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UNIVERSIT DE LA MDITERRANE - AIX-MARSEILLE II
DESS DES TECHNIQUES DE L'ESPACE
MCANIQUE SPATIALE
Robert GUIZIOU
Mise jour le 16 juin 2000
Technople de Chteau-Gombert
60, rue Joliot Curie - 13453 MARSEILLE CEDEX 13 - Tl :04.91.11.38.02 - Fax : 04.91.11.38.38
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SOMMAIRE
A- Les Mouvements Kperiens ................................................................ 3
CHAPITRE 1-CONSTANTES PHYSIQUES SPATIALES DU SYSTEME SOLAIRE....... 5
CHAPITRE2-MOUVEMENTS KEPELERIENS.......................................................... 9
CHAPITRE3-PARAMETRAGE DU MOUVEMENT.................................................. 29
CHAPITRE4-PARAMETRES ORBITAUX................................................................ 35
CHAPITRE5-PARAMETRES DINJECTION........................................................... 43CHAPITRE 6-TRGIONOMETRIE SPHERIQUE....................................................... 51
CHAPITRE 7-POINTS SURVOLES.......................................................................... 55
CHAPITRE 8-CHANGEMENT DORBITES............................................................. 65
CHAPITRE9-ETUDE DE LORBITE GEOSTATIONNAIRE..................................... 75
CHAPITRE 10-PROBLEME DE GIBBS................................................................... 93
CHAPITRE 11-ECLIPSE -VISIBILITE................................................................... 95
B- Pertubations orbi tales ..................................................................... 101
CHAPITRE 1-PERTURBATIONS ORBITALES....................................................... 103
CHAPITRE2-HELIOSYNCHRONISME................................................................. 113
CHAPITRE3-FREINAGE ATMOSPHERIQUEDUREE DE VIE.......................... 123
CHAPITRE4-PERTUBATION LUNI-SOLAIRE ..................................................... 129
C- Voyages interplantaires ................................................................. 134
D- Rentre dans une atmosphre ........................................................ 161
CHAPITRE 1-MANUVRE DE RENTREE............................................................ 163
CHAPITRE2-RENTREE DALLEN ....................................................................... 175
CHAPITRE3-RENTREE DE CHAPMAN................................................................ 181
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A- LES MOUVEMENTS KPLERIENS
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4 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 5
Chapitre 1
CONSTANTES PHYSIQUES SPATIALES
DU SYSTEME SOLAIRE
Le lecteur trouvera ici les principales constantes associes aux corps du systme solaire :- Constantes physiques.- Caractristiques du systme solaire.
1- CONSTANTES PHYSIQUES -Notation Valeur Unit Signification
G 6.67 10-11 M3s-2kg-1 Constante de gravitation universelle
J2 1.08253 10-8 sans Coefficient du dveloppement en srie du potentiel terrestre
J3 -2,54 10-6 sans Coefficient du dveloppement en srie du potentiel terrestre
TT 86164,1 s Priode sidrale de la Terre
Rte 6378,14 km Rayon quatorial terrestre
F 3.352836 10-3 sans Aplatissement de l'ellipsode terrestreGe 9.78033 ms-2 Acclration de la pesanteur au niveau de l'quateur
39.860064 1013 m3s-2 Constante de gravitation terrestre
S/T 1.99099299 10-7 rd.s-1 Vitesse angulaire moyenne du soleil par rapport la Terre
T 7,292115 10-5 rd.s-1 Vitesse angulaire moyenne de la Terre autour de son axe
1 UA 149,59787 106 km Unit astronomique = distance moyenne Terre-Soleil
S 13,371244 1019 m3s-2 Constante de gravitation solaire
L 4,9027989 1012 m3s-2 Constante de gravitation lunaire
23 27' Inclinaison de l'quateur terrestre sur l'cliptique
2- CARACTERISTIQUES DES PLANETES -
Vous ne trouverez pas ici le dtail exhaustif des proprits des plantes, mais seulement
les caractristiques essentielles, ncessaires ce cours. Les ouvrages spcialiss vous
renseigneront pour tout le reste.
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6 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
2-1- Positionnement en distance partir du soleil -
Mercure - Vnus - Terre- Mars - Jupiter - Saturne - Uranus - Neptune Pluton.
2-2- Caractristiques orbitales -
d : distance moyenne au soleil en 106km
e : excentricit de l'orbite
i : inclinaison de l'orbite sur l'cliptique en degrs
= GM: constante de gravitation de la plante, en km3s-2
T : priode orbitale en jours (j) ou annes (a)
Nom d e i TMercure 57,9 0,206 7 2,192 10
4 88 j
Vnus 108,2 0,007 3,4 32,486 104 224,7 j
Terre 149,6 0,167 0 39,86 104 365,26 j
Mars 227,9 0,093 1,9 4,305 104 687 j
Jupiter 778,3 0,048 1,3 1,267 108
11,86 a
Saturne 1427 0,056 2,5 3,795 107 29,46 a
Uranus 2869,6 0,047 0,8 5,82 106 84,01 a
Neptune 4496,6 0,009 1,8 6,85 106
164,8 a
Pluton 5900 0,25 17,2 ? 247,7 a
2-3- Rayons des plantes et environnement -
Nom Rayon (km) Atmosphre
Mercure 2440 sans
Vnus 6052 Gaz carbonique
Terre 6378 Azote + Oxygne
Mars 3393 Gaz carbonique
Jupiter 71400 Hydrogne + HliumSaturne 60000 Hydrogne + Hlium
Uranus 25900 Hydrogne + Hlium
Neptune 24750 Hydrogne + Hlium
Pluton 3000 sans
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 7
3- JOUR SOLAIRE MOYEN -
Notre vie sur Terre est rythme par le mouvement apparent du soleil.
Le jour solaire moyen de 24 h = 86400 secondes, est le temps moyen, au cours de l'anne
qui spare deux passages conscutifs du soleil dans un mme mridien donn.
T=2
TES/ T=
2
2
86164,1
2
365, 25* 86400
= 86400 s
On peut aussi dire qu'en une anne de 365.25 jours solaires moyens, la Terre fait un tour de
plus sur elle-mme que la ligne vernale , c'est dire une anne sidrale de 366.25 jours
sidraux, donc nous avons aussi :
1 jour solaire moyen =366,25 * 86164,1
365,25= 86400s
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8 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 9
Chapitre 2
MOUVEMENTS KEPLERIENS
1- HISTORIQUE -
Pour fixer les ides de l'tude du mouvement des corps clestes, quelques dates sont
ncessaires :
- 1602 : KEPLER observe que les rayons vecteurs des plantes balaient des airesgales en des temps gaux. C'est la fameuse LOI DES AIRES.
- 1605 : Toujours par l'observation, KEPLER identifie les orbites des plantes desellipses de foyer le Soleil. Plus tard, NEWTON qui retrouvera par le calcul
diffrentiel ces trajectoires coniques, en dduira la loi de la gravitation.
- 1618 : de nouvelles mesures permettent d'tablir la loi des priodes, savoir :Cste
a
T=
3
2
- 1667 : NEWTON maintenant muni de la thorie du calcul diffrentiel et intgral,reprend les observations de KEPLER et nonant la loi de la gravitation
universelle, confirme toutes les lois de KEPLER et ouvre ainsi la priode du
dterminisme scientifique et la voie la conqute spatiale.
2- LOI DE LA GRAVITATION -
2-1- Enonc en hypothse newtonienne -
Sans revenir au point matriel, nonons :
Tout corps sphrique de centre O, homogne par couches concentriques, de masse M,
exerce sur un point S de masse m situ une distance r du point O, une force attractive F,
donne par :
rr
MmGu
r
MmGF
32
rrr==
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10 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
G = 6.67 10-11 m3kg-1s-2constante de la gravitation universelle.
Les conditions restrictives sur la forme du corps attirant, forment l'hypothse
newtonienne. La mcanique nous apprend par ailleurs qu'une telle force ne dpendant que
du rayon vecteur, drive d'un potentiel U dit POTENTIEL NEWTONIEN :
r
MmGFUgradUu
r
MmGF
2 ====
rrr
2-2- Valeurs numriques du systme solaire -
Les masses des corps principaux attirants, sont normes, par exemple la Terre MT =
5.976 1024 kg, le soleil dont la masse est environ 300000 fois celle de la Terre, etc
On voit donc que le produit GM fait intervenir la constante G trs petite et la masse trs
grande d'un astre, les astrophysiciens ont donc dcid de ne faire intervenir qu'une seule
constante caractristique de la gravitation cre par l'astre le produit GM, appel
CONSTANTE DE GRAVITATION DE L'ASTRE note =GM.
Par exemple pour la Terre et le soleil on a :
23102319s
2342313T
skm102713sm102713
skm108639sm108639
==
==
..
..
Donnons ci-dessous les caractristiques principales des corps du systme solaire,
constante m, demi-grand axe a de l'orbite elliptique, excentricit e, inclinaison i du plan
orbital sur l'cliptique
NB : L'cliptique est le plan de l'orbite de la Terre. RAYON TERRESTRE = 6378 km
l'quateur.
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 11
Astre m en km3s
-2a en 10
6km e I
Soleil 13.27 1010
Mercure 2.232 104 57.9 0.22056 7.004
Vnus 3.257105 108.1 0.0068 3.394
Terre 39.86 104 149.6 0.0167 0
Mars 4.305 104 227.8 0.0934 1.85
Jupiter 126.8 106 778 0.0482 1.306
Saturne 37.95 106 1426 0.0539 2489
Uranus 5.820 106 2868 0.0514 0773
Neptune 6.896 106 4494 0.0050 1.773
Pluton 3.587 103 5896 0.25583 17.136
Lune 4.903 103 384000 Km/ Terre 5.1/quateur
3- MISE EN PLACE DU CADRE DE L'ETUDE -
Nous allons subir trois contraintes, dans l'tude du mouvement d'un satellite ou d'une
sonde spatiale :
- Travailler en repre inertiel.- Utiliser le potentiel newtonien U.- Ne conserver que 2 corps en interaction, car il a t prouv par le mathmaticien
Poincar que le problme des 3 corps n'avait pas de solution exprimable par des
fonctions lmentaires.
L'ensemble de ces conditions constitue le cas newtonien simplifi.
