ModélisationCRES2011

7/27/2019 ModlisationCRES2011

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MODELISATION

Introduction aux quations aux drivespartielles et leurs rsolutions numriques

FN CRES

Polytech'Montpellier - Universit Montpellier [email protected]


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SOMMAIRE

AVANT-PROPOS ......................................................................................................................... 51. INTRODUCTION ................................................................................................................... 62. EXEMPLE D'ETABLISSEMENT DUNE EQUATION MECANISTE ............................................ 7

2.1. Equation de diffusion 1D ........................................................................................... 72.2. Interprtation d'une quation aux drives partielles .......................................... 112.3. Equation de la Diffusion 3D .................................................................................... 122.4. Conditions limites et condition initiale ................................................................... 142.5. Rgime permanent et non permanent .................................................................... 152.6. Complments lquation de base ......................................................................... 15

2.6.1. Injection (ou soutirage) .................................................................................... 152.6.2. Cintique propre du produit ............................................................................. 162.6.3. Convection ....................................................................................................... 162.6.4. Cas o K est variable (dans toutes les directions et en tous points) ................. 172.6.5. Autres problmatiques ...................................................................................... 18

2.7. Sur le Laplacien, le Gradient et le Divergent ........................................................ 182.7.1. Oprateurs en mathmatique et en physique .................................................... 182.7.2. Le Laplacien ..................................................................................................... 192.7.3. Le gradient ........................................................................................................ 192.7.4. Le divergent ...................................................................................................... 202.7.5. Remarques ........................................................................................................ 20

2.8. Laplacien en coordonnes polaires ......................................................................... 213. CLASSIFICATION DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES DORDRE 2 ................... 22

3.1. Classification par les coniques ................................................................................ 223.1.1. Classification par discriminant et par valeurs propres ..................................... 223.1.2. Application aux EDP dordre 2 ........................................................................ 22

3.2. Equation stationnaire et quation dvolution ...................................................... 254. RESOLUTION DES EDP-PRINCIPE DES METHODES NUMERIQUES .................................. 265.

LA METHODE DES DIFFERENCES FINIES ........................................................................... 27

5.1. Principe de la mthode ............................................................................................ 275.2. Cas dune EDP elliptique (stationnaire) ................................................................ 28

5.2.1. Cas de conditions de Dirichlet ......................................................................... 285.2.2. Cas de conditions de Neumann homognes ..................................................... 345.2.3. Cas de conditions de Neumann non homognes .............................................. 37

5.3. Notions sur les erreurs de la mthode .................................................................... 395.3.1. Prsentation ...................................................................................................... 395.3.2. La consistance .................................................................................................. 405.3.3. La stabilit ........................................................................................................ 415.3.4. La convergence ................................................................................................ 41

5.4. Cas dune EDP parabolique 1D (volutive) ........................................................... 425.4.1. Position du problme et mthode ..................................................................... 42


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5.4.2. Les schmas types ............................................................................................ 425.4.2.1 Discrtisation du domaine dtude .......................................................... 435.4.2.2 Discrtisation de lquation ..................................................................... 43

5.4.3. Le schma explicite .......................................................................................... 445.4.4. Le schma implicite ......................................................................................... 455.4.5. Le schma explicite 2 pas .............................................................................. 475.4.6. Le schma pondr ........................................................................................... 475.4.7. Exemple d'un schma explicite stable .............................................................. 49

5.5. Cas d'une EDP parabolique 2D .............................................................................. 495.5.1. Schmas classiques .......................................................................................... 495.5.2. Schma des directions alternes ....................................................................... 50

5.6. Cas d'une EDP hyperbolique (volutive) ............................................................... 515.6.1. Schmas explicites ........................................................................................... 515.6.2. Schmas implicites ........................................................................................... 53

5.7. Cas particuliers ........................................................................................................ 545.7.1. Maillage irrgulier en 1D ................................................................................. 545.7.1.1 Discrtisation de la drive premire ...................................................... 555.7.1.2 Discrtisation de la drive seconde ........................................................ 55

5.7.2. Maillage irrgulier en 2D ................................................................................. 565.7.2.1 Maillage rgulier dans chaque dimension ............................................... 565.7.2.2 Maillage irrgulier dans chaque dimension ............................................ 56

5.7.3. Drive mixte ................................................................................................... 575.7.4. Discrtisation du divergent............................................................................... 57

5.8. Traitement des termes non linaires ...................................................................... 606. LA METHODE DES ELEMENTS FINIS .................................................................................. 62

6.1. Comparaison Diffrences finies Elments finis .................................................. 626.2. Equivalence de problmes ....................................................................................... 626.2.1. Objet ................................................................................................................. 62

6.2.2. Equivalence entre systme matriciel et problme de minimisation ................. 626.2.3. Equivalence avec un problme de minimum ................................................... 636.2.4. Rcapitulatif ..................................................................................................... 646.2.5. Application aux EDP ........................................................................................ 646.2.6. Approximation interne ..................................................................................... 65

6.3. Construction pratique du problme variationnel ................................................. 666.3.1. Cas dune quation diffrentielle ..................................................................... 666.3.1.1 Cas dune condition de Neumann homogne ........................................... 666.3.1.2 Cas dune condition de Dirichlet homogne ............................................ 676.3.1.3 Cas dune condition de Neumann non homogne .................................... 676.3.1.4 Cas dune condition de Dirichlet non homogne ..................................... 67

6.3.2. Cas dune EDP ................................................................................................. 686.4. Mise en uvre de la mthode des lments finis ................................................... 696.5. Cas dune quation diffrentielle - Fonction linaire par morceaux ................... 69

6.5.1. Cas de condition de Dirichlet homogne ......................................................... 696.5.2. Cas de condition de Neumann homogne ........................................................ 746.5.3. Cas de condition de Neumann non homogne ................................................. 756.5.4. Cas de condition de Dirichlet non homogne .................................................. 76

6.6. Cas dune quation diffrentielle - Fonction parabolique par morceaux .......... 776.7. Cas dune EDP Approximation linaire par lment ........................................ 846.8. Cas dune EDP Approximation quadratique par lment ................................ 916.9. Extension de la mthode .......................................................................................... 92


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6.10. Extension aux problmes volutifs ......................................................................... 927. RESOLUTION DES SYSTEMES DEQUATIONS LINEAIRES................................................... 93

7.1. Introduction .............................................................................................................. 937.2. Mthodes directes ..................................................................................................... 93

7.2.1. Mthode de Gauss-Jordan ou mthode du pivot .............................................. 947.2.1.1 Principe .................................................................................................... 947.2.1.2 Limite de la mthode ................................................................................ 95

7.2.2. Mthode de Gauss (ou triangularisation) ......................................................... 957.2.2.1 Principe .................................................................................................... 957.2.2.2 Nombre d'oprations ................................................................................ 96

7.3. Mthode du double balayage pour les matrices tridiagonales (Cholesky). ........ 967.4. Mthodes itratives .................................................................................................. 97

7.4.1. Principe ............................................................................................................. 977.4.2. Mthode de Jacobi ............................................................................................ 987.4.3. Mthode de Gauss -Seidel ................................................................................ 987.4.4.

Facteur de relaxation ........................................................................................ 99

ANNEXE1:ECRIRE UN SYSTEME MATRICIEL.................................................................... 100ANNEXE2:LA PENTE D'UNE DROITE................................................................................. 101ANNEXE3:DEVELOPPEMENT DE TAYLOR........................................................................ 102ANNEXE4:LE LAPLACIEN EN COORDONNEES POLAIRES ................................................. 103BIBLIOGRAPHIE ..................................................................................................................... 106


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AVANT-PROPOS

Ce polycopi est une introduction aux quations aux drives partielles et leur rsolution,

tout ceci ayant comme objectif la modlisation mathmatique du monde qui nous entoure, ou,pour rester plus modeste, la modlisation des problmes courants rencontrs par l'ingnieur.

Soyons clair : vous n'aurez peut-tre que peu ou pas l'occasion de manipuler les quations aux

drives partielles plus tard, car cela est fait dans les logiciels que vous utiliserez plus

certainement. Ce cours a donc pour objectif de vous montrer comment on construit et

rsout ces quations afin que vous puissiez avoir un regard critique et clair sur les

outils informatiques que vous utiliserez.

Le chapitre 1 situe succinctement la modlisation mathmatique parmi les modlisations les

plus courantes.

Ces quations ne sont pas toujours bien abordes par les tudiants qui y voient une criture

sotrique et parfois incomprhensible. Le chapitre 2 tente de dmystifier ces quations en

prsentant un exemple simple et baser sur "le bon sens" dans lequel on aboutit l'quation de

la diffusion. L'objectif est alors de ne pas perdre le lecteur avec une approche trop

mathmatique susceptible de le dcourager. Cependant, il est important que le lecteur se

familiarise rapidement avec les symboles mathmatiques utiliss.

Ce n'est pas la manire "officielle" de prsenter cette quation, mais cette dmonstration

prsente l'immense avantage de pouvoir tre suivie avec un niveau de terminale scientifique

(du moins, je l'espre !). On arrive petit petit l'criture la plus complte de l'quation de la

diffusion.

Le chapitre 3 n'est pas le plus important, mais il introduit la classification des quations aux

drives partielles, lment structurant pour la suite.

A partir du chapitre 4, on aborde la rsolution des quations aux drives partielles par 2

mthodes numriques :

La mthode des diffrences finies, qui est une mthode simple, et que lecteur pourrasuivre aisment La mthode des lments finis, qui est d'un abord beaucoup plus complexe. Le lecteur

s'attachera comprendre le principe et traiter les exemples complets qui y sont

dvelopps.

