Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure...

Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications

Modélisation 3DModélisation 3D

• Réalisation d'une image de synthèse• Modélisation: représentation des formes et des dimensions

• Visualisation : couleur, matière, lumière

• Animation: mouvement, changement de scène

• Historiquement les premiers modèles sont bidimensionnels• réalisation de plan

• peu adapté à des objets complexes

• Modélisation tridimensionnelle : • représentation virtuelle d'un objet dans ses 3 dimensions

• On distingue 3 types de modèles• Fil de fer

• Modèle surfacique

• Modèle volumique

• Actuellement logiciel "orienté objets »• 3D studio, java, C++• objets: , classe, copie, instance.


Eléments manipulés en 3DEléments manipulés en 3D

• Niveau 0• points, droites et segments• cercles et arcs de cercles• courbes

• Niveau 1• plans

• surfaces de révolution

• surfaces réglées, surfaces gauches

• surfaces fractales

• Niveau 2• cylindre, cônes, prismes…

• polyèdres quelconques

• volumes quelconques

• Formes, dimensions + position, couleur, matière


Elements de géométrieElements de géométrie

• Coordonnées• Repère orthonormé: 3 axes X, Y et Z, un centre (0,0,0) • Plusieurs types de coordonnées

• Transformation géométrique• Rotation : centre de rotation, axe de rotation• Translation• Homothétie

• Différentes vues

X X

Y

Z Y

Z

X

Y

Z

Coord. objetCoord. écranCoord. absolues


Modèle Fil de FerModèle Fil de Fer• Historiquement le premier

• On ne retient que les coordonnées (X,Y,Z) des sommets et les arêtes

• Conduit à des ambiguïtés

• Elimination des parties cachées

• Perspective

• Peut donner des solides sans sens physique


Modèle surfaciqueModèle surfacique

• Permet la définition de surfaces très complexes

• Répond à de nombreux besoins de l'industrie aéronautique, automobile…

• Utilisation des modèles mathématiques d'approximation


Construction de Courbes : ContraintesConstruction de Courbes : Contraintes

• Au niveau utilisateur• Rapidité

• Transparence

• Suite des méthodes habituelles

• l'utilisateur peut "voir" la courbe (points de contrôle)

• modification interactive

• Au niveau concepteur de systèmes

• fonctions simples et stables numériquement polynômes

• indépendance des axes forme paramétrée

• contrôle local ou global par morceaux

• ordre de continuité

• propriété de "variation décroissante"


Comment construire une courbe d’une certaine Comment construire une courbe d’une certaine formeforme

• A main levée

• Par construction mathématique• n cherche une courbe qui “passe” par des “points”.

• => Méthodes par morceaux

• Méthodes globales

• Méthodes mixtes: splines , Bézier


Fonctions définies par morceauxFonctions définies par morceaux

• La plus simple: linéaire par morceaux

• Plus “lisse”: cubique par morceaux

• Problèmes de raccordements• Fonction continue

• Dérivée continue


Méthodes globalesMéthodes globales

• Interpolation de Lagrange (1800)• On calcule le polynôme qui passe exactement par les points

n inconnues <=> n conditions

• Interpolation d’Hermite • On peut ajouter des conditions sur la dérivée en chaque point

• Inconvénients en CAO• Trop de calculs, résolution de systèmes linéaires

• Résultats parfois mauvais: trop d’ondulations

• Modification d’un point?


Fonction spline cubiqueFonction spline cubique

• Modélisation mathématique de la latte des dessinateurs (1950)• Fonction qui passe par des points donnés et qui minimise l'énergie de flexion. On l'appelle spline

cubique naturelle

• Spline cubique• Polynôme de degré 3 sur chaque intervalle

• Fonction continue

• Dérivée continue

• Dérivée seconde continue

• Modification d’un point

• Modification “locale”


Fonction spline d'interpolationFonction spline d'interpolation

• On se donne des points de "passage"

• Sur chaque intervalle : 4 inconnues => il faut 4 conditions

• 2 conditions sur la position des points extrémités

• Inconvénients :• Calculs longs

• Modifications pas complètement locales

• Ondulations

• => Points de "passage" deviennent des points de "contrôle"

+ 2 conditions de raccordement

=> On les obtient par résolution d'un système


Approximation B-splineApproximation B-spline

• Définition

• A partir des N+1 points ordonnées P0, P1,..... PN qui forment le polygone de contrôle, la courbe B-spline est définie par : P(u) =

• Fonction de base B-spline Ni,2(x)

• Fonction de base B-spline Ni,4(x)