3-1- Problme des deux corps en interaction de gravitation -
M1ET M2sont les deux corps de masses m1et m2, de centre d'inertie G.
La mcanique classique nous indique que pour un systme isol, le centre d'inertie G a
un mouvement rectiligne uniforme. Le principe de relativit de Galile permet de choisir G
comme origine d'un repre inertiel Ra. Bien sr, en pratique ce n'est pas trs commode
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12 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
parce que l'tude du mouvement est en gnral rapporte un repre R relatif, non inertiel,
d'origine l'un des corps. C'est ce problme que nous abordons.
a- Repres -
b- Equations du mouvement -
La loi fondamentale applique dans Ra donne les relations suivantes
rr
mmGFrmr
r
mmGFrm
321
22321
11rr&&rr
r&&r ====
La gomtrie du centre d'inertie fournit :
rmm
mrr
mm
mrrrr
21
12
21
2112
rrrrrrr
+=
+=+=
c-. Transformation du problme -
Si on imagine que M1 est la plante intressante pour suivre le mouvement du
satellite, alors il faut former une quation vrifie par le rayon vecteur. Le lecteur fera les
calculs simples qui conduisent :
rr
mmGMFor
mm
mmM
321
21
21 rr&&r ==+
=
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 13
Ce rsultat montre que le repre relatif R, d'origine M1, peut tre considr comme
galilen, condition de remplacer la masse m2du corps attir M2par la MASSE REDUITE
M ci-dessous :
21
21
mm
mmM
+=
d- Cas particulier -
En gnral, sauf pour les astronomes s'occupant des corps clestes de masses non
ngligeables, nous nous intressons au mouvement d'un satellite de masse m infiniment
petite devant la masse M du corps principal. Dans ces conditions la masse rduite est gale
la masse inertielle m. Ce sera notre cas dans tout le cours.
3-2- Notion de sphre dinfluence dune plante -
Le problme des 3 corps est prsent dans toute mission, mme en excluant, ce qui est
lgitime, les actions des plantes lointaines.
En effet, prenons une mission telle que Galilo, lance pour tudier l'environnement de
Jupiter.
La sonde passe par trois phases bien distinctes :
- Le dpart sous l'action de la Terre, du soleil. On pressent bien que l'attractionterrestre est prdominante.
- La phase hliocentrique o probablement les actions des plantes devraientpouvoir tre ngliges.
- L'arrive dans les parages de Jupiter, o certainement l'attraction de Jupiter finirapar devenir prpondrante.
QUESTION : A quelle distance de la plante pourra-t-on estimer que l'on peut ngliger son
attraction devant celle du soleil ? Et peut-on prs de la plante "oublier" la perturbation
solaire ?
EQUATIONS DU MOUVEMENT RAPPORTEES A CHAQUE REPERE :
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14 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
Set Pdsignent les constantes de gravitation du soleil et de la plante. Sur la figure,
on lit r1, r2, r les rayons vecteurs, u1, u2, v, les unitaires des rayons vecteurs de reprage.
Nous considrons un repre hliocentrique, directions stellaires, comme un excellent
repre inertiel ou galilen, not Ra. R dsignera un repre "quipollent" Ra mais, relatif,
d'origine une plante P (pour exemple le Terre). M est le satellite ou la sonde de masse m,
en mouvement sous l'action du soleil et de la plante.
La loi fondamentale applique la sonde M dans Ra donne :
( )T
2
p12
1
s1T
MSa
ru
rrFFMm
+=+=
r&&rrrr
Le premier terme sera considr comme attraction principale du corps central, origine
du repre, le second comme perturbation due la plante. Applique la Terre, et en
ngligeant l'attraction sonde sur Terre, devant celle du soleil, il vient :
( ) ( ) ( )Mur
TFTm e222
sa
MSa ===
rrrrr
o edsigne, en terme de composition des mouvements, l'acclration d'entranement du
point M du repre R, par rapport Ra. On notera que l'acclration de CORIOLIS est nulle.
En repre relatif, on a :
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 15
( )S
121
s22
2
s
2
peT
MSR u
ru
ru
rrmFFMm
+=+=
rrr&&rrrrr
Comme plus haut, nous faisons apparatre l'attraction principale due la plante et un
terme entre crochets qui reprsente la contribution du soleil, considre comme une
perturbation.
INTRODUCTION DE LA NOTION DE SPHERE D'INFLUENCE :
Le but poursuivi est de ngliger le terme perturbateur devant l'attraction principale,
mais alors quel est le repre dans lequel l'approximation est la meilleure? La rponse est
apporte par la comparaison des deux rapports suivants :
12
p
S2
1
s22
2
s
p
121
S
T2
p
s
ur
1ur
ur
ur
ur
r
rr
r
r
=
=
CONCLUSION :
L'galit entre les deux rapports dfinit une surface entourant la plante, trs voisined'une sphre, appele sphre d'influence de la plante.
S= P Relation de dfinition de la sphre d'influence
S< P Il vaut mieux travailler en repre hliocentrique, c'est le cas de la partie
hliocentrique d'un voyage interplantaire. Hors sphre dinfluence, la
perturbation plante est nglige, seule L'ATTRACTION SOLAIRE agit.
S> P Il vaut mieux travailler en repre plantocentrique, c'est le cas de la phase
de dpart d'un voyage interplantaire ou des mouvements des satellites
artificiels au voisinage de la plante. Dans la sphre dinfluence, la
perturbation solaire est nglige, seule L'ATTRACTION PLANETE agit.
Naturellement, les affirmations ci-dessus n'ont de sens que si:
- La sphre d'influence a un rayon suprieur celui de la plante. voir calcul durayon en exercice. Le calcul donne pour la Terre Rsphre= 924000 km
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16 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
- L'approximation n'est pas grossire. Voir calcul de l'erreur commise pour ungostationnaire ce la Terre. Le calcul donne une erreur relative de 1.5 10-5
Donnons une relation classique du rayon moyen de la sphre d'influence
plante)(soleildistanceD
influenced'Sphre
=
=
5
2
s
pDR
3-4- Points de LAGRANGE -
Prsentons ici, sans dveloppement thorique et seulement titre d'information, lanotion de sphre de point de Lagrange. Vous trouverez la thorie dtaille dans tous les
ouvrages de mcanique spatiale avance.
Il faut disposer d'un systme isol de 3 corps, par exemple le Soleil O en corps
principal, la Terre P comme astre secondaire sur orbite circulaire et une sonde spatiale M.
Dans le bilan des masses, la sonde n'apparat pas et pour un systme isol, le centre
d'inertie G de ce systme est donc en mouvement rectiligne uniforme dans un repre
galilen. G peut donc tre considr comme fixe et origine lui-mme d'un autre repregalilen Ra : G XaYaZa(non explicit sur la figure).
Dans Ra, la loi fondamentale s'applique en toute rigueur, mais elle n'est pas
intressante. Par contre, on peut introduire un repre relatif R GXYZ, tournant avec la ligne
OP une vitesse angulaire constante, ce qui est le cas pour la Terre avec une excellente
approximation.
Nous savons que R peut tre accept comme repre absolu si on ajoute aux forces
physiques classiques de gravitation les "forces dites d'inertie" de Coriolis et d'entranement
cette dernire appele "force centrifuge".
Proposons-nous de dterminer des points d'quilibre de M dans le champ des forces de
gravitation et d'inerties. Il est clair alors que la force d'inertie de Coriolis disparat
l'quilibre, puisque la vitesse relative R est nulle (quilibre dans R). Le lecteur se
convaincra aisment qu'un tel quilibre est possible dans le plan GXY pour 5 positions
distinctes L1 L2 L3 L4 L5. Ces points sont appels POINTS DE LAGRANGE du systme
astre principal O et plante P.
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 17
Il est trs facile de vrifier que les points L1 L2 L3 sur l'axe OP sont instables. Il est
plus difficile de montrer que dans le plan GXY les points de Lagrange L4 et L5 sont
stables. Ces points sont mis profit, dans le systme Terre-Soleil, pour y placer unobservatoire fixe par rapport au Soleil, comme la sonde SOHO, lance en novembre 1995.
D'ailleurs, on peut observer que naturellement, dans le systme Soleil-Jupiter, des
satellites dits galilens de Jupiter qui restent en quilibre aux points de Lagrange L4 et L5.
NB : naturellement aucune force ne peut contrler le mouvement perpendiculaire au plan
GXY, ce qui demande un contrle en permanence mais trs faible consommation d'ergols.
3-5- Repres de calcul adopts -
a- Mouvements autour de la Terre -
A la lumire des rsultats prcdents :
- En ngligeant les perturbations solaires (et lunaire) devant l'attraction principaleterrestre, donc en travaillant dans la sphre d'influence de la Terre.
- En remarquant que pour un satellite, la masse rduite est gale la masseinertielle.
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18 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
On peut choisir un repre inertiel Ra, appel GEOCENTRIQUE EQUATORIAL,
d'origine le centre Terre et de directions stellaires. Lequel ?
Conventionnellement, les spcialistes de l'espace et de l'astronomie, ont convenu de
prendre un repre associ au jour 2000
SYSTEME DE COORDONNEES J2000 : La date de rfrence est le 1/1/2000 12 h TU,
considr comme origine 0 des jours juliens.
- Origine centre Terre- Troisime axe K ou Z, l'axe de la rotation terrestre (considr comme fixe, mais
en ralit drivant avec la prcession de Hipparque 50" arc/an autour du nord
cliptique, dans le sens rtrograde)
- Premier axe I ou X, unitaire de la ligne vernale g2000, qui est l'intersection du planquatorial moyen de la Terre et de l'cliptique le 1/1/2000 12 h, cet axe pointe
donc depuis le centre Terre, le soleil au premier instant du printemps de l'an 2000.
Mouvements autour du soleil :
NB : le calendrier julien est un calendrier o les dates sont comptes linaires et dcimales,
avec origine le 1/1/2000 12 TU, par exemple le 25/12/1999 11h 24mn 45s = -7.0244792
JJ (Voir routine J_JULIEN.EXE)
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 19
Nous savons que l'cliptique est le plan de l'orbite terrestre, donc la ligne vernale ou
axe I du repre gocentrique quatorial, appartient ce plan. On peut donc dfinir, un autre
repre inertiel, pour les mouvements hliocentriques, le REPERE HELIOCENTRIQUEECLIPTIQUE, XE = I, YE, ZE, qui se dduit du prcdent par une rotation autour de I
d'angle -2327'.