Enfin, le dernier chapitre sur la rsolution des systmes d'quations linaires, aboutissement

des 2 mthodes prcdentes, est l titre informatif. En effet, la mise en uvre de ces

mthodes ncessite gnralement des connaissances informatiques, notamment de

programmation, ce qui dborde du sujet abord dans ce document.


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1. INTRODUCTION

La modlisation dun phnomne est une dmarche visant reprsenter par un moyen adquat

le comportement de ce phnomne. Dans les sciences de l'ingnieur, la modlisation permet

de comprendre les variables qui influencent ce comportement, afin de dimensionner desouvrages, d'anticiper son volution, de simuler des situations venir.

La modlisation peut tre aborde de diffrentes faons. On peut proposer la classification

sommaire suivante :

Les modles rduitsQui ne connat pas les souffleries o sont tests les modles rduits davion ? Le modle

rduit permet de rendre compte du comportement dun objet soumis diffrentes

contraintes sans avoir construire cet objet dans sa taille normale. La thorie des

similitudes permet alors, partir du comportement du modle rduit, de conclure sur le

comportement de lobjet rel.

Les modles analogiquesIls permettent de reprsenter un phnomne partir dune analogie avec un autre plus

facile laborer. Par exemple, le comportement dune nappe deau dans le sol peut tre

abord par une analogie avec le potentiel lectrique d'une plaque mtallique.

Les modles mathmatiquesCes modles sont les plus courants actuellement, suite la monte en puissance des

ordinateurs et de leur capacit calculer vite. Ils sont bass sur la mise en quation

mathmatique du phnomne tudier. Ce sont ces modles qui vont nous intresser pource cours. L aussi, on peut tenter une classification sommaire.

- Les modles empiriquesIl sagit didentifier les variables qui interviennent priori dans un phnomne

physique et de les relier par une quation partir dune srie dobservations. Cette

quation na parfois rien de physique, mais reprsente bien le nuage de points . Elle

est totalement dpendante de lchantillon qui a servi au calage.

- Les modles conceptuelsIls abordent la reprsentation dun phnomne complexe partir dun autre beaucoup

plus simple tudier. Par exemple, en hydrologie, on conoit souvent lefonctionnement dun bassin versant (en termes de production dun dbit deau) comme

celui dun rservoir, objet dont le remplissage et/ou la vidange se mettent facilement

sous forme dquations.

- Les modles mcanistesLa mcanique, en tant que science, est la base de la reprsentation du phnomne.

On aboutit gnralement un type dquations dites aux drives partielles, quil

sagit ensuite de rsoudre.

Cest ce dernier type de modlisation auquel ce cours se consacre. On verra successivement

comment on aboutit des quations aux drives partielles travers un exemple, et deuxmthodes classiques pour les rsoudre.


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2. EXEMPLE D'ETABLISSEMENT DUNE EQUATION MECANISTEOn va partir dun exemple suffisamment simple pour tre comprhensible quelque soit

lorigine scientifique du lecteur : le comportement dun produit par exemple un polluant

dans de leau.

Il sagit dun problme dit de diffusion.

2.1. Equation de diffusion 1DOn considre un paralllpipde, de section S, constitu de matire homogne immobile (de

l'eau par exemple on verra plus loin le cas de l'eau en mouvement), ayant une concentration

C1 d'un produit sur sa face gauche et C2 sur sa face droite.

On peut faire comme hypothse que la quantit

de matire M issue du produit en question qui

franchit une section S du paralllpipde, c'est-

-dire qui circule par unit de longueur sur l'axe

des x, de l'avant vers l'arrire pendant le temps

t est:- proportionnel la section S- proportionnel la diffrence C1-C2

- proportionnel t- inversement proportionnel x. en effet,

plus x est petit et plus la quantit dematire devant franchir la section S

pendant l'intervalle de temps t sera importante pour passer de la concentration C1 et

C2.

soit tx

CCSKM 21x

=

La dimension de K, qui est appel coefficient de diffusion, est ici m/s.

Remarque : cette relation peut se vrifier exprimentalement.

La forme de cette relation s'applique diffrents domaines scientifiques en fonction de la

variable C et porte diffrents noms selon le domaine concern (loi de Fick en Gnie des

Procds, loi de Darcy en hydrogologie, loi de Fourier en thermique )

On admettra comme convention que M est positif si C1 > C2 et que le coefficient Kx est

constant le long de laxe Ox (on tudiera le cas de ce coefficient variable plus loin)

Cette quation trs simple, admise comme hypothse, est la base de l'quation de la

diffusion. Le lecteur est invit bien la mmoriser et toujours se rappeler ce point de dpart.

On considre maintenant un volume de matire homogne dcoup en paralllpipdes de

longueur x. On considre des paralllpipdes suffisamment petits pour que laconcentration, au sein de chaque paralllpipde, y soit considre comme constante.

x

C1

C2

S


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Faisons un bilan de produit au niveau de la tranche i selon l'axe des x : on regarde ce qui

rentre et ce qui sort de cette tranche pendant lintervalle de temps t afin de connatre laconcentration dans cette tranche. On suppose donc qu'il n'y a pas d'change de matires dans

les directions Oy et Oz.

Ci-1 Ci Ci+1

1 2

x

z

y

x

Tranches

i-1 i i+1

La quantit de matire qui franchit la face 1, compte positivement dans le sens de l'axe Ox,

s'crit :

tx

CCSKM i1ix1i

=

La quantit de matire qui franchit la face 2, compte positivement dans le sens de l'axe Ox,

s'crit :

tx

CCSKM 1iix2i

= +

Si on considre que le coefficient Kx est constant le long de l'axe Ox, le bilan dans la tranche i

s'crit :

Variation de matire (Mi) = ce qui entre (Mi1) ce qui sort (Mi2)

tx

CC2CSKMMM 1ii1ix2i1ii

+== +

Ecrivons la variation de concentration dans la tranche i, en divisant par son volume Sx :

tx

CC2CKtxxS

CC2CSKxS

MC2

1ii1ix

1ii1ix

i

+=+=

= ++

Soit2

1ii1ix

x

CC2CK

t

C

+

= + (quation A)

Regardons de plus prs les deux termes de cette quation :

a - Tout d'abord, le terme C/t. C'est le rapport entre la variation de concentration C, qu'on

observe pendant une dure t, et cette dure t.


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Ci

t

ti ti+1

Ci+1

C

C

t

C'est donc, en terme d'unit, par exempledes mg/l/s, soit de combien varie C par

unit de temps.

Notamment, si t = 1 (1 seconde), on a

la variation de C directement chaqueseconde.

Ce n'est cependant pas ce qui va nousintresser, car on dsire savoir comment

varie C instantanment (pour une trs

petite dure), car quand on crit unefonction C(x, t), cela signifie que C est"exprimable" aux coordonnes x et t, et

pas pour un intervalle x et t.On fait donc tendre t vers 0 pour avoir une variation instantane C (le mot "instantane"doit bien tre pris dans son sens premier : un instant, donc quand t0).

Vers quoi va tendre le rapport C/t quand t0 ? Si on y regarde rapidement etinstinctivement, il tend vers un rapport 0/0, ce qui est indtermin.

C'est l que les mathmatiques viennent notre secours !

Ci

t

ti ti+1

Ci+1

Ccorde

Cangle

tTangente

la courbe

Considrons l'angle entrel'horizontale et la corde reliant les

points (Ci, ti) et (Ci+1, ti+1).La tangente de cet angle est le rapport

entre le cot oppos et le cot adjacent,

soit C/t.C'est aussi la valeur de la pente de lacorde (voir Annexe 2 si ncessaire).

Vers quoi tend le rapport C/t quandt0 ?On voit graphiquement que ce rapport

tend vers la pente de la tangente la

courbe au point d'abscisse ti.

C'est--dire que la variation instantane de C est gale la pente de la tangente la courbe l'abscisse t qui nous intresse.

On nomme cette pente de la tangente la courbe "drive premire" et on la notet

C

. C'est

la variation instantane de la concentration (en fonction du temps ici) et peut tre interprte

smantiquement comme "comment drive (au sens de la variation) la fonction C en fonctionde t".

Elle exprime la valeur (ou la limite) de C/t quand t tend vers 0 (et il plus rapide

d'criret

C

que "limite de C/t quand t tend vers 0").

Remarque : il y a la notation dt

dC

et t

C

. Tout dpend si la fonction C est fonction d'une ouplusieurs variables. Ici, C est fonction de x (voire de y et z galement voir plus loin) et de t.


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On parle alors d'une "drive premire partielle" car on ne regarde la variation instantane

de C qu'en fonction de t, alors qu'elle dpend aussi de x (on regarde cette variation pour un x

fix, mais ce n'est pas forcment la mme pour tout x).

Si C n'tait fonction que de t, on crirait alorsdt

dCcar il n'y a pas d'autres variables qui

peuvent influencer cette valeur de variation instantane.

De faon gnrale, si on a une fonction U(x) U dpend d'une seule variable alors on parle

de drives pour dsigner des variations instantanes en fonction de x, et si U dpend de

plusieurs variables, on parle de drives partielles.

Si une quation relie la fonction U avec ses drives (ce qui est le cas le plus frquent dans

les modles mathmatiques), on parle d'quation diffrentielle si U ne dpend que d'une

variable, et d'quations aux drives partielles si U dpend de plusieurs variables.

De tout cela, on en conclut donc que le terme

t

C

correspond la drive premire partielle

t

C

(variation instantane de C par rapport t) quand t 0.

b - A quoi correspond le deuxime terme de cette quation2

1ii1i

x

CC2C

+ + ?

Considrons la courbe ci-dessous et sa drivex

C

au point d'abscisse x. Cette drive

correspond la pente de la tangente la courbe au point d'abscisse x comme on vient de le

voir.