Courbes B-splineCourbes B-spline

• Influence de l’ordre

• Influence d’un point

• Splines sous-tension• On tire en chaque point =>


Courbes de BézierCourbes de Bézier

• Représentation par polygone de contrôle• A partir des n+1 points ordonnés P0, P1,..... PN qui forment le polygone de contrôle,

la courbe Bézier est définie par : – P(u) = où Bi,n(u) = Cui(1 - u)n-i

• Le degré dépend du nombre de points de contrôle

• Modification d'un point => modification de toute la courbe

• pour n "grand" : calculs longsmodification difficile


Courbes de Bézier compositesCourbes de Bézier composites• Juxtaposition de courbes de Bézier simples définies par les polygones de contrôle

• Raccordement C0

• Raccordement C1

• Bézier cubique définie à partir de 2 points et de la dérivée en chaque extrémité, direction et longueur (module)

• Dans les logiciels courants, manipulation de "poignées"


Les courbes NURBSLes courbes NURBS

• NURBS : Non Uniform rational B-splines• A l’origine faites pour une meilleure approximation des coniques

(cercle, ellipse, parabole, hyperbole)

• Une courbe NURBS est définie à partir de N+1 points de contrôle P0,P1,...Pn

et de n+1 poids 0 , 1 ,…, n par:– P(u) =

• Plus de degés de liberté, les poids peuvent être positifs ou négatifs


Courbes NURBS quadratiquesCourbes NURBS quadratiques

• Dans la pratique, souvent 3 points de contrôle P0, P1, P2

• avec 0 = 2 = 1, et 1 variable

• P(u) =

• Courbes complémentaires obtenues avec - 1


Surfaces B-SplinesSurfaces B-Splines

• Produit tensoriel

• 2 paramètres u et v

• Réseau de points de contrôle Pi,j

• Surface B-spline P(u,v) = Pi,j Ni,k(u) Nj,p(v)

• Même propriété que les courbes splines

• la surface appartient à l'enveloppe convexe

• variation décroissante

• algorithmes de calculs rapides


Carreaux de BézierCarreaux de Bézier

• Produit tensoriel

• 2 paramètres u et v

• Réseau de points de contrôle Pi,j

• Surface de Bézier P(u,v) = Pi,j Bi,n(u) Bj,m(v)

• Propriétés

• les frontières du carreau sont des courbes de Bézier dont les points de contrôle sont les points frontières du réseau

• la surface appartient à l'enveloppe convexe


Surfaces biparamétriques (Bézier ou splines)Surfaces biparamétriques (Bézier ou splines)

• Recollement des carreaux de Bézier

• Réseau dégénéré


Surfaces biparamétriquesSurfaces biparamétriques

• Modification de la surface


Patches triangulairesPatches triangulaires

• Coordonnées barycentriques (u,v) => (r,s,t) r+s+t=1

• Surface définie sur des patches triangulaires

– P(u,v) = Ci,j,k B» où B= risjtk

• Réseau de degré 2

• Réseau de degré 10 Réseau de degré 20


Patches triangulairesPatches triangulaires

• Réseau de degré 1 => facettes planes

• Modification de la surface


Transformation : Objet 3D => BézierTransformation : Objet 3D => Bézier

• Transformation en Bézier

• Après passage dans 3D sculpter


Surfaces de révolutionSurfaces de révolution• Surface créée à partir

• d'une courbe

• d'un axe de rotation

• de position de la courbe par rapport à l'axe de rotation

• d'un angle de rotation

+


Surfaces extrudésSurfaces extrudés

• Surface créée à partir d'une courbe plane en lui donnant de l'épaisseur

• Extrusion généralisée• Une courbe plane fermée• Une trajectoire• Position et modification de la courbe plane le long de la trajectoire


SweepingSweeping

• Construction par déplacement

• Une courbe plane

• Un axe de rotation

• Un angle de rotation

• Un déplacement


WrapingWraping

• Construction par Déformation

• Torsion

• Enroulement


Surfaces FractalesSurfaces Fractales

• Montagnes fractales

• Construction récursive du terrain


Les GraftalsLes Graftals

• Construction par ramification

• Alphabet

• Règles de production

1 : 2 :

Règles de production génération 2


Composition booléenne de volumesComposition booléenne de volumes

• Opérateur booléen : Union

• Intersection

• Différence

ou


Modélisation volumiqueModélisation volumique• Représentation par Arbre de construction CSG

• Représentation par les limites BREP


MorphingMorphing

• Morphing par « particule »


MorphingMorphing

• Vrai morphing

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