4- GRANDES LOIS DU MOUVEMENT -
Nous allons tablir deux intgrales premires du mouvement, traduisant deux
conservations importantes.
4-1- Conservation du moment cintique = Loi des Aires -
La force de gravitation newtonienne est centrale, donc de moment nul au centre O du
corps principal. Il en rsulte la conservation du vecteur moment cintique, soit :
WKVrVrhhmVmrH 00rrrrrrrrrr
=====
Le vecteur est l'unitaire de H ou de hr
appel MOMENT CINETIQUE rduit. K
s'appelle la CONSTANTE DES AIRES.
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20 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
Consquences : Le mouvement du satellite est plan, dans un plan fixe, passant par O et
orient par le moment cintique rduit h. On retrouve une des lois de KEPLER.
La figure ci-dessous rassemble les lments essentiels des coordonnes polaires, utiles
ce cours.
R, sont le rayon vecteur, mesur positivement sur l'unitaire u, et l'angle polaire mesur >0
autour d.
- u et v sont les axes associs aux coordonnes polaires. u le RADIAL, vl'orthoradial
- S(t) est la position courante S(t0) la position l'instant initial t0.- V est le vecteur vitesse absolue, de composantes V r sur le radial, V sur
l'orthoradial.
- est la pente absolue de la vitesse, compte positive (comme sur la figure) quandle vecteur vitesse est au dessus de l'horizontale locale.
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 21
- La zone colorie en bleu est l'aire A balaye par le rayon vecteur entre t 0et t.On rappelle quelques rsultats :
dt
dA2rVVrrVrhK
vVuVvrurdt
rdV
0002 ======
+=+==
coscos
cossin
&rrr
rrr&r&rr
la dernire relation donne son nom la loi des aires, puisque la drive de l'aire balaye est
constante.
4-2- Conservation de lnergie mcanique -
S'il est un endroit de l'univers o les lois de la mcanique sont parfaitement vrifiables,
c'est bien l'espace, parce que le frottement ou les causes de dissipation y sont extrmement
faibles. Dans le champ d'une seule force drivant d'un potentiel, le mouvement vrifie la
CONSERVATION DE L'ENERGIE MECANIQUE.
On aboutit ainsi l'quation dite de l'nergie, dans laquelle E dsigne l'ENERGIE
SPECIFIQUE c'est dire par kg envoy.
0
20
22cm
rV
21
rV
21EmE
rmmV
21UEE ====+=
APPLICATION : DEUXIEME VITESSE COSMIQUE
On appelle deuxime vitesse cosmique la distance r0, la vitesse minimale
ncessaire pour se librer de l'attraction de l'astre. En d'autres termes la trajectoire doit
avoir une branche infinie, donc quand r tend vers l'infini, V doit rester calculable, ce qui
ncessite une nergie spcifique positive E > 0.
Dans ces conditions la vitesse est donne par :
Numriquement, pour la Terre 200 km/sol, V2est voisine de 11 km/s :
( ) ( )0
0102r
2rVrV
==
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22 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
NB : Vous rflchirez cette question. Pourquoi les petites plantes n'ont-elles pas
d'atmosphre alors que les grosses ont pu conserver la leur ? Rponse avec vitesse de
libration et agitation molculaire, mettre en forme.
5- OU L'ON RETROUVE QUE LES TRAJECTOIRES SONT DESCONIQUES -
5-1- Equation polaire de la trajectoire -
Plaons nous dans le plan orbital, en coordonnes polaires (voir figure plus haut).
Nous possdons 2 intgrales premires dpendant des deux constantes essentielles E etK.
222222 rrVrKr
V2
1E &&& +=== &&
L'limination de q entre les deux quations donne:
2
2
2
Kr
KE2
r
K
r
2E2
dt
dr
=+=
2
2
2
2
2
2
2
KE2
Kr
K
1
KE2
Kr
K
d
Kr
KE2
r
K
dr
dt
dt
d
dr
d
+
+
=
==
Le lecteur achvera un calcul maintenant vident qui fournit l'quation polaire de la
trajectoire.
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 23
( )
( )02
2
2
0 EK2
11
K
e1
pr
++
=+
=
cos
cos
5-2- Conclusions -
On reconnat l'quation d'une conique dont les lments caractristiques sont :
Excentricit
2
2EK2
1e +=
Paramtre K
p
2
=
Angle polaire du prige 0
Rappels : K = V0r0cos0a2r
V2
1
rV
2
1E
0
20
2 ===
Nous ne connaissons que trois types de coniques.
- La parabole correspondant e=1 ou E=0, physiquement irralisable, car laprobabilit de raliser un tir d'nergie nulle, est nulle.
- L'ELLIPSE, trs courante, pour e
7/22/2019 mecanique_spatiale
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24 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
Les conditions initiales sont strictes, le lecteur le vrifiera :
0rV 000 ==
&
QUELQUES REPERES NUMERIQUES :
- Premire vitesse cosmique : Conventionnellement, bien qu'elle n'ait pas de ralitphysique, c'est la vitesse ncessaire pour se placer en orbite circulaire au ras du
sol terrestre, elle ncessite V0= 7.9 km/s.
- Vitesse en orbite basse d'altitude Z = 230 km, V0= 7.766 km/s, c'est la vitessepratique par Gagarine et Glenn, lors de leur premier vol circumterrestre.
- Vitesse en orbite gostationnaire, elle sera calcule plus tard et vaut V0= 3.075km/s
- Vitesse de la lune : sensiblement en orbite circulaire vers 384000 km du centre dela Terre, V0= 1.018 km/s.
5-3- Longueurs et relations remarquables dans lellipse -
Une figure illustre clairement les dfinitions suivantes.
a- Longueurs remarquables-
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 25
- a demi grand axe, 2a = AP.- A est l'apoge, point le plus loign du centre O.- P est le prige, point le plus rapproch du centre O.- b demi petit axe, b = IB, I est le centre.- c demi distance focale, c = OI, o O est le foyer actif.
b- Relations remarquables -
Nous les donnons sans dmonstration, renvoyant le lecteur aux traits classiques de
gomtrie.
( )( ) ( )
e1
pe1ar
e1
pe1ar
e1abe1ap
a
cecba
ap
22
222
=+=
+==
==
=+=
c- Dfinition bifocale de l'ellipse
Une ellipse est l'ensemble des points du plan dont la somme des distances 2 points
fixes O et F est constante et gale 2a. De plus la TANGENTE EN M l'ellipse est
BISSECTRICE EXTERIEURE DE L'ANGLE DES RAYONS VECTEURS
d- Priode orbitale -
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26 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
La loi des aires permet de calculer la priode orbitale kplrienne T. En effet l'aire A de
l'ellipse vaut A = ab :
( ) ( ) 2222 e1aabT2
e1aA
2
e1a
2
K
dt
dA==
=
==
2
3
2 4
a
Taa2T ==
Nous retrouvons ainsi une des lois de KEPLER les plus remarquables.
NB : On peut ds lors calculer le rayon de l'orbite gostationnaire, puisque la priode
orbitale est celle de la Terre, soit T = 23 h 56 mn 04,1 s = 86164,1 s. Le calcul donne alors
rg= 42164 km.
5-4- Energie et demi-grand axe -
Il existe une relation remarquable entre E et a, que nous tablissons pour une ellipse :
( ) a2E
e1aK
p
EK21e
22
2
2
=
==
+=
Pour l'hyperbole il suffit de changer de signe.
6- RESUME DES EQUATIONS -
Pour tout ce qui concerne le calcul des vitesses et des angles sur une trajectoire
kplrienne, les quations de conservation sont suffisantes. Nous nous limitons l'ellipse etdonnerons plus loin les relations propres l'hyperbole.
6-1- Conservations -
Equation de l'nergie :a2r
V2
1
rV
2
1E
0
20
2 ===
Conservation du moment cintique ou mieux LOI DES AIRES :
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 27
( )2
ppaa
0p02
e1arVrVK
rVVrrK
===
===
coscos&
6-2- Quelques relations courantes -
Pour l'ellipse :
e1
e1
aV
e1
e1
aV
ee21
e
Vpe
VVVrV
ap
2
0r
+
=+
=
++==
===
cos
sinsinsin
cossin&
7- ERREURS DE TIR -
Nous nous intressons ici, aux consquences des erreurs sur l'orbite, commises sur la
vitesse de tir V0, la distance r0, l'angle de tir 0. En clair, uniquement les variations de forme
de l'orbite mais pas le plan orbital lui-mme.
Soit X un paramtre quelconque li au mouvement (a, e, p, ra, rp, T, Vp, Va, ), il est
uniquement fonction des paramtres V0, r0, 0, soit X = f(V0, r0, 0). Imaginons des
dispersions de tir dV0, dr0, d0petites, comment calculer les consquences sur X. De toutevidence l'outil mathmatique est la diffrentielle.
00
00
00
dX
drr
XdV
V
XdX
+
+
=
NB : Surtout ne pas calculer les drives partielles, mais travailler numriquement, avec
des variables intermdiaires.
EXEMPLE SUR LA PERIODE T :
On dispose des liens suivants :
( )
2
3
2
0
20000
4
a
T
a2rV
2
1ErV ===,,
Le calcul des diffrentielles en cascade donne :
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28 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
0020
00
020
002
d0drr
aT3dVaTV3dT
drr
dVVdaa2a
da3
T
dT2
++=
+== &
fournissant les drives partielles, qui sont les facteurs d'amplification des erreurs.
De manire gnrale, vous utiliserez les tableaux de drives donns ci-dessous, pour
obtenir toute erreur sur un paramtre.
ORBITES CIRCULAIRES
0T
r
T3
r
T
V
T3
V
T
0a
2r
a
V
r2
V
a
0e
r
1
r
e
V
2
V
e
00000
000
0
0
00000
=
=
=
=
=
=
==
=
ORBITES ELLIPTIQUES
0T
r
aT3
r
TTaV3
V
T
0a
r
a2
r
aVa2
V
a
e
e1e
rr
e
V
2
V
e
1rVre
V
02
00
0
0
02
0
2
0
02
0
02
00
02
00
02
0
0200
2
0
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
tancoscos
Par exemple, pour la distance apoge ra= a(1+e),on adra= ade+(1+e) da, avec deet
daaisment calculables.