On peut approximer cette tangente

par la pente de la corde entre lespoints (xi ,Ci) et (xi+1 ,Ci+1). La pente

de cette corde est gale la tangentede l'angle entre la corde et

l'horizontale.

Cette pente est donc gale

tg()=x

CC i1i

+ ; plus x est petit, et

plus l'approximation est valide.

Autrement dit, le termex

CC i1i

+ est

une approximation de la drive premireix

C

l'abscisse xi quand x 0.

De la mme faon, on peut approximer la drive premireix

C

l'abscisse xi par la pente

de la corde entre les points (xi ,Ci) et (xi-1 ,Ci-1) :x

CC

x

C 1ii

i

quand x 0.

Ci

x

Xi Xi+1Xi-1x x

Ci-1

Ci+1

C

tangente

Approximationde la tangente


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TOPO sur la drive seconde

On peut maintenant avoir une approximation de la drive seconde en xi , en drivant 2 fois

C(x) par rapport x, et en appliquant les 2 faons vues au-dessus:

2

1ii1i

2

1ii

2

i1i

i1i

i1i

ii

2

2

x

CC2C

x

CC

x

CC

x

C

xx

C

xx

CC

xx

C

xx

C

+

=

=

=

=

+++

+

Autrement dit, le deuxime terme de l'quation A correspond l'approximation de la drive

seconde de la fonction C; quand x 0, nous avonsi

2

2

2

1ii1i

x

C

x

CC2C

+ +

L'quation A est donc une expression de

2

2

xx

CK

t

C

=

et tend vers cette dernire quand x 0 et t 0

L'quation encadre est dite de la diffusion 1D (1D pour une dimension d'espace).

Cest une quation aux drives partielles (EDP) car C est fonction dau moins 2 variables (x

et t) et elle fait intervenir les drives de C par rapport ces 2 variables.

2.2. Interprtation d'une quation aux drives partiellesComment "lire" l'quation prcdente ?

La drive premire

t

C

correspond la variation de concentration dans le temps, c'est--dire

de quelle quantit C varie dans le temps.

La drive seconde2

2

x

C

correspond la variation de la variation (drive de la drive

premire) de concentration selon l'axe des x, autrement dit, ce terme s'intresse la faon dontla drive premire de la concentration varie en x.

L'quation de la diffusion dit que la variation de concentration au cours du temps est

proportionnelle la variation de la variation de concentration en espace.

Interprtons ce qui vient d'tre dit :


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x

Ci-

C i+

Xi+XiX i-Xi+Xi- Xi

Cas 1 Cas 2

C

Sur le graphique ci-dessus, on considre un petit dplacement gauche et droite de X et

l'allure de la solution entre Xi- et Xi+. Nous avons une valeur (approximative) des drivespremires droite et gauche de Xi travers les pentes des cordes entre Xi- et Xi d'une part,

et Xi et Xi+ d'autre part.

Il est important de remarquer que la variation de concentration entre X i- et Xi+ est ma mme

dans les 2 cas.

Dans le cas 1, les pentes sont voisines. L'quation dit donc que dans l'intervalle de temps t,

la concentration en xi ne changera gure (donct

C

sera faible) puisque le terme2

2

x

C

est voisin

de 0.

Dans le cas 2, les pentes sont trs diffrentes. L'quation de la diffusion dit alors que la

concentration en xi va beaucoup changer (t

C

sera important) puisque le terme2

2

x

C

est loin

d'tre ngligeable).

Ainsi, l'quation de la diffusion prcise que la variation de concentration dans le temps ne

dpend pas de la diffrence de concentration entre 2 points, mais dpend de la diffrence despentes entre ces 2 points (donc de l'allure de la solution et non de la valeur de la solution).

L'interprtation physique est simple : les valeurs de pentes reprsentent les flux de part et

d'autres du point xi (soit des quantits de polluant qui circulent gauche et droite de x i , etc'est bien ce qu'on a crit au tout dbut : on a fait un bilan de ce qui entrait et sortait de latranche i).

- Si les flux de part et d'autre de xi sont voisins, le bilan est proche de zro et laconcentration en xi ne varie gure dans le temps.

- Si les flux sont diffrents, le bilan ne sera pas quilibr au niveau de x i et laconcentration changera dans le temps

2.3. Equation de la Diffusion 3DEn supposant qu'il y a galement des changes dans les directions Oy et Oz.


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On peut raliser ce mme bilan de matire selon les deux autres axes y et z de l'espace, pour

avoir un bilan total au niveau de la tranche Ci,j,k.(indice i pour laxe Ox, j pour laxe Oy et kpour laxe Oz)

Supposons dans un premier temps que le coefficient de proportionnalit est constant danstoutes les directions de l'espace : Kx = Ky = Kz = K

La variation Mi,j,kde matire dans la tranche (i,j,k) s'crit :

tz

CC2CSK

ty

CC2CSK

tx

CC2CSK

)MM()MM()MM(M

1k,j,ik,j,i1k,j,i

zz

k,1j,ik,j,ik,1j,i

yy

k,j,1ik,j,ik,j,1i

xx

2k,j,i1k,j,ik,2j,ik,1j,ik,j,2ik,j,1ik,j,i

++

++

+=

++=

+

+

+

Supposons dans un premier temps que le coefficient de proportionnalit est constant danstoutes les directions de l'espace : Kx = Ky = Kz = K

++

++

+= +++

z

CC2CS

y

CC2CS

x

CC2CStKM

1k,j,ik,j,i1k,j,i

z

k,1j,ik,j,ik,1j,i

y

k,j,1ik,j,ik,j,1i

xk,j,i

En divisant par le volume de la tranche V= x y z, on a une variation de concentration

+

+

+

+

+

= +++

2

1k,j,ik,j,i1k,j,iz

2

k,1j,ik,j,ik,1j,iy

2

k,j,1ik,j,ik,j,1ixk,j,i

z

CC2C

yx

S

y

CC2C

zx

S

x

CC2C

zy

StKC

or yxS;zxS;zyS zyx === do

++

++

+= +++

2

1k,j,ik,j,i1k,j,i

2

k,1j,ik,j,ik,1j,i

2

k,j,1ik,j,ik,j,1i

k,j,iz

CC2C

y

CC2C

x

CC2CtKC

En reprenant les considrations prcdentes sur les drives, on aboutit alors :

CKz

C

y

C

x

CK

t

C2

2

2

2

2

2

=

+

+

=

La somme des drives secondes est appele Laplacien et note . On a alors

CKt

C=

Il s'agit de l'quation de la diffusion 3D. Ici, il faut bien noter que le coefficient de diffusion

est constant dans toutes les directions de l'espace.

Entre le modle 1D et 3D, on peut bien sr tablir un modle 2D.


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2.4. Conditions limites et condition initialeDans cette dmarche, on a travaill avec une tranche i,j,k "interne", mais il est vident que

pour la premire et la dernire tranche (dans chacune des directions de l'espace), il faudra

reprsenter ce qui se passe chacune des extrmits pour tablir un bilan massique du produit

dans la premire et dernire tranche.

Autrement dit, il faut savoir ce qui se passe sur les frontires du domaine tudi pour pouvoirtablir un bilan des tranches priphriques. Sans cette connaissance, on ne pourra pas tablir

la variation de concentration sur ces tranches priphriques, et en cascade, on ne pourra pas

tablir de bilan sur une tranche quelconque.

Il s'agit des conditions limites qui grent le phnomne sur toutes les frontires spatiales.On distingue gnralement 2 grands types de conditions limites :

- les conditions de type Dirichlet : elles fixent une valeur de la concentration sur lafrontire. Cette condition permet donc toujours de faire un bilan sur la premire ou

dernire tranche en tablissant la quantit de matire qui franchit la frontire. Dans

l'exemple prcdent, cela revient connaitre la concentration sur la frontire du

domaine (par exemple une source de pollution qui maintient constante laconcentration sur la frontire).

- Les conditions de type Neumann : elles fixent la valeur de la drive de laconcentration sur la frontire. Cette condition permet aussi d'tablir un bilan sur la

premire ou dernire tranche puisqu'on a directement le terme x/C (ou y/C ou

z/C ). On les appelle aussi conditions de flux. Dans l'exemple prcdent, celarevient avoir du polluant qui entre sans arrt dans (ou sort de) notre domaine d'tude

si ce flux n'est pas nul).

Insistons sur la diffrence des 2 conditions par rapport notre exemple.Dans le premier cas, du polluant entrera dans (ou sortira de) notre domaine s'il y a une

diffrence de concentration entre la frontire et la tranche priphrique (puisque la quantit

qui circule entre 2 tranches est proportionnelle la diffrence de concentration). Si les

concentrations la frontire et dans la tranche priphrique sont identiques, rien ne rentre

(rien ne sort)

Dans le deuxime cas, quelque soit les concentrations sur la frontire et dans la tranche

priphrique, du polluant entre ou sort si le flux est diffrent de 0, et rien ne franchit la

frontire si le flux est nul.

De la mme faon, l'origine temporelle du phnomne, la concentration du produit l'intrieur de chaque tranche va commander l'change de matire entre les tranches, du moins

pendant les premiers instants. La connaissance des concentrations linstant zro est donc

indispensable pour apprhender lvolution des concentrations de chaque tranche dans le

temps. Il s'agit ici de la condition initiale.

Ces conditions sont extrmement importantes :

1) elles conditionnent la valeur de la solution, c'est--dire qu'elles sont aussi importantesque l'quation elle-mme. Des conditions limites diffrentes, pour une mme quation

rsolue, donneront des solutions diffrentes.


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2) elles doivent tre compatibles avec l'existence d'une solution, et que celle-ci soitunique (dans le cas contraire, on parle de problme mal pos)

Cette dernire notion, problme bien ou mal pos, peut tre illustre avec un exemple simple.

