressions du dessus :
)u(R)u(R)u(R)u(L)u(L)u(L)u(L)u(L)u(L yxyxyx =+==+
Lerreur de troncature totale est donc )y(o)x(oy
u
12
y
x
u
12
x)u(R 66
4
42
4
42
++
+
=
Cette quantit tend vers 0 quand x et y tendent vers 0. Le schma de discrtisation est doncconsistant.
Toutes les discrtisations, dites classiques, utilises jusqu' maintenant sont consistantes.
5.3.3.La stabilitCette notion concerne les rsolutions des systmes dquations pour lesquels on est souvent
amen mettre en uvre des algorithmes itratifs. La stabilit peut se rsumer dire quuneerreur darrondi (ou une perturbation numrique) ne doit pas samplifier au cours des calculs.
On peut imager cette notion de stabilit avec une bille et un bol.On retourne le bol et on pose la bille en quilibre. La moindre
perturbation de la bille va entraner sa chute. Cest un systme instable
(la perturbation samplifie)
A contrario, on met le bol lendroit et la bille au fond. Uneperturbation de la bille va entraner une oscillation de celle-ci au fond
du bol, mais elle va revenir un tat dquilibre. Cest un systmestable.
Ltude mathmatique de la stabilit est assez complexe et elle n'est pas dveloppe ici. Un
exemple de rsolution est propos dans les exercices illustrant l'instabilit d'un schma
numrique.
5.3.4.La convergenceLe thorme de Lax dit que s'il y a consistance et stabilit, alors il y a convergence.Autrement dit, un schma de discrtisation consistant et une mthode de rsolution stable
conduisent une solution qui est une bonne image de la solution recherche.
Dans la mthode des diffrences finies, les discrtisations vues jusqu' maintenant sontconsistantes, comme cela a dj t dit. Aussi, on s'attachera prciser uniquement les
conditions de stabilit pour vrifier la convergence.
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5.4. Cas dune EDP parabolique 1D (volut ive)
5.4.1.Position du problme et mthode
Nous allons tudier lexemple de lquation de la diffusion 1D :2
2
x
ua
t
u
=
La diffrence fondamentale par rapport au
problme prcdent est lintroduction du tempsdans lquation.
Supposons quon travaille entre 0 et L en Ox,
on obtient un domaine non born en temps sion cherche dessiner le domaine o on doit
rsoudre lquation.
0 L
xt0
t
En effet, on commence tudier le phnomne t = t0 , mais il ny a pas de frontire pour
t > 0 (en tous cas, on ne peut pas crire de condition limite un temps t1 > t0 car cela na pasde sens physique : cela voudrait dire que quelque chose qui se passe dans lavenir influence
quelque chose qui se situe dans le pass cest de la science fiction ! )
Dans un tel cas, le principe de la mthodeconsiste, connaissant la solution un pas de
temps ti calculer la solution au pas de tempsti+1 , puis connaissant cette solution ti+1, on
calcule celle ti+2 et ainsi de suite jusquau
moment o on dcide darrter les calculs.
On procde donc pas de temps par pas detemps, la premire itration se faisant partir
de la condition initiale ( t0). 0 L
x
t0
t
ti
ti+1Calcul de la solution ti+1
ti+2
Calcul de la solution ti+2
5.4.2.Les schmas typesOn va considrer des conditions limites de type Dirichlet (des conditions de flux ne posantpas de problme particulier en introduisant des nuds fictifs).
On pose la condition limite gauche = g1 et celle de droite = g2.
On rappelle quon a aussi une condition initiale t = t0 et sans ces conditions limites etinitiale, le problme physique na pas de solution.
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5.4.2.1Discrtisation du domaine dtudeLe domaine est discrtis de faon
classique en espace et en temps. Nous
avons reprsent ci-contre une partie du
maillage qui peut tre rgulier ou non entemps et en espace ; pour simplifier lescritures, nous le prendrons rgulier en
temps et rgulier en espace.
0 L
xt0
t
x x+xx-x
t
t+t
u = g1 u = g2
5.4.2.2Discrtisation de lquationNous allons considrer 3 cas pour discrtiser lquation.
Cas 1
22
2
x
)t,xx(u)t,x(u2)t,xx(u
x
u
++=
t
txuttxu
t
u
+
= ),(),(
La somme de ces 2 termes de lEDP partir de
ces 2 discrtisations introduit une quation quirelie 4 nuds du maillage. Cette quationpermet de calculer ce qui se passe linstant t +
t en fonction de linstant t de faon explicite.0 L
xt0
t
x x+xx-x
t
t+t
Schma explicite
En crivant cette quation aux n nuds inconnus du temps t + t, on obtient ce qui se passe cet instant de faon simple (n quations, chacune 1 inconnue). On parle dun schma
explicite car on peut connatre la solution en 1 nud t + t indpendamment des autresnuds t + t.La condition initiale fournira la premire ligne ( t = t0) pour pouvoir dmarrer les calculs.
Cas 2
22
2
x
)tt,xx(u)tt,x(u2)tt,xx(u
x
u
+++++=
(il ny a aucun problme crire la
discrtisation de la drive en espace linstant t + t)
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t
)t,x(u)tt,x(u
t
u
+
=
La somme de ces 2 termes de lEDP partir de
ces 2 discrtisations introduit une quation quirelie toujours 4 nuds du maillage. Cettequation ne permet pas de calculer directement
comme prcdemment ce qui se passe linstant
t + t en fonction de linstant t puisquelle relie3 nuds inconnues.
0 L
xt0
t
x x+xx-x
t
t+t
Schma implicite
Il faut donc crire le systme de n quations, chacune 3 inconnues, et le rsoudre, ce qui est
plus complexe que le schma explicite. On parle ici dun schma implicite dans la mesure ola solution nest connue qu travers ce systme dqua