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 29
Chapitre 3-
PARAMETRAGE DU MOUVEMENT -
Jusqu' prsent, dans l'tude des mouvements kplriens, vous avez pu constater que la
variable temps a t soigneusement vite, et pour cause : il a t dmontr qu'on ne
pouvait pas exprimer la solution par des fonctions lmentaires du temps. Dans ce chapitre,
nous introduisons une variable intermdiaire qui permet de relier les principales variables
au temps t.
1- ANOMALIE EXCENTRIQUE -
1-1- Dfinition de lanomalie excentrique -
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30 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
On appelle S' l'image de S, le satellite en orbite elliptique, dans l'affinit orthogonale
d'axe P, de rapport a/b. L'ANOMALIE EXCENTRIQUE est l'angle entre OP et OS',
mesur positivement dans le sens du mouvement. Une rvolution complte est ralisequand varie de 0 2. Nous constatons que la correspondance est biunivoque.
Lors de la rsolution de problmes numriques ou informatiques, mettant en jeu l'angle
, il faudra se montrer prcis.
0Vr0r22Descente
0Vr0r00Monte
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 31
Enfin en remplaant r par son expression en fonction de et en tenant compte du fait
que la drive de est > 0, il vient :
( ) ( )
sincos e
aatt1
dt
de1
aa p ==
tp dsigne une heure de passage au prige. Nous rassemblons toutes ces relations dans le
tableau suivant.
( ) ( )
sine
aatt
cose1
ecoscoscose1ar p =
==
REMARQUE IMPORTANTE : La relation qui donne la drive de est souvent trsutile dans les problmes informatiques, lorsqu'on souhaite oprer des intgrations par
rapport au temps. Elle permet un changement de variable.
d
dt=
a
1
a 1 ecos( )=
1
r
a
ANOMALIE MOYENNE : On appelle ainsi la quantit M; n est le moyen mouvement,
reli la priode T que l'on retrouve par
T= 2aa
=
2
n
M= esin= n t tp(
n=a3
1-3- Quelques relations classiques -
Nous laissons au lecteur le soin d'tablir ou de se renseigner sur les relations suivantes,
mettant en jeu .
, pente de la vitesse
cos=1 e2
1e 2 cos2
sin=esin
1 e2 cos2
tan=esin
1 e2
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32 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
, anomalie vraie
cos=cos e1 ecos
sin=1 e2 sin1 ecos
tan
2=
1 +e1 e
tan2
, anomalie excentrique
cos=cos+ e
1+ ecos
sin=1 e2 sin1+ ecos
tan=1 e2 sincos+ e
2- Position-Vitesse en fonction de -
Dans la plupart des tudes informatiques, il est ncessaire de travailler avec les vecteurs
position r et vitesse V, que nous allons calculer dans la base prifocale PQW en fonction de
.
2-1- Repre prifocal -
On appelle ainsi le repre d'origine O centre du corps principal, d'axes P unitaire de la
direction du prige, W unitaire du moment cintique et Q qui complte la base directe
PQW
2-2- Calcul de r et V en fonction de -
Nous utilisons des calculs raliss plus haut sur les mesures de OH et HS et la drive de
:
rr= a cos e( )
rP+ a 1 e
2sin
rQ= a cos e( )
rP+ 1 e
2sin
rQ
Par drivation par rapport au temps on obtient la vitesse V, puisque les vecteurs Pr
et Qr
sont fixes en hypothse kplrienne.
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 33
+=
+= Qe1P
r
aQe1aPaV 22
rr&
rrr
cossincossin
Dans un cours ultrieur nous donnerons les composantes des vecteurs de base WQPrrr
,, en
fonction des paramtres orbitaux angulaires.
Conclusions
rr= a cos e( )
rP+ 1e
2sin
rQ
rV=
a
r sin
rP+ 1 e
2cos
rQ
t t =T
2 esin( ) = a
a esin( )
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34 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 35
Chapitre 4-
PARAMETRES ORBITAUX
Ce cours est capital pour les applications, car il conditionne le positionnement et le
reprage prcis d'un satellite.
L'ide gnrale est qu'on considre un instant t fix le satellite comme correspondant
la donne :
- D'un solide C qui n'est autre que la trajectoire, son reprage ncessite donc- De reprer un plan, surface qui demande 2 paramtres angulaires, nots et i.- De prciser la position du grand axe de la conique, donc avec un paramtre
angulaire not .
- De prciser la forme de l'ellipse, simple avec a et e dj connusDe donner un "top", c'est dire un instant initial et une position initiale partir de
laquelle on peut dduire toutes les autres positions. Il faudra donc 2 autres paramtres, unangle et un temps.
Au total les paramtres orbitaux seront au nombre de 6 plus un temps initial.
1- DEFINITION DES VECTEURS FONDAMENTAUX -
Le tir tant ralis, nous appelons :
- les conditions initiales l'instant t0: 00 ,Vr rr - les conditions au point courant l'instant t : Vr rr,
Le mouvement kplrien possde des intgrales premires vectorielles remarquables,
qui s'expriment naturellement avec le rayon vecteur et le vecteur vitesse.
1-1- Moment cintique rduit hr
-
Nous avons dj tabli la constance du vecteur :
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36 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
WrVWrWWrWKVrVrh 0002
00
rrrr&
rrrrrr coscos ======
Ce vecteur hr
donne par son module la constante des aires K, il oriente le sens dumouvement et donne la direction du plan orbital.
1-2- Vecteur excentricit er
-
Curieuse construction pour ce vecteur, puisqu'on pose :
r
rhVe
rrrr
=
On commence par dmontrer que ce vecteur est constant, en calculant sa drive.
constant& e0dt
ed
vrurVdt
rd
r
r
dt
VdWrh
r
rr
dt
rd
r
1h
dt
Vd
dt
ed
3
2
2
rrr
r&r&rr
rrr&
r
r&
rrrr
=
+==
==
+=
Ensuite, nous montrons que, puisque ce vecteur est constant le long de la trajectoire, onpeut le calculer en tout point et en particulier au prige P de l'orbite. Nous conservons les
notations P, Q, W pour le repre prifocal et rppour le rayon vecteur.
Pee
e1
pr
Kp
r
KrrK
P1r
PWrQr1
e
p
2
p
22p
3p2
2p
3p
p2
ppp
rr&&
r&rr&
r&r
=
+==
==
==
Donc le vecteur er
fournit par sa norme l'excentricit de l'orbite, mais surtout il donne
l'unitaire P qui "pointe" le prige. Donc la principale utilit de er
est de dsigner le
prige.
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 37
1-3- Vecteur nodal nr
-
Le vecteur nodal nr
se dfinit par hKnrrr
=
Ce vecteur n'existe que pour les orbites non quatoriales. Le vecteur nr
a la proprit de
"pointer" le nud ascendant de l'orbite, puisqu'il appartient au plan quatorial et au plan
orbital.
2- DEFINITION DES PARAMETRES ORBITAUX -
La figure ci-dessous illustrera la dfinition des paramtres orbitaux.
2-1- Reprage du plan orbital -
Nous savons qu'avec une excellente approximation, le plan quatorial terrestre est fixe
dans le repre inertiel IJK. Le plan orbital coupe le plan quatorial suivant une droite
appele LIGNE DES NOEUDS.
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38 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
- N point o le satellite passe de l'hmisphre sud l'hmisphre nord, s'appelle leNUD ASCENDANT de l'orbite.
- N' point o le satellite passe de l'hmisphre nord l'hmisphre sud, s'appelle leNUD DESCENDANT de l'orbite.
Ces 2 points sont importants dans les applications pratiques, parce que d'une part nous
verrons que c'est le lieu des corrections d'inclinaison, mais galement ils dlimitent, pour
les pays de l'hmisphre Nord, la zone utilisable.
NB : Des dfinitions quivalentes pourront tre donnes, des paramtres orbitaux ou des
vecteurs fondamentaux, pour le repre hliocentrique cliptique ou tout autre repre
plantocentrique. Ce n'est que par habitude que nous les fournissons dans IJK.
a- Longitude vernale ou heure sidrale de la ligne des nuds -
On appelle l'angle, mesur positivement autour de K, entre l'unitaire I et le vecteur
nodal nr
. Conventionnellement, il est exprim entre 0 et 360.
) [ ]= 3600Knl ,/, rrr
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 39
Cet angle conditionne naturellement le positionnement du plan orbital par rapport
l'espace inertiel environnant. Donc tout naturellement, comme le soleil est mobile dans cet
espace, et le temps interviennent dans les problmes d'clairement des panneaux solaireset la gestion de l'nergie.
Le calcul de est simple, si on lui adjoint une test ne pas oublier.
=
0Jnn
nlArc2
0Jnn
nlArc
rrr
rr
rrr
rr
.si.
cos
.si.
cos
b- Inclinaison orbitale i -
On appelle inclinaison de l'orbite l'angle i, mesur entre 0 et 180 positivement autour
de l'axe n, entre le plan quatorial et le plan orbital. C'est encore l'angle entre les normales
aux 2 plans, donc entre K et h (ou ).
Le calcul donne sans difficult :h
hKArci r
rr.
cos=
Nous le verrons plus loin, mais l'vidence plus l'inclinaison orbitale est forte, plus on
peut survoler des latitudes leves.
Quelques valeurs classiques :
- i=0 Orbite quatoriale, essentiellement l'orbite gostationnaire.- i=28 Inclinaison habituelle des orbites des vols Navette US- i=63.4 Inclinaison orbitale frquemment utilise par les satellites sovitiques, car
c'est une valeur qui leur permet de pallier une perturbation due J2.- i=90 Orbites polaires pratiques par les satellites mtorologiques en orbite
basse, leur permettant de suivre 15 fois par jour les masses d'air polaire.
- i=98.7 Inclinaison choisie par les satellites de la famille SPOT, gravitant vers822 km du sol, travaillant en imagerie spatiale et utilisant grce une valeur bien
choisie de i, la proprit d'hliosynchronisme. Vu du nud ascendant, le satellite
se dplace vers l'Ouest, contrairement 90% des satellites.