Prenons l'quation diffrentielle 0dx

)x(yd

2

2

= dans l'intervalle [x1 , x2].Remarque : cette quation en y(x) n'est qu'un cas particulier d'une EDP : la fonction (y) ne

dpend que d'une seule variable (x), c'est pour cela qu'on met un (d) au lieu d'un ( ).

La solution analytique de cette quation est y(x) = ax + b. Il s'agit d'une solution

"mathmatique" qui admet une infinit de solutions en fonction de (a) et (b), mais une

solution physique se doit d'tre unique, en admettant que cette quation modlise un

phnomne physique.

Ce sont les conditions limites qui vont imposes la "valeur" de la solution. C'est dj un

premier lment qui montre l'importance des conditions limites.

Etudions diffrents cas de conditions limites en x1

et x2

:

2 conditions de Dirichlet en x1 et x2 : on a alors 2 points fixs, et par ces 2 points,on peut faire passer une droite. Le problme est bien pos.

1 condition de Dirichlet et 1 condition de Neumann : on a un point et une pentefixs, ce qui est compatible avec une droite. Le problme est galement bien pos.

2 conditions de Neumann en x1 et x2 : on a alors un problme car soit les 2conditions de Neumann sont gales et il y a alors une infinit de solutions, soit les

2 conditions de Neumann sont diffrentes et il n'y a pas de solution car il est

impossible qu'une droite ait 2 pentes diffrentes. . Le problme est alors mal pos.

Cet exemple illustre donc que les conditions limites que l'on retient entrainent l'unicit ou

l'inexistence d'une solution physique.

2.5. Rgime permanent et non permanentOn parle dun phnomne en rgime permanent quand son volution est indpendante du

temps.

Dans lquation de la diffusion, le termet

C

est nul et l'quation devient C = 0 .

Il sagit de lquation de Laplace (somme des drives secondes en espace nulle).

Rciproquement, si le temps intervient dans l'quation, on parle d'un rgime non permanent.

2.6. Complments lquation de baseOn se remet dans le cas o on regarde ce qui de passe le long de laxe Ox uniquement (c'est

plus simple crire et l'extension 2 ou 3 dimensions ne pose pas de problme particulier).

2.6.1.Injection (ou soutirage)

On peut "injecter" ou "soutirer" dans la tranche j une quantit M0 du produit en question.

La quantit totale qui entre ou qui sort de la tranche i s'crit : 02i1ii MMMM += (M0 est

positif ou ngatif selon le cas).


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D'oxS

Mt

x

CC2CK

xS

M

xS

MM

xS

MC 0

2

1ii1i02i1ii

+

+=

+

=

= +

SoittxS

M

x

CC2CK

t

C 02

1ii1i

+

+=

+

Ou encore quand x et t tendent vers zro : 022

qxCK

tC +=

Remarque : q0 est exprim en mg/l/s

2.6.2.Cintique propre du produitIl s'agit d'un terme de croissance (apparition) ou de dcroissance (disparition) du produit. On

considre souvent que la variation de concentration due cette cintique est proportionnelle

la concentration de produit (cintique du premier ordre) et se traduit au niveau du bilan de la

tranche i par un terme k'C (en positif ou en ngatif).

C'kxS

MMC'kxS

MC 2i1ii +

=+= d'o t

C'k

x

CC2CKt

C2

1ii1i

++

=

+

Ou encore quand x et t tendent vers zro : kCx

CK

t

C2

2

+

=

Remarque : k est exprim s-1

2.6.3.ConvectionNous avons fait l'hypothse que la matire dans laquelle on observe le produit tait immobile.

Supposons maintenant qu'elle est anime d'une vitesse U positive dans le sens des x.

De par ce mouvement, indpendamment du phnomne de diffusion, la quantit de matire

qui entre dans la tranche i en provenance de la tranche i-1 s'crit :- quantit deau qui entre par unit de temps : US (on a des m3/s si U en m/s et S en m)- masse de produit par unit de temps : US C i-1 (on a des mg/s, si C est en mg/m

3)

- masse de produit : US Ci-1 t (en mg si t en secondes)

et il en sort une quantit USCit par un mme raisonnement.

On aura donc la variation globale suivante de matire dans la tranche i :

tUSCtUSCMMM i1i2i1ii +=

et la variation de concentration suivante : tx

CCU

xS

MMC i1i2i1i

+

=

soitx

CCU

x

CC2CK

t

C i1i2

1ii1i

+

+=

+

Le termex

CC i1i

est une approximation de la drive premire en i (au signe prs) et tend

donc vers cette drive quand x 0. Dans ce cas (x 0), on a alors l'quation :

x

CU

x

CK

t

C2

2

=

ou bien2

2

x

CK

x

CU

t

C

=

+

Il s'agit de l'quation dite de Diffusion-Convection 1D.


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En 3D, on considre les vitesses Ux, Uy, Uz, dans chaque direction de lespace. On tablit les

mmes bilans que prcdemment et on obtient :

CKz

CU

y

CU

x

CU

t

Czyx =

+

+

+

En considrant les vecteurs

-U de composantes )U,U,U( zyx

- Cgrad

de composantes

z

C,

y

C,

x

C

on a l'quation CKCgrad.Ut

C=+

oz

CU

y

CU

x

CUCgrad.U zyx

+

+

=

2.6.4.Cas o K est variable (dans toutes les directions et en tous points)

Reprenons le problme sans injection, cintique ou convection.Dans un premier temps, on regarde ce qui se passe le long de l'axe Ox.La quantit de matire Mx qui franchit une section S du paralllpipde est :

tx

CCS)z,y,x(KM 21x

=

Introduisons qx le flux, toujours selon l'axe Ox, par unit de surface d'change (flux

surfacique) :

xx21x

x qtSMsoitx

CC)z,y,x(K

tS

Mq =

=

=

xC)z,y,x(Kqx

= quand x 0

En faisant un bilan d'accumulation dans une tranche i, donc un bilan des flux entre les faces 1

et 2 :

Accumulation M = Entre SortieAccumulation M = ( )2x1x qqtS

D'o la variation de concentration au sein de la tranche j :

( ) ( )x

qqt

xS

qqtS

xS

MC 2x1x2x1x

=

=

=

O encore

x

qq

x

qq

t

C 1x2x2x1x

=

=

En passant en notation diffrentielle quand x 0 et t 0 :

x

q

t

C x

=

avecx

C)z,y,x(Kq x

=

On procde de la mme faon sur les axes Oy et Oz.

Le flux sur chacun des axes s'crit :y

C)z,y,x(Kq

y

= et

z

C)z,y,x(Kq

z

=

En prsentation vectorielle, on a


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Cgrad).z,y,x(Kq =

o q est un vecteur de coordonnes zyx q,q,q

Cgrad

est un vecteur de coordonnes

z

C;

y

C;

x

C

L'accumulation sur chacun des axes conduit :

y

q

t

C y

=

etz

q

t

C z

=

La variation totale de concentration sur un volume infinitsimal sera la somme des variations

selon les diffrents axes :

z

q

y

q

x

q

t

C zyx

=

En notant )q(divr

- lire divergent de q - la somme des drives premires :

z

q

y

q

x

q)q(div z

yx

+

+

=r

( )Cgrad).z,y,x(Kdiv)q(divt

C==

r

C'est l'criture gnrale de l'quation de la diffusion (sans convection, ni apport ou soutirage,

ni cintique)

Remarque : si K est constant : K(x,y,z) = K, on a alors

( ) ( )CgraddivKCgraddivK)q(divtC

===

r

C.Kx

C

y

C

x

CK

z

C

zy

C

yx

C

xK

t

C=

+

+

=

+

+

=

2.6.5.Autres problmatiquesNous avons trait ici le cas d'un produit (dans de l'eau priori) travers sa concentration,

mais la dmarche peut bien sr s'appliquer toute variable : chaleur (c'est d'ailleurs dans ce

cadre que l'quation de la diffusion fut tout d'abord tablie ; on parle alors d'quation de

Fourier) la variable tudie est alors la temprature , volume d'eau " surface libre" lavariable tudie est alors la hauteur d'eau travers un bilan des volumes d'eau

Dans tous les cas, on arrive des quations aux drives partielles (EDP), gnralement

dordre 2, cest--dire quelles font intervenir les drives secondes.

2.7. Sur le Laplacien, le Gradient et le Divergent

2.7.1.Oprateurs en mathmatique et en physique

Laplacien, gradient et divergent sont nomms "oprateurs", car ils permettent "d'oprer" (ausens de travailler) sur des fonctions.


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Ces diffrents oprateurs sont dfinis mathmatiquement. Cependant, leur application en

physique est diffrente de leur dfinition mathmatique.

En effet, alors qu'en mathmatique on peut avoir n variables dans un problme x1, , xn, en

physique on considre classiquement 4 variables au maximum ( priori), les 3 dimensions

d'espace (x, y, z) et la variable temps (t).

Ainsi, quand on parle d'un laplacien en mathmatique, il va s'appliquer toutes les variablesx1, , xn, alors qu'en physique, on ne l'applique qu'aux variables d'espace. Pourquoi ? Parce

que dans les quations qu'on obtient physiquement, on a une certaine "symtrie" des variables

d'espace o on retrouve un laplacien alors que la variable temps apparat " part". Ainsi, en

appliquant le laplacien qu'aux variables d'espace, on peut l'introduire et simplifier l'criture de

l'quation.

Ceci est bien videmment vrai pour le gradient et le divergent.

On gardera ici l'approche physique de ces oprateurs pour rester cohrent avec le polycopi,

et on les appliquera uniquement sur les variables d'espace.

