Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications
Modélisation 3DModélisation 3D
• Réalisation d'une image de synthèse• Modélisation: représentation des formes et des dimensions
• Visualisation : couleur, matière, lumière
• Animation: mouvement, changement de scène
• Historiquement les premiers modèles sont bidimensionnels• réalisation de plan
• peu adapté à des objets complexes
• Modélisation tridimensionnelle : • représentation virtuelle d'un objet dans ses 3 dimensions
• On distingue 3 types de modèles• Fil de fer
• Modèle surfacique
• Modèle volumique
• Actuellement logiciel "orienté objets »• 3D studio, java, C++• objets: , classe, copie, instance.
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Eléments manipulés en 3DEléments manipulés en 3D
• Niveau 0• points, droites et segments• cercles et arcs de cercles• courbes
• Niveau 1• plans
• surfaces de révolution
• surfaces réglées, surfaces gauches
• surfaces fractales
• Niveau 2• cylindre, cônes, prismes…
• polyèdres quelconques
• volumes quelconques
• Formes, dimensions + position, couleur, matière
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Elements de géométrieElements de géométrie
• Coordonnées• Repère orthonormé: 3 axes X, Y et Z, un centre (0,0,0) • Plusieurs types de coordonnées
• Transformation géométrique• Rotation : centre de rotation, axe de rotation• Translation• Homothétie
• Différentes vues
X X
Y
Z Y
Z
X
Y
Z
Coord. objetCoord. écranCoord. absolues
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Modèle Fil de FerModèle Fil de Fer• Historiquement le premier
• On ne retient que les coordonnées (X,Y,Z) des sommets et les arêtes
• Conduit à des ambiguïtés
• Elimination des parties cachées
• Perspective
• Peut donner des solides sans sens physique
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Modèle surfaciqueModèle surfacique
• Permet la définition de surfaces très complexes
• Répond à de nombreux besoins de l'industrie aéronautique, automobile…
• Utilisation des modèles mathématiques d'approximation
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Construction de Courbes : ContraintesConstruction de Courbes : Contraintes
• Au niveau utilisateur• Rapidité
• Transparence
• Suite des méthodes habituelles
• l'utilisateur peut "voir" la courbe (points de contrôle)
• modification interactive
• Au niveau concepteur de systèmes
• fonctions simples et stables numériquement polynômes
• indépendance des axes forme paramétrée
• contrôle local ou global par morceaux
• ordre de continuité
• propriété de "variation décroissante"
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Comment construire une courbe d’une certaine Comment construire une courbe d’une certaine formeforme
• A main levée
• Par construction mathématique• n cherche une courbe qui “passe” par des “points”.
• => Méthodes par morceaux
• Méthodes globales
• Méthodes mixtes: splines , Bézier
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Fonctions définies par morceauxFonctions définies par morceaux
• La plus simple: linéaire par morceaux
• Plus “lisse”: cubique par morceaux
• Problèmes de raccordements• Fonction continue
• Dérivée continue
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Méthodes globalesMéthodes globales
• Interpolation de Lagrange (1800)• On calcule le polynôme qui passe exactement par les points
n inconnues <=> n conditions
• Interpolation d’Hermite • On peut ajouter des conditions sur la dérivée en chaque point
• Inconvénients en CAO• Trop de calculs, résolution de systèmes linéaires
• Résultats parfois mauvais: trop d’ondulations
• Modification d’un point?