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40 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
- i=5 Inclinaison de l'orbite lunaire- i=23 27' Inclinaison de l'orbite dcrite par le soleil vu de la Terre, avec passage
au nud ascendant au moment du printemps.
2-2- Reprage du grand axe dans son plan -
On appelle ARGUMENT NODAL DU PERIGEE, l'angle orient des vecteurs n et e
mesur positivement entre 0 et 360 autour de l'axe .
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 41
CONCLUSIONS :
Paramtres orbitaux :
00
00
00
p
,Mt
,t
,t
,priget
au choixa,e,i,,e,
3- CALCUL DES VECTEURS P, Q, W DANS IJK -
3-1- Calcul des composantes -
Dans les tudes numriques, il est indispensable de passer de la base absolue d'autresbases et en particulier, dans la base PQW du repre prifocal.
Le lecteur ralisera les calculs classiques qui donnent les composantes de P, Q, W dans
I, J, K.
=
i
i
i
P
sinsin
coscossinsincos
cossinsincoscos
r
+
=
i
i
i
Q
sincos
coscoscossinsin
cossincoscossin
r
==
i
i
i
QPW
cos
sincos
sinsinrrr
3-2- Matrice de passage de (IJK) (PQW) -
Le lecteur se convaincra, en utilisant ses connaissances en algbre linaire que la
matrice de passage P de la base IJK la base PQW vaut :
+
K
J
I
i
i
i
W
i
i
i
Q
i
i
i
P
r
r
rrrr
cos
cossin
sinsin
sincos
coscoscossinsin
cossincoscossin
sinsin
coscossinsincos
cossinsincoscos
Naturellement la matrice de passage inverse est la transpose de P.
Avec les rsultats acquis du cours sur l'utilisation de l'anomalie excentrique, on a :
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42 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
( )
+= Qe1Pear 2
rrr sincos
+= Qe1P
r
aV
2 rrr
cossin
Le lecteur pourra aussi s'exercer redmontrer les relations ci-dessus.
Et naturellement avec la chronologie :
( ) ( )
sinsin ea
ae2
Ttt p ==
On obtient alors les coordonnes du satellite dans le repre associ J2000.
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 43
Chapitre 5-
PARAMETRES D'INJECTION
Ce chapitre est consacr aux conditions d'injection en orbite, ralise par le lanceur
charg soit :
- De la mise en orbite quasi dfinitive, aux dispersions prs invitables.- D'une satellisation sur une orbite de transfert, par exemple Ariane en GTO, vers
l'orbite gostationnaire.
- D'une mise en orbite de drive intermdiaire, par exemple pour rejoindre un pointde stationnement.
- D'une mise en orbite de parking, avant une vasion vers une plante.
1- DEFINITIONS DES PARAMETRES D'INJECTION -
La ralit physique d'un tir impose un suivi du lanceur, durant sa phase propulse,
depuis des stations de poursuite sol, multiples en gnral. Par exemple pour un tir classique
Ariane, les stations sont Kourou, Ascension, Libreville,
L'acquisition des donnes est donc rapporte un repre li la station et donc entran
dans la rotation terrestre. Or les calculs de trajectoire ncessitent un repre inertiel, comme
J2000.
Il est donc ncessaire de prciser les lments permettant de raliser un changement de
base.
1-1- Repre gographique -
Dans la figure suivante, on retrouve O IJK, inertiel, associ au jour J2000. Il apparat le
mridien de Greenwich, et c'est l'occasion de dfinir une donne d'EPHEMERIDES
importante : l'HEURE SIDERALE DE GREENWICH un instant t.
( ) ( ) ( ) ( ) srd107292115tttlXltl 11T0T0gGg /, =+== rr
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44 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
Une valeur particulire peut tre obtenu par les phmrides, publies tous les ans par le
BUREAU DES LONGITUDES Paris.
Une routine est fournie sur ce site, dans le pack des routines en Pascal, elle s'appelle
heure_sid.exe (voir routines)
Le satellite l'instant t se trouve en S, la verticale du point de la Terre S', qu'il survole.
En S', nous avons trac le mridien et le parallle. Il apparat clairement la longitude L et la
latitude l du satellite S
La tangente N au mridien est le Nord local. La tangente E au parallle orient vers
l'Est est l'Est local. La verticale ascendante Z est le znith local, oppos au NADIR.
Le repre S' ENZ constitue le REPERE GEOGRAPHIQUE LOCAL.
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 45
1-2- Paramtres dinjection -
On appelle ainsi un ensemble de 6 donnes plus la date t0de l'injection :
a- Un positionnement du point de tir :
- L0LONGITUDE du tir,- 0LATITUDE du tir
b-Les conditions balistiques du tir dfinissant la forme de la trajectoire :
- Le rayon vecteur r0= RT+ Z0(Z0altitude sol)- L'angle absolu de tir 0entre la vitesse absolue et l'horizontale locale.- V0norme de la vitesse absolue inertielle, si une mesure de vitesse relative a t
ralise, on appliquera alors la composition des vitesses.
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46 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
( ) EZRVV 0TTR0rrr
cos++=
c- Le positionnement du plan de tir :
Le plan de tir est dfini par la vitesse absolue V0et le rayon vecteur port par le znith
Z.
L'AZIMUT ABSOLU 0du tir, mesur positivement vers l'Est. Plusieurs aspects sont
possibles, une figure est ncessaire (voir plus loin).
- Angle entre le plan mridien et le plan de tir- Angle entre le Nord local N et la projection horizontale de la vitesse- Angle entre le Nord local N et la direction orthoradiale v du tir
REMARQUES PRATIQUES :
- 0=90 et 0= 0 s'appelle un TIR PLEIN EST, qui permet de profiter pleinementde la vitesse d'entranement due la rotation terrestre (465 m/s l'quateur).
- 0=90 et 0quelconque est un TIR VERS L'EST.- 0=0 et 0=0 TIR EN ORBITE POLAIRE CIRCULAIRE.-
0=97, 0 et 0 voisins de 0, TIR GTO ARIANE, avec le prige au nuddescendant, de manire placer l'apoge sur l'quateur.
- 0< 0 tir de direction Ouest; si 0 est voisin de 98 ce sont des orbiteshliosynchrones.
- La DATE t0du tir :PARAMETRES D'INJECTION EN S0: L0, 0, V0, r0, 0, 0, t0
1-3- Passage de IJK ENZ -
Donnons d'abord deux dfinitions, plus particulirement utilises en astronomie 0:
a = lg(t)+L s'appelle l'heure sidrale du satellite ou encore longitude vernale.
d = l porte aussi le nom en astronomie, de dclinaison
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 47
Le lecteur effectuera le calcul des composantes des vecteurs ZNErrr
,, dans la base
inertielle IJK, ceci afin de construire la matrice de passage P(,) de la base IJK ENZ ou
son inverse.
( )
=
sincos
sincossinsincos
coscoscossinsin
0
ENZIJKP
Naturellement ces formules s'utilisent dans les deux sens, ce qui explique que nous
n'ayons pas cherch rsoudre.
2- CALCUL DES PARAMETRES ORBITAUX -
Cette partie relve plus des procdures informatiques que des calculs d'application la
main. Connaissant les conditions d'injection (absolues ou relatives) on en dduit les
paramtres orbitaux kplriens.
2-1- Passage des conditions relatives aux conditions absolues -
Quand on s'intresse aux performances d'un lanceur, on s'aperoit vite que le
mouvement doit tre rapport et suivi par rapport la Terre. On est alors amen dfinir
les conditions relatives du tir, azimut relatif R, vitesse relative VR, pente ou angle de tirrelatif R.
La figure et les notations sont suffisamment explicites pour justifier les relations ci-
dessous :
RR00
RRR000
eTRRR000
VV
VV
VVV
sinsin
coscoscoscos
sincossincos
=
=
+=
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48 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
2-2- Calcul de paramtres orbitaux -
L'ide est de calculer le rayon vecteur et la vitesse absolue, par leurs composantes dans
ENZ et d'oprer le changement de base pour les exprimer dans IJK.
=
=
00
000
000
ENZ0
0
ENZ0
V
V
V
V
r
0
0
r
sin
coscos
sincos
// rr
Le passage IJK est ais, grce la matrice P(,) :
( ) ( )
=
=
00
000
000
IJK0
0
IJK0
V
V
V
PV
r
0
0
Pr
sin
coscos
sincos
,, //rr
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 49
Le calcul s'achve ensuite conformment au cours sur les paramtres orbitaux.
3- CALCUL DE L'INCLINAISON ORBITALE -
Dans les applications pratiques, l'inclinaison orbitale i est un paramtre capital et faisant
l'objet d'une surveillance trs stricte. Les corrections d'inclinaison tant trs coteuses, tout
tir demande une tude prcise des conditions d'injection, pour affiner au mieux cette
inclinaison.
Si on revient la figure des paramtres d'injection, on constate que le plan orbital est
orient par le vecteur Wr
produit vectoriel de Zrparu
r, d'o :
( )
ZNE01
0
00
uZKKWiuZW
rrr
rrrrrrrr
/sin
coscos
sin
..cos
====
On obtient ainsi, une relation simple et d'un grand intrt pratique cosi= cossin.
En particulier :
- i est toujours suprieure ou gale la latitude de l'injection 0.- i = 0uniquement si le tir est effectu vers l'Est.- Une orbite polaire ncessite un azimut gal 0.- Un tir hliosynchrone, o l'inclinaison orbitale est de l'ordre de 98.7 pour SPOT
par exemple, demande un azimut ngatif (tir vers le Nord-Ouest).
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50 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 51
Chapitre 6-
TRIGONOMETRIE SPHERIQUE
Ce chapitre traite de complments de trigonomtrie sphrique qu'on ne peut pas ne pas
connatre, tant l'usage en est rpandu en astronautique et astronomie.
1- DEFINITIONS DE BASE -
1-1- Triangle sphrique -
Considrons une sphre de centre O et de rayon unit, et sur sa surface 3 points A, B, C
non tous trois situs sur un mme grand cercle de la sphre. Ces 3 points constituent les
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52 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
sommets d'un TRIANGLE SPHERIQUE, dont les cots sont les arcs des 3 grands cercles
de la sphre, qui passent respectivement par AB, AC, BC.