2.7.2.Le LaplacienC'est la somme des drives secondes d'une fonction.

Dans le polycopi, une telle somme apparat au paragraphe 2.3, lorsqu'on fait un bilan dans

les 3 directions de l'espace, et que le coefficient de diffusion est constant.

CKz

C

y

C

x

CK

t

C2

2

2

2

2

2

=

+

+

=

Physiquement, ici le laplacien reprsente ici le rsultat d'un bilan.

Pour compter le paragraphe prcdent, dans le cas de lquation de la diffusion, le laplacien

mathmatique scrirait2

2

2

2

2

2

2

2

t

C

z

C

y

C

x

C

+

+

+

, alors que le laplacien physique

quon crit est2

2

2

2

2

2

z

C

y

C

x

C

+

+

donc uniquement avec les variables despace.

2.7.3.Le gradient

Le gradient d'une fonction u est un vecteur de composantes u/x, u/y, u/z.

Ce terme apparat dans le polycopi (au paragraphe 2.6.4) quand on veut dcrire

"indpendamment" les changes de produit dans chaque direction de l'espace, et qu'on a un

coefficient de diffusion variable.

Le flux en x s'critx

C)z,y,x(Kq x

= ,

Et sur les autres axes, on ay

C)z,y,x(Kq y

= et

z

C)z,y,x(Kq z

= .

Il est plus pratique de considrer q comme un vecteur avec 3 composantes qx, qy et qz, et on a

alors Cgrad).z,y,x(Kq =


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Physiquement, ici le gradient est l'expression de la variation instantane d'une fonction u dans

chaque direction d'espace.

2.7.4.Le divergent

C'est la somme des drives premires d'un champ vectoriel (un vecteur).

Ce terme apparat (au paragraphe 2.6.4 du polycopi) quand on veut obtenir un bilan des

changes dans un volume unitaire et qu'on a un coefficient de diffusion variable.

On az

q

y

q

x

q

t

C zyx

=

, soit ( )Cgrad).z,y,x(Kdiv)q(divt

C==

r

Physiquement, ici le divergent reprsente comment va "se dformer" une fonction, puisque

qu'on somme les variations dans chaque direction de l'espace

2.7.5.Remarques

a Sans utilisation de ces symboles, la dernire quation ( )Cgrad).z,y,x(Kdivt

C=

s'crit

+

+

=

z

C)z,y,x(K

zy

C)z,y,x(K

yx

C)z,y,x(K

xt

C.

On peut convenir que cette criture est plus lourde que la premire.

b le laplacien peut s'crire comme la divergence du gradient. C'est ce qui apparat dans la

remarque la fin du paragraphe 2.6.4 o le coefficient de diffusion K est constant.

En reprenant les quations prcdentes, et en dtaillant les calculs :

Soit

+

+

=

z

C)z,y,x(K

zy

C)z,y,x(K

yx

C)z,y,x(K

xt

C

Si K est constant : K(x,y,z) = K, on peut sortir K des drives, et le mettre en facteur :

+

+

=

+

+

=

z

C

zy

C

yx

C

xK

z

C

zy

C

yx

C

xK

t

C

C.Kx

C

y

C

x

CK

t

C=

+

+

=

Tout cela peut s'crire plus rapidement

( ) ( ) C.KCgraddivKCgraddivK)CgradK(div)q(divt

C=====

r

Finalement, l'criture "divergent du gradient" est une gnralisation du laplacien, ce dernier

tant un cas particulier pour l'quation de la diffusion.


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2.8. Laplacien en coordonnes polaires

Il est frquent, lorsqu'on a des domaines ayant une forme circulaire (au moins dans une

direction d'espace, par exemple un disque, ou une colonne pour ce qui est du gnie civil), de

travailler non pas en coordonnes cartsiennes, mais en coordonnes polaires.

En coordonnes polaires, chaque point M du plan, au lieu d'tre

repr par ses valeurs (x , y) en coordonnes cartsiennes, est alors

repr par ses valeurs (r , ) en coordonnes polaires.

Le problme est alors d'crire le laplacien d'une fonction u :2

2

2

2

y

u

x

u

+

en fonction des

coordonnes (r , ). Il faut donc remplacer les drives en x et y en faisant apparatre lesdrives en r et .Ce calcul est fait en annexe 4, et permet d'crire le laplacien en coordonnes polaires :

2

2

22

2 u

r

1

r

u

r

1

r

u

+

+

x

y

r

M


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3. CLASSIFICATION DES EQUATIONS AUX DERIVEESPARTIELLES DORDRE 2

3.1. Classi fication par les coniques

La classification des EDP peut tre rapproche de celle des coniques. Cest ce que nous allons

faire.

Soit lquation dune conique

ax + 2bxy + cy + dx + ey + f = 0 (a 0 et c 0)

3.1.1.Classification par discriminant et par valeurs propresLes directions asymptotiques sont obtenues quand on fait tendre les variables x et y vers

linfini. Lquation dune conique est alors quivalente aux termes de plus haut degr :

ax + 2bxy + cy = 0

En posant y = mx, on obtient

ax + 2bmx + cmx = 0

cm + 2bm + a = 0

Cest lquation des directions asymptotiques. La nature dune conique dpend du signe du

discriminant = 4b - 4ac de cette quation :

- si > 0 : 2 directions asymptotiques relles et distinctes ; la conique est une hyperbole- si = 0 : 2 directions asymptotiques relles et confondues ; la conique est une parabole- si < 0 : pas de directions asymptotiques relles; la conique est une ellipse

Le signe de est indpendant de tout changement daxe : cest une caractristique intrinsquede lquation.

Lquation des directions asymptotiques ax + 2bxy + cy = 0 peut se mettre sous la forme

matricielle suivante :

[ ] 0y

x

cb

bayx =

soit [ ] [ ] 0yxQyx T = o

=

cb

baQ

Soit 1 et 2 les valeurs propres de Q.Ce sont les solutions de lquation (a )(c ) b = 0

On montre que la classification des coniques par discriminant est quivalente :

- si 1 et 2 sont non nulles et de signes diffrents ; la conique est une hyperbole- si 1 ou 2 sont nulles ; la conique est une parabole- si 1 et 2 sont non nulles et de mme signe ; la conique est une ellipse

3.1.2.Application aux EDP dordre 2Les propos prcdents peuvent stendre directement aux quations aux drives partielles

linaires d'ordre 2 (avec des drives secondes).


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Soit lEDP linaire gnrale 2 variables :

0)y

u,

x

u,u,y,x(F

y

uc

yx

ub

x

ua

2

22

2

2

=

+

+

+

o a, b et c sont des fonctions de x et y.

)

y

u,

x

u,u,y,x(F

regroupe tous les termes et toutes les drives qui ne sont pas dordre 2.

On considre la matrice

=

cb

baQ et ses valeurs propres.

LEDP est hyperbolique si les valeurs propres sont non nulles et de signes diffrents.

LEDP est parabolique si au moins une valeur propre est nulle.

LEDP est elliptique si les valeurs propres sont non nulles et de mme signe.

Ces dfinitions sappliquent aux EDP dordre 2 plusieurs variables. La taille de la matrice Q

est alors gale aux nombre de variables que l'on a dans l'quation. On va se limiter 4

variables au maximum : x, y, z, t (mais le raisonnement sapplique bien sr moins de

variables comme on la fait au dessus).

La matrice Q se construit en mettant sur la diagonale principale les coefficients des drives

secondes dune seule variable, les autres termes tant les coefficients des drives mixtes (de

2 variables car on a des drives secondes au plus dans lquation).

On peut reprsenter au dessus et gauche de la matrice les drives auxquelles chaque terme

se rapporte (la matrice est entre crochets) :

423

312

2121

3211

adcbt

dacbz

ccaby

bbbax

tzyx

Cette matrice est symtrique.

Par exemple, de l'quation 0zy

u5

yx

u4

t

u3

y

u2

x

u 22

2

2

2

2

2

2

=

+

+

+

+

(totalement imaginaire),

on extrait la matrice Q suivante :


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24

3000

0050

0524

0041

t

z

y

x

tzyx

Les EDP d'ordre 2 classiques qu'on traite dans ce cours n'ont pas de drives mixtes (on traite

titre d'exemple l'quation de Laplace et l'quation de la diffusion). La matrice Q est alors

une matrice dite diagonale car tous les termes en dehors de la diagonale principale sont nuls.

Les valeurs propres d'une telle matrice sont videntes : il s'agit des termes de la diagonale

principale.

Par exemple, lquation de Laplace 0z

u

y

u

x

u2

2

2

2

2

2

=

+

+

est elliptique car les valeurs

propres sont non nulles et de mme signe (1, 1, 1)

Lquation de la diffusiont

u

z

u

y

u

x

uk

2

2

2

2

2

2

=

+

+

est parabolique car au moins une

valeur propre est nulle. Les valeurs propres sont (k, k, k, 0)

Enfin, pour citer une EDP d'ordre 2 classique, prenons lquation des ondes

2

2

2

2

2

2

2

22

t

u

z

u

y

u

x

uk

=

+

+

qui est hyperbolique car les valeurs propres sont non nulles

et de signes diffrents (k, k, k, -1)

Une EDP peut tre de type mixte, c'est--dire d'un type ou d'un autre selon le cas. Cela se

produit si un des coefficients de l'quation est une fonction.

Prenons un exemple d'une EDP a 2 variables : 0y

uy

x

ux

2

2

2

2

=

+

. Les valeurs propres sont

alors x et y.

Selon la rgion du plan o on est, on aura un type diffrent :

- Elliptique si x et y sont de mme signe etdiffrents de 0 (partie suprieure droite ou

infrieure gauche).