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Fonction spline cubiqueFonction spline cubique
• Modélisation mathématique de la latte des dessinateurs (1950)• Fonction qui passe par des points donnés et qui minimise l'énergie de flexion. On l'appelle spline
cubique naturelle
• Spline cubique• Polynôme de degré 3 sur chaque intervalle
• Fonction continue
• Dérivée continue
• Dérivée seconde continue
• Modification d’un point
• Modification “locale”
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Fonction spline d'interpolationFonction spline d'interpolation
• On se donne des points de "passage"
• Sur chaque intervalle : 4 inconnues => il faut 4 conditions
• 2 conditions sur la position des points extrémités
• Inconvénients :• Calculs longs
• Modifications pas complètement locales
• Ondulations
• => Points de "passage" deviennent des points de "contrôle"
+ 2 conditions de raccordement
=> On les obtient par résolution d'un système
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Approximation B-splineApproximation B-spline
• Définition
• A partir des N+1 points ordonnées P0, P1,..... PN qui forment le polygone de contrôle, la courbe B-spline est définie par : P(u) =
• Fonction de base B-spline Ni,2(x)
• Fonction de base B-spline Ni,4(x)
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Courbes B-splineCourbes B-spline
• Influence de l’ordre
• Influence d’un point
• Splines sous-tension• On tire en chaque point =>
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Courbes de BézierCourbes de Bézier
• Représentation par polygone de contrôle• A partir des n+1 points ordonnés P0, P1,..... PN qui forment le polygone de contrôle,
la courbe Bézier est définie par : – P(u) = où Bi,n(u) = Cui(1 - u)n-i
• Le degré dépend du nombre de points de contrôle
• Modification d'un point => modification de toute la courbe
• pour n "grand" : calculs longsmodification difficile
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Courbes de Bézier compositesCourbes de Bézier composites• Juxtaposition de courbes de Bézier simples définies par les polygones de contrôle
• Raccordement C0
• Raccordement C1
• Bézier cubique définie à partir de 2 points et de la dérivée en chaque extrémité, direction et longueur (module)
• Dans les logiciels courants, manipulation de "poignées"
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Les courbes NURBSLes courbes NURBS
• NURBS : Non Uniform rational B-splines• A l’origine faites pour une meilleure approximation des coniques
(cercle, ellipse, parabole, hyperbole)
• Une courbe NURBS est définie à partir de N+1 points de contrôle P0,P1,...Pn
et de n+1 poids 0 , 1 ,…, n par:– P(u) =
• Plus de degés de liberté, les poids peuvent être positifs ou négatifs
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Courbes NURBS quadratiquesCourbes NURBS quadratiques
• Dans la pratique, souvent 3 points de contrôle P0, P1, P2
• avec 0 = 2 = 1, et 1 variable
• P(u) =
• Courbes complémentaires obtenues avec - 1
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Surfaces B-SplinesSurfaces B-Splines
• Produit tensoriel
• 2 paramètres u et v
• Réseau de points de contrôle Pi,j
• Surface B-spline P(u,v) = Pi,j Ni,k(u) Nj,p(v)
• Même propriété que les courbes splines
• la surface appartient à l'enveloppe convexe
• variation décroissante
• algorithmes de calculs rapides
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Carreaux de BézierCarreaux de Bézier
• Produit tensoriel
• 2 paramètres u et v
• Réseau de points de contrôle Pi,j
• Surface de Bézier P(u,v) = Pi,j Bi,n(u) Bj,m(v)
• Propriétés
• les frontières du carreau sont des courbes de Bézier dont les points de contrôle sont les points frontières du réseau
• la surface appartient à l'enveloppe convexe
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Surfaces biparamétriques (Bézier ou splines)Surfaces biparamétriques (Bézier ou splines)
• Recollement des carreaux de Bézier
• Réseau dégénéré
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Surfaces biparamétriquesSurfaces biparamétriques
• Modification de la surface
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Patches triangulairesPatches triangulaires
• Coordonnées barycentriques (u,v) => (r,s,t) r+s+t=1
• Surface définie sur des patches triangulaires
– P(u,v) = Ci,j,k B» où B= risjtk
• Réseau de degré 2
• Réseau de degré 10 Réseau de degré 20
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Patches triangulairesPatches triangulaires
• Réseau de degré 1 => facettes planes
• Modification de la surface
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Transformation : Objet 3D => BézierTransformation : Objet 3D => Bézier
• Transformation en Bézier
• Après passage dans 3D sculpter
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Surfaces de révolutionSurfaces de révolution• Surface créée à partir
• d'une courbe
• d'un axe de rotation
• de position de la courbe par rapport à l'axe de rotation
• d'un angle de rotation
+
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Surfaces extrudésSurfaces extrudés
• Surface créée à partir d'une courbe plane en lui donnant de l'épaisseur
• Extrusion généralisée• Une courbe plane fermée• Une trajectoire• Position et modification de la courbe plane le long de la trajectoire
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SweepingSweeping
• Construction par déplacement
• Une courbe plane
• Un axe de rotation
• Un angle de rotation
• Un déplacement
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WrapingWraping
• Construction par Déformation
• Torsion
• Enroulement
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Surfaces FractalesSurfaces Fractales
• Montagnes fractales
• Construction récursive du terrain
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Les GraftalsLes Graftals
• Construction par ramification
• Alphabet
• Règles de production
1 : 2 :
Règles de production génération 2
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Composition booléenne de volumesComposition booléenne de volumes
• Opérateur booléen : Union
• Intersection
• Différence
ou
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Modélisation volumiqueModélisation volumique• Représentation par Arbre de construction CSG
• Représentation par les limites BREP
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MorphingMorphing
• Morphing par « particule »
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MorphingMorphing
• Vrai morphing
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MorphingMorphing
• Vrai morphing
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