1-2- Angles -
On peut alors dfinir des angles.
- Angles au sommet A, B, C : Par exemple ou A : on dsigne ainsi, l'angleinfrieur 180, arithmtique form par les tangentes Au et Av aux deux grands
cercles passant par A. De mme pour les autres sommets.
- Angles au centre a, b, c : Par exemple ou a est l'angle arithmtique infrieur 180, en O entre les directions OB et OC. Souvent on dit qu'on "voit" le ct BC
sous l'angle au centre .
NB : si un des angles au sommet est gal 90, on dit que le triangle est rectangle.
REMARQUE : La somme des angles au sommet n'est pas comme pour un triangle plan,
gale 180, mais suprieure 180.
2- RELATIONS TRIGONOMETRIQUES -
Nous allons tablir les relations les plus gnrales dans un triangle sphriquequelconque.
2-1- Relation gnrale -
Les vecteurs OB et OC sont dcomposs sur u et w (resp v et w), ce qui donne :
[ ][ ]Avuor
vbvbwcwcBOAOa
cos.
sincos.sincos.cos
=
++==rr
rrrrrr
ce qui donne
Acbcba cos.sin.sincos.coscos +=
2-2- Relation des sinus -
Il est clair que les sinus de tous les angles sont positifs, ainsi on peut crire :
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 53
cba
cb2cba1
a
A
a
cb
cba1
a
A1
a
A
222
2
2
sinsinsin
coscoscoscos-cos-cos-
sin
sin
sin
sinsin
cos.cos-cos-
sin
cos-
sin
sin
+=
==
La dernire relation est invariante par permutation circulaire des variables a, b, c. Donc
nous obtenons une relation remarquable du triangle sphrique, appele RELATION DES
SINUS :
c
C
b
B
a
A
sin
sin
sin
sin
sin
sin==
2-3- Relations gnrales
( )
( )( )( )4cos.sin.sincos.coscos3cos.sin.sincos.coscos
2cos.sin.sincos.coscos
1sin
sin
sin
sin
sin
sin
Cbabac
Bacacb
Acbcba
c
C
b
B
a
A
+=
+=
+=
==
2-4- Exemple : Distance entre 2 points de la Terre -
Soient 2 lieux donns par leur coordonnes gographiques, longitude et latitude, B=(L0,
0), C=(L1, 1). Le rayon terrestre tant not RT, le lecteur tablira, en utilisant un triangle
constitu de B, C, et du ple nord A, que la plus courte distance entre B et C, mesure sur
un grand cercle (distance loxodromique ou godsique) est :
( )[ ]011010T LLRD += coscoscossinsin
3- CAS PARTICULIER DU TRIANGLE RECTANGLE EN A -
Comme la trigonomtrie sphrique est souvent utilise sur Terre, avec souvent 2 grands
cercles trs particuliers et orthogonaux : l'quateur terrestre ou un parallle quelconque et
un mridien, ce cas revt un intrt particulier. Le lecteur pourra s'exercer retrouver les
relations ci-dessous.
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54 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
==
==
====
=
==
cabCB
bacBC
cCBabCBcba
2A
c
C
b
B
a
A
tancotcossincos
tancotcossincos
tancotsinsinsincotcotcoscoscos
sin
sin
sin
sin
sin
sin
Exemple, pour les points survols :
Le triangle sphrique considrer est S''NS'~ ABC rectangle en A. B = S'NS'' = i, NOS'
= a= +, S''Os' = S= b. La relation des sinus donne immdiatement le rsultat cherch,
savoir :
( ) += sinsinsin is
Formule importante dj rencontre.
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 55
Chapitre 7-
POINTS SURVOLES
Ce chapitre est consacr l'tude de la trace au sol d'un satellite et de son mode de
calcul.
On pressent bien que le calcul de la latitude ne devrait pas poser de problme, parce que
la rotation terrestre n'intervient pas. Par contre pour la longitude, il n'en sera pas de mme.
La connaissance de la trace au sol et de l'instant de survol est indispensable dans
l'exploitation des donnes satellitaires par exemple en :
- Imagerie et cartographie spatiale (SPOT, HELIOS)- Mtorologie (METEOSAT en gostationnaire, et d'autres en orbite polaire.)- Tlcommunications (radio, tlvision, tlcommande et tlmesure)
EUTELSAT, TELECOM 2A 2B 2C,
- Contrle arien ou maritime (MARECS)- Scurit en mer (Systme ARGOS)- Etude des ocans (TOPEX-POSEIDON)- Godsie spatiale
1- HYPOTHESES ET CALCULS -
Une mission satellite est parfaitement dfinie par ses paramtres orbitaux, ce qui
quivaut naturellement la donne des paramtres d'injection (voir PARAMETRES
D'INJECTION ou PARAMETRES ORBITAUX)
On supposera donc connus les paramtres orbitaux a, e, i, , , tpet l'instant courant t.
Nous devons alors calculer la position du satellite par rapport la Terre, par ses
coordonnes gographiques longitude LSet latitude S.
Les perturbations orbitales ne seront pas prises en compte dans l'tude initiale, nous
travaillons en kplrien, mais nous verrons que les rsultats peuvent tre extrapols au cas
du mouvement rel.
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56 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
1-1- Repres et notations -
- IJK dsigne le repre inertiel Ra, associ J2000.- XgYgZg (Zg=K) est le repre Rg li la Terre, en rotation autour de l'axe nord-
sud, avec Xg dans le mridien de Greenwich. LSet Ssont rapportes ce repre.
Le satellite S a pour coordonnes Xg, Yg, Zg
- PQW est le repre prifocal dj rencontr, associ l'orbite, avec P point versle prige et W unitaire du moment cintique.
- * = - lg(t) est la longitude Greenwich de la ligne des nuds au temps t. Onrappelle que lg(t) est l'heure sidrale de Greenwich, calculable par la routine heur-
sid.exe ou donne par les phmrides du bureau des longitudes.
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 57
1-2- Matrices de passage -
Nous verrons plus loin que le satellite est facilement reprable dans la base prifocale,
et que nous devrons le positionner dans XgYgZg. La matrice de passage est donc ncessaire.
Un calcul analogue a dj t ralis, dans lequel il suffit simplement de changer en *.
Passage XgYgZg(Zg=K) XNYNZN(ZN=K) : la rotation d'angle * autour de K permet
ce passage, de matrice associe P1.
Passage XNYNZN XNY*NW : la rotation d'angle i autour de XNpermet ce passage, de
matrice associe P2.
Passage XNY*NW PQW : la rotation d'angle autour de W permet ce passage, dematrice associe P3.
Ce qui donne en dtail les matrices :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )iPii0
ii0
001
WYXKYXP
P
100
0
0
WQPWYXP
P
100
0
0
KYXZYXP
2NNNN2
3NN3
1NNggg1
=
=
=
=
=
=
cossin
sincos
cossin
sincos
cossin
sincos
*
*
***
**
rrrrrr
rrrrrr
rrrrrr
La matrice de passage cherche est : P=P1(*)P2(i)P3()
2- METHODE DE CALCUL -
Les paramtres orbitaux sont connus a, e, i, , , tpainsi que l'instant t. Nous donnons
ci-aprs l'organigramme de calcul.
1- La donne de l'instant t permet de calculer la valeur de l'anomalie excentrique de
manire unique.
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58 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
( )
sinea
att p =
NOTE DE CALCUL : l'quation tant transcendante, une bonne mthode consiste
calculer par itration, en partant d'une valeur quelconque 0 , et d'utiliser la relation ci
dessous :
( ) np31n etta
sin+=+
La convergence est assure et assez rapide vers la solution unique.
2- On calcule les coordonnes du satellite dans la base PQW par :
( )
+= Qe1Pear 2
rrr sincos
et donc
( )
=
0
e1a
ea
Z
Y
X2
PQW
sin
cos
On effectue le changement de base, qui donne les coordonnes dans le repre de
Greenwich
( ) ( ) ( )
( )
=
=
0
e1a
ea
PiPP
Z
Y
X
Z
Y
X2
321
PQWZYX ggg
sin
cos
*
On en dduit les coordonnes gographiques LSet S.
( )[ ]
2g
2g
gs
gg
gs
YX
Z
Xsgn12X
YL
+=
+=
arctan
arctan
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 59
3- ETUDE DE LA TRACE -
3-1- Formule explicite donnant la latitude -
Les calculs prcdents sont particulirement obtus et ne permettent pas d'apprhender la
forme de la trajectoire d'un satellite.
Si on revient au repre XgYgZg, on peut crire Zg= r sinS, et en revenant la base
XNY*NW, on a aussi la relation
( ) ( ) NN YrXrr rrr +++= sincos
La combinaison des 2 relations fournit une relation trs importante en pratique
( ) 0is =+= initial,instantl'sin.sinsin
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60 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
3-2- Exploitation du rsultat -
Sur la trajectoire l'anomalie vraie varie de0 2 lors dune orbite complte. Donc la
latitude oscille entre +i et -i. En particulier lorsqu'on souhaite pouvoir survoler une latitude
donne, il faut choisir une inclinaison orbitale suprieure ou gale cette latitude.
Nous avions dj vu que lors du lancement la latitude de l'injection et l'azimut du tir
dfinissaient compltement l'inclinaison orbitale par cosi = cos0sin0
On peut donc en dduire qu'avec une inclinaison orbitale leve, il faudra ou injecter une latitude leve en profitant de la rotation terrestre dgrade une latitude forte, ou
garder une latitude moyenne et choisir un azimut proche de 0, empchant donc de profiter
pleinement de la rotation terrestre. Dans les 2 cas le tir est pnalis. La recherche d'une
inclinaison orbitale leve est pnalisante en masse utile.
Pour les orbites basses faiblement excentriques, on peut donner l'allure d'une trace
correspondant une priode.
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 61
En effet, sur orbite basse quasi-circulaire la vitesse angulaire satellite est environ 15 fois
celle de la Terre. Donc le satellite se dplace rapidement et en continu vers l'Est, de plus il
oscille en latitude entre +i et -i. La combinaison des deux mouvements va donner la trace,la forme approximative d'une sinusode.