- Hyperbolique si x et y sont de signeopposs et sont diffrents de 0 (partie

suprieure gauche ou infrieure droite).

- Parabolique si x ou y est nul (sur les axes)

Elliptique

Elliptique Hyperbolique

Hyperbolique

Parabolique

x

y


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3.2. Equation stationnaire et quation dvolutionOn a vu que les quations hyperboliques et paraboliques avaient des directions asymptotiques

relles. Cela veut dire que lune des variables peut tendre vers linfini. Aussi, toute EDP

physique hyperbolique ou parabolique fait intervenir le temps. On parle alors dquationsvolutives, car la solution de ces quations volue en fonction du temps.

A contrario, la solution dune quation elliptique nayant pas de directions asymptotiques

relles, le temps ne peut pas y intervenir. On parle dquations stationnaires.


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4. RESOLUTION DES EDP - PRINCIPE DES METHODESNUMERIQUES

On aborde partir de ce chapitre les mthodes de rsolution des EDP. Celles-ci nont

gnralement pas de solutions exactes et on utilise donc des mthodes numriques.

Les mthodes numriques sintressent la recherche de valeurs de la fonction en des

endroits particuliers. Autrement dit, on ne cherche pas lcriture dune fonction qui vrifie

lquation, mais par quelles valeurs passe la fonction en des abscisses particulires (cest la

mthode des diffrences finies), ou bien on recherche sur des lments du domaine tudi

lcriture dune fonction simple qui approxime au mieux la solution recherche (cest la

mthode des lments finis).

Une fois ce travail fait, on a donc une image graphique de la solution.

Nous allons tudier successivement ces 2 mthodes.

Chaque solution qu'on obtient ainsi est une solution dans un cas particulier, c'est--dire pour

des valeurs de conditions limites fixes, ventuellement avec des valeurs de coefficients

fixes, et avec une gomtrie particulire du domaine d'tude.

Le recours aux logiciels pour rsoudre les EDP est donc indispensable, d'une part parce qu'il y

beaucoup de calculs faire, et d'autre part pour pouvoir rapidement obtenir un rsultat en

changeant soit le domaine, soit les conditions limites et initiales.

Gnralement, un logiciel rsout une EDP, voire ses variantes.


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Modlisation

FN CRES

27

5. LA METHODE DES DIFFERENCES FINIES

5.1. Principe de la mthode

Ce principe se dcline en plusieurs tapes.

a - Le domaine tudi est maill. On parle de discrtisation du domaine.

Exemple de maillage dun domaine

1D. Ce maillage peut tre rgulier

ou non, cest--dire que le pas du

maillage peut tre constant ou non

Frontire

NoeudsPas du maillage

Exemple de maillage dun

domaine 2D (on nen a reprsent

quune partie)

Frontire

Maillage

Noeuds

La mthode des diffrences finies recherche une solution aux nuds du maillage.

b On discrtise galement lEDP, cest--dire quon va crire en chaque nud une

approximation algbrique de lquation dorigine.

c On crit autant dquations algbriques quil y a de nuds o on cherche une solution, ce

qui conduit crire un systme dquations

d on rsout ce systme dquations

Nous traiterons diffrents exemples simples illustratifs de cette mthode.


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Modlisation

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28

5.2. Cas dune EDP elliptique (stationnaire)

5.2.1.Cas de conditions de Dirichlet

On considre un domaine carr, donc 2

dimensions despace (problme 2D), oon veut rsoudre le problme suivant :

0y

u

x

u2

2

2

2

=

+

(quation de Laplace)

Les conditions limites sont de type

Dirichlet, telles que dcrites sur le schma

ci-contre, g1 et g2 tant 2 constantes

quelconques.

0y

u

x

u2

2

2

2

=

+

u = g2

u = g1u = 0

u = 0 x

y

a Discrtisation du domaine dtude

Le domaine dtude comprend le domaine interne, not , et la frontire, note .On va crer un maillage relativement lche (afin de limiter ensuite les critures ; mais

lextension plus de nuds ne pose aucun problme) et rgulier.

Ce maillage introduit en tout 25 nuds,dont 9 nuds internes et 16 nuds

frontires.

Cependant, les nuds frontires ne

constituent pas des valeurs rechercher,

puisque la valeur de la fonction y est

connue (conditions de Dirichlet).

Seuls les nuds ici numrots de 1 9

constituent donc les inconnues de notre

problme, sachant que bien sr, les

conditions limites doivent intervenir dansla solution.

u = g2

u = g1u = 0

u = 0 x

y

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Le maillage tant rgulier, on pose x = y = h

Rappelons que la mthode des diffrences finies permet de trouver une valeur approche de la

solution aux 9 nuds, solution qui vrifie lquation 0y

u

x

u2

2

2

2

=

+

b Discrtisation de lquationCette tape consiste remplacer lEDP par une quation algbrique approche. Plusieurs

approches sont possibles.


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Modlisation

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29

Approche graphique (plus pdagogique)

On a dj vu quon pouvait remplacer une drive par une quation. Considrons la courbe ci-

dessous et sa drivex

u

au point d'abscisse x. Cette drive correspond la tangente la

courbe au point d'abscisse x.

On note x = xi , x + x = xi + 1 et x - x = xi - 1u(x) = ui , u(x + x) = ui + 1 et u(x - x) = ui - 1

On peut approximer cette tangente

par la pente de la corde entre les

points (xi ,ui) et (xi+1 ,ui+1).

Cette pente est gale x

uu i1i

+ ;

plus x est petit, et plusl'approximation est valide.

Autrement dit, le termex

uu i1i

+ est

une approximation de la drive

premireix

u

l'abscisse xi quand x 0.

Cette discrtisation de la drive premirex

uu

x

u i1i

+ est dite avant, ou droite, ou

progressive, ou aval, car elle fait intervenir ui+1 labscisse xi+1.

De la mme faon, on peut approximer la drive premireix

u

l'abscisse xi par la pente

de la corde entre les points (xi ,ui) et (xi-1 ,ui-1) :x

uu

x

u 1ii

i

quand x 0.

Cette discrtisation de la drive premirex

uu

x

u 1ii

est dite arrire, ou gauche, ou

rgressive, ou amont, car elle fait intervenir ui-1 labscisse xi-1.

On peut galement approximer la drive premire par la pente de la corde entre les abscisses

xi-1 et xi+1. On a alorsx2

uu

x

u 1i1i

+

Cette discrtisation de la drive premirex2

uu

x

u 1i1i

+ est dite centre.

On peut maintenant avoir une approximation de la drive seconde en xi , en drivant 2 fois

par rapport x, et en appliquant une fois une discrtisation avant, puis une discrtisation

arrire :

ui

x

xi xi +1xi -1

x x

ui +1

u

tangente


ui -1


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Modlisation

FN CRES

31

Pour le schma centr :

)x(ox

)x(u

!2

x

x

)x(ux)x(u)xx(u 3

2

22

+

+

+=+

)x(ox

)x(u

!2

x

x

)x(ux)x(u)xx(u

3

2

22

+

+

=

en faisant la diffrence de ces 2 expressions :

)x(ox

)x(ux2)xx(u)xx(u 3+

=+

soit )x(ox2

)xx(u)xx(u

x

)x(u 2+

+=

; schma de discrtisation centr

Remarque : le schma centr est meilleur que les 2 autres, puisque avec une erreur en o(x)

alors que les schmas avant et arrire ont une erreur en o(x).Ceci se visualise aisment parla mthode graphique reprise ci-dessous.

On "voit" que quandx tend vers zro, l'approximation de la tangente en schma centr tend

plus rapidement vers la bonne tangente qu'en schma dcentr.

ui

x

xi xi +1

x

ui +1

u

tangente


ui

x

xi xi +1xi -1

x x

ui +1

u

tangente


ui -1

Schma de discrtisation avant :

erreur en o(x)

Schma de discrtisation centr :

erreur en o(x)

Pour la drive seconde :

)x(ox

)x(u

!3

x

x

)x(u

!2

x

x

)x(ux)x(u)xx(u 4

3

33

2

22

+

+

+

+=+

)x(ox

)x(u

!3

x

x

)x(u

!2

x

x

)x(ux)x(u)xx(u 4

3

33

2

22

+

+

=

en faisant la somme de ces 2 expressions :

)x(ox

)x(ux)x(u2)xx(u)xx(u 4

2

22 +

+=++

soit )x(ox

)xx(u)x(u2)xx(u

x

)x(u 222

2

+

++=

; schma centr

En revenant notre exemple et en notant


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Modlisation

FN CRES

32

u(x,y) = ui , j , u(x x , y) = ui 1 , j , u(x, y y) = ui , j 1 , u(x x , y y) = ui 1 , j 1

Par ailleurs, nous rappelons que le maillage est rgulier : x = y = h

)h(oh

uu2u

x

u 22

j,1ij,ij,1i

2

2

+

+

=

+

)h(oh

uu2u

y

u 22

1j,ij,i1j,i

2

2

++

=

+

En sommant ces 2 expressions

)h(oh

uu2u

h

uu2u

y

u

x

u 22

1j,ij,i1j,i

2

j,1ij,ij,1i

2

2

2

2

++

++

=

+

++

)h(oh

uuu4uu

y

u

x

u 22

1j,ij,1ij,i1j,ij,1i

2

2

2

2

++++

=

+

++

Comme l'quation rsoudre est 0yu

xu 2

2

2

2

=+

0h

uuu4uu2

1j,ij,1ij,i1j,ij,1i =+++ ++

en ngligeant lcriture de o(h)

soit 0uuu4uu 1j,ij,1ij,i1j,ij,1i =+++ ++Cette expression constitue donc une approximation de lEDP crite au nud u i,j . Cest une

relation entre 5 nuds qui approxime lEDP crite au nud u i,j. Calque sur le maillage, onlcrit sous forme graphique comme ci-dessous droite o on reprsente les coefficients de

chacun des nuds :

Ui,j

Ui,j-1

Ui,j+1

Ui+1,jUi-1,j -4 11

1

1

Discrtisation de l'quation de Laplace

Remarque : il s'agit bien ici de la discrtisation de l'quation de Laplace 2D, soit

0y

u

x

u2

2

2

2

=

+

.

Une autre quation donnerait une autre discrtisation, mme si on se base toujours sur les

discrtisations de base des drives premires et secondes vues dans ce paragraphe.

c Ecriture du systme dquationsOn va maintenant crire lquation discrtise en chacun des nuds inconnus, ce qui va

conduire un systme de 9 quations 9 inconnues. Pour cela, on reprend la numrotationdes 9 nuds de 1 9 ; en effet, cela est moins laborieux que de travailler en double

coordonnes (i,j).


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Modlisation

FN CRES

33

u = g2

u = g1u = 0

u = 0 x

y

1 2 3

4 5 6

7 8 9

nud 1 : 0uuu4 421 =++ les nuds gauche et en bas correspondentaux conditions de Dirichlet nulles

nud 2 : 0uuu4u 5321 =++

nud 3 : 0ugu4u6132

=++ le nud droite correspond la condition deDirichlet gale g1nud 4 : 0uuu4u 7541 =++

nud 5 : 0uuu4uu 86524 =+++

nud 6 : 0ugu4uu 91635 =+++

nud 7 : 0guu4u 2874 =++

nud 8 : 0guu4uu 29857 =+++

nud 9 : 0ggu4uu 21968 =+++

On reprsente gnralement ce systme dquations sous forme matricielle, ce qui permet debien choisir ensuite la mthode de rsolution qui sera adopte (voir l'annexe 1 sur la

construction d'un systme matriciel partir d'un systme d'quations pour les personnes qui

ne savent pas le faire). Ici, la premire ligne sert bien reprer les colonnes, sachant que

labsence dune valeur dans la matrice carre correspond zro.

=

21

2

2

1

1

9

8

7

6

5

4

3

2

1

987654321

gg

g

g

g

0

0

g

0

0

u

u

u

u

u

u

u

u

u

411

1411

141

1411

11411

1141

141

1141

114

uuuuuuuuu

d Rsolution du systme dquationsNous renvoyons le lecteur aux mthodes numriques de rsolution dun tel systme (dernier

chapitre). Nous lavons rsolu avec Excel dans lapplication numrique suivante : le carr fait1 mtre de cot (donc h=0.25m) et avec g1 = 1 , g2 = 2.

Nous obtenons limage suivante de la solution :


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Modlisation

FN CRES

34

u = 2

u = 1u = 0

u = 0 x

y

0.21 0.38 0.57

0.47 0.75 0.90

0.93 1.24 1.29

Aux 4 coins, nous avons pris une valeur moyenne entre les conditions de Dirichlet

concernes. L'image de droite est obtenue sous Excel et montre la forme de la surface qui

vrifie l'quation de Laplace avec les conditions limites indiques.

Un maillage plus fin permettrait dobtenir une meilleure prcision (mais avec plus dquations rsoudre et au dtriment de lapproche pdagogique).

5.2.2.Cas de conditions de Neumann homognes

On considre le mme problme que

prcdemment : un domaine carr, donc 2dimensions despace, o on veut rsoudre

le problme suivant : 0y

u

x

u2

2

2

2

=

+

Les conditions limites sont de typeDirichlet droite et gauche, telles que

dcrites sur le schma ci-contre, et de type

Neumann homogne (c'est--dire nulle) enhaut et en bas.

0y

u

x

u2

2

2

2

=

+

0y

u=

u = g2u = g1

0y

u

=

x

y

a Discrtisation du domaine dtude


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Modlisation

FN CRES

35

Afin de limiter le nombre dquations crire, on adopte le maillage suivant du

dessin de droite.

Les nuds inconnus y sont numrots de 1 8. Sil ny a pas de problme pour les

nuds internes 3 6, on peut

lgitimement sinterroger sur les nudsfrontires 1, 2 et 7, 8.En effet, la valeur de la drive est connue

en ces nuds, mais en aucun cas la valeurde la fonction. Ce sont donc bien des

nuds inconnus.

0y

u=

u = g2u = g1

0y

u=

x

y

1 2

3 4

5 6

7 8

b Discrtisation de lquationOn a exactement la mme quation que prcdemment ; elle peut tre approxime par

lexpression 0uuu4uu 1j,ij,1ij,i1j,ij,1i =+++ ++ crite au nud inconnu ui,j

Ceci introduit une difficult aux nuds frontires puisque cette discrtisation de lquationintroduit chaque fois un nud en dehors du domaine dtude, quon appelle nud fictif .

Ui,j

Ui,j-1

Ui,j+1

Ui+1,jUi-1,jFrontire infrieure

Nud fictif

Ui,j

Ui,j-1

Ui,j+1

Ui+1,jUi-1,j

Frontire suprieure

Nud fictif

Cas de la frontire infrieure Cas de la frontire suprieure

Pour liminer les nuds fictifs de la discrtisation, il suffit de prendre en compte la conditionde flux sur la frontire en question.

Prenons l'exemple du nud n1 et nommons le nud fictif 3'. La discrtisation de l'quation au nud 1 donne :0uuu4ug 321'31 =+++

La discrtisation centre de la condition de flux au nud 1 s'crit :

0h2

uu

y

u '33 =

ce qui implique que u3' = u3

On remplace u3' dans la discrtisation de l'quation

0uuu4ug 32131 =+++ soit 0u2uu4g 3211 =++

Ceci qui permet d'liminer le nud fictif de l'quation crite au nud 1.


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Modlisation

FN CRES

36

Remarquons que cette discrtisation vrifie simultanment l'quation et la condition limite.

On obtient donc 3 formes diffrentes de discrtisation selon la position du nud :

Nuds de la frontire

suprieure

-4 11

2

Nuds internes

-4 11

1

1

Nuds de la frontire

infrieure

-4 11

2

c Ecriture du systme dquations

0y

u=

u = g2u = g1

0y

u=

x

y

1 2

3 4

5 6

7 8Nud 1 : 0u2uu4g 3211 =++

Nud 2 : 0u2gu4u 4221 =++ Nud 3 : 0uuu4ug 54311 =+++

Nud 4 : 0ugu4uu 62423 =+++

Nud 5 : 0uuu4ug 76531 =+++

Nud 6 : 0ugu4uu 82645 =+++

Nud 7 : 0uu4u2g 8751 =++

Nud 8 : 0gu4u2u 2867 =++

La mise sous forme matricielle donne :

=

2

1

2

1

2

1

2

1

8

7

6

5

4

3

2

1

87654321

g

g

g

g

g

g

gg

u

u

u

u

u

u

uu

412

142

1411

1141

1411

1141

241214

uuuuuuuu

d Rsolution du systme dquations


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Modlisation

FN CRES

37

En prenant g1 = 1 et g2 = 2 dans un domaine carr de 1 mtre de ct, nous obtenons l'image

suivante de la solution :

u = 2u = 1

x

y

1.33

1.33

1.33

1.33

1.67

1.67

1.67

1.67

La solution dans cet exemple est un plan entre les valeurs 1 et 2 selon Ox. Ce qui vrifie

parfaitement l'quation rsoudre (toutes les drives secondes sont nulles, donc leur somme

est nulle) et les drives premires en (y) sont nulles.

5.2.3.Cas de conditions de Neumann non homognesIl n'y a pas de difficult particulire, il suffit de suivre la mthode en intgrant la condition de

flux non homogne au niveau de la discrtisation.Prenons comme exemple des conditions de flux gales f1 la frontire suprieure et f2 la

frontire infrieure.

1fy

u=

u = g2u = g1

2fy

u=

x

y

1 2

3 4

5 6

7 8

a Discrtisation du domaine dtudeCette tape est strictement identique la prcdente

b Discrtisation de lquation


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Modlisation

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38

On a exactement la mme quation que prcdemment ; elle peut tre approxime par

lexpression 0uuu4uu 1j,ij,1ij,i1j,ij,1i =+++ ++ crite au nud inconnu ui,jComme auparavant, des nuds fictifs apparaissent; on discrtise donc la condition de flux.

Prenons l'exemple du nud n1 et nommons le nud fictif 3'.

La discrtisation de l'quation au nud 1 donne :0uuu4ug 321'31 =+++

La discrtisation centre de la condition de flux au nud 1 s'crit :

2'33 f

h2

uu

y

u=

ce qui implique que 23'3 hf2uu =

On remplace u3' dans la discrtisation de l'quation

0uuu4hf2ug 321231 =+++ soit 0u2uu4hf2g 32121 =++

c Ecriture du systme dquations

1fy

u=

u = g2u = g1

2fy

u=

x

y

1 2

3 4

5 6

7 8Nud 1 : 23211 hf2u2uu4g =++

Nud 2 : 24221 hf2u2gu4u =++ Nud 3 : 0uuu4ug 54311 =+++

Nud 4 : 0ugu4uu 62423 =+++

Nud 5 : 0uuu4ug 76531 =+++

Nud 6 : 0ugu4uu 82645 =+++

Nud 7 : 18751 hf2uu4u2g =++

Nud 8 : 12867 hf2gu4u2u =++

La mise sous forme matricielle donne :

=

21

11

2

1

2

1

22

12

8

7

6

5

4

3

2

1

87654321

ghf2

ghf2

g

g

g

g

ghf2

ghf2

u

u

u

u

u

u

u

u

412

142

1411

1141

1411

1141

241

214uuuuuuuu


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Modlisation

FN CRES

39

5.3. Notions sur les erreurs de la mthode

5.3.1.Prsentation

Soit une quation aux drives partielles en u note L(u) = g o L est un oprateur

diffrentiel. Par exemple, dans lquation de Laplace, L est loprateur2

2

2

2

yx

+

, et L(u) = 0

est alors lquation 0y

u

x

u2

2

2

2

=

+

On peut alors formaliser lquation discrtise sous la forme L(u) = g o est

symboliquement le pas de discrtisation et L un oprateur algbrique, c'est--dire la faon depasser de l'EDP un systme d'quations.