La trace a donc l'allure ci-dessous, pour un satellite inject L0=20, 0=45, 0=45,
sur une orbite circulaire type navette US 280 km du sol terrestre. L'inclinaison orbitale est
i = 60, la priode T= 1 h 30 mn 7 s.
On remarque alors trs simplement que la trace de l' orbite i+1 se dduit de celle de
l'orbite i par une translation vers l'Ouest de L donne par :
aa
86164
4T
86164
2TL
2
s
2
ss ===
3-3- Notion de phasage en kplrien -
En pratique certaines applications, notamment en surveillance militaire ou en imagerie
spatiale, ncessitent que la trace se referme au bout d'un certain temps, de manire
survoler nouveau le mm lieu gographique de la Terre.
Cette proprit s'appelle PHASAGE DE L'ORBITE. Le temps sparant 2 survols
conscutifs d'un mme lieu s'appelle PERIODE DE REPETITIVITE TR.
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62 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
En hypothse kplrienne, TRest un nombre entier n de priode satellite TSet nLest
congru 0(2). Si TTdsigne la priode sidrale de la Terre, le phasage se traduit par :
TT
ssTL kT2
knTk2Tnn ====
Qn
k
T
TNnk
T
s = ,KEPLERIENPHASAGE
3-3- Phasage non kplrien -
En prsence de perturbations, ce qui est le cas rel, les paramtres orbitaux ont des
drives sculaires. En particulier et i varient, entranant un mouvement Est-Ouest etNord-Sud du plan orbital. La notion de phasage devient plus difficile. On convient de la
dfinir l'quateur au nud ascendant.
TN dsignera la priode nodale, temps sparant 2 passages conscutifs au nud
ascendant. TNest trs lgrement diffrente de TS cause des perturbations.
Par rapport au cas kplrien o le plan orbital est fixe, ici le plan orbital drive autour
de l'axe nord-sud, une vitesse qui est la drive moyenne d. Tout se passe comme si on
changeait de vitesse angulaire T.
( ) NTTT TL = &&
( ) k2TnNk,n NT = &c
KEPLERIENNONPHASAGE
REMARQUE : Si on ne tient compte que de la perturbation due la non sphricit de la
Terre (perturbation due J2), et si on recherche l'hliosynchronisme, c'est dire un choix
de a et i de telle manire que la ligne des nuds drive exactement la vitesse angulaire
moyenne du soleil autour de la Terre, alors la quantit ci-dessous vaut 1 jour de 24 h.
( )
joursknTTNnk
jour1s864002
TS
NR
T
Phasage
==
==
=
,
/&
&
TR est la priode de rptitivit, un nombre entier de jours. C'est le cas de SPOT et
dHELIOS.
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 63
4- VARIANTE POUR LE CALCUL DE LA TRACE -
Nous exploitons ici les rsultats de trigonomtrie sphrique, qui vont permettred'apprhender un peu mieux le calcul des points survols par un satellite.
L'application des relations de trigonomtrie sphrique dans le triangle rectangle S''NS'
(~ABC), donne :
b
Bac
bCB
Cac
cos
cossinsin
cossincos
sinsinsin=
=
=
Moyennant les correspondances angulaires ci-dessous, on obtient :
( )
ss
iL
Lcb
aiB
cos
cossinsin
+
=
==
+==
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64 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
Il est clair que l'inversion qui conduit L ne pose pas de problme si +est entre -
90 et +90, mais peut poser problme dans le cas contraire. Il faut alors remarquer que le
dessin doit tre regard depuis le nud descendant. Le lecteur vrifiera alors l'affirmationsuivante :
( )( )
( )( )
( )
( )[ ]
+=
+=
+
+
=
sinsinsin
coscos
cossinsin
coscos
cossinsin
iArc
LtLL
0i
Arc180
0i
Arc
L
s
gs
s
s
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 65
Chapitre 8-
CHANGEMENT DORBITES -
1- GENERALITES -
Ce chapitre est destin l'tude gnrale des manuvres en orbite, soit :
IMPORTANTES, DEMANDANT UN INCREMENT DE VITESSE ELEVE :
- Manuvre d'apoge pour passer d'une orbite GTO une orbite gostationnaire.- Correction d'inclinaison orbitale.- Changement de programme d'une sonde spatiale, par exemple droutement vers
une comte nouvelle.
- Manuvre de dorbitation pour un retour sur Terre, partir d'une station orbitale.- Injection sur une orbite d'vasion hyperbolique prparant un voyage
interplantaire.
IMPULSIONNELLES, DE MAINTENANCE D'UN SATELLITE EN ORBITE
- Corrections minimes de paramtres orbitaux.- Recalage de temps orbital.- Ajustement d'une heure d'arrive sur une plante.
La ralit physique d'une manuvre impose une certaine dure et donc un dplacement
pendant la manuvre. Sans approximation, il est impossible " la main" de calculer les
dtails de l'opration. L'exprience montre, qu'avec une excellente approximation, on peutconsidrer que les positions en dbut et en fin de manuvre, peuvent tre considres
comme identiques.
1221 VVVrrrrrrr
=
On conviendra que le satellite repasse toujours par le point de la manuvre.
1-1- Donnes -
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66 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
Afin de bien poser le problme, il faut fixer le cadre de l'tude.
- L'orbite initiale C1, est connue par ses paramtres orbitaux a1, e1, i1, 1, 1, tP1.- L'orbite aprs correction C2, est connue par ses paramtres orbitaux a2, e2, i2, 2,
2, tP2.
- La position de la manuvre est choisie, aprs tude prcise.1-2- Figure de manuvre
1-3- Calcul des lments de la manuvre
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 67
La connaissance des paramtres orbitaux et de la position commune aux deux ellipses
permet le calcul des vecteurs vitesses 1V et 2V , par les relations ci-aprs, adaptes
naturellement chaque orbite C1 ou C2
rr= a cos e( )
rP+ a 1 e
2sin
rQ= a cos e( )
rP+ 1 e
2sin
rQ
+=
+= Qe1P
r
aQe1aPaV 22
rr&
rrr
cossincossin
Les composantes des vecteurs P et Q tant accessibles, par des relations dj vues.
=
i
ii
P
sinsin
coscossinsincos cossinsincoscos
r
+ =
i
ii
Q
sincos
coscoscossinsin cossincoscossin
r
==
i
i
i
QPW
cos
sincos
sinsinrrr
On obtient alors les composantes des vecteurs 1V et 2V dans le repre inertiel.
Le calcul s'achve alors par celui de l'incrment de vitesse V ncessaire, caractris
par sa norme, qui en pratique doit tre la plus petite possible et une direction, celle que la
pousse du moteur devra adopter dans l'espace.
Le schma ci-dessous donne V.
CAS PARTICULIER COURANT : Pour des trajectoires coplanaires, les calculs ne
ncessitent pas le passage par les composantes inertielles.
La norme d'une vitesse se calcule par l'nergie
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68 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
a2rV
2
1
rV
2
1E
0
20
2 ===
On obtient ainsi V1et V2au point commun. La pente apparat dans la loi des aires :
( )2ppaa0p0
2
e1arVrVK
rVVrrK
===
===
coscos&
Suivant les cas, vaut : 12 =
Le calcul s'achve alors classiquement en rsolvant le triangle des vitesses, ce qui
fournit la norme de l'incrment V de vitesse et ventuellement l'orientation de l'axe de lapousse.
cos212
22
1 VV2VVV +=
2- EXEMPLES DE MANUVRES -
Nous ne pouvons passer en revue toutes les manuvres, mais en indiquons de
classiques.
2-1- Transfert de HOHMANN -
Le problme se pose souvent, soit pour des orbites terrestres, soit pour des trajectoires
hliocentriques : Comment transfrer un engin initialement sur orbite circulaire basse
(haute) sur une orbite circulaire haute(basse) coplanaire la prcdente ?
HOHMANN a rpondu la question, en indiquant que la manuvre la plus conomique :
- Utilisait une orbite de transfert dite de HOHMANN, bitangente aux deux orbitesde dpart et d'arrive.
- Ncessitait deux incrments de vitesse V1 et V2, dlivrer au prige et l'apoge de ce transfert.
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 69
La figure suivante illustre la procdure, qui ncessite deux moteurs et deux allumages.
C'est ce qui fait la diffrence entre un vol Ariane, o la manuvre de prige disparat,
ralise dans la phase propulse par l'tage 3, et une mise en orbite par la navette
amricaine, avec une orbite d'attente circulaire basse qui demande la double motorisation.
NB : Ce type de transfert est encore couramment utilis lors de tirs interplantaires, o
l'orbite de dpart est celle de la Terre, et celle d'arrive sensiblement l'orbite quasi
circulaire dcrite par la plante cible.
2-2- Correction dapoge (prige) -
Un tir prsente toujours des dispersions et des ajustements minimes d'orbite sont
ncessaires. Nous nous plaons dans cette hypothse d'une manuvre quasi impulsionnelle
de faible incrment V. On ne souhaite pas modifier la position du prige, donc la
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70 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale
manuvre a lieu en ce point. Comme a = rp+ ra , et rp constant, nous avons ra = 2a,
l'quation de l'nergie fournit :
pp
2
a2 V
Va4r
a2rV
2
1E ===
On notera qu'une manuvre du mme type ralise l'apoge, permet de rectifier le
prige moyennant la relation :
aa
2
p VVa4
r =
On peut galement vrifier que pour une mme modification de a ou d'une altitude
apoge ou prige, le cot est minimal avec une manuvre au prige.
2-3- Correction du phasage -
L encore on supposera que l'erreur de date (cart de phasage), est petite, nous
permettant de travailler en calcul diffrentiel. L'ide est d'utiliser une orbite de drive
voisine de l'orbite initiale, parcourue n fois (n choisir en fonction de critres
conomiques), telle que les n dcalages de priode compensent l'cart t initial.
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MOUVEMENTS KEPLERIENS 71
La correction totale demande un retour l'orbite initiale, donc avec deux incrments de
vitesse opposs, ainsi on obtient le cot total en s'appuyant sur des diffrentielles de
relations simples comme :
a2rV
2
1Ecste
a
T 23
2 ===
n
t
aTV3
2V2V
pp
==
Ce type de correction coupl est classique pour ramener un gostationnaire dans sa
fentre de positionnement, puisqu'un dcalage en longitude quivaut un dcalage horaire.