La solution obtenue par la mthode des diffrences finies peut alors se noter u , cest--dire

lapproximation de u avec le pas de discrtisation .

L(u)L(u)

uu

Discrtisation

RsolutionCe que lon cherche

Reprsentativit

On peut tudier les erreurs au niveau des diffrentes tapes de ce schma (de A. Le Pouriet)

a) La discrtisation est lie la notion de consistance (ou de cohrence). Un schma dediscrtisation consistant est un schma qui reprsente bien lquation dorigine.

b) La rsolution des quations obtenues est lie la notion de stabilit de la solution.Une solution u stable doit vrifier le problme L(u) = g

c) La reprsentativit de u est lie la notion de convergence. u doit tre uneapproximation convenable de u.

d)


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Modlisation

FN CRES

40

L(u)L(u)

uu

Discrtisation

Rsolution

Reprsentativit

Consistance

Stabilit

Convergence

5.3.2.La consistanceOn appelle erreur de troncature la quantit

R(u) = L(u) L(u)cest--dire concrtement la diffrence entre le schma discrtis et lquation dorigine. On

va voir qu'on peut calculer cette quantit : c'est la magie des mathmatiques !

L(u) est dit consistant si R(u) 0 quand 0Il faut bien comprendre que si cette condition n'est pas vrifie, alors toute la discrtisations'effondre. On a vu au dbut du cours (tablissement d'une quation mcaniste) qu'on

manipulait en fait des discrtisations, par exemplex

uu ii

+1 et on a dit (et vu graphiquement)

que cette quantit tendx

u

quand x 0, donc que la diffrencex

uu

x

u ii

+1

0 quand x

0. Et effectivement, dans ce cas, c'est vrai. Mais si cela n'tait pas le cas, cela voudrait direqu'on remplace un lment par un autre qui ne lui est pas quivalent !

Reprenons lexemple prcdent en posant L(u) =2

2

2

2

y

u

x

u

+

et tudions la consistance.

Loprateur diffrentiel "drive seconde par rapport une variable w" peut se symboliser

par2

2

ww

L

= et lquation peut alors se reprsenter par :

2

2

2

2

YXy

u

x

u)u(L)u(L)u(L

+

=+=

Le dveloppement de Taylor au voisinage de x scrit :

)x(ox

u

!5

x

x

u

!4

x

x

u

!3

x

x

u

!2

x

x

ux)y,x(u)y,xx(u 6

5

55

4

44

3

33

2

22

+

+

+

=

On en dduit :

)x(ox

u

12

x

x

ux)y,x(u2)y,xx(u)y,xx(u

6

4

44

2

22 +

+

+=++

)x(ox

u

12

x

x

u

x

)y,xx(u)y,x(u2)y,xx(u 64

42

2

2

2+

=

++

44 344 213214444444 34444444 21 )u(R)u(L)u(L xxx =


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Modlisation

FN CRES

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De la mme faon, le dveloppement de Taylor au voisinage de y scrit :

)y(oy

u

!5

y

y

u

!4

y

y

u

!3

y

y

u

!2

y

y

uy)y,x(u)yy,x(u 6

5

55

4

44

3

33

2

22

+

+

+

=

On aboutit :

)y(oy

u

12

y

y

u

y

)yy,x(u)y,x(u2)yy,x(u 64

42

2

2

2+

=

++

44 344 213214444444 34444444 21)u(R)u(L)u(L yyy =

On peut sommer les 2 expressions du dessus :

)u(R)u(R)u(R)u(L)u(L)u(L)u(L)u(L)u(L yxyxyx =+==+

Lerreur de troncature totale est donc )y(o)x(oy

u

12

y

x

u

12

x)u(R 66

4

42

4

42

++

+

=

Cette quantit tend vers 0 quand x et y tendent vers 0. Le schma de discrtisation est doncconsistant.

Toutes les discrtisations, dites classiques, utilises jusqu' maintenant sont consistantes.

5.3.3.La stabilitCette notion concerne les rsolutions des systmes dquations pour lesquels on est souvent

amen mettre en uvre des algorithmes itratifs. La stabilit peut se rsumer dire quuneerreur darrondi (ou une perturbation numrique) ne doit pas samplifier au cours des calculs.

On peut imager cette notion de stabilit avec une bille et un bol.On retourne le bol et on pose la bille en quilibre. La moindre

perturbation de la bille va entraner sa chute. Cest un systme instable

(la perturbation samplifie)

A contrario, on met le bol lendroit et la bille au fond. Uneperturbation de la bille va entraner une oscillation de celle-ci au fond

du bol, mais elle va revenir un tat dquilibre. Cest un systmestable.

Ltude mathmatique de la stabilit est assez complexe et elle n'est pas dveloppe ici. Un

exemple de rsolution est propos dans les exercices illustrant l'instabilit d'un schma

numrique.

5.3.4.La convergenceLe thorme de Lax dit que s'il y a consistance et stabilit, alors il y a convergence.Autrement dit, un schma de discrtisation consistant et une mthode de rsolution stable

conduisent une solution qui est une bonne image de la solution recherche.

Dans la mthode des diffrences finies, les discrtisations vues jusqu' maintenant sontconsistantes, comme cela a dj t dit. Aussi, on s'attachera prciser uniquement les

conditions de stabilit pour vrifier la convergence.


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5.4. Cas dune EDP parabolique 1D (volut ive)

5.4.1.Position du problme et mthode

Nous allons tudier lexemple de lquation de la diffusion 1D :2

2

x

ua

t

u

=

La diffrence fondamentale par rapport au

problme prcdent est lintroduction du tempsdans lquation.

Supposons quon travaille entre 0 et L en Ox,

on obtient un domaine non born en temps sion cherche dessiner le domaine o on doit

rsoudre lquation.

0 L

xt0

t

En effet, on commence tudier le phnomne t = t0 , mais il ny a pas de frontire pour

t > 0 (en tous cas, on ne peut pas crire de condition limite un temps t1 > t0 car cela na pasde sens physique : cela voudrait dire que quelque chose qui se passe dans lavenir influence

quelque chose qui se situe dans le pass cest de la science fiction ! )

Dans un tel cas, le principe de la mthodeconsiste, connaissant la solution un pas de

temps ti calculer la solution au pas de tempsti+1 , puis connaissant cette solution ti+1, on

calcule celle ti+2 et ainsi de suite jusquau

moment o on dcide darrter les calculs.

On procde donc pas de temps par pas detemps, la premire itration se faisant partir

de la condition initiale ( t0). 0 L

x

t0

t

ti

ti+1Calcul de la solution ti+1

ti+2

Calcul de la solution ti+2

5.4.2.Les schmas typesOn va considrer des conditions limites de type Dirichlet (des conditions de flux ne posantpas de problme particulier en introduisant des nuds fictifs).

On pose la condition limite gauche = g1 et celle de droite = g2.

On rappelle quon a aussi une condition initiale t = t0 et sans ces conditions limites etinitiale, le problme physique na pas de solution.


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5.4.2.1Discrtisation du domaine dtudeLe domaine est discrtis de faon

classique en espace et en temps. Nous

avons reprsent ci-contre une partie du

maillage qui peut tre rgulier ou non entemps et en espace ; pour simplifier lescritures, nous le prendrons rgulier en

temps et rgulier en espace.

0 L

xt0

t

x x+xx-x

t

t+t

u = g1 u = g2

5.4.2.2Discrtisation de lquationNous allons considrer 3 cas pour discrtiser lquation.

Cas 1

22

2

x

)t,xx(u)t,x(u2)t,xx(u

x

u

++=

t

txuttxu

t

u

+

= ),(),(

La somme de ces 2 termes de lEDP partir de

ces 2 discrtisations introduit une quation quirelie 4 nuds du maillage. Cette quationpermet de calculer ce qui se passe linstant t +

t en fonction de linstant t de faon explicite.0 L

xt0

t

x x+xx-x

t

t+t

Schma explicite

En crivant cette quation aux n nuds inconnus du temps t + t, on obtient ce qui se passe cet instant de faon simple (n quations, chacune 1 inconnue). On parle dun schma

explicite car on peut connatre la solution en 1 nud t + t indpendamment des autresnuds t + t.La condition initiale fournira la premire ligne ( t = t0) pour pouvoir dmarrer les calculs.

Cas 2

22

2

x

)tt,xx(u)tt,x(u2)tt,xx(u

x

u

+++++=

(il ny a aucun problme crire la

discrtisation de la drive en espace linstant t + t)


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t

)t,x(u)tt,x(u

t

u

+

=

La somme de ces 2 termes de lEDP partir de

ces 2 discrtisations introduit une quation quirelie toujours 4 nuds du maillage. Cettequation ne permet pas de calculer directement

comme prcdemment ce qui se passe linstant

t + t en fonction de linstant t puisquelle relie3 nuds inconnues.

0 L

xt0

t

x x+xx-x

t

t+t

Schma implicite

Il faut donc crire le systme de n quations, chacune 3 inconnues, et le rsoudre, ce qui est

plus complexe que le schma explicite. On parle ici dun schma implicite dans la mesure ola solution nest connue qu travers ce systme dqua

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