2-4- Correction dinclinaison -
C'est certainement la correction qui donne le plus de soucis, dans la maintenance d'un
satellite. La lune et le soleil, en particulier, provoquent une drive nord-sud du plan orbital,
avec variation annuelle de l'ordre de 1/an. Corriger l'inclinaison est quivalent faire
tourner un vecteur vitesse, en pratique sans variation de norme.
REMARQUE : On comprend alors facilement que, pour un satellite en orbite basse
terrestre, o la vitesse avoisine 8 km/s, une correction de 1 cote environ 140 m/s.
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Pire dans les trajectoires hliocentriques, on peut avoir des vitesse de 20 30 km/s
sinon plus. Ainsi pour V=30 km/s une correction d'inclinaison orbitale coterait 523 m/s.
Supposons donc que l'on veuille uniquement corriger l'inclinaison orbitale sans
changement des autres paramtres orbitaux.
- La correction doit obligatoirement tre ralise un des nuds de l'orbite.- Le vecteur vitesse doit tourner, sans changer de norme afin de ne pas altrer le
demi grand axe. Il faut donc choisir le nud le plus lev en altitude ce qui
minimise la vitesse et garde l'nergie spcifique E constante.
- Autre consquence de la rotation, qui ne peut se faire qu'en conservantl'excentricit, la constante des aires K doit rester invariante :
2
2EK21e
+=
Donc la vitesse orthoradiale se conserve. Elle vaut Vcos, et elle doit tourner de i.
- La correction ncessite donc:
( ) 2i
r
e1a22
i
r
K22
iVV
2 =
=
= sinsinsincos
2-5- Rorientation du grand axe -
Ce cas correspond une correction de argument nodal du prige, sans modification
des autres paramtres orbitaux.
On souhaite faire pivoter le grand axe d'une orbite C1, d'un angle orient , pour
l'amener dans une configuration 2, et ceci sans modification de la forme de l'ellipse.
S est le point commun aux deux orbites, donc le point de manuvre. La gomtrie
impose que la droite OS est axe de symtrie des deux C1et C2:
- Le demi-grand axe tant inchang, E est inchange et donc la norme V de lavitesse est la mme.
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- L'excentricit demeurant inchange, la constante des aires reste la mme. Donc lavitesse orthoradiale Vcos est inchange. Force est donc de conclure que la
vitesse radiale est algbriquement la mme et que seule la pente est inverse.
- Ainsi nous obtenons ci-dessous la position angulaire du point de manuvre Ssur l'orbite C1et la valeur V de la manuvre en fonction de .
+=
=
+=
==
2
2p
e2V
2
p
e2V2V
sinsinsin
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Chapitre 9-
ETUDE DE L'ORBITE GEOSTATIONNAIRE
Cette partie concerne une application trs importante, celle des satellites
gostationnaires avec :
- La caractrisation de l'orbite dite gostationnaire et son intrt.- Le lancement GTO.- Quelques lments de la mise poste.- Les perturbations qui affectent le satellite.- Le principe de la maintenance poste.
1- ORBITE GEOSTATIONNAIRE -
Les tlcommunications ont envahi notre monde moderne, et la ncessit de disposer de
satellites fixes par rapport la Terre, s'est rapidement impose. En effet, un tel satellite jouele rle de relais de transmission ou d'un il pour la surveillance globale de la Terre. Nous
allons vrifier que ce type d'application est possible.
1-1- Orbite gosynchrone -
On appelle ainsi une orbite de priode identique celle de la Terre, soit T=23 h 56 mn
4.1 s = 86164.1 s. En hypothse kplrienne, le demi-grand axe est donn par :
T2
a3= 4
2
ag= T
2
42
1
3 = 42164,16km
Une telle orbite possde la proprit de survoler un mme lieu gographique, chaque
priode, puisque la Terre et le satellite auront tous les deux effectu un tour complet et
retrouv la mme position par rapport aux toiles, mais avec l'inconvnient de ne pas rester
la verticale d'aucun point de la Terre.
1-2- Orbite gostationnaire kplrienne -
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Si on impose en plus ce satellite de rester fixe par rapport un point de la Terre, alors
:
- Ce point ne peut tre que sur l'quateur, sinon le satellite serait la fois au nord etau sud de l'quateur.
- L'orbite est ncessairement quatoriale.- L'orbite est obligatoirement circulaire pour viter une oscillation Est-Ouest.
Il n'existe donc qu'une seule orbite satisfaisant ces critres :
Orbite circulaire quatoriale de rayon Rg= 42164.16 km en kplerien.
REMARQUE : Classiquement, on rencontrera dans la littrature, qu'un tel satellite gravite
36000 km du sol. C'est en ralit la valeur arrondie correspond une altitude relle
kplrienne de 35786.16 km.
1-3- Orbite gostationnaire relle -
Nous savons que la Terre est en premire approximation assimilable un ellipsode. Le
renflement quatorial terrestre cre donc un supplment d'attraction qui acclre la vitesse.
Pour que le satellite retrouve la bonne vitesse angulaire ou linaire, donnant la priode
sidrale, il faut le placer un peu plus haut. Le calcul, que vous trouverez dans les exercices,donne une ALTITUDE GEOSTATIONNAIRE VRAIE DE 42164.68 KM, en ne prenant
pas en compte les autres perturbations.
1-4- Intrt de l'orbite gostationnaire relle -
On comprend aisment que trois satellites disposs 120 sur l'orbite gostationnaire,
permettent "de voir" quasiment toute la Terre, part une petite zone polaire situe aux
extrmes.
En utilisant deux satellites on peut communiquer d'un point quelconque de la Terre un
autre sans problme.
Seules les latitudes au-dessus de 81 environ ne sont pas accessibles.
2- POINT DE STATIONNEMENT -
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Un satellite en orbite gostationnaire est caractris par sa LONGITUDE DESTATIONNEMENT= LS. Cette donne est capitale pour la rception des missions par
une antenne satellite, car elle conditionne l'orientation en azimut et en dclinaison locale del'axe de l'antenne.
La longitude de stationnement est surveille 0.1 prs.
Exemples pour les satellites europens : Actuellement en 1998, les principaux satellites
utiliss en France sont :
- ASTRA 19.2 EST- EUTELSAT II-F3 16 EST- EUTELSAT II-F1 et HOT BIRD 1 -> 3 13 EST- TELECOM 2B/2D 5 OUEST- TELECOM 2A 8 OUEST
2-1- Calcul de l'orientation de l'antenne -
La rception correcte d'une mission satellite consiste orienter l'axe de la parabole de
rception vers le satellite. Ce qui demande la connaissance de :
- La longitude de stationnement LS.- Les coordonnes gographiques longitude L et latitude du lieu de rception.
On peut alors calculer par des considrations gomtriques simples, dans le repre
gographique local : l'azimut gographique Azmesur positivement vers l'Est et l'lvation
El, qui est l'inclinaison sur le plan horizontal local de l'axe de l'antenne.
2-2- A propos de l'antenne -
Peut tre avez-vous oubli la proprit gomtrique d'un miroir parabolique : celle de
rflchir tous les rayons lumineux, parallles l'axe de la parabole, vers un point
remarquable qu'on appelle le foyer. Cette proprit est utilise dans les tlescopes pour
concentrer soit des rayons lumineux, soit des ondes de nature diverse.
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- On peut viter une mise en orbite d'attente quasi circulaire et injecter la chargeutile directement en orbite GTO (GEOSTATIONARY TRANSFER ORBIT)
- Cette procdure qui consiste "grimper" jusqu'au niveau gostationnaire, prsentel'avantage de n'utiliser qu'un seul moteur pour une correction d'apoge, alors
qu'un parking intermdiaire demande deux incrments de vitesse et donc deux
allumages de moteurs diffrents, car ces incrments ne sont pas ngligeables.
REMARQUES : Un tir effectu par le Lanceur Ariane, qui effectue une injection directe
sur l'orbite GTO, ne demandera au satellite qu'un seul moteur d'apoge. Par contre, la
navette amricaine ralise une mise en orbite de "parking" vers 280 km du sol, et impose
donc la charge utile ainsi satellise d'tre pourvue de 2 moteurs :
- Un moteur d'apoge qui placera le satellite sur l'orbite GTO.- Un moteur d'apoge qui ralisera les mises en orbite de drive et la mise poste
dfinitive.
La manuvre est donc plus dlicate et moins sre, puisque demandant un allumage
moteur supplmentaire.
3-2- ORBITE GTO -
Dtaillons ces calculs lmentaires, donnant des ordres de grandeur, reposant sur un
transfert de type HOHMANN, entre une injection au prige bas, vers 200 km du sol et une
position haute, vers 42164 km du centre de la Terre.
Le lancement consiste, grce une phase propulse, utilisant en pratique trois tages
d'un lanceur, injecter au prige P d'une orbite GTO une masse qui comprend : Le moteur
du dernier tage (en rose) accompagn d'un moteur inutilis (en noir) et de la charge utile
proprement dite (le point rouge).
Cet ensemble est satellis une vitesse Vpque l'on calcule sur l'orbite GTO :
1p
p
T2p
22T
skm23910Vkm6578r
rV
2
1skm177788
a2E
km48742200637842164a2
==
===
=++=
.,
..
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Si l'on se souvient que la premire vitesse cosmique pour rester en circulaire est de
7.784 km/s 200 km du sol, on ralise que la vitesse Vp=10.240 km/s est un exploit, ce qui
explique que l'on ait attendu avant de lancer des gostationnaires.
Nous sommes maintenant sur l'orbite GTO, pour laquelle le lecteur se convaincra, en
calculant la priode qu'on parvient l'apoge aprs 5 h 15 mn 32 s de vol. Cette phase de
monte a permis d'affiner les paramtres de l'orbite GTO, de dfinir l'orientation prcise de
la pousse d'apoge, d'orienter le moteur d'apoge aprs s'tre dbarrass du troisime tage
lanceur. Celui-ci va rester sur l'orbite GTO un certain temps, pendant lequel la trane au
prige usera l'orbite, le satellite spiralant sur une trajectoire de moins en moins
excentrique, jusqu' ce que, le prige descendant, une rentre atmosphrique se produise.
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